河南省郑州市八所省示范高中2020-2021学年高二上学期期中联考试题 数学(文) Word版含答案
河南省郑州市实验中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题 理(含解析)
河南省郑州市实验中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）一、选择题1.在ABC ∆中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，若sin sin =B A ，则(a = )B.2C. 1D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知利用正弦定理化简即可求解．【详解】解：sin sin B A =，∴由正弦定理可得：b =，∴解得2a =． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题． 2.已知a ，b ，c ，d R ∈，则下列结论中必然成立的是( ) A. 若a b >，c b >，则a c > B. 若a b >，c d >，则a b c d> C. 若22a b >，则a b > D. 若a b >-，则c a c b -<+【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质及特殊值对选项一一分析即可。
详解】解：A ．a 与c 的大小关系不确定；B ．取2a =，1b =，1c =-，3d =-，满足a b >，c d >，则a bc d>不成立． C ．取2a =-，1b =-，不成立；D ．a b >-，a b ∴-<，则c a c b -<+，正确．故选：D ．【点睛】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若28515a a a +=-，则9S 等于( ) A. 18 B. 36C. 45D. 60【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式化简已知条件，根据等差数列前n 项和公式求得9S 的值.【详解】由于数列{}n a 是等差数列，所以由28515a a a +=-得52815a a a ++=，即131215a d +=，而()19191289933123154522a a a dS a d ++=⨯=⨯=⨯+=⨯=. 故选：C.【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式及前n 项和公式的基本量计算，属于基础题. 4.不等式230x x -<的解集为（ ） A. {}03x x << B. {}3003x x x -<<<<或 C. {}30x x -<< D. {}33x x -<<【答案】B 【解析】 【分析】将不等式表示为230x x -<，得出03x <<，再解该不等式可得出解集.【详解】将原不等式表示为230x x -<，解得03x <<，解该不等式可得30x -<<或03x <<.因此，不等式230x x -<的解集为{}3003x x x -<<<<或，故选：B.【点睛】本题考查二次不等式的解法与绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于中等题.5.为了测量某塔的高度，某人在一条水平公路,C D 两点进行测量.在C 点测得塔底B 在南偏西80，塔顶仰角为45，此人沿着南偏东40方向前进10米到D 点，测得塔顶的仰角为30，则塔的高度为 A. 5米 B. 10米 C. 15米 D. 20米【答案】B 【解析】 【分析】设出塔高为h ，画出几何图形，根据直角三角形的边角关系和余弦定理，即可求出h 的值． 【详解】如图所示：设塔高为AB ＝h ，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝45°， 则BC ＝AB ＝h ；在Rt △ABD 中，∠ADB ＝30°，则BD 3=； 在△BCD 中，∠BCD ＝120°，CD ＝10，由余弦定理得：BD 2＝BC 2+CD 2﹣2BC •CD cos ∠BCD ， 3）2＝h 2+102﹣2h ×10×cos120°， ∴h 2﹣5h ﹣50＝0，解得h ＝10或h ＝﹣5（舍去）； 故选：B ．【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用问题，也考查了将实际问题转化为解三角形的应用问题，是中档题．6.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，43a =，则26(+a a ) A. 有最小值3B. 有最小值6C. 有最大值6D. 有最大值9 【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用等比数列的性质与基本不等式，求得结论．【详解】解：在各项均为正数的等比数列{}n a 中，43a =，则262426226a a a a a +≥⋅== 当且仅当26a a =时，取等号。
2020-2021郑州市高二数学上期中试卷(含答案)
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数 ，并将完成生产任务所需时间超过 和不超过 的工人数填入下面的列联表：
超过
不超过
第一种生产方式
第二种生产方式
（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附： ，
23．进入12月以来，某地区为了防止出现重污染天气，坚持保民生、保蓝天，严格落实机动车限行等一系列“管控令”，该地区交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了220名市民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到如下的2×2列联表：
(1)若甲同学随机选择3门功课，求他选到物理、地理两门功课的概率；
(2)试根据茎叶图分析甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科？并说明理由；
(3)甲同学发现，其物理考试成绩 (分)与班级平均分 (分)具有线性相关关系，统计数据如下表所示，试求当班级平均分为50分时，其物理考试成绩.
参考数据: ， ， ， .
月份
1
2
3
4
5
6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
7
违法案件数
196
101
66
34
21
11
6
根据以上数据，绘制了如图所示的散点图.
（1）根据散点图判断，用 与 哪一个更适宜作为违法案件数 关于月份 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）中的判断结果及表中所给数据，求 关于 的回归方程（保留两位有效数字），并预测第8个月该社区出现的违法案件数（取整数）.
20．正四面体的4个面上分别写着1、2、3、4，将3个这样均匀的正四面体同时投掷于桌面上，与桌面接触的3个面上的3个数的乘积能被4整除的概率是_____________．
2020~2021学年度第一学期高二期中测试数学试题
2020~2021学年度第一学期高二级期中测试数学试题注意事项：1.本试题共4页，四大题，22小题，满分120分，考试时间120分钟，答案必须填写在答题卡上，在试题上作答无效，考试结束后，只交答题卡。
2.作答前，认真浏览试卷，请务必规范、完整填写答题卡的卷头。
3.考生作答时，请使用0.5mm黑色签字笔在答题卡对应题号的答题区域内作答。
第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.在△ABC中，B=135°，C=15°，a=4，则此三角形的最大边长为()A. 5√2B. 5√3C. 4√2D. 4√32.在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2−b2−c2=−√2bc，则角A的数为()A. 30°B. 45°C. 120°D. 135°3.在△ABC中，c=√3，b=1，B=30∘，则△ABC的面积为()A. √32或√3 B. √34或√32C. √34或√3 D. √34.已知正数组成的等比数列{a n}，若a3⋅a18=100，那么a7+a14的最小值为()A. 20B. 25C. 50D. 不存在5.已知1、a1、a2、3成等差数列，1、b、4成等比数列，则a1+a2b=()A. 54B. −2C. 2D. ±26.在递增的等比数列{a n}中，a4，a6是方程x2−10x+16=0的两个根，则数列{a n}的公比q=()A. 2B. ±2C. 12D. 12或27.已知a>0，那么a−2+4a的最小值是()A. 1B. 2C. 4D. 58.设a>b，c>d则下列不等式中一定成立的是()A. a+c>b+dB. ac>bdC. a−c>b−dD. a+d>b+c9. 设p ：2x 2−3x +1≤0，q ：x 2−(2a +1)x +a(a +1)≤0，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A. [0,12]B. (0,12)C. (−∞,0]∪[12,+∞)D. (−∞,0)∪(12,+∞)10. 命题“∃x 0>0，x 02−4x 0+3<0”的否定是( )A. ∀x ≤0，x 2−4x +3<0B. ∃x 0≤0，x 02−4x 0+3<0 C. ∀x >0，x 2−4x +3≥0D. ∃x 0>0，x 02−4x 0+3≥011. 若平面α的一个法向量为(1,2，0)，平面β的一个法向量为(2,−1,0)，则平面α和平面β的位置关系是( )A. 平行B. 相交但不垂直C. 垂直D. 重合12. 在空间直角坐标系中，点P(3,4，5)关于yOz 平面对称的点的坐标为( )A. (−3,4，5)B. (−3,−4,5)C. (3,−4,−5)D. (−3,4,−5)第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 已知空间向量m ⃗⃗⃗ =(1,−2x +1,2),n ⃗ =(y,3,x +z )，且m ⃗⃗⃗ =n ⃗ ，则x +2y +3z =__． 14. 在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)与点B(1,−3,1)，则|AB |=________，若在z轴上有一点M 满足|MA |=|MB |，则点M 的坐标为_________． 15. 记S n 为数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，a n =2a n−1+1，则S 6= 16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若sinAsinB =ba+c ，a =2c ，则cos A =________．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. 已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m⃗⃗⃗ =(cosA,a −2b)，n ⃗ =(2c,1)且m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ． (1)求角C ；(2)若c =2，△ABC 的面积为√3，求△ABC 的周长．18.设向量a⃗=(sinx,cosx)，b⃗ =(cosx,√3cosx)，x∈R，函数f(x)=a⃗•(a⃗+b⃗ ).(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)ΔABC中边a，b，c所对的角为A，B，C，若acosB+bcosA=2ccosC，c=√3，)取最大值时，求△ABC的面积．当f(B219.已知数列{a n}满足：21⋅a1+22⋅a2+23⋅a3+⋯+2n⋅a n=(n−1)⋅2n+1+2对一切n∈N∗成立．(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和S n．(2)求数列{1a n⋅a n+2(3n+S n)对一切正整数n都成立，20.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n=12(1)证明：数列{a n+3}是等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；(a n+3)，求数列{b n}的前n项和B n．(2)设b n=n321.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E为棱AB的中点．(1)证明：A1B//平面D1CE；(2)求平面A1BC1与平面CED1所成二面角的正弦值．22.已知四棱锥P−ABCD中PA⊥平面ABCD，且PA=4PQ=4，底面为直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，AB=2,CD=1,AD=√2，M，N分别是PD，PB的中点．(1)求证：MQ//平面PCB；(2)求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小；(3)求点A到平面MCN的距离．答案和解析1. 解：∵B =135°，∴b 为最大边，A =180°−135°−15°=30°， 由正弦定理得b =asinB sinA=4×√2212=4√2．故选：C ．2.解：因为a 2−b 2−c 2=−√2bc ，由余弦定理可得，cosA =b2+c 2−a 22bc=√22， 因为A 为三角形的内角，故A =45°．故选：B ．3.解：中，B =30∘，b =1，c =√3，，∴sinC =√32，∴C =60∘或120∘，∴A =90∘或30∘，∴△ABC 的面积为12bcsinA =√32或√34．故选B ．4.解：∵正数组成的等比数列{a n }，a 3⋅a 18=100，∴a 14⋅a 7=a 3⋅a 18=100，a 7>0，a 14>0，∴a 7+a 14≥2√a 14⋅a 7=2√100=20， 当且仅当a 7=a 14时取等号，∴a 7+a 14的最小值为20．故选：A ．5.解：由1、a 1、a 2、3成等差数列，可得a 1+a 2=1+3=4，又1、b 、4成等比数列，可得b 2=4，解得b =±2，则a 1+a 2b=42=2或a 1+a 2b=4−2=−2，故选：D ．6.解：根据题意，a 4，a 6是方程x 2−10x +16=0的两个根，则有{a 4+a 6=10a 4a 6=16，解可得：{a 4=8a 6=2或{a 4=2a 6=8，又由等比数列{a n }是递增的，必有{a 4=2a 6=8，则有q 2=a6a 4=4，即q =2；故选：A ．7.解：根据题意，a −2+4a =a +4a −2，又由a >0，则a −2+4a =a +4a −2≥2√a ×4a −2=2，当且仅当a =2时等号成立，即a −2+4a 的最小值是2；故选：B ．8.解：∵b <a ，d <c ，∴设b =−1，a =−2，d =2，c =3选项B ，(−2)×3>(−1)×2，不成立选项C ，−2−3>−1−2，不成立 选项D ，−2+2>−1+3，不成立故选：A ．9.解：p ：2x 2−3x +1≤0，解得：12≤x ≤1，q ：x 2−(2a +1)x +a(a +1)≤0，解得：a ≤x ≤a +1．若q 是p 的必要不充分条件，则{a ≤121≤a +1，解得：0≤a ≤12．故选：A ．10.解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x 0>0，x 02−4x 0+3<0”的否定是∀x >0，x 2−4x +3≥0．故选：C ．11.解：由题意可得(1,2，0)⋅(2，−1，0)=1×2−2×1+0×0=0，故两个平面的法向量垂直，故平面α和平面β的位置关系为垂直，故选C ．12.解：在空间直角坐标系中，关于yOz 平面对称，y ，z 不变．点P(3,4，5)关于yOz 平面对称的点的坐标为(−3,4，5)， 故选A ． 13.解：因为空间向量m⃗⃗⃗ =(1,−2x +1,2),n ⃗ =(y,3,x +z )，且m ⃗⃗⃗ =n ⃗ ， 所以{1=y−2x +1=32=x +z ，所以x =−1，y =1，z =3，所以x +2y +3z =−1+2+9=10;故答案为10．14.解：∵点A(1,0，2)与点B(1,−3,1)，∴|AB|=√(1−1)2+(−3−0)2+(1−2)2=√10， ∵在z 轴上有一点M 满足|MA|=|MB|，∴设M(0,0，c)，则√(1−0)2+(0−0)2+(2−c)2=√(1−0)2+(−3−0)2+(1−c)2， 解得c =−3，∴点M 坐标为(0,0，−3)．故答案为：(0,0，−3)．15.解：∵a n =2a n−1+1， ∴a n +1=2(a n−1+1)，故数列{a n +1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n +1=2n ， 则a n =2n −1，∴S n =2×(1−2n )1−2−n =2n+1−n −2，则S 6=27−8=120．16.解：由题意，sin Asin B =ba+c ，由正弦定理可得ab =ba+c ，因为a =2c ，所以a b =ba+a 2，即b 2=3a 22，所以b =√32a ，所以在△ABC 中由余弦定理得cosA =b 2+c 2−a 22bc=32a 2+14a 2−a 22×√2a×2=√64．故答案为√64．17.解：(1)由m⃗⃗⃗ =(cosA,a −2b)，n ⃗ =(2c,1)且m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ． 所以2ccosA =2b −a ．由正弦定理得：2sinCcosA =2sinB −sinA ． 2sinCcosA =2sin(A +C)−sinA =2sinAcosC +2cosAsinC −sinA ，整理得2sinAcosC =sinA ，由sinA >0，可得cosC =12，由于0<C <π，所以C =π3． (2)由于，△ABC 的面积为√3，所以12absinC =√3，整理得ab =4，由余弦定理，c 2=a 2+b 2−2abcosC =4，整理得(a +b)2−4=3ab ，解得a +b =4． 所以三角形的周长为a +b +c =4+2=6．18.解：(1)由已知f(x)=a →⋅(a →+b →)=sinx(sinx +cosx)+cosx(cosx +√3cosx)=12sin2x +√32cos2x +1+√32=sin(2x +π3)+1+√32，所以的最小正周期是T =2π2=π;(2)由正弦定理得sinAcosB +sinBbcosA =2sinCcosC ， 即sin(A +B)=sinC =2sinCcosC ， 因为sinC ≠0，所以cosC =12，又0<C <π，所以C =π3，又f(B 2)=sin(B +π3)+1+√32，因为B ∈(0,2π3)，所以 B =π6时f(B2)取到最大值， 此时A =π2，又c =√3,所以b =1，得S ΔABC =12bcsinA =√32．19.解：(1)由题意，当n =1时，21⋅a 1=2，解得a 1=1，当n ≥2时，由21⋅a 1+22⋅a 2+23⋅a 3+⋯+2n ⋅a n =(n −1)⋅2n+1+2，可得 21⋅a 1+22⋅a 2+23⋅a 3+⋯+2n−1⋅a n−1=(n −2)⋅2n +2， 两式相减，可得2n ⋅a n =(n −1)⋅2n+1+2−(n −2)⋅2n −2=[2(n −1)−(n −2)]⋅2n =n ⋅2n ， ∴a n =n ，当n =1时，a 1=1也符合上式，∴a n =n ，n ∈N ∗． (2)由(1)知，1a n ⋅a n+2=1n(n+2)=12(1n−1n+2)，∴S n =1a 1⋅a 2+1a 2⋅a 3+1a 3⋅a 4+1a 4⋅a 5+⋯+1a n−1⋅a n+1+1a n ⋅a n+2=12(1−13)+12(12−14)+12(13−15)+12(14−16)+⋯+12(1n −1−1n +1)+12(1n −1n +2) =12(1−13+12−14+13−15+14−16+⋯+1n −1−1n +1+1n −1n +2) =12(1+12−1n+1−1n+2)=n(3n+5)4(n+1)(n+2)．20.解：(1)数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n =12(3n +S n )，由已知得S n =2a n −3n ①，所以S n+1=2a n+1−3(n +1)② 由②−①得：a n+1=2a n +3，即a n+1+3=2(a n +3)，所以a n+1+3a n +3=2(常数)，又a 1=2a 1−3，解得 a 1=3．所以数列{a n +3}是以6为首项，2为公比的等比数列． 故a n +3=6⋅2n−1，即a n =3(2n −1)．(2)由于b n =n3(a n +3)，所以b n =n3⋅(3×2n −3+3)=n ⋅2n ．设B n =1⋅2+2⋅22+⋯+n ⋅2n ③2B n =1⋅22+2⋅23+⋯+n ⋅2n+1 ④ ④−③得：B n =−(2+22+23+⋯+2n )+n ⋅2n+1=−2n+1−22−1+n ⋅2n+1．整理得B n =2+(n −1)⋅2n+1．21.(1)证明：在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，A 1D 1= //BC ，∴四边形ABCD 为平行四边边形，∴A 1B//CD 1，∵CD 1⊂平面D 1CE ，A 1B ⊄平面D 1CE ，∴A 1B 平行平面D 1CE ， (2)解：如图：以点D 为坐标原点，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系D −xyz ：设AB =2，则D(0,0，0)，A(2,0，0)，B(2,2，0)，E(2,1，0)，C 1(0,2，2)，A 1(2,0，2)，D 1(0,0，2)，C(0,2，0)，设平面A 1BC 1的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)， 由A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−2)，A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，0)，则{A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗ =2y −2z =0,A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗ =−2x +2y =0,取x =1，y =1，z =1，则n ⃗ =(1,1，1) 设平面CED 1的法向量为m ⃗⃗⃗ =(a,b ，c)，由D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−2)，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1，0)， 则{D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m ⃗⃗⃗ =2b −2c =0,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·m ⃗⃗⃗ =−2a +b =0,取a =1，b =2，z =2，则m⃗⃗⃗ =(1,2，2)， 可得m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ =3，|m ⃗⃗⃗ |=3，|n ⃗ |=√3，cos <m⃗⃗⃗ ·n ⃗ >=53√3=5√39， ∴平面A 1BC 1与平面CED 1所成二面角的正弦值为√1−(5√39)2=√69．22.解：以A 为原点，以AD ，AB ，AP 分别为x ，y ，z 建立空间直角坐标系O −xyz ，由AB =2,CD =1,AD =√2，PA =4PQ =4，M ，N 分别是PD ，PB 的中点， 可得：A(0,0,0),B(0,2,0),C(√2,1,0),D(√2,0,0),P(0,0,4),Q(0,0,3),M(√22,0,2),N(0,1,2)，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,−1,0),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−4)，MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,0,1) 设平面的PBC 的法向量为n 0⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则有：{n 0⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒(x,y,z)⋅(√2,−1,0)=0⇒√2x −y =0n 0⃗⃗⃗⃗ ⊥PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒(x,y,z)⋅(0,2,−4)=0⇒2y −4z =0令z =1，则x =√2,y =2⇒n 0⃗⃗⃗⃗ =(√2,2,1)，(3分) ∴MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 0⃗⃗⃗⃗ =(−√22,0,1)⋅(√2,2,1)=0，又MQ ⊄平面PCB ，∴MQ//平面PCB ；(2)设平面的MCN 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，又CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,−1,2),CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,0,2) 则有：{n ⃗ ⊥CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒(x,y,z)⋅(−√22,−1,2)=0⇒−√22x −y +2z =0n ⃗ ⊥CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒(x,y,z)⋅(−√2,0,2)=0⇒−√2x +2z =0令z =1，则x =√2,y =1⇒n ⃗ =(√2,1,1)， 又AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,4)为平面ABCD 的法向量， ∴cos〈n ⃗ ,AP⃗⃗⃗⃗⃗ >=n⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |⋅|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=42×4=12，又截面MCN 与底面ABCD 所成二面角为锐二面角，∴截面MCN 与底面ABCD 所成二面角的大小为π3，(3)∵CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,−1,0)，∴所求的距离d =|n ⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗||n ⃗⃗ |=|−√2×√2−1×1+1×0|2=32；。
2020-2021学年河南省郑州市八所省示范高中高二上学期11月期中联考数学(理)试卷参考答案
数学（理）参考答案
一．选择题
1.C2.C3.C4.C5.B6.B7.D8.D9.C10.B11.C12.B
13.614. 15. 16.
17.解： 由 ，解得 ，所以p： 5…………1分
又 ，
因为 ，解得 ，所以q： ．
当 时，q： ，…………3分
又 为真，p，q都为真，所以 …………5分
由 是 的充分不必要条件，即 ， ，
则有 ， ，
由 ： ，q： ，
所以 ，且等号不能同时成立，…………9分
即： …………10分
18.解： 设 的公比为q， ，由 ，得 ，即 ，
因为 ， ， 成等差数列，所以 ，即 ，即 ，……2分
解得 舍去 ， ，…………4分
不等式 可化为 ，
解得 ；
不等式的解集是 …………12分
21.解： 动员x户农民从事水果加工后，
要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，
则 ，
解得 …………4分
由于从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，
则 ， ，…………6分
化简得 ， ，…………8分
所以 ，
由于 ，
则 ，
所以 ，
，
得： ，
，
，
故 ．…………8分
设 ，
则： ，
当 ，2，3时， ，
当 时， ，
故 的最大值为1，
不等式 对一切正整数n恒成立，
只需 即可，
故 ，
解得 ，
所以m的取值范州市八所省示范高中高二上学期11月期中联考数学（理）试卷
由于 ，…………10分
河南省郑州市八校2020-2021学年高二第一学期期中联考数学(理)试题解析版
2020~2021学年上期高二年级期中联考试题理科数学考拭时间：120分钟注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分.考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡）.在试题卷上作答无效. 一、选择题1. 命题“若2020x >，则0x >”的否命题是（ ） A. 若2020x >，则0x ≤ B. 若0x ≤，则2020x ≤ C. 若2020x ≤，则0x ≤D. 若0x >，则2020x >2. 已知ABC ∆中，角A 、B 的对边为a 、b ，1a =，b =120B =，则A 等于（ ）A. 30或150B. 60或120C. 30D. 603. 已知1c >，则不等式2110x c x c ⎛⎫-++> ⎪⎝⎭的解集为（ ） A. 1x x c c ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B. 1{x x c>或}x c > C. 1{x x c<或}x c > D. 1x c x c ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭4. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC 的形状是（ ） A. 等腰且非等边三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形D. 等腰直角三角形5. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，如表给出n S 的部分数据：那么数列{}n a 的第四项4a 等于（ ） A.8116B.278C. 8116-或8116D.278或278-6. 设变量x ，y 满足约束条件342y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y-最大值为（ ）A. -1B. 2C. -6D. 47. 已知a ，b 均为实数，则下列说法一定成立．．．．的是（ ） A. 若a b >，c d >，则ab cd > B. 若11a b>，则a b < C. 若a b >，则22a b > D. 若||a b <，则0a b +>8. 若a ，b 为实数，则“1b a”是“1ab <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 如图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OA A A A A A A ===⋯==，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记12,,,,n OA OA OA 的长度构成数列{}n a ，则此数列的通项公式为（ ）A. n a n =，*n N ∈B. n a =*n N ∈Cn a *n N ∈ D. 2n a n =，*n N ∈10. 给出下列结论： ①ABC 中，sin sin A B a b >⇔>；的②常数列既是等差数列又是等比数列;③数列{}n a 的通项公式为21n a n kn =-+，若{}n a 为递增数列，则(,2]k ∈-∞；④ABC 的内角A ，B ，C 满足sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则ABC 为锐角三角形.其中正确结论的个数为（ ） A. 0B. 1C. 2D. 311. 已知ABC ∆的三边a ，b ，c 成等比数列，a ，b ，c 所对的角依次为A ，B ，C ，则sin cos B B +的取值范围是（ ）A. 1,1⎛+ ⎝⎦B. 1,12⎡⎢⎣⎦C.D. 12⎡⎢⎣12. 首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题，其中正确的命题的个数是（ ）①若100S =，则280S S +=；②若412S S =，则使0n S >最大的n 为15；③若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大；④若78S S <，则89S S <． A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题13. 在数列32511,,,,,,4382n n+⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，712是它的第_______项．14. 若命题“x R ∃∈使()2110x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为_____，15. 中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为_________（米/秒）的16. 若实数a ，b ∈（0，1）且14ab =，则1211a b+--的最小值为______．三、解答题17. 已知p ：27100x x -+<，q ：22430x mx m -+<，其中0m > （1）若4m =且p q ∧为真，求x 的取值范围；（2）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.18. 在公比大于0的等比数列{}n a 中，已知354a a a =，且2a ，43a ，3a 成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式； （2）已知12n n S a a a =，试问当n 为何值时，n S 取得最大值，并求n S 的最大值.19. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知2B Cbsin asinB +=． （1）求角A ； （2）若a =ABC的面积为2，求△ABC 的周长． 20. 已知函数f (x )的定义域为R . （1）求a 的取值范围； （2）若函数f (x )的最小值为2，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 21. 十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作.该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员()0x x >户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高4%x ，而从事水果加.工的农民平均每户收入将为()33050x a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭万元. （1）若动员x 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a 的最大值.22. 已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1a ，且12，n a ，n S 成等差数列． （1）判断数列{}n a 是否为等比数列？若是，写出通项公式；若不是，请说明理由； （2）若22log n n b a =-，设nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ； （3）若不等式2321184n n T m m n -≤--对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围．2020~2021学年上期高二年级期中联考试题理科数学考拭时间：120分钟注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分.考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡）.在试题卷上作答无效. 一、选择题1. 命题“若2020x >，则0x >”的否命题是（ ） A. 若2020x >，则0x ≤ B. 若0x ≤，则2020x ≤ C. 若2020x ≤，则0x ≤ D. 若0x >，则2020x >【答案】C 【解析】 【分析】把命题的条件和结论全否定可得到原命题的否命题 【详解】解：因为命题“若2020x >，则0x >”， 所以其否命题为“若2020x ≤，则0x ≤”，故选：C2. 已知ABC ∆中，角A 、B 的对边为a 、b ，1a =，b =120B =，则A 等于（ ）A. 30或150 B. 60或120C. 30D. 60【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理列出 关系式，将a ，b ，sin B 的值代入求出sin A 的值，即可确定出A 的度数． 【详解】解：在ABC 中，1a =，b =120B =︒，∴由正弦定理sin sin a b A B =，得：1sin 1sin 2a B A b ===， a b <，A B ∴<，则30A =︒． 故选：C ．【点睛】本题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基础题．3. 已知1c >，则不等式2110x c x c ⎛⎫-++> ⎪⎝⎭的解集为（ ） A. 1x x c c ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B. 1{x x c>或}x c > C. 1{x x c<或}x c > D. 1x c x c ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】C 【解析】 【分析】因式分解，根据c 的范围，可得1c c >，根据一元二次不等式的解法，即可得答案. 【详解】不等式可变形为：1()()0x c x c -->，因为1c >，所以1c c>，所以不等式解集为1{x x c<或}x c >，故选：C4. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC 的形状是（ ） A. 等腰且非等边三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形【答案】C 【解析】 【分析】先根据余弦定理可知60A =，再利用边角互化，以及条件证明b c =，从而判断ABC 的形状.【详解】根据余弦定理可知2221cos 22b c a A bc +-==，因为0180A <<， 所以60A =，根据正弦定理可知22sin sin sin B C A bc a =⇔=， 所以()222220b c a bc bc b c +=+=⇔-=，所以b c =， 则ABC 的形状是等边三角形. 故选：C5. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，如表给出n S 的部分数据：那么数列{}n a 的第四项4a 等于（ ） A.8116B.278C. 8116-或8116D.278或278-【答案】B 【解析】 【分析】根据表中数据，可得145,,S S S 的值，即可求得15,a a 的值，根据{}n a 为等比数列，代入公式，即可求得q 的值，根据题中数据，可得0q <，代入公式，即可得答案. 【详解】由题意可得111S a ==-，451355,816S S ==-，所以55455138116816a S S =-=--=-， 因为{}n a 为等比数列，所以451a a q ，即481(1)16q -=-⋅，解得32q =±， 又因为110S =-<，41308S =>，所以0q <，所以32q =-， 所以3341327(1)()28a a q ==-⋅-=，故选：B6. 设变量x ，y 满足约束条件342y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y -的最大值为（ ）A. -1B. 2C. -6D. 4【答案】B 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，设2z x y =-，利用目标函数2z x y =-中，z 的几何意义，通过直线平移即可得到z 的最大值．【详解】解：作出变量x ，y 满足约束条件342y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩对应的平面区域如图：设2z x y =-，得122z y x =-， 平移直线122z y x =-，当直线122z y x =-， 经过点A 时，直线的在y 轴上的截距最小，此时z 最大，由2x x y =-⎧⎨=⎩，解得(2,2)A --，此时z 的最大值为2222z =-+⨯=， 则2x y -的最大值为：2． 故选：B ．【点睛】本题考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 7. 已知a ，b 均为实数，则下列说法一定成立．．．．的是（ ） A. 若a b >，c d >，则ab cd > B. 若11a b>，则a b < C. 若a b >，则22a b > D. 若||a b <，则0a b +>【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值代入法排除A 、B 、C ，利用不等式的基本性质||0b a ->，可得b a >±，从而得到0a b +>，从而得出结论．【详解】对于①，不妨令1a =-，2b =-，4c =，1d =，尽管满足a b >，c d >，但显然不满足ab cd >，故A 错误；对于②，不妨令1a =，1b =-，显然满足11a b>，但不满足a b <，故B 错误； 对于③，不妨令1a =-，2b =-，显然满足a b >，但不满足22a b >，故C 错误； 对于④，若||a b <，则||0b a ->，即b a >±，0a b ∴+>，故D 正确. 故选：D.【点睛】本题考查不等式的性质与不等关系，在限定条件下，比较几个式子的大小时，用特殊值代入法，能快把答案进行排除是解此类问题的常用方法． 8. 若a ，b 为实数，则“1b a”是“1ab <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的概念，直接判断，即可得出结果.【详解】若1b a 则10ab a -<，当0a >时，有1ab <；当0a <，由1ab >； 即由1b a ，不能推出1ab <；反之，由1ab <，也不能推出10ab a -<，即不能推出1b a； 综上，“1b a”是“1ab <”的既不充分也不必要条件. 故选：D.【点睛】本题主要考查既不充分也不必要条件的判定，属于基础题型.9. 如图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OA A A A A A A ===⋯==，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记12,,,,n OA OA OA 的长度构成数列{}n a ，则此数列的通项公式为（ ）A. n a n =，*n N ∈B. n a =*n N ∈C. n a =，*n N ∈D. 2n a n =，*n N ∈【答案】C 【解析】 【分析】首先观察得到2211n n a a --=，利用等差数列求通项公式.【详解】由条件可知22211a a -=，22321a a -=， (22)11n n a a --=()2n ≥，∴数列{}2n a 是公差为1，首项为1的等差数列，2n a n ∴=，2n n a n a ∴=⇒=*n N ∈.故选：C10. 给出下列结论：①在ABC 中，sin sin A B a b >⇔>； ②常数列既是等差数列又是等比数列;③数列{}n a 的通项公式为21n a n kn =-+，若{}n a 为递增数列，则(,2]k ∈-∞；④ABC 的内角A ，B ，C 满足sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则ABC 为锐角三角形.其中正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】对于①，在ABC 中，由正弦定理可知有sin :sin :A B a b =，由此可判断；对于②，举反例可判断即可；对于③，利用递增数列的定义可求得k 的取值范围；对于④，由正弦定理可得::3:5:7a b c =，进而可判断三角形的形状【详解】解：对于①，由正弦定理得，2sin sin a b R A B ==，所以sin ,sin 22a b A B R R==， 因为sin sin A B >，所以22a bR R>，所以a b >，反之也成立，所以①正确； 对于②，常数列0是等差数列，但不是等比数列，所以②错误； 对于③，若{}n a 为递增数列，则10n n a a +->，即221(1)(1)1(1)0n n a a n k n n kn +-=+-++--+>，化简得1210n n a a n k +-=-+>，得21k n <+恒成立， 因为n ∈+N ，所以3k <，所以③错误；对于④，由正弦定理可知，由sin :sin :sin 3:5:7A B C =，得::3:5:7a b c =，设3,5,7a m b m c m ===，则222222925491cos 022352a b c m m m C ab m m +-+-===-<⨯⨯，所以角C 为钝角，所以三角形为钝角三角形，所以④错误， 故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查正弦定理的应用，考查数列的单调性，等比数列和等差数列的定义等知识，解题的关键是对所涉及的基本概念和知识要熟悉，属于中档题11. 已知ABC ∆的三边a ，b ，c 成等比数列，a ，b ，c 所对的角依次为A ，B ，C ，则sin cos B B +的取值范围是（ ）A. 1,12⎛+ ⎝⎦B. 1,122⎡+⎢⎣⎦C.D. 12⎡⎢⎣【答案】C 【解析】 【分析】先利用余弦定理和基本不等式求出0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，再化简sin cos B B +，再利用三角函数的取值范围. 【详解】∵a ，b ，c 成等比数列， ∴2b ac =，∴22221cos 222a cb ac ac B acac +--==，当且仅当a c =取等号，∴0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以sin cos 4B B B π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，∴124B π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查余弦定理和基本不等式，考查三角恒等变换和三角函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.12. 首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题，其中正确的命题的个数是（ ）①若100S =，则280S S +=；②若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；③若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大；④若78S S <，则89S S <． A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B 【解析】 【分析】①②③根据条件可分析数列是首项为正数，公差小于0的等差数列，所以存在*n N ∈，使10n n a a +≥⎧⎨≤⎩，再结合等差数列的前n 项和公式判断选项；④利用公式1n n n S S a --=()2n ≥，判断选项. 【详解】①若100S =，则()()110561010022a a a a ++==，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以50a >，60a <，那么()()()()18281212458402a a S S a a a a a a ++=++=+++>，故①不成立； ②若412S S =，则()124561289...40S S a a a a a -=+++=+=，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以80a >，90a <，()115158151502a a S a +==>，()()11689161616022a a a a S ++===，则使0n S >的最大的n 为15，故②成立； ③()115158151502a a S a +==>，()()116168916802a a S a a +==+<，则90a <，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以{}n S 中的最大项是8S ，故③正确；④若78S S <，则8780S S a -=>，但989S S a -=，不确定9a 的正负，故④不正确. 故选：B【点睛】方法点睛：一般等差数列前n 项和的最值的常用方法包含：1.单调性法，利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，便可求得等差数列前n 项和的最值；2.利用二次函数的性质求最值，公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和2n S An Bn =+（,A B 为常数）为关于n 的二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题.二、填空题13. 在数列32511,,,,,,4382n n+⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，712是它的第_______项．【答案】6 【解析】 【分析】根据题意，可得数列的通项公式12n n a n +=，进而解12n n+＝712可得n 的值，即可得答案． 【详解】根据题意，数列32511,,,,,4382n n +⋅⋅⋅…中，其通项公式12n n a n+=，令12n n+＝712，解得6n =，即712是数列的第6项.故答案为：6【点睛】本题考查数列的表示方法，注意数列通项公式的定义，属于基础题． 14. 若命题“x R ∃∈使()2110x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为_____，【答案】[]1,3- 【解析】 【分析】原命题等价于命题“2R,(1)10x x a x ∀∈+-+≥，”是真命题【详解】由题意得若命题“2R,(1)10x x a x ∃∈+-+<”是假命题，则命题“2R,(1)10x x a x ∀∈+-+≥，”是真命题，则需()2014013a a ∆≤⇒--≤⇒-≤≤,故本题正确答案为[]1,3-．【点睛】本题主要考查全称量词与存在量词以及二次函数恒成立的问题．属于基础题．15. 中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为_________（米/秒）【解析】 【分析】画出示意图，根据题意求得角，利用正弦定理求得边，再根据直角三角形边角关系求出旗杆的高度即可求得答案．【详解】如图所示，依题意知∠AEC ＝45°，∠ACE ＝180°﹣60°﹣15°＝105°，∴∠EAC ＝180°﹣45°﹣105°＝30°，由正弦定理知sin CE EAC ∠＝sin AC AEC ∠，∴AC sin45°＝20（米），∴在Rt △ABC 中，AB ＝AC •sin ∠ACB ＝，∵国歌长度约为46秒，∴升旗手升旗的速度应为46＝23（米/秒）．故答案为：23．【点睛】关键点点睛：建立数学模型，把实际问题转化成数学问题，利用正余弦定理解三角形解决． 16. 若实数a ，b ∈（0，1）且14ab =，则1211a b+--的最小值为______．【答案】43+ 【解析】 【分析】先根据条件消掉b ，将14b a =代入原式得18141aa a +--，并用“1”代换法，最后应用基本不等式求其最小值．【详解】解：因为ab ＝14，所以b ＝14a ， 因此1211a b+--＝121114aa+--， ＝18141a a a +--， ＝12(41)2141a a a -++--， ＝122141a a ++--， ＝12224144a a ⎛⎫++⎪--⎝⎭， ＝()()2124144234144a a a a ⎛⎫⎡⎤+-+-+ ⎪⎣⎦--⎝⎭， ＝2442(41)12234144a a a a --⎡⎤++++⎢⎥--⎣⎦，的(223≥+＝4+3， 当且仅当a“＝”，所以1211a b +--的最小值为43+，故答案为：43+【点评】本题考查基本不等式的应用，属于中档题．三、解答题17. 已知p ：27100x x -+<，q ：22430x mx m -+<，其中0m >. （1）若4m =且p q ∧为真，求x 的取值范围；（2）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）45x <<；（2）523m ≤≤ 【解析】 【分析】（1）由p q ∧为真，可知,p q 都为真，进而求出命题,p q ，可得到答案；（2）先求出命题,p q ，由q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，可得p 是q 的充分不必要条件，进而可列出不等式，求出实数m 的取值范围.【详解】由27100x x -+<，解得25x <<，所以p ：25x <<， 又22430x mx m -+<，且0m >，解得3m x m <<，所以q ：3m x m <<. （1）当4m =时，q ：412x <<，因为p q ∧为真，所以,p q 都为真，所以45x <<.（2）因为q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，所以p 是q 的充分不必要条件，因为p ：25x <<，q ：3m x m <<，所以2350m m m ≤⎧⎪≥⎨⎪>⎩，解得523m ≤≤.【点睛】本题考查一元二次不等式解法，考查利用复合命题的真假求参数的范围，考查充分不必要条件的应用，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题.18. 在公比大于0的等比数列{}n a 中，已知354a a a =，且2a ，43a ，3a 成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式； （2）已知12n n S a a a =，试问当n 为何值时，n S 取得最大值，并求n S 的最大值.【答案】（1）42nn a -=；（2）当3n =或4时，n S 取得最大值，()max 64n S =.【解析】 【分析】（1）设{}n a 的公比为q ，由354a a a =，得41a =，再根据2a ，43a ，3a 成等差数列，求得公比即可. （2）根据（1）得到(7)321(4)21222n nn n n S a aa -++++-===，再利用二次函数的性质求解.【详解】（1）设{}n a 的公比为q ，由354a a a =，即244a a =得41a =或40a =（舍）. 因为2a ，43a ，3a 成等差数列，所以2346a a a +=，即231116a q a q a q +=则2610q q --=， 解得12q =或13q =-（舍）， 又3411a a q ==，故18a =.所以141822n n n a --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.（2）(7)321(4)21222n nn n n S a aa -++++-===，又()2717222n n y n n -==-+，该二次函数对称轴为72，又n N +∈，故当3n =或4时，二次函数取得最大值6， 故当3n =或4时，n S 取得最大值6264=，即()max 64n S =.【点睛】本题考查等差数列与等比数列的运算以及数列最值问题，还考查运算求解的能力，属于基础题.19. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知2B Cbsin asinB +=． （1）求角A ；（2）若a =ABC ，求△ABC 的周长．【答案】（1）A 3π=；（2）5.【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简得到sinBsin2Aπ-=sinAsinB ，化简得到答案.（2）根据面积公式得到bc ＝6，利用余弦定理得到b +c ＝5，得到周长.【详解】（1）2B C bsin asinB +=，∴由正弦定理可得sinBsin 2Aπ-=sinAsinB ， ∵sinB ≠0，∴cos 2A =sinA ，即cos 2A =2sin 2A cos 2A，∵2A ∈（0，2π），cos 2A ≠0，∴sin 122A =，∴26A π=，可得A 3π=．（2）a =A 3π=，△ABC 12=bcsinA =bc ，解得bc ＝6， ∵由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bccosA ，可得7＝b 2+c 2﹣bc ＝（b +c ）2﹣3bc ＝（b +c ）2﹣18，∴解得b +c ＝5，∴△ABC 的周长为5．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理，面积公式解三角形，意在考查学生的计算能力.20. 已知函数f (x )的定义域为R . （1）求a 的取值范围；（2）若函数f (x )的最小值为2，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 【答案】（1）[0，1]；（2）13-22⎛⎫⎪⎝⎭，. 【解析】 【分析】（1）根据函数f (x )的定义域为R ，转化为ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立求解.（2）根据f (x )f (x )的最小值为2，解得a ＝12，然后将不等式x 2－x －a 2－a <0转化为x 2－x －34<0,，利用一元二次不等式的解法求解.【详解】（1）因为函数f (x )的定义域为R . 所以ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立， 当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，则有20{(2)40a a a >∆=-≤ 解得0<a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0，1]．（2）因为f (x )因为a >0，所以当x ＝－1时，f (x )min ＝，所以a ＝12，所以不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34<0. 解得－12<x <32， 所以不等式的解集为13-22，⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查一元二次不等式恒成立问题和一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21. 十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作.该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员()0x x >户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高4%x ，而从事水果加工的农民平均每户收入将为()33050x a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭万元. （1）若动员x 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a 的最大值.【答案】（1）0175x <≤；（2）11【解析】【分析】（1）求得从事水果种植农民的总年收入，由此列不等式，解不等式求得x 的取值范围.（2）从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入列不等式，根据分离常数法求得a 的取值范围，由此求得a 的最大值.【详解】（1）动员x 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，则()()200310.042003x x -⨯⨯+≥⨯⎡⎤⎣⎦，解得0175x <≤.（2）由于从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，则()()33200310.0450x a x x x ⎛⎫-⋅≤-⨯⨯+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，（0175x <≤）， 化简得2000.027a x x≤++，（0a >）. 由于2000.027711x x ++≥=，当且仅当2000.02100x x x =⇒=时等号成立，所以011a <≤，所以a 的最大值为11.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查基本不等式，考查数学在实际生活中的应用，属于中档题. 22. 已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1a ，且12，n a ，n S 成等差数列． （1）判断数列{}n a 是否为等比数列？若是，写出通项公式；若不是，请说明理由； （2）若22log n n b a =-，设n n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ； （3）若不等式2321184n n T m m n -≤--对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）是，22n n a -=；（2）32n n nT -=；（3）2m ≥+或2m ≤-【解析】【分析】（1）由题分析可得12n n a a -=，即得数列{}n a 是以112a =为首项，2为公比的等比数列，再写出数列的通项得解； 的（2）求出1682n n n c -=，再利用错位相减法求出数列{}n c 的前n 项和n T ； （3）设323282n n n n n d T n --=⋅=，求出n d 的最大值即得解. 【详解】解：（1）各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1a ，且12，n a ，n S 成等差数列． 则122n n S a +=①， 当1n =时，11122S a +=， 解得112a =． 当2n ≥时，11122n n S a --+=②， ①-②得122n n n a a a -=-， 整理得12n n a a -=， 所以数列{}n a 是以112a =为首项，2为公比的等比数列． 所以121222n n n a --=⋅=， 故22n n a -=．（2）由于22n n a -=，所以2242n n b log a n =-=-， 由于n n n b c a =， 则24216822n n nn n c ---==， 所以1280168222n n n T -=+++①， 2311801682222n n n T +-=+++②， ①-②得：23111111684822222n n n n T +-⎛⎫=-++⋯+- ⎪⎝⎭，21111116822481212n n n -+⎛⎫- ⎪-⎝⎭=-⋅--， 42nn =， 故32n n nT -=．（3）设32328328822n n n n n n n n d T n n ---=⋅=⋅=， 则：()1113123253222n n n n n n n n d d ++++----=-=， 当1n =，2，3时，112d =，21d =，378d =， 当1n >时，15302n n +-<， 故n d 的最大值为1， 不等式2321184n n T m m n -≤--对一切正整数n 恒成立， 只需21114m m --≥即可， 故2480m m --≥，解得2m ≥+2m ≤-所以m的取值范围是2m ≥+或2m ≤-【点睛】方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）倒序相加法；（5）分组求和法.要根据数列的通项的特征灵活选用.。
河南省郑州市八所省示范高中2020-2021学年上学期高二年级期中联考数学试卷(文科)
河南省郑州市八所省示范高中2020－2021学年上学期高二年级期中联考数学试卷（文科）考试时间：120分钟分值：150分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，A＝60°，B＝45°，则b的长为2.命题“∃x0∈（0，＋∞），lnx0＝x0－1”的否定是A.∃x0∈（0，＋∞），lnx0≠x0－1B.∃x0∉（0，＋∞），lnx0＝x0－1C.∀x∈（0，＋∞），lnx≠x－1D.∀x∉（0，＋∞），lnx＝x－13.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作只之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最小一份为A.53B.103C.56D.1164.如果a∈R，且a2＋a<0，那么a，a2，－a的大小关系为A.a2>a>－aB.－a>a2>aC.－a>a>a2D.a2>－a>a5.已知实数m、n满足2m＋n＝2，其中m>0，n>0，则12m n+的最小值为A.4B.6C.8D.126.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若sin2A＋sin2B－sin2C＝0，a2＋c2－b2－ac＝0，c＝2，则a＝B.1C.12D.27.“m＝－1”是“直线l1：mx＋（2m－1）y＋1＝0与直线l2：3x＋my＋3＝0垂直”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知变量x，y满足约束条件x y103x y10x y10+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z＝2x＋y的最大值为A.1B.2C.3D.49.下列结论正确的是 A.当x>0且x ≠1时，lgx ＋1lg x≥2 B.x>0时，6－x －4x的最大值是2 2的最小值是2D.当x ∈（0，π）时，sinx ＋4sin x的最小值为4 10.设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若bcosC ＋ccosB ＝asinA ，则△ABC 的形状为.A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定11.对于数列{a n }，定义H 0＝n 112na 2a 2a n-++⋅⋅⋅+为{a n }的“优值”。
2020-2021郑州市实验高级中学高二数学上期中模拟试题(附答案)
2020-2021郑州市实验高级中学高二数学上期中模拟试题(附答案)一、选择题1．一个盒子里装有大小相同的10个黑球、12个红球、4个白球,从中任取2个,其中白球的个数记为X,则下列概率等于11222422226C C CC+的是 ( )A．P(0<X≤2)B．P(X≤1)C．P(X=1)D．P(X=2)2．用电脑每次可以从区间()0,1内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于13的概率为（）A．127B．23C．827D．493．某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给4位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为（）A．25B．1225C．1625D．454．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中做出了重大贡献，哥德巴赫猜想是：“任一大于2的偶数都可以写成两个质数之和”，如32=13+19．在不超过32的质数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率为（）A．111B．211C．355D．4555．我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争.小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”.如右图所示的程序框图反映了对此问题的一个求解算法，则输出n的值为（）A ．20B ．25C ．30D ．356．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是( )A ．336B ．510C ．1326D ．36037．6件产品中有4件合格品，2件次品.为找出2件次品，每次任取一个检验，检验后不放回，则恰好在第四次检验后找出所有次品的概率为（ ） A ．35B ．13C ．415D ．158．如图所示是为了求出满足122222018n +++>L 的最小整数n ，和两个空白框中，可以分别填入（ ）A ．2018S >？，输出1n -B ．2018S >？，输出nC ．2018S ≤？，输出1n -D ．2018S ≤？，输出n9．下列说法正确的是（ ）A ．若残差平方和越小，则相关指数2R 越小B ．将一组数据中每一个数据都加上或减去同一常数，方差不变C ．若2K 的观测值越大，则判断两个分类变量有关系的把握程度越小D ．若所有样本点均落在回归直线上，则相关系数1r =10．某程序框图如图所示，若输出的结果是126，则判断框中可以是( )A ．6?i >B ．7?i >C ．6?i ≥D ．5?i ≥11．设点(a,b)为区域4000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内任意一点，则使函数f(x)=2ax 2bx 3-+在区间[12，+∞）上是增函数的概率为 A ．13B ．2 3C ．1 2D ．1 412．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，...，960，分组后某组抽到的号码为41．抽到的32人中，编号落入区间[]401,755 的人数为（ ） A ．10B ．11C ．12D ．13二、填空题13．运行如图所示的流程图，则输出的结果S 为_______．14．为了防止职业病，某企业采用系统抽样方法，从该企业全体1200名员工中抽80名员工做体检，现从1200名员工从1到1200进行编号，在115~中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从4660~这15个数中应抽取的数是__________．15．一盒中有6个乒乓球，其中4个新的，2个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒子中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则(4)P X =的值为___________.16．集合{|64,1,2,3,4,5,6}A y y n n ==-=，集合1{|2,1,2,3,4,5,6}n B y y n -===，若任意A∪B 中的元素a ，则a ∈A∩B 的概率是________。
河南省八市重点高中2020—2021学年高二上学期12月联合考试数学(理)答案
高二数学（理科）答案与解析1．【答案】C 【命题意图】本题考查正余定理解三角形，意在考查学生对基础知识的掌握情况.是基础题.【解析】依题意，cos 2C =，所以1sin 2C =，由正弦定理可得，sin sin 2b C Bc ==，又0,,π<<>∴>B b a B A ，60︒∴=B 或120B = .故选C.2．【答案】D 【命题意图】本题考查不等式的性质，主要考查学生对不等式之间关系的判断，属于基础题.【解析】因为a b >，当0c =时，A 不成立，因为11b a a b ab--=，虽然有a b >，但是ab 的正负无法确定，故B 错误；当0a <时，C 错误；D 选项，3322()()0a b a b a ab b -=-++>，故选D.3．【答案】A 【命题意图】本题主要考查充分必要条件的判断以及空间中的位置关系.考查学生逻辑推理和空间想象等核心素养.是中档题.【解析】根据面面垂直的判定定理，可知因为//l α，必存在l α'⊂且//l l '，由l β⊥可推出αβ⊥，反之，若,//l αβα⊥，则l 与β的位置关系不确定，所以“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件.故选A.4．【答案】C 【命题意图】本题考查双曲线的基本性质，考查学生的基本运算能力.是中档题.【解析】根据双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的的渐近线方程为y x =，所以a b =，又焦距为4，所以224a b +=，解得a b ==，所以2y =，所以抛物线的准线方程是4x =-，故选C.5．【答案】C 【命题意图】本题考查等差数列的基本运算，考查学生对等差数列基本量之间关系的掌握程度.是基础题.【解析】因为等差数列{}n a 的前n 和为n S ，1252=15a a S ⋅=⎧⎨⎩，即111525()()152a a a a d =⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解之得1114a a ==-或，当11a =，所以1d =，解得44a =；当14a =-时，72d =，此时4132a =.故选C.6．【答案】D【命题意图】本题考查四种命题以及命题的真假性判定.意在考查学生的逻辑推理素养，是中档题.【解析】A ．命题命题“若ln ln 0a b +=，则1a b ⋅=”的逆命题为“若1a b ⋅=，则ln ln 0a b +=，是假命题；B ．因为1a >时，01a >-，所以该命题是假命题在故B 错；C ．,A B 是随机事件，命题：“若()()()P A P B P A B += ，则,A B 是互斥事件”的否定是：“若()()()P A P B P A B += ，则,A B 不是互斥事件”．故C 错.D ．由椭圆的定义，可知命题“到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆”的逆命题是真命题，故选D.【命题意图】本题考查等比数列的性质，意在考查学生对性质的灵活运用.是中档题.【解析】因为数列{}n a 为正项等比数列，因为2918a a ⋅=，所以295618a a a a ⋅=⋅=，而251625262562log log log log log ()3a a a a a a -=+=⋅=-，故选A.8．【答案】C【命题意图】本题考查简单的线性规划，考查了学生的数形结合思想和逻辑推理能力.是中档题.【解析】由约束条件20,20,2x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩作出可行域如图：由目标函数2z x y =-变形为122zy x =-，当直线322zy x =-经过图中(2,4)时，z 最小，所以min 6z =-.故选C.9．【答案】B【命题意图】本题考查椭圆的几何性质，考查学生的数学抽象和数学运算素养.属于较难题.【解析】由题意可得，该椭圆的半焦距c =，取椭圆的右焦点)1F 以及PF 中点E ，连接1PF ，如图，因为OP OF ==，所以5cos 5∠=PFO ，所以||1,||2==EF OE ，所以14PF =，2FP =，所以126a PF PF =+=，即3a =，所以2224b a c =-=，所以椭圆方程为22194x y +=.故选B.10．【答案】B 【命题意图】本题考查基本不等式，意在考查学生对基本不等式的灵活运用，是中等题.【解析】∵m ，0n >，2m n +=，所以11111()()1311m n m n m n +=+++++∴1114(11)(23133n m m n +=+++≥+=+，当且仅当11n m m n +=+，即32m =，12n =时取等号，故111m n ++的最小值43.故选B.【命题意图】本题考查含参数的一元二次不等式，意在考查学生的分类讨论和函数思想的应用，属于中等题.【解析】因为一元二次不等式220x mx +->的解集为{|21}x x x <->或，所以21m -=-+，即1m =，所以不等式220x x m -++<即2210x x -++<，所以不等式220x x m -++<的解集为1(,)(1,)2-∞-+∞ .故选D.12．【答案】A 【命题意图】本题考查抛物线的几何性质，意在考查学生的数学抽象和数学运算能力，属于难题.【解析】根据抛物线的定义可知AF AC =，由于AC 垂直抛物线的准线，所以//AC x 轴，所以AFx CAF ∠=∠.设200,2y A y p ⎛⎫⎪⎝⎭，则0,,,022p p C y F ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设D 是CF 的中点，则00,2y D ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以直线AD 的方程为()0002020202y y y y x y p--=--，即002y p y x y =+.由00222y p y x y y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去y 并化简得22202004y p x px y -+=，其判别式222020404y p p y ∆=-⨯⨯=，所以直线AD 与抛物线相切，故直线AD 与直线AT 重合，点E 与点D 重合，由于D 是CF 的中点，所以AD CF ⊥，也即AT CF ⊥，命题（2）成立.根据等腰三角形的性质可知2CAF TAF ∠=∠，所以AT 平分FAC ∠，命题（1）成立.进而可得ACE TFE ≅ ，综上所述，正确的命题个数为3个.故选A.13．【答案】224n n +--【命题意图】本题考查数列求和以及分组求和.属于基础题.【解析】依题意112221nn n a +=+++=- ，则231221212124n n n S n ++=-+-++-=-- ．14．【答案】6+【命题意图】本题考查正余弦定理解三角形，意在考查学生的数学运算和逻辑推理能力.【解析】由正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，又cos cos 2a C c A a +=得到sinAcos sin cos 2sin C C A A +=，即sin()2sin A C A+=在ABC ∆中，A B C π++=,所以sin 2sin 1B A =≤,故角A 最大即6A π=.此时sin 1B =，即2B π=，ABC ∆为直角三角形，2a =，所以4b =，32=c，所以三角形的周长为6+.15．【答案】1)+【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，意在考查学生的数学运算和数学抽象等核心素养，属于难题.【解析】依题意，可得四边形12F AF B 为平行四边形，1AF x ⊥轴，所以2BF x ⊥轴,将横坐标c 带入双曲线方程，可得22221c y a b -=，得2=±by a，则2(,)b B c a ，所以222212tan 22b BF c a a F F c acα-===，又12tan (0,1)BF F ∠∈，即22012c a ac -<<，整理得2220c a ac --<，两边同时除以2a ，得2210c c a a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，即2210e e --<，又∵1e >，解得11e <<+.16．【答案】(【命题意图】本题考查不等式思想，可以利用线性规划，三角换元和基本不等式来解决，同时也考查学生的数形结合思想,属于较难问题.【解析】由题意知2224x y +=，令2x y z +=,即122zy x =-+，而2224(0)+=>x y y 表示的是椭圆在x 轴上方部分，所以当直线122zy x =-+经过(0)时，2x y +最小，所以最小值为，由于0>y ，所以2x y +>，当直线122zy x =-+与2224x y +=在第一象限相切时，2x y +取得最大值，联立方程组2212224z y x x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，可得22940424z z x x -+-=，由0= ，可得z =±，所以2x y +的最大值为所以2x y +的取值范围为(.17．【命题意图】本题考查全称命题和特称命题以及命题的否定，充分必要条件等,是基础题.【解析】（1）对于命题p ：对任意[1,)x ∈+∞，不等式2350x m m -++-<恒成立，因为函数253y x m m =-+-+在[1,)x ∈+∞上单调递减，所以有1x =时，2max430ym m =-+<，.........................................................................................................2分解之得(,1)(4,)m ∈-∞-+∞ ，...........................................................................................................................4分所以p 为假命题时，实数m 的取值范围[1,4]m ∈-...........................................................................................5分（2）依题意，对任意的[]2,1x ∈-，不等式22230x mx m --+>恒成立，即二次函数2223y x mx m =--+在[]2,1x ∈-上的最小值大于0即可，..................................................................................................................7分当2≤-m 时，44230+-+>m m ，解得∈∅m ；当1≥m 时，12230--+>m m ，解得1>m ；当21-<<m 时，222320-+->m m m ，解之得∈∅m ，综上可得，解之得1>m ，....................................................................................................................................9分而p 为真时(,1)(4,)m ∈-∞-+∞ ，所以p 是q 的既不充分也不必要条件.................................................................................................................10分18．【命题意图】本题考查一元二次不等式，主要考查三个二次之间的关系以及分类讨论等思想，是中等题.【解析】（1）不等式232ax bx x ++<的解集为(,1)(3,)-∞-+∞ 即方程2(2)30ax b x +-+=的两根为121,3x x =-=.....................................................................................2分由韦达定理得：213313b aa -⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，.....................................................................................................................4分解之得，1,4a b =-=...........................................................................................................................................6分（2）由（1）可知，令2()23f x x x =-++，对称轴方程为1x =，所以()f x 在[,1]x m ∈上单调递增，.....................................................................................................................9分所以当x m =时，2()231f x m m =-++≥，即22201m m m ⎧--≤⎨<⎩，所以[1m ∈-......................................................12分19．【命题意图】本题考查正余弦定理解三角形，意在考查学生的数学运算能力.是中等题.【解析】（1）因为2222a c b a b a+-=+，所以222a b c ab +-=-，............................................................2分所以1cos 2C =-，即23C π=..............................................................................................................................5分另解：因为2222a c b a b a +-=+，所以222222a c b a bac c+-+=，即2cos 2c B a b =+，由正弦定理得：2sin cos 2sin sin C B A B =+，...........................................................................................................................2分所以2sin cos 2sin()sin C B B C B =++，即2sin cos sin 0B C B +=，又sin 0B >，故1cos 2C =-，故23C π=．............................................................................................................................................................5分（2）因为ABC的面积为4，所以16si 4n 2ab C =，即132462ab ⨯=，故ab =，............................................................................................................................................................8分由余弦定理可得222222212cos 2()2=+-=+--=+c a b ab C a b a b所以222222224a c a a b a b +=+++=++≥=，........................................10分b ==此时1a =.............................................................................................12分20．【命题意图】本题考查数列的综合应用，主要考查数列求通项，数列求和，错位相减法思想等，是中等题.【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由2433S a a -=，即2423S S S -=，又21n n n a a a --=，可得()()11114684212211a d a d a n d a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩，......................................................................................................3分解得11a =，2d =.1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-，*N n ∈...........................................................................................6分（2）由题意知：422nn n b a ⋅+=，即()1221144n n n n a b n --⎛⎫==- ⎪⎝⎭，.........................................................8分所以1211111(2((1)()444n n T n -=⨯+⨯++-⨯ ，所以()2311111214444nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，..................................................................................10分两式相减得12131111()()()(1)(44444n n n T n -=+++-- ，所以1111()3144(1)(14414n n n T n -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=---11111((1)(3344n n n -=-⨯--11111(3344n n --=-+，.............11分所以14311()994n n n T -+=-⨯所以数列{}n b 的前n 项和14311()994n n n T -+=-⨯...........................................................................................12分21．【命题意图】本题考查基本不等式和不等式的证明，意在考向学生的逻辑推理能力，属于较难题.【解析】（1）因为a ，b ，c 为正数，且22a b c ++=，可得11111(2)2a b c a b b c a b b c+=+++++++............................................................................................3分1(11)22b c a b a b b c++=+++≥++，...........................................................................................................................5分当且仅当b c a ba b b c++=++时取等号.........................................................................................................................6分（2）()()2222222221122222++=+++++≥++a b c a b c a b c ab bc ac ................................................8分当且仅当19===a b c 时等号成立.()()1122222ab bc ac ab bc ab ac bc ac ++=+++++(12222≥+==............................................................10分当且仅当19===a b c 时等号成立.所以222a b c ++≥.当且仅当19===a b c 时等号成立......................................................................12分22．【命题意图】本题考查椭圆的集合性质，直线与椭圆的位置关系，意在考查数学抽象，直观想象和数学运算等核心素养，属于难题.【解析】（1）依题意，设椭圆的长半轴长为a ，直线2c x =被抛物线()22:2 0C y px p =>截得的弦长为且2pc =.所以224pp =⨯，解得p =.所以c =........................................................................3分又因为2a b =，∴2,1a b ==所以椭圆1C 的方程为2214x y +=，.....................................................................................................................5分（2）设(,)P x y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由2OP OA OB λμ-=，得122x x x λμ=+，122y y y λμ=+∵点,,P A B 在椭圆2214x y +=上，∴所以221144x y +=，222244x y +=，2244x y +=........................................................................................7分故222212124(2)4(2)x y x x y y λμλμ+=+++22222211221212(4)4(4)4(4)4x y x y x x y y λμλμ=+++++=.设,OA OB k k 分别为直线,OA OB 的斜率，由题意知，121214OA OB y y k k x x ⋅==-因此121240x x y y +=,所以2241λμ+=............................................................................................................9分所以Q 点是椭圆上22114μλ+=上的点，.又,0)2M ，点N 满足2112MN F F =，所以(,0)2N -.........................................................................11分所以,M N 恰为椭圆22114μλ+=的左、右焦点，由椭圆的定义，2QM NQ +=为定值......................12分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020～2021学年上期高二年级期中联考试题数学学科(文科)考试时间：120分钟分值：150分注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分。
考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答(答题注意事项见答题卡)。
在试题卷上作答无效。
一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a3A＝60°，B＝45°，则b 的长为A.22B.1 2 D.22.命题“∃x0∈(0，＋∞)，lnx0＝x0－1”的否定是A.∃x0∈(0，＋∞)，lnx0≠x0－1B.∃x0∉(0，＋∞)，lnx0＝x0－1C.∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1D.∀x∉(0，＋∞)，lnx＝x－13.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作只之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最小一份为A.53B.103C.56D.1164.如果a∈R，且a2＋a<0，那么a，a2，－a的大小关系为A.a2>a>－aB.－a>a2>aC.－a>a>a2D.a2>－a>a5.已知实数m、n满足2m＋n＝2，其中m>0，n>0，则12m n+的最小值为A.4B.6C.8D.126.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若sin2A＋sin2B－sin2C＝0，a2＋c2－b2－ac＝0，c＝2，则a＝3 B.1 C.12D.227.“m＝－1”是“直线l1：mx＋(2m－1)y＋1＝0与直线l2：3x＋my＋3＝0垂直”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知变量x ，y 满足约束条件x y 103x y 10x y 10+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z ＝2x ＋y 的最大值为A.1B.2C.3D.49.下列结论正确的是A.当x>0且x ≠1时，lgx ＋1lg x ≥2B.x>0时，6－x －4x的最大值是22的最小值是2 D.当x ∈(0，π)时，sinx ＋4sin x的最小值为4 10.设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若bcosC ＋ccosB ＝asinA ，则△ABC 的形状为.A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定11.对于数列{a n }，定义H 0＝n 112n a 2a 2a n-++⋅⋅⋅+为{a n }的“优值”。
现已知某数列的“优值”H 0＝2n ＋1，记数列{a n －20}的前n 项和为S n ，则S n 的最小值为A.－64B.－68C.－70D.－7212.已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin2A ＋sin(A －B ＋C)＝sin(C －A －B)＋12，面积S 满足1≤S ≤2，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，在下列不等式一定成立的是A.bc(b ＋c)>8B.ab(a ＋C.6≤abc ≤12D.12≤abc ≤24二、填空题(本大题共4小题，共20分)13.已知△ABC 的面积为A ＝6π，AB ＝5，则BC ＝ 。
14.等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为 。
15.a ，b ，c>0且a(a ＋b ＋c)＋bc ＝4－2a ＋b ＋c 的最小值 。
16.义数列{a n }满足a n ＋2＋(－1)n a n ＝3n －1，前16项和为540，则a 1＝ 。
三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(10分)已知p ：|2x －5|≤3，q ：x 2－(a ＋2)x ＋2a ≤0。
(1)若p 是真命题，求对应x 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围。
18.(12分)已知函数y ＝2ax 2ax 1++的定义域为R 。
(1)求a 的取值范围。
(2)若函数的最小值为2，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a<0。
19.(12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A ＝4π，b 2－a 2＝12c 2。
(1)求tanC 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值。
20.12分)设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和。
已知S 3＝7，且a 1＋3，3a 2，a 3＋4构成等差数列。
(1)求数列{a n }的通项公式。
(2)令b n ＝lna 3n ＋1，n ＝1，2，…，求数列{b n }的前n 项和T n 。
21.(12分)有一展馆形状是边长为2的等边△ABC ，DE 把展馆分成上下两部分面积比为1：2如图所示)，其中D 在AB 上，E 在AC 上。
(1)若D 是AB 中点，求AE 的值；(2)设AD ＝x ，ED ＝y 。
①求用x 表示y 的函数关系式；②若DE 是消防水管，为节约成本，希望它最短，DE 的位置应在哪里？22.(12分)已知数列{a n }中，a ＝1，a n ＋1＝n n 3a a +(n ∈N *)。
(1)求{a n }的通项公式a n ；(2)数列{b n }满足b n ＝(3n －1)·2nn ·a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，若不等式(－1)n λ<T n ＋12n n -对一切n ∈N *恒成立，求λ的取值范围。
数学学科（文科）答案一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）CCABA BABBA DA二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.14.15. 16. 7三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知p：，q：．若p是真命题，求对应x的取值范围；若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．【答案】解：：是真命题，，，解得，的取值范围是．---------------------------------------4分由知：P：，q：，-------------------------5分p是q的必要不充分条件当时，q：，故满足，即，-------------------7分当时，q：，满足条件；--------------------------------------------9分当时，q：，故满足，即．------------------11分综上所述a的取值范围是．-----------------------------------12分18.(12分)已知函数的定义域为R．求a的取值范围．若函数的最小值为，解关于x的不等式．解：函数的定义域为R，恒成立，当时，恒成立，满足题意；…………2分当时，根据二次函数的图象与性质，知不等式恒成立时，，即，解得；…………5分综上，a的取值范围是；…………6分函数y的最小值为，，；；当时，不满足条件；…………8分当时，的最小值是，；…………10分不等式可化为，解得；不等式的解集是…………12分19.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，．求tan C的值；若的面积为3，求b的值．【答案】解：，由余弦定理可得：，，又．．可得，，即．．，．．----------------------------------------------------------6分或由，．可得：，，，，，，，．．，解得．．---------------------------------------------------12分20.设是公比大于1的等比数列，为数列的前n项和．已知，且，，构成等差数列．求数列的通项公式．令求数列的前n项和．【答案】解：由已知得，可得 --2分解得， -----------4分故数列的通项为；--------------------------------------6分由得，，又，-----8分是等差数列，-----11分故----------------------------------12分21.有一展馆形状是边长为2的等边三角形ABC，DE把展馆分成上下两部分面积比为如图所示，其中D在AB上，E在AC上若D是AB中点，求AE的值；设．求用x表示y的函数关系式；若DE是消防水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？【答案】解：依题意得，，若D是AB中点，则 -------------------------------------------------4分(i)由得由余弦定理得，-------------------------------------------8分(ii)如果是消防水管，，----------------------------------10分当且仅当，即，等号成立．此时，------------------------------------------------------11分故且消防水管路线最短为；22.已知数列中，，．求的通项公式；数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围．【答案】解：由，得，，--------------------------------------2分所以数列是以3为公比，以为首项的等比数列，从而，；----------------------------4分，，，两式相减得，，-------------------------------------------6分．若n为偶数，则，，，--------------------8分若n为奇数，则，，，即，-------------------------------------10分．--------------------------------------------12分。