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人教新课标版数学高二必修五练习人教A版必修5综合质量评估(含答案解析)

综合质量评估第一～三章 (120分钟 150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.如果a<0,b>0，那么，下列不等式中正确的是（）()(()()2211A B C a b D a b a b< < >2.在△ABC 中，∠A=60°，a =b=4，那么满足条件的△ABC （） (A)有一个解 (B)有两个解 (C)无解 (D)不能确定3.已知数列{a n }满足a 1=0,a n+1=a n +2n ，那么a 2 012的值是（） (A)2 0122 (B)2 011×2 010 (C)2 012×2 013 (D)2 011×2 0124.（2011·辽宁高考）△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，2asinAsinB bcos A +=则ba=（） ()()((A B C D 5.已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3=5，a 7a 8a 9=10,则a 4a 5a 6=（）()()()()A B 7C 6D6.设a,b, c ∈(-∞,0)，则111a ,b ,c bca+++（） (A)都不大于-2(B)都不小于-2 (C)至少有一个不大于-2 (D)至少有一个不小于-27.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，若(a 2+c 2-b 2则角B 的值为（）()()()()52A B C D 636633ππππππ 或或 8.已知x>0,y>0，2x+y=2,c=xy,那么c 的最大值为（）()()()()11A 1BCD 2249.在△ABC 中，关于x 的方程(1+x 2)sinA+2xsinB+(1-x 2)sinC=0有两个不相等的实根，则A 为（） (A)锐角 (B)直角 (C)钝角 (D)不能确定10.已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 2·a 3=2a 1,且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5=（）(A)35 (B)33 (C)31 (D)2911.已知各项均为正数的等差数列{a n }的前20项和为100，那么a 3·a 18的最大值是（）(A)50 (B)25 (C)100 (D)12.已知等差数列{a n }中，|a 3|=|a 9|，公差d<0,则使等差数列{a n }前n 项和S n 取最大值的正整数n 是（）(A)4或5 (B)5或6 (C)6或7 (D)8或9 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,请把答案填在题中的横线上）13.数列{a n }的通项公式为a n =2n-49，S n 达到最小时,n 等于__________.14.在△ABC 中，A ，B ，C 分别为a,b,c 三条边的对角，如果b=2a,B=A+60°，那么A=________.15.若负数a,b,c 满足a+b+c=-1,则111a b c++的最大值是__________. 16.不等式ax 2+4x+a>1-2x 2对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是_______.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 成等差数列，并且sinA ·sinC=cos 2B ，三角形的面积ABC S =求三边a,b,c.18.(12分）（2011·福建高考）已知等差数列{a n }中，a 1=1,a 3=-3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项的和S k =-35,求k 的值.19.（12分）（2011·山东高考）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,已知cosA 2cosC 2c a.cosB b--=(1)求sinCsinA的值；（2）若1cosB ,4=b=2，求△ABC 的面积S.20.(12分）已知f(x)=ax 2+(b-8)x-a-ab,当x ∈(-3,2)时，f(x)>0；x ∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时，f(x)<0. （1）求y=f(x)的解析式；（2）c为何值时，ax2+bx+c≤0的解集为R.21.(12分）某公司计划在2012年内同时出售空调机和洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大.已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如表：试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？22.（12分）已知等差数列{a n}满足：a3=7,a5+a7=26.{a n}的前n项和为S n.(1)求a n及S n;(2)令n2n1ba1=-(n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n.答案解析1.【解析】选A.如果a<0,b>0，那么110,0,ab<>11,a b∴<故选A. 2.【解析】选C.根据正弦定理得bsinA sinB 1,a ===>故无解.故选C.3.【解析】选D.由已知a n+1-a n =2n,∴a 2-a 1=2×1,a 3-a 2=2×2,a 4-a 3=2×3,…,a n -a n-1=2(n-1),以上各式两端分别相加得：()()()n 1n 2 012a a 2123n 1n n 1.a n n 1.a 2 011 2 012.-=++⋯+-=-=-∴=⨯［］即故选D.4.【解析】选D.2asinAsinB bcos A +=2sinAsinAsinB sinBcos A b sinBsinB a sinA∴+=∴=∴==故选D. 5.【解析】选A.18789123a a a q 2.a a a== ()99456123q a a a a a a q ∴===故选A.6.【解题提示】解答本题关键是分析111a b c bca+++++的最大值.【解析】选C.111a b c 6,b c a+++++≤- 三者不能都大于-2.故选C.7.【解析】选D.在△ABC 中，根据b 2=c 2+a 2-2cacosB 得a 2+c 2-b 2=2cacosB ，代入已知得sinB 2∴=2B B ,33ππ∴==或故选D.8.【解析】选B.由已知，22x y =+≥=1c ,2∴≤故选B.9.【解析】选A.4sin 2B-4(sin 2A-sin 2C)>0, 即sin 2B+sin 2C>sin 2A,由正弦定理得b 2+c 2>a 2, 再由余弦定理得cosA>0,所以A 为锐角，故选A. 10.【解析】选C.设公比为q,由题意知2323113647113133311a a a q 2a .5a 2a a q 2a q 2a q 25a q 2a q q 2⎧==⎪⎨+=+=⎪⎩⎧=⎪⎨+=⎪⎩即解得11q .2a 16⎧=⎪⎨⎪=⎩故55116(1)2S 31 .112⨯-==-故选C.11.【解析】选B.由题可知()3181202031820a a 20a a )S 100,a a 10,22++===∴+=（2318318a a a a ()25.2+∴≤=故选B.12.【解题提示】解答本题的关键是分析出数列{a n }第几项开始有符号发生变化.【解析】选B.由|a 3|=|a 9|得()()()22111n 1a 2d a 8d .a 5d.a a n 1d n 6d,d 0,+=+∴=-=+-=-<（）∴当n ≤6时，a n ≥0，当n>6时，a n <0, ∴前5项或前6项的和最大，故选B. 13.【解析】∵a n =2n-49,∴{a n }是等差数列，且首项为-47，公差为2，由()n n 1a 2n 490,a 2n 1490-=->⎧⎪⎨=--≤⎪⎩，解得n=25. ∴从第25项开始为正，前24项都为负数，即前24项之和最小. 答案：24【方法技巧】求等差数列前n 项和最值的方法：对于等差数列，当公差不等于零时，则其为单调数列，所以其前n 项和往往存在最大值或最小值，常用的方法有：(1)通项公式法：先求出通项公式，通过通项公式确定等差数列的单调性，再求其正项或负项为哪些项，从而确定前n 项和的最值. (2)二次函数法：根据等差数列的前n 项和S n 是关于项数n 的一元二次函数，从而可直接配方，求其最值，但应注意项数n 为正整数，由此，本题还可有以下解法：方法二,a n =2n-49，a 1=-47<0,公差d=2>0,∴数列{a n }为递增等差数列. 令a n =0，得1n 24.2=∴该数列中，a 1,a 2,…,a 24<0，a 25>0,…… ∴数列{a n }的前24项和最小，故n=24. 方法三，可知数列{a n }为等差数列，a 1=-47.()()1n n 222n a a n 472n 49S 22n 48n n 2424,+-+-∴===-=--（）∴当n=24时，S n 取最小值，故n=24. 14.【解析】∵b=2a,B=A+60°,∴sinB=2sinA, sinB=sin(A+60°),∴2sinA=sin(A+60°).12sinA sinA tanA 223=+∴=又∵0°<A<180°,∴A=30°. 答案：30°15.【解题提示】解答本题一方面要注意常值代换的应用，另一方面要注意利用不等式的性质化“负”为“正”. 【解析】∵a+b+c=-1,∴1=-a-b-c.111a b c a b c a b ca b c a b cb ac a c b3()()()a b a c b c32229.---------∴++=++=--+-+-+≤----=-当且仅当a=b=c=13-时取等号. 答案：-916.【解析】不等式ax 2+4x+a>1-2x 2对一切x ∈R 恒成立，即（a+2)x 2+4x+a-1>0对一切x ∈R 恒成立，若a+2=0，则4x-3>0,显然不恒成立；若a+2≠0,则a 200+>⎧⎨∆<⎩，即()()2a 2044a 2a 10+>⎧⎪⎨-+-<⎪⎩，解得a>2. 答案：(2,+∞)17.【解析】∵角A ，B ，C 成等差数列， ∴A+C=2B ，A+B+C=180°，∴B=60°，所以21sinAsinC cos 60.4=︒= ①又ABC 1S acsinB,2==得ac=16. ② 由①②及a csinA sinC=得：22ac a c ()()64,sinAsinC sinA sinCa c 8.sinA sinC asinBb 8sinB 8sin60sinA ========︒=所以又222a c b 1cosB ,2ac 2+-== ()()222222a cb ac,ac b 3ac,a c 484896,a c ∴+-=+-=∴+=+=∴+=③联立③与②得a 2,c 2,a 2,c 2.====或18.【解析】（1）设等差数列{a n }的公差为d,则a n =a 1+(n-1)d,由a 1=1,a 3=-3可得1+2d=-3.解得d=-2. 从而a n =1+(n-1)×(-2)=3-2n ，n ∈N *. （2）由（1）可知a n =3-2n.()2n n 132n S 2n n .2+-∴==-［］由S k ＝-35可得2k-k 2=-35. 即k 2-2k-35=0,解得k=7或k=-5. 又k ∈N *，故k=7.19.【解析】（1）由正弦定理设a b ck,sinA sinB sinC=== 则2c a 2ksinC ksinA 2sinC sinA ,b ksinB sinB ---==cosA 2cosC 2sinC sinAcosB sinB--∴=即（cosA-2cosC ）sinB=(2sinC-sinA)cosB, 化简可得sin(A+B)=2sin(B+C)，又A+B+C=π，∴sinC=2sinA.因此sinC2.sinA= （2）由sinC2sinA=得c=2a.由余弦定理b 2=a 2+c 2-2accosB 及1cosB ,b 2.4==22214a 4a 4a .a 1.c 2.4=+-⨯==得解得从而又∵cosB=14且0<B<π,sinB 4∴=因此11S acsinB 122244==⨯⨯⨯= 20.【解析】（1）由x ∈(-3,2)时，f(x)>0;x ∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时，f(x)<0知：-3，2是方程ax 2+(b-8)x-a-ab=0的两根且a ＜0,()2b 832a 3,a a ab b 5.32a f x 3x 3x 18.-⎧-+=-⎪=-⎧⎪∴⎨⎨--=⎩⎪-⨯=⎪⎩∴=--+得（2）由a<0，知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向下.要使-3x 2+5x+c ≤0的解集为R ，只需Δ≤0,即25+12c ≤0,得25c .12≤-∴当25c 12≤-时，ax 2+bx+c ≤0的解集为R. 21.【解析】设空调机、洗衣机的月供应量分别是x 台,y 台，总利润是z ，则z=6x+8y由题意有30x 20y 3005x 10y 110x 0y 0+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩且x, y 均为整数. 作出可行域如图.由图知直线31y x z 48=-+过M （4，9）时，纵截距最大.这时z 也取最大值z max =6×4+8×9=96(百元）.故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9 600元.22.【解题提示】第（1）题可以列方程组求出首项和公差,从而易求a n ,S n .第（2）题要注意对b n 的化简变形和裂项求和法的应用.【解析】（1）设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d,由于a 3=7,a 5+a 7=26,∴a 1+2d=7,2a 1+10d=26.解得a 1=3,d=2.由于a n =a 1+(n-1)d,()1n n n a a S .2+=∴a n =2n+1,S n =n(n+2),n ∈N *.(2)∵a n =2n+1,()2n a 14n n 1.∴-=+()n 1111b ().4n n 14n n 1∴==-++ 故T n =b 1+b 2+…+b n()111111(1)4223n n 111n (1).4n 14n 1=-+-+⋯+-+=-=++ ∴数列{b n }的前n 项和()*n n T n N .4n 1=∈+，。

人教A版高中数学必修五必修五综合测试题 (第三套).docx

必修五综合测试题 (第三套)一．选择题:1. 已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是( )A . 15B . 30 C. 31 D. 642. 若全集U=R,集合M ＝{}24x x >，S ＝301x xx ⎧-⎫>⎨⎬+⎩⎭，则()U M S I ð=( ) A.{2}x x <- B. {23}x x x <-≥或 C. {3}x x ≥ D. {23}x x -≤<3. 若1＋2＋22＋ (2)>128，n ÎN*，则n 的最小值为( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 在ABC V 中，60B =o ，2b ac =，则ABC V 一定是( )A 、等腰三角形B 、等边三角形C 、锐角三角形D 、钝角三角形 5. 若不等式022>++bx ax的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x ，则a －b 值是( )A.－10B.－14C. 10D. 14 6. 在等比数列{a n }中，4S =1，8S =3，则20191817a a a a +++的值是( )A ．14B ．16C ．18D ．207．已知12=+y x ，则y x 42+的最小值为( ) A ．8 B ．6 C ．22 D ．238. 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有白色地面砖的块数是( ) A.42n +B.42n -C.24n +D.33n +9. 已知变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥<+≤+-12553034x y x y x ，目标函数是y x z +=2，则有( )A ．3,12min max ==z zB ．,12max=z z 无最小值C ．z z ,3min=无最大值 D ．z 既无最大值，也无最小值10．在R 上定义运算:(1)x y x y ⊗⊗=-，若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．11a -<< B ．02a << C ．1322a -<< D ．3122a -<< 二填空题： 11. 在数列{}n a 中，11a =，且对于任意正整数n ，都有1n n a a n +=+，则100a ＝______第1个第2个第3个12．在⊿ABC 中，5:4:21sin :sin :sin=C B A ，则角A =13．某校要建造一个容积为83m ，深为2m 的长方体无盖水池，池底和池壁的造价每平方米分别为240元和160元，那么水池的最低总造价为元。

2021人教版数学同步a版必修5模块练习题--2.3 等差数列的前n项和

2.3 等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和公式基础过关练题组一等差数列前n项和的有关计算1.在等差数列{a n}中,已知a1=10,d=2,S n=580,则n=( )A.10B.15C.20D.302.已知一个等差数列共n项,且其前四项之和为21,末四项之和为67,前n项之和为286,则项数n为( )A.24B.26C.25D.283.设{a n}为等差数列,公差d=-2,S n为其前n项和.若S10=S11,则a1=( )A.18B.20C.22D.244.(2019福建福州长乐高中、城关中学、文笔中学高二期末)等差数列{a n}的前n 项和为S n,且S5=6,a2=1,则公差d等于( )A.15B.35C.65D.25.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a6=S3=12,则{a n}的通项公式a n= . 题组二数列的前n项和S n与a n的关系6.已知数列{a n}的前n项和S n=n2,则a n=( )A.nB.n2C.2n+1D.2n-17.在各项均大于零的数列{a n}中,首项a1=1,前n项和S n满足S n√S n-1-S n-1√S n=2√S n S n-1(n∈N*且n≥2),则a81=( )A.638B.639C.640D.6418.已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1,则a6+a7+…+a10的值为.9.(1)已知数列{a n}的前n项和为S n=2n2+n+3,求数列{a n}的通项公式;(2)设各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n满足S n=14(a n+1)2,求a n.题组三裂项相消法求和10.已知数列{a n}的通项公式为a n=1n(n+1),则其前10项和为( )A.910B.911C.1112D.101111.已知数列{a n}的通项公式为a n=√n+1+√n,则其前n项和S n= .12.已知数列{a n}的通项公式为a n=lg n+1n,则其前n项和S n= .13.已知等差数列{a n}满足a3=7,a5+a7=26,{a n}的前n项和为S n.(1)求a n及S n;(2)令b n=1a n2-1(n∈N*),求数列{b n}的前n项和T n.能力提升练一、选择题1.(2020吉林省实验中学高一期末,★★☆)记等差数列{a n}的前n项和为S n.若a5=3,S13=91,则a1+a11=( )A.7B.8C.9D.102.(2020湖北荆州中学、宜昌一中高二期末联考,★★☆)已知数列{a n}满足2a n=a n-1+a n+1,S n是其前n项和,若a2,a2 019是函数f(x)=x2-6x+5的两个零点,则S2 020的值为( )A.6B.12C.2 020D.6 0603.(2018云南玉溪第一中学高三月考,★★☆)已知数列{a n}的首项a1=1,对于任意m,n∈N*,有a n+m=a n+3m,则数列{a n}前5项的和S5=( )A.121B.25C.31D.354.(2020山东日照高二月考,★★☆)已知数列{a n}的前n项和S n=n2-4n+2,则|a1|+|a2|+…+|a10|等于( )A.66B.65C.61D.565.(★★☆)设公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n,若a4=2(a2+a3),则S7S4=( )A.74B.145C.7D.146.(2019广东佛山一中期末,★★☆)某企业为节能减排,用9万元购进一台新设备用于生产.第一年需运营费用2万元,从第二年起,每年运营费用均比上一年增加2万元,该设备每年生产的收入均为11万元.设该设备使用了n(n∈N*)年后,盈利总额达到最大值(盈利额等于收入减去成本),则n等于( )A.4B.5C.6D.77.(★★☆)已知数列{a n}满足a n+1+(-1)n a n=2n-1,S n为其前n项和,则S60=( )A.3 690B.1 830C.1 845D.3 660二、填空题8.(2019江苏南京高三上学情调研,★★☆)记等差数列{a n}的前n项和为S n,若a m=10,S2m-1=110,则m的值为.9.(2020广东深圳宝安高二期末,★★☆)若等差数列{a n}满足a5=11,a12=-3,且{a n}的前n项和S n的最大值为M,则lg M= .10.(2020吉林松原扶余一中高一期末,★★☆)已知单调递减数列{a n}的前n项和为S n,a1≠0,且4S n=2a n-a n2(n∈N*),则a5= .三、解答题11.(2020湖北荆门高二期末,★★☆)已知数列{a n}的前n项和为S n,且(a n+1-a n)2+2=3(a n+1-a n),a50=1,求S100的最小值.12.(2020安徽合肥一中、合肥六中高一期末,★★☆)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S2=8,a3+a8=2a5+2.(1)求a n ;(2)设数列{1S n}的前n 项和为T n ,求证:T n <34.13.(★★☆)已知函数f(x)=14x +m(m>0),当x 1,x 2∈R 且x 1+x 2=1时,总有f(x 1)+f(x 2)=12.(1)求m 的值;(2)设数列{a n }满足a n =f(0)+f (1n )+f (2n )+…+f (n -1n)+f(1),求数列{a n }的前n 项和S n .14.(2019山东济宁一中月考,★★☆)数列{a n }中,a 1=1,当n≥2时,其前n 项和S n满足S n 2=a n ·(S n -12).(1)求S n的表达式;(2)设b n=S n,求数列{b n}的前n项和T n.2n+115.(2018黑龙江哈尔滨第六中学高三下考前押题卷,★★★)数列{a n}中,S n为其前n项和,且2S n=na n+n(n∈N*).(1)求证:{a n}是等差数列;(2)若a2=2,b n=n+2,T n是{b n}的前n项和,求T n.a n a n+12n第2课时等差数列前n项和的性质及应用基础过关练题组一等差数列前n 项和的性质1.已知等差数列{a n }中,S n 是其前n 项和,a 1=-11,S 1010-S 88=2,则S 11=( )A.-11 B .11 C.10 D.-102.一个等差数列共有10项,其奇数项之和是12.5,偶数项之和是15,则它的首项与公差分别是( ) A.12,12B.12,1 C.1,12D.12,23.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 7a 5=913,则S 13S 9= .4.已知等差数列{a n }的前10项和为30,前30项的和为10,则前40项的和为 .题组二等差数列前n 项和的函数属性5.已知数列{a n }中,a 1=10,a n+1=a n -12,则它的前n 项和S n 的最大值为 . 6.在等差数列{a n }中,a 1>0,公差d<0,a 5=3a 7,且其前n 项和为S n ,则S n 取最大值时,n= .7.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,公差为d. (1)若S 2 016>0,S 2 017<0,且S k 最大,则整数k= ; (2)若a 1=25,S 9=S 17<0,且S k 最大,则整数k= . 8.已知{a n }是等差数列,且a 2=1,a 5=-5. (1)求{a n }的通项公式a n ;(2)求{a n }的前n 项和S n 的最大值.题组三等差数列的综合问题9.数列{a n}的首项为3,{b n}为等差数列,且b n=a n+1-a n(n∈N*),若b3=-2,b10=12,则a8=( )A.0B.3C.8D.1110.若a,b,c成等差数列,则二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交点个数为( )A.0B.1C.2D.1或211.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题:把100个面包分给5个人,使每个人的所得成等差数列,且使较大的三份之和的17是较小的两份之和,则最小一份的量为( )A.52B.54C.53D.5612.(2019湖南长沙一中高二期末)已知等差数列{a n}的各项均为正数,其前n项和为S n,且满足a1+a5=27a32,S7=63.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足b1=a1,且b n+1-b n=a n+1,求数列{1b n}的前n项和T n.能力提升练一、选择题1.(2020浙江高三期末,★★☆)已知公差不为零的等差数列{a n}满足a32=a1a4,S n为数列{a n}的前n项和,则S3S1的值为( )A.94B.-94C.32D.-322.(2019山东招远一中高二月考,★★☆)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若S4=1,S8=4,则a17+a18+a19+a20的值为( )A.9B.12C.16D.173.(2020浙江丽水高一期末,★★★)设等差数列{a n}的前n项和为S n,公差为d,已知a1≠0,S5=S17,则( )A.da11>0B.da12>0C.a1a12>0D.a1a11<04.(2020广东第二师范学院番禺附属中学高二期末,★★★)若等差数列{a n}的前n 项和S n有最大值,且a11a10<-1,则S n取正值时,项数n的最大值为( )A.15B.17C.19D.215.(2020江苏徐州高二期末,★★★)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1>0,公差d≠0,则下列结论不正确的是( )A.若S5=S9,则S14=0B.若S5=S9,则S7最大C.若S6>S7,则S7>S8D.若S6>S7,则S5>S6二、填空题6.(2019河北衡水中学高考猜题卷,★★☆)设等差数列{a n}的前n项和为S n,已知S13>0,S14<0,若a k·a k+1<0,则k= .7.(2018湖北黄石二中高二期中,★★☆)设等差数列{a n}的前n项和为S n,且S m= -2,S m+1=0,S m+2=3,则m= .8.(2019河北沧州一中高二期中,★★★)在等差数列{a n}中,前m(m为奇数)项和为135,其中偶数项之和为63,且a m-a1=14,则a100的值为.9.(★★★)无穷等差数列{a n}的前n项和为S n,若首项a1=32,公差d=1,则满足S k2=(S k)2的正整数k的值为.三、解答题10.(2020湖南怀化高二期末,★★☆)已知数列{a n}满足1a1+1a2+1a3+…+1a n=n2(n∈N*),且b n=a n a n+1.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)若S n为数列{b n}的前n项和,对任意的正整数n,不等式S n>λ-12恒成立,求实数λ的取值范围.11.(★★☆)已知数列{a n}为等差数列,a1=1,a n>0,其前n项和为S n,且数列{√S n}也为等差数列.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n =a n+1S n ·S n+1,求数列{b n }的前n 项和.答案全解全析第1课时等差数列的前n 项和公式基础过关练1.C 因为S n =na 1+12n(n-1)d=10n+12n·(n -1)×2=n 2+9n,所以n 2+9n=580,解得n=20或n=-29(舍).2.B 设该等差数列为{a n },由题意,得a 1+a 2+a 3+a 4=21,a n +a n-1+a n-2+a n-3=67. 又∵a 1+a n =a 2+a n-1=a 3+a n-2=a 4+a n-3, ∴4(a 1+a n )=21+67=88,∴a 1+a n =22. ∴S n =n (a 1+a n )2=11n=286,∴n=26.3.B 由S 10=S 11,得a 11=S 11-S 10=0,所以a 1=a 11+(1-11)d=0+(-10)×(-2)=20.4.A ∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 5=6,a 2=1, ∴{S 5=5a 1+5×42d =6,a 2=a 1+d =1,解得{a 1=45,d =15.故选A. 5.答案 2n解析设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d,由已知得{a 1+5d =12,3a 1+3d =12,解得{a 1=2,d =2,故a n =2n. 6.D 当n=1时,a 1=S 1=1;当n≥2时,a n =S n -S n-1=n 2-(n-1)2=2n-1. ∵当n=1时,此等式也成立,∴a n =2n-1(n∈N *),故选D.7.C 由已知S n √S n -1-S n-1√S n =2·√S n S n -1可得,√S n -√S n -1=2(n≥2),又a 1=1,∴√S 1=1,∴{√S n }是以1为首项,2为公差的等差数列,故√S n =2n-1,∴S n =(2n-1)2,∴a 81=S 81-S 80=1612-1592=640. 8.答案 80解析由题意得,a 6+a 7+…+a 10=S 10-S 5=111-31=80.9.解析 (1)∵S n =2n 2+n+3,∴当n=1时,a 1=S 1=2×12+1+3=6;当n≥2时,a n =S n - S n-1=2n 2+n+3-[2(n-1)2+(n-1)+3]=4n-1.当n=1时,a 1不符合上式, ∴a n ={6(n =1),4n -1(n ≥2).(2)当n=1时,a 1=S 1=14(a 1+1)2,解得a 1=1;当n≥2时,a n =S n -S n-1=14(a n +1)2-14·(a n-1+1)2,即4a n =a n 2+2a n +1-(a n -12+2a n-1+1),∴a n 2-a n -12-2(a n +a n-1)=0,∴(a n +a n-1)(a n -a n-1-2)=0.∵数列{a n }的各项均为正数,∴a n +a n-1>0,∴a n -a n-1-2=0,即a n -a n-1=2, ∴数列{a n }是公差为2,首项为1的等差数列, ∴a n =1+2(n-1)=2n-1.10.D 设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n =1n (n+1)=1n -1n+1得,S n =(1-12)+(12-13)+…+1n -1n+1=1-1n+1,所以S 10=1-111=1011.11.答案 √n +1-1 解析由已知得, a n =√n+1+√n=√n +1-√n ,所以S n =a 1+a 2+…+a n =(√2-1)+(√3-√2)+…+(√n +1-√n )=√n +1-1. 12.答案 lg(n+1)解析由已知得a n =lg(n+1)-lg n,所以S n =a 1+a 2+…+a n =(lg 2-lg 1)+(lg 3-lg 2)+…+[lg(n+1)-lg n]=lg(n+1). 13.解析 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d. 因为a 3=7,a 5+a 7=26, 所以{a 1+2d =7,2a 1+10d =26,解得{a 1=3,d =2.所以a n =3+2(n-1)=2n+1,S n =3n+n (n -1)2×2=n 2+2n.(2)由(1)知a n =2n+1, 所以b n =1a n 2-1=1(2n+1)2-1=14·1n (n+1)=14·(1n-1n+1),所以T n =14(1-12+12-13+ (1)-1n +1)=14(1-1n+1)=n4(n+1),即数列{b n }的前n 项和T n =n4(n+1). 能力提升练一、选择题1.D 由S 13=13a 7=91,可得a 7=7,所以a 5+a 7=10,从而a 1+a 11=a 5+a 7=10.2.D 由题意,得数列{a n }为等差数列.a 2,a 2 019是函数f(x)=x 2-6x+5的两个零点,等价于a 2,a 2 019是方程x 2-6x+5=0的两个根,∴a 2+a 2 019=6, ∴S 2 020=(a 1+a 2 020)·2 0202=(a 2+a 2 019)·2 0202=6 060,故选D.3.D 令m=1,有a n+1=a n +3,即a n+1-a n =3,又已知a 1=1,∴{a n }是首项为1,公差为3的等差数列,∴a n =1+3(n-1)=3n-2, ∴S 5=5(a 1+a 5)2=5a 3=5×(3×3-2)=35.4.A 当n≥2,n∈N *时,a n =S n -S n-1=n 2-4n+2-[(n-1)2-4(n-1)+2] =n 2-4n+2-(n 2-6n+7) =n 2-4n+2-n 2+6n-7=2n-5, 当n=1时,a 1=S 1=-1,不满足上式, ∴a n ={-1,n =1,2n -5,n ≥2,n ∈N *.∴|a 1|+|a 2|+…+|a 10|=1+1+1+3+5+…+15=2+(1+15)×82=2+64=66.5.C 解法一:设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d.根据等差数列的性质及a 4=2(a 2+a 3),得a 1+3d=2(a 1+d+a 1+2d),化简得a 1=-d,所以S 7S 4=7a 1+7×62d 4a 1+4×32d =14d 2d=7.解法二:由已知及等差数列的性质,得a 4=2(a 2+a 3)=2(a 1+a 4),又S 7S 4=7(a 1+a 7)24(a 1+a 4)2=7a 42(a 1+a 4),所以S7S 4=7.6.B 设该设备第n(n∈N *)年的运营费用为a n 万元,则数列{a n }是以2为首项,2为公差的等差数列,则a n =2n,则该设备到第n(n∈N *)年的运营费用总和为a 1+a 2+…+a n =2+4+…+2n=n (2+2n )2=(n 2+n)万元.设第n(n∈N *)年的盈利总额为S n 万元,则S n =11n-(n 2+n)-9=-n 2+10n-9=-(n-5)2+16,因此,当S n 取最大值时,n=5,故选B. 7.B 由题意得,当n 为奇数时,a n+1-a n =2n-1,n+1为偶数,所以a n+2+a n+1=2n+1,两式相减得a n+2+a n =2;当n 为偶数时,a n+1+a n =2n-1,n+1为奇数,所以a n+2-a n+1=2n+1,两式相加得a n+2+a n =4n. 故S 60=a 1+a 3+a 5+…+a 59+(a 2+a 4+a 6+…+a 60)=2×15+(4×2+4×6+…+4×58)=30+4×450=1 830.故选B. 二、填空题 8.答案 6解析 ∵{a n }是等差数列,且a m =10, ∴S 2m-1=a 2m -1+a 12×(2m -1)=(2m-1)a m =10(2m-1)=110,解得m=6.9.答案 2解析设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d.∵a 5=11,a 12=-3,∴{a 1+4d =11,a 1+11d =-3,解得{d =-2,a 1=19.∴a n =19-2(n-1)=21-2n.令a n ≥0,解得n≤212.因此当n=10时,{a n }的前n 项和S n 取得最大值,且最大值M=10×19+10×92×(-2)=190-90=100,∴lg M=2. 10.答案 -10解析当n=1时,4S 1=2a 1-a 12,∴a 1=-2. 当n≥2时,4S n =2a n -a n 2,① 4S n-1=2a n-1-a n -12,②①-②,得4a n =2a n -2a n-1-(a n 2-a n -12),化简,得a n -a n-1=-2或a n +a n-1=0,∵数列{a n }是递减数列,且a 1=-2,∴a n +a n-1=0舍去. ∴数列{a n }是首项为-2,公差为-2的等差数列,故a 5=-2+(5-1)×(-2)=-10. 三、解答题11.解析由题意,得a n+1-a n =2或a n+1-a n =1.由a 50=1知,当n≤49时,a n ≤0;当n≥51时,a n >0.故当数列{a n }的前50项的公差为2,后50项的公差为1时,数列的前100项和最小. 所以(S 100)min =50×1+50×492×(-2)+50×2+50×492=-1 075.12.解析 (1)设数列{a n }的首项为a 1,公差为d,由题意得{2a 1+d =8,2a 1+9d =2a 1+8d +2,解得{a 1=3,d =2.所以a n =2n+1. (2)证明:由(1)知a n =2n+1,所以S n =n2(3+2n+1)=n 2+2n.所以1S n=1n (n+2)=12(1n -1n+2).所以T n =12[(1-13)+(12-14)+(13-15)+… +(1n -1-1n +1)+(1n-1n +2)]=12(1+12-1n+1-1n+2)<34. 13.解析 (1)令x 1=x 2=12,得f (12)=14=12+m,解得m=2.(2)由a n =f(0)+f (1n )+f (2n )+…+f (n -1n )+f(1),得a n =f(1)+f (n -1n )+…+f (1n )+f(0),两式相加,得2a n =[f(0)+f(1)]+[f (1n )+f (n -1n )]+…+[f(1)+f(0)]=12(n+1),即a n =14(n+1),显然数列{a n }是等差数列, 当n=1时,a 1=12,所以S n =n [12+14(n+1)]2=18n 2+38n.14.解析 (1)由a n =S n -S n-1(n≥2)得,S n 2=(S n -S n-1)(S n -12)=S n 2-12S n -S n-1S n +12S n-1,即S n-1-S n =2S n S n-1(n≥2), ∴1S n -1S n -1=2(n≥2),又1S 1=1a 1=1,∴{1S n}是以1为首项,2为公差的等差数列,∴1S n=2n-1,即S n =12n -1(n∈N *).(2)由(1)得b n =1(2n -1)(2n+1)=12(12n -1-12n+1), ∴T n =b 1+b 2+b 3+…+b n=12(1-13)+(13-15)+(15-17)+…+(12n -1-12n+1) =12(1-12n+1) =n 2n+1.15.解析 (1)证明:由2S n =na n +n(n∈N *)①,得2S n-1=(n-1)a n-1+(n-1)(n≥2)②, ①-②得,2a n =na n +n-(n-1)a n-1-(n-1), ∴(n -2)a n =(n-1)a n-1-1(n≥2)③, ∴(n -1)a n+1=na n -1(n∈N *)④,④-③得,(n-1)a n+1-(n-2)a n =na n -(n-1)a n-1,∴2(n -1)a n =(n-1)a n-1+(n-1)a n+1(n≥2),∴2a n =a n-1+a n+1, ∴{a n }是等差数列.(2)设等差数列{a n }的公差为d. 由题意得2S 1=a 1+1,∴a 1=1,又∵a 2=2,且由(1)知{a n }是等差数列, ∴d=a 2-a 1=1,∴a n =n, ∴b n =n+2n (n+1)·2n=12n -1·n -12n (n+1),∴T n =(1-14)+(14-112)+…+[12n -1·n -12n (n+1)]=1-12n (n+1).第2课时等差数列前n 项和的性质及应用基础过关练1.A 因为{a n }为等差数列,所以{Sn n }也为等差数列,且首项S11=a 1=-11.设{Sn n }的公差为d,则S1010-S88=2d=2,所以d=1,所以S 1111=-11+10d=-1,所以S 11=-11.2.A 设等差数列为{a n },首项为a 1,公差为d,由S 偶-S 奇=5d=15-12.5=2.5,得d=0.5.再由S 10=10a 1+10×92×12=15+12.5,得a 1=0.5.3.答案 1解析由等差数列前n 项和的性质得S13S 9=13a 79a 5=139×913=1.4.答案 -40解析设等差数列{a n }的前n 项和为S n .解法一:由题易知数列S 10,S 20-S 10,S 30-S 20,S 40-S 30成等差数列.设其公差为d, 则前3项和为3S 10+3×22d=S 30=10,即S 10+d=103,又S 10=30,所以d=-803,所以S 40-S 30=S 10+3d=30+3×(-803)=-50,所以S 40=-50+S 30=-40.解法二:因为数列{a n }是等差数列,所以数列{S n n }也是等差数列,所以点(n ,S nn )在一条直线上,即(10,S 1010),(30,S 3030),(40,S4040)三点共线,于是S 3030-S 101030-10=S 4040-S 101040-10,将S 10=30,S 30=10代入,解得S 40=-40.5.答案 105解析由题意得a n+1-a n =-12,∴数列{a n }是公差为-12的等差数列,又a 1=10,∴a n =-n 2+212(n∈N *).∵a 1=10>0,-12<0,∴设从第n 项起为负数,则-n 2+212<0(n∈N *), ∴n>21,∴前21项的和最大,最大值为S 21=105. 6.答案 7或8解析由a 5=3a 7,得a 1+4d=3(a 1+6d),即a 1=-7d,所以a n =a 1+(n-1)d=-7d+(n-1)d=(n-8)d. 又因为a 1>0,d<0,所以当{a n ≥0,a n+1≤0时,S n 取得最大值,即{(n -8)d ≥0,(n -7)d ≤0,解得7≤n≤8.所以当S n 取最大值时,n=7或8. 7.答案 (1)1 008 (2)13解析 (1)由等差数列的性质可知,S 2 017=2 017a 1 009<0,所以a 1 009<0, 又S 2 016=2 016(a 1 008+a 1 009)2>0,即a 1 008+a 1 009>0,所以结合a 1 009<0可得a 1 008>0,因此S 1 008最大,故k=1 008. (2)解法一:由{a 1=25,S 9=S 17,可得{a 1=25,9a 1+9×4d =17a 1+17×8d ,解得d=-2,则S n =25n+n (n -1)2×(-2)=-(n-13)2+169,显然S 13最大,故k=13.解法二:同解法一得d=-2, 故a n =25+(-2)×(n -1)=27-2n,显然对于n∈N *,当n≤13时,a n >0;当n≥14时,a n <0.故S 13最大,k=13. 8.解析 (1)设{a n }的公差为d,则由a 2=1, a 5=-5,得d=a 5-a 25-2=-5-13=-2,∴a 1=a 2-d=3,∴a n =-2n+5. (2)由(1)得,S n =3n+n (n -1)2×(-2)=-n 2+4n=-(n-2)2+4,∴当n=2时,S n 取得最大值4.9.B 设数列{b n }的首项为b 1,公差为d,则由b 3=-2,b 10=12,得{b 1+2d =-2,b 1+9d =12,解得{b 1=-6,d =2,∴b n =-6+(n-1)×2=2n -8,∴a n+1-a n =2n-8,又a 1=3, ∴a 2-a 1=2×1-8, a 3-a 2=2×2-8,a 4-a 3=2×3-8, …… a 8-a 7=2×7-8,以上各式相加得,a 8-a 1=2×(1+2+3+…+7)-8×7=0,∴a 8=a 1=3.10.D 由a,b,c 成等差数列得2b=a+c,Δ=(-2b)2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2, 当a=c 时,Δ=0,有一个交点; 当a≠c 时,Δ>0,有两个交点.11.C 由题意可得中间的那份为20个面包.设最小的一份为a 1,公差为d,由题意可得[20+(a 1+3d)+(a 1+4d)]×17=a 1+(a 1+d),解得a 1=53,故选C.12.解析 (1)解法一:设等差数列{a n }的公差为d,由题意,得a n >0,且{a 1+a 1+4d =27(a 1+2d )2,7a 1+21d =63,∴{a 1=3,d =2.∴a n =2n+1.解法二:∵{a n }是等差数列,且a 1+a 5=27a 32,∴2a 3=27a 32.又a n >0,∴a 3=7. ∵S 7=7(a 1+a 7)2=7a 4=63,∴a 4=9,∴d=a 4-a 1=2, ∴a n =a 3+(n-3)d=2n+1. (2)∵b n+1-b n =a n+1,且a n =2n+1, ∴b n+1-b n =2n+3. ∴当n≥2时,b n =(b n -b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b 2-b 1)+b 1=(2n+1)+(2n-1)+…+5+3 =n(n+2),当n=1时,b 1=3满足上式, ∴b n =n(n+2). ∴1b n =1n (n+2)=12(1n -1n+2), ∴T n =1b 1+1b 2+…+1b n -1+1b n=12[(1-13)+(12-14)+(13-15)+ …+(1n -1-1n +1)+(1n-1n +2)]=12(1+12-1n+1-1n+2) =34-2n+32(n+1)(n+2).能力提升练一、选择题1.A 设数列{a n }的公差为d(d≠0),由a 32=a 1a 4得(a 1+2d)2=a 1(a 1+3d),整理,得a 1d+4d 2=0,因为d≠0,所以a 1=-4d,所以S 3=3a 1+3d=-9d,所以S 3S 1=-9d -4d =94,故选A.2.A 由等差数列前n 项和的性质得, S 4,S 8-S 4,S 12-S 8,…成等差数列. 由S 4=1,S 8=4可得,其公差为2, 所以S 36=S 4+(S 8-S 4)+…+(S 36-S 32)=9×1+9×82×2=81.又因为S 36=36×(a 1+a 36)2,所以a 1+a 36=8118=92,所以a 17+a 18+a 19+a 20=2(a 17+a 20)=2(a 1+a 36)=9. 3.B 由a 1≠0,S 5=S 17,得5a 1+5×42d=17a 1+17×162d,化简,得2a 1+21d=0,即a 11+a 12=0.因为a 1≠0,所以d≠0,所以a 11,a 12符号相反.若d>0,则a 11<0,a 12>0,a 1<0,所以da 11<0,da 12>0,a 1a 12<0,a 1a 11>0;若d<0,则a 11>0,a 12<0,a 1>0,所以da 11<0,da 12>0,a 1a 12<0,a 1a 11>0.综上,选B. 4.C 设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d.由S n 有最大值,得d<0.由a11a 10<-1,得a 11<0<a 10,且a 11+a 10<0.由a 10>0,得2a 10=a 1+a 19>0,所以S 19>0.由a 10+a 11<0,得a 1+a 20=a 10+a 11<0,所以S 20<0.所以S n 取正值时,n 的最大值为19. 5.D 由S 5=S 9得a 6+a 7+a 8+a 9=0,即a 1+a 14=0,所以S 14=14×(a 1+a 14)2=0,故A 中结论正确.由S 5=S 9得5a 1+10d=9a 1+36d,即d=-213a 1.因为a 1>0,所以d<0. 再由S n 对应的二次函数的图象知,对称轴为n=5+92=7,所以S 7最大,故B 中结论正确. 由S 6>S 7得a 7<0.又a 1>0,所以d<0,所以a 8<0,所以S 7>S 8.但a 6的符号不确定,所以S 5与S 6的大小无法比较,故C 中结论正确,D 中结论错误.故选D. 二、填空题 6.答案 7解析因为S 13>0,S 14<0,所以{13(a 1+a 13)2>0,14(a 1+a 14)2<0,即{a 1+a 13>0,a 1+a 14<0, ∴{a 1+a 13=2a 7>0,a 1+a 14=a 7+a 8<0,∴{a 7>0,a 8<0, 又a k ·a k+1<0,∴k=7. 7.答案 4解析因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和,所以数列{Sn n}是等差数列,所以S m m+S m+2m+2=2S m+1m+1,即-2m +3m+2=0,解得m=4.8.答案 101解析 ∵在前m 项中偶数项之和为S 偶=63,∴奇数项之和为S 奇=135-63=72.设等差数列{a n }的公差为d,则S 奇-S 偶=2a 1+(m -1)d2=72-63=9.∵a m =a 1+d(m-1),∴a 1+a m2=9.由题意得m (a 1+a m )2=135,∴m=15,又∵a m -a 1=14, ∴a 1=2,d=14m -1=1,∴a 100=a 1+99d=101.9.答案 4解析解法一:由题意,得S n =32n+n (n -1)2×1=12n 2+n,则S k 2=12k 4+k 2,(S k )2=(12k 2+k)2,∴12k 4+k 2=(12k 2+k)2,即14k 4-k 3=0,解得k=0或k=4.∵k∈N *,∴k=4.解法二:∵数列{a n }为等差数列,∴不妨设S n =An 2+Bn,其中A=d2,B=a 1-d2,则S k 2=A(k 2)2+Bk 2,S k =Ak 2+Bk.由S k 2=(S k )2,得k 2(Ak 2+B)=k 2(Ak+B)2.∵k∈N *,∴Ak 2+B=(Ak+B)2,即(A 2-A)·k 2+2ABk+B 2-B=0,又A=d 2=12,B=a 1-d2=1,∴14k 2-k=0,解得k=0(舍去)或k=4.三、解答题10.解析 (1)∵1a 1+1a 2+1a 3+…+1a n=n 2(n∈N *)①,∴当n≥2时,1a 1+1a 2+1a 3+…+1a n -1=(n-1)2②.①-②,得1a n=2n-1(n≥2),经检验,1a 1=1满足上式,∴1a n=2n-1(n∈N *),∴a n =12n -1.∴b n =1(2n -1)(2n+1)=12(12n -1-12n+1).(2)由(1)及已知得S n =12·(1-13+13-15+…+12n -1-12n+1)=n2n+1. 又S n =n 2n+1=12-14n+2,n∈N *,∴S n ∈[13,12),∴不等式S n >λ-12恒成立等价于13>λ-12,∴λ<56.故实数λ的取值范围为(-∞,56).11.解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d(d≥0),则S 1=a 1=1,S 2=2+d,S 3=3+3d. ∵数列{√S n }为等差数列, ∴2√2+d =1+√3+3d ,解得d=2. ∴a n =1+2(n-1)=2n-1. (2)由(1)得a n+1=2n+1, S n =n+n (n -1)2×2=n 2, ∴b n =a n+1S n ·S n+1=2n+1n 2·(n+1)2=1n2-1(n+1)2.设数列{b n }的前n 项和为T n ,则T n =b 1+b 2+…+b n =(112-122)+(122-132)+…+[1n 2-1(n+1)2]=1-1(n+1)2=n 2+2n(n+1)2.。

2020高二数学人教A必修5 模块综合检测 Word版含解析

模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)知识点分布表一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2015江西吉安联考,1)若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是()A. B.C.a2>b2D.a|c|>b|c|答案:B解析:A.∵当1>-2时,1<-不成立,∴不成立.B.∵c2+1≥1,a>b,∴,故B正确.C.∵当1>-2时,1>4不成立,∴a2>b2不成立.D.当c=0时,0=a|c|>b|c|=0,不成立.故选B.2.在△ABC中,A=60°,AB=2,且△ABC的面积为,则BC的长为()A. B.3 C. D.7答案:A解析:S=×AB·AC sin 60°=×2×AC=,所以AC=1.所以BC2=AB2+AC2-2AB·AC cos 60°=3.所以BC=,故选A.3.若5,x,y,z,21成等差数列,则x+y+z的值为()A.26B.29C.39D.52答案:C解析:因为5,x,y,z,21构成等差数列,所以y是x,z的等差中项,也是5,21的等差中项,所以x+z=2y,5+21=2y,所以y=13,x+z=26,所以x+y+z=39.4.在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知b cos C+c cos B=2b,则等于()A.1B.C.2D.答案:C解析:利用正弦定理,将b cos C+c cos B=2b化为sin B cos C+sin C cos B=2sin B, 即sin(B+C)=2sin B.∵sin(B+C)=sin A,∴sin A=2sin B.利用正弦定理可得a=2b,故=2.5.已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0,a2=-,则{a n}的前10项和等于()A.-6(1-3-10)B.(1-3-10)C.3(1-3-10)D.3(1+3-10)答案:C解析:由3a n+1+a n=0,得=-.所以{a n}是以q=-为公比的等比数列.所以a1=a2·=-×(-3)=4.所以S10=--=3(1-3-10),故选C.则目标6.(2015河北邯郸三校联考,6)设变量x,y满足约束条件--函数z=3x-y的最大值为() A.-4 B.0 C. D.4答案:D解析:画出不等式组表示的平面区域,直线在y轴上的截距最小,z最大,最大值为6-2=4.故选D.7.已知等差数列{a n}满足,a1>0,5a8=8a13,则前n项和S n取最大值时,n的值为()A.20B.21C.22D.23答案:B解析:由5a8=8a13得5(a1+7d)=8(a1+12d)⇒d=-a1,由a n=a1+(n-1)d=a1+(n-1)-≥0⇒n≤=21,所以数列{a n}前21项都是正数,以后各项都是负数,故S n取最大值时,n的值为21,选B.8.(2015福建宁德五校联考,8)已知正实数a,b满足=1,x=a+b,则实数x的取值范围是()A.[6,+∞)B.(2,+∞)C.[4,+∞)D.[3+2,+∞)答案:D解析:∵=1,∴x=a+b=(a+b)=2+1+≥3+2当且仅当即时等号成立.故选D.9.(2015河南南阳高二期中,7)在△ABC中,若tan A tan B>1,则△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定答案:A解析:因为A和B都为三角形中的内角,由tan A tan B>1,得到1-tan A tan B<0,且得到tan A>0,tan B>0,即A,B为锐角,<0,所以tan(A+B)=-则A+B∈ππ,即C为锐角,所以△ABC是锐角三角形.10.(2015山东潍坊四县联考,10)已知数列{a n}中,a1=2,na n+1=(n+1)a n+2,n∈N*,则a11=()A.36B.38C.40D.42答案:D解析:因为na n+1=(n+1)a n+2,n∈N*,所以在等式的两边同时除以n(n+1),得=2-.所以+2--…-.所以a11=42.故选D.11.(2015陕西高考,10)设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(),q=f,r=(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是()A.q=r<pB.q=r>pC.p=r<qD.p=r>q答案:C解析:∵f(x)=ln x,∴p=f()=ln(ln a+ln b)=r.又∵0<a<b,∴.又∵y=ln x为递增函数,∴ln>ln,即q>r,综上p=r<q.12.(2015河南南阳高二期中,6)对于数列{a n},定义数列{a n+1-a n}为数列a n的“差数列”,若a1=1,{a n}的“差数列”的通项公式为3n,则数列{a n}的通项公式a n=()A.3n-1B.3n+1+2C.-D.-答案:C解析:∵a1=1,a n+1-a n=3n,∴a n=(a n-a n-)+(a n-1-a n-2)+…+(a2-a1)+a11=3n-1+3n-2+…+31+1-.故选C.=--二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2015广东湛江高二期末,14)若x>4,函数y=x+-,当x= 时,函数有最小值为 . 答案:5 6解析:∵x>4,∴x-4>0.∴y=x+ - =x-4+- +4≥2 - ·-+4=6.当且仅当x-4=-即x=5时等号成立.14.(2015山东潍坊四县联考,12)等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,且- ,则= .答案:解析:-.15.设数列{a n }满足:a 1=1,a 2=4,a 3=9,a n =a n-1+a n-2-a n-3(n=4,5,…),则a 2015= .答案:8 057解析:由a n =a n-1+a n-2-a n-3,得a n+1=a n +a n-1-a n-2,两式作和得:a n+1=2a n-1-a n-3, 即a n+1+a n-3=2a n-1(n=4,5,…).∴数列{a n }的奇数项和偶数项均构成等差数列. ∵a 1=1,a 3=9,∴奇数项构成的等差数列的公差为8.则a2 015=a1+8(1 008-1)=1+8×1 007=8 057.故答案为8 057.三、解答题(17~20小题及22小题每小题12分,21小题10分,共70分)17.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=4,cos B=.(1)若b=3,求sin A的值;(2)若△ABC的面积为12,求b的值.解:(1)∵cos B=,0<B<π,∴sin B=-.由正弦定理可得:.又a=4,b=3,∴sin A=.(2)由面积公式,得S△ABC=ac sin B,∴ac×=12,可解得c=10.由余弦定理,b2=a2+c2-2ac cos B=52,解得b=2.18.数列{a n}中,a1=2,a n+1=a n+cn(c是常数,n=1,2,3,…),且a1,a2,a3成公比不为1的等比数列.(1)求c的值;(2)求{a n}的通项公式.解:(1)a1=2,a2=2+c,a3=2+3c,因为a1,a2,a3成等比数列,所以(2+c)2=2(2+3c),解得c=0或c=2.当c=0时,a1=a2=a3,不符合题意,舍去,故c=2.(2)当n≥2时,由于a2-a1=c,a3-a2=2c,…,a n-a n-1=(n-1)c,所以a n-a1=[1+2+…+(n-1)]c=- c.又a1=2,c=2,故a n=2+n(n-1)=n2-n+2(n=2,3,…).当n=1时,上式也成立.所以a n=n2-n+2(n=1,2,…).19△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知A,B,C成等差数列,△ABC 的面积为.(1)求证:a,2,c成等比数列;(2)求△ABC的周长L的最小值,并说明此时△ABC的形状.(1)证明:∵A,B,C成等差数列,∴B=60°.又△ABC的面积为,∴ac sin 60°=,即ac=4.∵ac=22,∴a,2,c成等比数列.(2)解:在△ABC中,根据余弦定理,得b2=a2+c2-2ac cos 60°=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac=4,∴b≥2,当且仅当a=c时,等号成立.∴△ABC的周长L=a+b+c≥2+b=4+b,当且仅当a=c时,等号成立.∴L≥4+2=6,当且仅当a=c时,等号成立.∴△ABC周长的最小值为6.∵a=c,B=60°,∴此时△ABC为等边三角形.20已知f(x)=x2-abx+2a2.(1)当b=3时,①若不等式f(x)≤0的解集为[1,2],求实数a的值;②求不等式f(x)<0的解集.(2)若f(2)>0在a∈[1,2]上恒成立,求实数b的取值范围.解:(1)当b=3时,f(x)=x2-abx+2a2=x2-3ax+2a2,①∵不等式f(x)≤0的解集为[1,2],∴1,2是方程x2-3ax+2a2=0的两根.∴解得a=1.②∵x2-3ax+2a2<0,∴(x-a)(x-2a)<0.∴当a>0时,此不等式的解集为(a,2a),当a=0时,此不等式的解集为空集,当a<0时,此不等式的解集为(2a,a).(2)由题意f(2)=4-2ab+2a2>0在a∈[1,2]上恒成立,即b<a+在a∈[1,2]上恒成立.又a+≥2·=2,当且仅当a=,即a=时上式等号成立.∴b<2,实数b的取值范围是(-∞,2).21.汽车在行驶中,由于惯性的作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素,某市的一条道路在一个限速为40 km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相撞了.事后现场勘查测得甲车刹车距离刚好12 m,乙车刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离S(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系:S甲=0.1x+0.01x2,S乙=0.05x+0.005x2.问:甲、乙两车有无超速现象?解:由题意知,对于甲车,有0.1x+0.01x2=12,即x2+10x-1 200=0,解得x=30或x=-40(x=-40不符合实际意义,舍去).这表明甲车的车速为30 km/h.甲车车速不会超过限速40 km/h.对于乙车,有0.05x+0.005x2>10,即x2+10x-2 000>0,解得x>40或x<-50(x<-50不符合实际意义,舍去).这表明乙车的车速超过40 km/h,超过规定限速.。

人教A版高中数学必修五高二(上)期中试卷

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）2016-2017学年河南省郑州市七校联考高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知a＞b，c＞d，且c，d不为0，那么下列不等式一定成立的是（）A．ad＞bc B．ac＞bd C．a﹣c＞b﹣d D．a+c＞b+d2．不等式（x﹣1）（2﹣x）≥0的解集为（）A．{x|1≤x≤2}B．{x|x≤1或x≥2}C．{x|1＜x＜2}D．{x|x＜1或x＞2}=1+2a n，则数列{a n}前10项的和为3．在数列{a n}中，若a1=﹣2，且对任意的n∈N*有2a n+1（）A．2 B．10 C．D．4．已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21 B．42 C．63 D．845．在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若此三角形有两解，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．D．6．在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，则BC的长为（）A．B．C．2D．27．若关于x的不等式x+≥a2﹣3a对任意实数x＞0恒成立，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，4] B．（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）D．[﹣2，5]8．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（）A．5 B．6 C．7 D．89．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．m B．m C．m D．m 10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，B，C成等差数列，2a，2b，2c成等比数列，则cosAcosB=（）A．B．C．D．11．已知数列{a n}：， +， ++，…， +++…+，…，若b n=，那么数列{b n}的前n项和S n为（）A． B． C． D．12．已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使得=4a1，则+的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）13．已知数列{a n}中，a1=1且=+（n∈N*），则a10=．14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC+bsinC﹣a﹣c=0，则角B=．15．设实数x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为10，则a2+b2的最小值为．16．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”，该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性，比如：随着项数的增加，前一项与后一项的比值越逼近黄金分割.06180339887．若把该数列{a n}的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{b n}，在数列{b n}中第2016项的值是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知关于x的不等式kx2﹣2x+3k＜0．（1）若不等式的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣1}，求k的值；（2）若不等式的解集为∅，求实数k的取值范围．18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）求的值；（2）若cosB=，△ABC的周长为5，求b的长．19．己知数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2a n+（﹣1）n a n，求数列{b n}的前2n项和．20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．21．某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售Q（万件）与广告费x（万元）之间的函数关系为Q=（x≥0）．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．（1）试将年利润W（万元）表示为年广告费x（万元）的函数；（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？22．已知函数f（x）满足f（x+y）=f（x）•f（y），且f（1）=．（1）当n∈N*时，求f（n）的表达式；（2）设a n=n•f（n），n∈N*，求证a1+a2+a3+…+a n＜2；（3）设b n=（9﹣n），n∈N*，S n为b n的前n项和，当S n最大时，求n的值．2016-2017学年河南省郑州市七校联考高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知a ＞b ，c ＞d ，且c ，d 不为0，那么下列不等式一定成立的是（） A ．ad ＞bc B ．ac ＞bd C ．a ﹣c ＞b ﹣d D ．a +c ＞b +d 【考点】不等关系与不等式．【分析】a ＞b ，c ＞d ，根据不等式的性质即可得到答案．【解答】解：令a=2，b=﹣2，c=3，d=﹣6，则2×3＜（﹣5）（﹣6）=30，可排除A 2×（﹣6）＜（﹣2）×3可排除B ； 2﹣3＜（﹣2）﹣（﹣6）=4可排除C ， ∵a ＞b ，c ＞d ，∴a +c ＞b +d （不等式的加法性质）正确．故选D ．2．不等式（x ﹣1）（2﹣x ）≥0的解集为（）A ．{x |1≤x ≤2}B ．{x |x ≤1或x ≥2}C ．{x |1＜x ＜2}D ．{x |x ＜1或x ＞2} 【考点】一元二次不等式的解法．【分析】此题是x 的系数不为正的二次不等式，可转化为x 的系数为正的整式不等式然后再利用二次不等式的解法即可求解．【解答】解：∵（x ﹣1）（2﹣x ）≥0， ∴（x ﹣2）（x ﹣1）≤0∴结合二次函数的性质可得解集为1≤x ≤2．故选A ．3．在数列{a n }中，若a 1=﹣2，且对任意的n ∈N *有2a n +1=1+2a n ，则数列{a n }前10项的和为（）A ．2B ．10C ．D ．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】由已知数列递推式可得数列{a n }是公差为的等差数列，代入等差数列的前n 项和公式得答案．【解答】解：由2a n +1=1+2a n ，得2a n +1﹣2a n =1，则，∴数列{a n }是公差为的等差数列，又a 1=﹣2，∴．故选：C．4．已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21 B．42 C．63 D．84【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求．【解答】解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴，∴q4+q2+1=7，∴q4+q2﹣6=0，∴q2=2，∴a3+a5+a7==3×（2+4+8）=42．故选：B5．在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若此三角形有两解，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．D．【考点】正弦定理的应用．【分析】利用正弦定理和b和sinB求得a和sinA的关系，利用B求得A+C；要使三角形两个这两个值互补先看若A≤45°，则和A互补的角大于135°进而推断出A+B＞180°与三角形内角和矛盾；进而可推断出45°＜A＜135°若A=90，这样补角也是90°，一解不符合题意进而可推断出sinA的范围，利用sinA和a的关系求得a的范围．【解答】解：==2∴a=2sinAA+C=180°﹣45°=135°A有两个值，则这两个值互补若A≤45°，则C≥90°，这样A+B＞180°，不成立∴45°＜A＜135°又若A=90，这样补角也是90°，一解所以＜sinA＜1a=2sinA所以2＜a＜2故选C6．在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，则BC的长为（）A．B．C．2D．2【考点】余弦定理．【分析】利用三角形面积公式列出关系式，把AB，sinA，已知面积代入求出AC的长，再利用余弦定理即可求出BC的长．【解答】解：∵在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，∴AB•AC•sinA=，即×2×AC×=，解得：AC=1，由余弦定理得：BC2=AC2+AB2﹣2AC•AB•cosA=1+4﹣2=3，则BC=．故选：B．7．若关于x的不等式x+≥a2﹣3a对任意实数x＞0恒成立，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，4] B．（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）D．[﹣2，5]【考点】函数恒成立问题．【分析】利用基本不等式求出不等式x+的最小值为4，转化4≥a2﹣3a，由此解得实数a的取值范围．【解答】解：∵x＞0，∴不等式x+=4，当且仅当x=2时，表达式取得最小值为4，由关于x的不等式x+≥a2﹣3a对任意实数x＞0恒成立，可得4≥a2﹣3a，解得﹣1≤a≤4，故选：A．8．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（﹣1，﹣1），此时z=﹣2﹣1=﹣3，此时n=﹣3，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（2，﹣1），此时z=2×2﹣1=3，即m=3，则m﹣n=3﹣（﹣3）=6，故选：B．9．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．m B．m C．m D．m 【考点】解三角形的实际应用．【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案．【解答】解：如图，∠DAB=15°，∵tan15°=tan（45°﹣30°）==2﹣．在Rt△ADB中，又AD=60，∴DB=AD•tan15°=60×（2﹣）=120﹣60．在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，∴DC=AD•tan60°=60．∴BC=DC﹣DB=60﹣=120（﹣1）（m）．∴河流的宽度BC 等于120（﹣1）m ．故选：B ．10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ，B ，C 成等差数列，2a ，2b ，2c 成等比数列，则cosAcosB=（）A ．B ．C ．D ．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】先根据A ，B ，C 成等差数列和三角形内角和定理求出B 的值，根据等比中项的性质可知b 2=ac 代入余弦定理求得a 2+c 2﹣ac=ac ，整理求得a=c ，即得A=C ，最后利用三角形内角和定理求出A 和C ，最后求出式子的值．【解答】解：由A ，B ，C 成等差数列，有2B=A +C （1） ∵A ，B ，C 为△ABC 的内角，∴A +B +C=π（2）．由（1）（2）得B=．由2a ，2b ，2c 成等比数列，得b 2=ac ，由余弦定理得，b 2=a 2+c 2﹣2accosB把B=、b 2=ac 代入得，a 2+c 2﹣ac=ac ，即（a ﹣c ）2=0，则a=c ，从而A=C=B=，∴cosAcosB==，故选A ．11．已知数列{a n }：， +， ++，…， +++…+，…，若b n =，那么数列{b n }的前n 项和S n 为（）A ．B ．C ．D ．【考点】数列的求和．【分析】先确定数列{a n }的通项，再确定数列{b n }的通项，利用裂项法可求数列的和．【解答】解：由题意，数列{a n }的通项为a n ==，∴b n ==4（﹣）∴S n =4（1﹣+﹣+…+﹣）=4（1﹣）=故选B ．12．已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m ，a n 使得=4a 1，则+的最小值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】基本不等式；等比数列的通项公式．【分析】由 a 7=a 6+2a 5 求得q=2，代入求得m +n=6，利用基本不等式求出它的最小值．【解答】解：由各项均为正数的等比数列{a n }满足 a 7=a 6+2a 5，可得，∴q 2﹣q ﹣2=0，∴q=2．∵，∴q m +n ﹣2=16，∴2m +n ﹣2=24，∴m +n=6，∴，当且仅当=时，等号成立．故的最小值等于，故选A ．二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）13．已知数列{a n }中，a 1=1且=+（n ∈N *），则a 10=．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由数列递推式可知数列{}是以为首项，以为公差的等差数列，由此求得数列{a n }的通项公式，则答案可求．【解答】解：由=+，得﹣=，∴数列{}是以为首项，以为公差的等差数列，则，∴．则．故答案为：．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知bcosC +bsinC ﹣a ﹣c=0，则角B= ．【考点】正弦定理．【分析】已知等式利用正弦定理化简，整理后得到cosB=，结合B 的范围即可得解B 的值．【解答】证明：在△ABC 中，∵bcosC +bsinC ﹣a ﹣c=0，∴利用正弦定理化简得：sinBcosC +sinBsinC ﹣sinA ﹣sinC=0，即sinBcosC +sinBsinC=sinA +sinC=sin （B +C ）+sinC=sinBcosC +cosBsinC +sinC=sinBcosC +sinC （cosB +1），∴sinB=cosB +1，即sin （B ﹣）=，∵0＜B ＜π，∴﹣＜B ﹣＜，∴B ﹣=，即B=．故答案为：．15．设实数x ，y 满足约束条件，若目标函数z=ax +by （a ＞0，b ＞0）的最大值为10，则a 2+b 2的最小值为．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出a ，b 的关系，然后利用基本不等式求的最小值．【解答】解：由z=ax +by （a ＞0，b ＞0）得y=，作出可行域如图：∵a ＞0，b ＞0，∴直线y=的斜率为负，且截距最大时，z 也最大．平移直线y=，由图象可知当y=经过点A 时，直线的截距最大，此时z 也最大．由，解得，即A （4，6）．此时z=4a+6b=10，即2a+3b﹣5=0，即（a，b）在直线2x+3y﹣5=0上，a2+b2的几何意义为直线上点到圆的距离的平方，则圆心到直线的距离d=，则a2+b2的最小值为d2=，故答案为：．16．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”，该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性，比如：随着项数的增加，前一项与后一项的比值越逼近黄金分割.06180339887．若把该数列{a n}的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{b n}，在数列{b n}中第2016项的值是0．【考点】数列的应用．【分析】根据数列，得到余数构成是数列是周期数列，即可得到结论．【解答】解：1，1，2，3，5，8，13，…除以4所得的余数分别为1，1，2，3，1，0，；1，1，2，3，1，0…，即新数列{b n}是周期为6的周期数列，=b6=0，∴b2016=b236×6故答案为：0．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知关于x的不等式kx2﹣2x+3k＜0．（1）若不等式的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣1}，求k的值；（2）若不等式的解集为∅，求实数k的取值范围．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（1）根据不等式与对应一元二次方程的关系，利用根与系数的关系求出k的值；（2）根据不等式kx2﹣2x+3k＜0的解集为∅，讨论k的取值，求出结果即可．【解答】解：（1）由不等式的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣1}，可知k＜0，﹣3和﹣1是一元二次方程kx2﹣2x+3k=0的两根，所以，解得k=﹣；（2）因不等式kx2﹣2x+3k＜0的解集为∅，若k=0，则不等式﹣2x＜0，此时x＞0，不合题意；若k≠0，则，解得；综上，实数k的取值范围是（0，]．18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）求的值；（2）若cosB=，△ABC的周长为5，求b的长．【考点】正弦定理的应用；余弦定理．【分析】（1）利用正弦定理化简等式的右边，然后整理，利用两角和的正弦函数求出的值．（2）利用（1）可知c=2a，结合余弦定理，三角形的周长，即可求出b的值．【解答】解：（1）因为所以即：cosAsinB﹣2sinBcosC=2sinCcosB﹣cosBsinA所以sin（A+B）=2sin（B+C），即sinC=2sinA所以=2（2）由（1）可知c=2a…①a+b+c=5…②b2=a2+c2﹣2accosB…③cosB=…④解①②③④可得a=1，b=c=2；所以b=219．己知数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2a n+（﹣1）n a n，求数列{b n}的前2n项和．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）求得首项，再由n换为n﹣1，相减可得数列的通项公式；（2）求得b n=2n+（﹣1）n•n，n为奇数时，b n=n；n为偶数时，b n=3n．运用等差数列的求和公式计算即可得到所求．【解答】解：（1）S n=，n∈N*，可得a1=S1=1，=﹣=n，当n＞1时，a n=S n﹣S n﹣1综上可得，a n=n，n∈N*；（2）b n=2n+（﹣1）n•n，n为奇数时，b n=n；n为偶数时，b n=3n．即有数列{b n}的前2n项和为（1+3+5+…+2n﹣1）+（6+12+…+6n）=n（1+2n﹣1）+n（6+6n）=3n2+4n．20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosC的值，即可确定出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，将c与cosC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，进而确定出三角形ABC面积的最大值，以及此时a与b的值即可．【解答】解：（1）∵A+C=π﹣B，即cos（A+C）=﹣cosB，∴由正弦定理化简已知等式得：=，整理得：2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB，即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴cosC=﹣，∵C为三角形内角，∴C=；（Ⅱ）∵c=2，cosC=﹣，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，∴ab≤，（当且仅当a=b时成立），∵S=absinC=ab≤，∴当a=b时，△ABC面积最大为，此时a=b=，则当a=b=时，△ABC的面积最大为．21．某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售Q（万件）与广告费x（万元）之间的函数关系为Q=（x≥0）．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．（1）试将年利润W（万元）表示为年广告费x（万元）的函数；（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需后期再投入32万元，若每件售价为“年平均每件投入的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和，可建立函数关系式；（2）利用换元法，再借助于基本不等式，即可求得最值．【解答】解：（1）由题意可得，产品的生产成本为（32Q+3）万元，每万件销售价为，∴年销售收入为=，∴年利润=．（2）令x+1=t（t≥1），则．∵t≥1，∴，即W≤42，当且仅当，即t=8时，W有最大值42，此时x=7．即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元．22．已知函数f（x）满足f（x+y）=f（x）•f（y），且f（1）=．（1）当n∈N*时，求f（n）的表达式；（2）设a n=n•f（n），n∈N*，求证a1+a2+a3+…+a n＜2；（3）设b n=（9﹣n），n∈N*，S n为b n的前n项和，当S n最大时，求n的值．【考点】数列的求和；数列的函数特性；等比数列的通项公式．【分析】（1）由于函数f（x）满足f（x+y）=f（x）•f（y）对任意的实数x，y都成立，故可令x=n，y=1，再由f（1）=得到f（n）的表达式；（2）由（1）知，a n=n•f（n）=，故可用错位相减法求出a1+a2+a3+…+a n的表达式，即可得证；（3）由（1）和b n=（9﹣n），n∈N*可求b n的表达式，进而求出S n，由于数列为一种特殊函数，故可利用函数单调性得到S n最大时的n值．【解答】解：（1）令x=n．y=1，得到f（n+1）=f（n）•f（1）=f（n），所以{f（n）}是首项为、公比为的等比数列，即f（n）=；（2）∵，，，两式相减得：，整理得．（3）∵f（n）=，而b n=（9﹣n），n∈N*，则b n=，当n≤8时，b n＞0；当n=9时，b n=0；当n＞9时，b n＜0；∴n=8或9时，S n取到最大值．2016年11月24日。

2024-2025学年新教材高中数学模块综合提升教案新人教A版选择性必修第一册

教学难点与重点
1.教学重点
（1）函数与导数的应用：理解导数在实际问题中的应用，如速度、加速度、曲线斜率等，掌握函数的单调性、极值和最值等概念。
举例：分析实际问题，如物体运动的速度与时间的关系，利用导数求解函数的极值和最பைடு நூலகம்。
（2）平面向量：掌握平面向量的概念、运算规则及几何意义，理解向量的数量积和向量垂直的条件。
核心素养目标
本章节的教学旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算等核心素养。通过学习函数与导数的应用、平面向量、三角函数的性质等知识点，学生应能提升将现实问题抽象为数学模型的能力，运用逻辑推理解决数学问题，利用数学运算处理数据和信息，以及应用数学知识解决实际生活中的问题。同时，通过参与小组讨论、独立思考等活动，学生的合作交流和自主学习的能力也将得到提升。
5.三角函数的极值：理解三角函数的极值概念，掌握求解方法，并能应用于实际问题。
6.三角函数的应用：学习三角函数在实际问题中的应用，如测量角度、计算长度等。
7.三角恒等式：掌握三角恒等式的证明和应用，如正弦定理、余弦定理等。
8.三角函数的变换：学习三角函数的变换，如倍角公式、和差公式、积化和差公式等。
5.题目：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），求f(x)的单调递减区间。
答案：首先，我们需要计算f(x)的导数f'(x) = 2ax + b。然后，我们找出f'(x) < 0的实数解，即解不等式2ax + b < 0。这些解就是f(x)的单调递减区间。在每个区间上，f(x)单调递减。
2024-2025学年新教材高中数学模块综合提升教案新人教A版选择性必修第一册
授课内容

人教新课标版数学高二-2013-高中数学人教A版必修五模块综合测评

模块综合测评必修5(A 版)(时间：90分钟满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )A ．1B ．2 C.3－1D. 3解析：据题意有3sin60°＝1sin B 得sin B ＝12，由于a ＞b ⇒A ＞B ，故B ＝π6，所以C ＝π－π6－π3＝π2，c ＝2b ＝2.答案：B2．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则该三角形一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：∵a ＝2b cos C ，∴a ＝2b a 2＋b 2－c 22ab ，∴b 2＝c 2，即b ＝c . 答案：A3．已知{a n }是等差数列，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，则其公差d ＝( )A ．－23B ．－13 C.13D.23解析：设数列的首项为a 1，公差为d ，则S 10＝10a 1＋10×92×d ＝70，即2a 1＋9d ＝14.①又a 10＝a 1＋9d ＝10.② 由①②解之可得a 1＝4，d ＝23. 答案：D4．已知等差数列的前n 项和为18，若S 3＝1，a n ＋a n －1＋a n －2＝3，则n 的值为( )A ．9B ．21C ．27D ．36解析：∵S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝1，又∵a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2， ∴3(a 1＋a n )＝1＋3，∴a 1＋a n ＝43.又∵S n ＝n (a 1＋a n )2＝23n ＝18，∴n ＝27，故选C. 答案：C5．关于x 的不等式ax －b ＞0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)＞0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(－1,3)C ．(1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：(ax ＋b )(x －3)＞0等价于⎩⎨⎧ax ＋b ＞0，x －3＞0，或⎩⎨⎧ax ＋b ＜0，x －3＜0.∴⎩⎨⎧x ＞－1，x ＞3，或⎩⎨⎧x ＜－1，x ＜3.∴x ∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)．答案：A6．若a ＞0，b ＞0且a 2＋14b 2＝1，则a 1＋b 2的最大值是( )A.32B.62C.54D.258解析：a1＋b 2＝24a 2(1＋b 2)4≤4a 2＋(1＋b 2)4＝54，等号当且仅当⎩⎨⎧4a 2＝1＋b 2，4a 2＋b 2＝4时成立，即a ＝104，b ＝62时成立．答案：C7．已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝b ＜cB ．a ＝b ＞cC ．a ＜b ＜cD ．a ＞b ＞c解析：a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23＞1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝32log 23＞1，c ＝log 32＜log 33＝1，故答案为B.答案：B8．对于每个自然数n ，抛物线y ＝(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1与x 轴交于A n ，B n 两点，以|A n B n |表示该两点间的距离，则|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2 011B 2 011|的值是( )A.2 0102 011B.2 0122 011 C.2 0112 010D.2 0112 012解析：|A n B n |＝|x 1－x 2|＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1n 2＋n 2－4n 2＋n ＝1n 2＋n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2 011B 2 011|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 011－12 012＝2 0112 012. 答案：D9．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m .如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，那么实数m 等于( )A ．7B ．5C ．4D ．3 解析：由题设可知⎩⎨⎧2x －y －1＝0，x ＋y －m ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋13，y ＝2m －13⇒m ＋13－2m －13＝－1⇒m ＝5.答案：B10．设{a n }是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是( )A ．X ＋Z ＝2YB ．Y (Y －X )＝Z (Z －X )C ．Y 2＝XZD ．Y (Y －X )＝X (Z －X )解析：由题意知S n ＝X ，S 2n ＝Y ，S 3n ＝Z . 又∵{a n }是等比数列．∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 为等比数列，即X ，Y －X ，Z －Y 为等比数列，∴(Y －X )2＝X ·(Z －Y )，即Y 2－2XY ＋X 2＝ZX －XY . ∴Y 2－XY ＝ZX －X 2，即Y (Y －X )＝X (Z －X )．答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是__________．解析：已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则a 25＝a 1·a 16，则(a 1＋4d )2＝a 1·(a 1＋16d )，整理得a 1＝2d ，故这个等比数列的公比是q ＝a 5a 1＝a 1＋4d a 1＝2d ＋4d 2d ＝3.答案：312．△ABC 中，A ，B ，C 分别为a ，b ，c 三条边的对角，如果b ＝2a ，B ＝A ＋60°，那么A ＝__________.解析：∵b ＝2a ，∴sin B ＝2sin A . 又∵B ＝A ＋60°，∴sin(A ＋60°)＝2sin A ，即3cos A ＝3sin A .∴cos 2A ＝3sin 2A .∴4sin 2A ＝1. ∴sin A ＝12，∴A ＝30°. 答案：30°13．若a ，b 是正常数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y ，当且仅当a x ＝b y 时上式取等号．利用以上结论，可以得到函数f (x )＝2x ＋91－2x (x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12)的最小值为__________，取最小值时x 的值为__________．解析：由已知中的信息，可得f (x )＝222x ＋321－2x ≥(2＋3)22x ＋(1－2x )＝25，当且仅当22x ＝31－2x，即x ＝15时上式取最小值，即[f (x )]min ＝25.答案：25 1514．已知实数x ，y 满足2x ＋y ≥1，则u ＝x 2＋y 2＋4x －2y 的最小值为__________．解析：由u ＝x 2＋y 2＋4x －2y ＝(x ＋2)2＋(y －1)2－5知，u 表示点P (x ，y )与定点A (－2,1)的距离的平方与5的差．又由约束条件2x ＋y ≥1知：点P (x ，y )在直线l ：2x ＋y ＝1上及其右上方．问题转化为求定点A (－2,1)到由2x ＋y ≥1所确定的平面区域的最近距离．故A 到直线l 的距离为A 到区域G 上点的距离的最小值．d ＝|2×(－2)＋1－1|22＋12＝45，∴d 2＝165，∴u min ＝d 2－5＝－95. 答案：－95三、解答题：本大题共4小题，满分50分． 15．(12分)解关于x 的不等式x 2－2ax ＋2≤0(a ∈R )．解：因为Δ＝4a 2－8，所以当Δ＜0即－2＜a ＜2时，原不等式的解集为∅；(2分)当Δ＝0即a ＝±2，对应的方程有两个相等实根． (4分)当a ＝2时，原不等式的解集是{x |x ＝2}； (6分)当a ＝－2时，原不等式的解集是{x |x ＝－2}； (8分)当Δ＞0时，对应的方程有两个不等实根，分别为x 1＝a －a 2－2，x 2＝a ＋a 2－2，且x 1＜x 2，所以不等式的解集是{x |a －a 2－2≤x ≤a＋a 2－2}．(12分)16．(12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，cos B＝35，且AB →·BC →＝－21.(1)求△ABC 的面积； (2)若a ＝7，求角C .解：(1)∵AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(π－B )＝－ac cos B ＝－35ac ＝－21，∴ac ＝35.(2分)又∵cos B ＝35，且B ∈(0，π)， ∴sin B ＝1－cos 2B ＝45.∴S △ABC ＝12ac ·sin B ＝12×35×45＝14. (6分)(2)由(1)知ac ＝35，又a ＝7，∴c ＝5.∴b 2＝49＋25－2×7×5×35＝32.∴b ＝4 2.(8分)由正弦定理得b sin B ＝c sin C .即4245＝5sin C ，∴sin C ＝22，又∵a ＞c ，∴C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴C ＝π4.(12分) 17．(12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C .(1)求内角B 的大小；(2)设m ＝(sin A ，cos2A )，n ＝(4k,1)(k ＞1)，m·n 的最大值为5，求k 的值．解：(1)由正弦定理及(2a －c )cos B ＝b cos C ，得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，整理得：2sin A cos B ＝sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A ，(4分)∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0，故cos B ＝12，∴B ＝π3.(6分)(2)m·n ＝4k sin A ＋cos2A ＝－2sin 2A ＋4k sin A ＋1，其中A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，设sin A ＝t ，t ∈(0,1]，则m·n ＝－2t 2＋4kt ＋1＝－2(t －k )2＋1＋2k 2.(8分)又k ＞1，故当t ＝1时，m·n 取得最大值．由题意得－2＋4k ＋1＝5，解得k ＝32.(12分)18．(14分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且－1，S n ，a n ＋1成等差数列，n ∈N *，a 1＝1，函数f (x )＝log 3x .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足b n ＝1(n ＋3)[f (a n )＋2]，记数列{b n }的前n 项和为T n ，试比较T n 与512－2n ＋5312的大小．解：(1)∵－1，S n ，a n ＋1成等差数列． ∴2S n ＝a n ＋1－1，①当n ≥2时，2S n －1＝a n －1，② ①－②，得2(S n －S n －1)＝a n ＋1－a n ， ∴3a n ＝a n ＋1.∴a n ＋1a n＝3.(4分)当n ＝1时，由①得2S 1＝2a 1＝a 2－1，a 1＝1， ∴a 2＝3.∴a 2a 1＝3.∴{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列． ∴a n ＝3n －1.(6分)(2)∵f (x )＝log 3x ，∴f (a n )＝log 33n －1＝n －1.∴b n ＝1(n ＋3)[f (a n )＋2]＝1(n ＋1)(n ＋3)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n ＋1－1n ＋3.(8分) ∴T n ＝12⎝ ⎛12－14＋13－15＋14－16＋15－17＋… ⎭⎪⎪⎫＋1n －1n ＋2＋1n ＋1－1n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＋13－1n ＋2－1n ＋3 ＝512－2n ＋52(n ＋2)(n ＋3).(10分) 比较T n 与512－2n ＋5312的大小，只需比较2(n ＋2)(n ＋3)与312的大小即可．2(n ＋2)(n ＋3)－312＝2(n 2＋5n ＋6－156)＝2(n 2＋5n －150)＝2(n ＋15)(n －10)．∵n ∈N *，∴当1≤n ≤9且n ∈N *时，2(n ＋2)(n ＋3)＜312，即T n ＜512－2n ＋5312；当n ＝10时，2(n ＋2)(n ＋3)＝312，即T n ＝512－2n ＋5312；当n ＞10且n ∈N *时，2(n ＋2)(n ＋3)＞312，即T n ＞512－2n ＋5312.(14分)。

高中数学模块素养测评卷一新人教A版必修第一册

模块素养测评卷(一)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设集合A ＝{x|－1<x<3}，B ＝{x ∈N *|0<x <4}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |0<x <3} B ．{x |－1<x <4} C ．{1，2} D ．{0，1，2}2．“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定形式为( ) A ．对任意x ∈R ，都有x 2<0 B ．不存在x ∈R ，都有x 2<0C ．存在x 0∈R ，使得x 20 ≥0 D ．存在x 0∈R ，使得x 20 <0 3．已知a ，b ∈R ，那么“3a<3b”是“log 13a >log 13b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞)5．将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位，得到函数y ＝f (x )·sin x 的图象，则f (x )的表达式可以是( )A ．f (x )＝－2cos xB ．f (x )＝2cos xC ．f (x )＝22sin 2x D ．f (x )＝22(sin 2x ＋cos 2x ) 6．若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是( )7．核酸检测在新冠疫情防控中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量PCR 法进行的，即通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增过程中的靶标DNA 进行实时检测．已知被标靶的DNA 在PCR 扩增期间，每扩增一次，DNA 的数量就增加p %.若被测标本DNA 扩增5次后，数量变为原来的10倍，则p 的值约为(参考数据：100.2≈1.585，10－0.2≈0.631)( )A ．36.9B ．41.5C ．58.5D ．63.18．已知函数f (x )＝m sin ωx ＋2cos ωx (m ≠0，ω>0)的图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为π6，且f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π9＝6，则函数f (x )在下列区间上单调递减的是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－π4C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6，－2π3二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．下列函数为偶函数的是( )A ．f (x )＝x 4B ．f (x )＝1x 2C ．f (x )＝x ＋1xD ．f (x )＝cos x10．若a >b >0，则下列不等式成立的是( ) A ．b a >b ＋1a ＋1 B ．1a <1b C ．a ＋1b >b ＋1a D ．a ＋1a >b ＋1b11．如图是函数y ＝sin (ωx ＋φ)的部分图象，则sin (ωx ＋φ)＝( )A.sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3B ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x C ．cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6D ．cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2x12．已知函数f (x )＝x |x －a |，其中a ∈R ，下列结论正确的是( ) A ．存在实数a ，使得函数f (x )为奇函数 B ．存在实数a ，使得函数f (x )为偶函数C ．当a >0时，f (x )的单调增区间为(－∞，a2)，(a ，＋∞)D ．当a <0时，若方程f (x )＋1＝0有三个不等实根，则a <－2 三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 23 ，则f (－8)的值是________． 14．已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝________．15．若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值为________．16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x，x ≥02－x ，x <0(a ∈R )，且f (f (－1))＝1，则a ＝________；若f (f (m ))＝4，则m ＝________．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)求值： (1)()6423×⎝⎛⎭⎫34－32－0.125－13；(2)()log 37＋log 732－log 949log 73－(log 73)2.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2＋(1－a )x －a ， (1)当a ＝2时，求不等式f (x )>0的解集；(2)若函数f (x )在[1，3]上具有单调性，求实数a 的取值范围．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝4cos x sin (x ＋π6)－1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上的最大值和最小值．20．(本小题满分12分) 已知α，β为锐角，tan α＝43，cos (α＋β)＝－55.(1)求sin α（sin 2α－cos 2α）2cos α－sin α的值；(2)求sin (α－β)的值．21．(本小题满分12分)某造纸厂拟建一座平面图形为矩形，面积为162平方米的三级污水处理池，平面图如图所示，池的深度一定，已知池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计，设水池的宽为x 米，总造价为y 元．(1)求y 关于x 的函数解析式；(2)证明：函数y ＝f (x )在[10，20]上单调递增；(3)当污水处理池的宽为多少米时，总造价最低？并求出最低总造价．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝kx ＋log 3(3x＋1)(k ∈R )为偶函数． (1)求实数k 的值；(2)若方程f (x )＝12x ＋log 3(a ·3x－a )(a ∈R )有且仅有一个实数根，求实数a 的取值范围．模块素养测评卷(一)1．答案：C解析：B ＝{x ∈N *|0<x <4}＝{1，2，3}，A ＝{x |－1<x <3}，所以A ∩B ＝{1，2}． 2．答案：D解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，则“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定形式为：存在x 0∈R ，使得x 20 <0. 3．答案：B解析：由3a<3b⇒a <b ，因为a ，b 的正负性不明确，故不能由3a<3b一定推出log 13a >log 13b 成立；由log 13a >log 13b ⇒a <b ⇒3a <3b ，所以“3a <3b ”是“log 13a >log 13b ”的必要不充分条件．4．答案：C解析：因为f (2)＝3－1>0，f (4)＝32－2<0，所以由根的存在性定理可知选C.5．答案：B解析：∵将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位得y ＝cos 2(x －π4)＝cos (2x －π2)＝sin 2x ＝2sin x cos x ＝f (x )·sin x ，∴f (x )＝2cos x ． 6．答案：B解析：由函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象可知，a ＝3，则对于选项A ，y ＝3－x是减函数，所以A 错误；对于选项B ，y ＝x 3的图象是正确的；对于选项C ，y ＝(－x )a ＝－x 3是减函数，故C 错；对于选项D ，函数y ＝log 3(－x )是减函数，故D 错误．7．答案：C解析：设DNA 数量没有扩增前为a ，由题意可得a (1＋p %)5＝10a ，所以(1＋p %)5＝10，所以1＋p %＝100.2，可得p %＝100.2－1＝0.585，p ＝58.5. 8．答案：B解析：因为函数f (x )＝m sin ωx ＋2cos ωx (m ≠0，ω>0)的图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离是π6，所以14×2πω＝π6，解得ω＝3.又f (0)＋f (π9)＝6，所以2＋32m ＋2×12＝6，解得m ＝23，所以f (x )＝23sin 3x ＋2cos 3x ＝4sin (3x ＋π6).令π2＋2k π≤3x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π9＋2k π3≤x ≤4π9＋2k π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递减区间是[π9＋2k π3，4π9＋2k π3]，k ∈Z .当k ＝－1时，(－π2，－π4)⊆[－5π9，－2π9]，所以函数f (x )在区间(－π2，－π4)上单调递减．9．答案：ABD解析：因为x ∈R ，f (－x )＝x 4＝f (x )，所以f (x )＝x 4为偶函数；因为x ≠0，函数f (－x )＝1x 2＝f (x )，所以f (x )＝1x2为偶函数；因为x ∈R ，f (－x )＝cos x ＝f (x )，所以f (x )＝cos x 为偶函数；因为x ≠0，函数f (－x )＝－x －1x ＝－f (x )，所以f (x )＝x ＋1x为奇函数．10．答案：BC解析：因为a >b >0，所以b －a <0，ab >0，所以b a －b ＋1a ＋1＝b （a ＋1）－a （b ＋1）a （a ＋1）＝b －a a （a ＋1）<0，所以b a <b ＋1a ＋1，故A 不正确；1a －1b＝b －a ab<0，所以1a <1b，故B 正确；a ＋1b －b －1a ＝a －b ＋a －b ab ＝(a －b )(1＋1ab)>0，故C 正确；当a ＝12，b ＝13时，满足a >b >0，但是a ＋1a ＝12＋2＝52<b ＋1b ＝13＋3＝103，故D 不正确．11．答案：ABC解析：由函数图象可知T 2＝2π3－π6＝π2，∴T ＝π，则|ω|＝2πT ＝2ππ＝2，不妨令ω＝2，当x ＝23π＋π62＝5π12时，y ＝－1，∴2×5π12＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )，解得φ＝2k π＋2π3(k ∈Z )，即函数的解析式为y ＝sin (2x ＋2π3＋2k π)＝sin (2x ＋2π3)，故A 正确；又sin (2x ＋2π3)＝sin (π＋2x －π3)＝－sin (2x －π3)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，故B 正确；又sin (2x ＋2π3)＝sin (2x ＋π6＋π2)＝cos (2x ＋π6)，故C 正确；而cos (2x ＋π6)＝cos (π＋2x －5π6)＝－cos (2x －5π6)＝－cos (5π6－2x )，故D 错误．12．答案：ACD解析：由f (－x )＝－x |－x －a |＝－x |x ＋a |，显然当a ＝0时有f (－x )＝－f (x )，但不存在实数a 使f (－x )＝f (x )，A 正确，B 错误；f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax －x 2，x <a x 2－ax ，x ≥a且f (x )在x ＝a 处连续，当a >0时，易知f (x )在(－∞，a2)上递增，在(a2，a )上递减，在(a ，＋∞)上递增，C 正确；由f (x )解析式，当a <0时f (x )在(－∞，a )上递增，在(a ，a 2)上递减，在(a2，＋∞)上递增，又f (a )＝0，f (a 2)＝－a 24，要使f (x )＋1＝0有三个不等实根，即f (x )与y ＝－1有三个交点，所以－a 24<－1，又a <0，可得a <－2，D 正确．13．答案：－4解析：f (8)＝823＝4，因为f (x )为奇函数，所以f (－8)＝－f (8)＝－4. 14．答案：－79解析：sin α－cos α＝43，两边平方得1－sin 2α＝169，则sin 2α＝－79.15．答案：7＋4 3解析：由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得ab ＝3a ＋4b ，即b ＝3aa －4>0，所以a >4，a ＋b ＝a ＋3a a －4＝a －4＋12a －4＋7≥7＋212＝7＋43，当且仅当a ＝4＋2 3 时取等号，所以a ＋b 的最小值为7＋4 3.16．答案：14 －2或4解析：由题意得f (－1)＝2－(－1)＝2，所以f (f (－1))＝f (2)＝a ·22＝4a ＝1，解得a ＝14.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≥02－x ，x <0，又f (f (m ))＝4，当m <0时，f (f (m ))＝f (2－m )＝22－m－2＝4，解得m ＝－2；当m ≥0时，f (f (m ))＝f (2m －2)＝22m －2－2＝4，解得m ＝4.所以m ＝－2或4.17．解析：(1)原式＝(432)23×(413)－32－(18)－13＝4×4－12－2＝4×14－2＝0.(2)原式＝(log 37)2＋(log 73)2＋2log 37×log 73－log 37log 73－(log 73)2＝(log 37)2＋2－(log 37)2＝2.18．解析：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2－x －2>0，解得x >2或x <－1，故不等式f (x )>0的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞). (2)因为函数f (x )在[1，3]上具有单调性，所以a －12≤1或a －12≥3，解得a ≤3或a ≥7.19．解析：(1)因为f (x )＝4cos x sin (x ＋π6)－1＝4cos x ·(32sin x ＋12cos x )－1 ＝3sin 2x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin (2x ＋π6)，故f (x )最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.20．解析：(1)因为α，β为锐角，tan α＝43，则sin αcos α＝43sin 2α＋cos 2α＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45cos α＝35，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2425，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725.所以sin α（sin 2α－cos 2α）2cos α－sin α＝tan α（sin 2α－cos 2α）2－tan α＝43×（2425－925）2－43＝65.(2)因为α，β为锐角，tan α＝43，cos (α＋β)＝－55，所以sin (α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝255， sin (α－β)＝sin [2α－(α＋β)]＝sin 2αcos (α＋β)－cos 2α·sin (α＋β) ＝2425×(－55)－(－725)×255＝－2525. 21．解析：(1)由已知得水池的长为162x米，所以y ＝400×2×(x ＋162x )＋248×2x ＋80×162＝1 296×(x ＋100x)＋12 960，所以y 关于x 的函数解析式y ＝1 296(x ＋100x)＋12 960.(2)任取x 1，x 2∈[10，20]，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1 296(x 1＋100x 1)＋12 960－[1 296×(x 2＋100x 2)＋12 960]＝1 296(x 1＋100x 1－x 2－100x 2)＝1 296[x 1－x 2＋100（x 2－x 1）x 1x 2]＝1 296(x 1－x 2)(1－100x 1x 2)∵10≤x 1<x 2≤20，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>100， ∴1－100x 1x 2>0，∴(x 1－x 2)(1－100x 1x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以函数y ＝f (x )在[10，20]上单调递增． (3)由(1)知y ＝1 296(x ＋100x)＋12 960≥1 296×2x ·100x＋12 960＝38 880，当且仅当x ＝100x(x >0)，即x ＝10时等号成立，函数取得最小值，即当污水处理池的宽为10米时，总造价最低，最低总造价为38 880元．22．解析：(1)由题设，f (－x )＝f (x )，即－kx ＋log 3(3－x＋1)＝kx ＋log 3(3x＋1)， ∴2kx ＝log 33－x＝－x ，可得2k ＝－1，则k ＝－12.11 (2)由题设，－x 2＋log 3(3x ＋1)＝x 2＋log 3(a ·3x －a )，则log 3(3x ＋1)＝x ＋log 3a (3x －1)， ∴a (3x －1)>0，且3x ＋1＝3x ·a (3x －1)＝a (32x －3x )，整理得a ·32x －(a ＋1)3x －1＝0，令t ＝3x (t ＞0)，则g (t )＝at 2－(a ＋1)t －1有且仅有一个零点，g (0)＝－1<0，g (1)＝－2<0，当a ＝0时，g (t )＝－t －1, 此时g (t )＝0，得t ＝－1，不合题意；当a >0时，x >0, 此时，t ∈(1，＋∞)且g (t )开口向上，∴g (t )在(1，＋∞)上有且仅有一个零点；当a <0时，x <0，此时，t ∈(0，1)且g (t )开口向下且对称轴是x ＝12(1＋1a)， ∴0<1＋1a<2，即a <－1时，仅当Δ＝(a ＋1)2＋4a ＝a 2＋6a ＋1＝0，可得a ＝－3－22符合条件；1＋1a<0，即－1<a <0时，g (t )在(0，1)上无零点．综上，a ∈{－3－22}∪(0，＋∞).。

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高中数学学习材料
金戈铁骑整理制作
山东省临沂市卧龙学校2011—2012学年高二上学期模块检
测
数学（文）2011.11
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上.
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案代号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.
3.考试结束后，监考人员将答题卡收回.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）.
1. 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若854,18S a a 则-=等于（）
A ．72
B ．54
C ． 36
D ．18
2．在等比数列
{}n a ，37232a a ==，，则q =（） A. 2 B. －2
C. ±2
D. 4
3．在△ABC 中，若222c a b ab =++，则∠C =（）
A. 60°
B. 90°
C. 150°
D. 120° 4．如果33log log 4m n +=，那么n m +的最小值是（）
A ．4
B ．34
C ．9
D ．18
5.已知0<<b a ，则下列式子中恒成立的是（）
A ．b a 11<
B ．b a 11>
C ．22b a <
D ． 1<b
a 6. 不解三角形，下列判断中正确的是（）
A ．a =7，b =14，A =300有两解
B ．a =30，b =25，A =1500有一解
C ．a =6，b =9，A =450有两解
D ．a =9，c =10，B =600无解
7. 在首项为81，公差为-7的等差数列{a n }中，最接近零的是第 ( ) 项
A . 11
B . 12 C. 13 D . 14
8．不等式x 2-ax -b <0的解为2<x <3，则a ,b 值分别为（）
A.a =2,b =3
B.a =-2，b =3
C.a =5,b =-6
D.a =-5，b =6
9.关于x 的方程02cos cos cos 2
2=-⋅⋅-C B A x x 有一个根为1，则△ABC 一定是（）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．钝角三角形
10．已知两个数列3，7，11，…，139与2，9，16，…，142，则它们所有公共项的个数为（）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7 11．f x ax ax ()=+-21在R 上满足f x ()<0，则a 的取值范围是（）
A ．a ≤0
B ．a <-4
C ．-<<40a
D ．-<≤40a
12.如果正数,,,a b c d 满足4a b cd +==，那么（）
A. ab c d ≤+且等号成立时,,,a b c d 的取值唯一
B. ab c d ≥+且等号成立时,,,a b c d 的取值唯一
C. ab c d ≤+且等号成立时,,,a b c d 的取值不唯一
D. ab c d ≥+且等号成立时,,,a b c d 的取值不唯一
文第II 卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上.
13．不等式x
x 1≤的解集是 . 14．等差数列110，116，122，128，……，在400与600之间共有________项.
15．已知变量y x ,满足关系式⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤≥+333y x y x ，22)1(++=y x z ，则z 的最大值是 .
16．在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C =3∶5∶7,则此三角形的最大内角的度数等于________.
三、解答题：（本大题共6个小题，共74分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题满分12分）
已知在△ABC 中，A =450，AB =6，BC =2.
解此三角形.
18. （本题满分12分）
解关于x 的不等式：
11
<+x ax .
19．（本题满分12分）
等差数列{}n a 的项数m 是奇数, 且a 1 + a 3 + …+a m = 44 , a 2 + a 4 +…+ a m －1 ＝33 . 求m 的值.
20. （本题满分12分）
已知是数列{}n a 是等比数列，其中71a =，且456,1,a a a +成等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）数列{}n a 的前n 项和记为n s ，证明：128(1,2,3,...n s n <=）.
21．（本题满分12分）
已知2()3(6)6f x x a a x =-+-+.
（Ⅰ）解关于a 的不等式(1)4f >；
（Ⅱ）若不等式()f x b >的解集为（0,3），求实数,a b 的值.
22．（本题满分14分）
在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ．
（Ⅰ）证明数列{}n a n -是等比数列；
（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；
（Ⅲ）证明不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*N 皆成立．
高二数学（文）试题答案
一、选择题1.A 2.C 3.D 4.D 5.B 6.B 7.C 8.C 9.A 10.B 11.D 12.A
二、填空题13. (,1)(0,1)-∞-⋃ 14．33 15． 25 16. 1200
三、解答题
17.解答：C =120 B =15 AC =13-…………………………………6分
或C =60 ，B =75 ，AC =13+………………………………12分
18.解不等式可变形为(1)101
a x x --<+，当0a =时，x R ∈………………………………2分
当1a =时，1x >-………………………………4分当
111a <--即01a <<时，111x a <<--………………………………7分当111a >--即0a <或1a >时，111
x a -<<-………………………………10分综上……. …………………………12分
19. 解：由已知可得
1324144
(1)33(2)m m a a a a a a -+++=⎧⎨+++=⎩………………………………4分
（1）－（2）得
11112
m a d -+=………………………………6分（1）+（2）得
11(1)(1)[]7722
m m m m S ma d m a d --=+=+=………………………………10分所以 11m=77 即 m=7………………………………12分
20. （１）由题意得：244422a q a a q +=+……（1）……………………………2分
341a q =……（2）………………………………4分
整理得222(1)1q q q +=+12
q ∴=………………………………6分 48a ∴=，164a =
1164()2
n n a -=………………………………8分（2）11281()1282n n s ⎡⎤=-<⎢⎥⎣
⎦………………………………12分 21. 解：（1）{}|17a a -<<…………………….6分 3,6a b ==……………………………………………12分
22.解：（Ⅰ）证明：由题设1431n n a a n +=-+，得 1(1)4()n n a n a n +-+=-，n ∈*N ．………………………………2分又111a -=，
所以数列{}n a n -是首项为1，且公比为4的等比数列．………………………………4分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知14n n a n --=，于是数列{}n a 的通项公式为
14n n a n -=+．………………………………7分
所以数列{}n a 的前n 项和41(1)32
n n n n S -+=+．………………………………10分（Ⅲ）证明：对任意的n ∈*
N ， 1141(1)(2)41(1)44323
2n n n n n n n n S S ++⎛⎫-++-+-=+-+ ⎪⎝⎭ 21(34)02
n n =-+-≤．………………………………12分所以不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*N 皆成立．………………………………14分。