第十二章(理) 第二节 数列的极限
第二节 数列的极限
第二节 数列的极限一、数列极限的定义如果按照某一法则，对每个n N +∈，对应着一个确定的实数n x ，这些实数n x 按照下标n 从小到大排列得到的一个系列12,,,,n x x x 就叫做数列，记为{}.n x数列中的每一个数叫做数列的项，第n 项n x 叫做数列的一般项（或通项）． 数列{}n x 可以看作自变量为正整数n 的函数(),.n x f n n N +=∈当自变量n 依次取一切正整数1,2,3, 时，对应的函数值就排成数列{}.n x一个非常重要的问题是：当n 无限增大时（即n →∞时），对应的()n x f n =是否无限接近某个确定的数值？对于数列()11n n n -⎧⎫+-⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭，其通项()()111111.n n n n x nn--+-==+- ()()01123451111111111,111,1,1,1,1122345x x x x x =+-=+=+-=-=+=-=+ 678910111111,1,1,1,1,678910x x x x x =-=+=-=+=-1112131411111,1,1,1,11121314x x x x =+=-=+=- 易知，当n 无限增大时，n x 的值无限接近于1.也即当n 无限增大时，()11111n n x n n--=-=的值无限接近零． 给定1100，要使 11100n x -<， 只需11100n <，即100n >．故当100n >时，11.100n x -<给定11000，要使 111000n x -<， 只需111000n <，即1000.n >故当1000n >时，11.1000n x -<一般地，任意给定一个正数ε，存在一个正整数N ，使得当n N >时，不等式 1n x ε-<都成立．事实上，要使11n x n ε-=<，只需1n ε>．故取正整数1max ,1N ε⎧⎫⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，则当n N >时，n ε1⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，1n ε>，1.n x ε-<注：设m 为整数，x 为实数，且[]m x >，则.m x >这是因为m 为整数，且[]m x >，所以[]111.m x x x ≥+>-+=一般地，有如下数列极限的定义．定义 设{}n x 为一数列，如果存在常数a ，对于任意给定的正数ε，总存在正整数N ，使得当n N >时，有n x a ε-<，那么就称常数a 是数列{}n x 的极限，或者称数列{}n x 收敛于a ，记为lim ,n n x a →∞=或().n x a n →→∞例1 证明数列()11n n n -⎧⎫+-⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的极限是1.证 上面已经证过，在此从略可 例2 已知()()211n n x n -=+，证明数列{}n x 的极限是0.证 ()()()222111011n n x n n n --==<++ 0ε∀>，要使0n x ε-<，只需21n ε<，即n >取正整数max ,1N ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则当n N >时，有0.n x ε-< 故lim 0.n n x →∞=例3 设1q <，证明等比数列 211,,,,,n q q q -的极限是0.证 0ε∀>，要使1110n n n q q qε----==<，只需1ln ln ,n qε-<即()ln 1ln ln ,1.ln n q n qεε-<>+取正整数ln max 1,1ln N q ε⎧⎫⎡⎤⎪⎪=+⎢⎥⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭，则当n N >时，有 0n x ε-<， 故1lim 0.n n q -→∞=二、收敛数列的性质定理1 如果数列{}n x 收敛，那么它的极限唯一． 证 假设同时有n x a →及n x b →，且a b <．取2b aε-=．因为lim n n x a →∞=，故存在正整数1N ，使得当1n N >时，.2n b ax a --<（2-2） 因为lim n n x b →∞=，所以存在正整数2N ，使得当2n N >时，.2n b ax b --<（2-3） 取正整数{}12max ,N N N =，则当n N >时（2-2）和（2-3）同时成立．故当n N >时，由（2-2）得.2n a b x +<当n N >时，由（2-3）得2n a bx +>．矛盾． 例4 证明数列()()111,2,n n x n +=-= 是分散的．证 如果这数列是收敛的，根据定理1，它有唯一的极限．设极限为a ，即lim .n n x a →∞=按数列极限定义，对于12ε=，∃正整数N ，当n N >时，11111,,,.22222n n n x a a xa x a a ⎛⎫-<-<<+∈-+ ⎪⎝⎭但这是不可能的，因为当n N >且n 为奇数时，1n x =-，当n N >且n 为偶数时1n x =，而1和1-不可能同时属于长度为1的开区间11,22a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭内． 对于数列{}n x ，如果存在正数M ，使得,1,2,n x M n ≤= ，则称数列{}n x 有界．否则称数列{}n x 无界． 数列1n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭有界，数列{}2n 无界．定理2（收敛数列的有界性）如果数列{}n x 收敛，那么数列{}n x 有界．证 因为数列{}n x 收敛，设lim n n x a →∞=．根据数列数列极限定义，对于1ε=，存在正整数N ，当n N >时，1n x a -<． 于是，当n N >时，()1.n n n x x a a x a a a =-+≤-+<+ 取{}12max ,,,,1N M x x x a =+ ，则,.n x M n N +≤∈ 故数列{}n x 有界．定理3（收敛数列的保号性）如果lim n n x a →∞=，且0a >（或0a <），那么存在正整数N ，当n N >时，0n x >（或0n x <）．证 就0a >的情形证明．由数列极限定义，对02aε=>，∃正整数N ，当n N >时， ,2n ax a -<于是， 0.22n a ax a >-=> 推论 如果数列{}n x 从某项起0n x ≥（或0n x ≤），且lim n n x a →∞=，那么0a ≥（或0a ≤）．证 只证明其中一种情形，另一种情形类似可证．如果数列{}n x 从某项起有0n x ≥，则存在正整数1N ，当1n N >时，0n x ≥．假设lim 0n n x a →∞=<，则由定理3得，∃正整数2N ，当2n N >时，0.n x <取正整数{}12max ,N N N =，则当n N >时，1n N >，2n N >，由1n N >得0n x ≥，但由2n N >得0n x <，矛盾．习题1-21.下列各题中，哪些数列收敛，哪些数列发散？对收敛数列，通过观察{}n x 的变化趋势，写出它们的极限：（1）12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭；解 收敛，1lim0.2n n →∞= （3）212n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭；解 收敛，lim n →∞212 2.n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（5）(){}1nn -；解 发散．（7）1n n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭；解 发散．2.（1）数列的有界性是数列收敛的什么条件？ （2）无界数列是否一定发散？ （3）有界数列是否一定收敛？ 解 （1）必要条件． （2）一定发散．（3）未必一定收敛，如数列(){}1n-有界，但它是发散的．5.根据数列极限的定义证明：（1）21lim0n n →∞=； 证 0ε∀>，要使22110n n ε-=<，只需n >．取正整数max ,1N⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则当n N >时，210n ε-<， 故21lim0.n n →∞= （2）313lim 212n n n →∞+=+；证 因为()31311.2122214n n n n +-=<++ 0ε∀>，当14nε<时，313.212n n ε+-<+ 要使14n ε<，只需1.4n ε> 取正整数1max ,14N ε⎧⎫⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，则当n N >时，313.212n n ε+-<+故313lim .212n n n →∞+=+（3） 1.n →∞= 证 当0a =时，所给的数列为常数列，显然有此结论． 以下设0.a ≠因为22212a n -=<．0ε∀>，当222a n ε<时，1ε<．要使222a n ε<，只需n >．取正整数max ,1N ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则当n N >1 1.-<故 1.n →∞=（4）lim0.999=1.n n →∞个证 0ε∀>，要使10.999110nn ε-=< 个，只需1lg n ε>． 取正整数1max lg ,1N ε⎧⎫⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，则当n N >时，0.9991n ε-< 个．故lim 0.999=1.n n →∞个7.设数列{}n x 有界，又lim 0n n y →∞=，证明：lim 0.n n n x y →∞=证 因数列{}n x 有界，故0M ∃>，使得对一切n N +∈有.n x M ≤0ε∀>，由于lim n n y →∞=0，故对1Mεε=，N N +∃∈，当n N >时，1n y Mεε<=，从而0,n n n n x y x y M Mεε-=<⋅=所以lim 0.n n n x y →∞=。
高等数学 第二节 数列的极限
lim
n
xn
a 的"
N" 定义 :
lim
n
xn
a
0, N N ,当n N 时, 有
| xn a | .
注意: (1) 0 的任意性; a xn a
(2) N 的存在性：N N ( ).
(3) 几何解释 当 x = n, 则 xn f (n)
第n 项 xn 叫 做 数 列 的 一 般 项.
例如:
1 , 2 , 3 ,, n ,: 2 3 4 n1
n n
1
;
2,
1 2
,
4 3
,,
n
(1)n1 n
,:
n
(1)n1 n
;
2,4,8,,2n ,:
{2n };
1,1,1,,(1)n1,: {(1)n1}.
注意: 1. 数列的每一项都是数.
n
2
2 n2
n n2
)
1 .
2
1. 证明lim( n2 1 n) 0. n
证 0,
n2 1 n 0 ( n2 1 n)( n2 1 n) n2 1 n
n2
1 1
n
1 2n
,
欲使 1 , 只须n 1 ,
2n
2
取
N
1
2
,
则当n N时,
n2 1 n 0 ,
lim
n
xn
a
f(n)
a
x1
a的邻域
x2
a
自然数 N
xn
对一切 n > N a
第十二章 第2节常数项级数审敛法
o 1 234
x
1
2 1
dx xp
n dx 1
x n1 p
n dx 1 xp
7
1
1 (1 p1
1 n p1 )
1
1 p1
即Sn 有界, 则 P 级数 收敛.
P 级数
n1
1 np
当 当
p p
1时, 1时,
收敛; 发散.
重要参考级数: 几何级数, P -级数, 调和级数.
8
例4 判别级数
1
的敛散性.
n1 (n 1)(n 2)
解
un
(n
1 1)(n
2)
1 n2
,
而级数
1 收敛,
n2
n1
级数
1
收敛.
n1 (n 1)(n 2)
9
例5 判别级数 1! 2! n！的敛散性.
n3 (2n)!
解
un
1! 2! (2n)!
n!
n n! (2n)!
(n(2n1)！)! （n
1 2）(n
,
lim
n
n
.
也采用反证法
4
例1 判别级数
1 的敛散性
n1 n 2n
解
un
1 n2n
1 2n
,
而级数
1 收敛.
2n
n1
级数
1 收敛.
n1 n 2n
5
例2 证明级数
1
是发散的.
n1 n(n 1)
证明 1 1 ,
n(n 1) n 1
而级数
1 1 发散,
n1 n 1 k 2 k
级数
n1
n1
第二节数列的极限1
注2. 一般说来, N随给定的变化而变化, 给不同 的 确定的N也不同,另外, 对同一个来 说, N不是唯一的(若存在一个N, 则N+1, N+2, …, 均可作为定义中的N.)
注3.
定义中“ 当n>N时, 有| xna |<‖的意思是
说, 从第N+1项开始,以后各项都有|xna |<,
则当n N时有 a b ( x n b) ( x n a )
x n b x n a 2.
上式仅当a b时才能成立. 故收敛数列极限唯一.
3.保号性
定理3
设 lim un a 0( 0), 则存在N 0, 使得
n
当n N时，恒有 un 0( 0). a 证 设a 0, 取 ,由 limun a , 必 存 在 某 一 2 n a 正 数N , 使 得 当 n N时 ， 恒 有un a , 2 a a a 3a 即0 a un a (n N ) 2 2 2 2 定理结论成立。对于 a 0, 也 可 同 样 证 明 。
[ M , M ]上.
定理1
收敛的数列必定有界.
n
证 设 lim xn a ,
由定义,
取 1,
则N , 使得当n N时恒有 x n a 1,
即有 a 1 xn a 1.
记 M max{ x1 ,, x N , a 1 , a 1 },
则对一切自然数 n,皆有 x n M , 故xn 有界.
1 1 1 1 , , ,, n ,; 2 4 8 2
n
{2 }
1 { n} 2
n
1,1,1, , ( 1) n 1 ,;
高等数学第二节数列的极限
分析已知条件：只有两个不等式，即数列所在的两个区间,
因此，任给的ε 要取同一个， 由极限为a,得数列所在的区间是以a为中心,ε 为半径的邻域； 由极限为b,得数列所在的区间是以b为中心,ε 为半径的邻域.
若数列所在的两个区间没有交集，则能得到矛盾.
由图知,只要半径ε
, ba 2
两邻域没有交集,即得矛盾,证明完成.
数列极限
收敛数列 性质
有界性 唯一性 保号性 任一子数列收敛于同一极限
第六节 极限存在准则
一、准则1 (夹逼准则 The Squeeze Theorem )
1、如果数列xn,yn,zn 满足
(1) 从某项起, 即 n0 N ,当 n n0时，有
yn xn zn ;
(2)
lim
n
yn
lim
n
(
n2
1
n2
1
2
n2
1
n
)
1.
二、准则Ⅱ(单调有界准则)
1、单调有界数列必有极限.
如果数列 xn满足
单调增加只有两种可能:无限 增大或无限接近于一个定点
x1 x2 xn xn1 M (单调增加有上界)
lim xn a ( M ) 有等号，是广义单调
n
x1 x2
xn xn1 a
问题: 无限增大,无限接近,如何用数学语言刻划？
数例分析：
当
n
无限增大时,
xn
n 1 n
无限接近于 1.
当n变得足够大时，|
xn
1
|
1 n
变得任意小.
足够大与任意小相关, 无限接近由n刻画
给定 1 0.01,
具体数
要使
高三数学数列极限1(2019年11月整理)
高三备课组
１、数列极限的定义
一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an} 的项an无限地趋近于某个常数a（即an-a无限地接近 于0），那么就说数列{an}以a为极限，或者说a是数列 {an}的极限。
记为: nliman=a. 也可记为：当n 时，an a。 注：1）数列的极限是仅对于无穷数列而言的；
(２)lnim (an·bn)=A·B
(３)lnim
an bn
=
A (B≠0) B
4。特别注意：数列极限运算法则运用的前提:
（１） 参与运算的各个数列均有极限;
(２)运用法则,只适用于有限个数列参与运算,
当无限个数列参与运算时不能首先套用.
；一木棋牌 /android/game/87062.html 一木棋牌
2）“趋近”和“无限趋近”是不同的概念，无限趋近是指随n 的无
限增大，数列中的项与常数a的距离可以任意小；
3）若数列{an}的极限为a，则可以是从大于a的方向无限趋近 于a，也可以是从小于a的方向无限趋近于a，还可以是从a 的两侧摆动地无限趋近于a。
2.几个重要极限：
lim C C （C为常数） lim 1 0
n
n n
当 q 1 时 lim qn 0 n
3．我们可以将an看成是n的函数即an=f(n),n∈N*,an就 是一个特殊的函数，对于一般的函数f(x) x∈R是否有同 样的结论？
3、数列极限的运算法则
如果 liman=A， lim bn=Bn Nhomakorabean
那么
(1)
lim n
(an±bn)=A±B
例2：已知
lim n
(
3n2 an2
高等数学 第二节 数列的极限
不增加的
严格单调增加(单调增加) 严格单调减少(单调减少) 单调增加(不减少的) 单调减少(不增加的) 数列
统称为单调数列
(2) 数列的有界性
回想一下前面讲过的 函数的有界性的情形
我学过吗 ？
若 ∃ M > 0, 使得当 x ∈ I 时, 有 | f ( x ) | ≤ M 成立,
{xn } 单调增加, 也记为 {xn } ↑ .
不减少的 数列单调减少的情形怎么定义？ 有谁来说一说.
若 {xn } 满足 x1 > x2 > ⋯ > xn > ⋯ , 则称
{xn } 严格单调增加, 记为 {xn } ↓ .
单调减少
若 {xn } 满足 x1 ≥ x2 ≥ ⋯ ≥ xn ≥ ⋯ , 则称
故有
n→ +∞
lim | xn | = | a | .
注意：该例题结论的逆命题不真. 例如, {(−1)n}.
三. 数列的性质
单调性
有界性
(1) 数列的单调性
若 {xn } 满足 x1 < x2 < ⋯ < xn < ⋯ , 则称
{xn } 严格单调增加, 记为 {xn } ↑ .
单调增加
若 {xn } 满足 x1 ≤ x2 ≤ ⋯ ≤ xn ≤ ⋯ , 则称
证明 : 若 lim xn = a, 则 lim | xn | = | a | .
n →+∞ n→+∞
证
因为 lim xn = a, 所以 ∀ε > 0, ∃ N > 0,
n→ +∞
当 n > N 时, 有 | x n − a | < ε .
1.2数列的极限0
1、概念的引入
(1)割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
1、概念的引入
(1)割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
1、概念的引入
(1)割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
2 , 4 , 8 , , 2n ,
xn 2n (n )
两者
否 之间
定 的距
xn (1)n1 趋势不定
离
思考1
再研究：自变量n无限增大时，因变量 无限接近
于某个确定的常数a，如何寻求精确的数学语言来
描述这个现象？
例如,
xn
n
(1)n1 n
1
(n )
|
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例4. 证明数列
是发散的.
证: 用反证法.
假设数列 xn 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .
取
1 2
, 则存在 N ,
使当 n > N
时,有
a
1 2
xn
a
1 2
但因 xn交替取值 1 与－1 , 而此二数不可能同时落在
长度为
为通项(一般项) .
研究：自变量n无限增大时，因变量 是否无限接
近于某个确定的常数a?（配合数轴，画点图；或画
散点图）
例如, 1 , 2 , 3 , , n , 2 3 4 n1
xn
n n 1
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第十二章（理） 第二节 数列的极限
1. lim n →∞1
2n (n 2＋1－n 2－1)＝ ( )
A ．1 B.12
C.14
D ．0 解析：原式＝
lim n →∞n 2＋1＋n 2－1
2n (n 2＋1－n 2－1)(n 2＋1＋n 2－1)
＝lim n →∞ n 2＋1＋n 2－14n ＝12. 答案：B
2．lim n →∞
[n (1－13)(1－14)(1－15)…(1－1n ＋2)]＝ ( ) A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
解析：原式＝lim n →∞
(n ×23×34×45×…×n ＋1n ＋2) ＝lim n →∞ 2n n ＋2
＝2. 答案：C
3．a n 是(1＋x )n 展开式中含x 2的项的系数(n ≥2)，则lim n →∞(1a 2＋1a 3＋…＋1a n
)＝( ) A ．2 B ．0
C ．1
D ．－1
解析：a n ＝C 2n ＝n (n －1)2，∴1a n ＝2(1n －1－1n
)(n ≥2)， ∴lim n →∞ (1a 2＋1a 3＋…＋1a n )＝lim n →∞2(1－1n
)＝2. 答案：A
4．在数列{a n }中，a n ＝4n －52
，a 1＋a 2＋…＋a n ＝an 2＋bn ，n ∈N *，其中a ，b 为常数， 则lim n →∞ a n －b n
a n ＋b
n 的值是________．
解析：∵a n ＝4n －52，∴a 1＝32
， ∴S n ＝n (32＋4n －52)2＝2n 2－n 2
∴a ＝2，b ＝－12
， ∴lim n →∞ 2n －(－12)n 2n ＋(－12
)n ＝1. 答案：1
5．(2009·陕西高考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则lim n →∞S n n 2＝_____. 解析：由题意知⎩⎪⎨
⎪⎧ a 1＋5d ＝12，3a 1＋3d ＝12， 解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝2，d ＝2. ∴S n ＝2n ＋n (n －1)2
2＝n 2＋n . ∴lim n →∞ S n n 2＝lim n →∞ n 2＋n n 2＝1. 答案：1
6.若lim n →∞ [1－(b 1－b
)n ]＝1，则b 的取值范围是 ( ) A.12＜b ＜1 B ．－12＜b ＜12
C ．b ＜12
D ．0＜b ＜12
解析：由题意知|
b 1－b |＜1，b 2＜(1－b )2，解之得b ＜12
. 答案：C
7．已知S n ＝2＋ka n 为数列{a n }的前n 项和，其中k 为不等于1的常数．
(1)求a n ；
(2)若lim n →∞S n ＝2，求k 的取值范围．
解：(1)当n ＝1时，a 1＝2＋ka 1，∴a 1＝21－k
，
当n ≥2时，S n ＝2＋ka n ，S n －1＝2＋ka n －1，
∴a n ＝k (a n －a n －1)，∴a n ＝k k －1a n －1
. 若k ＝0，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2(n ＝1)，
0(n ≥2).
若k ≠0，则{a n }是以a 1＝21－k 为首项，q ＝k k －1a n ＝21－k
(k k －1
)n －1. (2)显然，当k ＝0时，lim n →∞S n ＝lim n →∞2＝2.
当k ≠0时，∵lim n →∞S n ＝2，∴lim n →∞
(2＋ka n )＝2， 即lim n →∞[2＋2k 1－k (k k －1
)n －1]＝2，也就是 lim n →∞
[－2(k k －1)n ]＝0， ∴|k k －1|＜1，解得k ＜12
且k ≠0. 综上可得：k ∈(－∞，12
)．
8.(2009·湖北高考)设1＋a 2n x 2n ，则lim n →∞[(a 0＋a 2 ＋a 4＋…＋a 2n )2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)2]＝ ( )
A ．－1
B ．0
C ．1 D.
22
解析：令x ＝－1，
得a 0－a 1＋a 2－…－a 2n －1＋a 2n ＝(
22－1)2n ① 令x ＝1，得
a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n －1＋a 2n ＝(
22＋1)2n ② ①＋②得
a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝(2＋2)2n ＋(2－2)2n
22n ＋1
②－①得a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1
＝(2＋2)2n －(2－2)2n
2
2n ＋1 ∴lim n →∞
[(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n )2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)2] ＝lim n →∞{[(2＋2)2n ＋(2－2)2n
22n ＋1]2－[(2＋2)2n －(2－2)2n
2
2n ＋1]2} ＝lim n →∞ 4×(2＋2)2n (2－2)2n
42n ＋1
＝lim n →∞ 4×(－2)2n 4
2n ＋1＝lim n →∞ (14)n ＝0. 答案：B
9．设3π4＜θ＜5π4，则li m n →∞ sin n θ－cos n ＋1θsin n θ＋cos n θ
的值是 ( ) A ．－cos θ B.1－cos θ1＋cos θ C ．1 D ．－1
解析：∵3π4＜θ＜5π4，∴|cos θ|＞|sin θ|， ∴|sin θcos θ
＜1. ∴lim n →∞sin n θ－cos n ＋1θsin n θ＋cos n θ＝lim n →∞(
sin θcos θ)n －cos θ(sin θcos θ)n ＋1 ＝－cos θ.
答案：A
10．边长为1的一个正三角形的三边中点连线组成第2个正三角形，再将第2个正三
角形的三边中点连成第3个正三角形，如此无限继续，则所有这些三角形的周长 和为________，所有这些三角形的面积和为________．
解析：周长C ＝lim n →∞ (3＋32＋34＋…＋32
n －1)＝6， 面积S ＝lim n →∞[12×
34＋(12)2·34＋(142·34＋…＋(12n －1)2·34]＝33
. 答案：6 33
11．已知定义在[0，＋∞)上的函数f (x )满足：f (0)＝0，且当x ∈(n －1，n ]时，f (x )＝
n [x －(n －1)]＋f (n －1)，其中n ∈N *.求lim n →∞ [1f (1)＋1f (2)＋…＋1f (n )
]的值． 解：由已知，f (n )＝n ＋f (n －1)，
即f (n )－f (n －1)＝n .又f (0)＝0，
∴f(n)＝f(0)＋[f(1)－f(0)]＋[f(2)－f(1)]＋…＋[f(n)－f(n－1)]＝1＋2＋3＋…＋n＝
n(n＋1)
2
，
∴
1
f(n)
＝
2
n(n＋1)
＝2(
1
n
－
1
n＋1
)，
∴lim
n→∞[
1
f(1)
＋
1
f(2)
＋…＋
1
f(n)
]
＝lim
n→∞2[(1－
1
2
)＋(
1
2
－
1
3
)＋…＋(
1
n
－
1
n＋1
)]
＝lim
n→∞2(1－
1
n＋1
)＝2.。