【名师点拨】2014-2015学年高中数学第三章函数的应用过关测试卷新人教a版必修1

【名师点拨】2014-2015学年高中数学 第三章 函数的应用过关测试
卷 新人教A 版必修1
（100分，60分钟） 一、选择题（每题5分，共40分）
1.若函数y =21x ax -+仅有一个零点，则实数a 的值是（ ） A.2 B. －2 C.±2 D.无法确定
下列所给函数模型较合适的是（ ）
A.指数函数
B.一次函数
C.对数函数
D.幂函数 3.函数f (x )= e
2x
x +-的零点所在的一个区间是（ ）
A.（－2，－1）
B.（－1,0）
C.（0,1）
D.（1,2）
4.抽气机每次抽出容器内空气的60%,要使容器内的空气少于原来的0.1%，至少要抽（lg 2≈0.301 0）（ ）
A.6次
B.7次
C.8次
D.9次
5.如果某林区的森林蓄积量每年平均比上一年增长10.4%,那么经过x 年可以增大到原来的y 倍，则函数y =f (x )的图象大致是如图1所示中的（ ）
图1
6.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为
4,110,210,10100,,1.5,100,.x x x x x x x x x ***⎧∈⎪
⎪
+∈⎨⎪∈⎪⎩
N N N ≤＜，
≤＜≥ 其中，x 代表拟录用人数，y 代表面试人数，若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为（ ）
A.15
B.40
C.25
D.130
7.已知函数f (x )=32
ax bx cx d +++的图象如图2所示，则（ ）
图2
A.b ∈(－∞,0)
B.b ∈(0,1)
C.b ∈(1,2)
D.b ∈(2,+∞)
8.从盛满20 L 纯酒精的容器里倒出1 L 酒精，然后用水填满，再倒出1 L 混合溶液，再用水填满，这样继续下去，如果倒第k 次（k ≥1）后，共倒出纯酒精x L ，倒第（k +1）次后，共倒出纯酒精y L,则y 关于x 的函数表达式为（假设酒精与水混合后相对体积不变）（ ）
A.y =
x 2019 B.y =x 2019
+1 C.y =x 201 D.y =x 20
1+1 二、填空题（每题6分，共18分）
9.〈浙江学军中学检测〉已知f (x )= 2x －x +k (k ∈N )，若方程f （x ）=2在⎪⎭
⎫
⎝⎛
-23,
1内有两个不相等的实数根，则k =______.
10.某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是_______. 11.已知函数f (x )=3mx －4，若在［－2,0］内存在0x ，使f (0x )=0，则实数m 的取值范围是______.
三、解答题（每题14分，共42分）
12.已知函数f (x )= 224x ax -+在区间（1，+∞）上有零点，求a 的取值范围.
13.求方程31
x
x
x +
+=0的近似解.（精确度0.1）
14.〈生活中的实际应用题〉我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段来达到节约用水的目的，某市用水收费的方法是：水费=基本费+超额费+损耗费.
若每月用水量不超过最低限量a 3
m ，只付基本费8元和每户每月定额损耗费c 元；若用水量超过a 3
m 时，除了付以上的基本费和损耗费外，超过部分每13
m 付b 元的超额费，已知
每户每月的定额损耗费不超过5元.
该市一个家庭今年第一季度的用水量和支付费用如上表： 根据上表中的数据，求a 、b 、c 的值.
参考答案及点拨
一、1. C 点拨：y =2x －ax +1仅有一个零点，即方程2x －ax +1=0有两相等实根，即Δ=0，故a =±2. 2. B
3. C 点拨：∵y =e x 与y =x －2在R 上都是增函数， ∴f (x )= e x +x －2在R 上是增函数. 而f (－2)= 2e -－4＜0,f (－1)= 1e -－3＜0,
f (0)= －1＜0,f (1)= e －1＞0,f (2)= 2e ＞0,
∴f (0)·f (1)＜0.
故（0,1）为函数f (x )的零点所在的一个区间.
4. C 点拨：设抽x 次可使容器内的空气少于原来的0.1%,则()160x
-o o ＜0.1%，即0
.4x
＜
0.001,故x lg0.4＜－3,即x ＞
4
.0lg 3
-≈7.5. 5. D 点拨：设原来该林区森林蓄积量为a ，则经过x 年后蓄积量为a ()110.4x
+o o ,故
y =f (x )= ()110.4 1.104x
x a a
+=o o .
6. C 点拨：令y =60,若4x =60,则x =15＞10,不合题意； 若2x +10=60,则x =25,满足题意；若1.5x =60,则x =40＜100，不合题意，故拟录用人数为25.
7. A 点拨：方法一：由题图可知，f (0)=0，得d =0.又y =f (x )有三个零点，可设函数的解
析式为f (x )=ax (x －1)(x －2)=32
32ax ax ax -+，当x ＞2时，f (x )＞0可得a ＞0，比较函
数式的系数可得b =－3a ,所以b ＜0，故选A. 方法二：由题图可知，f (0)=0，∴d =0. 又∵f (1)=0, ∴a +b +c =0.① 又∵f (－1)＜0, ∴－a +b －c ＜0.②
由①②，得2b ＜0,则b ＜0.故选A. 8. B 点拨：前k 次共倒出纯酒精x L ，第k 次倒出后容器中含纯酒精（20－x ）L ，则第（k +1）次倒出纯酒精
2020x -L,所以倒第（k +1）次后，共倒出纯酒精x +2020x -=20
19
x
+1(L). 答图1
二、9. 2 点拨：令F (x)=f (x )－2=2
2x x k -+-，则F (x )在⎪⎭
⎫
⎝⎛
-23,
1内有两个不同零点，如答图1. 由于对称轴为直线x =
2
1
, 所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+--+--++⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-.0221
41022
3
49021102102301＜，＞，＞即，＞，＞，）＞（k k k F F F 所以.4945＜＜k
由k ∈N ,得k =2.
10. 20 点拨：七月份的销售额为500(1+x %)万元，八月份的销售额为500()2
1x +o o 万元，则一月份到十月份的销售总额是3 860+500+2［500（1+x %）+500()2
1x +o o ］万元,根据题意有3 860+500+2［500（1+x %）+500()2
1x +o o ］≥7 000,即25（1+x %）+25()2
1x +o o ≥
66,令t =1+x %，则2
252566t t +-≥0,解得t ≥
65或t ≤115
- (舍去)，故1+x %≥6
5，解得x ≥20.
11. ⎥⎦
⎤ ⎝
⎛-∞-3
2, 点拨：∵函数f (x )在［－2,0］上存在零点
x 0
,使f (0
x
)=0,且f (x )单调，
∴f (－2)·f (0)≤0,∴(－6m －4)×(－4)≤0,解得m ≤2
3
-
.所以实数m 的取值范围是⎥⎦⎤ ⎝
⎛
-∞-32,.
三、12. 解：如答图2，函数f (x )在区间（1,+∞）上有零点，即方程f (x )=0在区间（1,+∞）内有实数根.
由24160,212(1)1240a a f a ⎧∆=-⎪
-⎪-⎨⎪=-+⎪⎩≥＞，
＞，
解得2≤a ＜
2
5
.
答图2 答图3 13. 解：方程可化为：31x x x =-
+.在同一平面直角坐标系内画出函数y =3x 与y =1
+-x x
的图象，从答图3中可得，这两个函数图象交点的横坐标位于区间（－1,0）内，且只有一个
交点.
∴原方程只有一解,设为x 0
.
设f (x )= 31x x
x +
+,∵f (0)=1＞0,f (－0.5)= 3
1－1＜0,∴0x ∈（－0.5,0）. 用二分法求解，列表如下：
－0.4就是这个方程的近似解.
14.解：设每月用水量为x m 3
，支付水费为y 元，则8,0,8(),.c x a y b x a c x a +⎧=⎨
+-+⎩＜≤①＞②
由题
意知0≤c ≤5,∴8+c ≤13.故用水量为15 m 3
,22 m 3
均大于最低限量a m 3
.将x =15,y =19和
x =22,y =33分别代入②中，得⎩⎨⎧+-+=+-+=,
)22(833,
)15(819c a b c a b 解得b =2.
∴2a =c +19.③不妨设1月份用水量也超过最低限量，即9＞a .这时，将x =9,y =9代入②中得9=8+2×（9－a ）+c ,解得2a =c +17，与③矛盾，∴9≤a ，则有8+c =9,∴c =1,a =10.。