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3.2导数的计算(27张PPT)

3.2导数的计算(27张PPT)

;
(7) y 3 x; 2
例3 :日常生活中的饮用水通常是经过净化的,随着水纯
净度的提高,所需净化费用不断增加。已知1吨水净化
到纯净度为x%时所需费用(单位:元)为:
c(x)= 5284 (80 x 100). 100 x
求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率;
(1)90%;
(2)98%.
x
x
f (x) (x2) ' lim y lim 2x x x2 lim (2x x) 2x.
x x0
x0
x
x0
公式三:(x2)' 2x
二、几种常见函数的导数
4) 函数y=f(x)=1/x的导数.
解: y f (x) 1 , x
y f (x x) f (x) 1 1 x x x x (x x)x
y
'
1 x2
探究:
表示y=C图象上每一点处的切线 斜率都为0
表示y=x图象上每一点处的切线 斜率都为1
这又说明什么?
这又说明什么?
画出函数y=1/x的图像。根据图像, 描述它的变化情况。并求出曲线在 点(1,1)处的切线方程。
x+y-2=0
3.2.2基本初等函数 的导数公式及导数 的运算法则
高二数学 选修1-1
y f (x x) f (x) C C 0,
y 0, x
f (x) C lim y 0. x0 x
公式一:C 0 (C为常数)
二、几种常见函数的导数
2) 函数y=f(x)=x的导数. 解: y f (x) x,
y f (x x) f (x) (x x) x x,
(1) c '(90) 5284 52.84 (100 90)2

高中数学导数讲解..ppt

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解:
(1)∵Dy=f(0+Dx)-f(0)=|Dx|,
∴ DDyx
=
|Dx| Dx
.
当 Dx<0 时,
Dy Dx
=-1,
lim
Dx0
Dy Dx
=-1;
当 Dx>0 时,
Dy Dx
=1,
lim
Dx0
Dy Dx
=1,

lim
Dx0-
Dy Dx
Dlxim0+DDyx ,
从而
lim
Dx0
Dy Dx
不存在.
故函数 f(x)=|x| 在点 x=0 处不可导.
12[(1+Dx)2+1]Dx
1 2
(12+1)
=Dlxim0 -
(1+
1 2
Dx) =1,
Dlxim0+DDxy
=lim Dx0+
12(1+Dx+1)Dx
1 2
(12+1)
=lim Dx0+
1 2
Dx
Dx
=
1 2
,

Dlxim0-
Dy Dx
Dlxim0+DDxy
,
从而
lim
Dx0
Dy Dx
不存在.
∴x02-3x0+2=3x02-6x0+2.
整理得 2x02-3x0=0. 解得 x0=
这时
y0=-
3 8
,
k=-
1 4
.
3 2
(∵x00).
∴直线 l 的方程为
y=-
1 4
x,
切点坐标是 (

高中数学-导数的概念课件

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15
(1)求函数 y= x在点 x=1 处的导数;
(2)求函数 y=x2+ax+b 在点 x=x0 处的导数. [解析] (1)Δy= 1+Δx-1,
ΔΔyx=
1+ΔΔxx-1=
1 1+Δx+1.
liΔmx→0 1+1Δx+1=12,所以 y′|x=1=12.
(2)y′|x=x0
=liΔmx→0
(x0+Δx)2+a(x0+Δx)+b-(x20+ax0+b) Δx
f[x0+(-k)]-f(x0) -k
=-12f′(x0)=-12×2=-1,故应选 A.
35
• 二、填空题 • 4. 自由 落体运 动在 t= 4s的 瞬 时速度 是
________. • [答案] 39.2m/s
[解析] s=12gt2
ΔΔst=12g(t+ΔΔt)t2-12gt2=gt+12g·Δt
16
=liΔmx→0
x20+2x0Δx+(Δx)2+ax0+aΔx+b-x20-ax0-b Δx
=liΔmx→0
2x0Δx+aΔx+(Δx)2 Δx
=liΔmx→0 (2x0+a+Δx)=2x0+a.
17
[例 3] 若函数 f(x)在 x=a 处的导数为 A,求:
(1)liΔmx→0 f(a+Δx)Δ-xf(a-Δx);
21
已知 f′(x0)=A,则 liΔmx→0 f(x0-2ΔΔxx)-f(x0)=____.
[解析]
liΔmx→0
f(x0-2Δx)-f(x0) Δx
=-2liΔmx→0 f[x0+(--22ΔΔxx)]-f(x0)=-2A.
• [答案] -2A
22
[例 4] 若一物体运动方程如下:(位移:m,时间:

高等数学导数的计算教学ppt课件

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25
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
三.隐函数与参数式函数的导数
(一)隐函数的导数
显函数:因变量可由自变量的某一分析式来表示 的函数称为显函数.例如:
y 1 sin3 x , z x2 y2 .
隐函数:由含x,y的方程F(x, y)=0给出的函数称 为隐函数.例如:
x2/ 3 y2/ 3 a2/ 3 , x3 y3 z3 3xy 0 .
32
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
(二)参数式函数的导数
由参数方程给出的函数:
x y
x(t) y(t )
t
确定了y与x的函数关系.其中函数x(t),y(t)可导,且
x (t)0, ,则函数y=f (x)可导且
f ( x) 1
( y)

dy dx
1 dx
.
dy
7
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
例5 求y=arcsinx的导数.
解:由于y=arcsinx,x(-1,1) 为x=siny,y (-/2, /2) 的反函数,且当y (-/2, /2)时,
(siny)=cosy>0. 所以
(arcsin x)' 1 1 1 1 (sin y)' cos y 1 sin2 y 1 x2
f
( x)
3
1
x2
1
x2
1
3
x2
2
2
例10 设y arcsin x 2 x x
解:
y
arcsin
x
3
2x4
,求 y .
1
3
x
1 4
1 x2 2

高二导数ppt课件

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指数函数和对数函数导数
指数函数f(x)=ex的导数为f'(x)=ex,对数函数f(x)=lnx的导数为 f'(x)=1/x。
导数四则运算法则
加法法则
[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x),即两个函数的和的导数等于各 自导数之和。
减法法则
[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x),即两个函数的差的导数等于被减 数导数减去减数导数。
导数在图像变换中的应用
02
利用导数的性质,研究函数图像的平移、伸缩、对称等变换规
律。
导数在曲线绘制中的应用
03
通过计算函数的导数,确定曲线的切线斜率,从而绘制出函数
的图像。
04
高阶导数及其应用
高阶导数概念引入
定义与性质
高阶导数表示函数在某一点附近 的变化速率,具有局部性、线性
性和求导法则等基本性质。
微分在近似计算中应用举例
利用微分进行函数值的近似计算
通过计算函数在某一点的导数,可以估算函数在该点附近的函数值。
利用微分求最值问题
通过求解函数的导数,可以确定函数的单调区间和极值点,进而求出函数的最值。
THANKS
感谢观看
乘法法则
[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),即两个函数的积的导数等 于第一个函数导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第 二个函数导数。
除法法则
[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g²(x),即两个函数的商 的导数等于分子中第一个函数导数乘以分母减去分子乘以 分母导数再除以分母平方。

《高等数学导数》课件

《高等数学导数》课件

答案
2. 求下列函数的极值:
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$,极值点为 $x=1 pm sqrt{2}$,极大值为 $f(1+sqrt{2}) = 1 + 2sqrt{2}$,极小值为 $f(1-sqrt{2}) = 1 - 2sqrt{2}$。
$f'(x) = ln x + 1$,极值点为 $x=1$,极大值为 $f(1) = 0$。
《高等数学导数》ppt 课件
contents
目录
• 导数的基本概念 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的扩展 • 习题与答案
CHAPTER 01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率,表示 函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数定义为函数在某一点附近取得的 最小变化率,即函数在这一点处的切 线斜率。导数的计算公式为lim(x→0) [f(x+h) - f(x)] / h,其中h趋于0。
2. 求下列函数的极值:
01
03 02
习题
$f(x) = frac{1}{x}$
$f(x) = e^x$
答案
01
1. 求下列函数的导数:
02
$y' = 2x + 2$
03
$y' = -frac{1}{x^2}$
答案
• $y' = \sin x + x \cdot \cos x$
答案
• $y' = e^x$
总结词
导数的四则运算在解决实际问题中具 有广泛的应用,例如在经济学、物理
学和工程学等领域。
详细描述
导数的四则运算法则是基于极限理论 推导出来的,通过这些法则,可以方 便地求出复杂函数的导数。

3.1 导数的概念 课件 (共21张PPT)《高等数学》(高教版).ppt

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(2)若极限 点 处的右导数,记作
,即:
存在,则称其为函数 在
定理1 函数
在点 处可导的充分必要条件是
在点 处的左导数和右导数都存在且相等,即

例1 讨论函数
在 处的连续性和可导性.
解:因为

,所以函数
在 处的连续.
由于
,所以函数
在 处不可导.
例2 讨论函数
解:因为 连续.
又因为 处不可导.
在 处的连续性和可导性.
在点
分析:设函数
在点 处可导,则
故函数
在点 处一定连续.
随堂练习
1、设 解:
,判断 在点 函数
处的连续性与可导性. 在 处连续.
函数 在 处不可导.
2、若函数
处处可导,求 的值.
解: 函数 在 处可导,则在
处处可导.由于函数
可导必连续.得
再根据函数在 处可导,
则左右导数存在且相等.

时,
函数 在点
或 ,即
函数
在点 处的导数就是导函数 在点 处的函数值
,即
注:若函数
在区间
在区间 上不可导.
内有一点处不可导,则称函数
由导数的定义可知,求函数
个步骤:
(1)求增量

(2)算比值

(3)取极限
例1 求函数
的导数.
解:
常量函数的导数为
的导数可分为以下三 .
例6 求函数 解:
的导数.
例7 求函数 解:
,所以函数
在 处的
,所以函数

从图形上看,曲线 线.这也说明函数 原点外,处处可导.因 连续.
在原点O处具有垂直于 轴的切

《高中数学导数讲解》课件

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积分
导数是积分的基础,通过 求导可以推导出原函数的 表达式。
微分方程
导数在解决微分方程问题 中起到关键作用,如物理 中的动力学问题。
THANKS
感谢观看
பைடு நூலகம்
高中数学导数讲解
目录
• 导数的基本概念 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的实际应用 • 导数的扩展知识
01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率,表示函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数是微积分中的一个基本概念,用于描述函数在某一点附近的变化率。对于可导函数$f(x)$,其在点$x_0$处 的导数定义为$f'(x_0) = lim_{Delta x to 0} frac{Delta y}{Delta x}$,其中$Delta y = f(x_0 + Delta x) - f(x_0)$ 。导数表示函数在点$x_0$处的切线斜率。
01
02
03
起源
导数最初由牛顿和莱布尼 茨在17世纪分别独立发现 ,为微积分学奠定了基础 。
早期发展
18世纪,欧拉、拉格朗日 等数学家进一步发展了导 数理论,将其应用于函数 研究。
现代应用
随着数学的发展,导数在 物理、工程、经济等领域 得到广泛应用,成为解决 实际问题的重要工具。
导数的其他性质
导数的几何意义
详细描述
在物理中,导数具有实际意义。例如,物体运动的瞬时速度 可以由速度函数的导数表示,物质扩散的瞬时速度可以由扩 散函数的导数表示。导数可以描述物体或物质在极短时间内 速度或加速度的变化。
02
导数的计算
切线斜率与导数
切线斜率
导数描述了函数在某一点的切线斜率 ,即函数在该点的变化率。
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(1)确定 a, b 的值, 使 f(x) 在 x=0
处连续、可导; (2)求曲线 y=f(x) 在点 P(0, f(0)) 处的切线方程.
解: (1)要使 f(x) 在 x=0 处连续,
则需
xlim0-
f(x)
=lim x0+
f(x)=f(0).
而 xlim0- f(x) =xlim0- (x2+x+1)=1,
唯一的导数 f(x0), 然后定义函数精选y整=理f(x) 在开区间 (a, b) 内可导2 ,
因而对于开区间 (a, b) 内每一个确定的值, 都对应着一个确定
的导数 f(x0). 据函数定义, 在开区间 (a, b) 内就构成了一个新
函数, 即导数.
三、知识要点
1.导数的概念
对于函数 y=f(x), 如果自变量 x 在 x0 处有增量 Dx, 那么函数 y 相应的有增量 Dy=f(x0+Dx)-f(x0), 比值DDxy 叫做函数 y=f(x) 在 x0 到 x0+Dx 之间的平均变化率, 即DDxy =f(x0+DDxx)-f(x0) .
二、重点解析
导数概念比较抽象, 其定义、方法一般不太熟悉, 因此对导 数概念的理解是学习中的一个难点. 本节要重点掌握根据导数 定义求简单函数的导数的方法. 一方面, 根据导数定义求导可 进一步理解导数的概念, 另一方面, 许多法则都是由导数定义 导出的.
导函数(导数)是一个特殊的函数, 它的引出和定义始终贯穿 着函数思想, 首先定义函数 y=f(x) 在点 x0 处可导, 且在 x0 处有
(2)物理意义: 函数 S=s(t) 在点 t0 处的导数 s(t0), 就是当物体
的运动方程为 S=s(t) 时, 物体运动在时刻 t0 时的瞬时速度 v, 即:
v=s(t0). 设 v=v(t) 是速度函数, 则 v(t0)表示物体在时刻 t=t0 时的
加速度.
精选整理
5
3.几种常见函数的导数
自变量的增量 Dx 的比
Dy Dx
的极限,
即:
f(x)=y=lim Dx0
Dy Dx
=lim Dx0
f(x+Dx)-f(x)
Dx
.
求函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数的步骤:
(1)求函数的增量: Dy=f(x0+Dx)-f(x0);
(2)求平均变化率:
Dy Dx
=
f(x0+DDxx)-f(x0) ;
=Dlxim0+[a(0+Dx)+Dbx]-(02+0+1)
=lim Dx0+
aDx+b-1 Dx
=a+lim Dx0+
b-1 Dx
故当 b-1=0 且 a=1 即 a=b=1 时, f(x) 在 x=0 处可导.
综上所述, 当 b=1, aR 时, f(x) 在 x=0 处连续, 当 a=b=1 时, f(x) 在 x=0 处可导.
(1)解: 设f(-x)=g(x), 则
g(a+Dx)-g(a) f(-a-Dx)-f(-a)
如果当 Dx0 时,
Dy Dx
有极限,
就说函数
y=f(x)
在点
x0
处可导,
并把这个极限叫做 f(x) 在点 x0 处的导数(或变化率), 记作:
f(x0) 或 y | x=x0,
即:
f(x0)=Dlxim0
Dy Dx
=lim Dx0
f(x0+DDxx)-f(xy=f(x) 的导数 f(x), 就是当 Dx0 时, 函数的增量 Dy 与
f(0)=1, lim f(x) =lim(ax+b)=b,
x0+
x0+
故当 b=1 时, 可使 f(x) 在 x=0 处连续.
精选整理
6

Dlxim0-
Dy Dx
=Dlxim0-[(0+Dx)2+(0+DDxx)+1]-(02+0+1)
=Dlxim0 -
(Dx+1)=1,
lim
Dx0+
Dy Dx
精选整理
1
一、复习目标
了解导数概念的某些实际背景(瞬时速度, 加速度, 光滑曲线 切线的斜率等), 掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何 意义, 理解导数的概念, 熟记常见函数的导数公式 c, xm(m 为有 理数), sinx, cosx, ex, ax, lnx, logax 的导数, 并能熟练应用它们求 有关导数.
(2)由(1)知, f(0)=1, 又 f(0)=1,
故曲线 y=f(x) 在点 P(0, f(0)) 处的切线方程为 y-1=x-0,
即 x-y+1=0.
精选整理
7
典型例题 2
若 f(x) 在 R 上可导, (1)求 f(-x) 在 x=a 处的导数与 f(x) 在 x=-a
处的导数的关系; (2)证明: 若 f(x) 为偶函数, 则 f(x) 为奇函数.
的导函数, 记作 f(x) 或 y(需指明精选自整理变量 x 时记作 yx), 即: 4
f(x)=y=lim Dx0
Dy Dx
=lim Dx0
f(x+DDxx)-f(x).
导函数也简称导数. 当 x0(a, b) 时, 函数 f(x) 在点 x0 处的导数
f(x0) 等于函数 f(x) 在开区间 (a, b)内的导数 f(x) 在点 x0 处的函
(3)
取极限:
得导数
f(x0)=Dlixm0
Dy Dx
.
如果函数 f(x) 在开区间 (a, b) 内每一点都可导, 就说 f(x) 在开
区间 (a, b) 内可导. 这时, 对于开区间 (a, b) 内每一个确定的值
x0, 都对应着一个确定的导数 f(x0), 这样就在开区间 (a, b) 内构
成一个新的函数, 我们把这一新函数叫做 f(x) 在开区间 (a, b)内
数值.
如果函数 y=f(x) 在点 x0 处可导, 那么函数 y=f(x) 在点 x0 处连 续, 但要注意连续不一定可导.
2.导数的意义
(1)几何意义: 函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数 f(x0), 就是曲线 y=f(x) 在点 P(x0, f(x0)) 处的切线的斜率 k, 即: k=tan=f(x0). 相 应的切线方程为 y-y0=f(x0)(x-x0).
(1)c=0(c 为常数), (xn)=nxn-1(nQ); (2)(sinx)=cosx, (cosx)=-sinx;
(3)(lnx)=
1 x
,
(logax)=
1 x
logae;
(4)(ex)=ex, (ax)=axlna.
典型例题 1
已知函数 f(x)=
x2+x+1, x≤0, ax+b, x>0.
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