高数(数列的极限)

(2). N的存在性（能找到）, N 依赖 ( N N ( ))
越小，通常正整数N 越大.
（但不是函数关系， 因N不唯一）
(3). xn a 的一致性：n N 的一切 xn 成立.
(4). 0 任意、给定二重性：
只有任意（小）才能刻划出 xn “无限接近于a ”， 而只有给定才能找到相应的N.
n
n
【证】
xn 1
n (1)n1 1 n
1 n
任给
0,
要 xn 1 ,
只要 1 ,
n
或n 1 ,
所以, 取N [1], 则当n N时,
就有 n (1)n1 1
n
即lim n (1)n1 1.
n
n
机动 目录 上页 下页 返回 结束
【例2】
证明：lim n
(
(1)n n 1)2
有
xn
1
1, 100
给定 1 , 1000
只要 n 1000时,
有
xn
1
1, 1000
给定 1 , 10000
只要 n 10000时,
有
xn
1
1, 10000
给定
0,
只要 n N ( [1])时,
有பைடு நூலகம்
xn 1 成立.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
10/29
1.【精确定义】
设{xn}为一数列, 若存在常数a , 对任给定的正数 ε(不论它多么小), 总存在正数N , 使得当n >N 时，
第一天截下的杖长为
X1
1; 2
第二天截下的杖长总和
为
X2
1 2
1 22
;
第n天截下的杖长总和为X n
1 2
1 22
1 2n
;
Xn
1
1 2n
1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
5/29
二、数列的定义
【定义】按自然数1,2,3, 编号依次排列的一列数
x1 , x2 , , xn ,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列
的项, xn称为通项(一般项).数列(1)记为 { xn }.
【例如】 2,4,8, ,2n , ;
1 , 1 , 1 , 248
,
1 2n
,
;
{2n } 1
{2n }
机动 目录 上页 下页 返回 结束
6/29
1,1,1, ,(1)n1 , ; {(1)n1 }
2, 1 , 4 , , n (1)n1 , ;
不等式 | xn -a |<ε都成立,那么就称 a是数列{xn} 的极 限,或者称数列{xn} 收敛于a, 记为
lim
n
xn
a
或 xn a (n )
【发散】如果数列没有极限,就说数列是发散的.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
【注意】
11/29
(1). xn a 刻划了xn与a的无限接近 ;
1/29
第二节 数列的极限
一、概念的引入 二、数列的定义 三、数列的极限
四、数列极限的性质
五、小结 思考题
1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、概念的引入
【引例】
1.【割圆术】
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
2/29
单击任观意察点完开毕始观察
【问题2】 “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它，描述它。
无限接近 要多接近就有多接近 可任意接近
“距离任意 小” “绝对值任意小”
即 xn 1可任意小.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
9/29
xn
1
(1)n1
1 n
1 n
给定 1 , 100
由1 1 , n 100
只要
n
100时,
15/29
【小结】 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定 0寻, 找N,但不必要求最小的N.
【例3】 证明lim qn 0,其中q 1. n
【证】 任给1 0, 若q 0, 则lim qn lim 0 0;
n
n
若0 q 1, xn 0 qn , n ln q ln ,
（5）.［意义］用一个有限数，概括出一个无限变化 的量(用常量研究变量)。
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.【 ε—N 定义】
12/29
lim
n
xn
a
0,
N
0, 使n
N时,恒有 xn
a
.
Any表任意(给)
Exist表存在或至少有一个
3.【几何解释】
a
2 a
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
n ln , ln q
取N [ln ],
ln q
则当n N时,
就有qn 0 ,
limqn 0. —公式 n
机动 目录 上页 下页 返回 结束
16/29
【补例4】
设xn
机动 目录 上页 下页 返回 结束
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
正6 2形n1的面积 An
A1 , A2 , A3 , , An ,
S
3/29
R
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.【截丈问题】
公元前300年左右，中国 4/29 古代思想家墨子语：
“一尺之棰，日取其半，万世不竭”
n (1)n1
{
}
23
n
n
3, 3 3, , 3 3 3 ,
【注意】 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x1 , x2 , , xn , .
x3 x1 x2 x4 xn 2.数列是整标函数 xn f (n).
机动 目录 上页 下页 返回 结束
三、数列的极限
7/29
观察数列{1 (1)n1 }当n 时的变化趋势. n
单击观任察意结点束开始观察
机动 目录 上页 下页 返回 结束
【问题1】当 n无限增大时, 是xn否无限接近于某一确 8/29
定的数值?如果是,如何确定?
通过上面演示实验的观察:
当n
无限增大时,
xn
1
(1)n1 n
无限接近于1.
【直观定义】当n无限增大时，xn无限接近于一个确 定的常数a，称a是数列xn的极限.
当n N时, 所有的点xn都落在(a , a )内, 只有有限个(至多只有N个)落在其外. 等价解释
【思考】认为“当n>N时，有无穷多个点落在(a-ε,a+ε) 内”是等价解释，正确吗？
机动 目录 上页 下页 返回 结束
13/29
【注意】数列极限的定义未给出求极限的方法.
【例1】 证明 lim n (1)n1 1.
0
14/29
【证】 xn a
(1)n (n 1)2
0
1 (n 1)2
1 n1
1 n
任给
0,
欲使
xn
0
,
只要 1 n
,
即n
1即可，
现取N 1, 则当n N时，有 xn 0 成立,
所以,
(1)n
lim
n
(n
1)2
0
【练习】证明常数列的极限等于它本身.（公式）
机动 目录 上页 下页 返回 结束