河北省衡水市冀州中学高三数学上学期第二次月考试题b卷文(复习班)
河北省衡水市2025届高三上学期第二次调研考试数学试卷(含解析)
河北省衡水市2025届高三上学期第二次调研考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知数列满足,则( )2．已知是第四象限角且,则的值为( )A.1B.C.3．函数处的切线的倾斜角为( )4．如图,平行四边形ABCD中,,,若,,则( )C.5．已知等差数列的公差小于0,前n项和为,若,则的最大值为( )A.45B.52C.60D.906．设内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知,若的周长为1.则( )D.2{}na12na+=11=-4a=αsinα=cos0ββ-=tan()αβ-1--()f x=())0,0f2AE EB=DF FC=CB m=CE n=AF=32+12n-1322m-+32n-{}nanS2a=844=nS ABC△2sin sin sinABCS A B C=△ABCsin sin sinA B C++=7．设函数,若函数在区间上有且仅有1个零点,则的取值范围为( )A. B. C. D.8．已知,在R 上单调递增,则a 的取值范围是( )A. B. C. D.二、多项选择题9．以下正确的选项是( )A.若,,则 B.若,C.若,则D.若,10．设正项等比数列的公比为q ,前n 项和为,前n 项积为,则下列选项正确的是( )A.B.若,则C.若,则当取得最小值时,D.若,则11．以下不等式成立的是( )A.当时,B.当时,C.当时,D.当时,三、填空题()()3ππ40,0,3πππ4tan ,4k x f x k k x x ωωωω⎧+⎪=⎪⎪=>∈⎨⎪+⎛⎫⎪--≠ ⎪⎪⎝⎭⎩Z ()f x π3π,88⎛⎫- ⎪⎝⎭ω2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦20,3⎛⎤⎥⎝⎦210,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦(]0,211e e ,12()1x xax x f x x --⎧--≤⎪⎪=>()a ∈R []2,1-[]2,1--(],1-∞[)2,-+∞a b >c d <a c b d ->-a b >c d <bd >22ac bc >33a b >a b >m >ba>{}n a n S n T 4945S S q S =+20252020T T =20231a =194a a =2246a a +1a =21()n n n a T +>11a <(0,1)x ∈1e ln 2x x x x+>-+(1,)x ∈+∞1e ln 2x x x x+>-+π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭e sin x x x >π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭e sin x x x >,,13．已知函数的最小正周期为,则在区间上所有零点之和为________.14．若定义在上的函数满足:对任意的x ,,都有:,当时,还满足:,则不等式的解集为________.四、解答题15．已知函数.（1）求函数的单调区间;（2）函数在上恒成立,求最小的整数a .16．已知数列的前n 项和为,,.（1）证明:数列为等比数列;（2）若,求n 的值.17．凸函数是数学中一个值得研究的分支,它包括数学中大多数重要的函数,如,等.记为的导数.现有如下定理:在区间I 上为凸函数的充要条件为.（1）证明:函数上的凸函数;（2）已知函数.①若为上的凸函数,求a 的最小值;②在①的条件下,当a 取最小值时,证明:,在上恒成立.18．如图,在平面直角坐标系中,质点A 与B 沿单位圆周运动,点A 与B 初始位置如图所示,A 点坐标为,的速度运动,点A 逆时针24a b ⋅=λ∈R +()()2sin πcos (0)f x x x x ωωωω=->π()f x []2024π,2024π-()(),00,-∞+∞ () f x ()(),00,y ∈-∞+∞ ()1x f f x f y y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,0x y >()110x y f f x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1f x x ≤-()()2e 1x f x x x =-+()f x ()f x a ≤[]2,1-{}n a n S 113a =18,3,nn na n a a n +-⎧=⎨⎩为奇数为偶数{}2112n a --21161469n S n +=+2x e x ()f x ''()y f x '=()f x ()()0f x x I ''≥∈()f x =)1,+∞()2()2ln ln g x ax x x x a =--∈R ()g x [)1,+∞()()31()223231x xxg x x -+≥+-+[)1,+∞()1,0AOB ∠=//s运动,点B 顺时针运动,问:（1）ls 后,扇形AOB 的面积及的值.（2）质点A 与质点B 的每一次相遇的位置记为点,连接一系列点,,构成一个封闭多边形,求该多边形的面积.19．已知函数,（1）讨论的单调性;（2）当时,恒成立,求m 的取值范围;（3）当时,若的最小值是0,求的最大值.sin AOB ∠n P 1P 2P 3P ⋅⋅⋅()e x f x mx =-()g x =()f x 0x ≥()()f x g x ≥0x ≥()()f x ng x -m +参考答案1．答案：C 解析：因为当,;当,,故选:C.2．答案：C解析：因为是第四象限角且因为,所以所以,故选:C.3．答案：D解析：因为时,即故选:D.4．答案：D解析：因为四边形ABCD 为平行四边形,且,,所以,即①,又,即②,由①②得到,又,,所以.故选:D.5．答案：A12n a +=1n =21123a a =-=2n =3212a a =-=3=4312a a =-=αsin α=α=α=2sin cos 0ββ-=tan β=tan tan tan()211tan tan 31421234αβαβαβ--===-+⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭---()f x =()15f x x ='0=()15f x x ='()f x =0x =2AE EB =DF FC =12AF AD DF AD DC =+=+ 22AF AD DC =+ 13CE CB BE CB BA =+=+ 33CE CB BA =+ +23AF CE CB += CB m = CE n =1322A m n F =-解析：设等差数列的首项为,公差为,由①,由,得到②,由①②得到,,又,,由,解得,,所以,,,又因为,所以当或时,的值最大,最大值为45,故选:A.6．答案：B（R 为的外接圆半径）,可得,,,且A ,B ,,则,,均为正数,因为,可得,又因为的周长为,所以故选:B.7．答案：A解析：因为,由正切型函数可知:的最小正周期且,显然在区间内至少有1个零点,在区间内至少有2个零点,若函数在区间上有且仅有1个零点,{}n a 1a (0)d d <2a =272713a a a ++=1888()442a a S +==1811a a +=2724a a =182711a a a a +=+=0d <27272411a a a a =⎧⎨+=⎩28a =73a =72381725a a d --===--19a =2(1)1199222n n n S n n n -=-=-+n *∈N 9n =10n =n S 2sin sin b cR B C===ABC △2sin a R A =2sin b R B =2sin c R C =()0,πC ∈sin A sin B sin C 11sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22ABC S ab C R A R B C A B C ==⨯⨯⨯=△1R =ABC △()2sin 2sin 2sin 2sin sin sin 1a b c R A R B R C A B C ++=++=++=sin sin sin A B C ++=0ω>()f x T =(f x ∈Z ()f x (),x x T +3,2x x T ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()f x π3π,88⎛⎫- ⎪⎝⎭,若,因为,则,且,即则,结合题意可知:,由题意可知:或,,所以的取值范围为.故选:A.8．答案：A解析：因为,当时,,所以时,,即上单调递增,当时,,所以,由题知在上恒成立,在上恒成立,3ππ88⎛⎫>--= ⎪⎝⎭πω=>3ω<<03ω<<π3π,88x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭πππ3ππ,48484x ωωω⎛⎫-∈--- ⎪⎝⎭5ππππ3ππ7π8844848ωω-<--<-<-<5ππππ3ππ884484x ωωω-<--<-<-<ππ5π7π,0,,2288⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ππ3ππ,8484ωω⎫---⎪⎭π3ππ0284πππ842ωω⎧-<-≤⎪⎪⎨⎪--<-⎪⎩3πππ0842πππ0284ωω⎧<-≤⎪⎪⎨⎪-≤--<⎪⎩2ω<≤ω2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦11e e ,12()1x xax x f x x --⎧--≤⎪⎪=⎨>1x >()f x =()f x '==1x >()0f x '>()f x =)+∞1x ≤11e e ()2x x f x ax ---=-11e e ()2x x f x a --+'=-11e e ()02x x f x a --+'=-≥(,1]-∞a ≥,当且仅当,即时取等号,所以,,得到,所以,故选:A.9．答案：AC解析：对于选项A,由,得到,又,所以,故选项A 正确,对于选项B,取,显然有,,不满足对于选项C,由,得到,又,所以,即,所以,故选项C 正确,对于选项D,取,,,显然有,,所以选项D 错误,故选:AC.10．答案：AB解析：因为数列为正项等比数列,则,,,对于选项A:因为,所以,故A 正确;对于选项B:若,所以,故B 正确;对于选项C:因为,则,当且仅当时,等号成立,若取得最小值,则,即,解得,故C 错误;112≥⨯=11e e x x --=1x =1a ≤13211a +≤=+2a ≥-21a -≤≤c d <c d ->-ab >ac bd ->-3,2,3,2a b c d ===-=-a b >c d <1,1bd=-=-a c >22ac bc >2()0a b c ->20c >0a b ->a b >33a b >3a =-4b =-5m =a b >m >4514435233b a-+-==<==-+-{}n a 10a >0q >0n T >9123456789S a a a a a a a a a =++++++++()4441234545S q a a a a a S q S =+++++=+4945S S q S =+20252020T T =52021202220232024202520231a a a a a a =⋅⋅⋅⋅==20231a =19464a a a a ==22446628a a a a +≥=462a a ==2246a a +462a a ==34156122a a q a a q ⎧==⎨==⎩121a q =⎧⎨=⎩对于选项D:例如,,则,可得,,因为,则,可得,即,符合题意,但,故D 错误;故选:AB.11．答案：ABC解析：A 选项,令,,则恒成立,故在上单调递增,则,令,则,故在上单调递增,故,所以,A 正确;B 选项,由A 选项知,时,单调递增,单调递减,则,所以,B 正确;C 选项,令,,则,,,11a =2q =12n n a -=011121122222n n n n T a a a -++⋅⋅⋅+-=⋅⋅⋅=⨯⨯⋅⋅⋅⨯==()21()22nn n n n a +==()2212222n n n n n T --⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭*n ∈N 22n n n >-2222n n n ->21()n n n a T +>11a =()e 1x f x x =--(0,1)x ∈()e 10x f x ='->()f x (0,1)x ∈()()00f x f >=()1ln g x x =-(0,1)x ∈()221110xg x x x x='-=-+>()g x (0,1)x ∈()()10g x g <=e 11ln x x x -->-1ln 2x x x x+>-+(1,)x ∈+∞()f x ()g x ()()1e 2f x f >=-()()10g x g <=e 11ln x x x -->-1ln 2x x x x+>-+()e sin x w x x x =-π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()πe sin cos 1e sin 14x x w x x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭'π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ3π,444x ⎛+∈ ⎝(π4x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭又在上恒成立,故在恒成立,故在上单调递增,又,故,即当时,,C 正确;D 选项,令,则当时,,当时,,在上单调递增,在上单调递减,其中,在上单调递增,在上单调递减,且,,画出两函数图象如下:时,不满足存在,使得当时,,D 错误.故选:ABC 12．答案：4e 1x >π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()πe sin 104x w x x ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭'π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()e sin x w x x x =-π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00w =e sin 0x x x ->π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭e sin x x x >()t x =()0,π∈()t x ='()10e x x t x -'=>()1,πx ∈()10exxt x -'=<()ex xt x =()1,πx ∈π2ππ122et ⎛⎫=< ⎪⎝⎭()πt =()sin q x x =π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π12q ⎛⎫= ⎪⎝⎭()π0q =π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin x >1π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()1,πx x ∈sin x <sin x x x <,,,当且仅当时,等号成立,故答案为:4.13．答案：解析：因为且,则的最小正周期为,解得,所以令,解得,令,可得可知在,内有2个零点,且这2个零点关于直线对称,即这2个零点和为,所以所有零点之和为.故答案为:.14．答案：解析：因为对任意的x ,,都有:令,可知24a b ⋅=()2222224432164421616a a b b b λλλλλλ=+⋅+=++=+++≥ 2λ=-+ +10120π3-()21cos 2()sin πcos sin cos 2xf x x x x x x ωωωωωω-=-=1πsin 22sin 223x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭0ω>()f x 2ππ2T ω==1ω=()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π22π3x k +=+∈Z πx k =∈Z ()πsin 203f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭πsin 23x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()f x ()π,1πk k +⎡⎤⎣⎦k ∈Z πx k =∈Z 2πx k =∈Z ()()π101202202420232023π4048π63-+-+⋅⋅⋅++⨯=-⎡⎤⎣⎦10120π3-(][),11,-∞-+∞ ()(),00,y ∈-∞+∞ ()1x f f x f y y ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1x y ==()()()12110f f f =⇒=令,可知令,得故函数为偶函数,令要使则显然函数为偶函数;因为当时,得所以当时函数单调递减,此时也单调递减因为需要故因为为偶函数所以当时,的解为故不等式的解集为故答案为:15．答案：（1）单调增区间为,,单调减区间为（2）3解析：（1）因为,则,因为恒成立,由,得到或,由,得到,所以函数的单调增区间为,,减区间为.（2）由（1）知在区间上单调递增,在区间上单调递1x y ==-()()()12110f f f =-⇒-=1y =-()()()()()1f x f x f f x f x -=+-⇒-=() f x ()()1g x f x x =-+()1f x x ≤-()0g x ≤()()1g x f x x =-+,0x y >()110x y f f x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-->⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11110f f x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭0x >()f x ()()1g x f x x =-+()()11110g f =-+=()0g x ≤1x ≥()()1g x f x x =-+0x <()0g x ≤1x ≤-()1f x x ≤-(][),11,-∞-+∞ (][),11,-∞-+∞ (),1-∞-()0,+∞(1,0)-()()2e 1x f x x x =-+()()2e (1)e x x f x x x x x '=+=+e 0x >()0f x '>1x <-0x >()0f x '<10x -<<()f x (),1-∞-()0,+∞(1,0)-()()2e 1x f x x x =-+[)2,1--(1,0)-减,在区间上单调递增,又,,显然有,所以在区间上最大值为,又函数在上恒成立,所以,得到最小的整数.16．答案：（1）证明见解析（2）6解析：（1）因为,所以当,时,,即,时,,又时,,所以数列为首项为1,公比为3的等比数列.（2）由（1）知,所以,又由,可得,,,所以,又,所以,整理得到,解得,所以n 的值为6.17．答案：（1）证明见解析解析：（1）因为因为,又,所以,(]0,1()31ef -=()1e f =(1)(1)f f -<()()2e 1x f x x x =-+[]2,1-e ()f x a ≤[]2,1-e a ≥3a =18,3,nn n a n a a n +-⎧=⎨⎩为奇数为偶数2n ≥n *∈N 212(1)122(23)1232312123123123(8)123(12)n n n n n n a a a a a a --+--+---=-=-=-=--=-2n ≥n *∈N 212(1)112336n n a a ----=-1n =11213121a -=-={}2112n a --121123n n a ---=121312n n a --=+18,3,nn n a n a a n +-⎧=⎨⎩为奇数为偶数22234n n a --=+2n ≥n *∈N 211232211321242()()n n n n n S a a a a a a a a a a a +++=+++++=+++++++ 1011313[33312(1)](3334)16122316111313n nnn n n n n n +---=++++++++++=+++=⨯++-- 21161469n S n +=+231611161469n n n ++⨯+=3729n =6n =()f x =()f x '=()f x ''=4222156316(048x x x -+=-+>()1,x ∈+∞63(1)0x x ->故在区间上恒成立,即函数上的凸函数.（2）①因为,所以由题知在区间上恒成立,即上恒成立,,则在区间上恒成立,令,对称轴为,所以当时,取到最大值,最大值为1,所以,得到.②由（1）知,令,则令在区间恒成立,当且仅当时取等号,所以上单调递增,得到,当且仅当时取等号,即在区间恒成立,当且仅当时取等号,即在区间上单调递增,所以令,令,得到,则在区间上恒成立,即在区间上单调递减,()42632(631)0(1)x x f x x x -+''=>-()1,+∞()f x =)1,+∞()2()2ln ln g x ax x x x a =--∈R ()22ln 2g x ax x '=---2()2g x a x ''=-221()20g x a x x ''=-+≥[)1,+∞22a x ≥-)1,+∞(]0,1t =∈222a t t ≥-(]0,122y t t =-1t =1t =22y t t =-21a ≥a ≥()21()2ln ln 2g x x x x x a =--∈R 21()()22ln ln 22H x g x x x x x x x =+=--+1()2ln 222ln H x x x x x x '=---+=-()2ln m x x x =--222222121(1)()10x x x x x x x x-+-'=-+==≥[)1,+∞1x =()2ln m x x x =--)1,+∞()(1)0m x m ≥=1x =1()2ln 0H x x x x'=--≥[)1,+∞1x =21()2ln ln 22H x x x x x x =--+[)1,+∞1()(1)22H x H ≥=+=()()31()23231x x xF x -=+-+312x t =-≥2(1)(2)t y t t =+-+22220(2)t y t t --'=<+-[2,)+∞2(1)(2)t y t t =+-+[2,)+∞所以即当,时取等号,所以,在上恒成立.（2）2解析：（1）由题意可知:,,且点,若,则所以扇形AOB 的面积且（2）若质点A 与质点B 的每一次相遇,,,解得,,的周期为4,即交点有4个,当时,;当时,;当时,;当时,;22(21)(22)y ≤+=-+[)1,x ∞∈+()()31()23231x xxF x -=+≤-+1x =()()31()223231x xxg x x -+≥+-+[)1,+∞AOB ∠=s t π12t -ππcos ,sin 44A t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭1t =πππ4412AOB ⎛⎫∠=+--=⎪⎝⎭217π1212S =⨯⨯=ππππππ1sin sin sin cos cos sin 4343432AOB ⎛⎫∠=+=+=+= ⎪⎝⎭ππ2π124t k ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭k ∈N 6t k =∈N 3π2k =∈N 3π2k =∈N 1k =13π2θ=-()111cos ,sin P θθ2k =23π3ππ16θ=-=()222cos ,sin θθ3k =39π3ππ2162θ=-=-()333cos ,sin θθ4k =43π6π16θ=-=()444cos ,sin P θθ可得即,O ,以及,O ,均三点共线,且,,.19．答案：（1）答案见解析（2）（3）解析：（1）由函数,可得,若时,可得,所以在R 上单调递增;若时,令,解得,当时,,函数在上单调递减;当时,,函数在上单调递增.综上可得:当时,在R 上单调递增;若时,在上单调递减,在上单调递增.（2）令函数因为当时,恒成立,所以在上恒成立,又因为,要使得在上恒成立,则恒成立,令可得,即在上为单调递增函数,所以,解得,即实数m 的取值范围为.（3）当时,若的最小值是0,即在上恒成立,34θθ-=23θ-=12θ-=1P 3P 2P 4P 1324PP P P ⊥13242PPP P ==132412222PP P P ⋅=⨯⨯=(,1]-∞177e()e x f x mx =-()e x f x m '=-0m ≤()0f x '>()fx 0m >()0f x '=ln x m =ln x m <()0f x '<()f x (,ln )m -∞ln x m >()0f x '>()f x (ln ,)m +∞0m ≤()f x 0m >()f x (,ln )m -∞(ln ,)m +∞()()()e x h x f x x g x m =-=-()e x x m '-=0x ≥()()f x g x ≥()0h x ≥[0,)+∞()00h =()0h x ≥[0,)+∞()0h x '≥()()e x x h x m ϕ-'==()e e e 0xx x x ϕ'==--=>()h x [0,)+∞()()min 010h x h m ''==-≥1m ≤(,1]-∞0x ≥()()f x ng x -()()()e 0x m x f x n mx g x ---=≥=[0,)+∞即在上恒成立,显然相切时取得等号,由函数,可得所以切线方程为即因为切线过原点,则解得,,所以,令,其中,可得,令,解得当时,,单调递增;当时,,单调递减,所以可得则,e x mx -≥[0,)+∞e x y -=00,e x x -e x y -'=00e |x x x y ='=00e ()x y x x ⎛=-- ⎝000e (1)e x x y x x ⎛=+-- ⎝00e 0(1)e x x m x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩00(1e x n x =-0002000e (1)e (1)e x x x m x x x =--=-+02000(1(1e )x m x x x +=-++-02000(1(1e x x x x =-++-⋅()2(1(1e x F x x x x =-++-⋅0x >()(1)F x x x '=+-()0F x '=x =10,7x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0F x '>()F x 1,7x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0F x '<()F x ()177F x F ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭4349==()1743e e 49xm x x =-()1743e e 49xm x -'-=107⎛⎫'= ⎪⎝⎭只需证明:当时,,当时,,令因为和为增函数,所以,所以为增函数,因为,所以当时,,当时,,所以即的最大值为10,7x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0m x '<1,7x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0m x '>()()7143e e 49xn x m x '=--=()e x x =-'e xy =y =()x '()()010n x n ''>=>()m x 107m ⎛⎫'= ⎪⎝⎭10,7x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0m x '<1,7x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0m x '>7m +≤4349==m +7。
衡水中学高三复习数学试题
16．D【解析】
【分析】利用绝对值不等式的性质，即可得到答案.
【详解】
由绝对值不等式的性质，可得 ，当且仅当 时，等号成立，
所以“ ”的充要条件为“ ”．
故选：D
17．B【解析】
【分析】根据柯西不得式 ，直接计算结果.
【详解】
由柯西不等式
等号成立的条件是 ，
所以 的最大值是 .
故选：B
18．A【解析】
【详解】∵正数x，y满足x6+y2 4x2，
在 方向上的投影为 ，所以选项D正确.
故选：BCD
21． 或写成 【解析】
【分析】把原不等式右边的 移项到左边,通分后变成 ,不等式可化为两个不等式组,分别求出两不等式组的解集,两解集的并集即为原不等式的解集.
【详解】
即
可化为: ┄①或 ┄②
解①得:
解②得:无解.
故不等式 的解集为: .
故答案为: 或写成:
考点：向量的线性运算性质及几何意义
4．B【解析】
【分析】
根据向量坐标运算和向量夹角公式可表示出 ，根据夹角的范围知 ，由此构造不等式求得结果.
【详解】
由题意得： ， ，
，
设 与 夹角为 ，则 ，
， ，即 ，
，解得： ，即 的取值范围为 .
故选： .
5．A【解析】
不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线 （ ）,过直线 与直线 的交点 时,目标函数 （ ）取得最大12,即 ,即 ,而 ．
即 时，等号成立.
故答案为： .
24． 【解析】
【分析】
建立坐标系，写出向量的坐标，根据 建立等量关系，可求出 .
【详解】因为 ，所以 三点共线；
河北省部分学校2025届高三上学期质量检测二数学试题(含答案)
河北省部分学校2025届高三上学期质量检测二数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x|x 2−9x +20≤0}，B ={x|log 2(x−3)<1}，则A ∪B =( )A. (−∞,5)B. [4,5)C. (−∞,5]D. (3,5]2.设复数z 满足(1−i)z =3−i 3，则z =( )A. 2+iB. 2−iC. 1−2iD. 1+2i3.已知非负实数x ，y 满足x +y =1，则12x +11+y 的最小值为( )A. 3+222B. 3+224C. 2D. 434.已知非零向量a ,b 满足|a +b |=|a|−|b |，则( )A. |a +b |>|b | B. |a−b |<|a |C. |a +b |>|a−b |D. (a +b )⋅(a−b )≥05.已知函数f(x)=cos ωx− 3sin ωx(ω>0)的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是( )A. 函数f(x)的图象关于点(7π12,0)中心对称B. 函数f(x)的单调增区间为[kπ−2π3,kπ−π6](k ∈Z)C. 函数f(x)的图象可由y =2sin ωx 的图象向左平移5π6个单位长度得到D. 函数g(x)=f(tωx),(t >0)在(0,π)上有2个零点，则实数t 的取值范围为(724,1324]6.对于一个函数：当自变量x 取a 时，其函数值等于2a ，则称a 为这个函数的H 数．若二次函数y =ax 2+4x +c(a,c 为常数且a ≠0)有且只有一个H 数1，且当0≤x ≤m 时，函数y =ax 2+4x +c−2的最小值为−3，最大值为1，则m 的取值范围是( )A. 0≤m ≤2B. 1≤m ≤3C. 2≤m ≤3D. 2≤m ≤47.若e x 1⋅x 3=ln x 2⋅x 3=1，则下列不等关系一定不成立的是( )A. x 3>x 2>x 1B. x 3>x 1>x 2C. x 2>x 1=x 3D. x 2>x 1>x 38.在ΔABC 中，B =π4,C =5π12,AC =26，AC 的中点为D ，若长度为3的线段PQ(P 在Q 的左侧)在直线BC 上移动，则AP +DQ 的最小值为( )A.30+2 102B.30+3 102C.30+4 102D.30+5 102二、多选题：本题共3小题，共18分。
2023年河北省衡水二中高考数学一模试卷【答案版】
2023年河北省衡水二中高考数学一模试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |x 3﹣3x 2﹣x +3＜0}，B ＝{x ||x +12|≥1}，则（ ） A ．A ∪B ＝（﹣∞，−32）∪（1，3） B ．A ∪B ＝（﹣∞，﹣1）∪[12，+∞）C ．A ∩B ＝（﹣∞，﹣1）∪（1，3）D ．A ∩B ＝（﹣∞，−32]∪[12，3）2．已知复数z =−12+√32i ，则∑ 2023i=1z i的值为（ ）A ．−12+√32iB ．−12−√32iC ．0D ．13．在正方形ABCD 中，E 在CD 上且有CE →=2ED →，AE 与对角线BD 交于F ，则AF =（ ） A ．13AB +23AD B ．34AB +14AD C ．14AB +34AD D ．13AD +AB4．已知：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积成比例，那么这两个几何体的体积也对应成比例．则椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)绕长轴旋转一周形成的几何体的体积为（ ） A ．43πa 2bB ．43πab 2C ．43πa 3D ．43πb 35．从11到15这5个整数中选出2个，则这2个数的因数个数之和为8的概率是（ ） A ．110B ．15C ．310D ．256．已知f （x ）＝2tan （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2），f （0）=2√33，周期T ∈（π4，3π4），（π6，0）是f （x ）的对称中心，则f （π3）的值为（ ）A ．−√3B ．√3C ．2√33D ．−2√337．若a ＝ln 1.01，b =2201，c =√1.02−1，则（ ） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b8．某正六棱锥外接球的表面积为16π，且外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，底面正六边形边长l ∈[√3，2]，则其体积的取值范围是（ ） A ．[4√3，9√32] B ．[4√3，128√327] C ．[9√32，128√327]D ．[64√327，4√3]二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列命题为真命题的是（ ） A ．过任意三点有且仅有一个平面B ．m 为直线，α，β为平面，若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βC ．m ，n 为直线，α为平面，若m ∥α，n ∥α，则m ∥nD ．m ，n 为直线，α为平面，若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n 10．关于函数f （x ）＝x 3﹣3x +1，下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）有两个极值点 B ．f （x ）的图像关于原点对称C ．f （x ）有三个零点D ．2sin10°是f （x ）的一个零点11．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）过点（1，2），M 是C 准线l 上的一点，过M 作C 的切线MA 、MB 与抛物线分别切于A 、B ，则（ ） A ．C 的准线方程是x ＝﹣1 B ．|MF |2＝|F A ||FB | C ．|AM |2＝|AF ||AB |D ．MA →⋅MB →≠012．直线l ：y ＝ax 与y ＝e x 的图像交于A （x 1，y 2）、B （x 2，y 2）两点（x 1＜x 2），y ＝e x 在A 、B 两点的切线交于C ，AB 的中点为D ，则（ ） A ．a ≤eB ．点C 的横坐标大于1 C ．|x 1﹣x 2|＜√(a +2−e)2−4D ．CD 的斜率大于0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（x 2+y +3）6中x 4y 的系数为 （用数字作答）． 14．写出一个满足下列条件的双曲线的方程 ①焦点在x 轴上②渐近线与圆（x ﹣2）2+y 2＝3有交点15．已知函数f （x ）、g （x ），g （x ）的图像关于x ＝1对称，且f （x ）﹣g （x ）＝1，f （x +1）+g （2﹣x ）＝1，g （1）＝3，则∑ 23i=1f(x)= ． 16．已知x 2+y 2＝4，则√2−y +√5−2x 的最小值为四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤. 17．（10分）已知数列{a n }满足S n =n(a 1+a n )2，其中S n 是{a n }的前n 项和． （1）求证：{a n }是等差数列；（2）若a 1＝1，a 2＝2，求b n =2n(1−a n )a n a n+1的前n 项和T n ．18．（12分）在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2R ﹣a =a(b 2+c 2−a 2)a 2+c 2−b2，其中R 是三角形外接圆半径，且A 不为直角． （1）若B =π6，求A 的大小； （2）求2a 2−c 2b 2的最小值．19．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面P AB ⊥平面ABCD ，O 为AB 中点，AC 与OD 交于点E ，△P AB 的重心为G ． （1）求证：EG ∥平面PCD ；（2）若P A ＝PB ＝5，AB ＝8，BC ＝4，求二面角C ﹣GE ﹣D 的正弦值．20．（12分）某工厂生产一批零件，其直径X 满足正态分布X ～N （10，0.25）（单位：mm ）（1）现随机抽取15个零件进行检测，认为直径在（8.5，11.5）之内的产品为合格品，若样品中有次品则可以认定生产过程中存在问题．求上述事件发生的概率，并说明这一标准的合理性．（已知：P （μ﹣3σ＜X ＜μ+3σ）≈0.9973，0.997315≈0.9603）（2）若在上述检测中发现了问题，另抽取100个零件进一步检测，则这100个零件中的次品数最可能是多少？21．（12分）已知A （﹣2，0），B （2，0），P （x ，y ）满足P A 与PB 的斜率之积为−34． （1）求P 的轨迹C 的方程．（2）l 1，l 2是过C 内同一点D 的两条直线，l 1交椭圆于MN ，l 2交椭圆于EF ，且MNEF 共圆，求这两条直线斜率之和．22．（12分）已知函数f （x ）＝（π﹣x ）sin x ，x ∈[0，π]． （1）求f （x ）在（0，0）处的切线方程；（2）若f （x ）＝a 在定义域上有两解x 1，x 2，求证： ①a ＜2；②|x 1﹣x 2|≤π﹣a −a．2023年河北省衡水二中高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |x 3﹣3x 2﹣x +3＜0}，B ＝{x ||x +12|≥1}，则（ ） A ．A ∪B ＝（﹣∞，−32）∪（1，3） B ．A ∪B ＝（﹣∞，﹣1）∪[12，+∞）C ．A ∩B ＝（﹣∞，﹣1）∪（1，3）D ．A ∩B ＝（﹣∞，−32]∪[12，3）解：A ＝{x |（x 2﹣1）（x ﹣3）＜0}＝{x |1＜x ＜3或x ＜﹣1}，B ={x|x +12≤−1或x +12≥1}={x|x ≤−32或x ≥12}，∴A ∪B ＝（﹣∞，﹣1）∪[12，+∞），A ∩B =(−∞，−32]∪(1，3)．故选：B ． 2．已知复数z =−12+√32i ，则∑ 2023i=1z i的值为（ ）A ．−12+√32iB ．−12−√32iC ．0D ．1解：由于复数z =−12+√32i ，故z 2=(−12+√32i)2=−12−√32i ，z 3=(−12−√32i)(−12+√32i)=14+34=1，故∑ 2023i=1z i =z 1+z 2+⋯+z2023=z(1−z 2023)1−z =z(1−z 674×3+1)1−z =z(1−z)1−z =z =−12+√32i ．故选：A ．3．在正方形ABCD 中，E 在CD 上且有CE →=2ED →，AE 与对角线BD 交于F ，则AF =（ ） A ．13AB +23AD B ．34AB +14AD C ．14AB +34AD D ．13AD +AB解：如图：∵在正方形ABCD 中，E 在CD 上且有CE →=2ED →，AE 与对角线BD 交于F ， ∴DE =13AB ，且DE ∥AB ，∴△DEF ∽△BAF ， 可得EFAF=13，可得AF =34AE ，∴AF →=34AE →=34（AD →+DE ）=34（AD →+13AB →）=14AB →+34AD →，故选：C ．4．已知：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积成比例，那么这两个几何体的体积也对应成比例．则椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)绕长轴旋转一周形成的几何体的体积为（ ） A ．43πa 2bB ．43πab 2C ．43πa 3D ．43πb 3解：根据题意可得图形如图所示，由图可得O 1P =ba √a 2−ℎ2，圆柱中大圆的半径为b ， 小圆的半径为OB =bℎa ，易得S 圆＝S 圆环，则由祖暅原理可得V 椭球＝2（πb 2a −13πb 2a ）=43πb 2a ． 故选：B ．5．从11到15这5个整数中选出2个，则这2个数的因数个数之和为8的概率是（ ） A ．110B ．15C ．310D ．25解：从11到15这5个数中取出2个数，基本事件为C 52=10，故：11的因数为1和11，，12的因数为1，12，2，6，3，4， 13的因数为1，13；15的因数为1，15，3，5， 14的因数为1，14，2，7，故两个因数的和为8的是：11和12，12和13，14和15一共3种， 故P(A)=310． 故选：C ．6．已知f （x ）＝2tan （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2），f （0）=2√33，周期T ∈（π4，3π4），（π6，0）是f （x ）的对称中心，则f （π3）的值为（ ）A ．−√3B ．√3C ．2√33D ．−2√33解：∵f （x ）＝2tan （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2），f （0）＝2tan φ=2√33， ∴tan φ=√33，∴φ=π6，f （x ）＝2tan （ωx +π6）．∵周期T =πω∈（π4，3π4），∴43＜ω＜4．再根据（π6，0）是f （x ）的对称中心，可得ωπ6+π6=kπ2，k ∈Z ，即ω＝3k ﹣1，∴ω＝2，f （x ）＝2tan （2•x +π6）， 则f （π3）＝2tan5π6=−2tanπ6=−2√33，故选：D ． 7．若a ＝ln 1.01，b =2201，c =√1.02−1，则（ ） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b解：a ＝ln 1.01＝ln （1+0.01），b =22×100+1=110.01+12，c =√1+2×0.01−1， 先比较a 与b ， 设f （x ）＝ln （1+x ）−11x +12=ln （1+x ）−2xx+2，0＜x ＜1， 则f '（x ）=11+x −2(x+2)−2x (x+2)2=x 2(x+1)(x+2)2＞0， 所以f （x ）在（0，1）上单调递增， 所以f （x ）＞f （0）＝0，即a ＞b ， 再比较a 与c ，设g （x ）＝ln （1+x ）﹣（√1+2x −1），0＜x ＜1， 则g '（x ）=11+x 1√1+2x 11+x −11+x=0， 所以g （x ）在（0，1）上单调递减， 所以g （x ）＜g （0）＝0，即a ＜c ， 综上，b ＜a ＜c ． 故选：B ．8．某正六棱锥外接球的表面积为16π，且外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，底面正六边形边长l ∈[√3，2]，则其体积的取值范围是（）A．[4√3，9√32]B．[4√3，128√327]C．[9√32，128√327]D．[64√327，4√3]解：如图所示：设该正六棱锥的高PO1＝h，侧棱长为a，设该正六棱锥外接球的半径为r，因为正六棱锥外接球的表面积为16π，所以有16π＝4πr2⇒r＝2，因为外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，所以h≥2，设∠OPB＝θ，在正六边形ABCDEF，因为正六边形边长为l，所以O1B＝l，在△OPB中，由余弦定理可知cosθ=4+a2−42⋅2a=a4，在直角三角形△O1PB中，cosθ=ℎa，所以有cosθ=ℎa=a4⇒a2＝4h，由勾股定理可知h2+l2＝a2⇒h2+l2＝4h⇒l2＝4h﹣h2，因为l∈[√3，2]，所以l2∈[3，4]，因此有3≤4h﹣h2≤4⇒1≤h≤3，而h≥2，所以2≤h≤3，该正六棱锥的体积V=13×6×12⋅l⋅l⋅√32⋅ℎ=√32(4ℎ2−ℎ3)，V′(ℎ)=√32(8ℎ−3ℎ2)=−3√32ℎ(ℎ−83)，当2≤ℎ＜83时，V′（h）＞0，V（h）单调递增，当83＜ℎ≤3时，V′（h）＜0，V（h）单调递减，所以V(ℎ)max=V(83)=128√327，因为V(2)=4√3，V(3)=9√32，V(2)＜V(3)，所以V(ℎ)min=4√3，因此该正六棱锥的体积的取值范围是[4√3，128√327]，故选：B．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列命题为真命题的是（ ） A ．过任意三点有且仅有一个平面B ．m 为直线，α，β为平面，若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βC ．m ，n 为直线，α为平面，若m ∥α，n ∥α，则m ∥nD ．m ，n 为直线，α为平面，若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n解：对于A ，过不共线的任意三点有且仅有一个平面，所以选项A 错误；对于B ，m 为直线，α，β为平面，若m ⊥α，m ⊥β，根据直线与平面垂直的性质定理知，α∥β，选项B 正确；对于C ，m ，n 为直线，α为平面，若m ∥α，n ∥α，不能得出m ∥n ，也可能是m 、n 相交或异面，选项C 错误；对于D ，m ，n 为直线，α为平面，若m ⊥α，n ⊥α，根据直线与平面垂直的性质定理知，m ∥n ，选项D 正确． 故选：BD ．10．关于函数f （x ）＝x 3﹣3x +1，下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）有两个极值点 B ．f （x ）的图像关于原点对称C ．f （x ）有三个零点D ．2sin10°是f （x ）的一个零点解：因为f （0）＝1≠0，所以B 错；由f ′（x ）＝3x 2﹣3＝0得x ＝±1，且f ′（x ）＜0⇒﹣1＜x ＜1；f ′（x ）＞0⇒x ＜﹣1或x ＞1， 所以f （x ）的极大值为f （﹣1）＝3＞0，极小值f （1）＝﹣1＜0， 所以f （x ）有两个极值点，且有三个零点，所以AC 对； 由三倍角公式sin3α＝3sin α﹣4sin 3α得：f （2sin10°）＝﹣2（3sin10°﹣4sin 310°）+1＝﹣2sin30+1＝0， 所以2sin10°是f （x ）的零点，D 对． 故选：ACD ．11．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）过点（1，2），M 是C 准线l 上的一点，过M 作C 的切线MA 、MB 与抛物线分别切于A 、B ，则（ ） A ．C 的准线方程是x ＝﹣1 B ．|MF |2＝|F A ||FB | C ．|AM |2＝|AF ||AB |D ．MA →⋅MB →≠0解：将A （1，2）代入抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）中可得p ＝2， 则C 为y 2＝4x ，故C 的准线方程为x ＝﹣1，故A 正确，设点M （﹣1，m ），先考虑m ≠0情况，则过点M 作C 的切线MA ，MB ，切线斜率必存在且不等于0， 设切线方程为y ＝k （x +1）+m ，k ≠0，联立y 2＝4x ，可得y 2−4k y +4mk +4＝0， 则Δ=16k2−16（m k+1）＝0，即k 2+mk ﹣1＝0，△′＝m 2+4＞0，设MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1+k 2＝﹣m ，k 1k 2＝﹣1， 即MA ⊥MB ，即MA →•MB →=0，故D 错误；设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），不妨设A 在第一象限，B 在第四象限，则y 1＝2√x 1，y 2＝﹣2√x 2，由于y 2＝4x ，对于曲线在第一象限内部分有y ＝2√x ，y ′=1√x ，则k 1=1√x ，对于曲线在第四象限内部分有y ＝﹣2√x ，∴y =1√x ，则k 2=1x ，由于k 1k 2＝﹣1，故√x ×（1x ）＝﹣1，∴x 1x 2＝1，则（y 1y 2）2＝16x 1x 2＝16，∴y 1y 2＝﹣4，由于m ≠﹣0，故AB 斜率一定存在，设直线AB 的方程为y ＝μx +v ，联立y 2＝4x ，得y 2−4μy +4v μ+4＝0，故y 1+y 2=4μ，y 1y 2=4vμ=−4，∴μ＝﹣v ， 则直线AB 的方程为y ＝μx ﹣μ＝μ（x ﹣1），即直线AB 过定点F （1，0）， 所以A ，F ，B 三点共线，由于k AB ＝μ=4y 1+y 2=42√x −2√x =21k 1+1k2=2k 1k 2k 1+k 2=−2−m =2m ，k MF =−m2，故k AB •k MF ＝﹣1，∴MF ⊥AB ， 在Rt △AMB 中，△MBF ∽△AFM ∽△AMB ， 则|MF |2＝|F A ||FB |，|AM |2＝|AF ||AB |，当m ＝0时，即M （﹣1，0），A ，B 关于x 轴对称， k 1+k 2＝0，k 1k 2＝﹣1，MA →•MB →=0成立；此时AB 斜率不存在，不妨取k 1＝1，k 2＝﹣1，则MA ：y ＝x +1，MB ：y ＝﹣x ﹣1， 联立y 2＝4x ，解得A （1，2），B （1，﹣2），则AB 过定点（1，0），且MF ⊥AB ， 则|MF |2＝|F A ||FB |，|AM |2＝|AF ||AB |成立， 综合上述，BC 正确． 故选：ABC ．12．直线l ：y ＝ax 与y ＝e x 的图像交于A （x 1，y 2）、B （x 2，y 2）两点（x 1＜x 2），y ＝e x 在A 、B 两点的切线交于C ，AB 的中点为D ，则（ ） A ．a ≤eB ．点C 的横坐标大于1 C ．|x 1﹣x 2|＜√(a +2−e)2−4D ．CD 的斜率大于0解：对于A ：因为直线y ＝ax 与曲线y ＝e x 交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点（x 1＜x 2），ax ＝e x，即a =e xx 有两个不同的正根，即直线y ＝a 与曲线y =e xx 有两个不同的交点，因为（e xx）′=e x (x−1)x 2，所以y =e xx 在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以函数y =e xx的最小值为e ，又x →0，y →+∞；x →+∞，y →+∞， 所以a ＞e ，故A 错误； 对于B ：由题意可得ax 1＝e x 1，ax 2＝ex 2（x 1＜x 2），所以0＜x 1＜1＜x 2， g （x ）=e xx ，设h （x ）＝g （x ）﹣g （2﹣x ），（0＜x ＜1）， h ′（x ）＝（e x x −e 2−x 2−x）′＝（x ﹣1）[e x x 2−e 2−x (2−x)2]，令m（x）=e xx2，m′（x）=e x(x−2)x3，所以m（x）在（0，2）单调递减，因为x∈（0，1），2﹣x∈（1，2），所以m（x）＞m（2﹣x），所以h′（x）＜0，所以h（x）在（0，1）上单调减，所以h（x）＞h（1）＝0，g（x）＞g（2﹣x），因为0＜x1＜1＜x2，所以g（x1）＞g（2﹣x1），又g（x1）＝g（x2），所以g（x2）＞g（2﹣x1），因为x2∈（2，+∞），2﹣x1∈（2，+∞），所以x2＞2﹣x1，x1+x2＞2，直线AC的方程：y﹣e x1=e x1（x﹣x1），直线BC的方程为y﹣e x2=e x2（x﹣x2），联立得x=x1e x1−x2e x2e x1−e x2−1=ax12−ax22ax1−ax2−1＝x1+x2﹣1＞1，故B正确；对于C：设s（x）＝e x﹣ax﹣[x2﹣（a+2﹣e）x+1]，s′（x）＝e x﹣2x+2﹣e，s″（x）＝e x﹣2＝0，得x＝ln2，所以在（0，ln2）上，s″（x）＜0，s′（x）单调递减，在（ln2，+∞）上，s″（x）＞0，s′（x）单调递增，且s′（1）＝0，s′（x）min＝s′（ln2）＜s′（1）＝0，因为s′（0）＞0，设m∈（0，1），x∈（0，m）时，s′（x）＞0，s（x）单调递增，x∈（m，1）时，s′（x）＜0，s（x）单调递减，x∈（1，+∞）时，s′（x）＞0，s（x）单调递增，又因为s（0）＝s（1）＝0，所以s（x）min＝0，所以s（x）＝e x﹣ax﹣[x2﹣（a+2﹣e）x+1]≥0，所以e x ﹣ax ≥x 2﹣（a +2﹣e ）x +1，因为x 1，x 2是方程e x ﹣ax ＝0的两个根，x 3，x 4是方程x 2﹣（a +2﹣e ）x +1＝0的两个根， 所以|x 1﹣x 2|＜|x 3﹣x 4|=√(a +2−e)2−4，故C 正确； 对于D ：因为D （x 1+x 22，a(x 1+x 2)2），C （x 1+x 2﹣1，ax 1x 2），所以k CD =a[2x 1x 2−(x 1+x 2)]x 1+x 2−2， 因为a ＞e ，x 1+x 2＞2，0＜x 1＜1＜x 2， 设f （x ）＝e x ﹣ax −a2（x ﹣lna ）2， f ′（x ）＝e x ﹣ax ﹣a （x ﹣lna ）， 所以f ″（x ）＝e x ﹣a ，所以当x ∈（0，lna ）时，f ″（x ）＜0，f ′（x ）＞f ′（lna ）＝0， 当x ∈（lna ，+∞）时，f ″（x ）＞0，f ′（lna ）＝0，所以在（0，+∞）上，f ′（x ）≥0，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，且f （lna ）＝0， 所以当x ∈（0，lna ）时，e x ﹣ax −a2（x ﹣lna ）2＜0，e x ﹣ax ＜a2（x ﹣lna ）2， 所以x ∈（lna ，+∞）时，e x ﹣ax −a2（x ﹣lna ）2＞0，e x ﹣ax ＞a2（x ﹣lna ）2， 因为0＜x 1＜1＜x 2，a2（x 1﹣lna ）2＞a 2（x 2﹣lna ）2，lna ﹣x 1＞x 2﹣lna ，所以x 1+x 2＜2lna ， 所以a 2x 1x 2＝e x 1+x 2＜a 2，x 1x 2＜1，又x 1+x 2＞2，所以k CD ＜0，故D 错误， 故选：BC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（x 2+y +3）6中x 4y 的系数为 1620 （用数字作答）．解：（x 2+y +3）6＝[x 2+（y +3）]6，其展开式为C 6r (x 2)6−r(y +3)r ，依题意，2（6﹣r ）＝4，解得r ＝4，又（y +3）4的展开式为C 4k y 4−k 3k ，依题意，4﹣k ＝1，解得k ＝3， 所以（x 2+y +3）6中x 4y 的系数为C 64×C 43×33=1620．故答案为：1620．14．写出一个满足下列条件的双曲线的方程 x 2−y 23=1（答案不唯一） ． ①焦点在x 轴上②渐近线与圆（x ﹣2）2+y 2＝3有交点 解：设双曲线的渐近线方程为：bx ±ay ＝0， 渐近线与圆（x ﹣2）2+y 2＝3有交点， 可得√a 2+b 2≤√3，可得b ≤√3a ，不妨取a ＝1，b =√3，所以满足条件的双曲线方程可以为：x 2−y 23=1．故答案为：x 2−y 23=1（答案不唯一）．15．已知函数f （x ）、g （x ），g （x ）的图像关于x ＝1对称，且f （x ）﹣g （x ）＝1，f （x +1）+g （2﹣x ）＝1，g （1）＝3，则∑ 23i=1f(x)= 26 ． 解：因为g （x ）的图像关于x ＝1对称， 所以g （1+x ）＝g （1﹣x ）， 即有g （x ）＝g （2﹣x ）， 因为f （x +1）+g （2﹣x ）＝1， 所以f （x +1）+g （x ）＝1， 又因此f （x ）﹣g （x ）＝1， 所以f （x +1）+f （x ）＝2， 所以f （x +2）+f （x +1）＝2， 所以f （x ）＝f （x +2）， 所以f （x ）的周期为2，又因为g （1）＝3，f （x ）﹣g （x ）＝1， 所以f （1）＝g （1）+1＝4，又因为f （x +1）+g （2﹣x ）＝1， 所以f （2）+g （1）＝1， 所以f （2）＝1﹣g （1）＝﹣2， 所以f （1）+f （2）＝4﹣2＝2，所以∑ 23i=1f(x)=f （1）+f （2）+…+f （23）＝11[f （1）+f （2）]+f （1）＝11×2+4＝26． 故答案为：26．16．已知x 2+y 2＝4，则√2−y +√5−2x 的最小值为 √5 ． 解：设t =√2−y +√5−2x =√1−y +1+√4−2x +1 =√x 2+y 24−y +1+√x 2+y 2−2x +1 =12√x 2+(y −2)2+√(x −1)2+y 2，设圆x 2+y 2＝4上任意点P （x ，y ），M （0，2），N （1，0）， 则t =12|PM |+|PN |，设Q （n ，0），且|PN |=12|PQ |， ∴|PN||PQ|=12，又|ON||OP|=12，∴|PN||PQ|=|ON||OP|=12，又∠PON ＝∠QOP ，∴△PON ∽△QOP ， ∴|OP||OQ|=|ON||OP|=12，又|OP |＝2，∴|OQ |＝4，∴Q （4，0）又M （0，2），∴t min =12(|PM|+|PQ|)min =12|MQ |=12√12+4=√5． 故答案为：√5．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤. 17．（10分）已知数列{a n }满足S n =n(a 1+a n )2，其中S n 是{a n }的前n 项和． （1）求证：{a n }是等差数列；（2）若a 1＝1，a 2＝2，求b n =2n(1−a n )a n a n+1的前n 项和T n ．（1）证明：因为数列{a n }满足S n =n(a 1+a n )2， 当n ≥2时，S n−1=(n−1)(a 1+a n−1)2，两式子相减得（n ﹣2）a n ＝﹣a 1+（n ﹣1）a n ﹣1，① 因此可得（n ﹣1）a n +1＝﹣a 1+na n ，②①②相减得：（2n ﹣2）a n ＝（n ﹣1）a n +1+（n ﹣1）a n ﹣1， 由于n ﹣1＞0，所以2a n ＝a n +1+a n ﹣1， 所以{a n }是等差数列；（2）解：由（1）知{a n }是等差数列，a 1＝1，a 2＝2，所以a n ＝n ，因此b n =2n(1−a n )a n a n+1=2n(1−n)n(n+1)=2nn −2n+1n+1，所以T n =(211−222)+(222−233)+⋯+(2nn −2n+1n+1)=2−2n+1n+1．18．（12分）在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2R ﹣a =a(b 2+c 2−a 2)a 2+c 2−b2，其中R 是三角形外接圆半径，且A 不为直角． （1）若B =π6，求A 的大小； （2）求2a 2−c 2b 2的最小值．解：（1）由余弦定理可得2R ﹣a =a⋅2bccosA2accosB，可得2R cos B ﹣a cos B ＝b cos A ，再由正弦定理可得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， 所以cos B ＝sin A cos B +sin B cos A ＝sin （A +B ）， 在三角形中，可得A +B =π2−B ，而B =π6， 可得A =π6；（2）由（1）可得cos B ＝sin （A +B ）＝sin C ，在三角形中，可得sin （π2−B ）＝sin C 或sin （π2+B ）＝sin C ，即π2−B ＝C ，即B +C =π2，可得A =π2，与A 角不是直角矛盾，或π2+B ＝C ，可得A ＝π﹣B ﹣C =π2−2B ， 所以2a 2−c 2b 2=2sin 2A−sin 2Csin 2B=2cos 22B−sin 2C sin 2B2(1−2sin 2B)2−cos 2Bsin 2B=8sin 4B−7sin 2B+1sin 2B=8sin 2B +1sin 2B −7≥2√8sin 2B ⋅1sin 2B−7＝4√2−7，当且仅当8sin 4B ＝1时取等号，即sin B =√242时取等号， 所以2a 2−c 2b 2的最小值为4√2−7．19．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面P AB ⊥平面ABCD ，O 为AB 中点，AC 与OD 交于点E ，△P AB 的重心为G ． （1）求证：EG ∥平面PCD ；（2）若P A ＝PB ＝5，AB ＝8，BC ＝4，求二面角C ﹣GE ﹣D 的正弦值．证明：（1）∵底面ABCD 为矩形，O 为AB 的中点，∴△AEO ∽△CED ， 可得OE ED=OA DC=12，又△P AB 的重心为G ，∴OG GP=12，则OE ED=OG GP，得EG ∥PD ，∵PD ⊂平面PDC ，EG ⊄平面PDC ，∴EG ∥平面PCD ； 解：（2）∵P A ＝PB ，O 为AB 中点，∴PO ⊥AB ， ∵平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，∴PO ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则C （4，4，0），D （4，﹣4，0），G （0，0，1），E （43，−43，0），EC →=(83，163，0)，EG →=(−43，43，1)，ED →=(83，−83，0)，设平面CEG 与平面DEG 的一个法向量分别为m →=(x 1，y 1，z 1)，n →=(x 2，y 2，z 2)， 由{m →⋅EC →=83x 1+163y 1=0m →⋅EG →=−43x 1+43y 1+z 1=0，取y 1＝﹣1，得m →=(2，−1，4)；由{n →⋅EG →=−43x 2+43y 2+z 2=0n →⋅ED →=83x 2−83y 2=0，取y 2＝1，得n →=(1，1，0)．∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=12×21=√4242．∴二面角C ﹣GE ﹣D 的正弦值为√1−(√4242)2=√172242．20．（12分）某工厂生产一批零件，其直径X 满足正态分布X ～N （10，0.25）（单位：mm ）（1）现随机抽取15个零件进行检测，认为直径在（8.5，11.5）之内的产品为合格品，若样品中有次品则可以认定生产过程中存在问题．求上述事件发生的概率，并说明这一标准的合理性．（已知：P （μ﹣3σ＜X ＜μ+3σ）≈0.9973，0.997315≈0.9603）（2）若在上述检测中发现了问题，另抽取100个零件进一步检测，则这100个零件中的次品数最可能是多少？解：（1）因为X ～N （10，0.52），所以P （8.5＜X ＜11.5）＝0.9973．所以随机抽取15个零件进行检测，至少有1个次品的概率为1﹣0.997315≈0.0397， 如果生产状态正常，至少有一个次品的概率约为0.0397，该事件是小概率事件， 因此一旦发生这种状况，就有理由认定生产过程中存在问题，即这一标准是合理的． （2）次品的概率为1﹣0.9973＝0.0027，抽取100个零件进一步检测，设次品数为Y ，则Y ～B （100，p ），其中p ＝0.0027，故P （Y ＝k ）=C 100kp k （1﹣p ）100﹣k ，设次品数最可能是k 件，则{C 100k p k (1−p)100−k ≥C 100k−1p k−1(1−p)101−k C 100k p k (1−p)100−k ≥C 100k+1p k+1(1−p)99−k，解得101p ﹣1≤k ≤101p （k ∈N *）． 因为p ＝0.0027，所以10lp ＝0.2727，101p ﹣1＝﹣0.7273，故k ＝0． 故这100个零件中的次品数最可能是0．21．（12分）已知A （﹣2，0），B （2，0），P （x ，y ）满足P A 与PB 的斜率之积为−34． （1）求P 的轨迹C 的方程．（2）l 1，l 2是过C 内同一点D 的两条直线，l 1交椭圆于MN ，l 2交椭圆于EF ，且MNEF 共圆，求这两条直线斜率之和．解：（1）因为P （x ，y ）满足P A 与PB 的斜率之积为−34， 所以有y x+2⋅yx−2=−34(x ≠±2)⇒x 24+y 23=1(x ≠±2)；（2）设D （x 0，y 0），因为D 在C 内，所以x 024+y 023＜1⇒3x 02+4y 02＜12，设l 1的参数方程为：{x =x 0+tcosαy =y 0+tsinα，α为直线l 1的倾斜角，把{x =x 0+tcosαy =y 0+tsinα代入x 24+y 23=1(x ≠±2)中，得(3cos 2α+4sin 2α)t 2+t(6x 0cosα+8y 0sinα)+3x 02+4y 02−12=0，|t 1t 2|=|3x 02+4y 02−12|3cos 2α+4sin 2α=12−(3x 02+4y 02)3cos 2α+4sin 2α，即|DM|⋅|DM|=|t 1t 2|=12−(3x 02+4y 02)3cos 2α+4sin 2α，设直线l 2的倾斜角为β，上式用β代α， 同理可得|DE|⋅|DF|=|t 3t 4|=12−(3x 02+4y 02)3cos 2β+4sin 2β，因为l 1，l 2是过C 内同一点D 的两条直线，l 1交椭圆于MN ，l 2交椭圆于EF ，且MNEF 共圆， 所以由圆的相交弦定理可知：|DM|⋅|DN|=|DE|⋅|DF|⇒12−(3x 02+4y 02)3cos 2α+4sin 2α=12−(3x 02+4y 02)3cos 2β+4sin 2β，因为3x 02+4y 02＜12，所以有3cos 2α+4sin 2α＝3cos 2β+4sin 2β⇒3+sin 2α＝3+sin 2β⇒sin 2α＝sin 2β，因为α，β是直线的倾斜角，所以sin α≥0，sin β≥0， 所以sin 2α＝sin 2β⇒sin α＝sin β，因为l 1，l 2是过C 内同一点D 的两条直线，所以α≠β，因此由sin α＝sin β⇒α+β＝π⇒α＝π﹣β⇒tan α＝tan （π﹣β）⇒tan α＝﹣tan β， 设l 1，l 2的斜率为k 1，k 2，因此有k 1＝﹣k 2⇒k 1+k 2＝0， 即这两条直线斜率之和为0．22．（12分）已知函数f （x ）＝（π﹣x ）sin x ，x ∈[0，π]． （1）求f （x ）在（0，0）处的切线方程；（2）若f （x ）＝a 在定义域上有两解x 1，x 2，求证： ①a ＜2；②|x 1﹣x 2|≤π﹣a −aπ．解：（1）因为f ′（x ）＝﹣sin x +（π﹣x ）cos x ，所以f ′（0）＝π，即f （x ）在（0，0）处的切线方程为y ＝πx ；证明：（2）①易得f （0）＝0，f （π）＝0，因为f （x ）＝（π﹣x ）sin x ＝（π﹣x ）sin （π﹣x ）， 设t ＝π﹣x ∈[0，π]，所以f （x ）＝φ（t ）＝t sin t ，所以f （x ）＝a 在定义域上有两解x 1，x 2等价于φ（t ）＝a 在[0，π]上有两个不同的根t 1，t 2， 即直线y ＝a 与函数φ（t ）在[0，π]上的图象有两个交点，因为φ′（t ）＝sin t +t cos t ，易知当t ∈(0，π2]时，φ′（t ）＞0，当t ∈(π2，π]时， 设h （t ）＝φ′（t ）＝sin t +t cos t ，h ′（t ）＝2cos t ﹣t sin t ＜0， 而φ′(π2)=sin π2+π2cos π2=1＞0，φ′(π)=sinπ+πcosπ=−π＜0， 所以存在唯一的t 0∈(π2，π]，使得φ′（t 0）＝0，即sin t 0+t 0cos t 0＝0，故当t ∈(π2，t 0)时，φ′（t ）＞0，φ（t ）单调递增，t ∈（t 0，π）时，φ′（t ）＜0，φ（t ）单调递减， 综上可知，当t ∈（0，t 0）时，φ′（t ）＞0，φ（t ）单调递增，t ∈（t 0，π）时，φ′（t ）＜0，φ（t ）单调递减，f max ＝φ（t 0）＝t 0sin t 0，所以0≤a ＜f max ； 设F(x)=sinx −2x，x ∈[2，π)，F′(x)=cosx +2x 2=x 2cosx+2x2，设H （x ）＝x 2cos x +2， 所以H ′（x ）＝2x cos x ﹣x 2sin x ＝x （2cos x ﹣x sin x ）＜0， 因为π3＜2＜π，所以−1＜cos2＜−12，H(2)=4cos2+2＜0，从而，F （x ）在x ∈[2，π）上递减，故F （x ）≤F （2）＝sin2﹣1＜0，即sinx ＜2x， 当x ∈(π2，2)，显然sinx ＜2x ，故x ∈（0，π）时，sinx ＜2x 恒成立， 故f max ＝φ（t 0）＝t 0sin t 0＜2，即方程f （x ）＝a 在定义域上有两解x 1，x 2时，0≤a ＜2，原命题得证； ②由①知，设t ＝π﹣x ∈[0，π]，所以f （x ）＝φ（t ）＝t sin t ，所以f （x ）＝a 在定义域上有两解x 1，x 2等价于φ（t ）＝a 在[0，π]上有两个不同的根t 1，t 2， 不妨设t 1＜t 2，且0≤a ＜2，所以|x 1﹣x 2|＝|t 1﹣t 2|＝t 2﹣t 1，设s （t ）＝t sin t +π（t ﹣π），t ∈[0，π]，所以s ′（t ）＝t sin t +π（t ﹣π）＝sin t +t cos t +π≥π﹣t ≥0，所以，s （t ）≤s （π）＝0，即t sin t ≤﹣π（t ﹣π），又t sin t ≤t ，所以，a =t 1sint 1≤t 1⇒t 1≥a ，a =t 2sint 2≤−π(t 2−π)⇒t 2≤π−a π， 即t 2−t 1≤π−aπ−a ， 所以|x 1−x 2|≤π−a −aπ，原不等式得证．。
高一数学上学期第二次月考模拟试卷(第1章-第4章)(解析版)
高一数学上学期第二次月考模拟试卷一、单选题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2021·河北·唐山一中高一阶段练习）已知全集U R =，集合{}|11A x x =-<，25|11x B x x -⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，则()U A B ⋂=（ ）A ．{}12x x <<B ．{}12x x <≤C ．{}12x x ≤<D ．{}14x x ≤< 【答案】C【解析】由题意得{}{}{}|1111102A x x x x x x =-<=-<-<=<<，{}25410|1411x x B x x x x x x x ⎧⎫⎧⎫--=≥=≥=<≥⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭或， ∴{}14U B x x =≤<，∴(){}12U A B x x ⋂=≤<．故选C ．2．（2022·湖北宜昌·高一阶段练习）已知函数()y f x =的定义域为[3,5]-，则函数(21)()2f xg x x -=-的定义域是（ ） A ．[1,2)(2,3]- B ．[7,2)(2,9]- C ．[1,3]- D ．[7,9]- 【答案】A【解析】根据抽象函数定义域及分母不为0可得321520x x -≤-≤⎧⎨-≠⎩，解得[1,2)(2,3]x ∈-⋃，故定义域为[1,2)(2,3]-，故选：A.3．（2022·河北·石家庄市第十九中学高一阶段练习）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）A ．必要条件B ．充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】“攻破楼兰”不一定会“返回家乡”，不充分；“返回家乡”一定是在“攻破楼兰”的前提下，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件.故选：A ．4．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）1614年苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明了对数方法；1637年法国数学家笛卡尔开始使用指数运算；1770年瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数．若52x =，lg 20.3010≈，则x 的值约为（ ） A ．0.431 B ．0.430 C ．0.429 D ．2.322 【答案】A【解析】由52x =得：5lg 2lg 2lg 20.3010log 20.43110lg51lg 210.3010lg 2x ====≈≈--.故选：A. 5．（2021·河北·唐山一中高一阶段练习）若不等式20ax bx c ++>的解集为{}13x x -<<，则不等式20cxbx a ++<的解集为（ ）A ．132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．{|1x x <-或1}3x > C ．113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D ．{|3x x <-或1}2x >【答案】C【解析】不等式20ax bx c ++>的解集为{}13x x -<<，∴方程20ax bx c ++=的实数根为1-和3，且0<a ，1313b a c a ⎧-+=-⎪⎪∴⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得2b a =-，3c a =-， 则不等式20cx bx a ++<可化为2320ax ax a --+<，即23210x x +-<，即113x -<<，∴所求不等式的解集为113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.故选：C.6．（2021·山东·德州市陵城区翔龙高级中学高一阶段练习）设0.3log 3a =，132b -=，2log 3c =，则（ ）．A ．c b a >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．b c a >> 【答案】A【解析】由题得0.30.3log 3log 10a =<=，1030221b ，22log 3log 21c =>=，所以c b a >>.故选：A7．（2022·湖北宜昌·高一阶段练习）已知函数()f x 满足11()24(0)f x f x x xx ⎛⎫--=≠ ⎪⎝⎭，且()22[1,2],5()3log 15x f x a a ∃∈≥-，则a 的取值范围为（ ）A ．[1,16]-B ．[2,0)(15,32]-C ．[2,32]-D ．[1,0)(15,16]- 【答案】D【解析】由()1124f x fx x x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭①， 用1x -代换()()11240f x x x x f x ⎛⎫⎪⎝=⎭--≠中的x ，得()142xf f x x x ⎛⎫---=- ⎪⎝⎭②， 由2x ⨯-⨯①②，得()(2425f x x x ⎫-=+⎪⎭，令(0)x t t -=≠，所以(0)x t t =-≠所以()(242()5()f t t t ⎫=-+⎪-⎭即()2425f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．若()22[1,2],5()3log 15x f x a a ∃∈≥-则()2max 23()log 155f x a a ≥-因为()f x 在[]1,2上单调递增，所以()()max 1225f x f ==， 所以()222log 15401516a a a a -≤⇔<-≤，解得[1,0)(15,16]-．故选：D.8．（2022·广东·广州市第五中学高一阶段练习）已知函数()21,23,21x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪-⎩，若方程()()()210f x a f x a -++=⎡⎤⎣⎦有五个不同的实数根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()0,1 B ．()0,2 C ．()0,3 D ．()1,3 【答案】A【解析】由()()()210f x a f x a -++=⎡⎤⎣⎦可得()f x a =或()1f x =，当0x ≤时，()[)21120,1x x f x =-=-∈；当02x <≤时，()2121x xf x =-=-.作出函数()f x 、1y =、y a =的图象如下图所示：由图可知，直线1y =与曲线()y f x =有2个交点，即方程()1f x =只有2解， 所以，方程()f x a =有3解，即直线y a =与曲线()y f x =有3个交点，则01a <<.故选A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．（2022·江苏·南京市第十三中学高一阶段练习）已知实数a 满足14a a -+=，下列选项中正确的是（ ）A ．2214a a -+= B ．13a a --= C ．11226a a -+=D ．332211224a a a a--+=+【答案】AC【解析】()21122224,216,14a a a a a a a a ----+=∴+=++=∴+=，故选项A 正确；()()22112144412,23a a a a a a ----=+-=-=∴-=±B 错误；21111122222426,6a a a a a a --⎛⎫+=++=+=∴+= ⎪⎝⎭C 正确； ()3322222331112111a aa a a a a a ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝++⎭,33222111213a a a a a a ---+∴==++-,故选项D 错误．10．（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学高一阶段练习）已知0a >，0b >，给出下列四个不等式，其中正确的不等式有（ ）A ．2222a b a b ++≥B ．11()4a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭C ．111a a +>+D ．2abab a b>+【答案】BC【解析】对A ：因为0a >，0b >，且22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以2222a b a b ++≤，故选项A 错误；对B ：因为0a >，0b >，所以11()2224a b a b a b a abab b⎛⎫++=++≥+⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时等号成立，故选项B 正确；对C ：因为()()111112111111a a a a a a +=++-≥+⨯=+++，当且仅当111a a +=+， 即0a =时等号成立，但0a >，所以111a a +>+，故选项C 正确； 对D ：因为0a >，0b >，所以2a b ab +≥，所以(22a b ab ab ab ab +≥=，所以2abab a b≤+a b =时等号成立，故选项D 错误.故选：BC. 11．（2022·江苏省怀仁中学高一阶段练习）已知函数()[]()212,2f x x x =-+∈-，()[]()220,3g x x x x =-∈，则下列结论正确的是（ ）A ．[]2,2x ∀∈-，()f x a >恒成立，则实数a 的取值范围是(),3-∞-B ．[]2,2x ∃∈-，()f x a >恒成立，则实数a 的取值范围是(),3-∞-C ．[]0,3x ∃∈，()g x a =，则实数a 的取值范围是[]1,3-D ．[]2,2x ∀∈-，[]0,3t ∃∈，()()f x g t = 【答案】AC【解析】A 选项，[]2,2x ∀∈-，()f x a >恒成立，即()min f x a >，()f x 为减函数，所以()min ()23f x f a ==->，A 正确；B 选项，[]2,2x ∃∈-，()f x a >恒成立，即()max f x a >，所以()25f a -=>，B 不正确；C 选项，[]0,3x ∃∈，()g x a =，即()()max min g x a g x ≥≥，()g x 的图像为开口向上的抛物线，所以在对称轴1x =处取最小值，在离对称轴最远处3x =取最大值， 所以()()3311g a g =≥≥=-，C 正确；D 选项，[]2,2x ∀∈-，[]0,3t ∃∈，()()f x g t =，即要求()f x 的值域是()g x值域的子集，而()f x 的值域为[3,5]-，()g x 值域为[1,3]-，不满足要求，D 不正确；故选：AC.12．（2022·吉林松原·高一阶段练习）设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[]3.54-=-，[]2.12=，已知函数()e 11e 2x x f x =-+，则下列叙述中正确的是（ ） A ．()f x ⎡⎤⎣⎦是偶函数 B ．()f x 是奇函数 C ．()f x 在R 上是增函数 D ．()f x ⎡⎤⎣⎦的值域是{}1,0,1- 【答案】BC【解析】根据题意知，()e 11e 112111e 1e 221e x x x x xf x +-=-=-=-+++， ()e1101e 2f ⎡⎤⎡⎤=-=⎣⎦⎢⎥+⎣⎦，()1111e 12f ⎡⎤⎡⎤-=-=-⎣⎦⎢⎥+⎣⎦， 所以，()()11f f ≠-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦且()()11f f ≠--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以，函数()f x ⎡⎤⎣⎦既不是奇函数，也不是偶函数，A 错；()()()e 111111e 221e 2e 1e x x x x xf x f x ----=-=-=-=-+++，所以，函数()f x 为奇函数，B 对；因为函数1e xy =+为R 上的增函数，则函数11e xy =+为R 上的减函数， 故函数()1121e xf x =-+上的增函数，C 对；因为e 0x >，则1e 1x +>，所以，1011ex<<+，故()1122f x -<<， 所以，函数()f x ⎡⎤⎣⎦的值域为{}1,0-，D 错.故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（2021·山东·德州市陵城区翔龙高级中学高一阶段练习）若幂函数()222()1mmf x m m x +=--的图象不经过原点，则实数m 的值为________．【答案】-1【解析】因为函数()()2221mmf x m m x+=--是幂函数，所以211m m --=，解得1m =-或2m =；当1m =-时，()1f x x -=，图象不经过原点，满足题意；当2m =时，()8f x x =，图象经过原点，不满足题意；所以1m =-.故答案为：1-.14．（2022·湖北·沙市中学高一阶段练习）设函数3,1()2,1xx b x f x x -<⎧=⎨≥⎩，若5(())46f f =，则b =_______． 【答案】12【解析】因为3,1()2,1x x b x f x x -<⎧=⎨≥⎩，所以555()3662f b b =⨯-=-，当512b -<即32b >时，555(())()3()4622f f f b b b =-=--=，解得78b =，舍去；当512b -≥即32b ≤时，5255(())()2462b f f f b -=-==，解得12b =，故答案为：1215．（2022·湖北·荆门市龙泉中学高一阶段练习）已知0a >，0b >，且122243a b +=+-，则2a b +的最小值为________. 【答案】12【解析】∵0a >，0b >，且122243a b +=+-， ∴[]31222(2)(4)2(2)(4)224a b a b a b a b ⎛⎫+=++-=⨯++-+ ⎪+-⎝⎭()344(2)3444122242b a a b -+⎡⎤=⨯++≥⨯+=⎢⎥+-⎣⎦， 当且仅当44(2)24b a a b -+=+-，即14a =，172b =时取等号， 故2a b +的最小值为12．16．（2022·山东·聊城二中高一阶段练习）命题“x ∃∈R ，2290x mx ++<”为假命题，则实数m 的最大值为___________. 【答案】62【解析】因为命题“x ∃∈R ，2290x mx ++<”为假命题，则2720m ∆=-≤，解得6262m -≤因此，实数m 的最大值为62四、解答题：本小题共6小题，共70分。
基本初等函数中含有参数问题
x
x
,
x
0
0
，若
f
a
f
a ，则实数 a 的取值范围是（
）
A． 1, 0 0,1
B． 1, 0 1,
C． , 1 1,
D． , 1 0,1
【答案】B
【解析】
当 a 0 时有 log2 a log1 [(a)],a2 1,a 1, 或 a 1,a 1；当 a 0 时有
2
log1 (a) log2 (a),a2 1,1 a 1,1 a 0 .综上 ,故选 B.
【答案】 (,9]
2 与函数的奇偶性有关的求参数问题
已知函数的奇偶性求参数，通常是应用奇偶函数的定义，构建恒等式，或借助于函数图象的对称性解 题.学科+网
例 3 若函数 f (x) x ln(x a x2 ) 为偶函数，则 a= 【答案】1. 【解析】由题知 y ln(x a x2 ) 是奇函数，所以 ln(x a x2 ) ln(x a x2 ) = ln(a x2 x2 ) ln a 0 ，解得 a 1.
理，抓住基本初等函数的图象与性质，从“数”与“形”两个方面，进行全面系统复习，有助于适应高考的要求
，获取高考高分.
1 集合关系下求参数问题
已知集合之间的关系求参数的范围，是常见题型之一，此类问题常常与函数相结合，其解法通常是借
助于数轴，构建不等式（ 组）或应用函数的性质求解.
例 1【2017 江苏，1】已知集合 A {1, 2}， B {a, a2 3} ，若 A B {1} 则实数 a 的值为
3 与函数的单调性有关的求参数问题
已知函数的单调性求参 数，通常是应用增函数、减函数的定义构建不等式（组），或应用分离参数法，
河北省冀州中学高三第一次月考数学(文)试卷
）
x
y
0 2.2
1 4.3
3 4.8
4 6.7 ）
（A） 2.6 （B） 2.9 （C） 2.8 （D） 2.2 6.若 a,b∈R，且 a>b，则下列不等式中恒成立的是（ （A） a 2 b 2
1 1 a （B） ( ) a ( )b （C） lg(a b) 0 （D） 1 2 2 b 7.已知抛物线关于 y 轴对称，它的顶点在坐标原点 O ，并且经过点 M ( x0 ,1) ，若点 M
x2
曲线 Γ 的方程为 2 ＋y ＝1． 2 2 5 2 2 （Ⅱ）由 cos ∠BAP＝ 3 ，|AP|＝2 2，得 P ( 3 ， 3 )． 2 于是直线 AP 方程为 y＝ 4 (x＋1)．
2
„5 分 „8 分
x 2 ＋y ＝1， 7 由 解得 5x ＋2x－7＝0，x ＝1，x ＝－ 5 ． 2 y＝ 4 (x＋1)，
冀州中学高三第一次月考数学试卷（文）答案
BADAA CBCDBDD 17.解: （Ⅰ） -2 364
1,1
„„„„„„„„„„„4 分
m n 1 , 2 sin B 3 cos B 2 cos2 B 1 ,
sin( 2 B
3 sin 2B cos2B 2 ,
11.如果关于 x 的方程 ① F ( x) f ( x) ； ② 函 数 F ( x) 是 奇 函 数 ； ③ 当 a 0 时 ， 若 mn 0 ， m n 0 ， 总 有
F (m) F (n) 0 成立，其中所有正确命题的序号是（ （A）② （B）①② （C）③
二、填空题：本大题 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分．
河北省冀州中学高三第一次月考试卷 数学（文）
河北省衡水中学2021届高三上学期二调考试语文试题Word版含解析
衡水中学2021-2021 学年度上学期高三年级二调考试语文试卷本试卷考试时间150分钟，总分值150分。
考前须知：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡上。
2.答复选择题时,选出每题答案后,用铅笔把答题卡，上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
答复非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束一定时间后,通过扫描二维码查看讲解试题的视频。
一、文言文阅读(19分)阅读下面的文言文,完成1～4题。
邹智,字汝愚,合州人。
年十二能文。
家贫,读书焚木叶继晷者三年,举成化二十二年乡试．．第一。
时帝益倦于政,而万安、刘吉、尹直居政府,智愤之。
道出三原,谒致仕尚书王恕,慨然曰：“治天下,在进君子退小人。
方今小人在位,毒痛四海,而公顾屏弃田里。
智此行非为科名,欲上书天子，矫世变俗，拯斯民于涂炭耳。
〞恕奇其言,笑而不答。
明年登进士,改庶吉士,遂上疏曰：“陛下于辅臣遇事必咨殊恩异数必及恋云任矣然或进退一人处分一事往往隆中旨使一二小人阴执其柄是既任之而又疑之也陛下岂不欲推诚待物哉?〞疏入,不报。
智既慷慨负奇,其时御史汤鼐、中书舍人吉人、进士李文祥亦并负意气,智皆与之善。
因相与品核公卿,裁量人物。
未几,孝宗嗣位，弊政多所更。
智喜,以为其志且得行,复上书曰：“少师安持禄怙宠,少保吉附下罔上,太子少保直挟诈怀奸,世之小人也。
陛下留之，那么君德必不就，朝政必不修,此弊所当革者也。
致仕尚书王恕忠亮可任大事,尚书王兹刚毅可寝大奸,都御史彭韶方正可决大疑,世之君子也。
〞帝得疏,颔之。
居无何,安、直相继罢斥。
而吉任寄如故,衔智刺骨。
鼐常朝当侍班．．,智告之曰:“祖宗盛时,御史侍班,得面陈政务得失,立取进止。
自后惟退而具疏,君幸值维新之日,盍仿先朝故事行之。
〞及恕赴召至京,智往谒曰：“后世人臣不获时见天子,故事多苟且。
愿公且勿受官,先请朝见,取时政不善者历陈之，力请除革,而后拜命,庶其有济。
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河北冀州中学2015—2016学年度上学期第二次月考高三年级往届文科数学试题考试时间120分钟 试题分数150分第I 卷一、选择题：本大题共l2个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1． 如图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．()U AC B B ．()U B C A C ．()U C A BD ．()U C A B2. 设n S 是等差数列{}n a 前 n 项和，已知263,11a a ==，则7S 等于( )A ．63B ．49C ．35 D. 133. 已知,a b →→是夹角为120的单位向量，当向量a b λ→→+与2a b →→-垂直时, λ的值为( ) A.45 B. 45- C. 54 D. 54- 4.下列说法中错误．．的个数是（ ） ①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②命题“2R,0x x x ∀∈-≤”的否定是“2R,0x x x ∃∈-≥”； ③“矩形的两条对角线相等”的逆命题是真命题；④“x ≠3”是“|x |≠3”成立的充分条件．A ．1B ．2C ．3D ．4 5．若角α的终边上有一点P （－1，m ），且sin cos a am 的值为( ) A、、C、 D6．已知等差数列{}n a 中，39a a =,公差0d <；n S 是数列{}n a 的前n 项和，则( )A. 56S S =B. 56S S >C. 56S S <D. 60S =7. 将函数sin y x =的图像上所有的点向右平移10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 （ ）A ．sin(2)10y x π=-B . y =1sin()210x π-C . 1sin()220y x π=- D .y =sin(2)5x π-8. 1e →、2e →是平面内不共线的两向量，已知12AB e ke →→→=-，122CB e e →→→=+，123CD e e →→→=-，若D B A ,,三点共线，则k 的值是 （ ）A ．2-B ．2C ． 1-D ．1 9.已知函数sin cos y x a x =+的图象关于53x π=对称，则函数sin cos y a x x =+的图象的一条对称轴是 （ ）A. 3x =πB. 23x =π C. x =π D. 116x =π10.已知A 、B 、C 是直线l 上不同的三个点，点O 不在直线l 上，则使等式20x O A x O B B C ++=成立的实数x 的取值集合为 （ ） A.{}1- B. {}0,1- C.{}0 D. ∅11.在各项均为正数的等比数列}{n a 中，213574()()4a a a a a ++=，则下列结论中正确的是( ）A ．数列}{n a 是递增数列；B ．数列}{n a 是递减数列；C ．数列}{n a 有可能是递增数列也有可能是递减数列．D ．数列}{n a 既不是递增数列也不是递减数列；12. 已知函数f(x)＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6 对x∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<f(π)，则下列结论正确的是( ) A ．[0,]6π是f(x)的单调递增区间 B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π10>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5 C ．f(x)是奇函数 D ．f ⎝⎛⎭⎪⎫1112π＝－1第Ⅱ卷二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题纸中的横线上). 13. 如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=，则λ=___ ．14. 在△ABC 中，若b+c=2a,则3sinA =5sinB ,则角C=__________ 15. 若()1tan lg 10,tan lg a a αβ⎛⎫== ⎪⎝⎭,且4παβ+=，则实数a 的值为________16. 等比数列{}n a 中，245S S =,则5351a a a a +-= .三、解答题（本大题包括6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）. 17.（本小题满分10分）已知m ∈R ，设命题P ：2,10x R mx mx ∀∈++>;命题Q ：函数3423)(2+++=m mx x x f 有两个不同的零点.求使“P ∨Q”为假命题的实数m 的取值范围.18. （本小题满分12分）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n =2n+c. (1)求c 的值并求数列{a n }的通项公式; (2)若b n =S n +2n+1，求数列{b n }的前n 项和T n .19. （本小题满分12分）设ABC ∆的三边为,,a b c 满足 （Ⅰ）求A 的值；（Ⅱ）求222cos 22B C+的取值范围．20. （本小题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＋n ＝2a n (n ∈N *)． (1)证明：数列{a n ＋1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝(2n ＋1)a n ＋2n ＋1，求数列{b n }的前n 项和为T n .21．（本小题满分12分）如图，函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,2A πωϕ>>≤）的图象与坐标轴的三个交点为,,P Q R ，且(1,0)P ,(,0)Q m (0)m >， 4PQR π∠=，M 为QR 的中点，PM =（Ⅰ）求m 的值及()f x 的解析式；（Ⅱ）设PRQ θ∠=，求tan θ．22. （本小题满分12分）已知正项数列{}n a ，{}n b 满足：12 3,6a a ==，{}n b 是等差数列，且对任意正整数n ，都有n b1n b +成等比数列．(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)设n S ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n，试比较2n S 与2112nn b a ++-的大小．上学期第二次月考高三年级往届文科数学试题答案A 卷 1-12 ACACC DDBAA CDB 卷 1-12 BBCCB ABBDA DA 13. 2 14.23π 15. 110或1 16. 34-17.解：命题P 中，当0m =时，符合题意。
当0m ≠时，240m m m >⎧⎨∆=-<⎩，则04m <<， 所以命题P 为真，则04m ≤< …………………4分命题Q 中，2412160m m ∆=--> 则1m <-或4m >。
…………6分 P Q ∨为假命题，则命题P,Q 均为假命题。
………………………………8分 即P ⌝：0m <或4m ≥，Q ⌝：14m -≤≤10m ∴-≤<或4m = …………………………………………10分18.解：(1)当n=1时，a 1=S 1=2+c,当n ≥2时，a n =S n -S n-1=2n -2n-1=2n-1,∴n n 1*2c,n 1a 2,n 2n N-+=⎧=⎨≥∈⎩，. ∵数列{a n }为等比数列, ∴a 1=2+c=1,∴c=-1.∴数列{a n }的通项公式n 1n a 2-=.………………………………6分 (2)∵b n =S n +2n+1=2n+2n,∴T n =(2+22+ (2))+2(1+2+…+n)=2(2n-1)+n(n+1)=1222n n n +-++………12分 19.解：（1）cos cos b c a B a C +=+，所以sin sin sin cos sin cos B C A B A C +=+， 所以sin()sin()sin cos sin cos A C A B A B A C +++=+，所以sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos sin cos A C A C A B A B A B A C +++=+所以cos sin cos sin 0A C A B +=， 即cos (sin sin )0A C B += 又sin sin 0C B +> 所以cos 0A =，所以π2A =………………………………6分（2… 8分分n n n n 所以S n －1＝2a n －1－(n －1)(n ≥2，n ∈N *)． 两式相减化简，得a n ＝2a n －1＋1.所以a n ＋1＝2(a n －1＋1)(n ≥2，n ∈N *)． 所以数列{a n ＋1}为等比数列．因为S n ＋n ＝2a n ，令n ＝1，得a 1＝1.a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2n ，即a n ＝2n －1. ……………………………6分 (2)因为b n ＝(2n ＋1)a n ＋2n ＋1，所以b n ＝(2n ＋1)·2n.所以T n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n －1)·2n －1＋(2n ＋1)·2n，①2T n ＝3×22＋5×23＋…＋(2n －1)·2n ＋(2n ＋1)·2n ＋1，② ①－②，得－T n ＝3×2＋2(22＋23＋…＋2n )－(2n ＋1)·2n ＋1＝6＋2×22－2n ＋11－2－(2n ＋1)·2n ＋1＝－2＋2n ＋2－(2n ＋1)·2n ＋1＝－2－(2n －1)·2n ＋1.所以T n ＝2＋(2n －1)·2n ＋1. ……………………………12分 21.解：（Ⅰ）4PQR π∠=，OQ OR ∴=， (,0)Q m ，(0,)R m ∴-又M 为QR 的中点，(,)22m mM ∴-，又PM ==2280m m --=，4m =，2m =-（舍去），……3分 (0,4)R ∴-，(4,0)Q ，32T =，6T =，26πω=，3πω= …………4分 把(1,0)P 代入()sin()3f x A x πϕ=+，sin()03A πϕ+=，2πϕ≤，3πϕ∴=- ……………………5分把(0,4)R -代入()sin()33f x A x ππ=-，sin()43A π-=-，A =……6分()f x 的解析式为()sin()33f x x ππ=-所以m 的值为4，()f x 的解析式为 ()sin()33f x x ππ=- …………7分（Ⅱ）解法一：△PQR 中，PR = …………………………8分由正弦定理得：sin sin PQ PRPQRθ=∠，3sin θ== ………10分θ为锐角，cos θ=……………………11分 3tan 5θ∴=…………………………12分 解法二：在△OPR 中，4ORP πθ∠=-，tan OPORP OR∠=，1tan()44πθ-= ………………………………9分1tan 11tan 4θθ-=+，3tan 5θ= ……………………………12分22.解：(1)∵对任意正整数n ，都有b n ，a n ，b n ＋1成等比数列，且数列{a n }，{b n }均为正项数列，∴a n ＝b n b n ＋1(n ∈N *)． 由a 1＝3，a 2＝6得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1b 2＝3，a 2＝b 2b 3＝6，又{b n }为等差数列，即有b 1＋b 3＝2b 2， 解得b 1＝2，b 2＝322，∴数列{b n }是首项为2，公差为22的等差数列． ∴数列{b n}的通项公式为)12n n b +=(n ∈N *)．…………4分 (2)由(1)得，对任意n ∈N *，()()1122n n n n n a b b +++==，从而有()()1212n a n n =++＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2，∴1111112233412n S n n ⎛⎫=-+-++-⎪++⎝⎭＝1－2n ＋2. …………8分 ∴2S n ＝2－4n ＋2. 又2－b 2n ＋1a n ＋1＝2－n ＋2n ＋3，∴2S n －⎝ ⎛⎭⎪⎫2－b 2n ＋1a n ＋1＝n ＋2n ＋3－4n ＋2＝()()2823n n n -=++. ∴当n ＝1，n ＝2时，2S n <2－b 2n ＋1a n ＋1；当n ≥3时，2S n >2－b 2n ＋1a n ＋1. …… …… …… …………12分。