湖南省大联考2013雅礼中学高三9次月考(一模)数学(理科)试卷答案
湖南省“湘豫联考”2025届高三9月联考数学试题(含答案)
湖南省“湘豫联考”2025届高三9月联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知x，y∈R，i为虚数单位，则“x=−1，y=2”是“x+yi=(2+i)i”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.已知双曲线C:x29−y2m=1的离心率为3，则m的值为( )A. 18B. 32C. 27D. 233.数据7，3，6，5，10，14，9，8，12的第60百分位数为( )A. 14B. 9.5C. 8D. 94.已知函数f(x)={log2x,x>0,(x+1)2,x<0,g(x)=f(−x)+1，则g(x)的图象大致是( )A. B.C. D.5.在等比数列{a n}中，记其前n项和为S n，已知a3=−a2+2a1，则S8S4的值为( )A. 2B. 17C. 2或8D. 2或176.在一个不透明箱子中装有10个大小、质地完全相同的球，其中白球7个，黑球3个.现从中不放回地依次随机摸出两个球，已知第二次摸出的是黑球，则第一次摸出的是白球的概率为( )A. 710B. 79C. 23D. 567.已知关于x 的不等式(x−2a)[x 2−(2a +1)x +1]≥0对任意x ∈(0,+∞)恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. [−32,0]B. [−32,12]C. (−∞,0]D. (−∞,−32)8.在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(0,52)，圆C:(x−5)2+(y−52)2=1，点T(t,0)为x 轴上一动点.现由点P 向点T 发射一道粗细不计的光线，光线经x 轴反射后与圆C 有交点，则t 的取值范围为( )A. [158,103]B. [74,103]C. [74,278]D. [158,278]二、多选题：本题共3小题，共15分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考(一)数学试题及答案
大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（一）数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}2|log 4Mx x =<，{}|21N x x =≥，则M N ∩=（）A.{}08x x ≤< B. 182xx≤<C.{}216x x ≤< D. 1162xx≤<2.记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 6＝16，S 5＝35，则{a n }的公差为（ ）A.3B.2C.－2D.－33.已知1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=−的两个根.若11i z =+，则2z =（ ）A.B.1C.D.24.函数sin exx xy =的图象大致为（）A. B.C. D.5.已知220x kx m +−<的解集为()(),11t t −<−，则k m +的值为（ ）A 1B.2C.-1D.-2.6. 古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B ，C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同侧，若在B ，C 处分别测量球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC =100m ，则该球体建筑物的高度约为（ ）（cos10°≈0.985）A. 45.25mB. 50.76mC. 56.74mD. 58.60m7. 已知定义域是R 的函数()f x 满足：x ∀∈R ，()()40f x f x ++−=，()1f x +为偶函数，()11f =，则()2023f =（ ）A. 1B. -1C. 2D. -38. 如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD棱长为，则模型中九个球的表面积和为（ ）A 6πB. 9πC.31π4D. 21π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若2sin 23α=，则21cos 46πα +=B. 函数()2sin 23f x x π=+的图象向右平移6π个单位长度得到函数()2sin 26g x x π=+的图象.C. 函数()2sin cos cos 26f x x x x π=+−单调递增区间为(),36k k k Z ππππ−++∈D. ()22tan 1tan xf x x =−的最小正周期为2π 10. 如图所示，该几何体由一个直三棱柱111ABC A B C -和一个四棱锥11D ACC A −组成，12AB BC AC AA ====，则下列说法正确的是（ ）A. 若AD AC ⊥，则1AD A C ⊥B. 若平面11A C D 与平面ACD 的交线为l ，则AC //lC. 三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为143πD. 当该几何体有外接球时，点D 到平面11ACC A11. 同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为()e e x x f x a b −=+（其中a ，b 是非零常数，无理数e 2.71828⋅⋅⋅），对于函数()f x 以下结论正确的是（ ）A. a b =是函数()f x 为偶函数的充分不必要条件；B. 0a b +=是函数()f x 为奇函数的充要条件；C. 如果0ab <，那么()f x 为单调函数；D. 如果0ab >，那么函数()f x 存极值点.12. 设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且满足条件11a >，202220231a a >⋅，()()20222023110a a −⋅−<，则下列选项正确的是（ ）的在A. {}n a 为递减数列B. 202220231S S +<C. 2022T 是数列{}Tn 中的最大项D. 40451T >第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知(2,),(3,1)a b λ=−=，若()a b b +⊥ ，则a = ______ .14. 已知函数51,2()24,2xx f x x x −≤ =−>，则函数()()g x f x =的零点个数为______. 15. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则平面α截此正方体所得截面面积的最大值为______.16. 如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x 轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为 1.1x y =，第n 根弦（n ∈N ，从左数首根弦在y 轴上，称为第0根弦）分别与雁柱曲线和直线l ：1y x =+交于点(),n n n A x y 和(),n n n B x y ′′，则20n n n y y =′=∑______.（参考数据：取221.18.14=.）四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2CACB ==，AB =13AA =，M 为AB 的中点.（1）证明：1//AC 平面1B CM ； （2）求点A 到平面1B CM 的距离.18. 记锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c �已知sin()sin()cos cos A B A C B C−−=．（1）求证：B C =； （2）若sin 1a C =，求2211a b+的最大值． 19. 甲、乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得1−分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲、乙每次踢球命中的概率均为12，甲扑到乙踢出球的概率为12，乙扑到甲踢出球的概率13，且各次踢球互不影响． （1）经过1轮踢球，记甲的得分为X ，求X 的分布列及数学期望； （2）求经过3轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率． 20. 已知数列{}n a 中，10a =，()12n n a a n n N∗+=+∈.（1）令11n n n b a a +=−+，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）令3nn n a c =，当n c 取得最大值时，求n 的值．21. 已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b−=>>的焦距为10，且经过点M ．A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，P 为直线2x =上的动点，连接P A ，PB 交双曲线E 于点C ，D （不同于A ，B ）． （1）求双曲线E 的标准方程．（2）直线CD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．22. 设函数()()2cos 102x f x x x =−+≥.（1）求()f x 的最值；（2）令()sin g x x =，()g x 图象上有一点列()*11,1,2,...,,22i i i A g i n n =∈N ，若直线1i i A A +的斜率为()1,2,...,1i k i n =−，证明：1217 (6)n k k k n −+++>−.的大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（一）数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合{}2|log 4Mx x =<，{}|21N x x =≥，则M N ∩=（ ）A. {}08x x ≤< B. 182xx≤<C. {}216x x ≤<D. 1162xx≤<【答案】D 【解析】【分析】直接解出集合,M N ，再求交集即可.详解】{}{}2|log 4|016Mx x x x =<=<<，1|2N x x=≥ ，则1162M N x x ∩=≤<.故选：D.2. 记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 6＝16，S 5＝35，则{a n }的公差为（ ） A. 3 B. 2C. －2D. －3【答案】A 【解析】【分析】由题得a 3＝7，设等差数列的公差为d ，解方程组11+27516a d a d = += 即得解.【详解】解：由等差数列性质可知，S 5＝152a a +×5＝5a 3＝35，解得a 3＝7， 设等差数列的公差为d ，所以11+27516a d a d = += ，解之得3d =.故选：A.3. 已知1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=−的两个根.若11i z =+，则2z =（ ）【A.B. 1C.D. 2【答案】C 【解析】【分析】由1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=−的两个根，由韦达定理求出2z ，再由复数的模长公式求解即可.【详解】法一：由1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=−的两个根，得122z z +=， 所以()21221i 1i z z =−=−+=−，所以21i z =−=法二：由1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=−的两个根，得122z z ⋅=， 所以21221i z z ==+，所以2221i 1i z ===++.故选：C . 4. 函数sin exx xy =的图象大致为（ ） A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】分析函数sin exx xy =的奇偶性及其在()0,π上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】令()sin e x x xf x =，该函数的定义域为R ，()()()sin sin e ex xx x x x f x f x −−−−===，所以，函数sin exx xy =为偶函数，排除AB 选项， 当0πx <<时，sin 0x >，则sin 0exx xy >，排除C 选项. 故选：D.5. 已知220x kx m +−<的解集为()(),11t t −<−，则k m +的值为（ ） A. 1 B. 2C. -1D. -2【答案】B 【解析】【分析】由题知=1x −为方程220x kx m +−=的一个根，由韦达定理即可得出答案. 【详解】因为220x kx m +−<的解集为()(),11t t −<−， 所以=1x −为方程220x kx m +−=的一个根， 所以2k m +=． 故选:B ．6. 古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B ，C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同侧，若在B ，C 处分别测量球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC =100m ，则该球体建筑物的高度约为（ ）（cos10°≈0.985）A. 45.25mB. 50.76mC. 56.74mD. 58.60m【答案】B 【解析】【分析】数形结合，根据三角函数解三角形求解即可；【详解】设球的半径为R ，,tan10R ABAC=，100tan10RBC =−=− ， 25250.760.985RR ==， 故选:B.7. 已知定义域是R 的函数()f x 满足：x ∀∈R ，()()40f x f x ++−=，()1f x +为偶函数，()11f =，则()2023f =（ ）A. 1B. -1C. 2D. -3【答案】B 【解析】【分析】根据对称性可得函数具有周期性，根据周期可将()()()2023311f f f ==−=−. 【详解】因为()1f x +为偶函数，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，所以()()2=f x f x −，又由()()40f x f x ++−=，得()()4f x f x +=−−，所以()()()846f x f x f x +=−−−=−+，所以()()2f x f x +=−，所以()()4f x f x +=，故()f x 的周期为4，所以()()()2023311f f f ==−=−．故选:B ．8. 如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD 棱长为，则模型中九个球的表面积和为（ ）A. 6πB. 9πC.31π4D. 21π【答案】B 【解析】【分析】作出辅助线，先求出正四面体的内切球半径，再利用三个球的半径之间的关系得到另外两个球的半径，得到答案.【详解】如图，取BC 的中点E ，连接DE ，AE，则CE BE ==，AE DE ==，过点A 作AF ⊥底面BCD ，垂足在DE 上，且2DF EF =，所以DF EF=4AF =，点O 为最大球球心，连接DO 并延长，交AE 于点M ，则DM ⊥AE ， 设最大球的半径为R ，则OF OM R ==， 因为Rt AOM △∽Rt AEF ，所以AO OMAE EF==1R =， 即1OM OF ==，则413AO =−=，故1sin 3OM EAF AO ∠== 设最小球的球心为J ，中间球的球心为K ，则两球均与直线AE 相切，设切点分别为,H G ， 连接,HJ KG ，则,HJ KG 分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为,a b ，则33,33AJ HJ a AK GK b ====，则33JK AK AJ b a =−=−， 又JK a b =+，所以33b a a b −=+，解得2b a =，又33OK R b AO AK b =+=−=−，故432b R =−=，解得12b =， 所以14a =， 模型中九个球的表面积和为2224π4π44π44π4ππ9πR b a +×+×=++=.故选：B【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的的半径二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若2sin 23α=，则21cos 46πα +=B. 函数()2sin 23f x x π=+的图象向右平移6π个单位长度得到函数()2sin 26g x x π=+的图象 C. 函数()2sin cos cos 26f x x x x π=+−的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ−++∈D. ()22tan 1tan xf x x =−的最小正周期为2π 【答案】ACD 【解析】【分析】利用二倍角公式和诱导公式可求得2cos 4πα+，知A 正确； 根据三角函数平移变换可求得()2sin 2g x x =，知B 错误；利用三角恒等变换公式化简得到()f x 解析式，利用整体对应的方式可求得单调递增区间，知C 正确； 利用二倍角公式化简得到()f x ，由正切型函数的周期性可求得结果知D 正确.【详解】对于A ，21cos 21sin 212cos 4226παπαα++−+===，A 正确； 对于B ，()f x 向右平移6π个单位长度得：2sin 26f x x π−=，即()2sin 2g x x =，B 错误；对于C ，()13sin 22sin 2sin 222226f x x x x x x x π=+=++， 则由222262k x k πππππ−+≤+≤+，Z k ∈得：36k x k ππππ−+≤≤+，Z k ∈，()f x \的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ−++∈，C 正确； 对于D ，()22tan tan 21tan xf x x x ==−，tan 2y x ∴=的最小正周期为2π，D 正确.故选：ACD.10. 如图所示，该几何体由一个直三棱柱111ABC A B C -和一个四棱锥11D ACC A −组成，12AB BC AC AA ====，则下列说法正确的是（ ）A. 若AD AC ⊥，则1AD A C ⊥B. 若平面11A C D 与平面ACD 的交线为l ，则AC //lC. 三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为143πD. 当该几何体有外接球时，点D 到平面11ACC A【答案】BD 【解析】【分析】根据空间线面关系，结合题中空间几何体，逐项分析判断即可得解. 【详解】对于选项A ，若AD AC ⊥，又因为1AA ⊥平面ABC ， 但是D 不一定在平面ABC 上，所以A 不正确；对于选项B ，因为11//A C AC ，所以//AC 平面11A C D ， 平面11AC D ∩平面ACD l =，所以//AC l ，所以B 正确； 对于选项C ，取ABC ∆的中心O ，111A B C ∆的中心1O ，1OO中点为该三棱柱外接球的球心，所以外接球的半径R ， 所以外接球的表面积为22843R ππ=，所以C 不正确； 对于选项D ，该几何体的外接球即为三棱柱111ABC A B C -的外接球，1OO 的中点为该外接球的球心，该球心到平面11ACC A的点D 到平面11ACC A 的最大距离为R ，所以D 正确. 故选：BD11. 同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为()e e x x f x a b −=+（其中a ，b 是非零常数，无理数e 2.71828⋅⋅⋅），对于函数()f x 以下结论正确的是（ ）A. a b =是函数()f x 为偶函数的充分不必要条件；B. 0a b +=是函数()f x 为奇函数的充要条件；C. 如果0ab <，那么()f x 为单调函数；D. 如果0ab >，那么函数()f x 存在极值点. 【答案】BCD 【解析】【分析】根据奇偶函数的定义、充分条件和必要条件的定义即可判断AB ；利用导数，分类讨论函数的单调性，结合极值点的概念即可判断CD.【详解】对于A ，当a b =时，函数()f x 定义域为R 关于原点对称，()()e e =x x f x a b f x −−=+，故函数()f x 为偶函数；当函数()f x 为偶函数时，()()=0f x f x −−，故()()0e e x xa b b a −−+−=， 即()()2e =xa b a b −−，又2e 0x >，故a b =，所以a b =是函数()f x 为偶函数的充要条件，故A 错误； 对于B ，当0a b +=时，函数()f x 定义域为R 关于原点对称，()()=e e ()()=0x x f x f x a b a b −+−+++，故函数()f x 为奇函数，当函数()f x 为奇函数时，()()=e e ()()=0xxf x f x a b a b −+−+++，因为e 0x >，e 0x −>，故0a b +=.所以0a b +=是函数()f x 为奇函数的充要条件，故B 正确；对于C ，()=e e x xa f xb −−′，因为0ab <，若0,0a b ><，则()e e0=xxa xb f −−>′恒成立，则()f x 为单调递增函数，若0,0a b <>则()e e0=xxa xb f −−<′恒成立，则()f x 为单调递减函数，故0ab <，函数()f x 为单调函数，故C 正确；对于D ，()2e e e ==ex xxxa ba b f x −−−′， 令()=0f x ′得1=ln 2bx a，又0ab >， 若0,0a b >>，当1,ln 2b x a∈−∞，()0f x ′<，函数()f x 为单调递减. 当1ln ,2b x a∈+∞，()0f x ¢>，函数()f x 为单调递增.函数()f x 存在唯一的极小值. 若0,0a b <<， 当1ln2b x a∈−∞，，()0f x ¢>，函数()f x 为单调递增. 当1ln ,2b x a∈+∞，()0f x ′<，函数()f x 为单调递减.故函数()f x 存在唯一的极大值. 所以函数存在极值点，故D 正确. 故答案为：BCD.12. 设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且满足条件11a >，202220231a a >⋅，()()20222023110a a −⋅−<，则下列选项正确的是（ ）A. {}n a 为递减数列B. 202220231S S +<C. 2022T 是数列{}Tn 中的最大项D. 40451T >【答案】AC 【解析】【分析】根据题意先判断出数列{}n a 的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1.再对四个选项一一验证：对于A ：利用公比的定义直接判断；对于B ：由20231a <及前n 项和的定义即可判断；对于C ：前n 项积为n T 的定义即可判断；对于D ：先求出4045T 40452023a =，由20231a <即可判断.【详解】由()()20222023110a a −⋅−<可得：20221a −和20231a −异号，即202220231010a a −> −< 或202220231010a a −<−> . 而11a >，202220231a a >⋅，可得2022a 和2023a 同号，且一个大于1，一个小于1.因为11a >，所有20221a >，20231a <，即数列{}n a 的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1. 对于A ：公比202320221a q a =<，因为11a >，所以11n n a a q −=为减函数，所以{}n a 为递减数列.故A 正确； 对于B ：因为20231a <，所以2023202320221a S S =−<，所以202220231S S +>.故B 错误；对于C ：等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且数列{}n a 的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1，所以2022T 是数列{}Tn 中的最大项.故C 正确； 对于D ：40451234045T a a a a = ()()()240441111a a q a q a q = 404512340441a q +++= 4045202240451a q ×= ()404520221a q =40452023a =因为20231a <，所以404520231a <，即40451T <.故D 错误.故选：AC第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知(2,),(3,1)a b λ=−=，若()a b b +⊥ ，则a = ______ .【答案】【解析】【分析】根据题意求得(1,1)a b λ+=+ ，结合向量的数量积的运算公式求得λ的值，得到a的坐标，利用向量模的公式，即可求解．【详解】因为(2,),(3,1)a b λ=−=，可得(1,1)a bλ+=+ ， 又因为()a b b +⊥，可得()(1,1)(3,1)310b ba λλ=+⋅=++=⋅+ ，解得4λ=−， 所以(2,4)a =−−，所以a =故答案为：14. 已知函数51,2()24,2xx f x x x −≤ =−>，则函数()()g x f x =零点个数为______. 【答案】3 【解析】【分析】令()0g x =得()f x =，根据分段函数性质可在同一直角坐标系中作出()f x，y =的大致图象，由图象可知，函数()y f x =与y =的图象有3个交点，即可得出答案．【详解】令()0g x =得()f x =可知函数()g x 的零点个数即为函数()f x与y =的交点个数，在同一直角坐标系中作出()f x，y =的大致图象如下：由图象可知，函数()y f x =与y =的图象有3个交点，即函数()g x 有3个零点， 故答案为：3.15. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则平面α截此正方体所得截面面积的最大值为______.【解析】【分析】利用正方体的结构特征，判断平面α所在的位置，然后求得截面面积的最大值即可.的【详解】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，可知在正方体1111ABCD A B C D −中，平面11AB D 与直线1AA ，11A B ，11A D 所成的角是相等的，所以平面11AB D 与平面α平行，由正方体的对称性：要求截面面积最大，则截面的位置为过棱的中点的正六边形（过正方体的中心），边，所以其面积为26S .16. 如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x 轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为 1.1x y =，第n 根弦（n ∈N ，从左数首根弦在y 轴上，称为第0根弦）分别与雁柱曲线和直线l ：1y x =+交于点(),n n n A x y 和(),n n n B x y ′′，则20n n n y y =′=∑______.（参考数据：取221.18.14=.）【答案】914 【解析】【分析】根据题意可得1, 1.1n n n y n y ′=+=，进而利用错位相减法运算求解.【详解】由题意可知：1, 1.1n n n y n y ′=+=，则()20201192000011.111.121.1201.1211.1n n n n n y y n =′=+=×+×++×+×∑∑L ， 可得2012202101.111.121.1201.1211.1nn n yy =′×=×+×++×+×∑L ，两式相减可得：2120120212101 1.10.1 1.1 1.1 1.1211.1211.11 1.1n n n y y =−′−×=+++−×=−×−∑L 2121221 1.10.1211.11 1.118.1491.40.10.10.1−+××++====−−−−， 所以20914nn n yy =′=∑.故答案为：914.四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2CACB ==，AB =13AA =，M 为AB 中点.（1）证明：1//AC 平面1B CM ； （2）求点A 到平面1B CM 的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2【解析】【分析】(1)利用线面平行的判定定理证明； (2)利用等体积法求解.的【小问1详解】连接1BC 交1B C 于点N ，连接MN ， 则有N 为1BC 的中点，M 为AB 的中点， 所以1//AC MN ，且1AC ⊄平面1B CM ，MN ⊂平面1B CM ， 所以1//AC 平面1B CM . 【小问2详解】连接1AB ,因为2CACB ==，所以CM AB ⊥,又因为1AA ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，所以1AA CM ⊥，1AB AA A ∩=,所以CM ⊥平面11ABB A , 又因为1MB ⊂平面11ABB A ,所以1CM MB ⊥,又222CA CB AB +=，所以ABC 是等腰直角三角形，112CM AB MB ====,所以1112CMB S CM MB =⋅=△1111222ACM ACB S S CA CB ==×⋅=△△, 设点A 到平面1B CM 的距离为d ， 因为11A B CM B ACM V V −−=,所以111133B CM ACM S d S AA ××=×× ,所以11ACM B CMS AA dS ×= .18. 记锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c �已知sin()sin()cos cos A B A C B C−−=．（1）求证：B C =； （2）若sin 1a C =，求2211a b+的最大值． 【答案】（1）见解析； （2）2516. 【解析】【分析】（1）运用两角和与差正弦进行化简即可；（2）根据（1）中结论运用正弦定理得sin 2sin sin 12ba C R Ab A R === ，然后等量代换出2211a b +，再运用降次公式化简，结合内角取值范围即可求解. 【小问1详解】 证明：由题知sin()sin()cos cos A B A C B C−−=，所以sin()cos sin()cos A B C A C B −=−， 所以sin cos cos cos sin cos sin cos cos cos sin cos A B C A B C A C B A C B −=−, 所以cos sin cos cos sin cos A B C A C B = 因为A 为锐角，即cos 0A ≠ ， 所以sin cos sin cos B C C B =， 所以tan tan =B C ， 所以B C =. 【小问2详解】 由（1）知：B C =， 所以sin sin B C =， 因为sin 1a C =， 所以1sin C a=， 因为由正弦定理得：2sin ,sin 2b aR A B R=， 所以sin 2sin sin 12b a C R A b A R=== ,所以1sin A b =， 因为2A B C C ππ=−−=− ，所以1sin sin 2A C b==， 所以222211sin sin 2a bC C++ 221cos 2(1cos 2)213cos 2cos 222CC C C −+−=−−+因为ABC 是锐角三角形，且B C =， 所以42C ππ<<，所以22C ππ<<，所以1cos 20C −<<， 当1cos 24C =−时，2211a b +取最大值为2516， 所以2211a b +最大值为：2516. 19. 甲、乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得1−分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲、乙每次踢球命中的概率均为12，甲扑到乙踢出球的概率为12，乙扑到甲踢出球的概率13，且各次踢球互不影响． （1）经过1轮踢球，记甲的得分为X ，求X 的分布列及数学期望； （2）求经过3轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率． 【答案】（1）分布列见解析；期望为112（2）79192【解析】【分析】（1）先分别求甲、乙进球的概率，进而求甲得分的分布列和期望；（2）根据题意得出甲得分高于乙得分的所有可能情况，结合（1）中的数据分析运算. 【小问1详解】记一轮踢球，甲进球为事件A ，乙进球为事件B ，A ，B 相互独立， 由题意得：()1111233P A =×−= ，()1111224P B =×−= ， 甲的得分X 的可能取值为1,0,1−，()()()()11111346P X P AB P A P B =−===−×= ，()()()()()()()11117011343412P X P AB P AB P A P B P A P B ==+=+=×+−×−=()()()()11111344P X P AB P A P B ====×−= ，所以X 的分布列为：()1711101612412E X =−×+×+×=.【小问2详解】经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得1−分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分，甲3轮各得1分的概率为3111464P ==， 甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分的概率为2223177C 41264P =×=， 甲3轮中有2轮各得1分，1轮得1−分的概率为2233111C 4632P =×= ， 甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分的概率为21431749C 412192P =××=， 所以经过三轮踢球，甲累计得分高于乙的概率1714979646432192192P =+++=.20. 已知数列{}n a 中，10a =，()12n n a a n n N∗+=+∈.（1）令11n n n b a a +=−+，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）令3nn n a c =，当n c 取得最大值时，求n 的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）3n =. 【解析】 【分析】（1）求得21a =，12b =，利用递推公式计算得出12n n b b +=，由此可证得结论成立；（2）由（1）可知112nn n a a +−+=，利用累加法可求出数列{}n a 的通项公式，可得出213n n nn c −−=，利用定义法判断数列{}n c 的单调性，进而可得出结论.【详解】（1）在数列{}n a 中，10a =，12n n a a n +=+，则21211a a =+=， 11n n n b a a +=−+ ，则12112b a a −+，则()()()111112211212n n n n n n n n b a a a n a n a a b ++−−=−+=+−+−+=−+=，所以，数列{}n b 为等比数列，且首项为2，所以，1222n n n b −=×=；（2）由（1）可知，2n n b =即121nn n a a +−=−，可得2123211212121n n n a a a a a a −−−=− −=−−=− ， 累加得()()()()1211212222112112n n n n a a n n n −−−−=+++−−=−−=−−− ，21n n a n ∴=−−.213n n n n c −−∴=，()111112112233n n n n n n n c +++++−+−−−==， 11112221212333n n nn n n n n n n n c c ++++−−−−+−∴−=−=， 令()212nf n n =+−，则()11232n f n n ++=+−，所以，()()122nf n f n +−=−.()()()()1234f f f f ∴=>>> ，()()1210f f ==> ，()310f =−<，所以，当3n ≥时，()0f n <.所以，123c c c <<，345c c c >>> . 所以，数列{}n c 中，3c 最大，故3n =.【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式()11n a a n d +−=或11n n a a q −=进行求解；（2）前n 项和法：根据11,1,2n nn S n a S S n −= = −≥ 进行求解；（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S −与1n a −的关系式，然后两式作差，最后检验出1a 是否满足用上面的方法求出的通项；（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n −−=，即第n 项与第n 1−项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（5）累乘法：当数列{}n a 中有()1nn a f n a −=，即第n 项与第n 1−项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（6）构造法：�一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b −=+（k 、b 均为常数，且1k ≠，0k ≠）. 一般化方法：设()1n n a m k a m −+=+，得到()1b k m =−，1b m k =−，可得出数列1n b a k+ −是以k的等比数列，可求出n a ；�取倒数法：这种方法适用于()112,n n n ka a n n N ma p∗−−=≥∈+（k 、m 、p 为常数，0m ≠），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b −=+的式子； �1nn n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n N ∗∈）型的数列求通项n a ，方法是在等式的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用�中的方法求解即可. 21. 已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b−=>>的焦距为10，且经过点M ．A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，P 为直线2x =上的动点，连接P A ，PB 交双曲线E 于点C ，D （不同于A ，B ）． （1）求双曲线E 的标准方程．（2）直线CD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】（1）221169x y −= （2）直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)． 【解析】【分析】（1）方法一：将M 代入方程，结合222+=a b c 求得,a b 得双曲线方程；方法二：根据双曲线定义求得a 得双曲线方程.（2）方法一：设CD 的方程为x my t =+，与双曲线联立，由A 点与C 点写出AC 方程，求出p y ，由B 点与D 点写出BD 方程，求出p y ，利用两个p y 相等建立关系式，代入韦达定理可求得t 为定值.方法二：设CD 的方程为,(2,)x my t P n =+，与双曲线联立，由P 点与A 点写出AC 方程，由P 点与B 点写出BD 方程，将()()1122,,,C x y D x y 代入以上两方程，两式相比消去n 建立关系式，代入韦达定理可求得t 为定值. 【小问1详解】法一．由222225,64271,a b ab += −=解得2216,9a b ==，�双曲线E 的标准方程为221169x y −=． 法二．左右焦点为()()125,0,5,0F F −，125,28c a MF MF ∴==−=，22294,a b c a ∴===−，�双曲线E 的标准方程为221169x y −=．【小问2详解】直线CD 不可能水平，故设CD 的方程为()()1122,,,,x my t C x y D x y =+， 联立221169x my t x y =+−= 消去x 得()()2222916189144=0,9160m y mty t m −++−−≠， 12218916mt y y m −∴+=−，21229144916t y y m −=−，12y y −±，AC 的方程为11(4)4y yx x ++，令2x =，得1164p y y x =+， BD 的方程为22(4)4y yx x −−，令2x =，得2224p y y x −=−，1221112212623124044y y x y y x y y x x −∴=⇔−++=+− ()()21112231240my t y y my t y y ⇔+−+++=()()1212431240my y t y t y ⇔+−++= ()()()()12121242480my y t y y t y y ⇔+−++−−=()22249144(24)180916916m t t mt m m −−⇔−±=−−3(8)(0m t t ⇔−±−=(8)30t m ⇔−= ，解得8t =3m =±，即8t =或4t =（舍去）或4t =−（舍去）， �CD 的方程为8x my =+，�直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)． 方法二．直线CD 不可能水平，设CD 的方程为()()1122,,,,,(2,)x my t C x y D x y P n =+， 联立22,1,169x my t x y =+ −= ，消去x 得()2229161891440m y mty t −++−=， 2121222189144,916916mt t y y y y m m −−∴+==−−， AC 的方程为(4)6nyx =+，BD 的方程为(4)2ny x −−， ,C D 分别在AC 和BD 上，()()11224,462n ny x y x ∴=+=−−， 两式相除消去n 得()211211223462444x y y y x x x y −−−=⇔+=+−， 又22111169x y −=，()()211194416x x y ∴+−=．将()2112344x y x y −−+=代入上式，得()()1212274416x x y y −−−=⇔()()1212274416my t my t y y −+−+−=()()221212271627(4)27(4)0m y y t m y y t ⇔++−++−=⇔()22222914418271627(4)27(4)0916916t mtm t m t m m −−++−+−=−−．整理得212320t t +=−，解得8t =或4t =（舍去）． �CD 的方程为8x my =+，�直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)． 【点睛】圆锥曲线中直线过定点问题通法，先设出直线方程y kx m =+，通过韦达定理和已知条件若能求出m 为定值可得直线恒过定点，若得到k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可得到直线恒过定点.22. 设函数()()2cos 102x f x x x =−+≥.（1）求()f x 的最值；（2）令()sin g x x =，()g x 的图象上有一点列()*11,1,2,...,,22i ii A g i n n =∈N ，若直线1i i A A +的斜率为()1,2,...,1i k i n =−，证明：1217 (6)n k k k n −+++>−. 【答案】（1）()f x 在[)0,∞+上的最小值为()00f =，()f x 在[)0,∞+上无最大值. （2）见解析 【解析】【分析】（1）求出原函数的二阶导数后可判断二阶导数非负，故可判断导数非负，据此可求原函数的最值.（2）根据（1）可得3sin (0)6x x x x ≥−≥，结合二倍角的正弦可证：2271162i i k +>−×，结合等比数列的求和公式可证题设中的不等式. 【小问1详解】()sin f x x x ′=−+，设()sin s x x x =−+，则()cos 10s x x ′=−+≥（不恒为零），故()s x 在()0,∞+上为增函数，故()()00s x s >=，所以()0f x ¢>，故()f x 在[)0,∞+上为增函数， 故()f x 在[)0,∞+上的最小值为()00f =，()f x 在[)0,∞+上无最大值. 【小问2详解】先证明一个不等式：3sin (0)6x x x x ≥−≥，证明：设()3sin ,06x u x x x x =−+≥，则()2cos 1()02x u x x f x ′=−+=≥（不恒为零），故()u x 在[)0,∞+上为增函数， 故()()00u x u ≥=即3sin (0)6x x x x ≥−≥恒成立. 当*N i ∈时，11111111222sin sin 112222i i i i i i i ig g k ++++ − ==− − 11111111111122sin cos sin 2sin 2cos 122222i i i i i i i +++++++=−=×−由（1）可得()2cos 102x x x ≥−>，故12311cos 1022i i ++≥−>， 故111112311112sin2cos 12sin 2112222i i i i i i ++++++ ×−≥×−−1112213322111112sin121222622i i i i i i i +++++++ ×−≥−− × 2222224422117111711111622626262i i i i i +++++ =−−=−×+×>−× × , 故1214627111...16222n nk k k n −+++>−−+++41111771112411166123414n n n n −− =−−×=−−×−× −771797172184726n n n n =−−+×>−>−. 【点睛】思路点睛：导数背景下数列不等式的证明，需根据题设中函数的特征构成对应的函数不等式，从而得到相应的数列不等式，再结合不等式的性质结合数列的求和公式、求和方法等去证明目标不等式.。
湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高三上学期月考卷(一)化学试题+答案
大联考雅礼中学2025届高三月考试卷（一）化学命题人：于雯审题人：吴建新得分：______本试题卷分选择题和非选择题两部分，共8页。
时量75分钟，满分100分。
可能用到的相对原子质量：H~1 C~12 N~14 O~16 Na~23 Al~27 Si~28 P~31第Ⅰ卷（选择题 共42分）一、选择题（本题共14小题，每小题3分，共42分，每小题只有一个选项符合题意。
）1．下列有关叙述错误的是（ ）A ．放电影时，放映机到银幕间光柱的形成是因为丁达尔效应B ．工业上一般可以采用电解饱和食盐水的方法制取NaOHC ．FeO 在空气中受热，能迅速被氧化成23Fe OD ．硬铝是一种铝合金，密度小、强度高，具有较强的抗腐蚀能力，是制造飞机和宇宙飞船的理想材料 2．设A N 为阿伏加德罗常数的值，下列叙述正确的是（ ） A ．40gSiC 晶体中含有的Si C −的数目为A 2NB ．100g 质量分数为46%的25C H OH 的水溶液中含有的氧原子数目为A 4N C ．标准状况下，11.2L 3NH 与11.2LHF 均含有A 5N 个质子D ．1mol 614C H 中含有的σ键的数目为A 20N3．下列关于23Na CO 和3NaHCO 的说法中，错误的是（ ） A ．两种物质的溶液中，所含微粒的种类相同 B ．可用NaOH 溶液使3NaHCO 转化为23Na COC ．利用二者热稳定性差异，可从它们的固体混合物中除去3NaHCOD ．室温下，二者饱和溶液的pH 差约为4，主要是因为它们的溶解度差异 4．在给定条件下，下列制备过程涉及的物质转化均可实现的是（ ）A ．制备22HCl :NaCl H Cl HCl → →电解点燃溶液和B ．制备金属()22Mg :Mg OH MgCl Mg → →盐酸电解溶液C ．纯碱工业：2CO 323NaCl NaHCO Na CO →→△溶液D ．硫酸工业：22O H O2224FeS SO H SO → →高温5．下列过程中，对应的反应方程式错误的是（ ） A 草酸溶液与酸性高锰酸钾溶液反应 22424222MnO 16H 5C O 2Mn 10CO 8H O −+−+++=+↑+ B NaH 用作野外生氢剂22NaH H ONaOH H +=+↑ C 工业制备高铁酸钠()24Na FeO32423ClO 2Fe 10OH 2FeO 3Cl 5H O −+−−−++=++D绿矾()42FeSO 7H O ⋅处理酸性工业废水中的227Cr O −22332726Fe Cr O 14H 6Fe 2Cr 7H O +−+++++=++6．下列实验装置正确的是（ ）A ．制备()2Fe OHB ．制取少量2OC ．3NaHCO 受热分解D ．铝热反应7．下列实验操作和现象、结论或目的均正确的是（ ） 选项 操作和现象结论或目的A将新制的()3Al OH 沉淀分装在两支试管中，向一支试管中滴加2mol/L 盐酸，另一支试管中滴加2mol/L 氨水，沉淀均溶解 ()3Al OH 是两性氢氧化物B将镁条点燃后迅速伸入充满2CO 的集气瓶，瓶中产生浓烟并有2CO 能支持镁条燃烧黑色颗粒生成 C取2FeCl 溶液置于试管中，加入几滴酸性高锰酸钾溶液，酸性高锰酸钾溶液的紫色褪去2Fe +具有还原性D各取23Na CO 溶液与3NaHCO 溶液少许于试管中，加入澄清石灰水，仅23Na CO 溶液中出现白色沉淀鉴别23Na CO 溶液与3NaHCO 溶液8．已知电对的标准电极电势()0E越高，其电对中氧化剂的氧化性越强。
湖南省长沙市雅礼实验中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题
湖南省长沙市雅礼实验中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．A ．同弧所对的圆周角相等B ．直径是圆中最大的弦C ．90︒圆周角所对的弦是直径D ．圆上各点到圆心的距离相等6．将抛物线22y x =向左平移4个单位，再向下平移1个单位得到的抛物线解析式为A ．22(4)1y x =-+B ．2(y =D ．22(4)1y x =+-7．一个矩形的长比宽多3cm ，面积是24cm ，则这个矩形的长为（A ．2cmB ．3cmC ．4cm 8．AOB 绕点O 逆时针旋转65︒后得到COD △，若AOB ∠A ．25︒B ．30︒C ．35︒D ．65︒9．如图，在O 中弦AB 、CD 相交于P ，35C ∠=︒，75APD ∠=︒，则D ∠=（）A ．15︒B ．40︒C ．35︒D ．75︒10．如图，在O 中， AC BC=，D 、E 分别是半径OA 与OB 的中点，连接OC AC ，，BC CD CE ，，，则下列结论不一定成立的是（）A ．AC BC =B ．CD CE =C ．AOC COB ∠=∠D ．CD OA⊥16．如图，四边形ABCD 的对角线互相垂直，且最大值为．三、解答题17．计算：114132-⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭18．先化简，再求值：29m m ÷-19．为了解某校九年级男生在体能测试中引体向上项目的情况，体向上项目的测试成绩，绘制如图统计图，请根据相关信息，解答下列问题：(1)本次接受随机抽样调查的男生人数为_______，图①中m 的值为_______；(2)本次调查获取的样本数据的众数为_______，中位数为_______；(3)若规定引体向上6次及以上为该项目良好，根据样本数据，估计该校九年级生中该项目良好的人数．20．已知关于x 的一元二次方程()()2320x x p ---=．(1)求证：无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两实数根为1x ，2x ，且满足124x x =，试求出p 的值．(1)求证：2AOB BOC ∠=∠(2)若6AB =，10BC =22．2023年中国杭州获得第十九届亚运会主办权，作为唯一申办城市，杭州成为继北京和广州之后，中国第三个举办亚运会的城市，亚运之城喜迎五湖之客，很多商家都紧紧把握这一商机．某商家销售一批具有中国文化意义的吉祥玩具，为40元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的每天的销售量y （个）与销售单价(1)求y 与x 的函数关系式；(2)当玩具的销售单价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少元？23．在ABC 和ADE 中，AB AC =，AD 将ADE 绕点A 旋转（ADE 始终在AB 运动．(1)如图1，在ADE 绕点A 旋转过程中，当(2)如图2，当点D 恰好是ABC 的外心时，连接明理由．24．我们不妨约定：若将函数1C 的图象沿某一点旋转则称函数1C 与函数2C 关于这个点互为“中心对称函数”，这个点叫做函数1C 与函数2C 的“对称中心”，求函数的“中心对称函数”的方法多样，例如：求函数1:C y x =的关于()1,0的中心对称函数，可以在函数1C 上取()0,0和()1,1，两个点关于()1,0中心对称点分别是()2,0和()1,1-，这样我们就可以得到函数y x =关于()1,0中心对称函数2y x =-．(1)求函数1y x =+关于()0,0的中心对称函数；(2)已知函数1:2C y x b =+，若函数1C 关于()0,b -的中心对称函数2C 的图象与函数2y bx =-+的图象的交点是整数点（横、纵坐标都为整数的点称为整数点），求正整数b 的值；(3)已知函数21:2C y ax bx c =-+-（a ，b ，c 是常数，且0a ≠），若函数1C 关于()0,0的中心对称函数2C 满足下列两个条件：①0a b c ++=，②()()2230c b a c b a +-++<，求函数2C 截x 轴得到的线段长度的取值范围．25．抛物线21:28=--C y x x 交x 轴于A ，B 两点（A 在B 的左边），交y 轴于点C ．(1)求出A ，B ，C 三点的坐标；(2)已知点Q 是线段BC 上的动点，过点Q 作PQ AC ∥交抛物线的第四象限部分于点P ，连接PA ，PB ，如图①，记PAQ △与PBQ 的面积分别为1S ，2S ，设12S S S =+，当S 最大时，求点P 的坐标；(3)将抛物线1C 平移得到抛物线2C ，其顶点为原点，如图②，直线2y x =与抛物线交于O ，G 两点，过OG 的中点作直线MN （异于直线OG ）交抛物线2C 于M ，N 两点，直线MO 与直线GN 交于点P ．问点P 是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．。
雅礼中学高三月考试卷(一)数学及答案
雅礼中学高三月考试卷(一)数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知集合A =-2,0 ,B =x x 2-2x =0 ，则以下结论正确的是()A.A =BB.A ∩B =0C.A ∪B =AD.A ⊆B2.已知等比数列a n 满足a 1=1,a 3⋅a 5=4a 4-1 ，则a 7的值为()A.2B.4C.92D.63.已知复数z =a +1 -ai a ∈R ，则a =-1是z =1的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知向量a =cos θ,sin θ ，b =2,-1 ，若a ⊥b ，则cos 2θ+12sin2θ的值为()A.13B.35C.45D.235.如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AA 1，CC 1的中点，过BE 的平面α与直线A 1F 平行，则平面α截该正方体所得截面的面积为()A.5B.25C.4D.56.某工厂有A ,B 两个生产车间，所生产的同一批产品合格率分别是99%和98%，已知某批产品的60%和40%分别是A ,B 两个车间生产，质量跟踪小组从中随机抽取一件，发现不合格，则该产品是由A 车间生产的概率为()A.34B.47C.12D.377.已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，P 为椭圆上一点，且∠F 1PF 2=π3，若F 1关于∠F 1PF 2平分线的对称点在椭圆C 上，则该椭圆的离心率为()A.22B.33C.12D.138.△ABC 中，角A ,B ,C 所对的三边分别为a ,b ,c ,c =2b ，若△ABC 的面积为1，则BC 的最小值是()A.2B.3C.3D.33二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
2013湖南理科数学高考试题(含解析与答案)
2013年全国统一考试数学理工农医类(湖南卷)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013湖南，理1)复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：B 解析：z ＝i ＋i 2＝－1＋i ，对应点为(－1,1)，故在第二象限，选B ．2．(2013湖南，理2)某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )．A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法 答案：D解析：看男、女学生在学习兴趣与业余爱好是否存在明显差异，应当分层抽取，故宜采用分层抽样．3．(2013湖南，理3)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B，则角A 等于( )．A ．π12 B ．π6 C ．π4 D ．π3答案：D解析：由2a sin Bb 得2sin A sin BB ，故sin AA ＝π3或2π3.又△ABC 为锐角三角形，故A ＝π3. 4．(2013湖南，理4)若变量x ，y 满足约束条件2,1,1.y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则x ＋2y 的最大值是( )．A ．52-B ．0C ．53D ．52答案：C解析：约束条件表示的可行域为如图阴影部分．令x ＋2y ＝d ，即122dy x =-+，由线性规划知识可得最优点为12,33⎛⎫⎪⎝⎭，所以d max ＝145333+=. 5．(2013湖南，理5)函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象的交点个数为( )．A ．3B ．2C ．1D ．0 答案：B解析：设f (x )与g (x )图象的交点坐标为(x ，y )，则y ＝2ln x ，y ＝x 2－4x ＋5，联立得2ln x ＝x 2－4x ＋5，令h (x )＝x 2－4x ＋5－2ln x (x ＞0)，由h ′(x )＝2x －4－2x＝0得x 1＝1+x 2＝1舍)．当h ′(x )＜0时，即x ∈(0,1时，h (x )单调递减；当h ′(x )＞0，即x ∈(1+∞)时，h (x )单调递增． 又∵h (1)＝2＞0，h (2)＝1－2ln 2＜0，h (4)＝5－2ln 4＞0，∴h (x )与x 轴必有两个交点，故答案为B ．6．(2013湖南，理6)已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( )．A ．11]B ．12]C ．[11]D ．[12] 答案：A解析：由题意，不妨令a ＝(0,1)，b ＝(1,0)，c ＝(x ，y )，由|c －a －b |＝1得(x －1)2＋(y －1)2＝1，|c |可看做(x ，y )到原点的距离，而点(x ，y )在以(1,1)为圆心，以1为半径的圆上．如图所示，当点(x ，y )在位置P 时到原点的距离最近，在位置P ′时最远，而PO 1，P ′O 1，故选A ．7．(2013湖南，理7)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于( )．A ．1BC ．12D ．12答案：C解析：cos θ，如图所示．故正视图的面积为Sθ(0≤θ≤π4)， ∴1≤S，而1<12，故面积不可能等于12. 8．(2013湖南，理8)在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 为边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P .若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )．A ．2B ．1C ．83D ．43答案：D解析：以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴建立直角坐标系如图所示．则A (0,0)，B (4,0)，C (0,4)．设△ABC 的重心为D ，则D 点坐标为44,33⎛⎫⎪⎝⎭. 设P 点坐标为(m,0)，则P 点关于y 轴的对称点P 1为(－m,0)，因为直线BC 方程为x ＋y －4＝0，所以P 点关于BC 的对称点P 2为(4,4－m )，根据光线反射原理，P 1，P 2均在QR 所在直线上，∴12P D P D k k =，即4443344433mm -+=+-， 解得，m ＝43或m ＝0.当m ＝0时，P 点与A 点重合，故舍去． ∴m ＝43. 二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分．(一)选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分) 9．(2013湖南，理9)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：,x t y t a=⎧⎨=-⎩(t 为参数)过椭圆C ：3cos ,2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为__________．答案：3解析：由题意知在直角坐标系下，直线l 的方程为y ＝x －a ，椭圆的方程为22194x y +=，所以其右顶点为(3,0)．由题意知0＝3－a ，解得a ＝3.10．(2013湖南，理10)已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为__________．答案：12解析：由柯西不等式得(12＋12＋12)(a 2＋4b 2＋9c 2)≥(a ＋2b ＋3c )2，即a 2＋4b 2＋9c 2≥12，当a ＝2b ＝3c ＝2时等号成立，所以a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为12. 11．(2013湖南，理11)如图，在半径为7的O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，P A ＝PB ＝2，PD ＝1，则圆心O 到弦CD 的距离为__________．解析：如图所示，取CD 中点E ，连结OE ，OC ．由圆内相交弦定理知PD ·PC ＝P A ·PB ，所以PC ＝4，CD ＝5，则CE ＝5，OC .所以O 到CD 距离为OE 2=.(二)必做题(12～16题) 12．(2013湖南，理12)若0T⎰x 2d x ＝9，则常数T 的值为__________．答案：3 解析：∵313x '⎛⎫⎪⎝⎭＝x 2，∴T ⎰x 2d x ＝13x 30|T ＝13T 3－0＝9，∴T ＝3. 13．(2013湖南，理13)执行如图所示的程序框图，如果输入a ＝1，b ＝2，则输出的a的值为__________．答案：9解析：输入a ＝1，b ＝2，不满足a ＞8，故a ＝3； a ＝3不满足a ＞8，故a ＝5； a ＝5不满足a ＞8，故a ＝7；a ＝7不满足a ＞8，故a ＝9，满足a ＞8，终止循环．输出a ＝9.14．(2013湖南，理14)设F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P是C 上一点．若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为__________．解析：不妨设|PF 1|＞|PF 2|，由1212||||6,||||2PF PF a PF PF a+=⎧⎨-=⎩可得12||4,||2.PF a PF a =⎧⎨=⎩∵2a ＜2c ，∴∠PF 1F 2＝30°，∴cos 30°＝222242224c a a a()+()-()⨯⨯，整理得，c 2＋3a 2－＝0，即e 2－＋3＝0，∴e =.15．(2013湖南，理15)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n ∈N *，则(1)a 3＝__________；(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝__________. 答案：(1)116-(2)10011132⎛⎫- ⎪⎝⎭16．(2013湖南，理16)设函数f (x )＝a x ＋b x －c x ，其中c ＞a ＞0，c ＞b ＞0.(1)记集合M ＝{(a ，b ，c )|a ，b ，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b }，则(a ，b ，c )∈M 所对应的f (x )的零点的取值集合为__________；(2)若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是__________．(写出所有正确结论的序号)①∀x ∈(－∞，1)，f (x )＞0；②∃x ∈R ，使a x ，b x ，c x 不能构成一个三角形的三条边长； ③若△ABC 为钝角三角形，则∃x ∈(1,2)，使f (x )＝0. 答案：(1){x |0＜x ≤1} (2)①②③三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(2013湖南，理17)(本小题满分12分)已知函数ππ()sin cos 63f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，g (x )＝22sin2x.(1)若α是第一象限角，且f (α)g (α)的值； (2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合． 解：ππ()sin cos 63f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x －12cos x ＋12cos x xx ，g (x )＝22sin 2x ＝1－cos x .(1)由f (α)得sin α＝35.又α是第一象限角，所以cos α＞0.从而g (α)＝1－cos α＝1 ＝41155-=.(2)f (x )≥g (x )x ≥1－cos x x ＋cos x ≥1.于是π1sin 62x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭. 从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为2π|2π2π,3x k x k k ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z .18．(2013湖南，理18)(本小题满分12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y (单位：kg)与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：米．(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率； (2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．解：(1)所种作物总株数N ＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有11312C C ＝36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8种．故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为82369=. (2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y 的分布列．因为P (Y ＝51)＝P (X ＝1)，P (Y ＝48)＝P (X ＝2)，P (Y ＝45)＝P (X ＝3)，P (Y ＝42)＝P (X ＝4)， 所以只需求出P (X ＝k )(k ＝1,2,3,4)即可．记n k 为其“相近”作物恰有k 株的作物株数(k ＝1,2,3,4)，则 n 1＝2，n 2＝4，n 3＝6，n 4＝3. 由P (X ＝k )＝kn N得 P (X ＝1)＝215，P (X ＝2)＝415，P (X ＝3)＝62155=，P (X ＝4)＝31155=. 故所求的分布列为所求的数学期望为 E (Y )＝51×215＋48×415＋45×25＋42×15＝346490425+++＝46. 19．(2013湖南，理19)(本小题满分12分)如图，在直棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AC ⊥BD ，BC ＝1，AD ＝AA 1＝3.(1)证明：AC⊥B1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．解法1：(1)如图，因为BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥BB1.又AC⊥BD，所以AC⊥平面BB1D．而B1D⊂平面BB1D，所以AC⊥B1D．(2)因为B1C1∥AD，所以直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角(记为θ)．如图，连结A1D，因为棱柱ABCD－A1B1C1D1是直棱柱，且∠B1A1D1＝∠BAD＝90°，所以A1B1⊥平面ADD1A1.从而A1B1⊥AD1.又AD＝AA1＝3，所以四边形ADD1A1是正方形，于是A1D⊥AD1.故AD1⊥平面A1B1D，于是AD1⊥B1D．由(1)知，AC⊥B1D，所以B1D⊥平面ACD1.故∠ADB1＝90°－θ.在直角梯形ABCD中，因为AC⊥BD，所以∠BAC＝∠ADB．从而Rt△ABC∽Rt△DAB，故AB BCDA AB=.即AB=.连结AB1，易知△AB1D是直角三角形，且B1D2＝BB12＋BD2＝BB12＋AB2＋AD2＝21，即B1D在Rt△AB1D中，cos∠ADB1＝17AD B D ==，即cos(90°－θ).从而sin θ＝7.即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为7.解法2：(1)易知，AB，AD，AA1两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设AB＝t，则相关各点的坐标为：A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)．从而1B D ＝(－t,3，－3)，AC ＝(t,1,0)，BD ＝(－t,3,0)．因为AC ⊥BD ，所以AC ·BD ＝－t 2＋3＋0＝0.解得t =或t =(舍去)． 于是1B D ＝(3-，3，－3)，AC ＝(3，1,0)．因为AC ·1B D ＝－3＋3＋0＝0，所以AC ⊥1B D ，即AC ⊥B 1D ． (2)由(1)知，1AD ＝(0,3,3)，AC ＝，1,0)，11B C ＝(0,1,0)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面ACD 1的一个法向量，则10,0,AC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,330.y y z+=+=⎪⎩ 令x ＝1，则n ＝(1，)．设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ，则 sin θ＝|cos 〈n ，11B C 〉|＝1111B C B C ⋅⋅n n7=. 即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为7. 20．(2013湖南，理20)(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy 中，将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径称为M 到N 的一条“L 路径”．如图所示的路径MM 1M 2M 3N 与路径MN 1N 都是M 到N 的“L 路径”．某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy 内三点A (3,20)，B (－10,0)，C (14,0)处．现计划在x 轴上方区域(包含x 轴)内的某一点P 处修建一个文化中心．(1)写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明)：(2)若以原点O 为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L 路径”不能进入保护区，请确定点P 的位置，使其到三个居民区的“L 路径”长度之和最小．解：设点P 的坐标为(x ，y )．(1)点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值为 |x －3|＋|y －20|，x ∈R ，y ∈[0，＋∞)．(2)由题意知，点P 到三个居民区的“L 路径”长度之和的最小值为点P 分别到三个居民区的“L 路径”长度最小值之和(记为d )的最小值．①当y ≥1时，d ＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|＋2|y |＋|y －20|， 因为d 1(x )＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|≥|x ＋10|＋|x －14|，(*) 当且仅当x ＝3时，不等式(*)中的等号成立， 又因为|x ＋10|＋|x －14|≥24，(**)当且仅当x ∈[－10,14]时，不等式(**)中的等号成立． 所以d 1(x )≥24，当且仅当x ＝3时，等号成立． d 2(y )＝2y ＋|y －20|≥21，当且仅当y ＝1时，等号成立．故点P 的坐标为(3,1)时，P 到三个居民区的“L 路径”长度之和最小，且最小值为45. ②当0≤y ≤1时，由于“L 路径”不能进入保护区， 所以d ＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|＋1＋|1－y |＋|y |＋|y －20|， 此时，d 1(x )＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|， d 2(y )＝1＋|1－y |＋|y |＋|y －20|＝22－y ≥21.由①知，d 1(x )≥24，故d 1(x )＋d 2(y )≥45，当且仅当x ＝3，y ＝1时等号成立．综上所述，在点P (3,1)处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L 路径”长度之和最小．21．(2013湖南，理21)(本小题满分13分)过抛物线E ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点F 作斜率分别为k 1，k 2的两条不同直线l 1，l 2，且k 1＋k 2＝2，l 1与E 相交于点A ，B ，l 2与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N (M ，N 为圆心)的公共弦所在直线记为l .(1)若k 1＞0，k 2＞0，证明：FM ·FN ＜2p 2； (2)若点M 到直线l，求抛物线E 的方程． 解：(1)由题意，抛物线E 的焦点为F 0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 1的方程为y ＝k 1x ＋2p ，由12,22p y k x x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩得x 2－2pk 1x －p 2＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则x 1，x 2是上述方程的两个实数根． 从而x 1＋x 2＝2pk 1，y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2)＋p ＝2pk 12＋p .所以点M 的坐标为211,2p pk pk ⎛⎫+⎪⎝⎭，FM ＝(pk 1，pk 12)． 同理可得点N 的坐标为222,2p pk pk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，FN ＝(pk 2，pk 22)．于是FM ·FN ＝p 2(k 1k 2＋k 12k 22)． 由题设，k 1＋k 2＝2，k 1＞0，k 2＞0，k 1≠k 2，所以0＜k 1k 2＜2122k k +⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1. 故FM ·FN ＜p 2(1＋12)＝2p 2. (2)由抛物线的定义得|F A |＝y 1＋2p ，|FB |＝y 2＋2p ， 所以|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝2pk 12＋2p .从而圆M 的半径r 1＝pk 12＋p ，故圆M 的方程为 (x －pk 1)2＋2212p y pk ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝(pk 12＋p )2. 化简得x 2＋y 2－2pk 1x －p (2k 12＋1)y －34p 2＝0. 同理可得圆N 的方程为x 2＋y 2－2pk 2x －p (2k 22＋1)y －34p 2＝0. 于是圆M ，圆N 的公共弦所在直线l 的方程为(k 2－k 1)x ＋(k 22－k 12)y ＝0.又k 2－k 1≠0，k 1＋k 2＝2，则l 的方程为x ＋2y ＝0.因为p ＞0，所以点M 到直线l 的距离2d =22117248p k ⎡⎤⎛⎫++⎢⎥ ⎪⎝⎭故当k 1＝14-时，d.5=p ＝8. 故所求的抛物线E 的方程为x 2＝16y . 22．(2013湖南，理22)(本小题满分13分)已知a ＞0，函数f (x )＝2x a x a -+. (1)记f (x )在区间[0,4]上的最大值为g (a )，求g (a )的表达式；(2)是否存在a ，使函数y ＝f (x )在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)当0≤x ≤a 时，f (x )＝2a x x a -+； 当x ＞a 时，f (x )＝2x a x a-+.因此，当x ∈(0，a )时，f ′(x )＝232a x a -(+)＜0，f (x )在(0，a )上单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＝232a x a (+)＞0，f (x )在(a ，＋∞)上单调递增． ①若a ≥4，则f (x )在(0,4)上单调递减，g (a )＝f (0)＝12. ②若0＜a ＜4，则f (x )在(0，a )上单调递减，在(a,4)上单调递增．所以g (a )＝max{f (0)，f (4)}．而f (0)－f (4)＝1412422a a a a---=++， 故当0＜a ≤1时，g (a )＝f (4)＝442a a-+； 当1＜a ＜4时，g (a )＝f (0)＝12. 综上所述，g (a )＝4,01,421, 1.2a a a a -⎧<≤⎪⎪+⎨⎪>⎪⎩ (2)由(1)知，当a ≥4时，f (x )在(0,4)上单调递减，故不满足要求．当0＜a ＜4时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a,4)上单调递增．若存在x 1，x 2∈(0,4)(x 1＜x 2)，使曲线y ＝f (x )在(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))两点处的切线互相垂直，则x 1∈(0，a )，x 2∈(a,4)，且f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1， 即221233122a a x a x a -⋅=-(+)(+). 亦即x 1＋2a ＝232a x a +.(*) 由x 1∈(0，a )，x 2∈(a,4)得x 1＋2a ∈(2a,3a )，232a x a +∈3,142a a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭. 故(*)成立等价于集合A ＝{x |2a ＜x ＜3a }与集合B ＝3142a xx a ⎧⎫<<⎨⎪+⎩⎭的交集非空． 因为342a a +＜3a ，所以当且仅当0＜2a ＜1，即0＜a ＜12时，A ∩B ≠∅. 综上所述，存在a 使函数f (x )在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.。
湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高三上学期第一次月考数学试卷含答案
注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、考号填写在试卷和答题卡上，并将考号条形码粘贴在答 题卡上的指定位置。
2．请在答题卡上各题号对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答 题区域均无效。
3．选择题用 2B 铅笔把所选答案的标号涂黑，非选择题用黑色签字笔作答。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合=+<∈=P x x x N Q |log (1)1,,1,3,56}{}{，M ＝P ∪Q ，则集合M 中的元素共有（ ） A ．4个B ．6个C ．8个D ．无数个2．设函数f x mx mx =−−2()1，命题“x ∃∈1,3][，f x m ≤−+()2是假命题”，则实数m 的取值范围是（ ）A ．,37−∞⎛⎝⎤⎦⎥ B ．−∞,3]( C ．37,+∞⎛⎝ ⎫⎭⎪ D ．3,+∞)(3．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章有弧田面积计算问题， 计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是，弧田面积的计算公式为：弧田面积=21（弦×矢+矢×矢）.弧田是由圆弧（简称为弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称为弧田弦）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田弦的长，“矢”等于弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差.现有一弧田，其弦长AB 等于6m ，其弧所在圆为圆O ，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为2m 72，则∠=AOB cos （ ）A ．251 B ．−257C ．51D ．257 4．已知⎝⎭ ⎪+=⎛⎫απ32sin 1，则⎝⎭ ⎪+⎛⎫απ6sin 2的值为（ ）A ．21B ．−21CD5．如图，在棱长为2的正方体−ABCD A B C D 1111中，E ，F 分别是棱AA 1，CC 1的中点，过BE 的平面α与直线A F 1平行，则平面α截该正方体所得截面的面积为（ ） AB．C ．4D ．56．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x 的图象在点A (1，f (1))处的切线方程为y ＝4x －3，则函数y ＝f (x)湖南省雅礼中学高三年级第一次月考 数学试卷的极大值为（ ） A ．1B ．527−C ．−2527D ．－17. 20222022202232022322022212022020202222C C C C C +−+−的值为A ．0B ．1C ．－1D ．202228．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R ，均有(2)()f x f x +=且(1)0f =，当[0,1)x ∈时，()21x f x =−，则方程()1||0f x g x −=的实根个数为（ ） A ．6B ．8C ．10D ．12二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知由样本数据点集合{}(,)123,i i x y i n =，，，，求得的回归直线方程为 1.50.5y x =+，且3x =，现发现两个数据点12,2(2)..和4.8,(7)8.误差较大，去除后重新求得的回归直线l 的斜率为1.2，则（ ）A ．变量x 与y 具有正相关关系B ．去除后y 的估计值增加速度变快C ．去除后与去除前均值x ，y 不变D ．去除后的回归方程为 1.2 1.4y x =+10．如图所示，是一个3×3九宫格，现从这9个数字中随机挑出3个不同的数字，记事件A 1：恰好挑出的是1、2、3；记事件A 2：恰好挑出的是1、4、7；记事件A 3：挑出的数字里含有数字1.下列说法正确的是（ ）12 B ．事件A 1，A 2是独立事件 C ．P (A 1|A 3)＝P (A 2|A 3)D ．P (A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)11．在正四面体ABCD 中，若AB = ） A ．该四面体外接球的表面积为3πB ．直线与平面BCDC ．如果点M 在CD 上，则AM BM +D ．过线段一个三等分点且与 12．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()2f x x =（R x ∈），()1g x x=（0x <），()2eln h x x =（e 为自然对数的底数），则（ ）A ．()()()m x f x g x =−在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增B ．()f x 和()g x 间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[]4,1−C ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为1−三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知随机变量X 服从正态分布()28,X N σ~，(10)P x m ≥=，(68)P x n ≤≤=，则182m n+的最小值为____________．14．某中学元旦晚会由6个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在节目乙的前面,节目丙不能排在最后一位,则该晚会节目演出顺序的编排方案共有_________． 15．=−−20cos 6420cos 120sin 3222_________． 16．已知函数()eln 2x f x x =，()22x g x x m=−，若函数()()()h x g f x m =+有3个不同的零点x 1，x 2，x 3(x 1＜x 2＜x 3)，则()()()1232f x f x f x ++的取值范围是_________．四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．已知.2,4,53)4sin(,4,0,553cos sin ⎪⎭⎫⎝⎛∈=−⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=+ππβπβπααα （1）求α2sin 和α2tan 的值； （2）求()βα2cos +的值.18．已知2mx⎛⎝的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为.（1）求m 的值；（2）求展开式中所有项的系数和与二项式系数和； （3）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率.19．已知函数2()(,)f x x bx c b c R =++∈，且()0f x ≤的解集为[1,2]−. （1）求函数()f x 的解析式；（2）解关于x 的不等式mf(x)>2(x −m −1)；（3）设g(x)=2f(x)+3x−1，若对于任意的x 1,x 2∈[−2,1]都有()()12g x g x M −≤，求M 的最小值.20．某学校共有2000名学生，其中女生1200人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样随机抽取了200名学生进行调查，月消费金额分布在550～1050元之间．根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示，将月消费金额不低于850元的学生称为“高消费群”．(1)求a 的值，并估计该校学生月消费金额的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）(2)若样本中属于“高消费群”的男生有10人，完成下列2×2列联表，并判断是否有99.9%以上的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关．（()()()()()2n ad bc K a b c d a c b d −=++++，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ）21．在多面体ABCDE 中，平面ACDE ⊥平面ABC ，四边形ACDE 为直角梯形，CD ∥AE ，AC ⊥AE ，AB ⊥BC ，CD =1，AE =AC =2，F 为DE 的中点，且点E 满足4EB EG =．（1）证明：GF ∥平面ABC ；（2）当多面体ABCDE 的体积最大时，求二面角A -BE -D 的余弦值．22．已知函数()e cos x f x x x =+．(1)判断函数()f x 在[0,)+∞上的单调性，并说明理由；(2)对任意的0x ≥，e sin cos 2x x x x ax ++≥+，求实数a 的取值范围．湖南省雅礼中学高三年级第一次月考数学试卷参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．B 2．B 3．D 4．B 5．B 6．A 7．B 8．D二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．ACD 10．AC 11．ACD 12．AD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．25 14．300种 15．-32 16．()11002⎛⎫−⋃ ⎪⎝⎭，，四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．18．（1）展开式的通项为()152222122rrm m rrr r r mm T C x x C x −−−+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭， ∴展开式中第4项的系数为332m C ⋅，倒数第4项的系数为332m m m C −−⋅，33332122m m m m C C −−⋅∴=⋅，即611,722m m −=∴=. （2）令1x =可得展开式中所有项的系数和为732187=，展开式中所有项的二项式系数和为72128=.（3）展开式共有8项，由（1）可得当522rm −为整数，即0,2,4,6r =时为有理项，共4项， ∴由插空法可得有理项不相邻的概率为484485 114A A A =. 19．（1）因为()0f x ≤的解集为[1,2]−，所以20x bx c ++=的根为1−，2， 所以1b −=，2c =−，即1b =−，2c =−；所以2()2f x x x =−−；（2）mf(x)>2(x −m −1)，化简有()222(1)m x x x m −−>−−，整理得(2)(1)0mx x −−>，所以当0m =时，不等式的解集为(,1)−∞，当02m <<时，不等式的解集为2(,1),⎛⎫−∞+∞ ⎪⎝⎭m ，当2m =时，不等式的解集为(,1)(1,)−∞+∞， 当2m >时，不等式的解集为()2(,)1,−∞+∞m，（3）因为[2,1]x ∈−时2()3123f x x x x +−=+−，根据二次函数的图像性质，有2()3123[4,0]f x x x x +−=+−∈−， 则有2()3123()22f x x xx g x +−+−==，所以，1(),116⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦g x ，因为对于任意的x 1,x 2∈[−2,1]都有()()12g x g x M −≤， 即求()()12max g x g x M −≤，转化为()()−≤max min g x g x M ， 而()(1)1==max g x g ， 1()(1)16min g x g =−=， 所以，此时可得1516M ≥， 所以M 的最小值为1516. 20．（1）由频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1得到方程，解得a ，再根据频率分布直方图中平均数计算公式计算可得；（2）按照分层抽样求出样本中男生、女生的人数，再由频率分布直方图求出“高消费群”的人数，即可完善列联表，计算出卡方，即可判断； （1）解：由频率分布直方图可得()1000.00150.00350.00150.0011a ⨯++++=，解得0.0025a =， 所以样本的平均数为()6000.00157000.00358000.00259000.001510000.001100770⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=（元）（2）解：依题意知，样本中男生20001200200802000−⨯=人，女生12002001202000⨯=人，属于“高消费群”的有()0.00150.00110020050+⨯⨯=人，列出下列22⨯列联表：所以22001080407011.1110.828 5015080120K⨯−⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.9%以上的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关．21．（1）取AB，EB中点M，N，连接CM，MN，ND．在梯形ACDE中，DC∥EA且DC=12EA，且M，N分别为BA，BE中点，∴MN//EA，MN=12EA，∴MN//CD，MN=CD，即四边形CDNM是平行四边形，∴CM//DN，又14EG EB=，N为EB中点，∴G为EN中点，又F为ED中点，∴GF//DN，即GF//CM，又CM⊂平面ABC，GF⊄平面ABC，∴GF∥平面ABC．（2）在平面ABC内，过B作BH⊥AC交AC于H．∴平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE平面ABC=AC，BH⊂平面ABC，BH⊥AC，∴BH⊥平面ACDE，则BH为四棱锥B-ACDE的高，又底面ACDE 面积确定，要使多面体ABCDE 体积最大，即BH 最大，此时AB =BC过点H 作HP ∥AE ，易知HB ，HC ，HP 两两垂直，以{HB ,HC ,HP }为正交基底建立如图所示的平面直角坐标系H -xyz ，∴A (0,−1,0)，B (1,0,0)，E (0,−1,2)，D (0,1,1)，则AB =(1,1,0)，BE =(−1,−1,2)，DE =(0,−2,1)．设n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,x 1)为平面ABE 的一个法向量，则1100n AB n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11111020x y x y z +=⎧⎨−−+=⎩，取n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)，设n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2)为平面DBE 的一个法向量，则220n DE n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222222020y z x y z −+=⎧⎨−−+=⎩，取n 2⃗⃗⃗⃗ =(3,1,2)， ∴1212127cos ,7n n n n n n ⋅<>==⋅，由图知：二面角A −BE −D 为钝二面角，∴二面角A −BE −D 的余弦值为. 22．(1)解：函数()f x 在[0,)+∞上是单调增函数，理由如下： 因为()e cos x f x x x =+，所以()e cos (sin )x f x x x x =+−'+． 记()e 1x g x x =−−，则()e 1x g x '=−，令()0g x '=，得0x =． 当0x >时，()0,()'>g x g x 为单调增函数； 当0x <时，()0,()g x g x '<为单调减涵数，所以min ()(0)0g x g ==，所以()e 10x g x x =−−≥，即e 1x x ≥+． 又sin 1,cos 1x x ≤≥−，所以()1cos (sin )(1sin )(1cos )0f x x x x x x x x ≥+++−=−++≥'， 所以函数()f x 在[0,)+∞上是单调增函数． (2)解：记()e sin cos 2(0)x p x x x ax x =++−−≥，是()e cos x p x x x a =+−'． 由（1）知，()e cos x p x x x a =+−'为[0,)+∞上的单调增函数．1°当10a −≥时，(0)10p a =−≥'，所以()(0)0p x p ''≥≥，所以()p x 为[0,)+∞上的单调增函数，所以()(0)0p x p ≥=，即e sin cos 2x x x x ax ++≥+．所以1a ≤符合题意． 2°当10a −<时，(0)10p a =−<'，又()e cos e 2a a p a a a a a =−≥'+−． 记()e 2(1)x q x x x =−>，则()e 2e 20x q x =−>−>'，所以()q x 为(1,)+∞上的单调增函数，所以()(1)e 20q x q >=−>， 所以e 20(1)x x x −>>，所以()e 20a p a a ≥−>'．又()p x 在[0,)+∞上的图象不间断，且()p x 为[0,)+∞上的单调增函数， 根据零点存在性定理知，存在唯一的零点0(0,)x ∈+∞，使得()00p x =． 所以当00x x ≤≤时，()0p x '≤，()p x 单调递减，所以()0(0)0p x p <=， 这与任意的0x ≥，e sin cos 2x x x x ax ++≥+矛盾， 所以1a >不符合题意 综上可得1a ≤．。
2020-2021学年湖南省雅礼中学高三(下)第二次月考数学试卷(理科) Word版含解析
2022-2021学年湖南省雅礼中学高三（下）其次次月考数学试卷（理科）一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在答题卡中对应题号的框框内.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，则A∩B等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}2．若A、B均是非空集合，则A∩B≠∅是A⊆B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件3．（中诱导公式、基本公式）已知，且，则tan（2π﹣α）的值为（）A．B．C．D．4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）A．2B．C．2D．45．已知向量满足：，与的夹角为，则=（）A．2 B．4 C．2D．86．设x，y 满足约束条件，则目标函数z=的最小值为（）A．2 B．1 C．D．﹣27．设f（x）定义如下面数表，{x n}满足x0=5，且对任意自然数n均有x n+1=f（x n），则x2022的值为（）x 1 234 5f（x）4 135 2A．4 B．1 C．3 D．28．如图，长沙河西先导区某广场要划定一矩形区域ABCD，并在该区域内开拓出三块外形大小相同的矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间设有1米宽的走道．已知三块绿化区的总面积为800平方米，则该矩形区域ABCD占地面积的最小值为（）平方米．A．900 B．920 C．948 D．9689．已知函数，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围为（）A．B．C．D．10．设定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），f′（x）是f（x）的导函数，当x∈[0，1]时，0≤f（x）≤1；当x∈（0，2）且x≠1时，x（x﹣1）f′（x）＜0．则方程f（x）=lg|x|根的个数为（）A．12 B．1 6 C．18 D．20二．填空题：本大题共1小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第11、12、13题中任选两题作答，假如全做，则按前两题给分）【几何证明选讲】11．如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，已知⊙O的半径为3，PA=2，则OE=．【极坐标系与参数方程选讲】12．已知曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为，它们的交点在平面直角坐标系中的坐标为．【不等式选讲】1011•天津）已知集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，B=，则集合A∩B=．（二）必做题（14～16题）14．设（其中e为自然对数的底数），则的值为．15．动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是．16．已知数列{a n}的前n项和S n=（﹣1）n •n，若对任意正整数n，（a n+1﹣p）（a n﹣p ）＜0恒成立，则实数P 的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．设函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．18．设数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意正整数n，都有S n+2=2a n成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜3．19．如图所示，在平面四边形ABCD中，，与的夹角为，与的夹角为．（1）求△CDE的面积S；（2）求．20．已知函数f（x ）=lnx﹣ax+﹣1（a∈R）（1）当a=﹣1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）当a≤时，争辩f（x）的单调性．21．若数列{a n}（n∈N*）满足：①a n≥0；②a n﹣2a n+1+a n+2≥0；③a1+a2+…+a n≤1，则称数列{a n}为“和谐”数列．（1）已知数列{a n}，（n∈N*），推断{a n}是否为“和谐”数列，说明理由；（2）若数列{a n}为“和谐”数列，证明：．（n∈N*）22．已知函数f（x）=（1）当x＞0时，证明：f（x）＞；（2）当x＞﹣1且x≠0时，不等式f（x）＜恒成立，求实数k的值．2022-2021学年湖南省雅礼中学高三（下）其次次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在答题卡中对应题号的框框内.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，则A∩B等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：依据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：∵A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，∴A∩B={﹣1，0，1}，故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．若A、B均是非空集合，则A∩B≠∅是A⊆B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：规律型．分析：推断出“A∩B≠∅”成立推不出“A⊆B”反之，若“A⊆B”成立，则能推出A∩B≠∅”确定成立，利用充要条件的有关定义得到结论．解答：解：若“A∩B≠∅”成立推不出“A⊆B”反之，若“A⊆B”成立，则有A∩B=A≠∅，所以A∩B≠∅”确定成立，所以A∩B≠∅是A⊆B的必要不充分条件，故选B．点评：本题考查推断一个条件是另一个的什么条件，应当先化简各个条件，若条件是数集的形式，常转化为推断集合间的包含关系．3．（中诱导公式、基本公式）已知，且，则tan（2π﹣α）的值为（）A．B．C．D．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：先依据诱导公式化简已知条件，得到sinα的值，然后由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，把所求的式子利用诱导公式化简后，再依据同角三角函数间的基本关系把切化弦后，将sinα和cosα的值代入即可求出值．解答：解：由，又，得，则．故选B点评：此题考查同学机敏运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．同学在求cosα的值时应留意α的范围．4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）A．2B．C．2D．4考点：简洁空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中做出底边上的高的长度，得到结果．解答：解：由题意知三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中，底边上的高是，∴侧视图的面积是2故选：A．点评：本题考查简洁的空间图形三视图，考查三视图的面积的计算，考查通过原图观看三视图的大小，比较基础．5．已知向量满足：，与的夹角为，则=（）A．2 B．4 C．2D．8考点：平面对量数量积的运算．。