导数复习PPT优秀课件
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3.2导数的计算(27张PPT)
;
(7) y 3 x; 2
例3 :日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯
净度的提高，所需净化费用不断增加。已知1吨水净化
到纯净度为x%时所需费用（单位:元）为：
c(x)= 5284 (80 x 100). 100 x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率;
(1)90%;
(2)98%.
x
x
f (x) (x2) ' lim y lim 2x x x2 lim (2x x) 2x.
x x0
x0
x
x0
公式三：（x2）' 2x
二、几种常见函数的导数
4) 函数y=f(x)=1/x的导数.
解: y f (x) 1 , x
y f (x x) f (x) 1 1 x x x x (x x)x
y
'
1 x2
探究：
表示y=C图象上每一点处的切线 斜率都为0
表示y=x图象上每一点处的切线 斜率都为1
这又说明什么?
这又说明什么?
画出函数y=1/x的图像。根据图像， 描述它的变化情况。并求出曲线在 点（1,1）处的切线方程。
x+y-2=0
3.2.2基本初等函数 的导数公式及导数 的运算法则
高二数学 选修1-1
y f (x x) f (x) C C 0,
y 0, x
f (x) C lim y 0. x0 x
公式一：C 0 (C为常数)
二、几种常见函数的导数
2) 函数y=f(x)=x的导数. 解: y f (x) x,
y f (x x) f (x) (x x) x x,
(1) c '(90) 5284 52.84 (100 90)2
《导数及其应用》课件(复习课
存在性：在闭区间[a，b]上连续函 数f(x)在[a，b]上必有最大值与最 小值．
求最大（小）值的方法：函数f(x)在闭区间[a，b]上最值求 法：
1. 求出f(x)在(a，b)内的极值； 2. 将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中较大的一个是最大值，
较小的一个是最小值.
例 6(05 北京 15)已知函数 f x x3 3x2 9x a . （Ⅰ）求 f x 的单调递减区间； （Ⅱ）若 f x 在区间2, 2 上的最大值为 20,求它在该
（II）由（I）知，
f
(x)
3mx2
6(m
1) x
3m
6
= 3m( x
1)
x
1
2 m
当 m 0 时,有1 1 2 ,当 x 变化时, f (x) 与 f (x) 的变化如下表： m
x
,1
2 m
1 2 m
1
2 m
,1
1
1,
f (x)
0
0
f (x)
极小值
极大值
故由上表知,当
m
0 时,
f
解： f/(x)=3x2－ 1，
∴k= f/(1)=2
∴所求的切 线方程为：
y－2=2(x －1),
即 y=2x
例1．已经曲线C：y=x3x+2和点(1,2)求在点A处 的切线方程？
变式1：求过点A的切线方程？
解：变1：设切点为P（x0，x03－x0+2）， k= f/(x0)= 3 x02－1，
∴切线方程为 y－ ( x03－x0+2)=(3 x02－1)(x－x0)
又∵切线过点A(1,2) ∴2－( x03－x0+2)=( 3 x02－1)(1－x0) 化简得(x0－1)2(2 x0+1)=0，
导数的应用复习PPT课件
3 2
解：
f ( x)＝6x 2 12ax
2 令f ( x) 0,即6x 12ax 0
即x( x 2a) 0
(1)当2a 0时,即a 0, 则0 x 2a
所以f ( x)的单调减区间为（0， 2a )
（2）当2a 0时,即a 0, 则2a x 0
所以f ( x)的单调减区间为（2a， 0)
练习3、（浙江卷）设/(x)是函数(x)的导函
y
数 ,y=/(x) 的图象如右图所示 , 则 y=(x) 的图 象最有可能的是 ( )
y y
y=f'(x)
O
1
2
x
O
1
2
x
O
1
2
x
y
(A)
2 1
y
(B)
O
x
1
2
x
(C)
(D)
例2:已知函数f（x）=ax3+3x2-x+1在R上是减函 数，求实数a的取值范围 .
导数主要有哪 些方面的应用?
1、求函数在某点的切线方程 2、判断单调性、求单调区间 3、求函数的极值 4、求函数的最值
…
应用一、判断单调性、求单调区间
函数的导数与函数的单调性之间的关系？
（1）定义法（2） 判断函数单调性的常用方法： 导数法
要点·疑点·考点
一般地，设函数y＝f（x），
1)如果在某区间上f′(x)>0，那么f（x） 为该区间上的增函数， 2)如果在某区间上f′(x)<0，那么f（x） 为该区间上的减函数。
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其 附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所 有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是 函数的一个极大值，如果f(x0)的值比x0 附近所有各点的函数值都小，我们就 说f(x0)是函数的一个极小值。 极大值与极小值统称为极值.
解：
f ( x)＝6x 2 12ax
2 令f ( x) 0,即6x 12ax 0
即x( x 2a) 0
(1)当2a 0时,即a 0, 则0 x 2a
所以f ( x)的单调减区间为（0， 2a )
（2）当2a 0时,即a 0, 则2a x 0
所以f ( x)的单调减区间为（2a， 0)
练习3、（浙江卷）设/(x)是函数(x)的导函
y
数 ,y=/(x) 的图象如右图所示 , 则 y=(x) 的图 象最有可能的是 ( )
y y
y=f'(x)
O
1
2
x
O
1
2
x
O
1
2
x
y
(A)
2 1
y
(B)
O
x
1
2
x
(C)
(D)
例2:已知函数f（x）=ax3+3x2-x+1在R上是减函 数，求实数a的取值范围 .
导数主要有哪 些方面的应用?
1、求函数在某点的切线方程 2、判断单调性、求单调区间 3、求函数的极值 4、求函数的最值
…
应用一、判断单调性、求单调区间
函数的导数与函数的单调性之间的关系？
（1）定义法（2） 判断函数单调性的常用方法： 导数法
要点·疑点·考点
一般地，设函数y＝f（x），
1)如果在某区间上f′(x)>0，那么f（x） 为该区间上的增函数， 2)如果在某区间上f′(x)<0，那么f（x） 为该区间上的减函数。
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其 附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所 有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是 函数的一个极大值，如果f(x0)的值比x0 附近所有各点的函数值都小，我们就 说f(x0)是函数的一个极小值。 极大值与极小值统称为极值.
高考数学-导数-专题复习课件
)
v0t
,求1物gt体2 在时刻
2
时的瞬t0时速度.
解析：
s(t)
v0
1 2
g
2t
v0
gt
∴物体在 t时0 刻瞬时速度为 s(t0 ) v0 gt0. 题型四 导数的几何意义及几何上的应用
【例4】(12分)已知曲线 y 1 x3 4 .
33
（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程； （2）求过点P（2，4）的曲线的切线方程.
x0
x0
x0
典例分析
题型一 利用导数求函数的单调区间
【例1】已知f(x)= e-xax-1,求f(x)的单调增区间.
分析 通过解f′(x)≥0,求单调递增区间.
解 ∵f(x)= -aexx -1,∴f′(x)= -a. ex 令f′(x)≥0,得 ≥ae. x 当a≤0时，有f′(x)＞0在R上恒成立； 当a＞0时，有x≥ln a. 综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(-∞,+∞); 当a＞0时，f(x)的单调增区间为［ln a,+∞).
分析 (1)在点P处的切线以点P为切点.关键是求出切线斜率k=f′(2). (2)过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标.
解（1）∵y′= ,…x2……………………………2′ ∴在点P（2，4）处的切线的斜率 k y |x..23′ 4. ∴曲线在点P（2,4）处的切线方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0……………………………………….4′ (2)设曲线 y 1 x过3 点4 .P（2，4）的切线相切于点
33
则切线的斜率 k y |xx0……x02…. …………..6′
∴切线方程为
y
(1 3
导数的课件ppt
导数的课件
目录
Contents
• 导数的定义与几何意义 • 导数的计算 • 导数在几何中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的历史与发展
01 导数的定义与几何意义
导数的定义
总结词
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，是函数值随自变量变化的瞬时速度。
详细描述
导数是微积分中的一个基本概念，它表示函数在某一点处的切线斜率。具体来说 ，对于可导函数$f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$定义为函数在$x_0$附近 的小范围内变化时，函数值$f(x)$随自变量$x$变化的瞬时速度。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。
详细描述
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。也就是说，对于可导函数 $f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$等于函数图像在点$(x_0, f(x_0))$处的 切线的斜率。
导数与切线斜率
总结词
导数与切线斜率是等价的，导数即为 函数在某一点处的切线斜率。
通过导数的符号变化，可以判断函数的凹凸性。
详细描述
在凹区间内，二阶导数大于0；在凸区间内，二阶导数小于0。
04 导数在实际问题中的应用
导数在物理中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体的速度和 加速度，例如在分析物体的运动 轨迹时，可以运用导数来计算瞬
时速度和加速度。
弹性分析
在物理中，弹性分析是一个重要的 概念，导数可以用来描述弹性体的 应变和应力之间的关系，帮助我们 理解物体的弹性行为。
对于两个函数的和或差， 其导数等于两个函数导数 的和或差。
乘法运算规则
对于两个函数的乘积，其 导数为两个函数导数的乘 积加上被乘函数自身的导 数。
目录
Contents
• 导数的定义与几何意义 • 导数的计算 • 导数在几何中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的历史与发展
01 导数的定义与几何意义
导数的定义
总结词
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，是函数值随自变量变化的瞬时速度。
详细描述
导数是微积分中的一个基本概念，它表示函数在某一点处的切线斜率。具体来说 ，对于可导函数$f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$定义为函数在$x_0$附近 的小范围内变化时，函数值$f(x)$随自变量$x$变化的瞬时速度。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。
详细描述
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。也就是说，对于可导函数 $f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$等于函数图像在点$(x_0, f(x_0))$处的 切线的斜率。
导数与切线斜率
总结词
导数与切线斜率是等价的，导数即为 函数在某一点处的切线斜率。
通过导数的符号变化，可以判断函数的凹凸性。
详细描述
在凹区间内，二阶导数大于0；在凸区间内，二阶导数小于0。
04 导数在实际问题中的应用
导数在物理中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体的速度和 加速度，例如在分析物体的运动 轨迹时，可以运用导数来计算瞬
时速度和加速度。
弹性分析
在物理中，弹性分析是一个重要的 概念，导数可以用来描述弹性体的 应变和应力之间的关系，帮助我们 理解物体的弹性行为。
对于两个函数的和或差， 其导数等于两个函数导数 的和或差。
乘法运算规则
对于两个函数的乘积，其 导数为两个函数导数的乘 积加上被乘函数自身的导 数。
导数的概念和计算(复习课件)
复习题
已知函数 y = x^3 + 2x^2 + 3x + 4，求该函数的导数。
已知函数 y = sin(x)，求该函数 的导数。
已知函数 y = cos(x)，求该函数 的导数。
答案与解析
答案 y' = 2x
y' = 3x^2
答案与解析
y' = 4x^3 y' = cos(x)
y' = -sin(x)
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导数的概念和计算(复习课件)
目
CONTENCT
录
• 导数的定义和几何意义 • 导数的计算 • 导数在研究函数中的应用 • 导数的实际应用 • 复习题与答案
01
导数的定义和几何意义
导数的定义
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化率的重要工具。
详细描述
导数定义为函数在某一点处的切线的斜率，即函数在这一点附近的小变化量与 自变量小变化量的比值，当小变化量趋近于0时的极限值。
信号处理
导数可以用来分析信号的 频谱和滤波，例如傅里叶 变换和小波变换。
优化设计
导数可以用来优化工程设 计，例如结构优化和机械 优化，提高产品的性能和 效率。
05
复习题与答案
复习题
02
01
03
计算下列函数的导数 y = x^2 y = x^3
复习题
y = x^4
y = sin(x)
y = cos(x)
04
导数的实际应用
导数在经济学中的应用
80%
边际分析
导数可以用来分析经济函数的边 际变化，例如边际成本、边际收 益和边际利润等，帮助企业做出 更优来解决经济学中的最 优化问题，例如最大利润、最小 成本等，通过求导找到最优解。
《高等数学导数》课件
答案
2. 求下列函数的极值：
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$，极值点为 $x=1 pm sqrt{2}$，极大值为 $f(1+sqrt{2}) = 1 + 2sqrt{2}$，极小值为 $f(1-sqrt{2}) = 1 - 2sqrt{2}$。
$f'(x) = ln x + 1$，极值点为 $x=1$，极大值为 $f(1) = 0$。
《高等数学导数》ppt 课件
contents
目录
• 导数的基本概念 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的扩展 • 习题与答案
CHAPTER 01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数定义为函数在某一点附近取得的 最小变化率，即函数在这一点处的切 线斜率。导数的计算公式为lim(x→0) [f(x+h) - f(x)] / h，其中h趋于0。
2. 求下列函数的极值：
01
03 02
习题
$f(x) = frac{1}{x}$
$f(x) = e^x$
答案
01
1. 求下列函数的导数：
02
$y' = 2x + 2$
03
$y' = -frac{1}{x^2}$
答案
• $y' = \sin x + x \cdot \cos x$
答案
• $y' = e^x$
总结词
导数的四则运算在解决实际问题中具 有广泛的应用，例如在经济学、物理
学和工程学等领域。
详细描述
导数的四则运算法则是基于极限理论 推导出来的，通过这些法则，可以方 便地求出复杂函数的导数。
高等数学导数的概念ppt课件.ppt
x0 处的右 (左) 导数, 记作
y
y x
o
x
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定理2. 函数 是
在点 可导的充分必要条件 且
简写为 f (x0) 存在
f(x0 )
定理3. 函数 在点 处右 (左) 导数存在
在点 必 右 (左) 连续.
若函数
在开区间
内可导, 且
都存在 , 则称
在闭区间
上可导.
显然:
f
(0)
lim
x 0
sin x
x
0
0
1
ax 0
f
(0)
lim
x 0
x0
a
故 a 1 时
此时
在
都存在,
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作业
P49 5 , 7, 9
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题
1. 设
存在, 且
求
解: 因为
1 f (1 (x)) f (1)
lim
2 x0
(x)
在闭区间 [a , b] 上可导
与 f(b)
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练习：讨论下列函数在x=0时候的连 续性与可导性.
练习：习题2.1题8
f
x
xk
sin
1 x
,
x0
0, x 0.
若函数在x 0连续，则
lim f x lim xk sin 1 f 0 0,
x0
x0
x
必须满足 lim xk 0， k 0即可. x0
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不可导. o
x
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3.1导数的概念
1、曲线的切线 2、瞬时速度
由上述两个意义抽象出导数的概念，
并由此得出求导数的方法。
求函数 y f(x)在点 x 0处的导数方法
（1）求函数的增量
yf(x0 x)f(x0)
（2）求平均变化率
yf(x0x)f(x0)
x
x
（3）求极限，得导数
f
(x0)
limy x0 x
（3） y3x3six n4coxs
y 9 x2six n 3 x 3co x 4 ssixn
例2、求下列函数的导数
（1）
y
x x2 1
（2）
y
1 x2 (1 x2 )2
y 1cosx
x 1
ysinx(xco1x)s2x1
（3）
y 1sinx 1cosx
y
cosxsinx1 (1cosx)2
例2、圆柱形金属饮料罐的容积一
定，它的高与底面半径应怎样选
取，才能使所用料最省？
当 h2R时，
Ro
R3 V
h 2 3V
h
2
2
S(R)2V2R232V
R
例3、已知某商品生产成本 C与产
量 q的函数关系为 C1004q，
价格 p与 q的函数关系式为： p 25 1 q ，求产量q为何值
f(x)f(x0)
则称 f (x0 ) 是 f (x) 函数的一个极大值， 记为 yminf(x0)
一般地，当函数y f(x)在点 x 0 处连续，
判断是极大值和极小值的方法是：
（1） 如果在点 x 0 附近的左侧 f(x)0，
右侧 f(x)0，那么 f (x0 ) 是极大值；
（2） 如果在点 x 0 附近的左侧 f(x)0，
8
时，利润 L最大？
分析：利润 L等于收入 R减去成本C
Rqpq(25 1q)
LRC1q22q 1 8100
q
8
84时，Lman782
(0q20)0
例1、求下列函数的导数
（1） y3x3coxs
y9x2sinx （2） y(3x31)2 (x2)
y1x5 41x8 22x
导数的几何意义：
求函数 y f(x)在点 x 0处的导数
的几何意义是：
曲线 y f (x)在点 P(x0, f(x0))处
的切线的斜率为 k f(x0) 切线方程是：
y f(x 0 )f(x 0 )x ( x 0 )
3.2 常 用 的 几 个 导 数 公 式
（1） C0 常数的导数为0
(,2)和 (1,) 是增函数 (2,1) 是减函数
3.8 函 数 的 极 值
一般地，函数 f (x) 在点 x 0 处有定义， 如果对 x 0 附近的所有的点，都有
f(x)f(x0)
则称 f (x0) 是 f (x)函数的一个极大值， 记为 ymanf(x0)
如果对 x 0 附近的所有的点，都有
（1） 如果 f (x)0 ，则为增函数； （2） 如果 f (x)0，则为减函数； （3） 如果 f (x)0，则为常数函数；
例1、求下列函数的单调区间
（1） f(x)2x36x27 (,0) 和 (2,) 是增函数 (0,2) 是减函数
（2） f(x)2x33x21x2 1
右侧 f(x)0，那么 f (x0 ) 是极小值；
注意：导数为0的点不一定是极值点， 而极值点一定有导数为0．
1、求下例函数的极值
（1）
y1x3 4x4 3
（2） y(x21)31
（3）
y
x x2 3
（4） y1 x2 1
3.8 函数的最大值与最小值
最大值与最小值定理
运用举例
例1、求下列函数的最值
（1） yx42x25 x[2,2]
（2） y4x2(x22)2 x[2,2]
例1、在边长为60cm的正方形铁皮 的四角切去相等的小正方形，再 把它的边沿虚线折起，做成一个 无盖的方底箱子，箱底边长为多 少时，箱子的容积最大？最大容 积是多少？
x40时，yman16000 x
（2） [ f( x ) g ( x ) ] f ( x ) g ( x ) f( x ) g ( x )
（3）gf((xx))f(x)g(xg)2(xf)(x)g(x)
(g(x)0)
3.4 复合函数的导数
设函数 u(x) 在点 x处有导数 ux (x)
一般地，在闭区间[ a , b ]上连续函数 y f(x)在[ a , b ]上必有最大值与最
小值．
设函数 y f(x)闭区间 [ a , b ]上连续
在(a, b)内可导，求 f (x) 在 [ a , b ]上 最大值与最小值的步骤：
（1）求 f ( x)在 [ a , b ]内的极值；
（2）将 f ( x)的各极值与 f (a) ，f (b) 比较，其中最大的一个是最大值， 最小的一个是最小值；
函数 yf(u)在点 x的对应点 u处有导数
yu f(u) ，则复合函数 yf((x))
在点处也有导数，且 yx yu ux
或写作 fx ((x) )f(u)(x)
1、求下列函数的导数
（1）
y
1 (1 3x)3
（2）
5
y x 1 x
2、求下列函数的导数
（1） ysin x2si3nx
（2）
yxcox2ssi3 nx()
6
（3） ysin3(4x)
3
3、求下列函数的导数 （1） yx2ln 2x(23x1 )
（2） ye2xco3sx
（3） ylg(si2nx)
3.6 函 数 的 单 调 性
一般地，设函数y f(x)在某个区间 内可导，
（2） (xn)nபைடு நூலகம்n1 (nQ)
（3） (sixn )coxs （4） (co x)ssix n
（5） (ex) ex
(ax)axlna (a 0 且 a 1)
（6） (ln x) 1
x
(loagx)
1xloga e
(a 0
且
a 1)
3.3 函数的和、差、积、商的导数 （1） (f( x ) g ( x ) ) f( x ) g ( x )
1、曲线的切线 2、瞬时速度
由上述两个意义抽象出导数的概念，
并由此得出求导数的方法。
求函数 y f(x)在点 x 0处的导数方法
（1）求函数的增量
yf(x0 x)f(x0)
（2）求平均变化率
yf(x0x)f(x0)
x
x
（3）求极限，得导数
f
(x0)
limy x0 x
（3） y3x3six n4coxs
y 9 x2six n 3 x 3co x 4 ssixn
例2、求下列函数的导数
（1）
y
x x2 1
（2）
y
1 x2 (1 x2 )2
y 1cosx
x 1
ysinx(xco1x)s2x1
（3）
y 1sinx 1cosx
y
cosxsinx1 (1cosx)2
例2、圆柱形金属饮料罐的容积一
定，它的高与底面半径应怎样选
取，才能使所用料最省？
当 h2R时，
Ro
R3 V
h 2 3V
h
2
2
S(R)2V2R232V
R
例3、已知某商品生产成本 C与产
量 q的函数关系为 C1004q，
价格 p与 q的函数关系式为： p 25 1 q ，求产量q为何值
f(x)f(x0)
则称 f (x0 ) 是 f (x) 函数的一个极大值， 记为 yminf(x0)
一般地，当函数y f(x)在点 x 0 处连续，
判断是极大值和极小值的方法是：
（1） 如果在点 x 0 附近的左侧 f(x)0，
右侧 f(x)0，那么 f (x0 ) 是极大值；
（2） 如果在点 x 0 附近的左侧 f(x)0，
8
时，利润 L最大？
分析：利润 L等于收入 R减去成本C
Rqpq(25 1q)
LRC1q22q 1 8100
q
8
84时，Lman782
(0q20)0
例1、求下列函数的导数
（1） y3x3coxs
y9x2sinx （2） y(3x31)2 (x2)
y1x5 41x8 22x
导数的几何意义：
求函数 y f(x)在点 x 0处的导数
的几何意义是：
曲线 y f (x)在点 P(x0, f(x0))处
的切线的斜率为 k f(x0) 切线方程是：
y f(x 0 )f(x 0 )x ( x 0 )
3.2 常 用 的 几 个 导 数 公 式
（1） C0 常数的导数为0
(,2)和 (1,) 是增函数 (2,1) 是减函数
3.8 函 数 的 极 值
一般地，函数 f (x) 在点 x 0 处有定义， 如果对 x 0 附近的所有的点，都有
f(x)f(x0)
则称 f (x0) 是 f (x)函数的一个极大值， 记为 ymanf(x0)
如果对 x 0 附近的所有的点，都有
（1） 如果 f (x)0 ，则为增函数； （2） 如果 f (x)0，则为减函数； （3） 如果 f (x)0，则为常数函数；
例1、求下列函数的单调区间
（1） f(x)2x36x27 (,0) 和 (2,) 是增函数 (0,2) 是减函数
（2） f(x)2x33x21x2 1
右侧 f(x)0，那么 f (x0 ) 是极小值；
注意：导数为0的点不一定是极值点， 而极值点一定有导数为0．
1、求下例函数的极值
（1）
y1x3 4x4 3
（2） y(x21)31
（3）
y
x x2 3
（4） y1 x2 1
3.8 函数的最大值与最小值
最大值与最小值定理
运用举例
例1、求下列函数的最值
（1） yx42x25 x[2,2]
（2） y4x2(x22)2 x[2,2]
例1、在边长为60cm的正方形铁皮 的四角切去相等的小正方形，再 把它的边沿虚线折起，做成一个 无盖的方底箱子，箱底边长为多 少时，箱子的容积最大？最大容 积是多少？
x40时，yman16000 x
（2） [ f( x ) g ( x ) ] f ( x ) g ( x ) f( x ) g ( x )
（3）gf((xx))f(x)g(xg)2(xf)(x)g(x)
(g(x)0)
3.4 复合函数的导数
设函数 u(x) 在点 x处有导数 ux (x)
一般地，在闭区间[ a , b ]上连续函数 y f(x)在[ a , b ]上必有最大值与最
小值．
设函数 y f(x)闭区间 [ a , b ]上连续
在(a, b)内可导，求 f (x) 在 [ a , b ]上 最大值与最小值的步骤：
（1）求 f ( x)在 [ a , b ]内的极值；
（2）将 f ( x)的各极值与 f (a) ，f (b) 比较，其中最大的一个是最大值， 最小的一个是最小值；
函数 yf(u)在点 x的对应点 u处有导数
yu f(u) ，则复合函数 yf((x))
在点处也有导数，且 yx yu ux
或写作 fx ((x) )f(u)(x)
1、求下列函数的导数
（1）
y
1 (1 3x)3
（2）
5
y x 1 x
2、求下列函数的导数
（1） ysin x2si3nx
（2）
yxcox2ssi3 nx()
6
（3） ysin3(4x)
3
3、求下列函数的导数 （1） yx2ln 2x(23x1 )
（2） ye2xco3sx
（3） ylg(si2nx)
3.6 函 数 的 单 调 性
一般地，设函数y f(x)在某个区间 内可导，
（2） (xn)nபைடு நூலகம்n1 (nQ)
（3） (sixn )coxs （4） (co x)ssix n
（5） (ex) ex
(ax)axlna (a 0 且 a 1)
（6） (ln x) 1
x
(loagx)
1xloga e
(a 0
且
a 1)
3.3 函数的和、差、积、商的导数 （1） (f( x ) g ( x ) ) f( x ) g ( x )