【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学苏教版必修二课件：第二章 平面解析几何初步-2.3-2.3.1
高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.3.1 空间直角坐标系课件5 苏教版必修2
1.x轴与y轴、x轴与z轴均成1350, z 而z轴垂直于y轴．
2.y轴和z轴的单位长度相同， 1350o
x轴上的单位长度为y轴
1350
y
(或z轴)的单位长度的一半． x
K12课件
7
空间直角坐标系中任意 一点的位置
设点M是空间的一个定点，过点M分别作垂直 于x 轴、y 轴和z 轴的平面，依次交x 轴、y 轴 和z 轴于点P、Q和R．
z
R M
O
Q
y
P
M’
x
K12课件
9
三、空间点的坐标：
设点P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别
是x,y和z,这样空间一点M的坐标可以用有序实
数组(x，y，z)来表示, (x，y，z)叫做点M 在此
空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)．
z
其中x叫做点M的横坐标，
R
M
y叫做点M的纵坐标，
O
P
以单位正方体 OABC DABC 的
D'
顶点O为原点,分别以射线OA， A'
C'
B'
OC，OD 的方向为正方向,以 线段OA,OC, OD 的长为单位
O
C
y
A
B
长度,建立三条数轴:x轴,y轴, x
z轴,这时我们建立了一个空间直角坐标系 Oxyz 。
O叫做坐标原点，
x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，
O 0,0,0
4y
C (0, 4, 0)
3
x A(3, 0, 0)
B (3, 4, 0)
K12课件
12
1.在空间直角坐标系中描出下列各点， 并说明这些点的位置
2016-2017年最新审定苏教版高中数学必修二第二章平面解析几何初步复习提升(优秀课件)
求直线方程时一般有以下几类：①知过定点，设点斜式 (注意斜率不存在的情况)；②知斜率，设斜截式；③与截距有 关设截距式；④知与已知直线平行或垂直，设一般式(或斜截 式、点斜式)．
(2013· 临沂检测)已知圆 C 和 y 轴相切，圆心在 直线 x－3y＝0 上，且被直线 y＝x 截得的弦长为 2 7.求圆 C 的方程．
对称问题
在解析几何中，经常遇到对称问题，对称问题主要有两 大类：一类是中心对称，一类是轴对称． 1．中心对称 (1)两点关于点对称，设 P1(x1，y1)，P(a，b)，则 P1(x1， y1)关于 P(a， b)对称的点为 P2(2a－x1,2b－y1)， 即 P 为线段 P1P2 的中点，特别地，P(x，y)关于原点对称的点为 P′(－x，－ y)．
(3)与已知直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线系方程 Ax＋By ＋λ＝0(λ 为参数)； (4)与已知直线 Ax＋By＋C＝0 垂直的直线系方程 Bx－Ay ＋λ＝0(λ 为参数)； (5)过直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 的交点的直线系方程： (A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ 为参数)(但不包含直线 A2x＋B2y＋C2＝0)．
最新审定苏教版高中数学必修二优秀课件
第二章平面解析几何初步 章末归纳提升
直线系方程问题
具有某种共同属性的一类直线的集合，我们称之为直线 系，这一属性可通过直线系方程体现出来，它们的变化存在 于参数之中，常见的直线系有： (1)过已知点 P(x0，y0)的直线系方程 y－y0＝k(x－x0)(k 为 参数)； (2)斜率为 k 的平行直线系方程 y＝kx＋b(b 为参数)；
1 x＝－2， x－y－1＝0， 法三 由方程组 得 x＋y＋2＝0， y＝－3， 2 1 3 即交点坐标为(－2，－2)． ∵所求直线与直线 3x＋y－1＝0 平行， ∴设所求直线方程为 3x＋y＋C＝0. 1 3 ∵所求直线过点(－ ，－ )， 2 2 1 3 ∴3×(－ )＋(－ )＋C＝0. 2 2 ∴C＝3. 故所求直线的方程为 3x＋y＋3＝0.
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学苏教版必修二课件：第二章 平面解析几何初步-2.1-2.1.2-第1课时
探究1 对于直线y＝kx＋1，是否存在k使直线不过第三象限？若存在，k的 取值范围是多少？
【提示】 直线y＝kx＋1过定点(0,1)，直线不过第三象限，只需k<0.
探究2 已知直线l的方程是2x＋y－1＝0，求直线的斜率k在y轴上的截距 b，以及与y轴交点P的坐标． 【提示】 ∵2x＋y－1＝0可变形为y＝－2x＋1，斜率k＝－2.令x＝0，得y ＝1，即b＝1，直线l与y轴的交点为(0,1)．
【答案】 y＝－x＋5
2．过点P(1,1)平行于x轴的直线方程为________，垂直于x轴的直线方程为 ________． 【解析】 过点P(1,1)平行于x轴的直线方程为y＝1，垂直于x轴的直线方程 为x＝1.
【答案】 y＝1 x＝1
3．若直线l过点A(－1,1)，B(2,4)，则直线l的方程为________．
4－1 【解析】 k＝ ＝1，l的方程为y－1＝1· (x＋1)，即y＝x＋2. 2－－1
【答案】 y＝x＋2
教材整理2
直线的斜截式方程
阅读教材P82探究以上部分内容，完成下列问题．
y＝kx＋b 斜截式方程：__________________ ，它表示经过点P(0，b)，且斜率为k的
截距 ． 直线方程．其中b为直线与y轴交点的纵坐标，称其为直线在y轴上的______
【导学
【解析】 直线x＋y＋1＝0变成斜截式得y＝－x－1，故该直线的斜率为－ 1，在y轴上的截距为－1.若直线的倾斜角为α，则tan α＝－1，即α＝135° .
【答案】 135° ，－1
5．求经过点A(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程．
【解】 设直线方程为y－4＝k(x＋3)(k≠0)． 当x＝0，y＝4＋3k， 4 当y＝0，x＝－ k－3，
2016-2017年最新审定苏教版高中数学必修二第2课时直线与平面垂直(优秀课件)
课 标 解 读
1.能正确判断直线与平面垂直的位置关 系．(重点) 2．了解点到面的距离和平行的直线与平 面间的距离．(重点) 3．理解直线与平面垂直的判定定理和性 质定理．(重点、难点) 4．了解直线与平面垂直的概念及直线与 平面所成角的概念．(重点)
直线与平面垂直的定义
【问题导思】 在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子，随 着时间的变化，影子 BC 的位置在移动，在各个时刻旗杆 AB 所在的直线与其影子 BC 所在的直线有什么关系？
【提示】 垂直．
如果一条直线 a 与一个平面 α 内的 任意一条 直线都垂 直，则称直线 a 与平面 α 互相垂直，符号表示： a⊥α 形表示如图： .图
图 1－2－38
【思路探究】 且 CD⊥AB 便可． 要证 CD⊥平面 ABC，只要证 CD⊥BC，
【自主解答】
AB⊥平面α ⇒AB⊥CD CD⊂α ⇒CD⊥平 ∠BCD＝90° ⇒BC⊥CD AB∩BC＝B
面 ABC.
1． 使用直线与平面垂直的判定定理的关键是在平面内找 到两条相交直线都与已知直线垂直，即把线面垂直转化为线 线垂直来解决． 2．线面垂直的定义具有双重作用：判定和性质，证题时 常用它作为性质使用，即 “如果一条直线垂直于一个平面， 那么这条直线就垂直于平面内的任意一条直线”．
3．情感、态度与价值观 经历线面垂直的定义和定理的探索过程，提高严谨与求 实的学习作风，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度． ●重点难点 重点：直线与平面垂直的定义、线面垂直的判定及性质 定理． 难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定 及性质定理．
重难点突破：以日常生活中见到的线面垂直的实例为切 入点，通过“演示圆锥的形成过程”和“折纸的操作探究” 两条途径让学生经历线面垂直的判断形成过程，然后借助长 方体的棱同底面的关系，让学生由特殊到一般，由具体到抽 象，归纳出线面垂直的性质定理，从而重难点得以突破．
数学新学案同步苏教版必修二讲义：第2章 平面解析几何初步2.2.3
2.2.3圆与圆的位置关系学习目标1.理解圆与圆的位置关系的种类.2.掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法，能够利用上述方法判定两圆的位置关系.3.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性．知识点两圆位置关系的判定思考1圆与圆的位置关系有几种？如何利用几何方法判断圆与圆的位置关系？★★答案★★圆与圆的位置关系有五种，分别为：外离、外切、相交、内切、内含．几何方法判断圆与圆的位置关系设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为r1，r2(r1≠r2)，则(1)当d＞r1＋r2时，圆C1与圆C2外离；(2)当d＝r1＋r2时，圆C1与圆C2外切；(3)当|r1－r2|＜d＜r1＋r2时，圆C1与圆C2相交；(4)当d＝|r1－r2|时，圆C1与圆C2内切；(5)当d＜|r1－r2|时，圆C1与圆C2内含．思考2已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，如何通过代数方法判断两圆的位置关系？★★答案★★联立两圆的方程，消去y后得到一个关于x的一元二次方程，当判别式Δ>0时，两圆相交，当Δ＝0时，两圆外切或内切，当Δ<0时，两圆外离或内含．梳理(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．⎭⎪⎬⎪⎫圆C 1方程圆C 2方程――→消元一元二次方程 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0⇒C 1与C 2相交，Δ＝0⇒C 1与C 2外切或内切，Δ<0⇒C 1与C 2外离或内含.1．如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( × ) 2．如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( × )3．从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( × )4．过圆O ：x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点为A ，B ，则O ，P ，A ，B 四点共圆且直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ )类型一 两圆的位置关系命题角度1 两圆位置关系的判断例1 已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是________． ★★答案★★ 相交解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ay ＝0，x ＋y ＝0，得两交点分别为(0,0)，(－a ，a )． ∵圆M 截直线所得线段的长度为22， ∴a 2＋(－a )2＝22， 又a ＞0，∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心为M (0,2)，半径为r 1＝2.又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心为N (1,1)，半径为r 2＝1， ∴MN ＝(0－1)2＋(2－1)2＝ 2. ∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3,1＜MN ＜3， ∴两圆相交．反思与感悟 判断圆与圆的位置关系的一般步骤(1)将两圆的方程化为标准方程(若圆的方程已是标准形式，此步骤不需要)． (2)分别求出两圆的圆心坐标和半径长r 1，r 2. (3)求两圆的圆心距d .(4)比较d 与|r 1－r 2|，r 1＋r 2的大小关系．(5)根据大小关系确定位置关系．跟踪训练1 已知圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0和圆C 2：4x 2＋4y 2－16x ＋8y ＋19＝0，则这两个圆的公切线有________条． ★★答案★★ 2解析 由圆C 1：(x －1)2＋(y ＋2)2＝1， 圆C 2：(x －2)2＋(y ＋1)2＝14，得C 1(1，－2)，C 2(2，－1)， ∴C 1C 2＝(2－1)2＋(－1＋2)2＝ 2. 又r 1＝1，r 2＝12，则r 1－r 2＜C 1C 2＜r 1＋r 2， ∴圆C 1与圆C 2相交． 故这两个圆的公切线共2条．命题角度2 已知两圆的位置关系求参数例2 当a 为何值时，两圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2－5＝0和C 2：x 2＋y 2＋2x －2ay ＋a 2－3＝0：(1)外切；(2)相交；(3)外离． 解 将两圆方程写成标准方程，则C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝9，C 2：(x ＋1)2＋(y －a )2＝4. ∴两圆的圆心和半径分别为C 1(a ，－2)，r 1＝3， C 2(－1，a )，r 2＝2. 设两圆的圆心距为d ，则d 2＝(a ＋1)2＋(－2－a )2＝2a 2＋6a ＋5. (1)当d ＝5，即2a 2＋6a ＋5＝25时，两圆外切， 此时a ＝－5或a ＝2.(2)当1＜d ＜5，即1＜2a 2＋6a ＋5＜25时，两圆相交， 此时－5＜a ＜－2或－1＜a ＜2.(3)当d ＞5，即2a 2＋6a ＋5＞25时，两圆外离， 此时a ＞2或a ＜－5.反思与感悟 (1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤①将圆的方程化成标准形式，写出圆心和半径． ②计算两圆圆心的距离d .③通过d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．(2)应用几何法判定两圆的位置关系或求参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．跟踪训练2 若圆C 1：x 2＋y 2＝16与圆C 2：(x －a )2＋y 2＝1相切，则a 的值为________． ★★答案★★ ±3或±5解析 圆C 1与圆C 2的圆心距为d ＝a 2＋(0－0)2＝|a |.当两圆外切时，有|a |＝4＋1＝5，∴a ＝±5；当两圆内切时，有|a |＝4－1＝3，∴a ＝±3. 类型二 两圆相切的问题例3 求与圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0外切且与直线l ：x ＋3y ＝0相切于点M (3，－3)的圆的方程．解 圆C 的方程可化为(x －1)2＋y 2＝1， 圆心为C (1,0)，半径为1.设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 (r >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(a －1)2＋b 2＝r ＋1，b ＋3a －3×⎝⎛⎭⎫－33＝－1，|a ＋3b |2＝r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝0，r ＝2.或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－43，r ＝6.所以所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36. 反思与感悟 两圆相切有如下性质：(1)设两圆的圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，则两圆⎩⎪⎨⎪⎧内切⇔O 1O 2＝|r 1－r 2|，外切⇔O 1O 2＝r 1＋r 2.(2)当两圆相切时，两圆圆心的连线过切点(当两圆相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦)． 在解题过程中应用这些性质，有时能大大简化运算．跟踪训练3 求和圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4相切于点(4，－1)且半径为1的圆的方程． 解 设所求圆的圆心为P (a ，b )， ∴(a －4)2＋(b ＋1)2＝1.①(1)若两圆外切，则有(a －2)2＋(b ＋1)2＝1＋2＝3，② 由①②解得a ＝5，b ＝－1，∴所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝1.(2)若两圆内切，则有(a －2)2＋(b ＋1)2＝2－1＝1，③ 由①③解得a ＝3，b ＝－1，∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝1.综上所述，所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝1或(x －3)2＋(y ＋1)2＝1. 类型三 两圆相交的问题例4 求圆心在直线x －y －4＝0上，且过两圆x 2＋y 2－4x －6＝0和x 2＋y 2－4y －6＝0的交点的圆的方程．解 方法一 设经过两圆交点的圆系方程为 x 2＋y 2－4x －6＋λ(x 2＋y 2－4y －6)＝0(λ≠－1)， 即x 2＋y 2－41＋λx －4λ1＋λy －6＝0，所以圆心坐标为⎝⎛⎭⎫21＋λ，2λ1＋λ.又圆心在直线x －y －4＝0上，所以21＋λ－2λ1＋λ－4＝0，即λ＝－13.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－6x ＋2y －6＝0.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －6＝0，x 2＋y 2－4y －6＝0，得两圆公共弦所在直线的方程为y ＝x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x 2＋y 2－4y －6＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝－1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝3. 所以两圆x 2＋y 2－4x －6＝0和x 2＋y 2－4y －6＝0的交点坐标分别为A (－1，－1)，B (3,3)， 线段AB 的垂直平分线所在的直线方程为y －1＝－(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝－(x －1)，x －y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，即所求圆的圆心为(3，－1)， 半径为(3－3)2＋[3－(－1)]2＝4. 所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝16.反思与感悟 当所求圆经过两圆的交点时，圆的方程可设为(x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1)＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ≠－1)，然后用待定系数法求出λ即可．跟踪训练4 已知两圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0. (1)求两圆公共弦的长；(2)求以两圆公共弦为直径的圆的方程． 解 (1)由两圆方程相减，得x －2y ＋4＝0， 此即公共弦所在的直线方程．又圆C 2的圆心C 2(－1，－1)到公共弦的距离 d ＝|－1＋2＋4|5＝5，且d 2＋⎝⎛⎭⎫l 22＝r 22(l 为公共弦长)，又r 2＝10，∴l ＝2r 22－d 2＝25，即公共弦长为2 5.(2)方法一 ∵圆心C 1(1，－5)，圆心C 2(－1，－1)， ∴连心线C 1C 2的方程为2x ＋y ＋3＝0， 它与公共弦的交点(－2,1)即为所求圆的圆心． 又所求圆的半径为l2＝5，∴所求圆的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5.方法二 ∵所求圆经过两圆交点，设圆的方程为(x 2＋y 2－2x ＋10y －24)＋λ(x 2＋y 2＋2x ＋2y －8)＝0(λ≠－1)， 即(1＋λ)x 2＋(1＋λ)y 2＋(2λ－2)x ＋(2λ＋10)y －8λ－24＝0，① 其圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1－λ1＋λ，－5－λ1＋λ.∵圆心在公共弦x －2y ＋4＝0上， ∴1－λ1＋λ＋10＋2λ1＋λ＋4＝0， 解得λ＝－3.代入①并整理，得所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x －2y ＝0.1．两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是________．★★答案★★相交解析圆x2＋y2－1＝0的圆心C1(0,0)，半径r1＝1，圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0的圆心C2(2，－1)，半径r2＝3，则圆心距d＝C1C2＝(2－0)2＋(－1－0)2＝ 5.又r2－r1＝2，r1＋r2＝4，所以r2－r1<d<r1＋r2，故两圆相交．2．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的公切线有且仅有________条．★★答案★★4解析圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，公切线的条数为4.3．圆(x－3)2＋(y＋2)2＝1与圆x2＋y2－14x－2y＋14＝0的位置关系是________．考点圆与圆的位置关系题点判断两圆的位置关系★★答案★★内切解析圆x2＋y2－14x－2y＋14＝0变形为(x－7)2＋(y－1)2＝36，圆心坐标为(7,1)，半径为r1＝6；圆(x－3)2＋(y＋2)2＝1的圆心坐标为(3，－2)，半径为r2＝1，所以圆心距d＝(7－3)2＋[1－(－2)]2＝5＝6－1＝r1－r2，所以两圆内切．4．已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是___________．★★答案★★(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36解析设圆C的半径为r，圆心距为d＝(4－0)2＋(－3－0)2＝5，当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，r＝4，当圆C与圆O内切时，r－1＝5，r＝6，∴圆C的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x －4)2＋(y ＋3)3＝36.5．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝________. ★★答案★★ 1解析 将两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为y ＝1a ，圆心(0,0)到直线的距离为d ＝1a ＝22－(3)2＝1，所以a ＝1.1．判断两圆的位置关系的方法(1)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定，这种方法计算量比较大，一般不用． (2)依据圆心距与两圆半径的和或两圆半径的差的绝对值的大小关系确定．2．当两圆相交时，把两圆的方程作差消去x 2和y 2就得到两圆的公共弦所在的直线方程． 3．求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长．一、填空题1．半径为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为__________． ★★答案★★ (x ＋4)2＋(y －6)2＝36或(x －4)2＋(y －6)2＝36解析 设圆心坐标为(a ，b )，由题意知b ＝6， 由a 2＋32＝5，解得a ＝±4，故所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.2．若圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＝2和x 2＋y 2－2by ＋b 2＝1外离，则a ，b 满足的条件是________． ★★答案★★ a 2＋b 2＞3＋22解析 由题意可得两圆的圆心坐标和半径长分别为(a,0)，2和(0，b )，1.因为两圆外离，所以a 2＋b 2＞2＋1，即a 2＋b 2＞3＋2 2.3．若圆x 2＋y 2－2x ＋F ＝0和圆x 2＋y 2＋2x ＋Ey －4＝0的公共弦所在的直线方程是x －y ＋1＝0，则E ＋F ＝________.考点 求过直线与圆或圆与圆交点的圆的方程题点 两圆公共弦所在直线的方程★★答案★★ －12解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＋F ＝0， ①x 2＋y 2＋2x ＋Ey －4＝0， ② ①－②可得4x ＋Ey －F －4＝0，即x ＋E 4y －F ＋44＝0， 由两圆的公共弦所在的直线方程为x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧E 4＝－1，－F ＋44＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧E ＝－4，F ＝－8. 4．圆C 1：x 2＋y 2－2x －8＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的公共弦长为________． ★★答案★★ 27解析 由圆C 1与圆C 2的公共弦所在的直线l 的方程为x －y ＋1＝0，得点C 1(1,0)到直线l 的距离为d ＝|1－0＋1|12＋12＝2，圆C 1的半径为r 1＝3，所以圆C 1与圆C 2的公共弦长为2r 21－d 2＝232－(2)2＝27.5．圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0的公切线有________条． ★★答案★★ 3解析 C 1：(x ＋2)2＋(y －2)2＝1，C 2：(x －2)2＋(y －5)2＝16，C 1C 2＝5＝r 1＋r 2，故两圆外切，公切线共3条．6．两圆相交于点A (1,3)，B (m ，－1)，两圆的圆心均在直线l ：x －y ＋c ＝0上，则m ＋c ＝________. ★★答案★★ 3解析 ∵相交两圆的连心线垂直平分公共弦，∴⎩⎨⎧41－m ＝－1，1＋m 2－3－12＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，c ＝－2， ∴m ＋c ＝3. 7．过点A (4，－1)，且与圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0相切于点B (1,2)的圆的方程是______________．★★答案★★ (x －3)2＋(y －1)2＝5解析 圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0的圆心为(－1,3)，半径为5，所以两圆的圆心连线的方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 设所求圆的圆心坐标为(x ，y )， 则(x －4)2＋(y ＋1)2＝(x －1)2＋(y －2)2，化简得x －y －2＝0，即为圆心所在直线方程．联立两条直线方程，得圆心坐标为(3,1)，半径为 5.所以所求圆的方程是(x －3)2＋(y －1)2＝5.8．过两圆x 2＋y 2－x －y －2＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －8＝0的交点和点(3,1)的圆的方程是____________________．★★答案★★ x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝0 解析 设所求圆的方程为(x 2＋y 2－x －y －2)＋λ(x 2＋y 2＋4x －4y －8)＝0(λ≠－1)，将点(3,1)代入，得λ＝－25，故所求圆的方程为x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝0. 9．若圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )内切，则M (a ，b )到原点的距离为________．★★答案★★ 2解析 圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )，化为(x －a )2＋y 2＝9，则圆心坐标为(a,0)，半径为3.圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )，化为x 2＋(y ＋b )2＝1，则圆心坐标为(0，－b )，半径为1.∵圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )内切，∴a 2＋b 2＝3－1＝2，∴点M (a ，b )到原点的距离为2.10．集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r>0 ，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是__________．★★答案★★3或7解析∵A∩B中有且仅有一个元素，∴圆x2＋y2＝4与圆(x－3)2＋(y－4)2＝r2相切．当两圆内切时，由32＋42＝|2－r|，解得r＝7；当两圆外切时，由32＋42＝2＋r，解得r＝3.∴r＝3或7.11．若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度为________．★★答案★★4解析如图所示，在Rt△OO1A中，OA＝5，O1A＝25，∴OO1＝5，∴AC＝5×255＝2，∴AB＝4.二、解答题12．已知圆O1：x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心O2(2,1)．(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程；(2)若圆O2与圆O1交于A，B两点，且AB＝22，求圆O2的方程．解(1)设圆O2的半径为r2，因为两圆外切，所以O1O2＝r2＋2.又O1O2＝22＋[1－(－1)2]＝22，所以r2＝O1O2－2＝2(2－1)，故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12－8 2.(2)设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 22，因为圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，将两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在的直线方程为4x ＋4y ＋r 22－8＝0，作O 1H ⊥AB ，H 为垂足，则AH ＝12AB ＝2， 所以O 1H ＝r 21－AH 2＝4－2＝ 2.由圆心O 1(0，－1)到直线4x ＋4y ＋r 22－8＝0的距离为 |r 22－12|42＝2，得r 22＝4或r 22＝20， 故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.13．已知圆C 的圆心为(2,1)，若圆C 与圆x 2＋y 2－3x ＝0的公共弦所在直线过点(5，－2)，求圆C 的方程．解 设圆C 的半径长为r ，则圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 2，即x 2＋y 2－4x －2y ＋5＝r 2，将两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为x ＋2y －5＋r 2＝0.因为该直线过点(5，－2)，所以r 2＝4，则圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.三、探究与拓展14．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋1＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0，则以圆C 1与圆C 2的公共弦为直径的圆的方程为________．★★答案★★ (x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1解析 由两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为x －y ＝0. ∵圆C 1：(x ＋2)2＋y 2＝3，圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1，圆心C 1(－2,0)，C 2(－1，－1)，∴两圆连心线所在直线的方程为y －0－1－0＝x ＋2－1＋2， 即x ＋y ＋2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＋2＝0，得所求圆的圆心为(－1，－1)． 又圆心C 1(－2,0)到公共弦所在直线x －y ＝0的距离 d ＝|－2－0|2＝2，∴所求圆的半径r ＝(3)2－(2)2＝1，∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1.15．已知两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0.(1)判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在的直线方程；(3)求公共弦的长度．考点 求过直线与圆或圆与圆交点的圆的方程题点 两圆公共弦弦长问题解 (1)将两圆方程配方化为标准方程，则C 1：(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝10，∴圆C 1的圆心坐标为(1，－5)，半径为r 1＝52， 圆C 2的圆心坐标为(－1，－1)，半径为r 2＝10. 又∵C 1C 2＝25，r 1＋r 2＝52＋10， |r 1－r 2|＝|52－10|，∴|r 1－r 2|<C 1C 2<r 1＋r 2，∴两圆相交．(2)将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x －2y ＋4＝0.(3)方法一 由(2)知圆C 1的圆心(1，－5)到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|1－2×(－5)＋4|1＋(－2)2＝35，∴公共弦长为l ＝2r 21－d 2＝250－45＝2 5.方法二 设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2， ∴AB ＝(－4－0)2＋(0－2)2＝2 5.即公共弦长为2 5.。
数学苏教版必修2 第2章 平面解析几何初步 章末专题整合 课件(32张)
(2014·湖南师大附中高一检测)已知圆 C1：(x－a)2＋(y －2)2＝4(a＞0)及直线 l：x－y＋3＝0.当直线 l 被圆 C1 截得的弦 长为 2 2时． (1)求 a 的值； (2)求过点(3,5)且与圆 C1 相切的直线方程； (3)若圆 C1 与圆 C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0 相离，求 k 的范围．
可得 Q 点的坐标．
(3)曲线(直线)关于点的对称可以转化为点关于点的对称． (4)曲线(直线)关于直线的对称可以分别转化为点关于直线的 对称．
已知直线l：y＝3x＋3，求： (1)点P(4,5)关于l的对称点坐标； (2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程； (3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程． [解] (1)设点P关于直线l的对称点P′(x′，y′)，则PP′ 的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，
由圆心到切线的距离 d′＝r＝2 可解得 k＝152，∴切线方程为 5x－12y＋45＝0. ②当过(3,5)的切线斜率不存在时，易知直线 x＝3 与圆相切． 综合①②可知切线方程为 5x－12y＋45＝0 或 x＝3. (3)把圆 C2 的方程化为标准方程，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k， ∴50－k＞0，即 k＜50，且 r1＋r2＝ 50－k＋2，C1(1,2)，C2(1,7)， ∵C1 与 C2 两圆外离，∴C1C2＞r1＋r2，即 5＞ 50－k＋2， 解得 k＞41，又 k＜50，故所求 k 的范围是 41＜k＜50.
直线的方程及两直线的位置关系 (1)直线方程的五种形式各有优劣，在使用时要根据题目条件 灵活选择，尤其在选用四种特殊形式的直线方程时，注意其 适用条件，必要时要对特殊情况进行讨论． (2)两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种，主要考查 两条直线的平行和垂直．通常借助直线的斜截式方程来判断 两条直线的位置关系，解题时要注意分析斜率是否存在，用 一般式方程来判断，可以避免讨论斜率不存在的情况．
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关于 x 轴的对称点 M4 的坐标为(2,1，－3)， 关于 y 轴的对称点 M5 的坐标为(－2，－1，－3)， 关于 z 轴的对称点 M6 的坐标为(－2,1,3)， 关于原点的对称点 M7 的坐标为(－2,1，－3)．
平面直角坐标系中的对称性可以推广到空间直角坐标系中.在空间直角坐标 系中，任一点 Px，y，z的几种特殊的对称点的坐标如下：①关于原点对称的点 的坐标是 P1－x，－y，－z；②关于 x 轴横轴对称的点的坐标是 P2x，－y， －z；③关于 y 轴纵轴对称的点的坐标是 P3－x，y，－z；④关于 z 轴竖轴 对称的点的坐标是 P4－x，－y，z；⑤关于 xOy 平面对称的点的坐标是 P5x，y， －z；⑥关于 yOz 平面对称的点的坐标是 P6－x，y，z；⑦关于 xOz 平面对称的 点的坐标是 P7x，－y，z.
[ 小组合作型]
空间中点的坐标的确定
如图 232，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分 别是棱 BC， CC1 上的点，CF＝AB＝2CE， AB∶AD∶AA1＝1∶ 2∶4.试建立适当的坐标系，写出 E，F 点的坐标．
图 232
【精彩点拨】 可选取 A 为坐标原点，射线 AB，AD，AA1 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系．
阶 段 1
阶 段 3
2． 3 2．3.1
阶 段 2
空间直角坐标系 空间直角坐标系
学 业 分 层 测 评
1．了解空间直角坐标系的建系方式．(难点) 2． 能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点． (重点、 易错点)
[ 基础· 初探] 教材整理 1 空间直角坐标系
阅读教材 P118，完成下列问题． 1．空间直角坐标系的概念 从空间某一个定点 O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建
我还有这些不足： (1) (2) 我的课下提升方案： (1) (2)
[ 构建· 体系]
1．点 P(－1,0,4)位于________平面内．
【解析】 点 P(－1,0,4)的 y 坐标为 0， ∴点 P(－1,0,4)在 xOz 平面内．
【答案】 xOz
2．点 P(1,2，－1)在 yOz 平面内的垂足为 B(x，y，z)，则 x＋y＋z＝________.
【解析】，－1)，故 x＋y＋z＝ 1.
【自主解答】
以 A 为坐标原点，射线 AB，AD，AA1 的方向分别为 x 轴、
y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示． 分别设 AB＝1，AD＝2， AA1＝4， 则 CF＝AB＝1，
1 1 CE＝2AB＝2， 1 3 所以 BE＝BC－CE＝2－2＝2. 所以点 E
3 的坐标为1，2，0，点
2 ．在空间直角坐标系中，点 P(2 ，－ 4,6) 关于 y 轴对称点 P′ 的坐标为 ____________．
【解析】 点 P(2，－4,6)关于 y 轴对称点 P′的坐标为(－2，－4，－6)． 【答案】 (－2，－4，－6)
[ 质疑· 手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑：
[ 再练一题] 2． 在空间直角坐标系中， 点 P(－1,1,2)关于 y 轴对称的点的坐标为________， 关于坐标平面 yOz 对称的点的坐标为________．
【解析】 由对称知识可知，P 关于 y 轴对称的点为(1,1，－2)，关于平面 yOz 对称的点为(1,1,2)．
【答案】 (1,1，－2) (1,1,2)
求点 M(2，－1,3)关于坐标平面、坐标轴及坐标原点的对称点的坐 标． 【精彩点拨】 结合图形，利用图象对称的思想找准对称点．
【自主解答】 点 M 关于 xOy 平面的对称点 M1 的坐标为(2，－1，－3)， 关于 xOz 平面的对称点 M2 的坐标为(2,1,3)， 关于 yOz 平面的对称点 M3 的坐 标为(－2，－1,3)，
1 1 1，∴F2，2，1.
[ 探究共研型]
空间中点的对称问题
探究 1 在空间坐标系中，点(1,1,1)关于原点对称的坐标是什么？ 【提示】 (－1，－1，－1)． 探究 2 在空间坐标系中，点(a，b，c)关于 x 轴对称的点的坐标是什么？ 【提示】 (a，－b，－c)． 探究 3 在空间坐标系中， 点(a， b， c)关于 xOy 平面对称的点的坐标是什么？ 【提示】 (a，b，－c)．
【解】 如图，分别以 AD，AB 和 AA1 所在直线为 x 轴、y 轴和 z 轴，建立空间直角坐标系． ∵AB＝5，AD＝4，AA1＝4， ∴B(0,5,0)， D(4,0,0)， A1(0,0,4)， 从而 C(4,5,0)， B1(0,5,4)． 又 D1(4,0,4)， P为
5 B1D1 的中点，∴P2，2，4.
[ 再练一题] 1．在正方体 ABCDA′B′C′D′中，E，F 分别是 BB′，D′B′的中点，棱长为 1， 求 E，F 点的坐标．
【解】 建立如图空间直角坐标系， E 点在 xDy 面上的射影为 B， 1 B(1,1,0)，竖坐标为2，
1 ∴E1，1，2.
F 在 xDy 面上的射影为 BD 的中点 G，竖坐标为
【答案】 1
3． 在空间直角坐标系中， 点 P(－2,4,4)关于 x 轴的对称点的坐标是________. 【导学号：60420092】 【解析】 因为点 P 关于 x 轴对称后，它在 x 轴的分量不变，在 y，z 轴的 分量变为原来的相反数，所以对称点 P′的坐标为(－2，－4，－4)．
【答案】 (－2，－4，－4)
图 231
【解】 以 C 为坐标原点， 以 CB 所在直线为 x 轴， 以 CA 所在直线为 y 轴， 以 CC1 所在直线为 z 轴，建立空间坐标系如图．
教材整理 2 空间点的坐标表示 阅读教材 P119，完成下列问题．
射影 ，即经过点 A 作三 对于空间任意一点 A，作点 A 在三条坐标轴上的______ 垂直 于 x 轴、y 轴和 z 轴，它们与 x 轴、y 轴和 z 轴分别交于 P，Q， 个平面分别______
坐标原点 ，__________ x轴 y轴 立了空间直角坐标系 Oxyz，点 O 叫做___________ 、_________
z轴 叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为 和________
xOy yOz zOx __________ 平面、_________ 平面和________ 平面．
4．设 x，y 为任意实数，相应的所有点 P(x，y,3)的集合是________． 【答案】 过 z 轴上的点(0,0,3)且与 z 轴垂直的平面
5．在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB＝5，AD＝4，AA1＝4，A1C1 与 B1D1 相交于点 P，建立适当的坐标系，求点 C，B1，P 的坐标．(写出符合题意的一种 情况即可)
R.点 P，Q，R 在相应数轴上的坐标依次为 x，y，z，我们把有序实数组(x，y，z) 点A的坐标 A(x，y，z) 叫做_________________ ，记为_________________ ．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在空间直角坐标系中，x 轴上点的坐标满足 x＝0，z＝0.(×) (2)在空间直角坐标系中，xOz 平面上点的坐标满足 z＝0.(×) (3)关于坐标平面 yOz 对称的点的坐标其纵坐标、竖坐标保持不变，横坐标 相反．(√) (4)在空间直角坐标系中，点 P(x，y，z)关于 z 轴的对称点为 P′(－x，－y， z)．(√)
F 的坐标为(1,2,1)．
1．建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则 (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上． (2)充分利用几何图形的对称性． 2．求某点 M 的坐标的方法 过点 M 分别作三个坐标平面的平行平面(或垂面)，分别交坐标轴于 A，B， C 三点，确定 x，y，z.具体理解，可以以长方体为模型，要掌握一些特殊点(落 在坐标轴上的点和落在坐标平面上的点)的坐标表示的特征．
2．右手直角坐标系
x轴 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 ， 让 右 手 拇 指 指 向 _______ 的 正 方 向 ， 食 指 指 向 y轴 z轴 _________ 的正方向，若中指指向________ 的正方向，则称这个坐标系为右手直
角坐标系．
如图 231，三棱柱 ABCA1B1C1 为直三棱柱，且∠C＝90° ，试在图中建立一 个空间坐标系．