重庆十一中2016-2017年高二上数学(理)期中试题及答案
重庆市第十一中学2016-2017学年高二3月月考数学(理)试题Word版含答案
重庆市第十一中学2016-2017学年高二3月月考试题数学（理）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线24y x =的焦点坐标为（ ）A ． (1,0)-B ．(1,0)C ．(0,1)-D ．(0,1)2．函数cos 2y x =的导数是（ ）A ．sin 2x -B ．sin 2xC ．2sin 2x -D ．2sin 2x3． 32(21)x dx +=⎰（ ）A ． 2B ．6C ．10D ． 84．二项式210(x的展开式的二项式系数和为（ ） A ． 1 B ． -1 C ． 102 D ．05．将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，落地时朝上的点数之和为6的概率为（ ）A ．536B ．16C ． 112D ．19 6．函数32()2f x x ax x =-+在实数集R 上单调递增的一个充分不必要条件是（ ）A ．[0,6]a ∈B ．[a ∈C ． [6,6]a ∈-D ．[1,2]a ∈7． ()f x 是集合A 到集合B 的一个函数，其中，{1,2,,}A n = ，{1,2,,2}B n = ，*n N ∈，则()f x 为单调递增函数的个数是（ ）A ．2n n AB ．2n nC ． (2)nn D ．3n n C 8．一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在同一个球面上，则该球的内接正方体的表面积为（ ）A ． 196B ．383C ． 578D ．193 9．函数()f x 在实数集R 上连续可导，且'2()()0f x f x ->在R 上恒成立，则以下不等式一定成立的是（ ）A ．2(2)(1)f f e >B ．2(2)(1)f f e< C ． 3(2)(1)f e f -> D ．3(2)(1)f e f -< 10．某转播商转播一场排球比赛，比赛采取五局三胜制，即一方先获得三局胜利比赛就结束，已知比赛双方实力相当，且每局比赛胜负都是相互独立的，若每局比赛转播商可以获得20万元的收益，则转播商获利不低于80万元的概率是（ ）A ．34B ．58C ． 38D ．91611．已知椭圆221(0)1x y m m +=>+的两个焦点是12,F F ，E 是直线2y x =+与椭圆的一个公共点，当12||||EF EF +取得最小值时椭圆的离心率为（ ）A ． 23 BC ．D12．已知函数2()2ln f x x x =-+的极大值是函数()a g x x x =+的极小值的12-倍，并且121,[,3]x x e∀∈，不等式12()()11f xg x k -≤-恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．40(,2ln 3](1,1)(1,)3-∞-+-+∞ B ．34(,2ln 3](1,)3-∞-++∞ C ． 34(,2ln 3][1,1)(1,)3-∞-+-+∞ D ．40(,2ln 3](1,)3-∞-++∞ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．某种树苗成活的概率都为910，现种植了1000棵该树苗，且每棵树苗成活与否相互无影响，记未成活的棵数记为X ，则X 的方差为 ．14．设变量,x y 满足条件22024010x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数z x y =-的最小值为 ．15．半径分别为5,6的两个圆相交于,A B 两点，8AB =，且两个圆所在平面相互垂直，则它们的圆心距为 ．16．四位同学参加知识竞赛，每位同学须从甲乙两道题目中任选一道题目作答，答对甲可得60分，答错甲得-60分，答对乙得180分，答错乙得-180分，结果是这四位同学的总得分为0分，那么不同的得分情况共计有 种．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17． 函数3()f x x x =+在1x =处的切线为m ．（1）求切线m 的方程；（2）若曲线()sin g x x ax =+在点(0,(0))A g 处的切线与m 垂直，求实数a 的取值．18． 如图所示，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，3ABC π∠=，4PA AB ==，AC 交BD 于O ，点N 是PC 的中点．（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求平面ANC 与平面ANB 所成的锐二面角的余弦值．19． 甲、乙、丙三人每人有一张游泳比赛的门票，已知每张票可以观看指定的三场比赛中的任一场（三场比赛时间不冲突），甲乙二人约定他们会观看同一场比赛并且他俩观看每场比赛的可能性相同，又已知丙观看每一场比赛的可能性也相同，且甲乙的选择与丙的选择互不影响．（1）求三人观看同一场比赛的概率；（2）记观看第一场比赛的人数是X ，求X 的分布列和期望．20． 已知函数3()ln f x x a x =-．（1）当3a =，求()f x 的单调递增区间；（2）若函数()()9g x f x x =-在区间1[,2]2上单调递减，求实数a 的取值范围．21． 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率2e =，且过点(22．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，过椭圆C 的右焦点F 作两条相互垂直的直线,AB DE 交椭圆分别于,,,A B D E ，且满足12AM AB = ，12DN DE = ，求MNF ∆面积的最大值．22．已知函数1()ln 1a f x x ax x-=-+-． （1）若()f x 在2x =处取得极值，求a 的值；（2）若1a =，函数2222()ln()()221x x x h x mx f x x --+=++-+，且()h x 在(0,)+∞上的最小值为2，求实数m 的值．重庆市第十一中学2016-2017学年高二3月月考试题数学（理）答案一、选择题1-5: BCBCA 6-10:DDBAA 11、12：DB二、填空题13． 90 14． -2 15．． 44三、解答题17．（1）根据条件'2()31f x x =+，切点为(1,2)，斜率为'(1)4f =，所以m 的方程为420x y --=，（2）根据条件'()cos g x x a =+，又()g x 图象上任意一点(0,(0))A g 处的切线与m 垂直，则有'54(0)14g a ⨯=-⇒=-，所以a 的值为54-． 18．（1）∵ABCD 是菱形，∴BD AC ⊥，又∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD PA ⊥，而PA AC A = ，∴BD ⊥平面PAC ．（2）以O 为坐标原点，,,OC OB ON 所在直线分别为,,x y z 轴，方向如图所示，根据条件有点(0,0,2),(2,0,0),N A B -，由（1）可知OB ⊥平面ANC ，所以可取OB 为平面ANC的法向量1n ，1n OB == ，现设平面BAN 的法向量为2(,,)n x y z = ，则有2200AN n BN n ⎧=⎪⎨=⎪⎩00x z z +=⎧⎪⇒⎨+=⎪⎩，令1z =，则2(1,3n =- ，设平面ANC 与平面ANB 所成的锐二面角大小为θ，则1212cos ||||||n n n n θ== 19．（1）记事件A =“三人观看同一场比赛”，根据条件，由独立性可得，12311()()33P A C ==． （2）根据条件可得分布列如下：4221012319999EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．（1）根据条件3'233(1)()3x f x x x x -=-=，又0x >，则'()0f x >解得1x >， 所以()f x 的单调递增区间是(1,)+∞；（2）由于函数()g x 在区间1[,2]2上单调递减，所以'2()390a g x x x=--≤在[0,2]上恒成立， 即339x x a -≤在1[,2]2上恒成立，则max [()]a h x ≥（1[,2]2x ∈），其中3()39h x x x =-， '2()99h x x =-，则()h x 在1[,1]2上单减，在[1,2]上单增， max 1[()]max{(),(2)}62a h x h h ≥==，经检验，a 的取值范围是[6,)+∞． 21．（1）根据条件有2222213124a b a b⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得222,1a b ==，所以椭圆22:12x C y +=． （2）根据12AM AB = ，12CN CD = 可知，,M N 分别为,AB DE 的中点，且直线,AB DE 斜率均存在且不为0，现设点1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为1x my =+，不妨设0m >，联立椭圆C 有22(2)210m y my ++-=，根据韦达定理得：12222m y y m +=-+，121224()22x x m y y m +=++=+，222(,)22m M m m -++，||MF =2||()2NF m=-+， 所以MNF ∆面积211||||24()2MNF m mS MF NF m m ∆+==++，现令12t m m =+≥， 那么21124294MNF t S t t t ∆==≤++，所以当2t =，1m =时，MNF ∆的面积取得最大值19．22．（2）2'21()ax x a f x x -++-=，又()f x 在2x =处取得极值，则'1(2)03f a =⇒=， 此时'2(1)(2)()3x x f x x --=-，显然满足条件，所以a 的值为13． （2）由条件12()ln()1221h x mx x =++++，又()h x 在(0,)+∞上的最小值为2， 所以有(1)2h ≥，即1511ln()2ln()0ln12323m m ++≥⇒+≥>=12m ⇒> 又2'2224824()21(21)(21)(21)m mx m h x mx x mx x +-=-=++++，当2m ≥时，可知()h x 在(0,)+∞上递增，无最小值，不合题意，故这样的m 必须满足122m <<，此时，函数()h x的增区间为)+∞，减区间为，min 1()ln()122h x h ==+=整理得0=（*）若112m <<0>，且1ln()ln102<=，无解若12m ≤<0，将（*）变形为1ln()02+=．即1ln()02=，设11(,1]22t =∈则上式即为ln 0t +=，构造()ln F t t =()0F t ='()0F t =≤，故()F t 在1(,1]2上单调递减 又(1)0F =，故()0F t =等价于1t =，与之对应的1m =综上，1m =．。
重庆市2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析
重庆市2016-2017学年高二上学期期末试卷（理科数学）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|0＜log 4x ＜1}，B={x|x≤2}，则A∩B=（ ） A ．（0，1） B ．（0，2] C ．（1，2） D ．（1，2] 2．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为（ ） A ．对任意x ∈R ，都有x 2＜0 B ．不存在x ∈R ，都有x 2＜0 C ．存在x 0∈R ，使得x 02≥0 D ．存在x 0∈R ，使得x 02＜03．如图，在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 1、BC 1的中点，则以下结论中不成立的是（ ）A ．EF 与BB 1垂直 B ．EF 与BD 垂直C ．EF 与CD 异面 D ．EF 与A 1C 1异面4．已知四棱锥P ﹣ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥P ﹣ABCD 的四个侧面中面积最大的是（ ）A ．6B ．8C ．D ．35．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．6．设函数f （x ）定义在实数集上，f （2﹣x ）=f （x ），且当x≥1时，f （x ）=lnx ，则有（ ）A ．B ．C ．D ．7．设平面区域D 是由双曲线y 2﹣=1的两条渐近线和抛物线y 2=﹣8x 的准线所围成的三角形（含边界与内部）．若点（x ，y ）∈D ，则x+y 的最小值为（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．0 D ．38．一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是（ ）A ．m ＞1，且n ＜1B ．mn ＜0C ．m ＞0，且n ＜0D ．m ＜0，且n ＜09．若直线l 过点P （﹣3，﹣）且被圆x 2+y 2=25截得的弦长是8，则直线l 的方程为（ ） A ．3x+4y+15=0 B ．x=﹣3或3x+4y+15=0C ．x=﹣3或y=﹣D ．x=﹣310．设椭圆=1（a ＞0，b ＞0）的离心率e=，右焦点F （c ，0），方程ax 2+bx ﹣c=0的两个根分别为x 1，x 2，则点P （x 1，x 2）在（ ）A ．圆x 2+y 2=2内B ．圆x 2+y 2=2上C ．圆x 2+y 2=2外D ．以上三种情况都有可能11．已知正三棱锥P ﹣ABC 的高PO 为h ，点D 为侧棱PC 的中点，PO 与BD 所成角的余弦值为，则正三棱锥P ﹣ABC 的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．12．若实数x 、y 满足x|x|﹣y|y|=1，则点（x ，y ）到直线y=x 的距离的取值范围是（ ）A ．[1，） B ．（0，] C ．（，1） D ．（0，1]二、填空题（每题5分）13．已知||=1，||=6， •（﹣）=2，则向量与的夹角为 ．14．在抛物线y 2=2px 上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为 ．15．已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 1，左焦点为F 2，若椭圆上存在一点P ，满足线段PF 1相切于椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF 1的中点，则该椭圆的离心率为 ．16．设 条件．三、解答题（17、18、19、20、21各题12分，22题10分）17．已知p ：方程x 2+mx+1=0有两个不等的负实根，q ：方程4x 2+4（m ﹣2）x+1=0无实根．若“p 或q”为真，“p 且q”为假．求实数m 的取值范围．18．设△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知a 、b 、c 成等比数列，且．（Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若x ∈[0，π），求函数f （x ）=sin （x ﹣B ）+sinx 的值域．19．点A 、B 分别是椭圆长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA⊥PF．求点P 的坐标．20．如图，直棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1=AC=CB=AB ．（Ⅰ）证明：BC 1∥平面A 1CD（Ⅱ）求二面角D ﹣A 1C ﹣E 的正弦值．21．如图，已知A （﹣4a ，0）（a ＞0），B 、C 两点分别在y 轴和x 轴上运动，并且满足•=0， =．（1）求动点Q 的轨迹方程；（2）设过点A 的直线与点Q 的轨迹交于E 、F 两点，A′（4a ，0），求直线A′E、A′F 的斜率之和．22．在等腰直角△ABC 中，AB=AC=4，点P 是边AB 上异于A 、B 的一点，光线从点P 出发经过BC 、CA 反射后又回到点P ，光线交线段BC 于点Q ，交线段CA 于点R ，若光线QR 经过△ABC 的重心，求线段AP 的长度．重庆市2016-2017学年高二上学期期末试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|0＜log 4x ＜1}，B={x|x≤2}，则A∩B=（ ） A ．（0，1） B ．（0，2] C ．（1，2） D ．（1，2] 【考点】交集及其运算；其他不等式的解法．【分析】求出集合A 中其他不等式的解集，确定出A ，找出A 与B 的公共部分即可求出交集． 【解答】解：由A 中的不等式变形得：log 41＜log 4x ＜log 44， 解得：1＜x ＜4，即A=（1，4）， ∵B=（﹣∞，2]， ∴A∩B=（1，2]． 故选D2．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为（ ） A ．对任意x ∈R ，都有x 2＜0 B ．不存在x ∈R ，都有x 2＜0 C ．存在x 0∈R ，使得x 02≥0 D ．存在x 0∈R ，使得x 02＜0 【考点】命题的否定；全称命题．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可． 【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为．存在x 0∈R ，使得x 02＜0． 故选D ．3．如图，在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 1、BC 1的中点，则以下结论中不成立的是（ ）A ．EF 与BB 1垂直 B ．EF 与BD 垂直C ．EF 与CD 异面 D ．EF 与A 1C 1异面 【考点】异面直线的判定．【分析】观察正方体的图形，连B 1C ，则B 1C 交BC 1于F 且F 为BC 1中点，推出EF∥A 1C 1；分析可得答案． 【解答】解：连B 1C ，则B 1C 交BC 1于F 且F 为BC 1中点，三角形B 1AC 中EF，所以EF∥平面ABCD ，而B 1B⊥面ABCD ，所以EF 与BB 1垂直；又AC⊥BD，所以EF 与BD 垂直，EF 与CD 异面．由EF ，AC∥A 1C 1得EF∥A 1C 1故选D ．4．已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积最大的是（）A．6 B．8 C． D．3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图复原的几何体是四棱锥，利用三视图的数据直接求解四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积，得到最大值即可．【解答】解：因为三视图复原的几何体是四棱锥，顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点，底面边长分别为4，2，后面是等腰三角形，腰为3，所以后面的三角形的高为： =，所以后面三角形的面积为： =2．两个侧面面积为： =3，前面三角形的面积为： =6，四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积最大的是前面三角形的面积：6．故选A．5．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的应用；数列的应用．【分析】先设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，由题意可知：a+c=2b，由此可以导出该椭圆的离心率．【解答】解：设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，则2a+2c=2×2b，即a+c=2b⇒（a+c）2=4b2=4（a2﹣c2），所以3a2﹣5c2=2ac，同除a2，整理得5e2+2e﹣3=0，∴或e=﹣1（舍去），故选B．6．设函数f（x）定义在实数集上，f（2﹣x）=f（x），且当x≥1时，f（x）=lnx，则有（）A．B．C．D．【考点】对数值大小的比较．【分析】由f（2﹣x）=f（x）得到函数的对称轴为x=1，再由x≥1时，f（x）=lnx得到函数的图象，从而得到答案．【解答】解：∵f（2﹣x）=f（x）∴函数的对称轴为x=1∵x≥1时，f（x）=lnx∴函数以x=1为对称轴且左减右增，故当x=1时函数有最小值，离x=1越远，函数值越大故选C．7．设平面区域D是由双曲线y2﹣=1的两条渐近线和抛物线y2=﹣8x的准线所围成的三角形（含边界与内部）．若点（x，y）∈D，则x+y的最小值为（）A．﹣1 B．1 C．0 D．3【考点】双曲线的简单性质．【分析】先求出抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，画出三角形平面区域，根据z=x+y的最小值为斜率为﹣1的直线的纵截距的最小值，即可求出z=x+y的最小值．【解答】解：抛物线y2=﹣8x的准线方程为x=2，双曲线y2﹣=1的两条渐近线方程为y=±x，由题意，三角形平面区域的边界为x=2，y=±x，设z=x+y即y=z﹣x，则z=z﹣x的最小值为斜率为﹣1的直线的纵截距的最小值．：y=﹣x，平移可得，作出直线l当直线l过原点时，取得最小值0．故选：C．8．一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是（）A．m＞1，且n＜1 B．mn＜0 C．m＞0，且n＜0 D．m＜0，且n＜0【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由一次函数的图象和性质，我们可以求出一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的等价命题，进而逐一分析已知中四个答案中的条件与一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的充要关系，即可得到答案．【解答】解：若一次函数的图象同时经过第一、三、四象限则＞0，＜0，即m＞0且n＜0故“m＞1，且n＜1”是“一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的”的不充分也不必要条件；“mn＜0”是“一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的”的必要但不充分条件；“m＞0，且n＜0”是“一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的”的充要条件；“m＜0，且n＜0”是“一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的”的不充分也不必要条件；故选B9．若直线l过点P（﹣3，﹣）且被圆x2+y2=25截得的弦长是8，则直线l的方程为（）A．3x+4y+15=0 B．x=﹣3或3x+4y+15=0C．x=﹣3或y=﹣D．x=﹣3【考点】直线与圆的位置关系．【分析】算出圆心为O（0，0）、半径r=5，根据垂径定理算出直线到圆心的距离等于3．讨论直线斜率存在时设直线方程，由点到直线的距离公式建立关于k的等式，解出k，可得直线的方程；当直线斜率不存在时，直线方程为x+3=0，到圆心的距离也等于3，符合题意．由此即可得所求的直线方程．【解答】解：圆x2+y2=5的圆心为O（0，0），半径r=5；设圆心到直线的距离为d，①当过点P（﹣3，﹣）的直线斜率存在时，设直线方程为y+=k（x+3），即2kx﹣2y+6k﹣3=0，∵直线圆x2+y2=25截得弦长为8，∴根据垂径定理，得=4，即=4，解得d=3；根据点到直线的距离公式，得=3，解之得k=﹣，此时直线的方程为y+=﹣（x+3），化简得3x+4y+15=0；②当过点P（﹣3，﹣）的直线斜率不存在时，直线方程为x=﹣3，即x+3=0；由圆心到直线的距离d=3，可得直线被圆截得的弦长也等于8，符合题意；综上，所求的直线方程为3x+4y+15=0或x+3=0．故选：B．10．设椭圆=1（a ＞0，b ＞0）的离心率e=，右焦点F （c ，0），方程ax 2+bx ﹣c=0的两个根分别为x 1，x 2，则点P （x 1，x 2）在（ ）A ．圆x 2+y 2=2内B ．圆x 2+y 2=2上C ．圆x 2+y 2=2外D ．以上三种情况都有可能 【考点】椭圆的应用．【分析】先根据x 1+x 2=﹣，x 1x 2=﹣表示出x 12+x 22，再由e==得到a 与c 的关系，从而可表示出b 与c 的关系，然后代入到x 12+x 22的关系式中可得到x 12+x 22的范围，从而可确定答案．【解答】解：∵x 1+x 2=﹣，x 1x 2=﹣x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=e==∴a=2c b 2=a 2﹣c 2=3c 2所以x 12+x 22=＜2所以在圆内 故选A ．11．已知正三棱锥P ﹣ABC 的高PO 为h ，点D 为侧棱PC 的中点，PO 与BD 所成角的余弦值为，则正三棱锥P ﹣ABC 的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】利用异面直线所成的角，得到底面边长与高h 的关系，易求，V P ﹣ABC===．【解答】解：设底面边长为a ，连接CO 交AB 于F ，过点D 作DE∥PO 交CF 于E ，连接BE ，则∠BDE 即PO 与BD 所成角，∴cos∠BDE=，∵PO⊥面ABC ，∴DE⊥面ABC ，∴△BDE 是直角三角形，∵点D 为侧棱PC 的中点，∴DE=h ，∴BE=h ，在正三角形ABC 中，BF=a ，EF=CF=a ，在Rt△BEF 中，BE 2=EF 2+BF 2，∴，∴V P ﹣ABC ===故选：C ．12．若实数x 、y 满足x|x|﹣y|y|=1，则点（x ，y ）到直线y=x 的距离的取值范围是（ ）A ．[1，） B ．（0，] C ．（，1） D ．（0，1]【考点】简单线性规划．【分析】对x ，y 的取值进行分段，由此求出曲线方程，然后画图，由图形可得曲线上点（x ，y ）到直线y=x 的距离的取值范围．【解答】解：当x≥0且y≥0时， 方程化为：x|x|﹣y|y|=x 2﹣y 2=1； 当x ＞0且y ＜0时，方程化为：x|x|﹣y|y|=x 2+y 2=1； 当x ＜0且y ＞0时，无意义； 当x ＜0且y ＜0时，方程化为：x|x|﹣y|y|=y 2﹣x 2=1． 作出图象如图所示，∵直线y=x 为两段等轴双曲线的渐近线，四分之一个单位圆上的点到直线y=x 的距离的最大值为1， 故选：D ．二、填空题（每题5分）13．已知||=1，||=6， •（﹣）=2，则向量与的夹角为 ．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由•（﹣）=2，得，利用向量夹角公式可求得＜＞．【解答】解：由•（﹣）=2，得﹣=2，即=3，cos ＜，＞==，所以＜＞=，故答案为：．14．在抛物线y 2=2px 上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为 2 ． 【考点】抛物线的简单性质．【分析】确定抛物线的准线方程，利用抛物线的定义，考查结论．【解答】解：由题意，抛物线的准线方程为x=﹣由抛物线的定义，可得+4=5，∴p=2． 故答案为：215．已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 1，左焦点为F 2，若椭圆上存在一点P ，满足线段PF 1相切于椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF 1的中点，则该椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设线段PF 1的中点为M ，利用OM 是△F 1PF 2的中位线，以及椭圆的定义求出直角三角形OMF 1的三边之长，再由勾股定理结合隐含条件求离心率．【解答】解：设线段PF 1的中点为M ，由题意知，OM=b ，又OM 是△F 1PF 2的中位线，∴OM=PF 2=b ，则PF 2=2b ，由椭圆的定义知PF 1=2a ﹣PF 2=2a ﹣2b ，又MF==（2a ﹣2b ）=a ﹣b ，OF 1=c ，在直角三角形OMF 1中，由勾股定理得：（a ﹣b ）2+b 2=c 2， 又a 2﹣b 2=c 2，可得2a=3b ， 故有4a 2=9b 2=9（a 2﹣c 2），由此可求得离心率e=，故答案为：．16．设必要不充分条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】充分性是说明p可以推出q，必要性说明由q可以推出p．在这个定义下进行正反认证，发现题中应该是必要不充分条件．【解答】解：若x≠0且x≠1，只有在x≥0的情况下，才有，说明充分性不成立反过来，若，说明在x≥0的大前提下，x2≠x可得x≠0且x≠1，说明必要性成立故答案为：必要不充分三、解答题（17、18、19、20、21各题12分，22题10分）17．已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根，q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假．求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假；一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】根据题意，首先求得p、q为真时m的取值范围，再由题意p，q中有且仅有一为真，一为假，分p 假q真与p真q假两种情况分别讨论，最后综合可得答案．【解答】解：由题意p，q中有且仅有一为真，一为假，若p为真，则其等价于，解可得，m＞2；若q为真，则其等价于△＜0，即可得1＜m＜3，若p假q真，则，解可得1＜m≤2；若p真q假，则，解可得m≥3；综上所述：m∈（1，2]∪[3，+∞）．18．设△ABC的三内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若x∈[0，π），求函数f（x）=sin（x﹣B）+sinx的值域．【考点】解三角形；三角函数的最值．【分析】（Ⅰ）根据a、b、c成等比数列，可得b2=ac，由正弦定理得sin2B=sinAsinC，利用，可得，根据b不是△ABC的最大边，即可求角B的大小；（Ⅱ）先化简函数，再根据x∈[0，π），可得，从而可得，故可求函数f（x）的值域．【解答】解：（Ⅰ）因为a、b、c成等比数列，所以b2=ac，所以由正弦定理得sin2B=sinAsinC．又，所以．因为sinB＞0，则．因为B∈（0，π），所以B=或．又b2=ac，则b≤a或b≤c，即b不是△ABC的最大边，故．…（Ⅱ）因为，则=．…∵x∈[0，π），∴，∴．故函数f（x）的值域是．…19．点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF．求点P的坐标．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先根据椭圆的方程可分别求得A，F的坐标，设出点P的坐标，则可分别表示出和，进而根据PA⊥PF求得x和y的关系式，与椭圆方程联立求得x和y即交点P的坐标．【解答】解：由已知可得点A（﹣6，0），F（4，0）设点P的坐标是（x，y），则，由已知得，则或x=﹣6.由于y＞0，只能x=，于是，∴点P 的坐标是．20．如图，直棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1=AC=CB=AB ．（Ⅰ）证明：BC 1∥平面A 1CD（Ⅱ）求二面角D ﹣A 1C ﹣E 的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）通过证明BC 1平行平面A 1CD 内的直线DF ，利用直线与平面平行的判定定理证明BC 1∥平面A 1CD （Ⅱ）证明DE⊥平面A 1DC ，作出二面角D ﹣A 1C ﹣E 的平面角，然后求解二面角平面角的正弦值即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点，又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF，因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD ．（Ⅱ）因为直棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，所以AA 1⊥CD，由已知AC=CB ，D 为AB 的中点，所以CD⊥AB，又AA 1∩AB=A，于是，CD⊥平面ABB 1A 1，设AB=2，则AA 1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，CD=，A 1D=，DE=，A 1E=3故A 1D 2+DE 2=A 1E 2，即DE⊥A 1D ，所以DE⊥平面A 1DC ，又A 1C=2，过D 作DF⊥A 1C 于F ，∠DFE 为二面角D ﹣A 1C ﹣E 的平面角，在△A 1DC 中，DF==，EF==，所以二面角D ﹣A 1C ﹣E 的正弦值．sin∠DFE=．21．如图，已知A（﹣4a，0）（a＞0），B、C两点分别在y轴和x轴上运动，并且满足•=0， =．（1）求动点Q的轨迹方程；（2）设过点A的直线与点Q的轨迹交于E、F两点，A′（4a，0），求直线A′E、A′F的斜率之和．【考点】轨迹方程；平面向量数量积的运算．【分析】（1）分别设出Q、B、C的坐标，利用向量等式把B的坐标用Q的坐标表示，结合•=0求得动点Q的轨迹方程；（2）写出过点A的直线为y=k（x+4a）（k≠0），联立直线方程和抛物线方程，利用根与系数的关系得到E，F两点纵坐标的和，再写出直线A′E、A′F的斜率之和整理得答案．【解答】解：（1）设Q（x，y），B（0，yB ），C（xC，0），则，，∵=，∴，则，又A（﹣4a，0）（a＞0），∴，由已知•=0，则，即y2=9ax，∴动点Q的轨迹方程为y2=9ax；（2）设过点A的直线为y=k（x+4a）（k≠0），再设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），联立，得ky 2﹣9ay+36a 2k=0，则，∴k A′E +k A′F =又，∴=，由，得k A′E +k A′F =0．22．在等腰直角△ABC 中，AB=AC=4，点P 是边AB 上异于A 、B 的一点，光线从点P 出发经过BC 、CA 反射后又回到点P ，光线交线段BC 于点Q ，交线段CA 于点R ，若光线QR 经过△ABC 的重心，求线段AP 的长度．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】建立坐标系，可得直线方程和重心坐标，由反射原理可得P 的两个对称点坐标，可得直线方程，进而可得P 的坐标，可得AP 长度．【解答】解：由题意建立如图所示的坐标系，则A （0，0），B （4，0），C （0，4），可得BC 的方程为x+y=4，可得重心（，），设P （a ，0），则P 关于AC 即y 轴的对称点P′（﹣a ，0），设P 关于BC 的对称点P″（m ，n ），则，解得，即P″（4，4﹣a ），∴光线QR 即P′P″的方程为y=（x+a ），代入（，）可得=（+a ），解得a=或a=0（舍去）∴线段AP 的长度为。
重庆市高二上学期期中数学试卷(理科)
重庆市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二下·新疆开学考) 若椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2 ， P是两曲线的一个交点，则△F1PF2的面积是（）A . 4B . 2C . 1D .2. （2分）(2018·衡水模拟) 如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（）A .B .C .D .3. （2分）已知椭圆，长轴在y轴上. 若焦距为4，则m等于（）A . 4B . 5C . 7D . 8.4. （2分）已知点F（﹣c，0）（c＞0）是双曲线﹣=1=1的左焦点，离心率为e，过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆x2+y2=c2交于点P，且P在抛物线y2=4cx上，则e2=（）A .B .C .D .5. （2分）(2016·静宁模拟) 已知命题P：有的三角形是等边三角形，则（）A . ¬P：有的三角形不是等边三角形B . ¬P：有的三角形是不等边三角形C . ¬P：所有的三角形都是等边三角形D . ¬P：所有的三角形都不是等边三角形6. （2分）已知函数在区间上存在极值，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .7. （2分）已知点P是抛物线上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是，则的最小值是（）A .B . 4C .D . 58. （2分）下列有关命题说法正确的是（）A . 命题p：“存在”，则p是假命题B . "a=1"是"函数的周期的充分必要条件C . 命题“存在，使得”的否定是：“对任意,"D . 命题“若tanα≠1，则α≠” 的逆否命题是真命题9. （2分）设若对于任意总存在,使得成立，则a的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分）下列4个命题:（1）若a<b，则；（2）“”是“对任意的实数x，成立”的充要条件；（3）命题“，”的否定是：“，”；（4）函数的值域为.其中正确的命题个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 411. （2分）已知函数f（x）=ex ， g（x）= x2+x+1，命题p：∀x≥0，f（x）≥g（x），则（）A . p是假命题，￢p：∃x＜0，f（x）＜g（x）B . p是假命题，￢p：∃x≥0，f（x）＜g（x）C . p是真命题，￢p：∃x＜0，f（x）＜g（x）D . p是真命题，￢p：∃x≥0，f（x）＜g（x）12. （2分）己知函数f（x）=（x﹣l）（log3a）2﹣6（log3a）x+x+l在x∈[0，l]内恒为正值，则a的取值范围是（）A . ﹣1＜a＜B . a＜C . a＞D . ＜a＜二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·海淀模拟) 在△ABC中，A=2B，2a=3b，则cosB=________．14. （1分） (2016高二上·衡阳期中) 某人玩投石子游戏，第一次走1米放2颗石子，第二次走2米放4颗石子，…，第n次走n米放2n颗石子，当此人一共走了36米时，他投放石子的总数是________．15. （1分）(2017·宝鸡模拟) 在等差数列{an}中，a1=2017，其前n项和为Sn ，若﹣ =2，则S2017=________．16. （1分） (2016高一下·大同期末) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，且a1=1，an+1= Sn（n=1，2，3，…）．则数列{an}的通项公式为________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （10分） (2019高一上·宾县月考) 已知，计算（1）（2）18. （10分） (2019高二下·吉林月考)（1）已知数列的前项和，求。
2016-2017年高二上数学期中试题(附答案重庆十一中)
2016-2017年高二上数学期中试题（附答案重庆十一中）重庆十一中高2018级高二上半期考试数学（小班）试题（满分10分，时间120分钟）一．选择题：本大题共12小题，每小题分，共60分1．某校对高二年级进行了一次学业水平模块测试，从该年级学生中随机抽取部分学生，将他们的数学测试成绩分为6组：[40，0），[0，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高二年级共有学生1200名，若成绩不少于80分的为优秀，据此估计，高二年级在这次测试中数学成绩优秀的学生人数为A．30B．120．180D．3002．某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个．命中个数的茎叶图如图．则下面结论中错误的一个是A．甲的极差是29 B．乙的众数是21．甲罚球命中率比乙高D．甲的中位数是243．的展开式的常数项是A．B．．12 D．84．如图圆内切于扇形AB，∠AB= ，若在扇形AB内任取一点，则该点不在圆内的概率为A．B．．D．．某产品的广告费用x与销售额的统计数据如下表广告费用x（万元）423销售额（万元）4926 ]394根据上表可得回归方程的为94，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A．636万元B．6万元．677万元D．720万元6．高二年级学生要安排元旦晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，则两个舞蹈节目不连排的概率是A．B．．D．7．某公司新招聘10名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，则不同的分配方案共有A 120种B 240种380种D 1080种8．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S的值为A．1B．．D．9．在的展开式中，含有但不含有的项的系数之和为A1024 B 1023 D10．由1、2、3、4、、6组成没有重复数字且2、4都不与6相邻的六位偶数的个数是A．108 B．126 ．144 D．18011．算法程序框图如图所示，若，则输出的结果是A．B．a．bD．12．设a,b,为整数（>0），若a和b被除得的余数相同，则称a和b对模同余，记作。
2017-2018学年重庆市高二上学期期中数学试题(理科) (解析版)17
高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）1．过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线斜率等于1，那么m的值等于（）A．1或3 B．4 C．1 D．1或42．过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+4=0垂直的直线方程为（）A．3x+2y﹣1=0 B．3x+2y+7=0 C．2x﹣3y+5=0 D．2x﹣3y+8=03．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为（）A．9 B．4 C．3 D．24．两个圆C1：x2+y2+2x+y﹣2=0与C2=x2+y2﹣4x﹣2y+4=0的公切线有且仅有（）A．1条B．2条 C．3条 D．4条5．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为A．B． C． D．6．已知圆C：x2+y2+mx﹣4=0上存在两点关于直线x﹣y+3=0对称，则实数m的值（）A．8 B．﹣4 C．6 D．无法确定7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AA1和CC1的中点，则异面直线B1E与BF所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．8．经过点M（2，2）且在两轴上截距相等的直线是（）A．x+y=4 B．x+y=2 C．x=2或y=2 D．x+y=4或x=y9．下列说法正确的是（ ）A ．若直线a 与平面α内无数条直线平行，则a ∥αB ．经过两条异面直线中的一条，有一个平面与另一条直线平行C ．平行于同一平面的两条直线平行D ．直线a ，b 共面，直线a ，c 共面，则直线b ，c 共面10．已知点P （a ，b ）（ab ≠0）是圆x 2+y 2=r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在直线，直线l 的方程为ax +by=r 2，那么（ ）A ．m ∥l ，且l 与圆相交B ．m ⊥l ，且l 与圆相切C ．m ∥l ，且l 与圆相离D ．m ⊥l ，且l 与圆相离11．若直线l 过点A （0，a ），斜率为1，圆x 2+y 2=4上恰有1个点到l 的距离为1，则a 的值为（ ）A ．3B ．±3C ．±2D ．±12．在R 上定义运算⊗：x ⊗y=x （1﹣y ），若存在x 1，x 2（x 1≠x 2）使得1⊗（2k ﹣3﹣kx ）=1+成立，则实数k 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答卷相应的横线上）13．已知直线l 1：ax +y +2=0，l 2：3x ﹣y ﹣1=0，若l 1∥l 2则a= ．14．过点（3，1）作圆（x ﹣2）2+（y ﹣2）2=4的弦，其中最短的弦长为 ． 15．某几何体的三视图如图所示，它的体积为 ．16．设集合，B={（x ，y ）|2m ≤x +y ≤2m +1，x ，y ∈R }，若A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（﹣3，4），C（2，﹣6），求：（1）边BC的垂直平分线的方程；（2）AC边上的中线BD所在的直线方程．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：（1）B，C，H，G四点共面；（2）平面EFA1∥平面BCHG．19．已知方程x2+y2﹣2mx﹣4y+5m=0的曲线是圆C（1）求m的取值范围；（2）当m=﹣2时，求圆C截直线l：2x﹣y+1=0所得弦长．20．直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2．P为A1B1的中点（1）求证：DP∥平面ACB1．（2）求证：平面DPD1∥平面CBB1．21．已知圆C的方程为：x2+y2﹣4x+3=0．直线l的方程为2x﹣y=0，点P在直线l上（1）若Q（x，y）在圆C上，求的范围；（2）若过点P作圆C的切线PA，PB切点为A，B．求证：经过P，A，C，B四点的圆必过定点．22．如图，已知定圆C：x2+（y﹣3）2=4，定直线m：x+3y+6=0，过A（﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C；（Ⅱ）当时，求直线l的方程；（Ⅲ）设t=，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）1．过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线斜率等于1，那么m的值等于（）A．1或3 B．4 C．1 D．1或4【考点】直线的斜率．【分析】利用直线的斜率公式求解．【解答】解：∵过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线斜率等于1，∴k==1，解得m=1．故选：C．2．过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+4=0垂直的直线方程为（）A．3x+2y﹣1=0 B．3x+2y+7=0 C．2x﹣3y+5=0 D．2x﹣3y+8=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线2x﹣3y+4=0垂直的直线方程为﹣3x﹣2y+c=0，再把点（﹣1，2）代入，即可求出c值，得到所求方程．【解答】解：∵所求直线方程与直线2x﹣3y+4=0垂直，∴设方程为﹣3x﹣2y+c=0 ∵直线过点（﹣1，2），∴﹣3×（﹣1）﹣2×2+c=0∴c=1∴所求直线方程为3x+2y﹣1=0．故选：A．3．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为（）A．9 B．4 C．3 D．2【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得：C（1，1），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过点C（1，1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值等于2×1+1=3．故选：C．4．两个圆C1：x2+y2+2x+y﹣2=0与C2=x2+y2﹣4x﹣2y+4=0的公切线有且仅有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【考点】两圆的公切线条数及方程的确定．【分析】先求两圆的圆心和半径，判定两圆的位置关系，即可判定公切线的条数．【解答】解：两圆的圆心分别是（﹣1，﹣），（2，1），半径分别是，1；两圆圆心距离：=＞，说明两圆相离，因而公切线有四条．故选：D．5．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A．B． C． D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据三视图的特点，知道左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角都右上角的线，得到结果．【解答】解：被截去的四棱锥的三条可见棱中，在两条为长方体的两条对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面（长方形）的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有D符合．故选D．6．已知圆C：x2+y2+mx﹣4=0上存在两点关于直线x﹣y+3=0对称，则实数m的值（）A．8 B．﹣4 C．6 D．无法确定【考点】直线和圆的方程的应用；恒过定点的直线．【分析】因为圆上两点A、B关于直线x﹣y+3=0对称，所以直线x﹣y+3=0过圆心（﹣，0），由此可求出m的值．【解答】解：因为圆上两点A、B关于直线x﹣y+3=0对称，所以直线x﹣y+3=0过圆心（﹣，0），从而﹣+3=0，即m=6．故选C．7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AA1和CC1的中点，则异面直线B1E与BF所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线B1E与BF所成的角的余弦值．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，又E、F分别是AA1和CC1的中点，∴B1（2，2，2），E（2，0，1），B（2，2，0），F（0，2，1），=（0，﹣2，﹣1），=（﹣2，0，1），设异面直线B1E与BF所成的角为θ，则cosθ===，∴异面直线B1E与BF所成的角的余弦值为．故选：A．8．经过点M（2，2）且在两轴上截距相等的直线是（）A．x+y=4 B．x+y=2 C．x=2或y=2 D．x+y=4或x=y【考点】直线的截距式方程．【分析】直线在坐标轴上的截距为零时，直线过原点，用两点式求得直线方程；，当直线在坐标轴上的截距不为零时，设方程为x+y=k，把点M（2，2）代入，求得k=4，可得直线方程，综合可得结论．【解答】解：当直线在坐标轴上的截距为零时，直线过原点，方程为=，即x=y．当直线在坐标轴上的截距不为零时，设方程为x+y=k，把点M（2，2）代入可得2+2=k，求得k=4，可得直线方程为x+y=4．故选：D．9．下列说法正确的是（）A．若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥αB．经过两条异面直线中的一条，有一个平面与另一条直线平行C．平行于同一平面的两条直线平行D．直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A，若直线a与平面α内无数条直线平行，则可能a⊂α；B．平移其中一条异面直线使两异面直线相交两条异面直线可确定一个平面，而这条直线与平面中的一条直线平行；C，行于同一平面的两条直线位置关系不能确定；D，直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c可能是异面直线；【解答】解：对于A，若直线a与平面α内无数条直线平行，则可能a⊂α，故错；对于B．平移其中一条异面直线使两异面直线相交两条异面直线可确定一个平面，而这条直线与平面中的一条直线平行，故正确；对于C，平行于于同一平面的两条直线位置关系不能确定，故错；对于D，直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c可能是异面直线，故错；故选：B10．已知点P（a，b）（ab≠0）是圆x2+y2=r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在直线，直线l的方程为ax+by=r2，那么（）A．m∥l，且l与圆相交B．m⊥l，且l与圆相切C．m∥l，且l与圆相离 D．m⊥l，且l与圆相离【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由P在圆内，得到P到圆心距离小于半径，利用两点间的距离公式列出不等式a2+b2＜r2，由直线m是以P为中点的弦所在直线，利用垂径定理得到直线OP与直线m垂直，根据直线OP的斜率求出直线m的斜率，再表示出直线l的斜率，发现直线m与l斜率相同，可得出两直线平行，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离，利用得出的不等式变形判断出d大于r，即可确定出直线l与圆相离．【解答】解：∵点P（a，b）（ab≠0）在圆内，∴a2+b2＜r2，∵k OP=，直线OP⊥直线m，∴k m=﹣，∵直线l的斜率k l=﹣=k m，∴m∥l，∵圆心O到直线l的距离d=＞=r，∴l与圆相离．故选C．11．若直线l过点A（0，a），斜率为1，圆x2+y2=4上恰有1个点到l的距离为1，则a的值为（）A．3 B．±3C．±2 D．±【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意可得，圆心（0，0）到直线l的距离等于半径加1，即圆心（0，0）到直线l的距离等于3，再利用点到直线的距离公式求得a的值．【解答】解：由题意可得，直线l的方程为y=x+a，即x﹣y+a=0．圆x2+y2=4上恰有1个点到l的距离为1，可得圆心（0，0）到直线l的距离等于半径加1，即圆心（0，0）到直线l的距离等于3，故有=3，求得a=，故选：B．12．在R上定义运算⊗：x⊗y=x（1﹣y），若存在x1，x2（x1≠x2）使得1⊗（2k﹣3﹣kx）=1+成立，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】根据运算⊗：x⊗y=x（1﹣y），把存在x1，x2（x1≠x2）使得1﹣2k+3+kx=1+成立，转化为y=k（x﹣2）+3与y=有两个不同的交点，即可求得结果．【解答】解：∵x⊗y=x（1﹣y），若存在x1，x2（x1≠x2）使得1⊗（2k﹣3﹣kx）=1+成立，则1﹣2k+3+kx=1+，即存在x1，x2（x1≠x2）使得k（x﹣2）+3=成立∴y=k（x﹣2）+3与y=有两个不同的交点，y=k（x﹣2）+3与y=相切时，可得k=，过（﹣2，0）时，可得k=∴实数k的取值范围为＜k≤．故选B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答卷相应的横线上）13．已知直线l1：ax+y+2=0，l2：3x﹣y﹣1=0，若l1∥l2则a=﹣3．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由﹣a﹣3=0，解得a，再验证即可得出．【解答】解：由﹣a﹣3=0，解得a=﹣3．经过验证满足l1∥l2．故答案为：﹣3．14．过点（3，1）作圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的弦，其中最短的弦长为2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的方程找出圆心与半径，判断得到（3，1）在圆内，过此点最短的弦即为与过此点直径垂直的弦，利用垂径定理及勾股定理即可求出．【解答】解：根据题意得：圆心（2，2），半径r=2，∵=＜2，∴（3，1）在圆内，∵圆心到此点的距离d=，r=2，∴最短的弦长为2=2．故答案为：215．某几何体的三视图如图所示，它的体积为30π．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】先根据三视图判断几何体为半球与圆锥的组合体，再根据球与圆锥的体积公式计算即可．【解答】解：根据几何体的三视图，几何体为一圆锥与一半球的组合体．半球的半径R=3，∴，V 球=πR 3=×27π=18π；圆锥的高h==4，∴V 圆锥=πR 2h=×9×4π=12π； ∴V=V 半球+V 圆锥=30π． 故答案是30π16．设集合，B={（x ，y ）|2m ≤x +y≤2m +1，x ，y ∈R }，若A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是 [，2+] ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意可把问题转换为圆与直线有交点，即圆心到直线的距离小于或等于半径，进而联立不等式组求得m 的范围． 【解答】解：依题意可知，若A ∩B ≠∅，则A ≠∅，必有，解可得m ≤0或m ≥，此时集合A 表示圆环内点的集合或点（2，0），集合B 表示与x +y=0平行的一系列直线的集合，要使两集合不为空集，需至少一条直线与圆有交点或点在某一条直线上，①m=0时，A={（2，0）}，B={（x ，y ）|0≤x +y ≤1}，此时A ∩B=∅，不合题意；②当m ＜0时，有||＜﹣m 或||＜﹣m ；则有﹣m ＞﹣m ，或﹣m ＞﹣m ，又由m ＜0，则（﹣1）m ＜，可得A ∩B=∅，不合题意；③当m ≥时，有||≤m 或||≤m ，解可得：2﹣≤m ≤2+，1﹣≤m ≤1+，又由m ≥，则m 的范围是[，2+]；综合可得m 的范围是[，2+]；故答案为[，2+]．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知△ABC 的三个顶点分别为A （1，2），B （﹣3，4），C （2，﹣6），求： （1）边BC 的垂直平分线的方程； （2）AC 边上的中线BD 所在的直线方程． 【考点】直线的一般式方程．【分析】（1）利用中点坐标公式、和斜率公式，利用斜截式即可得出． （2）利用中点坐标公式和两点式的关系即可得出． 【解答】解：（1）∵A （1，2），B （﹣3，4），C （2，﹣6），∴k BC ==﹣2，∴边BC 的垂直平分线的方程的斜率为，BC 边的中点的坐标为（，），即为（﹣，﹣1），∴边BC 的垂直平分线的方程为y +1=（x +），即为2x ﹣4y ﹣3=0，（2）AC 边上的中点D 的坐标为（，），即为（，﹣2），∴AC边上的中线BD所在的直线方程为=，即为4x+3y=0．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：（1）B，C，H，G四点共面；（2）平面EFA1∥平面BCHG．【考点】平面与平面平行的判定．【分析】（1）利用三角形中位线的性质，证明GH∥B1C1，从而可得GH∥BC，即可证明B，C，H，G四点共面；（2）证明平面EFA1中有两条直线A1E、EF分别与平面BCHG中的两条直线BG、BC平行，即可得到平面EFA1∥平面BCHG．【解答】证明：（1）∵G、H分别为A1B1，A1C1中点，∴GH∥B1C1，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC∥B1C1，∴GH∥BC∴B、C、H、G四点共面；（2）∵E、F分别为AB、AC中点，∴EF∥BC∴EF∥BC∥B1C1∥GH又∵E、G分别为三棱柱侧面平行四边形AA1B1B对边AB、A1B1中点，∴四边形A1EBG为平行四边形，A1E∥BG∴平面EFA1中有两条直线A1E、EF分别与平面BCHG中的两条直线BG、BC平行∴平面EFA1∥平面BCHG．19．已知方程x2+y2﹣2mx﹣4y+5m=0的曲线是圆C（1）求m的取值范围；（2）当m=﹣2时，求圆C截直线l：2x﹣y+1=0所得弦长．【考点】直线与圆相交的性质；二元二次方程表示圆的条件．【分析】（1）化简方程为圆的标准形式，然后求解m的取值范围；（2）当m=﹣2时，求出圆的圆心与半径利用圆心到直线的距离，半径，半弦长满足的勾股定理，求圆C截直线l：2x﹣y+1=0所得弦长．【解答】解：（1）（x﹣m）2+（y﹣2）2=m2﹣5m+4，方程x2+y2﹣2mx﹣4y+5m=0的曲线是圆，∴m2﹣5m+4＞0．m＜1或m＞4．（2）设m=﹣2时，圆心C（﹣2，2），半径，圆心到直线的距离为，圆C截直线l：2x﹣y+1=0所得弦长为：．20．直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2．P为A1B1的中点（1）求证：DP∥平面ACB1．（2）求证：平面DPD1∥平面CBB1．【考点】平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质．【分析】（1）推导出四边形DCB1P是平行四边形，从而DP∥B1C，由此能证明DP∥平面ACB1．（2）推导出DP∥B1C，DD1∥BB1，由此能证明平面DPD1∥平面CBB1．【解答】证明：（1）∵直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2．P为A1B1的中点∴CD PB1，∴四边形DCB1P是平行四边形，∴DP∥B1C，∵DP⊄平面ACB1，B1C⊂平面ACB1．∴DP∥平面ACB1．（2）由（1）知DP∥B1C，∵直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，∴由直棱柱性质得DD1∥BB1，∵DD1∩DP=D，B1C∩BB1=B，DD1，DP⊂平面DD1P，B1C，BB1⊂平面CBB1，∴平面DPD1∥平面CBB1．21．已知圆C的方程为：x2+y2﹣4x+3=0．直线l的方程为2x﹣y=0，点P在直线l上（1）若Q（x，y）在圆C上，求的范围；（2）若过点P作圆C的切线PA，PB切点为A，B．求证：经过P，A，C，B四点的圆必过定点．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）求得圆的标准方程，写出参数方程，代入k=根据辅助角公式，由正弦函数的性质，即可求得k的范围；（2）由题意求得经过点P，A，C，B四点的圆的圆心坐标为（，t），求得圆的方程，将点代入圆方程恒成立则经过P，A，C，B四点的圆必过定点．．【解答】解：（1）由圆的标准方程：（x﹣2）2+y2=1，由Q（x，y）在圆C上，则x=2+cosθ，y=sinθ，则k==，sinθ﹣kcosθ=2k﹣3，则sin（θ+φ）=2k﹣3，则≥丨2k﹣3丨，解得：≤k≤，∴的范围[，]；（2）证明：由点P在直线2x﹣y=0，则P（t，2t），经过点P，A，C，B四点的圆就是以PC为直径的圆，则圆C的圆心C（2，0），经过点P，A，C，B四点的圆的圆心坐标为（，t），半径为=，则圆的方程为（x﹣）2+（y﹣t）2=，把点的坐标代入圆方程，可知该方程恒成立，则经过点P，A，C，B四点的圆必定过圆，∴经过P，A，C，B四点的圆必过定点．22．如图，已知定圆C：x2+（y﹣3）2=4，定直线m：x+3y+6=0，过A（﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C；（Ⅱ）当时，求直线l的方程；（Ⅲ）设t=，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由．【考点】直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算；直线的一般式方程．【分析】（Ⅰ）根据已知，容易写出直线l的方程为y=3（x+1）．将圆心C（0，3）代入方程易知l过圆心C．（Ⅱ）过A（﹣1，0）的一条动直线l．应当分为斜率存在和不存在两种情况；当直线l与x轴垂直时，进行验证．当直线与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），由于弦长，利用垂径定理，则圆心C到弦的距离|CM|=1．从而解得斜率K来得出直线l的方程为．（Ⅲ）同样，当l与x轴垂直时，要对设t=，进行验证．当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），代入圆的方程得到一个二次方程．充分利用“两根之和”和“两根之积”去找．再用两根直线方程联立，去找．从而确定t=的代数表达式，再讨论t是否为定值．【解答】解：（Ⅰ）由已知，故k l=3，所以直线l的方程为y=3（x+1）．将圆心C（0，3）代入方程易知l过圆心C．（Ⅱ）当直线l与x轴垂直时，易知x=﹣1符合题意；当直线与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），由于，所以|CM|=1．由，解得．故直线l的方程为x=﹣1或4x﹣3y+4=0．（Ⅲ）当l与x轴垂直时，易得M（﹣1，3），，又A（﹣1，0）则，，故．即t=﹣5．当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），代入圆的方程得（1+k2）x2+（2k2﹣6k）x+k2﹣6k+5=0．则，，即，=．又由得，则．故t=．综上，t的值为定值，且t=﹣5．另解一：连接CA，延长交m于点R，由（Ⅰ）知AR⊥m．又CM⊥l于M，故△ANR∽△AMC．于是有|AM|•|AN|=|AC|•|AR|．由，得|AM|•|AN|=5．故．另解二：连接CA并延长交直线m于点B，连接CM，CN，由（Ⅰ）知AC⊥m，又CM⊥l，所以四点M，C，N，B都在以CN为直径的圆上，由相交弦定理得．21。
重庆市第十一中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学试题(理)
重庆十一中高2018级高二下（半期）数学试题（理）一、选择题（每小题5分，共60分） 1. 复数3ii-在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2. 曲线y=2-x x在点（1，－1）处的切线方程为( ) A ．y=x －2 B. y=－3x+2 C. y=－2x+1 D. y=2x －3 3．设△ABC 的三边长分别为a,b,c,△ABC 的面积为S,内切圆半径为r,则r ＝2Sa b c++,类比这个结论可知：四面体S —ABC 的四个面的面积分别为S 1,S 2,S 3,S 4,内切球半径为R,四面体S —ABC 的体积为V,则R 等于（ ） A ．1234V S S S S +++ B ．12342V S S S S +++ C ．12343V S S S S +++ D ．12344V S S S S +++ 4．若()224ln f x x x x =--,则()0f x '>的解集为（ ）A ． ()2,+∞B ．()()1,02,-⋃+∞C ．(0,)+∞D ．()1,0- 5．证明n ＋22<1＋12＋13＋14＋…＋12n<n ＋1(n>1)，当n ＝2时，中间式子等于 ( ) A ．1B ．1＋12C ．1＋12＋13D ．1＋12＋13＋146.若函数()23k kh x x x =-+在()1,+∞上是增函数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[)2,-+∞ B ．[)2,+∞ C ．(],2-∞- D ．(],2-∞ 7. 若()f x 在R 上可导，()()2223f x x f x '=++，则()3f x dx =⎰( )A ．16B ．54C ．﹣24D ．﹣188. 已知函数()ln f x ax x =-,当(]0,e x ∈（e 为自然常数）,函数()f x 的最小值为3,则a 的值为（ ）A ．eB ．2eC ．2eD ．22e9. 如图是函数d cx bx x x f +++=23)(的大致图象，则2221x x +等于（ ） （A ）32 （B ）34 （C ）38 （D ）312 10．函数x x x f 3)(3-=在)6,(2a a -上有最小值，则实数的取值范围是（ ） A. )1,5(- B. )1,5[- C. )1,2[- D. )1,2(-11. 已知函数()f x 满足1()(),f x f x =当[]1,3,()ln x f x x ∈=，若在区间1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦内，函数()()g x f x ax =-有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ）A.ln 32,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B. ln 31,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.10,e ⎛⎫⎪⎝⎭12. 已知定义在R 上的函数)(x f 和)(x g 满足x f x e f x f x )0(22)1(')(222-+⋅=-，且0)(2)('<+x g x g ，则下列不等式成立的是（ ）A ．)2017()2015()2(g g f <B ．)2017()2015()2(g g f >C ．)2017()2()2015(g f g <D ．)2017()2()2015(g f g >二、填空题（本大题满分20分，共有4个小题，只要求将最终结果直接填写在答题纸相应的横线上，每个空格填对得5分，否则一律得零分）．13、《数学万花筒》第3页中提到如下“奇特的规律”：111⨯= 1111121⨯=11111112321⨯=……按照这种模式，11111111111111⨯=14、《数学万花筒》第7页中谈到了著名的“四色定理”。
重庆市第十一中学高二下学期期中考试数学(理)试题
重庆市第十一中学2015至2016学年度高二下半期数 学 试 题（理科)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1. 若复数z 满足i i z +=-3)1(,则在复平面内z 的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 已知函数f (x )＝23x 3－2ax 2－3x (a ∈R )，若函数f (x )的图像上点P (1，m )处的切线方程为3x －y ＋b ＝0，则m 的值为( )A ．－13 B.－12 C.13 D.123. 用数学归纳法证明命题：2 (3214)22n n n +=++++时，则从n k =到1n k =+左边需增加的项数为( )A.12-nB. n 2C. 12+nD. 12+-n n4. 已知点P 在曲线y ＝4e x＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2C.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 5. 已知函数y ＝f(x)的图象如左下图所示，则其导函数y ＝f ′(x)的图象可能是( )6. 过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．4x －y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．2x ＋y －3＝0 D ．4x ＋y －3＝07. 已知曲线y ＝x ＋lnx 在点（1，1）处的切线与曲线1)2(2+++=x a ax y 相切，则a 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．108. 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、BC 的中点，△AED 、△EBF 、△FCD 分别沿DE 、EF 、FD 折起，使A 、B 、C 三点重合于点A ′，若四面体EFD A '的四个顶点在同一个球面上，则该球面的面积为（ ）．A.π3B. π6C. π10D. π189. 点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的距离的最小值是（ ） A ．2 B ．22 C ． 223D ．23 10. 已知,(0,)2αβπ∈，且ββααsin sin <，则下列结论正确的是（ ）．A ．βα<B ．2πβα>+ C ．βα> D ．2πβα<+11. 若圆222)5(3x r y =++-）（上有且仅有两个点到直线4x －3y ＝2的距离 等于1，则半径r 的范围为( )A.[)64，B.(4,6)C.(]64，D.[4,6] 12.设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为'()f x ，若()'()1f x f x +<，11)0(=f ，则不等式xx ee xf 10)(+>（其中e 为自然对数的底数）的解集为( ) A ．),10(+∞ B.),11()0,(+∞⋃-∞ C.)11,(-∞ D ．(,0)-∞ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13. 如图所示，图中曲线方程为y ＝x 2－1，则围成封闭图形(阴影部分)的面积是__________． 14. 已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若7＋a b ＝7ab ，(a 、b 均为正实数)，则类比以上等式，可推测a 、b 的值，进而可得a ＋b ＝________．15. 以抛物线24y x =的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线的渐近线方程为 .16.设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________．三、解答题（本大题共6小题，满分70分．17题10分，其它题为12分。
重庆十一中2015-2016学年高二下学期期中数学(理)试卷Word版含解析
2015-2016学年重庆十一中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．若复数z满足z（1﹣i）=|+i|，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知函数f（x）=x3﹣2ax2﹣3x（a∈R），若函数f（x）的图象上点P（1，m）处的切线方程为3x﹣y+b=0，则m的值为（）A．﹣ B．﹣ C．D．3．用数学归纳法证明命题：1+2+3+…+n2=时，则从n=k到n=k+1左边需增加的项数为（）A．2n﹣1 B．2n C．2n+1 D．n2﹣n+14．已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（）A．[0，）B．C．D．5．已知函数y=f（x）的图象如图所示，则其导函数y=f′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．6．过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB 的方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．4x﹣y﹣3=0 D．4x+y﹣3=07．已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=（）A．4 B．8 C．2 D．18．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，将△ADE，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A、B、C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．8πB．6πC．11πD．5π9．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）A．B．1 C．D．210．已知α，β∈（0，），且＜，则下列结论正确的是（）A．α＜βB．α+β＞C．α＞βD．α+β＜11．若圆（x﹣3）2+（y+5）2=r2上有且只有两个点到直线4x﹣3y=2的距离等于1，则半径r的取值范围是（）A．（4，6） B．[4，6） C．（4，6]D．[4，6]12．设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x），若f（x）+f′（x）＜1，f（0）=11，则不等式f（x）＞（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（10，+∞）B．（﹣∞，0）∪（11，+∞）C．（﹣∞，11）D．（﹣∞，0）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．如图所示，图中曲线方程为y=x2﹣1，则围成封闭图形（阴影部分）的面积是．14．已知=2，=3，=4，…，若=7，（a、b 均为正实数），则类比以上等式，可推测a、b的值，进而可得a+b=．15．以抛物线y2=4x的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线的渐近线方程为．16．设函数f（x）=ax3﹣3x+1（x∈R），若对于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，则实数a的值为．三、解答题（本大题共6小题，满分70分．17题10分，其它题为12分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）．17．设函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）．（Ⅰ）对任意x0∈[0，1]，不等式f（x0）﹣m≤0恒成立，求实数m的最小值；（Ⅱ）若存在x0∈[0，1]，使不等式f（x0）﹣m≤0成立，求实数m的取值范围．18．已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（1）若a=﹣1，求函数f（x）的单调区间并比较f（x）与f（1）的大小关系（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围．19．设函数f（x）=lnx+，m∈R（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的最小值；（2）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（3）（理科）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．20．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为2的菱形，平面ABC⊥平面AA1C1C，∠A1AC=60°，∠BCA=90°．（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1；（Ⅱ）已知点E是AB的中点，BC=AC，求直线EC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值．21．已知动圆P与圆F1：（x+1）2+y2=1外切，与圆F2：（x﹣1）2+y2=9内切．动圆P的圆心轨迹为曲线E，且曲线E与y轴的正半轴相交于点M．若曲线E上相异两点A、B满足直线MA，MB的斜率之积为．（1）求E的方程；（2）证明直线AB恒过定点，并求定点的坐标．22．已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+2lnx，F（x）=3g（x）﹣2xg′（x），若函数F（x）在定义域内有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：＜0．2015-2016学年重庆十一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．若复数z满足z（1﹣i）=|+i|，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数z满足z（1﹣i）=|+i|，∴z（1﹣i）（1+i）=2（1+i），∴z=1+i，则在复平面内z的共轭复数1﹣i对应的点（1，﹣1）位于第四象限．故选：D．2．已知函数f（x）=x3﹣2ax2﹣3x（a∈R），若函数f（x）的图象上点P（1，m）处的切线方程为3x﹣y+b=0，则m的值为（）A．﹣ B．﹣ C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求函数的导数，根据导数的几何意义，由已知切线方程建立条件关系，解方程即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）的图象上点P（1，m）处的切线方程为3x﹣y+b=0，∴切线斜率k=3，即f′（1）=3，∵函数f（x）=x3﹣2ax2﹣3x，∴f′（x）=2x2﹣4ax﹣3，则f′（1）=2﹣4a﹣3=3，解得a=﹣1，则f（1）=﹣2a﹣3=﹣2×（﹣1）﹣3=﹣，即m=﹣，故选：A．3．用数学归纳法证明命题：1+2+3+…+n2=时，则从n=k到n=k+1左边需增加的项数为（）A．2n﹣1 B．2n C．2n+1 D．n2﹣n+1【考点】数学归纳法．【分析】根据等式1+2+3+…+n2=时，考虑n=k和n=k+1时，等式左边的项，再把n=k+1时等式的左端减去n=k时等式的左端，即可得到答案．【解答】解：当n=k时，等式左端=1+2++k2，当n=k+1时，等式左端=1+2++k2+（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2，所以增加的项数为：（k+1）2﹣（k2+1）+1=2k+1即增加了2k+1项．故选：C4．已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（）A．[0，）B．C．D．【考点】导数的几何意义．【分析】利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率，再根据斜率等于倾斜角的正切值求出角的范围．【解答】解：因为y′===，∵，∴e x+e﹣x+2≥4，∴y′∈[﹣1，0）即tanα∈[﹣1，0），∵0≤α＜π∴≤α＜π故选：D．5．已知函数y=f（x）的图象如图所示，则其导函数y=f′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】观察函数y=f（x）的图象知，f（x）在（0，+∞）上是减函数，f（x）在（﹣∞，0）从左到右，先增再减最后增；从而确定导数的正负，从而求解．【解答】解：观察函数y=f（x）的图象知，f（x）在（0，+∞）上是减函数，故y=f′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，故排除B，D，f（x）在（﹣∞，0）从左到右，先增再减最后增，故y=f′（x）在（﹣∞，0）从左到右，先“+”再“﹣”最后“+”恒成立，故排除C，故选：A．6．过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB 的方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．4x﹣y﹣3=0 D．4x+y﹣3=0【考点】圆的切线方程；直线的一般式方程．【分析】由题意判断出切点（1，1）代入选项排除B、D，推出令一个切点判断切线斜率，得到选项即可．【解答】解：因为过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，所以圆的一条切线方程为y=1，切点之一为（1，1），显然B、D选项不过（1，1），B、D不满足题意；另一个切点的坐标在（1，﹣1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足．故选A．7．已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=（）A．4 B．8 C．2 D．1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出y=x+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△=0得到a的值．【解答】解：y=x+lnx的导数为y′=1+，曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y﹣1=2x﹣2，即y=2x﹣1．由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x﹣1，得ax2+ax+2=0，又a≠0，两线相切有一切点，所以有△=a2﹣8a=0，解得a=8．故选：B．8．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，将△ADE，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A、B、C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．8πB．6πC．11πD．5π【考点】球的体积和表面积．【分析】把棱锥扩展为正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半径就是三棱锥的外接球的半径，从而可求球的表面积．【解答】解：由题意可知△A′EF是等腰直角三角形，且A′D⊥平面A′EF．三棱锥的底面A′EF扩展为边长为1的正方形，然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：=．∴球的半径为，∴球的表面积为=6π．故选：B．9．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）A．B．1 C．D．2【考点】点到直线的距离公式．【分析】由题意知，当曲线上过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，点P到直线y=x﹣2的距离最小．求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得切点的坐标，此切点到直线y=x﹣2的距离即为所求．【解答】解：点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，当过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，点P到直线y=x﹣2的距离最小．直线y=x﹣2的斜率等于1，令y=x2﹣lnx，得y′=2x﹣=1，解得x=1，或x=﹣（舍去），故曲线y=x2﹣lnx上和直线y=x﹣2平行的切线经过的切点坐标为（1，1），点（1，1）到直线y=x ﹣2的距离等于，∴点P 到直线y=x ﹣2的最小距离为，故选：C ．10．已知α，β∈（0，），且＜，则下列结论正确的是（ ）A ．α＜βB ．α+β＞C ．α＞βD ．α+β＜【考点】函数单调性的性质．【分析】由＜，可得，利用假设法，证明即可．设αsinα＞βsinβ，则α＞β，α，β∈（0，），可得，可得成立．可得结论．【解答】解：由＜，可得，∵α，β∈（0，），设αsinα＞βsinβ＞0，则α＞β，∴，∴成立． 故得α＞β， 故选C ．11．若圆（x ﹣3）2+（y +5）2=r 2上有且只有两个点到直线4x ﹣3y=2的距离等于1，则半径r 的取值范围是（ ）A ．（4，6）B ．[4，6）C ．（4，6]D ．[4，6] 【考点】点到直线的距离公式．【分析】先利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，由题意得|5﹣r |＜1，解此不等式求得半径r 的取值范围．【解答】解：∵圆心P （3，﹣5）到直线4x ﹣3y=2的距离等于 =5，由|5﹣r |＜1得 4＜r ＜6， 故选 A ．12．设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x），若f（x）+f′（x）＜1，f（0）=11，则不等式f（x）＞（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（10，+∞）B．（﹣∞，0）∪（11，+∞）C．（﹣∞，11）D．（﹣∞，0）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＜1，∴f（x）+f′（x）﹣1＜0，∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定义域上单调递减，∵f（x）＞，∴e x f（x）﹣e x＞10，∴g（x）＞10，又∵g（0）=e0f（0）﹣e0=11﹣1=10，∴g（x）＞g（0），∴x＜0，∴不等式的解集为（﹣∞，0）故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．如图所示，图中曲线方程为y=x2﹣1，则围成封闭图形（阴影部分）的面积是2．【考点】定积分；定积分的简单应用．【分析】利用定积分的几何意义表示阴影部分面积，然后计算定积分．【解答】解：曲线方程为y=x2﹣1，则围成封闭图形（阴影部分）的面积是=（x﹣）|+（）|=2；故答案为：2．14．已知=2，=3，=4，…，若=7，（a、b 均为正实数），则类比以上等式，可推测a、b的值，进而可得a+b=55．【考点】类比推理．【分析】观察所给的等式，照此规律，第7个等式中：a=7，b=72﹣1=48，即可写出结果．【解答】解：观察下列等式=2，=3，=4，…，照此规律，第7个等式中：a=7，b=72﹣1=48，∴a+b=55，故答案为：5515．以抛物线y2=4x的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线的渐近线方程为y=．【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的实半轴的长，利用离心率求解c，得到b，即可得到双曲线的渐近线方程．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点（1，0），可得a=1，离心率为2的双曲线，可得c=2，则b=，双曲线的焦点坐标在x轴上，可得：双曲线的渐近线方程为：y=x．故答案为：y=x．16．设函数f（x）=ax3﹣3x+1（x∈R），若对于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，则实数a的值为4．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】先求出f′（x）=0时x的值，进而讨论函数的增减性得到f（x）的最小值，对于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，可转化为最小值大于等于0即可求出a的范围．【解答】解：由题意，f′（x）=3ax2﹣3，当a≤0时3ax2﹣3＜0，函数是减函数，f（0）=1，只需f（1）≥0即可，解得a ≥2，与已知矛盾，当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣3=0解得x=±，①当x＜﹣时，f′（x）＞0，f（x）为递增函数，②当﹣＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）为递减函数，③当x＞时，f（x）为递增函数．所以f（）≥0，且f（﹣1）≥0，且f（1）≥0即可由f（）≥0，即a•﹣3•+1≥0，解得a≥4，由f（﹣1）≥0，可得a≤4，由f（1）≥0解得2≤a≤4，综上a=4为所求．故答案为：4．三、解答题（本大题共6小题，满分70分．17题10分，其它题为12分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）．17．设函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）．（Ⅰ）对任意x0∈[0，1]，不等式f（x0）﹣m≤0恒成立，求实数m的最小值；（Ⅱ）若存在x0∈[0，1]，使不等式f（x0）﹣m≤0成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）利用导数可判断出：当x∈[0，1]时，f′（x）≥0，故f（x）在区间[0，1]上单调递增，从而可求得f（x）max，由m≥f（x）max即可求得实数m 的最小值；（Ⅱ）若存在x0∈[0，1]，使不等式f（x0）﹣m≤0成立⇔m≥f（x）min，由（Ⅰ）知f（x）在区间[0，1]上单调递增，可求得f（x）min，从而可求得实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=2（1+x）﹣=，当x∈[0，1]时，f′（x）≥0，故f（x）在区间[0，1]上单调递增，所以f（x）max=f（1）=4﹣2ln2，不等式f（x0）﹣m≤0恒成立，等价于m≥f（x）max=4﹣2ln2，所以m最小值为4﹣2ln2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，（x）在区间[0，1]上单调递增，故当x0∈[0，1]，时f（x0）min=f（0）=1，若存在x0∈[0，1]，使不等式f（x0）﹣m≤0成立，等价于m≥f（x）min=1，所以m的取值范围为[1，+∞）．18．已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（1）若a=﹣1，求函数f（x）的单调区间并比较f（x）与f（1）的大小关系（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）当a=﹣1时，求出f′（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，可得单调区间，根据最值情况可比较f（x）与f（1）的大小关系；（2）由函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，可求出a值，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）在区间（t，3）上总不单调，则g（x）在区间（t，3）内总存在极值点，由此可得到关于m的约束条件，解出即可．【解答】解：（1）当a=﹣1时，，解f'（x）＞0，得x∈（1，+∞）；解f'（x）＜0得x∈（0，1），所以，f（x）的单调增区间为（1，+∞），减区间为（0，1），可知f（x）min=f（1），所以f（x）≥f（1）．（2）∵，函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，∴，得a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+2x﹣3，∴，∴g'（x）=3x2+（m+4）x﹣2，∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=﹣2，∴，由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g'（t）＜0恒成立，所以有，，解得．故m的取值范围为（，﹣9）．19．设函数f（x）=lnx+，m∈R（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的最小值；（2）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（3）（理科）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）当m=e时，，x＞0，由此利用导数性质能求出f（x）的极小值．（2）由g（x）===0，得m=，令h（x）=x﹣，x＞0，m∈R，则h（1）=，h′（x）=1﹣x2=（1+x）（1﹣x），由此利用导数性质能求出函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数．（3）（理）当b＞a＞0时，f′（x）＜1在（0，+∞）上恒成立，由此能求出m的取值范围．【解答】解：（1）当m=e时，，x＞0，解f′（x）＞0，得x＞e，∴f（x）单调递增；同理，当0＜x＜e时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴f（x）只有极小值f（e），且f（e）=lne+=2，∴f（x）的极小值为2．（2）∵g（x）===0，∴m=，令h（x）=x﹣，x＞0，m∈R，则h（1）=，h′（x）=1﹣x2=（1+x）（1﹣x），令h′（x）＞0，解得0＜x＜1，∴h（x）在区间（0，1）上单调递增，值域为（0，）；同理，令h′（x）＜0，解得x＞1，∴g（x）要区是（1，+∞）上单调递减，值域为（﹣∞，）．∴当m≤0，或m=时，g（x）只有一个零点；当0＜m＜时，g（x）有2个零点；当m＞时，g（x）没有零点．（3）（理）对任意b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；设h（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x（x＞0），则h（b）＜h（a）．∴h（x）在（0，+∞）上单调递减；∵h′（x）=﹣﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，∴m≥﹣x2+x=﹣+（x＞0），∴m≥；对于m=，h′（x）=0仅在x=时成立；∴m的取值范围是[，+∞）．20．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为2的菱形，平面ABC⊥平面AA1C1C，∠A1AC=60°，∠BCA=90°．（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1；（Ⅱ）已知点E是AB的中点，BC=AC，求直线EC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）首先利用面面垂直转化成线面垂直，进一步得出线线垂直．（Ⅱ）根据两两垂直的关系，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进一步利用向量的夹角余弦公式求出线面的夹角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取AC的中点O，连接A1O，由于平面ABC⊥平面AA1C1C，A1O⊥AC，所以：A1O⊥平面ABC，所以：A1O⊥BC，又BC⊥AC，所以：BC⊥平面A1AC，又AC1⊥A1C，A1C为A1B的射影，所以：A1B⊥AC1．（Ⅱ）以O为坐标原点建立空间直角坐标系O﹣xyz，A（0，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），C1（0，2，），则：，，设=（x，y，z）是平面ABB1A1的法向量，所以：，求得：，由E（1，0，0）求得：，直线EC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值sinθ=cos=．21．已知动圆P与圆F1：（x+1）2+y2=1外切，与圆F2：（x﹣1）2+y2=9内切．动圆P的圆心轨迹为曲线E，且曲线E与y轴的正半轴相交于点M．若曲线E上相异两点A、B满足直线MA，MB的斜率之积为．（1）求E的方程；（2）证明直线AB恒过定点，并求定点的坐标．【考点】轨迹方程．【分析】（1）确定PF1|+|PF2|=4＞|F1F2|，可得曲线E是长轴长2a=4，焦距2c=2的椭圆，且b2=a2﹣c2=3，即可求E的方程；（2）分类讨论，设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合直线MA，MB的斜率之积为，即可证明直线AB恒过定点，并求定点的坐标【解答】解（1）设动圆P的半径为r，由已知|PF1|=r+1，|PF2|=3﹣r，则有|PF1|+|PF2|=4，化简得曲线E的方程为=1．（2）由曲线E的方程得，上顶点M（0，），记A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知，x1≠0，x2≠0．若直线AB的斜率不存在，则直线AB的方程为x=x1，故y1=﹣y2，因此，k MA•k MB==﹣=，与已知不符，因此直线AB的斜率存在．设直线AB：y=kx+m，代入椭圆E的方程=1，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，①因为直线AB与曲线E有公共点A，B，所以方程①有两个非零不等实根x1，x2，所以x1+x2=﹣，x1•x2=，又k AM=，k MB=由k AM•k BM=得4（kx1+m﹣）（kx2+m﹣）=x1x2，即（4k2﹣1）x1x2+4k（m﹣）（x1+x2）+4（m﹣）2=0，所以4（m2﹣3）（4k2﹣1）+4k（m﹣）（﹣8km）+4（m﹣）2•（3+4k2）=0，化简得m2﹣3+6=0，故m=或m=2．结合x1x2≠0知m=2，即直线AB恒过定点N（0，2）．22．已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+2lnx，F（x）=3g（x）﹣2xg′（x），若函数F（x）在定义域内有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：＜0．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求导根据导数和函数的单调性的关系即可求出，（Ⅱ）求导，根据中点坐标公式得到=﹣（x1+x2）+a+，①，分别把两个零点x1，x2，代入到F（x）中，转化，分离参数得到a﹣（x1+x2）=，再代入得到= [ln+]，换元，构造函数得到h（t）=lnt+，根据导数求出h（t）的最大值，即可证明．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=2x+a﹣=，令f′（x）＞0，得x＞，f′（x）＜0，得0＜x＜，∴函数f（x）在（，+∞）为增函数，在（0，）为减函数，（Ⅱ）由已知g（x）=f（x）+2lnx，∴F（x）=3g（x）﹣2xg′（x）=﹣x2+ax+3lnx﹣2，∴F′（x）=﹣2x+a+，即：=﹣（x1+x2）+a+，①∵函数F（x）在定义域内有两个零点x1，x2，∴﹣x12+ax1+3lnx1﹣2=0，②﹣x22+ax2+3lnx2﹣2=0，③②﹣③得﹣（x12﹣x22）+a（x1﹣x2）+3（lnx1﹣lnx2）=0可得（x1﹣x2）[a﹣（x1+x2）]+3ln=0，∴a﹣（x1+x2）=，代入①得：=+= [ln+]=[ln+]，令=t，则0＜t＜1，∴h（t）=lnt+，∴h′（t）=+=﹣=≥0∴h（t）在（0，1）上为增函数，∴h（t）＜h（1）=0，∵x1＜x2，∴＜0．2017年3月23日。
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重庆十一中高2018级高二（上）半期考试数学 （理科）试题考试说明：1.考试时间 120分钟 2.试题总分 150分 一、选择题（12*5=60）1．空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为（ ） A ．3 B ．1或2 C ．1或3 D ．2或32. 若空间三条直线a ，b ，c 满足a ⊥b ，b ∥c ，则直线a 与c( ) A ．一定平行 B ．一定相交C ．一定是异面直线D ．一定垂直3．若直线l 的倾斜角为120,则直线l 的斜率是（ ）A.33 B. 33- C. 3 D. 3-4．过点A(2，3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( )A ．x －2y ＋4＝0B ．2x ＋y －7＝0C ．x －2y ＋3＝0D ．x －2y ＋5＝05.一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ） A ．球 B ．三棱锥 C ．正方体 D ．圆柱6.如图，在四面体D －ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列结论正确的是( )A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABD ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE 7.两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是 ( ) A ．两条相交直线 B ．两条平行直线 C ．两个点 D ．一条直线和直线外一点8．若直线l1：y ＝k(x －4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2恒过定点( )A ．(0，4)B ．(0，2)C ．(－2，4)D ．(4，－2) 9.下列四个命题中，正确命题的个数是( )个 ① 若平面//α平面β，直线//m 平面α，则//m β； ② 若平面α⊥平面γ，且平面β⊥平面γ，则//αβ；③ 平面α⊥平面β，且l αβ= ，点A α∈，A l ∉，若直线AB l ⊥，则AB β⊥； ④ 直线m n 、为异面直线，且m ⊥平面α，n ⊥平面β，若m n ⊥，则αβ⊥. A.0 B.1 C.2 D. 310．如图，在斜三棱柱ABC －A1B1C1中，∠BAC ＝90°，BC1⊥AC ，则C1在底面ABC 上的射影H 必在( ) A ．直线AB 上 B ．直线BC 上 C ．直线AC 上 D ．△ABC 内部11．已知M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）|y －3x －2＝3，N ＝{(x ，y)|ax ＋2y ＋a ＝0}，且M∩N ＝∅，则a ＝( ) A ．－6或－2 B ．－6 C ．2或－6 D ．－21A 12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点，设点P 在线段1CC 上，直线OP与平面1A BD所成的角为α，则sin α的取值范围（ ）A.13,⎤⎢⎥⎣⎦ B.13,⎤⎥⎣⎦ C.3⎣⎦ D.13,⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题（4*5=20）13．已知两点(2,0)A -，(0,4)B ，则线段AB 的垂直平分线方程是________.14若直线1:260l ax y ++=和直线()()22:110l x a y a +-+-=平行，则a = 。
15.已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为________ 16．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是 等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为________.三、解答题：（12*5+10=70）17、（本题满分12分）已知直线022:=++y x l .（Ⅰ）若直线024=-+y ax 与l 垂直，求它们的交点坐标； （Ⅱ）求平行于l 且与它距离为5的直线方程.18、（本题满分12分）如图, 在直三棱柱ABC －A1B1C1中，AC ＝3， BC ＝4，AB=5，AA1＝4，点D 是AB 的中点， （Ⅰ）求证：AC 1//平面CDB1；（Ⅱ）求异面直线 AC1与 B1C 所成角的余弦值．19、（本题满分12分）如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a ，连接11C A 、D A 1、B A1、BD 、1BC 、D C 1．(Ⅰ)求三棱锥D BC A11-的表面积与正方体表面积的比值；(Ⅱ)求三棱锥D BC A 11-的体积．20、（本题满分12分） 如图，已知点P 是矩形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．AB 垂直于面PAD,PA=PD=AD=2，AB=4.（Ⅰ）在PB 上确定一个点Q ，使平面MNQ ∥平面PAD.并证明你的结论 （Ⅱ）求PB 与面ABCD 所成角的正弦值。
21、（本题满分12分）如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点. （Ⅰ）求证:平面PAC ⊥平面PBC;（Ⅱ）若AB=2,AC=1,PA=1,求二面角C-PB-A 的余弦值.22、（本题满分10分）如图所示，在三棱柱111C B A ABC -中，⊥B A 1平面ABC ，AB ⊥AC. （Ⅰ）求证：1BB AC ⊥；（Ⅱ）若P 是棱11C B 的中点，求平面PAB 将三棱柱111C B A ABC -分成两部分体积之比.2016-2017学年（上）半期考试重庆十一中高2018级数学（理科）试题 考试说明：1.考试时间 120分钟 2.试题总分 150分 3.试卷页数 4页 一、选择题（12*5=60）1．空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为（ C ） A ．3 B ．1或2 C ．1或3 D ．2或32. 若空间三条直线a ，b ，c 满足a ⊥b ，b ∥c ，则直线a 与c( D ) A ．一定平行 B ．一定相交C ．一定是异面直线D ．一定垂直3．若直线l 的倾斜角为120,则直线l 的斜率是（ D ）A.33 B. 33- C. 3 D. 3-4．过点A(2，3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( A ) A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y ＋3＝0 D ．x －2y ＋5＝05.一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ D ） A ．球 B ．三棱锥 C ．正方体 D ．圆柱6.如图，在四面体D －ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列结论正确的是( C ) A ．平面ABC ⊥平面ABD B ．平面ABD ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE 7.两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是 ( C ) A ．两条相交直线 B ．两条平行直线 C ．两个点 D ．一条直线和直线外一点8．若直线l1：y ＝k(x －4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2恒过定点( B ) A ．(0，4) B ．(0，2) C ．(－2，4) D ．(4，－2) 9.下列四个命题中，正确命题的个数是( B )个 ① 若平面//α平面β，直线//m 平面α，则//m β； ② 若平面α⊥平面γ，且平面β⊥平面γ，则//αβ；③ 平面α⊥平面β，且l αβ= ，点A α∈，A l ∉，若直线AB l ⊥，则AB β⊥； ④ 直线m n 、为异面直线，且m ⊥平面α，n ⊥平面β，若m n ⊥，则αβ⊥. A.0 B.1 C.2 D. 310．如图，在斜三棱柱ABC －A1B1C1中，∠BAC ＝90°，BC1⊥AC ，则C1在底面ABC 上的射影H 必在( A ) A ．直线AB 上 B ．直线BC 上 C ．直线AC 上 D ．△ABC 内部11．已知M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）|y －3x －2＝3，N ＝{(x ，y)|ax ＋2y ＋a ＝0}，且M∩N ＝∅，则a ＝( A ) A ．－6或－2 B ．－6 C ．2或－6 D ．－212．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点，设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD所成的角为α，则sin α的取值范围（ B ）A.13,⎤⎢⎥⎣⎦B.13,⎤⎥⎣⎦C.3⎣⎦D.13,⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题（4*5=20）13．已知两点(2,0)A -，(0,4)B ，则线段AB 的垂直平分线方程是__230x y +-=______.14若直线1:260l ax y ++=和直线()()22:110l x a y a +-+-=平行，则a = 2或-1 。
15.已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为_____63___ 16．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是 等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为__43π. ______.三、解答题：（12*5+10=70）17、（本题满分12分）已知直线022:=++y x l . (1)若直线024=-+y ax 与l 垂直，求它们的交点坐标； （2）求平行于l 且与它距离为5的直线方程.17.解：（1）∵2:1-=k l ，而直线4,0242ak y ax -==-+ ........2分 由题意，两直线垂直，∴1)2(4-=-⋅-a，即2-=a 所求直线为,0242=-+-y x 即,012=+-y x ........5分12022=+-=++⎩⎨⎧y x y x ，交点为(-1,0) ........6分 （2）因为所求直线平行于l ，所以直线方程设为02=++m y x （2≠m ） .......7分512222=+-m .......9分∴7=m 或3-=m1A所求直线方程为072=++yx或032=-+yx.....12分18、（本题满分12分）如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB=5，AA1＝4，点D是AB的中点，（1）求证：AC 1//平面CDB1；（2）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．解析（1）记CB1∩BC1=M，连接DM，显然M为BC中点，所以DM为△ABC1的中位线，所以AC1∥DM又∵AC1⊄平面CDB1 DM⊆平面CDB1∴AC 1//平面CDB1 ........6分∵AC1∥DM，由等角定理，∠CMD即为直线异面直线AC1与B1C所成角或其补角，下面计算其余弦值。
经过计算，CD=MD=2.5，CM=22∴cos∠CMD=522即为所求。
.....12分19、（本题满分12分）如图，正方体1111DCBAABCD-的棱长为a，连接11CA、DA1、BA1、BD、1BC、DC1．(Ⅰ)求三棱锥DBCA11-的表面积与正方体表面积的比值；(Ⅱ)求三棱锥DBCA11-的体积．19.解:(Ⅰ)∵1111DCBAABCD-是正方体，∴aDCBDBCDACABA2111111======……1分∴三棱锥DBCA11-的表面积为：2322232214aaa=⨯⨯⨯⨯………4分而正方体的表面积为26a，故三棱锥DBCA11-的表面积与正方体表面积的比值为3363222=aa………6分(Ⅱ) 3261213111111111aaaVVVVCBABCDADBCDCA AB D=⨯⨯====----锥锥锥锥．……9分故36144-333111aaaVVVABDADBCA=⨯-==--锥正方体锥……12分20、（本题满分12分）如图，已知点P是矩形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点．AB垂直于面PAD,PA=PD=AD=2，AB=4.（Ⅰ）在PB上确定一个点Q，使平面MNQ∥平面PAD.并证明你的结论（Ⅱ）求PB 与面ABCD 所成角的正弦值。