高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.1 单调性课件4 苏教版选修1-1
(人教版)高中数学选修1-1课件：第3章 导数及其应用3.3.3
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
(3)函数f(x)在闭区间[a，b]上图象连续不断，是f(x)在闭区 间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个， 而函数的极值可能不止一个，也可能一个也没有，函数的最大 值一定不小于它的最小值．
函数在闭区间上的最值可在端点处取 ③×
得，也可以在内部取得 ④ × 单调函数在开区间(a，b)内无最值
答案： A
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
2．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为
10，则其最小值为( )
A．－10
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
(2)若 a<0，当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
[－1,0)
0
(0,2]
f′(x)
－
0
＋
f(x)
极小值
所以当 x＝0 时，f(x)取得最小值， 所以 f(0)＝b＝－29.
数学 选修1-1
x
－3 (－3，－1) －1 (－1,0) 0 (0,1)
f′(x)
＋
0
－
0＋
f(x)
－60
极大 值4
极小 极大 值3 值4
∴当 x＝－3 时，f(x)取最小值－60；
1 (1,2) 2 0－
－ 5
高中数学第三章导数及其应用3.1导数的概念3.1.2瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1(2021
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3.1。
2 瞬时变化率—导数学习目标：1。
理解导数的概念和定义及导数的几何意义．(重点） 2.理解运动在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度）．（难点)[自主预习·探新知］1．曲线上一点处的切线设曲线C上的一点P，Q是曲线C上的另一点，则直线PQ称为曲线C的割线；随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C。
当点Q无限逼近点P时，直线PQ 最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线．2．瞬时速度运动物体的位移S(t）对于时间t的导数，即v（t）＝S′（t）．3．瞬时加速度运动物体的速度v（t）对于时间t的导数,即a(t)＝v′（t)．4．导数设函数y＝f(x）在区间(a，b)上有定义,x0∈(a，b），当Δx无限趋近于0时，比值错误!＝错误!无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处可导，并称常数A为函数f（x）在点x＝x处的导数,记作f′（x0）．5．导函数若函数y＝f（x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随自变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x）的导函数，记作f′（x）．6．函数y＝f(x）在点x＝x0处的导数f′(x0）的几何意义是曲线y＝f(x）在点(x0，f(x0）)处的切线的斜率．[基础自测］1．判断正误：(1)函数y＝f（x）在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．（)(2）在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．( )（3）在导数的定义中，错误!＞0.( ）【解析】(1）√。
高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.1 单调性课件6 苏教版选修1-1
3 K12课件
3
18
巩固训练：
变2：求函数 y 3ex 3x 的单调区间。
解 : y 3e x 3 3e x 3 0, e x 1, x 0, 单调增区间为(0,); 3e x 3 0, e x 1, x 0, 单调减区间为(,0);
K12课件
K12课件
1
复习引入：
问题1：怎样利用函数单调性的定义 来讨论其在定义域的单调性
1．一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如
果对于属于这个区间的任意两个自变量的值
x1，x2，当x1<x2时， (1)若f(x1)<f (x2)，那么f(x)在这个区间
上是增函数.
(2)若f(x1)>f (x2)，那么f(x)在这个区间
(2) y x ln x;
(3) y ex x 1.
K12课件
7
发现问题：用单调性定义讨论 函数单调性虽然可行，但十分 麻烦，尤其是在不知道函数图 象时.例如y=x3+2x2-x.是否有更 为简捷的方法呢？下面我们通 过函数的y=x2－4x＋3图象来考 察单调性与导数有什么关系：
K12课件
19
变3：求函数 y 1 的单调区间。
x
解 : y ( 1 ) 1
x
x2
1 x2
0, x
0或x
0,
单调减区间为( ,0), (0, )
K12课件
20
2．应用导数信息确定函数大致图象
已知导函数的下列信息：
当2 x 3时，f '( x) 0; 当x 3或x 2时，f '( x) 0; 当x 3或x 2时，f '( x) 0.
2018-2019数学苏教版选修1-1课件：第3章3.3.2 极大值与极小值
1．函数极值的概念
(1)极大值与极小值的直观解释 如图，函数图象在点P处从左侧到右侧由“____上__升______”变
为“_____下__降_____”(函数由单调递增变为单调递减)，这时
在点P附近，点P的位置最高，也就是说f(x1)比它附近点的函 数值都要______大______．我们称f(x1)为函数f(x)的极 _____大_______值．类似地，图中f(x2)为函数f(x)的极小值．函 数的极大值、极小值统称为函数的_____极__值_____．
(2)由(1)得 f(x)＝－23ln x－16x2＋x.f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)
＝－32x－13x＋1，
f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (0,1) 1 (1,2)
2
(2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
0
－
f(x)
↘5 6
↗ 43－23ln 2
↘
因此，当 x＝1 时，f(x)有极小值56；当 x＝2 时，f(x)有极大值43－
(1)求可导函数f(x)的极值的步骤： ①由函数f(x)的解析式确定定义域，求出f′(x)并通过因 式分解化为积(商)形式； ②令f′(x)＝0解方程求根； ③由f′(x)＝0的根顺次将函数定义域划分成若干开区间, 并列成表格(f′(x)＝0只有一个根时可以不列表格)； ④根据表格指出极值及相应极值点(同时也可以得到单调 区间)． (2)函数解析式或给定的定义域中含有字母常数时要注意 分类讨论．
第3章 导数及其应用
3．3.2 极大值与极小值
第3章 导数及其应用
学习导航
1.了解函数极大值与极小值概念．(重点) 学习 2.理解区分极值与极值点，极值点与导数为零的点 目标 之间的关系．
版高中数学 第三章 导数及其应用 3.2.1 常见函数的导数课件 苏教版选修1-1.pptx
设存在一个公共点(x0，y0)，使两曲线的切线垂直， 则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝y′|xx0＝cos x0， k2＝y′| xx0 ＝－sin x0.
要使两切线垂直，必须有k1k2＝cos x0(－sin x0)＝－1， 即sin 2x0＝2，这是不可能的． 所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．
1 2 3 4 285
2.下列结论：①(sin x)′＝－cos x；②1x′＝x12； ③(log3x)′＝3l1n x；④(ln x)′＝1x. 其中正确的结论是___④_____. 答案 解析 由求导公式知，(sin x)′＝cos x，1x′＝－x12，(log3x)′＝xln1 3，(ln x)′ ＝1x，故④正确.
第3章 §3.2 导数的运算
3.2.1 常见函数的导数
1
学习目标
1.能用导数的定义求比较简单的幂函数的导数. 2.准确记忆基本初等函数的导数公式，并灵活运用公式求
某些函数的导数．
2
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
3问题导学4知识点一 幂函数与一次函数的导数
思考1
函数y＝kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关？ 答案 当k>0时，函数增加的快慢与系数k有关，k越大，增加的越快； 当k<0时，函数减少的快慢与|k|有关，|k|越大，函数减少的越 快．
7
知识点二 基本初等函数的求导公式
思考1
计算过程(cos π6)′＝－sin π6＝－12正确吗？ 答案 不正确．因为 cos π6＝ 23为常数，其导数为 0.
8
思考2
如何利用(ln x)′推出(logax)′？ 答案 (logax)′＝llnn ax′＝ln1a(ln x)′＝ln1a·1x＝x·l1n a.
高中数学优质课件精选人教版选修1-1课件第3章导数及其应用3.3.2
2．设函数 f(x)＝2x＋ln x，则( ) A．x＝12为 f(x)的极大值点 B．x＝12为 f(x)的极小值点 C．x＝2 为 f(x)的极大值点 D．x＝2 为 f(x)的极小值点
解析： ∵f(x)＝2x＋ln x， ∴f′(x)＝－x22＋1x，令 f′(x)＝0， 即－x22＋1x＝x－x2 2＝0， 解得 x＝2. 当 x<2 时，f′(x)<0；当 x>2 时，f′(x)>0，所以 x＝2 为 f(x) 的极小值点．
x
(－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
极小值
极大值
由表可以看出：
当 x＝－1 时，函数有极小值，且 f(－1)＝－22－2＝－3； 当 x＝1 时，函数有极大值，且 f(1)＝22－2＝－1.
已知极值求参数
已知 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c 在 x＝1 与 x＝－23时都取 得极值．
x .
令 f′(x)＝0，解得 x＝e.
当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
x f′(x)
(0，e) ＋
e
(e，＋∞)
0
－
f(x)
单调递增
1 单调递减 e
因此，x＝e 是函数的极大值点，极大值为 f(e)＝1e，没有极
小值．
•
求函数极值的方法：
• (1)求导数f′(x)；
• (2)求方程f′(x)＝0的全部实根；
解析： (1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 令 f′(x)＝0，由题设知 x＝1 与 x＝－23为 f′(x)＝0 的解． ∴11－ ×23－＝23－＝23ab3，. ∴a＝－12，b＝－2.
高中数学新湘教版精品教案《湖南教育出版社高中数学选修1-1 3.3.1 利用导数研究函数的单调性》
利用导数研究函数的单调性珠海市斗门区第一中学 邢维金 高二2021【教材分析】“函数单调性与导数”是高中数学（选修1-1）第三章导数及其应用的第三节，本节的教学内容属导数的应用，是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容，学好它既可加深对导数的理解，又可为后面研究函数的极值和最值打好基础,起到承上启下的作用【学情分析】课堂学生为高二年级的文科班学生，他们在高一已经掌握了单调性的定义，并能用定义判定在给定区间上函数的单调性通过本节课的学习，应使学生体验到，用导数判断单调性要比用定义判断简捷得多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图象难以画出的函数而言），充分展示了导数解决问题的优越性【教学目标】1三维目标知识与技能：1探索函数的单调性与导数的关系;2会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间过程与方法：让学生经历知识的建构过程，培养学生观察、探究能力，在探究函数单调性与导数符号关系的过程中，渗透数形结合、转化等思想方法；情感态度价值观：利用几何画板的精彩演示，增强图形美感，使学生享受数学美，培养学生数学学习的兴趣2. 核心素养目标数学抽象：从几何与数量关系中抽象函数单调性与导数的关系，让学生学会“用数学的眼光看”数学问题; 逻辑推理：使用以已知探求未知，从特殊到一般的推导方法，让学生学会“用数学的思维”思考问题; 数学模型：建系让“数”和“形”之间建立联系，让学生学会“用数学的语言”表述问题【教学重难点】教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间教学难点：⒈ 探究函数的单调性与导数的关系;⒉ 如何用导数判断函数的单调性易错易混点：导数的正负决定函数的单调性，而不是导数的单调性决定函数的单调性【教学策略与方法】教学方法：启发讲授式与问题探究式．教学准备：多媒体课件、几何画板、互动课堂平台【教学过程】一、温故知新问题引领问题一：判断函数的单调性有哪些方法？问题二: 如何判断函数=2－4＋3的单调性？问题三:如果遇到函数323y x x =-，如何判断单调性呢？你能画出该函数的图像吗？【设计意图】通过复习回顾，巩固旧知从已学过的知识（判断二次函数的单调性）入手，提出新的问题（判断三次函数的单调性），引起认知冲突，激发学习的兴趣二、探究新知简例探究引例：几何画板观察函数=2－4＋3的图象的切线情况【设计意图】从熟悉的二次函数出发，提出本节课要探索的问题，函数的单调性与导数的关系为学生提供一个联想的“源”，巧妙设问，把学习任务转移给学生；让学生完成对函数单调性与导数关系的第一次认识，明确研究课题师生共同总结：通过以上四个函数的单调性及其导数符号的关系说明，在区间),(b a 内,如果_______，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增；如果_______，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递减【设计意图】从具体的函数出发，体会数形结合思想的运用让学生体会从特殊到一般，从具体到抽象的过程，降低思维难度，让学生在老师的引导下自主学习和探索，提高学习的成就感和自信心三、理解新知归纳论证函数的单调性与导数的关系: 在某个区间),(b a 内，如果0)(/>x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增；如果0)(/<x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递减．说明：1如果0)(/=x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内是常函数．2正确理解“ 某个区间 ”的含义，它必是定义域内的某个区间．【设计意图】通过导数的几何意义来验证由具体函数所得到的结论，形成一般性结论让学生经历观察、分析、归纳、发现规律的过程，体会函数单调性与导数的关系四、运用新知典例精析例1求函数323y x x =-的单调区间【师生活动】几何画板演示函数图像【变式训练1】判断下列函数的单调性，并求其单调区间。
2018-2019学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.1 单调性讲义 苏教版选修1-1
依题意有当x∈(1,4)时，f′(x)<0， 当x∈(6，＋∞)时，f′(x)>0， 所以4≤a－1≤6，即5≤a≤7， 所以a的取值范围是[5,7]．
名师解题 破解与函数单调性有关的综合问题
＋∞)，所以，函数的单调递增区间为 33，＋∞，单调递减 区间为0， 33.
(3)函数的定义域为{x|x≠0}．
f′(x)＝x＋bx′＝1－xb2＝x12(x＋ b)(x－ b)．
令 f′(x)>0，则x12(x＋ b)(x－ b)>0. ∴x> b或 x<－ b. ∴函数的单调递增区间为(－∞，－ b)和( b，＋∞)． 令 f′(x)<0，则x12(x＋ b)(x－ b)<0， ∴－ b<x< b，且 x≠0， ∴函数的单调递减区间为(－ b，0)和(0， b)．
则 f′(x)＝(scions xx)′－1－x2 ＝cos2cxo＋s2xsin2x－1－x2 ＝co1s2x－1－x2 ＝1－cocso2xs2x－x2
＝tan2x－x2 ＝(tan x＋x)(tan x－x)．
∵x∈(0，π2)，∴tan x>x>0.
∴f′(x)>0，即 f(x)在(0，π2)内单调递增． 又 f(0)＝0，∴当 x∈(0，π2)时，f(x)>0， 即 tan x>x＋x33.
设函数 f(x)＝ax－ax－2ln x. (1)若 f′(2)＝0，求 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)在定义域上是增函数，求实数 a 的取值范围． [解] (1)∵f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(2)＝0，且 f′(x)＝ a＋xa2－2x. ∴a＋a4－1＝0，∴a＝45. ∴f′(x)＝45＋54x2－2x＝52x2(2x2－5x＋2)，
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一般地，设函数 y = f (x) 的定义域为A，区间I A，
如果对于区间I内的任意两个值 x1, x2，当 x1 x2 时，都
有 f (x1) f (x2 ) ，那么就说y = f (x) 在区间I上是单调
增函数，I称为y = f (x) 的单调增区间
如果对于区间I内的任意两个值 x1, x2，当 x1 x2时，都
在哪些区间是增函数。
说明:当函数的单调增区间或减区间有多 个时，单调区间之间不能用 连接，只 能分开写，或者可用“和”连接。
K12课件
8
四、数学运用:
利用导数讨论函数单调性的一般步骤:
(1)求 y = f(x) 的定义域D (2)求导数 f ( x). (3)解不等式;f ¢(x) > 0 或解不等式f ¢(x) < 0 . (4)与定义域求交集 (5)写出单调区间
（1） y x x2 （2） y x x3
K12课件
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四、数学运用:
例3：证明： f(x)=2x-sinx在R、数学运用: 练习：求证：f (x) ex x在区间（－，0） 内是减函数
K12课件
15
五、小结:
1.在利用导数讨论函数的单调性时,首先要 确定函数的定义域,解决问题的过程中,只能在函 数的定义域内, 通过讨论导数的符号来判断函 数的单调区间，或证明函数的单调性.
y
y=f(x)
y
y=f(x)
oa
bx
oa
K12课件
bx
6
四、数学运用:
例1 确定函数 f (x) x2 4x 3
在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。 思考：能不能用其他方法解？
y
1
1
o
x
－1
K12课件
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四、数学运用:
例2：确定函数 f (x) 2x3 6x2 7 ，
2.利用导数的符号来判断函数的单调区间, 是导数几何意义在研究曲线变化规律的一个应 用,它充分体现了数形结合的思想.
K12课件
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六、课后作业
P78习题3.3第1、2题
K12课件
17
K12课件
18
有 f (x1) f (x2 ) ，那么就说y = f (x) 在区间I上是单调
减函数，I称为y = f (x) 的单调减区间
K12课件
5
三、建构数学:
一般地， 设函数y＝f（x），
1)如果在某区间上f′(x)>0，那么f（x） 为该区间上的增函数，
2)如果在某区间上f′(x)<0，那么f（x） 为该区间上的减函数。
变式1：求 f (x) 2x3 6x2 7(x>-1)
的单调增区间
变式2：求 f (x) 2x3 6ax2 7(a 0)
的单调减区间
K12课件
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四、数学运用:
变式2：求f (x) 2x3 6ax2 7(a 0) 的单调减区间
解：
f (x)＝6x2 12ax 即x(x 2a) 0
3.3导数在研究函数中的应用 3.3.1 单调性
K12课件
1
一、情境设置:
过山车是一项富有刺激性的娱乐工具。那种风驰 电掣、有惊无险的快感令不少人着迷。
K12课件
2
图形演示
K12课件
3
二、学生活动:
讨论
通过图形演示你得出了什么结论?
函数单调性与导数符号有着密切的关系
K12课件
4
二、学生活动:
令f (x) 0,即6x2 12ax 0
(1)当2a 0时,即a 0, 则0 x 2a
所以f (x)的单调减区间为（0，2a) （2）当2a 0时,即a 0, 则2a x 0
所以f (x)的单调减区间为（2a，0)
K12课件
12
四、数学运用:
基础练习:求下列函数的单调区间
K12课件
9
四、数学运用:
例2：确定函数 f (x) 2x3 6x2 7 ，
在哪些区间是增函数。
变式1：求 f (x) 2x3 6x2 7(x>-1)
的单调增区间
K12课件
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四、数学运用:
例2：确定函数 f (x) 2x3 6x2 7 ，
在哪些区间是增函数。