高数数列的极限

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高数上第一章§1.2.2数列极限的性质

（ 2 ） lim [ 1+ 2 +L+ n − 1+ 2 +L+ ( n −1) ]
n→∞
解： lim [ 1+ 2 +L+ n − 1+ 2 +L+ ( n −1) ]
n→∞
n ( n + 1) n ( n −1) = lim 1 [ n 2 + n − n 2 − n ] ] = lim [ − n→∞ 2 2 2 n→∞
n→∞ n→ ∞
则 lim y n = a 。
n→∞
证明：∵ lim x n = lim z n = a ，∴ ∀ε > 0 ， ∃ N 1 , N 2 ∈ N + ，证明
n→∞ n→∞
夹逼定理在肯定 y n < ε ，从而 a − ε < x n ，当 n> N 1 时，有 xn{− a }收敛的同时也给出了其极 >
单调增加（严格单调增加）和单调减少（严格单单调增加（严格单调增加）和单调减少（严格单单调数列。调减少）的数列统称为单调数列调减少）的数列统称为单调数列。
定理3 单调有界原理）定理3（单调有界原理）：
单调增加（减少）有上（下）界的数列必定有极限。单调增加（减少）有上（界的数列必定有极限。
1 3 5 2n −1 2 4 6 2n 解：令 x = ⋅ ⋅ ⋅(L)⋅ ，y = ⋅ ⋅ ⋅(L)⋅ ， 2 4 6 2n 3 5 7 2n + 1
1 1 即 0< x < ，从而 0< x < 。 2n + 1 2n + 1 1 ∵ lim 0= 0 ， lim =0 ， n→∞ n→∞ 2n + 1

大一高数极限知识点归纳总结

大一高数极限知识点归纳总结大一高数中的极限是一个非常重要且基础的概念，它在数学中发挥着至关重要的作用。

极限的概念在不同领域有不同的含义和应用，如物理学、工程学等。

在学习极限的过程中，我们需要深入理解其原理和应用，下面将对大一学生常见的高数极限知识点进行归纳总结。

一、数列极限数列是由一系列数按一定顺序排列而成的特殊集合。

数列可以是无穷的，因此讨论数列时就需要考虑其极限。

数列极限可以理解为数列中的数随着序号的增大趋于某个确定的值。

数列极限的计算需要了解一些基本的性质和方法。

对于数列 {an} ，当n趋于无穷时，如果存在一个实数a，使得对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，当n>N时，有|an - a| < ε，那么我们就称数列 {an} 的极限为a，记作lim(an) = a。

在计算数列极限时，可以运用数列的极限性质和一些基本的极限运算法则。

例如，当我们遇到常见的几何数列或等差数列时，可以根据其规律推导出极限值。

二、函数极限函数极限是指当自变量趋于某一个值时，函数的取值趋于某个确定的值。

函数极限是数学分析的基础，对于理解和应用各种函数的性质和特点至关重要。

对于函数 f(x)，当x趋于某个值x0时，如果存在一个实数L，使得对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，当0 < |x - x0| < δ时，有|f(x) - L| < ε，那么我们就称函数 f(x) 的极限为L，记作lim f(x) = L。

计算函数极限需要运用一些基本的极限性质和方法，如极限的四则运算法则、极限的复合法则等。

此外，还需要结合一些常见函数的特性，如指数函数、对数函数、三角函数等，来求解更加复杂的函数极限。

三、无穷极限无穷极限是指当极限的自变量趋向于无穷大或无穷小的情况下，函数的取值趋于不同的极限。

无穷极限的研究可以帮助我们更深入地理解和运用数学中的极限概念。

1. 当x趋于正无穷大(+∞)时，我们写作x→+∞。

《高数》数列极限课件PPT

定义与其他概念的关系
极限与连续性的关系
函数的连续性是指在某一点处的极限值等于该点的函数值，因此，函数的连续性可以看作是极限的一种特殊情况。
极限与可导性的关系
极限与积分的关系
积分是研究面积和体积的重要工具，而积分的计算需要用到极限的概念。
可导性是指函数在某一点处的切线斜率存在，而这个切线斜率可以通过函数在该点的极限值来定义。
数列极限与其他数学概念的关系
数列极限与函数极限的关系
函数极限是数列极限的一个特例，即当自变量n趋于无穷大时，函数值趋于一个常数，这个常数就是函数的极限值。函数极限和数列极限有许多共同的性质和定理，如单侧极限、连续性等。
数列极限与微积分学
微积分学中的许多概念都与数列极限有关，如导数、定积分等。通过数列极限，我们可以更好地理解这些概念的本质和性质。同时，微积分学中的许多问题也需要借助数列极
04
数列极限的应用
在数学分析中的应用
极限是数学分析的基本概念之一，数列极限在数学分析中有着广泛的应用。通过研究数列极限，可以更好地理解函数的变化趋势、导数和积分的定义和性质等。
数列极限在证明一些数学定理和推导数学公式中也有着重要的作用。例如，利用数列极限可以证明实数的完备性定理、级数收敛的判别法等。
数列极限的几何解释
数列极限的几何解释是通过图形直观地理解数列收敛和发散的概念。在平面坐标系中，我们可以绘制数列的图像，通过观察图像的变化趋势来理解数列的收敛性和发散性。
收敛数列的图像会趋近于一个固定的点，而发散数列的图像则会远离这个点。通过比较不同数列的图像，我们可以更好地理解数列极限的性质和特点。
闭区间套定理
总结词
闭区间套定理是数列极限存在的一个充分条件，它表明如果一个数列的项构成一个闭区间套，则该数列收敛。

《高数》数列极限》课件

详细描述
几何级数是每一项都等于前一项乘以一个固定比例的数列。数列极限的概念用于计算几何级数的和，帮助我们了解这种数列的增长
趋势和规律。
05
数列极限的扩展知识
无穷级数的概念
要点一
无穷级数定义
无穷级数是无穷多个数按照一定顺序排列的数列，可以表示为$sum_{n=0}^{infty} a_n$，其中$a_n$是级数的项。
《高数》数列极限》ppt课件
• 数列极限的定义 • 数列极限的性质与定理 • 数列极限的运算 • 数列极限的应用 • 数列极限的扩展知识
01
数列极限的定义
定义及性质
定义
数列的极限是指当项数n无限增大时，数列的项无限趋近的数值。
性质
极限具有唯一性、有界性、局部保序性等性质。
收敛与发散
收敛
如果数列的极限存在，则称该数列收敛。
单调有界定理
如果数列单调递增且有上界或单调递减且有下界，则该数列收敛。
反例
举出一些不满足单调有界定理的数列，如无界且无周期的数列等。
应用
单调有界定理在证明某些数学问题时具有重要应用，如求函数的极值点等。
柯西收敛准则
柯西收敛准则
数列收敛的充要条件是对于任意给定的正数$varepsilon$，存在正整数$N$，使得当$n,m>N$时，有$|a_n - a_m|<varepsilon$ 。
幂级数求极限
幂级数求极限的方法
介绍如何利用幂级数的方法求极限，包括将函数展开为幂级数，并利用幂级数的性质求极限。
VS
举例说明
通过具体例子演示如何运用幂级数求极限，如求lim(x->0) (1+x)^1/x的极限值。

高数2数列极限

1 n
xn x4 x3 x2
1 54 3 43 2
x1 x
2
从直观上看,这个数列当n越来越大时, 对应的项xn会越来越接近于1,或者说“当n趋向于无穷大时, 数列xn趋近于1.如何用精确的, 量化的数学语言来刻划这一事实?
定义: 设{xn}是一个数列, a是一个常数,
若 >0, 正整数N, 使得当n>N时, 都有|xna|<,
则称a是数列{xn}当n无限增大时的极限, 或称{xn}收敛于a,
记作
lim
n
xn
a
, 或,
xn a(n )
( lim n
xn
a
, 或,
xn a(n ))
这时, 也称{xn}的极限存在, 否则, 称{xn}的极限不存在, 或称{xn}是发散的.
几何意义: 由于| xna |< a <xn< a xn(a , a +)=U(a, ).因此, 所谓xn以a为极限, 就是对任何以a为心, 以任意小的正数为半径的邻域,总能找到一个N, 从第 N+1项开始, 以后各项都落在邻域 U(a, ) 内,而只有有限项落在U(a, )外部.看图.
ai为常数, a00.两个多项式的商称为有理式 (有理函数).
对这种以n为自变量的有理函数的极限问题(n时), 可将分子，分母同除以分母的最高次幂n2.
lim
n
3n2 5n2
2n 3n
1 2
lim
3
2 n
1 n2
,
n
5
3 n
2 n2
由于分母的极限等于5(0), 分子的极限等于3，
故原式 3.
(3) 设 C 为常数，有 (4) 当 b0 时，有

高数极限概括.

(1) yn xn zn , n N (或从某一项开始) ;
(2)
lim
n
yn
lim
n
zn
a,
则
lim
n
xn
a
想想：如何证明夹逼定理?
因为
lim
n
yn
lim
n
zn
a,
所以
0, N1 0, 当 n N1 时, | yn a | ,
正小数的 , | xn1 | 总会小于这个 , 条件是只要
n充分的大。究竟要取多大呢？下面来分析：
事实上,
|
xn
1 |
1 n
,给 1
1000
, 很小,
要
|
xn
1 |
1 n
1 1000
, 只须n>1000 即可,
也即在这个
数列中,从第1001项开始,以后各项都有|
xn
1|
1 1000
.
又给 1 , 则从第10001项开始,
10000
以后各项都有
|
xn
1 |
1 10000
.
一般,
任给
>0,
不论多么小,
要使 |
xn
1|
1 n
只须 n
1
. 因此, 从第
1
1
项开始, 以后各项都有
| xn 1| . 因是任意的, 这就说明了当n越来越大时,
xn会越来越接近于1.
预先任意给定一个正数 > 0, 不论它的值多么小,
如果固定 ,则似乎可以得到
{xn} 有界的结论?
定理2（有界性定理）
若数列{ xn }收敛, 则{ xn }必有界.

高数数列极限经典例题

高数数列极限经典例题高数数列是数学中重要的概念，它定义了一个数列中每一项的表达式，以及每一项和前面项之间的关系。

极限是描述数列无限接近某个值的重要概念，也是高数中最重要的内容之一，比较经典的例题是必须要掌握的。

首先，让我们来看一个经典的极限例题：求函数y=x3-3x2+3的极限，当x趋近于1的时候。

这道题的步骤是，先求x接近1时，函数值的上限和下限，然后利用极限的定义求解极限。

根据函数定义，当x取值接近1时，函数值的上限是x3-3x2+3+Δx，下限是x3-3x2+3-Δx，Δx表示x变化量，这里可以看出上下限的差值为2Δx。

接下来，我们可以利用极限的定义，得出结论：当x变化量趋于0时，上下限的差值也是趋于0，也就是说，当x趋于1时，函数值的极限就是x3-3x2+3。

通过这个例题，我们不仅学会了求函数极限的方法，还学会了求解其他类似例题的步骤。

再来看一道比较典型的极限例题：求函数y=2x2-2x+1的极限，当x趋近于0的时候。

这道题的步骤也是先求函数值的上限和下限，然后利用极限的定义求解极限。

根据函数定义，当x取值接近0时，函数值的上限是2x2-2x+1+Δx，下限是2x2-2x+1-Δx，Δx表示x变化量，这里可以看出上下限的差值为2Δx。

再利用极限的定义，得出结论：当x变化量趋于0时，上下限的差值也是趋于0，也就是说，当x趋于0时，函数值的极限就是2x2-2x+1。

可以看出，这两道极限例题，在步骤上有些类似，只是数值上的差别。

解决时只要注意函数的表达式，分析x趋于某个值时，函数值的上下限，从而利用极限定义求解极限。

当然，极限例题远不止上面两道，在解决这类例题的时候要更加熟悉解决的技巧，多练习解出一些类似的经典例题，以便应对考试中可能出现的问题。

以上就是关于高数数列极限经典例题的几个介绍，以帮助大家更好地理解极限和掌握求解极限的技巧。

当然，要想真正掌握极限知识，不能只依靠死记硬背，而要形成自己独立思考和解决问题的能力。

102高数数列的极限

4. 如何判断数列1, -1, 1, -1, , (-1)n1, 是发散的？
答：奇数项构成的子数列的极限为1，偶数项构成
的子数列的极限为-1，极限不同，故该数列发散。
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铃
内容小结
1. 数列极限的 “ e – N ” 定义及应用.
2. 收敛数列的性质: 唯一性 ; 有界性 ; 保号性; 任一子数列收敛于同一极限.
分析:
|xn-1|= |
n(-1)n-1 n
-1|=
1 n
.
对对于于ee>>00,,要要使使|x|nx-n-11||ee,,
只只要要11ee
nn
,
,
即即nne1e1
. .
N
=
1
e
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lim
n
xn
=a
e
0,
NN,
当nN时,
有|xn-a|e
.
例例22. 证明 lim (-1)n = 0 . n (n1)2
有|xn-a|e
.
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铃
例如, 1 , 2 , 3 , , n ,
2 3 4 n1
xn
=
n n 1
1
(n )
收
敛
xn
= n (-1)n-1 n
1
(n )
2 , 4 , 8 , , 2n , xn = 2n (n ) 发
xn = (-1)n1 趋势不定散
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一、数列极限的定义
❖引例如可用渐近的方法求圆的面积S？用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S.

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xn
xn

1 1
在－1 与 1 之间跳动
观察可见：xn 的变化趋势只有两种：不是无限地接近
某个确定的常数，就是不接近于任何确定的常数。
由此，得到数列极限的初步定义如下：
20
定义2
若当 n 时，一般项 xn 无限地接近于某个
确定的常数 A , 则称 A 为数列 xn 的极限，记作
即有
xn
2
1 10000
26
高等数学
第三讲
主讲教师: 王升瑞
27
例1. 已知
证明数列的极限为1.
证:
xn 1

1 (1)n 1 n
0 , 欲使
即
只要
n

1

因此 ,
取
N
[1 ],

则当
n
N
时, 就有
1 (1)n 1
n
故
lim
n
xn

lim n (1)n n n
13
等比数列的前n 项和的公式
设等比数列
a1 , a1q, a1q2 , L , a1qn1,L
等比数列的前n 项之和，
Sn a1 a1q a1q2 a1qn1 (1)
上式两边同时乘以q 有：
qSn a1q a1q2 a1q3 a1qn (2)
上（1）式两边分别减去（2）式的两边得：
第二节数列的极限
一、数列极限的定义二、收敛数列的性质三、极限存在准则
第一章
1
极限概念前言极限概念是高等数学中最基本的概念，这个概念贯串着整个数学分析，并在数学的其它领域中起重要作用。因数学分析的其它基本概念可用极限概念来表达。微分、积分都可用极限运算来描述。掌握极限的概念和运算很重要。
33
观察数列{1 (1)n1}当n 时的变化趋势. n
34
观察数列{1 (1)n1}当n 时的变化趋势. n
35
观察数列{1 (1)n1}当n 时的变化趋势. n
36
观察数列{1 (1)n1}当n 时的变化趋势. n
37
观察数列{1 (1)n1}当n 时的变化趋势. n
38
观察数列{1 (1)n1}当n 时的变化趋势. n
39
观察数列{1 (1)n1}当n 时的变化趋势. n
40
观察数列{1 (1)n1}当n 时的变化趋势. n
41
例2. 已知
证明
证: xn 0

(n
1 1) 2

1 n 1
(0,1), 欲使
例如:
n n 1
是单调增加数列;
1
n

是单调减少数列
单调增加或单调减少的数列，统称为单调数列。
其特点是数列的点作定向移动，单增向右，
单减向左。
18
二、数列极限的定义
引例. 设有半径为 r 的圆 , 用其内接正 n 边形的面积
逼近圆面积 S .

如图所示 , 可知
n
r
当 n 无限增大时, 无限逼近 S (刘徽割圆术) ,
]2
n
n
n
n
而
xn 2n
xn 1n1 无极限
我们称有极限的数列为收敛数列，
无极限的数列为发散数列。
22
例如,
1 , 2 , 3 , , n , 2 3 4 n1
xn

n n 1
1
(n )
收
敛
xn

n (1)n1 n
1
(n )
2 , 4 , 8 , , 2n , xn 2n (n ) 发

[
1

]
42
例3. 设 q 1 , 证明等比数列
的极限为 0 .
证: xn 0
欲使
只要
即
亦即 n 1 ln .
ln q
因此
,
取
N

1

ln
ln q

, 则当 n > N
时,
就有
qn1 0
故
lim qn1 0
n
43
例4 求证
lim n
数学语言描述: 0, 正整数 N, 当 n > N 时, 总有
An S
19
引例
观察下列数列的变化趋势 n
1.
xn

1n1
1 n
xn 0
2.
xn
2n 1 n1
n
2 (1)n n
xn 2
3. xn 2n
4. xn 1n1
——刘徽
11
概念的引入
1、割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”
——刘徽
12
引例2： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 一尺之棰，第一次去其一半，第二次再去所余
之半，如此分割下去问：共去棒长多少？
解：
01 1 1
1
84 2
把所去之半排列起来：
1 2
lim 2n 1 n1 2 0
欲使
n
n
xn 2
2n 1 n1 2
n
1 n1 1
nn
25
xn
2

2n 1 2
n
由 1
n1
n

1 n1 1
nn
取 1 只要 n 100 N
16
2、数列的性质
设已知数列 xn
（1）有界性
若存在 M >0 , 对于一切 n 都有 xn M 则称数列
xn 是有界的；否则，若不存在这样的正数 M，则称
xn 是无界的。
例如：数列

1 n
,
1 n1 ,
2n 1 n

n
xn

a,
故存在
N1
,
使当
n
>
N1
时,从而xn Nhomakorabeaab 2
,
同理, 因
lim
n
xn
b,
故存在 N2 ,
使当 n > N2 时, 有
从而
xn

. ab 2

ba 2

xn

a

ba 2
3ab 2

xn

ab 2

ba 2

xn

b

ba 2
ab 2

xn

3ba 2
45
1 22
1
1
23 2n
此是公比为 q 1 2
共去棰长
sn
1 2
的等比数列
1 22

1 2n

1 2
1 2n
(1
1
0
1 2
n
)

1
1

n

1

n

1
2
2
Sn
a1 a1q a1q2 L
a1qn
a1(1 qn ) 1 q
1
28
观察数列{1 (1)n1}当n 时的变化趋势. n
29
观察数列{1 (1)n1}当n 时的变化趋势. n
30
观察数列{1 (1)n1}当n 时的变化趋势. n
31
观察数列{1 (1)n1}当n 时的变化趋势. n
32
观察数列{1 (1)n1}当n 时的变化趋势. n
24
几何解释 : a xn a ( n N )
(
)
x1 a xN 1 a xN 2 a x2 xN 1
当 n > N 时, 总有
为具体的说明 n 与之间的关系考察一般项为
xn

2n

1n1
n

2
1 n 1
n
数列，
当 n 无限增大时 xn 与 2的距离无限的小.
——刘徽
8
概念的引入
1、割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”
——刘徽
9
概念的引入
1、割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”
——刘徽
10
概念的引入
1、割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”
n

都是有界的，而数列 1 n 2n 是无界的。
17
( 2）单调性
若 xn 的项 xn 随着项数 n 的增大而增大，即满足
x1 x2 x3 xn
则称此数列是单调增加的；反之若
x1 x2 x3 xn
则称此数列是单调减少的。
散
xn (1)n1 趋势不定 23
为了精确的反映 xn 接近 a 的程度与 n 之间的关系给出
定义3 若数列及常数 a 有下列关系 :
当 n > N 时, 总有
则称该数列
的极限为 a , 记作
lim
n
xn

a
或 xn a (n )
此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 .
a xn a ( n N ) 即 xn ( a , ) ( n N )