必修4同步7平面向量的实际背景及基本概念

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2.1平面向量的实际背景及基本概念

（2）直角坐标平面内的x轴，y轴是向量。（3）如果两个向量所在的直线互相平行，那么这两个向量是平行向量。
（4）平行向量所在的直线一定互相平行。（5）单位向量都相等。
二、课堂互动讲练
（6）不相等的向量一定不平行。（7）若 | a | > | b | 则 a > b 。
二、课堂互动讲练
（三）解决问题
3、掌握平行向量、相等向量、共线向量的概念。重、难点重点：理解并掌握向量、向量的模、零向量、单
位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念。难点：向量的方向、相等向量、共线向量。
一、课前自主探究 1、什么是位移？ 2、什么是向量？你还能从物理学中举出一些这样的量吗？
3、什么是数量？生活中哪些量是数量
？ 4、什么是有向线段？怎样表示？它的长度怎样表示？它由哪几个要素组成？
5、向量的大小（或称模），怎样表示?
一、课前自主探究 6、对比线段的表示方法，向量怎样表示？ 7、你知道两个特殊向量吗？它们是？ 8、什么是平行向量？ 9、什么是相等向量？ 10、什么是共线向量?
二、课堂互动讲练
（一）选择
1、下列物理量不是向量的是（ ① ⑥ ⑦
① 质量 ② 速度 ③ 位移 ④
）
力
⑤
加速度 ⑥
路程
⑦
密度
2、下列说法中错误的是（ A ） A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为零 C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的
二、课堂互动讲练
（二）辨析
（1）温度含零上和零下温度，所以温度是向量。
（1）与零向量相等的向量必定是什么向量？
零向量（2）与任意向量都平行的向量是什么向量？零向量
（3）平行向量是否一定方向相同？不一定

平面向量的实际背景及基本概念

向量的减法
要点一
性质
向量减法满足反交换律，即 $\overset{\longrightarrow}{a} \overset{\longrightarrow}{b} = \overset{\longrightarrow}{b} + \overset{\longrightarrow}{a}$。同时，向量减法不满足结合律。
• 意义：数乘向量在实际问题中具有重要意义，如表示平行四边形和梯形的性质、求解物理问题中等。
向量的点乘
• 定义：两个向量之间的点乘运算称为内积或标量积。点乘结果是一个实数，记作$\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b}$。
向量的加法
• 性质：向量加法满足交换律和结合律，即$\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b} = \overset{\longrightarrow}{b} + \overset{\longrightarrow}{a}$，$(\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b}) + \overset{\longrightarrow}{c} = \overset{\longrightarrow}{a} + (\overset{\longrightarrow}{b} + \overset{\longrightarrow}{c})$。
向量的点乘
• 性质：点乘满足交换律和分配律，即$\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b} = \overset{\longrightarrow}{b} \cdot \overset{\longrightarrow}{a}$， $(\lambda\mu)\overset{\longrightarrow}{a} = \lambda(\mu\overset{\longrightarrow}{a})$。此外，点乘还满足正交变换不变性和垂直性质。

高一数学必修四平面向量的实际背景及基本概念课件

（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定.
问题2：两个向量是否可以比较大小？
向量不能比较大小，我们知道，长度相等且方向相同
的两个向量表示相等向量，但是两个向量之间只有相等
种理想和幻想。这并不是什么毛病，而是
一种宝贵品质。
——加里宁
结语
谢谢大家！
我们可以对位移、力……这些既有大小又有方向的量进行抽象，形成一种新的量.这种量就是我们本章所要研究的——向量.
向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量（物
理学中常称为矢量）. 而把那些只有大小，没有方向的量如年龄、身高、长
度、面积、体积、质量等，称为数量,物理学中常称为标量. 注意：数量与向量的区别，数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.
解：（1）DE、BF、FB、FA、
A
AF、ED、MC
F
E
M
（2）FB、AF、MC
B
D
C
4. 在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点P，那么它们的终点的集合组成什么图形？
P
向量的概念: 向量的表示方法：零向量、单位向量概念：平行向量的定义：相等向量的定义：共线向量与平行向量关系：
无论哪个时代，青年的特点总是怀抱着名
1:8000000
解： AB表示A地至B地的位移，且
AB 240km .
AC 表示A地至C地的位移，且 AC 300km .
相等向量与共线向量平行向量定义：
a b c

2.1平面向量的实际背景及基本概念- 高中数学人教A版必修4课件(共19张PPT)

位移和距离
长度+方向
香港
上海台北
物理背景引入
G
F
力大小+方向
物理背景引入
速度大小+方向
物理背景引入
物理
位移
矢力量
速度
大小+方向
数学向量
概念理解
定义：既有大小又有方向的量叫向量。注：1.向量两要素；
2.向量与数量的区别： ①数量只有大小，可以比较大小。
②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比较大小的，因此向量不能比较大小。
概念辨析
判断题
1.身高是一个向量 ( ) 2．温度含零上和零下温度，所以温度是向量（）
3.坐标平面上的 x 轴和 y 轴都是向量 ( )
几何表示
有向线段：如图，以 A 为起点、B 为终点的有向线段. 记作 AB
或 a ，一条有向线段由哪几个基本要素所确、方向
向量关系
2.相等向量的定义：长度相等，方向相同的向量
D
A
uuur uuur
记作：AB DC
B
C
3.相反向量的定义：长度相等，方向相反的向量
r a
rr
r c
记作： a = -c
典型例题
例 1 判断下列命题是否正确，请说明理由： (1)若向量 a 与b 同向，且| a || b | ，则a b ； (2)若向量| a || b | ，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)对于任意向量| a || b | ，若a 与b 的方向相同，则a b ； (4)由于0 方向不确定，故0 不与任意向量平行； (5)向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 方向相同或相反．

平面向量的实际背景及基本概念点评

《平面向量的实际背景及基本概念》课例点评《平面向量的实际背景及基本概念》是人教版必修4第二章《平面向量》的起始课，因而兼有介绍本课学习内容、目的和重要性的学习任务. 刘娟老师的课，在全面理解教材、理解学生和理解教学的基础上，有如下特色：1. 引入新颖，首尾呼应设置教师节问候短信情境引入，新颖别致. 由于此情景来源于学生生活，有效地激发了学生的学习兴趣，从课堂上学生表现的情绪看，此情景一出，立即吸引了学生的注意力.课程结束时的回眸，首尾呼应，并突出了向量的本质：方向和模.2. 章头介绍，恰逢其时以问候短信作为实际背景引入本节课，并结合物理中的矢量得出数学上的向量概念后，这时学生对向量有了一个较为明确的认知，此时学生有一个疑惑：为什么要学习向量呢？在学生“愤悱”之时，章头的介绍“如约而至”. 既然向量的作用如此重要，接下来的学习，在心理上学生已经接受，便会更加努力.3. 尊重教材，凸显联系由于教材的内容只是几个概念的罗列，逻辑关系不明确，需要教师进行梳理.此节课的设计在尊重教材的基础上，凸显了知识之间的联系.此节课：类比初中学习的线段的表示得到向量的表示；因为向量的模是实数，由实数集的特殊元素0、1，得到特殊向量零向量和单位向量；通过学生观察坐标方格中向量的关系，给出平行和相等向量的有关概念.4. 熟悉学生，衔接舒畅本节课整体课程层层递进，课堂自然流畅；针对学生的易混点、易错点设置典例；问题切中要害，教师讲理丝丝入扣.充分体现了教师对学生基础和认知水平的把握.在合理运用教材素材，充分熟悉学生认知的基础上，设计合理的教学流程和内容，彰显了教师的综合能力.5. 素养培养，落在实处向量是数学的核心概念，理解核心概念有助于培养学生核心素养. 概念教学中，遵循从特殊到一般的认知规律，厘清概念发生发展的脉络，从“数”与“形”两个方面把握向量的研究方法，通过概念辨析，培养学生的思辨能力，引导学生质疑，培养学生的批判性思维，注重基本知识基本技能培养，形成学习新概念的一般方法.6. 把控课堂，游刃有余熟悉学生的认知结构和能力，在学生的最近发展区提问、追问，引导学生建立原有知识与新知之间联系，引起学生的认知冲突，揭示学生的思维过程；采用类比策略，降低理解新知的难度，构建新的知识结构过程入情入理；始终围绕教学重点展开，突破难点抽丝剥茧、水到渠成；多媒体运用恰当，多媒体演示与板书融为一体，增强课堂教学的有效性. 教师把控课堂和驾驭学生能力强.7. 学生发展，贯穿始终重视发挥学生的主体作用，学生动脑动手动口，在实践中获得亲历体验，力求达到“做中学”. 运用“小组合作学习”模式，培养学生“自主探究、合作学习”能力，指导学生尝试自主学习，培养学生学习能力，着眼学生的终身学习和终身发展.。

人教课标版高中数学必修4《平面向量的实际背景及其基本概念》名师课件

知识回顾问题探究课堂小结随堂检测
探究三:相等向量与共线向量
活动4:巩固基础,检查反馈
例1.下列说法中正确的个数是（ B ）
（1）身高是一个向量;
（2）
的两条边都是向量;
（3）温度含零上和零下温度,所以温度是向量;
（4）物理学中的加速度是向量.
A.0
B.1
C.2
D.3
【解题过程】身高只有长度,没有方向,不是向量,角的边是没有大小和方向的,温度只有数值,没有方向.
平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量a、b平行,
通常记作a∥b; 规定:零向量与任一向量平行.
知识回顾问题探究课堂小结随堂检测重难点突破
（1）通过生活中的实例,了解数量和向量的区别. （2）掌握向量的表示方法以及和有向线段的区别. （3）理解零向量、单位向量、共线向量（平行向量）的概念. （4）相等向量一定是共线向量,共线向量不一定是相等向量.
知识回顾问题探究课堂小结随堂检测探究二:向量的几何表示以及基本概念
活动1:向量与有向线段的联系和区别有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,三个要素:起点、方向、长度.
向量的表示方法:
① 用有向线段表示;
② 用字母
;
③ 用有向线段的起点和终点字母: ;
④ 向量的大小（长度）称为向量的模,记作 .
知识回顾问题探究课堂小结随堂检测பைடு நூலகம்
探究三:相等向量与共线向量
活动1:相等向量的概念
设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出图中与
相等的向量.
总结:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.记:a=b
知识回顾问题探究课堂小结随堂检测探究三:相等向量与共线向量

人教版高中数学必修4平面向量的实际背景及基本概念

①数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小. ②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比较大小的，因此向量不能比较大小。
人教版高中数学必修4平面向量的实际背景及基本概念
人教版高中数学必修4平面向量的实际背景及基本概念
二、向量的概念
在数学中,把既有大小，又有方向的量叫做向量. 在数学中，把只有大小，没有方向的量叫做数量．注：向量与数量的区别
1.问：力、速度、加速度、位移有什么共同特点？
向量：既有大小，又有方向的量.
2.问：路程、面积、功、身高
数量：只有大小，没有方向的量.
人教版高中数学必修4平面向量的实际背景及基本概念
人教版高中数学必修4平面向量的实际背景及基本概念
1.问：力、速度、加速度、位移有什么共同特点？
向量：既有大小，又有方向的量.
练习： 1、单位向量是否一定相等？
2、单位向量的大小是否一定相等？
练习： 1、单位向量是否一定相等？
不一定 2、单位向量的大小是否一定相等？
一定
练习： 1、平行向量是否一定方向相同？
2、不相等的向量一定不平行吗？
练习： 1、平行向量是否一定方向相同？
不一定
2、不相等的向量一定不平行吗？
不一定
记作： a = b
a b
共线向量平行向量相反向量
➢ 任意一组平行向量都可以平移到同一直线上，所平行向量也叫共线向量 ➢ 任意一个向量 AB 的相反向量 BA
练习（1）相等向量一定是平行向量？
（2）平行向量一定是相等向量？
在下列结论中，哪些是正确的？（1）如果两个向量相等，那么它们的起点和终点分别重合；（2）模相等的两个平行向量是相等的向量；（3）如果两个向量是单位向量，那么它们相等；（4）两个相等向量的模相等。

《平面向量的实际背景及基本概念》教案全面版

《平面向量的实际背景及基本概念》教案全面版一、教学目标：1. 让学生理解平面向量的实际背景，感受向量在现实生活中的应用。

2. 掌握平面向量的基本概念，包括向量的定义、向量的表示、向量的运算等。

3. 培养学生的抽象思维能力，提高学生运用向量解决问题的能力。

二、教学内容：1. 向量的实际背景：介绍向量在物理学、几何学等领域的应用，如力的表示、位移的表示等。

2. 向量的基本概念：(1) 向量的定义：线段上的点称为向量的始点，线段的另一端称为向量的终点，线段的长度称为向量的模。

(2) 向量的表示：用箭头表示向量，箭头的长度表示向量的模，箭头的方向表示向量的方向。

(3) 向量的运算：加法、减法、数乘、点积、叉积等。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：向量的实际背景，向量的基本概念，向量的表示方法。

2. 教学难点：向量的运算，向量的几何意义。

四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解向量的实际背景和基本概念。

2. 采用案例分析法，分析向量在实际问题中的应用。

3. 采用互动教学法，引导学生参与课堂讨论，提高学生的参与度。

五、教学过程：1. 引入新课：通过力的表示、位移的表示等实例，引导学生了解向量的实际背景。

2. 讲解向量的基本概念：讲解向量的定义、表示方法，并进行示例演示。

3. 向量的运算：讲解向量的加法、减法、数乘等运算方法，并进行示例演示。

4. 向量的几何意义：通过图形展示向量的几何意义，引导学生理解向量在几何中的应用。

5. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学内容。

7. 课后作业：布置课后作业，巩固所学知识。

六、教学评估：1. 课堂讲解过程中，观察学生对向量实际背景的理解程度，以及对向量基本概念的掌握情况。

2. 课堂练习环节，收集学生的练习成果，评估学生对向量运算的熟悉程度。

3. 课后作业的完成情况，以检验学生对课堂所学知识的巩固程度。

七、教学策略的调整：1. 根据学生的学习反馈，针对性地加强向量实际背景的讲解，提高学生对向量的认识。

§2.1平面向量的实际背景及基本概念

AB | | CD | | EF | , 但 CD EF 无意义
2013-1-10
重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@
9
§2.1平面向量的实际背景及基本概念
§ 2.1.2
向量的几何表示
判断题 1.温度含零上和零下温度，所以温度是向量（ 2.向量的模是一个正实数。（ 3.若|a|>|b| ，则a > b ））
2013-1-10 重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@ 23
§2.1平面向量的实际背景及基本概念
课堂练习 <<教材>> P.5 书面作业 <<教材>> P.77 习题2.1 A组3.4.5.6 B组2 练习1.2.3.4.5
2013-1-10
重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@
( 2 ) 若 | a | | b |, 则 a b ; ( 3 ) 若 AB DC ，则四边形 ABCD 是平行四边形 AB DC ; ;
( 4 )平行四边形 ( 5 )若 m
ABCD 中，一定有 k;
n, n k , 则 m
( 6 ) 若 a // b , b // c , 则 a // c 其中不正确命题的个数 A .2
12
重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@
§2.1平面向量的实际背景及基本概念
§ 2.1.3 相等向量与平行向量 1.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。向量 a 与 b 相等，记作：a b
a b V4 c a=b=c
注：1.若向量 a , b
V1 V2 V3
§2.1平面向量的实际背景及基本概念

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第一节平面向量的实际背景及基本概念
1.向量的定义：
既有大小又有方向的量叫做向量，如力，位移等．只有大小，没有方向的量叫做数量．向
量的大小叫做向量的长度（或称模）．
2.向量的表示：用有向线段（带有方向的线段）表示，此时有向线段的方向为向量的方

向．如以A为起点，以B为终点的向量记为AB．
3.零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
4.单位向量：长度为1个单位长度的向量．
5.相等向量：长度相等且方向相同的向量．
6.相反向量：长度相等且方向相反的向量．
7.平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量．
8.零向量与任意向量都平行．
例1.下列说法正确的是（）

A．//ABCD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线
B．长度相等的向量叫相等向量
C．零向量的长度等于0
D．共线向量是在同一条直线上的向量
例2.如图，四边形ABCD与ABEC都是平行四边形．

（1）写出与向量AB共线的向量；

（2）写出与向量AB相等的向量．

演变1.如图所示，四边形ABEF和BCDE均是边长为1的正方形，在以A、B、C、
D、E、F
为起点和终点的向量中：

（1）写出与AF、AE相等的向量；

（2）写出与AD模相等的向量．

例3.一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达点B，然后又改变方向向西偏北
50
行驶了200千米到达点C，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达点D．

（1）作出向量AB、BC、CD；（2）求||AD
9.向量的加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．两个向量的和仍然是一
个向量．
10.向量的加法法则：

（1）三角形法则：已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作ABa，BCb，

则向量AC叫做向量a与b的和，记作ab．这种求向量和的方法叫做向量加法的三角形
法则；
例1.在边长为1的正方形ABCD中，||ABBCCD

练习1.化简：ABBCCD ；ABBCCA
||||||abab，当且仅当a与b同向时取等号；||||||||abab

，当且仅当a与

b

反向时取等号．

例2.已知||3a，||2b，则||ab的取值范围是
（2）平行四边形法则；已知两个不共线向量a、b，作ABa，ADb，则A、B、
D三点不共线，以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD
，则对角线上的向量ACab，

这种作两向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．
例1.如图，四边形ABCD为菱形，则下列等式中成立的是（）

A．ABBCCA B．ABACBC C．ACBAAD D．ACADDC
例2.若O是ABC内一点，OAOBCO，则O是ABC的（）
A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心
例3.非零向量a、b满足||||||abab，则a、b的夹角为
11.向量加法的运算律：
（1）交换律：abba；（2）结合律：)()(cbacba
例1.FABCCDDFAB_____________
练习1.化简：PBOPBO ；()ABMBBOOM ；
OAOCBOCO

强化练习
一、选择题：
1.下列量中是向量的是（）
A．长度 B．身高 C．速度 D．面积
2.单位向量的长度等于（）
A．0 B．1 C．2 D．不确定

3.已知a与b的长度相等，则有（）

A．ab B．||||ab C．//ab D．ab
4.已知非零向量a、b满足//ab，则下列说法错误的是（）
A．ab B．它们方向相同或相反 C．所在直线平行或重合 D．都与零向量共线
5.如图，圆O上有三点A、B、C，则向量BO、OC、OA是（）
A．有相同起点的相等向量 B．单位向量 C．模相等的向量 D．相等的向量

6.如图，已知四边形ABCD是梯形，//ABCD，E、F、G、H分别是AD、BC、
AB
与CD的中点，则EF等于（）

A．ADBC B．ABDC C．AGDH D．BGGH
二、填空题：
7.如图所示，在四边形ABCD中，ABDC，且||||ABAD，则四边形ABCD为

8.在菱形ABCD中，60DAB，向量||1AB，则||BCCD
9.如图所示，120AOBBOC，||||||OAOBOC，则OAOBOC
三、解答题：
10.在平行四边形ABCD中，与AB共线的向量有哪些？

11.一个人从A点出发沿东北方向走了100米到达点B，然后改变方向，沿南偏东15方向
又走了100米到达点C，求此人从C点走回A点的位移。

答案：C B B；A C C；菱形；1；0
10.答：BA，CD，DC
11.答：100米