必修4 平面向量(讲义和练习)

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人教版必修4平面向量知识点分类有答案

人教版数学必修2知识点总结第二章平面向量一、概念及表示(一) 概念及意义1. 下列说法正确的是（）A. 长度相等的向量叫做相等向量B. 共线向量是在同一直线上的向量C. 零向量的长度等于0D. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，就是AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在的直线平行于CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在的直线 2. 下列说法中：①两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同； ②若|a ⃗ |=|b ⃗ |，则|a ⃗ =b ⃗ ； ③若非零向量a ⃗ ,b ⃗ 共线，则a ⃗ =b ⃗ ； ④向量a ⃗ =b ⃗ ，则向量a ⃗ ,b ⃗ 共线；⑤由于零向量的方向不确定，故其不能与任何向量平行；其中正确的序号为___________ ． 3. 下列命题中，正确的个数是（）①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量； ③若a ⃗ ,b ⃗ 满足|a ⃗ |>|b ⃗ |且a ⃗ 与b ⃗ 同向，则a ⃗ >b ⃗ ； ④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ⑤若a ⃗ //b ⃗ ,b ⃗ //c ⃗ ，则a⃗ //c ⃗ ． A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个4. 有下列四个命题：①互为相反向量的两个向量模相等；②若向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是共线的向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上； ③若|a ⃗ |=|b ⃗ |，则a ⃗ =b ⃗ 或a ⃗ =−b ⃗ ； ④若a ⃗ ⋅b ⃗ =0⃗ ，则a ⃗ =0⃗ 或b ⃗ =0⃗ ；其中正确结论的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 15. 下列叙述中，正确的是( )A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ B. 若|a ⃗ |=|b ⃗ |且a ⃗ //b ⃗ ，则a ⃗ =b ⃗ C. 若|a ⃗ −b ⃗ |=|a ⃗ +b ⃗ |，则a ⃗ ⊥b ⃗D. 若向量b ⃗ 与向量a ⃗ 共线，则有且只有一个实数λ，使得b ⃗ =λa ⃗6. 下列说法：①如果非零向量a ⃗ 与b ⃗ 的方向相同或相反，那么a ⃗ +b ⃗ 的方向必与a ⃗ ，b ⃗ 之一的方向相同； ②△ABC 中，必有AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ； ③若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点； ④若a ⃗ ，b ⃗ 均为非零向量，则|a ⃗ +b ⃗ |与|a ⃗ |+|b ⃗ |一定相等．其中正确说法的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3(二) 表示及加减法7. 已知向量a ⃗ 表示“向东航行3km ”，向量b ⃗ 表示“向南航行3km ，则a ⃗ +b ⃗ 表示（）A. 向东南航行6kmB. 向东南航行3√2kmC. 向东北航行3√2kmD. 向东北航行6km8. 化简以下各式：①AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ②AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ③FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QP ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ −EP ⃗⃗⃗⃗⃗ ④OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 其结果是为零向量的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 49. 下列四式不能化简为AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的是（） A. MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. (AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) C. (AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+BC ⃗⃗⃗⃗⃗D. OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗10. 下列各式中不能化简为AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的是（） A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗B. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗C. MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗11. 给出下面四个命题：①AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ；②AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；③AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；其中正确的个数为（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个12. 已知a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ ，d ⃗ 为非零向量，且a ⃗ +b ⃗ =c ⃗ ，a ⃗ −b ⃗ =d⃗ ，则下列说法正确的个数为（） (1)若|a ⃗ |=|b ⃗ |，则c ⃗ ⋅d ⃗ =0； (2)若c ⃗ ⋅d ⃗ =0，则|a ⃗ |=|b ⃗ |； (3)若|c ⃗ |=|d ⃗ |，则a ⃗ ⋅b ⃗ =0； (4)若a ⃗ ⋅b ⃗ =0，则|c ⃗ |=|d⃗ | A. 1 B. 2 C. 3 D. 413. 在△ABC 中，点D 满足BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则（） A. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 14. 在四边形ABCD 中，若DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则这个四边形是（） A. 平行四边形 B. 菱形C. 矩形D. 等腰梯形15. 已知a ⃗ ，b ⃗ 为非零向量，且|a ⇀+b ⇀|=|a ⇀|+|b ⇀|，则一定有（）A. a ⃗ =b⃗ B. a ⃗ //b ⃗ ，且a ⃗ ，b ⃗ 方向相同 C. a ⃗ =−b ⃗D. a ⃗ //b ⃗ ，且a ⃗ ，b ⃗ 方向相反16. 设非零向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |则（）A. a ⃗ ⊥b ⃗B. |a ⃗ |=|b ⃗ |C. a ⃗ //b ⃗D. |a ⃗ |>|b ⃗ |17. 若向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=|b ⃗ |=|a ⃗ +b ⃗ |=1，则 a ⃗ ⋅b ⃗ 的值为（）A. −12B. 12C. −1D. 118. 在△ABC 中，(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |2，则三角形ABC 的形状一定是（） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形19. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,5)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,n)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(7,6)，则m +n 的值为___________ ．二、图形运算及平面向量基本定理(一)平面向量基本定理20. 如图，已知CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AD =2DB ，用a ⃗ 、b ⃗ 表示DC ⃗⃗⃗⃗⃗为（） A. DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−53a ⃗ +23b ⃗ B. DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a ⃗ −13b ⃗ C. DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23a ⃗ −13b ⃗ D. DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13a ⃗ −23b ⃗ 21. 已知D 、E 、F 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ 、CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ 、AB ⃗⃗⃗⃗⃗=c ⃗ 、则 ①EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12c ⃗ −12b ⃗ ； ②BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +12b ⃗ ； ③CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a ⃗ +12b ⃗ ； ④AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 其中正确的等式个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 422. 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 相交于点F ，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =（） A. 14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. 12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +14BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. 12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. 23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 23. 在平行四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,P 为AD 的中点，MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=（） A. 45a ⃗ +310b ⃗ B. 45a ⃗ +1310b ⃗ C. −45a ⃗ −310b ⃗ D. 34a ⃗ +14b ⃗ 24. 已知四边形ABCD 为正方形，点E 是CD 的中点，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则BE ⃗⃗⃗⃗⃗=（） A. 12b ⃗ +a ⃗ B. b ⃗ −12a ⃗ C. 12a ⃗ +b ⃗ D. a ⃗ −12b ⃗ 25. 在平行四边形ABCD 中，点F 为线段CD 上靠近点D 的一个三等分点.若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =（） A. 14a⃗ +12b ⃗ B. 23a⃗ +13b ⃗ C. 12a⃗ +14b ⃗ D. 13a⃗ +23b ⃗ 26. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，且DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则（） A. x =−1，y =−12 B. x =1，y =12 C. x =−1，y =12D. x =1，y =−1227. 在△ABC 中，已知D 是BC 延长线上一点，点E 为线段AD 的中点，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AE ⃗⃗⃗⃗⃗=λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=（） A. −14B. 14C. −13D. 1328. 如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 分别为AB 、AD 上的点，且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =45AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，连接AC 、MN 交于P 点，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ的值为（） A. 35B. 37C. 411D. 41329. 如图，在△ABC 的边AB 、AC 上分别取点M 、N ，使AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BN 与CM 交于点P ，若BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μCP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λμ的值为（） A. 83 B . 38C. 16D. 630. 如图，在△ABC 中，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的值为（）A. 89B. 49C. 83D. 4331. 在△ABC 中，已知点D 为AB 边的中点，点N 在线段CD 上，且CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2ND ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=（）A. 13B. −13C. 23D. −2332. 在△ABC 中，AB =2，BC =3，∠ABC =60∘，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ=（）A. 1B. 12C. 13D. 2333. 如图，M 、N 是△ABC 的一边BC 上的两个三等分点，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ___________ ．(二)判断形状34. 已知向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−3)，向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−2)，则△ABC 的形状为（）A. 等腰直角三角形B. 等边三角形C. 直角非等腰三角形D. 等腰非直角三角形35. 若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，则△ABC 的形状为（） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形D. 等边三角形36. 已知向量a ⃗ 、b ⃗ 不共线，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +2b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4a ⃗ −b ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−5a ⃗ −3b ⃗ ，则四边形ABCD 是（）A. 梯形B. 平行四边形C. 矩形D. 菱形(三)线性表示及数量积运算37. 已知边长为2的正方形ABCD 中，E 为AD 中点，连BE ，则BE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =（） A. −2 B. −1 C. 1 D. 238. 设四边形ABCD 为平行四边形，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，若点M 、N 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（） A. 20 B. 15 C. 9 D. 639. 正三角形ABC 中，D 是线段BC 上的点，AB =6，BD =2，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（） A. 12 B. 18 C. 24 D. 3040. 如图在平行四边形ABCD 中，已知AB =8，AD =5，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是（） A. 18 B. 20 C. 22 D. 2441. 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D,E 分别是边AB,BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE =2EF ，则AF →⋅BC →的值为（）A. −58B. 18C. 14D. 11842. 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ =4，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1，则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是______． 43. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB =8，AD =5，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是______．44. 如图，在平面四边形ABCD 中，若AC =3，BD =2，则(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )= _____．45. 菱形ABCD 的边长为2，∠A =60∘，M 为DC 的中点，则AM →·AB →的值为______ ．46. 在△ABC 中，已知∠ACB =90∘，CA =3，CB =4，点E 是边AB 的中点，则CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．47. 已知直角梯形ABCD 中，AB//CD ，∠BCD =60∘，E 是线段AD 上靠近A 的三等分点，F 是线段DC的中点，若AB =2，AD =√3，则EB ⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ EF⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 48. 在△ABC 中，∠A =60∘，AB =3，AC =2.若BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4，则λ的值为______．(四)面积问题49. △ABC 所在平面上一点P 满足PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△PAB 的面积与△ABC 的面积比（） A. 2：3 B. 1：3 C. 1：4 D. 1：650. 设点O 在△ABC 的内部，且有OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则△AOB 的面积与△ABC 的面积之比为（） A. 13B. 53C. 12D. 2351. 已知O 为正△ABC 内的一点，且满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1+λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，若△OAB 的面积与△OBC 的面积的比值为3，则λ的值为（）A. 12B. 52C. 2D. 352. 已知点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△AMB 与△ABC 的面积比为（） A. 52B. 25C. 75D. 57三、平行垂直判定53. 已知平面向量a⃗ =(1,2)，b ⃗ =(x,−2)，若a ⃗ 与b ⃗ 共线，则x 的值为（） A. −4 B. 4 C. −1 D. 154. 已知A(1,3)，B(4,−1)，则与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的单位向量为（）A. (45,35)或(−45,35) B. (35,−45)或(−35,45) C. (−45,−35)或(45,35) D. (−35,−45)或(35,45)55. 若向量a ⃗ =(1,0)，b ⃗ =(2,1)，c ⃗ =(x,1)满足条件3a ⃗ −b⃗ 与c ⃗ 共线，则x 的值（） A. 1 B. −3 C. −2 D. −156. 给定两个向量a ⃗ =(3,4)，b ⃗ =(2,1)，若(a ⃗ +x b ⃗ )//(a ⃗ −b ⃗ )，则x 的值等于（）A. 32B. −1C. 1D. −3257. 设向量a ⃗ ，b ⃗ 不平行，向量λa ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ +2b⃗ 平行，则实数λ=______． 58. 已知▱ABCD 的三个顶点A(−1,−2)，B(3,1)，C(0,2)，则顶点D 的坐标为（）A. (2,−3)B. (−1,0)C. (4,5)D. (−4,−1)59. 已知向量a ⃗ =(1,m)，b ⃗ =(3,−2)，且(a ⃗ +b ⃗ )⊥b ⃗ ，则m =（）A. −8B. −6C. 6D. 860. 设x ∈R ，向量a ⃗ =(x,1),b ⃗ =(1,−2)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则|a⃗ |=（） A. √5B. 2√5C. 10D. √1061. 已知向量a ⃗ =(k,3)，b ⃗ =(1,4)，c ⃗ =(2,1)且(2a ⃗ −3b ⃗ )⊥c ⃗ ，则实数k =（）A. −92B. 0C. 3D. 15262. 设向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(0,−2).则与a ⃗ +2b⃗ 垂直的向量可以是（） A. (3,2) B. (3,−2) C. (4,6) D. (4,−6)63. 设向量a ⃗ =(m,1)，b ⃗ =(1,2)，且|a ⃗ +b ⃗ |2=|a ⃗ |2+|b ⃗ |2，则m =______． 64. 已知向量a ⃗ =(−2,3)，b ⃗ =(3,m)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则m =______．65. 已知向量a ⃗ =(−1,2)，b ⃗ =(m,1)，若向量a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ 垂直，则m =______． 66. 设向量a ⃗ =(x,x +1)，b ⃗ =(1,2)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则x =______．67. 已知向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(2,λ)，c⃗ =(−3,2)． (1)若a ⃗ //b ⃗ ，求实数λ的值；(2)若k a ⃗ +c ⃗ 与a ⃗ −2c ⃗ 垂直，求实数k 的值．68. 已知向量a ⃗ =(1,0),b ⃗ =(−2,1)．(1)若k a ⃗ −b ⃗ 与a ⃗ +3b ⃗ 垂直，求k 的值；(2)若k a ⃗ −b ⃗ 与a ⃗ +3b ⃗ 平行，求k 的值．69. 已知△OAB 中，点D 在线段OB 上，且OD =2DB ，延长BA 到C ，使BA =AC.设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ． (1)用a ⃗ ,b ⃗ 表示向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；(2)若向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +k DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，求k 的值．70. 在平行四边形ABCD 中，A(1,1)、B(7,3)、D(4,6)，点M 是线段AB 的中点线段CM 与BD 交于点P ．(1)求直线CM 的方程；(2)求点P 的坐标．四、三点共线71. 向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(k ,12)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4 , 5)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(10 , 8)，若A 、B 、C 三点共线，则k = ______ ． 72. 设D 为△ABC 所在平面内一点，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λDC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，则λ=（） A. 2 B. 3 C. −2 D. −373. 在△ABC 中，若点D 满足BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（） A. 13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 53AB ⃗⃗⃗⃗⃗−23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 74. 如图，已知△OAB ，若点C 满足AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R)，则1λ+1μ=（）A. 13 B. 23 C. 29D. 9275. 已知e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是不共线向量，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−e 1⃗⃗⃗ +3e 2⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λe 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ ，且A ，B ，D 三点共线，则实数λ等于（）A. 3B. 4C. 5D. 676. 如图，在△ABC 中，线段BE ，CF 交于点P ，设向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,AP⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23a ⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12b ⃗ ，则向量c ⃗ 可以表示为（） A. c⃗ =34a ⃗ +12b ⃗ B. c ⃗ =12a ⃗ +34b ⃗ C. c⃗ =12a ⃗ +14b ⃗ D. c ⃗ =14a +12b 77. 如图，在▱ABCD 中，M ，N 分别为AB ，AD 上的点，且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，连接AC ，MN 交于P 点，若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ的值为（） A. 35 B. 37C. 613D. 61778. 平面直角坐标系中，O 为原点，A 、B 、C 三点满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =34OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=（） A. 1 B. 2 C. 3D. 3279. O 为△ABC 内一点，且2OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为（） A. 14B. 13C. 12D. 2380. 在△ABC 中，AB =2，BC =3√3，∠ABC =30∘，AD 为BC 边上的高，若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λμ等于（）A. 2B. 12C. 23D. 2√381.在△ABC中，D为BC上靠近B点的三等分点，连接AD，若AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m+n=______ ．五、数量积(一)投影82.已知向量m⃗⃗⃗ =(1,2)，n⃗=(2,3)，则m⃗⃗⃗ 在n⃗方向上的投影为（）A. √13B. 8C. 8√55D. 8√131383.已知平面向量a⃗,b⃗ 是非零向量，|a⃗|=2，a⃗⊥(a⃗+2b⃗ )，则向量b⃗ 在向量a⃗方向上的投影为（）A. 1B. −1C. 2D. −284.已知a⃗，b⃗ 为单位向量，|a⃗+b⃗ |=√2|a⃗−b⃗ |，则a⃗在a⃗+b⃗ 的投影为（）A. 13B. −2√63C. √63D. 2√2385.已知|a⃗|=2，向量a⃗在向量b⃗ 上的投影为√3，则a⃗与b⃗ 的夹角为（）A. π3B. π6C. 2π3D. π286.若向量a⃗与向量b⃗ 满足：|a⃗|=2，|b⃗ |=3，且当λ∈R时，|b⃗ −λa⃗|的最小值为2√2，则向量a⃗+b⃗ 在向量a⃗方向上的投影为（）A. 1或2B. 2C. 1或3D. 387.已知e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 为单位向量且夹角为π3，设a⃗=e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ ，b⃗ =e2⃗⃗⃗ ，a⃗在b⃗ 方向上的投影为______ ．88.已知向量a⃗与b⃗ 的夹角为2π3，|a⃗|=√2，则a⃗在b⃗ 方向上的投影为______．(二)夹角89.已知向量BA⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32)，BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12)，则∠ABC=（）A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 120∘90.已知a⃗=(3,4)，b⃗ =(5,12)，则a⃗与b⃗ 夹角的余弦为（）A. 6365B. √65 C. √135D. √1391.已知单位向量a⃗,b⃗ 满足|a⃗+3b⃗ |=√13，则a⃗与b⃗ 的夹角为（）A. π6B. π4C. π3D. π292.已知向量a⃗与向量b⃗ 满足|a⃗|=3，|b⃗ |=2，|2a⃗+b⃗ |=2√13，则a⃗与b⃗ 的夹角为（）A. π6B. π4C. π3D. 2π393.若向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=√3，|b⃗ |=2，a⃗⊥(a⃗−b⃗ )，则a⃗与b⃗ 的夹角为（）A. π2B. 2π3C. π6D. 5π694. 已知非零向量a ⃗ ,b ⃗ 满足|b ⃗ |=4|a ⃗ |，且a ⃗ ⊥(2a ⃗ +b ⃗ )则a⃗ 与b ⃗ 的夹角为（） A. π3B. π2C. 2π3D. 5π695. 在△ABC 中，AB =AC =1，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−14，则∠ABC =（） A. 5π12B. π3C. π4D. π696. 已知e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是互相垂直的单位向量，若√3e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ 与e 1⃗⃗⃗ +λe 2⃗⃗⃗ 的夹角为60∘，则实数λ的值是______． 97. 已知a ⃗ =(1,3)，b ⃗ =(2+λ,1)，且a ⃗ 与b ⃗ 成锐角，则实数λ的取值范围是______． 98. 已知a⃗ =(x +1,2)，b ⃗ =(4,−7)，且a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为锐角，则x 的取值范围为______ ． 99. 已知向量a ⃗ =(6,2)与b ⃗ =(−3,k)的夹角是钝角，则k 的取值范围是______．100. 已知向量a ⃗ =(1,√3)，b ⃗ =(√3,1)，则a ⃗ 与b ⃗ 夹角的大小为______．101. 设θ∈(0,π2)，向量a ⃗ =(cosθ,2)，b ⃗ =(−1,sinθ)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则tanθ=______．(三) 数量积102. 如图，在圆C 中，点A 、B 在圆上，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的值（） A. 只与圆C 的半径有关 B. 既与圆C 的半径有关，又与弦AB 的长度有关 C. 只与弦AB 的长度有关 D. 是与圆C 的半径和弦AB 的长度均无关的定值 103.向量a ⃗ =(2,−1)，b ⃗ =(−1,2)，则(2a ⃗ +b ⃗ )⋅a ⃗ =（）A. 6B. 5C. 1D. −6104.已知a ⃗ ，b ⃗ 为单位向量，其夹角为60∘，则(2a⃗ −b ⃗ )⋅b ⃗ =（） A. −1 B. 0 C. 1 D. 2105.在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)则AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =（） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2106.设a ⃗ ，b ⃗ 是平面上的两个单位向量，a ⃗ ⋅b ⃗ =35.若m ∈R ，则|a ⃗ +m b ⃗ |的最小值是（） A. 34 B. 43C. 45D. 54107.已知两个单位向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为120∘，k ∈R ，则|a ⃗ −k b ⃗ |的最小值为（）A. 34 B. √32C. 1D. 32108.已知平面上三点A ，B ，C ，满足|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=8，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=10，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（）A. 48B. −48C. 100D. −100109. 边长为4的正三角形ABC 中，点D 在边AB 上，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，M 是BC 的中点，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（） A. 16 B. 12√3 C. −8√3 D. −8110.在如图的平面图形中，已知OM =1，ON =2，∠MON =120∘，BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为（） A. −15 B. −9 C. −6D. 0111. 已知非零向量m⃗⃗⃗ ，n ⃗ 满足4|m ⃗⃗⃗ |=3|n ⃗ |，cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=13.若n ⃗ ⊥(t m ⃗⃗⃗ +n ⃗ )，则实数t 的值为（） A. 4 B. −4C. 94D. −94112.如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB =BC =AD =2，CD =3，AC与BD 交于点O ，记I 1=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，I 2=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，I 3=OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则（） A. I 1<I 2<I 3 B. I 1<I 3<I 2 C. I 3<I 1<I 2 D. I 2<I 1<I 3 113.已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=1，向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ −b ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +3b⃗ ． (1)若a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60∘，求|a ⃗ −b ⃗ |的值；(2)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角θ的值．114.已知向量a ⃗ =(3,−1)，|b ⃗ |=√5，a ⃗ ⋅b ⃗ =−5，c ⃗ =x a ⃗ +(1−x)b ⃗ ．(Ⅰ)若a ⃗ ⊥c ⃗ ，求实数x 的值；(Ⅱ)当|c ⃗ |取最小值时，求b ⃗ 与c ⃗ 的夹角的余弦值．115.已知向量|a⃗|=2，b⃗ =(−12,√32)，且a⃗与b⃗ 夹角为2π3，(1)求|a⃗+2b⃗ |；(2)若(a⃗+k b⃗ )⊥(2b⃗ −a⃗ )，求实数k的值．116.已知向量a⃗=(2,−1)，b⃗ =(x,1)(x∈R)．(1)若a⃗,b⃗ 的夹角为锐角，求x的范围；(2)当3a⃗−2b⃗ =(4,y)时，求x+y的值．六、模的运算(一)公式2222||a a x y==+117.已知AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0)，那么|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |等于（）A. 2B. 3C. 4D. 5118.设向量BA⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−2)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,6)，则|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |等于（）A. 2√6B. 5C. √26D. 6119.已知向量|a⃗|=4,|b⃗ |=8,a⃗与b⃗ 的夹角为60∘，则|2a⃗+b⃗ |=（）A. 8√3B. 6√3C. 5D. √19120.已知向量a⃗，b⃗ 满足a⃗⋅b⃗ =1，|a⃗|=2，|b⃗ |=3，则|a⃗−b⃗ |=（）A. √13B. 6C. √11D. 5121.已知单位向量e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 的夹角为θ，且cosθ=14，若向量a⃗=e1⃗⃗⃗ +2e2⃗⃗⃗ ，则|a⃗|=______．(二) 公式|a ⃗ +b ⃗ |2+|a ⃗ −b ⃗ |2=2(|a ⃗ |2+|b⃗ |2) 运用 122.已知向量a 、b 满足|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，|a ⃗ −b ⃗ |=2，则|a ⃗ +b ⃗ |等于（）A. 1B. √2C. √5D. √6123.设向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ +b ⃗ |=√10，|a ⃗ −b ⃗ |=√6，则a⃗ ⋅b ⃗ =（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5七、重心、外心124.若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则S △ABM ：S △ABC 等于（） A. 12 B. 13C. 14D. 15125.设O 在△ABC 的内部，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，△ABC 的面积与△AOC 的面积之比为（） A. 3：1 B. 4：1 C. 5：1 D. 6：1126. 已知|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120∘，a ⃗ +b ⃗ +c ⃗ =0⃗ ，则a ⃗ 与c ⃗ 的夹角为_____． 127.已知O 为△ABC 的外心，3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +5OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +7OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则∠ACB 的值为（） A. π6 B. π3C. π6或5π6D. π3或2π3128.点P 是△ABC 所在平面内任一点，PG ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则点G 的轨迹一定通过△ABC 的（） A. 重心 B. 内心 C. 垂心 D. 外心129.已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗=13(12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则P 一定为△ABC 的（）A. AB 边中线的三等分点(非重心)B. AB 边的中点C. AB 边中线的中点D. 重心 130.已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，那么(（） A. AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. 2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 八、综合问题（1）建系解决问题131.已知三个向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 共面，且均为单位向量，a ⃗ ⋅b ⃗ =0，则|a ⃗ +b ⃗ −c ⃗ |的取值范围是（）A. [√2−1,√2+1]B. [1,√2]C. [√2,√3]D. [√2−1,1]132.若a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 均为单位向量，且a ⃗ ⋅b ⃗ =0，(a ⃗ −c ⃗ )⋅(b ⃗ −c ⃗ )≤0，则|a ⃗ +b ⃗ −2c ⃗ |的最大值为（）A. 1B. √2C. √2−1D. 2−√2133.向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 在正方形网络中的位置如图所示，若c ⃗ =λa ⃗ +μb ⃗ (λ,μ∈R)，则λμ=（） A. −8 B. −4 C. 4 D. 2134. 已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )的最小值是（）A. −2B. −32C. −43D. −1135.已知正三角形ABC 的边长为2√3，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2的最大值是（）A. 434 B. 494C. 37+6√34 D. 37+2√334136.如图，正方形ABCD 中，M 、N 分别是BC 、CD 的中点，若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μBN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ=（）A. 2B. 83 C. 65 D. 85 137.已知a ⃗ ,b ⃗ 是单位向量，a ⃗ ,b ⃗ 的夹角为90∘，若向量c ⃗ 满足|c ⃗ −a ⃗ −b ⃗ |=2，则|c⃗⃗⃗ |的最大值为（） A. 2−√2 B. √2 C. 2 D. 2+√2138.已知Rt △ABC ，AB =3，BC =4，CA =5，P 为△ABC 外接圆上的一动点，且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x +y 的最大值是（）A. 54 B. 43C. √176D. 53139.在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的最大值为（） A. 3 B. 2√2 C. √5 D. 2140.如图，扇形的半径为1，圆心角∠BAC =150∘，点P 在弧BC 上运动，AP⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则√3m −n 的最大值是（） A. 1 B. √3 C. 2 D. 2√3141. 已知向量a ⃗ 、b ⃗ 满足|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，则|a ⃗ +b ⃗ |+|a ⃗ −b ⃗ |的最小值是______ ，最大值是______ ． 142.已知在△ABC 中，∠A =π2，AB =2，AC =4，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______．143. 如图，在同一个平面内，向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为1，1，√2，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α，且tanα=7，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45∘，若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n ∈R)，则m +n =___________． 144. 在平面直角坐标系中，已知点A(−1,0)、B(2,0)，E 、F 是y 轴上的两个动点，且|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______．145. 在正方形ABCD 中，AB =AD =2，M ，N 分别是边BC ，CD 上的动点，当|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4时，则|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是______． 146. 如图，已知点O(0,0)，A(1,0)，B(0,−1)，P 是曲线y =√1−x 2上一个动点，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是______．147. 在△ABC 中，已知AB =1，AC =2，∠A =60∘，若点P 满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP⃗⃗⃗⃗⃗ =1，则实数λ的值为______．148. 已知a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 是同一平面内的三个向量，其中a ⃗ ，b ⃗ 是相互垂直的单位向量，且(a ⃗ −c ⃗ )⋅(√3b ⃗ −c ⃗ )=1，|c ⃗ |的最大值为______．149.已知a ⃗ ，b ⃗ ，e ⃗ 是平面向量，e ⃗ 是单位向量.若非零向量a ⃗ 与e ⃗ 的夹角为π3，向量b ⃗ 满足b ⃗ 2−4e ⃗ ⋅b ⃗ +3=0，则|a ⃗ −b ⃗ |的最小值是（）A. √3−1B. √3+1C. 2D. 2−√3（2）与三角函数有关150.已知α是锐角，a ⃗ =(34,sinα),b ⃗ =√3)，且a ⃗ //b ⃗ ，则α为（） A. 15o B. 30o C. 30o 或60o D. 15o 或75o151.已知向量m ⃗⃗⃗ =(2cos 2x,√3)，n⃗ =(1,sin2x)，设函数f(x)=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ，则下列关于函数y =f(x)的性质的描述正确的是（）A. 关于直线x =π12对称 B. 关于点(5π12,0)对称C. 周期为2πD. y =f(x)在(−π3,0)上是增函数152.设△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，向量m ⃗⃗⃗ =(√3sinA,sinB),n ⃗ =(cosB,√3cosA)，若m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =1+cos(A +B)，则C = ______ ．153. 已知点P 在圆x 2+y 2=1上，点A 的坐标为(−2,0)，O 为原点，则AO⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为______．154.已知向量a⃗=(2,sinθ)，b⃗ =(1,cosθ)，若a⃗//b⃗ ，则sin2θ1+cos2θ的值为______．155.已知a⃗=(sinx,cosx)，b⃗ =(sinx,sinx)，函数f(x)=a⃗⋅b⃗ ．(I)求f(x)的对称轴方程；(II)求使f(x)≥1成立的x的取值集合；(III)若对任意实数x∈[π6,π3]，不等式f(x)−m<2恒成立，求实数m的取值范围．156.已知a⃗=(2sinx,cos2x)，b⃗ =(√3cosx,2)，f(x)=a⃗⋅b⃗ ．(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2)求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值．（3）与均值不等式有关157.已知向量a⃗=(m,1)，b⃗ =(4−n,2)，m>0，n>0，若a⃗//b⃗ ，则1m +8n的最小值__．人教版数学必修2知识点总结（教师版）第二章平面向量一、概念及表示(一) 概念及意义1. 下列说法正确的是( C )A. 长度相等的向量叫做相等向量B. 共线向量是在同一直线上的向量C. 零向量的长度等于0D. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，就是AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在的直线平行于CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在的直线 2. 下列说法中：①两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同； ②若|a ⃗ |=|b ⃗ |，则|a ⃗ =b ⃗ ； ③若非零向量a ⃗ ,b ⃗ 共线，则a ⃗ =b ⃗ ； ④向量a ⃗ =b ⃗ ，则向量a ⃗ ,b ⃗ 共线；⑤由于零向量的方向不确定，故其不能与任何向量平行；其中正确的序号为______ ．【答案】①④ 3. 下列命题中，正确的个数是( A )①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；③若a ⃗ ,b ⃗ 满足|a ⃗ |>|b ⃗ |且a ⃗ 与b ⃗ 同向，则a ⃗ >b ⃗ ；④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；⑤若a ⃗ //b ⃗ ,b ⃗ //c ⃗ ，则a⃗ //c ⃗ ． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4. 有下列四个命题：①互为相反向量的两个向量模相等； ②若向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是共线的向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上； ③若|a ⃗ |=|b ⃗ |，则a ⃗ =b ⃗ 或a ⃗ =−b ⃗ ；④若a ⃗ ⋅b ⃗ =0⃗ ，则a ⃗ =0⃗ 或b ⃗ =0⃗ ；其中正确结论的个数是( D )A. 4B. 3C. 2D. 1 5. 下列叙述中，正确的是( A )A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ B. 若|a ⃗ |=|b ⃗ |且a ⃗ //b ⃗ ，则a ⃗ =b ⃗ C. 若|a ⃗ −b ⃗ |=|a ⃗ +b ⃗ |，则a ⃗ ⊥b ⃗D. 若向量b ⃗ 与向量a ⃗ 共线，则有且只有一个实数λ，使得b ⃗ =λa ⃗6. 下列说法：①如果非零向量a ⃗ 与b ⃗ 的方向相同或相反，那么a ⃗ +b ⃗ 的方向必与a ⃗ ，b ⃗ 之一的方向相同；②△ABC 中，必有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ； ③若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点； ④若a ⃗ ，b ⃗ 均为非零向量，则|a ⃗ +b ⃗ |与|a ⃗ |+|b ⃗ |一定相等．其中正确说法的个数为(C )A. 0B. 1C. 2D. 3(二) 表示及加减法7. 已知向量a ⃗ 表示“向东航行3km ”，向量b ⃗ 表示“向南航行3km ，则a ⃗ +b ⃗ 表示( B )A. 向东南航行6kmB. 向东南航行3√2kmC. 向东北航行3√2kmD. 向东北航行6km 8. 化简以下各式：①AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ②AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ③FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QP ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ −EP ⃗⃗⃗⃗⃗ ④OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗其结果是为零向量的个数是( D ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 49. 下列四式不能化简为AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的是( A ) A. MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. (AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) C. (AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗10. 下列各式中不能化简为AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的是( D ) A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ C. MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗11. 给出下面四个命题：①AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ；②AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；③AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；其中正确的个数为(B)A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个12. 已知a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ ，d ⃗ 为非零向量，且a ⃗ +b ⃗ =c ⃗ ，a ⃗ −b ⃗ =d ⃗ ，则下列说法正确的个数为( D ) (1)若|a ⃗ |=|b ⃗ |，则c ⃗ ⋅d ⃗ =0； (2)若c ⃗ ⋅d ⃗ =0，则|a ⃗ |=|b ⃗ |；(3)若|c ⃗ |=|d ⃗ |，则a ⃗ ⋅b ⃗ =0； (4)若a ⃗ ⋅b ⃗ =0，则|c ⃗ |=|d⃗ | A. 1 B. 2 C. 3 D. 413. 在△ABC 中，点D 满足BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( C ) A. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 14. 在四边形ABCD 中，若DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则这个四边形是( D )A. 平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 等腰梯形15. 已知a ⃗ ，b ⃗ 为非零向量，且|a ⇀+b ⇀|=|a ⇀|+|b ⇀|，则一定有( B )A. a ⃗ =b ⃗B. a ⃗ //b⃗ ，且a ⃗ ，b ⃗ 方向相同 C. a ⃗ =−b ⃗D. a ⃗ //b ⃗ ，且a ⃗ ，b ⃗ 方向相反16. 设非零向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |则( A )A. a ⃗ ⊥b ⃗B. |a ⃗ |=|b ⃗ |C. a ⃗ //b ⃗D. |a ⃗ |>|b ⃗ |17. 若向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=|b ⃗ |=|a ⃗ +b ⃗ |=1，则 a ⃗ ⋅b ⃗ 的值为( A )A. −12B. 12C. −1D. 118. 在△ABC 中，(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，则三角形ABC 的形状一定是( C ) A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形19. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,5)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,n)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(7,6)，则m +n 的值为______．【答案】8二、图形运算及平面向量基本定理(一)平面向量基本定理20. 如图，已知CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AD =2DB ，用a ⃗ 、b ⃗ 表示DC ⃗⃗⃗⃗⃗为(D ) A. DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−53a ⃗ +23b ⃗ B. DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a ⃗ −13b ⃗ C. DC ⃗⃗⃗⃗⃗=−23a ⃗ −13b ⃗ D. DC ⃗⃗⃗⃗⃗=−13a ⃗ −23b ⃗ 21. 已知D 、E 、F 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ 、CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ 、AB ⃗⃗⃗⃗⃗=c ⃗ 、则 ①EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12c ⃗ −12b ⃗ ； ②BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +12b ⃗ ；③CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a ⃗ +12b ⃗ ； ④AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 其中正确的等式个数为( C )A. 1B. 2C. 3D. 422. 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 相交于点F ，则AF⃗⃗⃗⃗⃗ =( D ) A. 14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. 12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +14BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗C. 12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. 23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 23. 在平行四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,P 为AD 的中点，MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=( C ) A. 45a⃗ +310b ⃗ B. 45a ⃗ +1310b ⃗ C. −45a⃗ −310b ⃗ D. 34a⃗ +14b ⃗ 24. 已知四边形ABCD 为正方形，点E 是CD 的中点，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则BE ⃗⃗⃗⃗⃗=(B ) A. 12b ⃗+a ⃗ B. b ⃗ −12a ⃗ C. 12a ⃗ +b ⃗ D. a ⃗ −12b ⃗ 25. 在平行四边形ABCD 中，点F 为线段CD 上靠近点D 的一个三等分点.若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(B ) A. 14a⃗ +12b ⃗ B. 23a⃗ +13b ⃗ C. 12a⃗ +14b ⃗ D. 13a⃗ +23b ⃗ 26. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，且DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( D ) A. x =−1，y =−12 B. x =1，y =12 C. x =−1，y =12D. x =1，y =−1227. 在△ABC 中，已知D 是BC 延长线上一点，点E 为线段AD 的中点，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=( A ) A. −14B. 14C. −13D. 1328. 如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 分别为AB 、AD 上的点，且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =45AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，连接AC 、MN 交于P 点，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ的值为( C )A. 35B. 37C. 411D. 41329. 如图，在△ABC 的边AB 、AC 上分别取点M 、N ，使AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BN 与CM 交于点P ，若BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μCP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λμ的值为( D ) A. 83 B . 38C. 16D. 6【解析】由题意，AP →=AM →+MP →=13AB →+μ1+μMC →=13+3μAB →+μ1+μAC →AP →=AN →+NP →=12AC →+11+λNB →=11+λAB →+λ2+2λAC →根据平面向量基本定理，可得{11+λ=13+3μμ1+μ=λ2+2λ，∴μ=23,λ=4，∴λμ=423=6．故选D ．30. 如图，在△ABC 中，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的值为( A )A. 89B. 49C. 83D. 4331. 在△ABC 中，已知点D 为AB 边的中点，点N 在线段CD 上，且CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2ND ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=( A )A. 13B. −13C. 23D. −2332. 在△ABC 中，AB =2，BC =3，∠ABC =60∘，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ=( D )A. 1B. 12C. 13D. 23【解析】在△ABD 中，BD =12AB =1又BC =3所以BD =13BC ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∵O 为AD 的中点∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∵AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴λ=12,μ=16∴λ+μ=23故选D 33. 如图，M 、N 是△ABC 的一边BC 上的两个三等分点，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．【答案】13(b ⃗ −a ⃗ )(二)判断形状34. 已知向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−3)，向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−2)，则△ABC 的形状为( A )A. 等腰直角三角形B. 等边三角形C. 直角非等腰三角形D. 等腰非直角三角形35. 若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，则△ABC 的形状为(B ) A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形【解析】因为(OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，即CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0；又因为AB⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，即|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，所以△ABC 是等腰三角形．故选：B ． 36. 已知向量a ⃗ 、b ⃗ 不共线，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +2b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4a ⃗ −b ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−5a ⃗ −3b ⃗ ，则四边形ABCD 是( A )A. 梯形B. 平行四边形C. 矩形D. 菱形(三)线性表示及数量积运算37. 已知边长为2的正方形ABCD 中，E 为AD 中点，连BE ，则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =( B ) A. −2 B. −1 C. 1 D. 238. 设四边形ABCD 为平行四边形，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，若点M 、N 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( C ) A. 20 B. 15 C. 9 D. 6【解析】∵四边形ABCD 为平行四边形，点M 、N 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴根据图形可得：AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +916AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2， AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−316AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=12−3=9故选：C ． 39. 正三角形ABC 中，D 是线段BC 上的点，AB =6，BD =2，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(D ) A. 12 B. 18 C. 24 D. 30【解析】∵AB =6，BD =2，∴BC =6，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =26BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =62−13×6×6×12=36−6=30，故选D ．40. 如图在平行四边形ABCD 中，已知AB =8，AD =5，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是( C ) A. 18 B. 20 C. 22 D. 24【解析】∵CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又∵AB =8，AD =5，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −316|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=25−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12=2，故AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =22，答案为22．故选C ． 41. 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D,E 分别是边AB,BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE =2EF ，则AF →⋅BC →的值为( B )。

北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》平面向量小结与复习

规定：零向量与任一向量的数量积为0
几何意义：数量积 a · 等于 a 的长度 |a|与 b 在 b
a 的方向上的投影 |b| cosθ的乘积。
B b B b
B
b
O θ
a
B1 A B1
θ
O a
θ
A O (B1)
a
16
A
5、数量积的运算律： ⑴交换律： a b b a ⑵对数乘的结合律： ( a ) b ( a b ) a ( b ) ⑶分配律： ( a b ) c a c b c
= (λ x , λ y)
14
1、平面向量的数量积（1）a与b的夹角：
a θ b
共同的起点
[00 ，1800] •（2）向量夹角的范围：
• （3）向量垂直：
B B A A O B A O A O B
15
B A
a O θ
O
b
（4）两个非零向量的数量积：
a · = |a| |b| cosθ b
3)向量的表示 4)向量的模（长度）
4
二、向量的运算
1）加法：①两个法则 ②坐标表示
减法: ①法则 ②坐标表示
运算律
注:
AB a , AD b

(1) a

b , 则四边形是什么图形

? ?
( 2) a b
a b , 则四边形是什么图形
5
2)实数λ与向量 a 的积
3)平面向量的数量积：
(1)两向量的交角定义 (2)平面向量数量积的定义 (3)a在b上的投影 (4)平面向量数量积的几何意义 (5)平面向量数量积的运算律

高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳汇编

平面向量【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1. 向量：既有大小又有方向的量。

记作： AB 或a 。

42. 向量的模：向量的大小（或长度），记作：|AB|或|a|。

4 ・3. 单位向量：长度为1的向量。

若e 是单位向量，则|e|=1。

II444. 零向量：长度为0的向量。

记作：0。

【0方向是任意的，且与任意向量平行】5. 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。

6. 相等向量：长度和方向都相同的向量。

7. 相反向量：长度相等，方向相反的向量。

AB =-BA 。

9. 平行四边形法则：以a,b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为 a b ，a - b 。

10. 共线定理：a - b 二 a / /b 。

当二0 时，a 与b 同向；当.0 时，a 与b 反向。

11. 基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。

12. 向量的模：若 a = （x, y ），则 | a| = x 2 y 2， a =| aa b13. 数量积与夹角公式： a b =| a | | b | co^ ； COST|a||b|14. 平行与垂直： a//b= a = ■ b= %y 2 = x 2y 1 ； a _ a b = 0= %x 2 y )y 2 = 0 题型1.基本概念判断正误（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。

（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。

（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。

（4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是（5）若AB =CD ，则A B 、C 、D 四点构成平行四边形。

AB BC =AC ； AB BC CD DE =AE ； AB - AC =CB （指向被减数）8.三角形法则:(7)若ma = mb，贝U a = b。

（6）若a与b共线，b与C共线，则a与C共线。

更多精品文档题型2.向量的加减运算 1.设a 表示"向东走8km" , b 表示"向北走 6km ” ,则| a ■ b |= 2•化简(AB MB) (BO BC) OM3.已知I OAI = 5 , |OB I = 3,则I AB I 的最大值和最小值分别为35.已知点C 在线段AB 上，且AC AB ,则AC 二—BC , AB =5—题型3.向量的数乘运算1.计算：2(2； 5【-3(?) 1斗2.已知 a = (1, -4), b 二(-3,8)，则 3a -一 b 二2题型4根据图形由已知向量求未知向量 1.已知在ABC 中，D 是BC 的中点，请用向量忑兀表示AD 。

人教A版2019高中数学必修4讲义：第二章 2.3 2.3.4 平面向量共线的坐标表示_含答案

2．3.4 平面向量共线的坐标表示预习课本P98～100，思考并完成以下问题如何利用向量的坐标运算表示两个向量共线？[新知初探]平面向量共线的坐标表示[点睛] (1)平面向量共线的坐标表示还可以写成x 1x 2＝y 1y 2(x 2≠0，y 2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例；(2)当a ≠0，b ＝0时，a ∥b ，此时x 1y 2－x 2y 1＝0也成立，即对任意向量a ，b 都有：x 1y 2－x 2y 1＝0⇔a ∥b .[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ∥b ，则必有x 1y 2＝x 2y 1.( )(2)向量(2,3)与向量(－4，－6)反向．( )答案：(1)√ (2)√2．若向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，则与a ＋b 共线的向量可以是( )A ．(2,1)B ．(－1,2)C ．(6,10)D ．(－6,10)答案：C3．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,4)，若a ∥b ，则x 等于( )A ．－12 B.12C ．－2D ．2 答案：D4．已知向量a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在x 轴上，则点B 的坐标为________．答案：⎝⎛⎭⎫73，0[典例] (1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(λ，1)，若(a ＋2b )∥(2a －2b )，则λ的值等于( ) A.12 B.13C ．1D ．2 (2)已知A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)．判断AB 与CD 是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？[解析] (1)法一：a ＋2b ＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a －2b ＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a ＋2b )∥(2a －2b )可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12. 法二：假设a ，b 不共线，则由(a ＋2b )∥(2a －2b )可得a ＋2b ＝μ(2a －2b )，从而⎩⎪⎨⎪⎧1＝2μ，2＝－2μ，方程组显然无解，即a ＋2b 与2a －2b 不共线，这与(a ＋2b )∥(2a －2b )矛盾，从而假设不成立，故应有a ，b 共线，所以1λ＝21，即λ＝12. [答案] A(2)[解] AB ＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，CD ＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)， ∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴AB ，CD 共线．又CD ＝－2AB ，∴AB ，CD 方向相反．综上，AB 与CD 共线且方向相反．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，ka ＋b 与a －3b 平行，平行时它们的方向相同还是相反？解：ka ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，若ka ＋b 与a －3b 平行，则－4(k －3)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13，此时ka ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，故ka ＋b 与a －3b 反向． ∴k ＝－13时，ka ＋b 与a －3b 平行且方向相反．[典例] (1)已知OA ＝(3,4)，OB ＝(7,12)，OC ＝(9,16)，求证：A ，B ，C 三点共线；(2)设向量OA ＝(k,12)，OB ＝(4,5)，OC ＝(10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？[解] (1)证明：∵AB ＝OB －OA ＝(4,8)，AC ＝OC －OA ＝(6,12)， ∴AC ＝32AB ，即AB 与AC 共线．又∵AB 与AC 有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线．(2)若A ，B ，C 三点共线，则AB ，AC 共线， ∵AB ＝OB －OA ＝(4－k ，－7)，AC ＝OC －OA ＝(10－k ，k －12)，∴(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0.解得k ＝－2或k ＝11.一般是看AB 与BC AB 与AC AC BC AC BC AB λBC ，或AB ＝λAC 设点A (x,1)，B (2x,2)，C (1,2x )，D (5,3x )，当x 为何值时，AB 与CD 共线且方向相同，此时，A ，B ，C ，D 能否在同一条直线上？解：AB ＝(2x,2)－(x,1)＝(x,1)，BC ＝(1,2x )－(2x,2)＝(1－2x,2x －2)，CD ＝(5,3x )－(1,2x )＝(4，x )．由AB 与CD 共线，所以x 2＝1×4，所以x ＝±2.又AB 与CD 方向相同，所以x ＝2.此时，AB ＝(2,1)，BC ＝(－3,2)，而2×2≠－3×1，所以AB 与BC 不共线，所以A ，B ，C 三点不在同一条直线上．所以A ，B ，C ，D 不在同一条直线上．题点一：两直线平行判断1. 如图所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，用向量的方法证明：DE∥BC；证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，设|AD|＝1，则|DC|＝1，|AB|＝2.∵CE⊥AB，而AD＝DC，∴四边形AECD为正方形，∴可求得各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)．∵ED＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，BC＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，∴ED＝BC，∴ED∥BC，即DE∥BC.题点二：几何形状的判断2．已知直角坐标平面上四点A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，求证：四边形ABCD是等腰梯形．证明：由已知得，AB＝(4,3)－(1,0)＝(3,3)，CD＝(0,2)－(2,4)＝(－2，－2)．∵3×(－2)－3×(－2)＝0，∴AB与CD共线．AD＝(－1,2)，BC＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1)，∵(－1)×1－2×(－2)≠0，∴AD与BC不共线．∴四边形ABCD是梯形．∵BC＝(－2,1)，AD＝(－1,2)，∴|BC|＝5＝|AD|，即BC＝AD.故四边形ABCD是等腰梯形．题点三：求交点坐标3. 如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB交点P的坐标．解：法一：设OP＝t OB＝t(4,4)＝(4t,4t)，则AP＝OP－OA＝(4t,4t)－(4,0)＝(4t－4,4t)，AC＝OC－OA＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．由AP ，AC 共线的条件知(4t －4)×6－4t ×(－2)＝0，解得t ＝34.∴OP ＝(3,3)． ∴P 点坐标为(3,3)．法二：设P (x ，y )，则OP ＝(x ，y )，OB ＝(4,4)． ∵OP ，OB 共线，∴4x －4y ＝0.① 又CP ＝(x －2，y －6)，CA ＝(2，－6)，且向量CP ，CA 共线，∴－6(x －2)＋2(6－y )＝0.②解①②组成的方程组，得x ＝3，y ＝3，∴点P 的坐标为(3,3)．应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤层级一学业水平达标1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，－34 解析：选B A 中向量e 1为零向量，∴e 1∥e 2；C 中e 1＝12e 2，∴e 1∥e 2；D 中e 1＝4e 2，∴e 1∥e 2，故选B.2．已知点A (1,1)，B (4,2)和向量a ＝(2，λ)，若a ∥AB ，则实数λ的值为( )A ．－23B.32C.23 D ．－32解析：选C 根据A ，B 两点的坐标，可得AB ＝(3,1)，∵a ∥AB ，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝23，故选C. 3．已知A (2，－1)，B (3,1)，则与AB 平行且方向相反的向量a 是( )A ．(2,1)B ．(－6，－3)C ．(－1,2)D ．(－4，－8)解析：选D AB ＝(1,2)，向量(2,1)、(－6，－3)、(－1,2)与(1,2)不平行；(－4，－8)与(1,2)平行且方向相反．4．已知向量a ＝(x,2)，b ＝(3，－1)，若(a ＋b )∥(a －2b )，则实数x 的值为( )A ．－3B ．2C ．4D ．－6解析：选D 因为(a ＋b )∥(a －2b )，a ＋b ＝(x ＋3,1)，a －2b ＝(x －6,4)，所以4(x ＋3)－(x －6)＝0，解得x ＝－6.5．设a ＝⎝⎛⎭⎫32，tan α，b ＝⎝⎛⎭⎫cos α，13，且a ∥b ，则锐角α为( ) A ．30°B ．60°C ．45°D ．75° 解析：选A ∵a ∥b ，∴32×13－tan α cos α＝0，即sin α＝12，α＝30°. 6．已知向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，则实数x 的值为________．解析：∵向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，∴2(3x －1)－4×1＝0，解得x ＝1.答案：17．已知A (－1,4)，B (x ，－2)，若C (3,3)在直线AB 上，则x ＝________. 解析：AB ＝(x ＋1，－6)，AC ＝(4，－1)， ∵AB ∥AC ，∴－(x ＋1)＋24＝0，∴x ＝23.答案：238．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，若λa ＋μb 与a ＋b 共线，则λ与μ的关系是________．解析：∵a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，∴a ＋b ＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，λa ＋μb ＝λ(1,2)＋μ(－2,3)＝(λ－2μ，2λ＋3μ)，又∵(λa ＋μb )∥(a ＋b )，∴－1×(2λ＋3μ)－5(λ－2μ)＝0，∴λ＝μ.答案：λ＝μ9．已知A ，B ，C 三点的坐标为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE ＝13AC ，BF ＝13BC ，求证：EF ∥AB .证明：设E ，F 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，依题意有AC ＝(2,2)，BC ＝(－2,3)，AB ＝(4，－1)． ∵AE ＝13AC ，∴(x 1＋1，y 1)＝13(2,2)． ∴点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫－13，23. 同理点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫73，0，EF ＝⎝⎛⎭⎫83，－23. 又83×(－1)－4×⎝⎛⎭⎫－23＝0，∴EF ∥AB . 10．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1,1)，c ＝(5,2)，m ＝λb ＋c (λ为常数)．(1)求a ＋b ；(2)若a 与m 平行，求实数λ的值．解：(1)因为a ＝(2,1)，b ＝(1,1)，所以a ＋b ＝(2,1)＋(1,1)＝(3,2)．(2)因为b ＝(1,1)，c ＝(5,2)，所以m ＝λb ＋c ＝λ(1,1)＋(5,2)＝(λ＋5，λ＋2)．又因为a ＝(2,1)，且a 与m 平行，所以2(λ＋2)＝λ＋5，解得λ＝1.层级二应试能力达标1．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( )A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线解析：选C 因为a ＋b ＝(0,1＋x 2)，所以a ＋b 平行于y 轴．2．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( )A．13B．－13C．9 D．－9解析：选D A，B，C三点共线，∴AB∥AC，而AB＝(－8,8)，AC＝(3，y＋6)，∴－8(y＋6)－8×3＝0，即y＝－9.3．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么() A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向解析：选D∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，若k＝1，则c＝a＋b＝(1,1)，d＝a－b＝(1，－1)，显然，c与d不平行，排除A、B.若k＝－1，则c＝－a＋b＝(－1,1)，d＝a－b＝－(－1,1)，即c∥d且c与d反向．4．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，则第四个顶点的坐标是()A．(1,5)或(5,5)B．(1,5)或(－3，－5)C．(5，－5)或(－3，－5)D．(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)解析：选D设A(－1,0)，B(3,0)，C(1，－5)，第四个顶点为D，①若这个平行四边形为▱ABCD，则AB＝DC，∴D(－3，－5)；②若这个平行四边形为▱ACDB，则AC＝BD，∴D(5，－5)；③若这个平行四边形为▱ACBD，则AC＝DB，∴D(1,5)．综上所述，D点坐标为(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)．5．已知AB＝(6,1)，BC＝(x，y)，CD＝(－2，－3)，BC∥DA，则x＋2y的值为________．解析：∵AD＝AB＋BC＋CD＝(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)＝(x＋4，y－2)，∴DA＝－AD＝－(x＋4，y－2)＝(－x－4，－y＋2)．∵BC∥DA，∴x(－y＋2)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0.答案：06．已知向量OA ＝(3，－4)，OB ＝(6，－3)，OC ＝(5－m ，－3－m )．若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件为________．解析：若点A ，B ，C 能构成三角形，则这三点不共线，即AB 与AC 不共线． ∵AB ＝OB －OA ＝(3,1)，AC ＝OC －OA ＝(2－m,1－m )，∴3(1－m )≠2－m ，即m ≠12.答案：m ≠127．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a 与b 之间的数量关系；(2)若AC ＝2AB ，求点C 的坐标．解：(1)若A ，B ，C 三点共线，则AB 与AC 共线．AB ＝(3，－1)－(1,1)＝(2，－2)，AC ＝(a －1，b －1)，∴2(b －1)－(－2)(a －1)＝0，∴a ＋b ＝2.(2)若AC ＝2AB ，则(a －1，b －1)＝(4，－4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝－3，∴点C 的坐标为(5，－3)．8.如图所示，在四边形ABCD 中，已知A (2,6)，B (6,4)，C (5,0)，D (1,0)，求直线AC 与BD 交点P 的坐标．解：设P (x ，y )，则DP ＝(x －1，y )，DB ＝(5,4)，CA ＝(－3,6)，DC ＝(4,0)．由B ，P ，D 三点共线可得DP ＝λDB ＝(5λ，4λ)．又∵CP ＝DP －DC ＝(5λ－4,4λ)，由于CP 与CA 共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0.解得λ＝47， ∴DP ＝47DB ＝⎝⎛⎭⎫207，167，∴P 的坐标为⎝⎛⎭⎫277，167.。

必修四平面向量的坐标运算(附答案)

平面向量的坐标运算[学习目标] 1。

了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．知识点一平面向量的坐标表示（1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．（2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底,对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝x i ＋y j ，则有序数对(x ,y ）叫做向量a 的坐标，a ＝(x ，y ）叫做向量的坐标表示．(3）向量坐标的求法：在平面直角坐标系中,若A (x ,y ）,则错误!＝（x ，y )，若A (x 1，y 1)，B (x 2,y 2），则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1）．思考根据下图写出向量a ，b ，c ，d 的坐标，其中每个小正方形的边长是1。

答案 a ＝（2，3）,b ＝（－2,3）,c ＝（－3,－2），d ＝（3,－3）．知识点二平面向量的坐标运算（1)若a ＝(x 1，y 1），b ＝(x 2，y 2）,则a ＋b ＝（x 1＋x 2，y 1＋y 2），即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．（2)若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a－b＝(x1－x2,y1－y2)，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(3）若a＝(x,y),λ∈R，则λa＝(λx,λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．（4)已知向量错误!的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2），则错误!＝(x2－x1，y2－y1)．思考已知a＝错误!，b＝错误!,c＝错误!,如下图所示，写出a，b，c的坐标,并在直角坐标系内作出向量a＋b，a－b以及a－3c，然后写出它们的坐标．答案易知:a＝（4，1)，b＝(－5，3），c＝（1，1），错误!＝a＋b＝（－1,4),错误!＝a－b＝（9,－2），错误!＝a－3c＝（1，－2）．题型一平面向量的坐标表示例1已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点,AB边在x轴上，C在第一象限，D 为AC的中点,分别求向量错误!,错误!，错误!，错误!的坐标．解如图,正三角形ABC 的边长为2，则顶点A （0，0），B （2,0),C (2cos60°,2sin 60°)，∴C （1，错误!），D (错误!，错误!),∴错误!＝(2，0)，错误!＝（1，错误!），错误!＝(1－2，错误!－0)＝（－1，错误!)，错误!＝（错误!－2，错误!－0）＝（－错误!，错误!）．跟踪训练1 在例1的基础上，若E 为AB 的中点，G 为三角形的重心时,如何求向量错误!,错误!，错误!，错误!的坐标？解由于B （2,0)，E (1,0），C (1，错误!）,D （错误!，错误!)，G （1，错误!),所以CE →＝（1－1,0－错误!)＝（0，－错误!),错误!＝（1，错误!)，错误!＝(1－2，错误!－0)＝（－1，错误!)，错误!＝（错误!－1，错误!－错误!)＝（－错误!,错误!)．题型二平面向量的坐标运算例2 已知平面上三点A （2,－4）,B (0，6）,C (－8，10),求（1）错误!－错误!;（2）错误!＋2错误!；(3)错误!－错误!错误!。

数学4(必修)第二章平面向量练习题A

（数学4必修）第二章平面向量练习题A[基础训练A 组] 一、选择题1．化简AC - BD + CD - AB得（）A ．AB B ．C ．D ．0 2．设00,a b 分别是与,a b向的单位向量，则下列结论中正确的是（）A ．00a b =B ．001a b ⋅=C ．00||||2a b +=D ．00||2a b +=3．已知下列命题中：（1）若k R ∈，且0kb = ，则0k =或0b =，（2）若0a b ⋅= ，则0a = 或0b =（3）若不平行的两个非零向量b a ,，满足||||b a =，则0)()(=-⋅+b a b a（4）若a 与b 平行，则||||a b a b =⋅其中真命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．34．下列命题中正确的是（）A ．若a ⋅b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若a ⋅b ＝0，则a ∥bC ．若a ∥b ，则a 在b 上的投影为|a|D ．若a ⊥b ，则a ⋅b ＝(a ⋅b)25．已知平面向量(3,1)a = ，(,3)b x =- ，且a b ⊥，则x =（）A ．3-B ．1-C ．1D ．36．已知向量)sin ,(cos θθ=a ,向量)1,3(-=b 则|2|b a -的最大值，最小值分别是（）A ．0,24B ．24,4C ．16,0D ．4,0二、填空题1．若=)8,2(，=)2,7(-，则31=_________2．平面向量,a b 中，若(4,3)a =-=1，且5a b ⋅= ，则向量=____。

3．若3a = ,2b = ，且与的夹角为060，则a b -= 。

4．把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是___________。

5．已知)1,2(=a与)2,1(=b ，要使b t a +最小，则实数t 的值为___________。

三、解答题1．如图，ABCD 中，,E F 分别是,BC DC 的中点，G 为交点，若AB =a，=b ，试以a ，b 为基底表示DE 、BF 、CG ．2．已知向量 a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=- ,求向量a 的模。

必修4第二章《平面向量》

向量知识复习题一. 平面向量基本定理和向量共线定理1. 如果12,e e是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一a ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+ .2. 如果有一个实数λ，(0),b a a a b λ=≠使那么与是共线向量；反之，如果b a 与 (0)a ≠ 是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使.b a λ=练习1：在ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN = _____（用a b 、表示） 2.设OA = a ，OB = b ，OC =c ，当(),λμλμ=+∈R c a b ，且1λμ+=时，点C 在（）A ．线段AB 上 B ．直线AB 上C ．直线AB 上，但除去A 点D ．直线AB 上，但除去B 点二.利用数量积求角公式：______________________________练习：1.求(a b ==-的夹角。

2. 已知向量(sin ,1),(1,cos ),.22a b ππθθθ==-<<（I ）若,a b ⊥求;θ（II ）求a b + 的最大值。

3. 已知a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a ()1,2=. (1)若 |c|=25，且c //a ，求c 的坐标；(2)若b ()1,m =()0m <且a +2b 与a —2b 垂直，求a 与b三.向量的几何表示1.已知112233,),(,),(,),ABC A x y B x y C x y 三个顶点为（求证：（1）123123,)33x x x y y y ABC G++++ 的三条中线交于点（.（2）0GA GB BC ++= 2.如图2,OM ∥AB,点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且OP xOA yOB =+,则x 的取值范围是 _;当12x =-时,y 的取值范围是 ___. 必修4第二章《平面向量》一、选择题1．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若e e 则213,5===（）A ．)35(2121e e +B ．)35(2121e e -C ．)53(2112e e - D ．)35(2112e e - 2．化简)]24()82(21[31--+的结果是（）A ．-2B ．-2C ．-D ．-3．对于菱形ABCD ，给出下列各式：①=②||||=③||||+=- ④||4||||22=+2其中正确的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4 ABCD 中，设d BD c AC b AD a AB ====,,,，则下列等式中不正确的是（）A ．=+B ．=-C ．=-D ．=- 5．已知向量与反向，下列等式中成立的是（）A ．||||||-=-B ．||||-=+C ．||||||-=+D ．||||||+=+6．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个点的坐标为（） A ．（1，5）或（5，－5） B ．（1，5）或（－3，－5） C ．（5，－5）或（－3，－5） D ．（1，5）或（－3，－5）或（5，－5）7．下列各组向量中：①)2,1(1-=e )7,5(2=e ②)5,3(1=e )10,6(2=e ③)3,2(1-=e )43,21(2-=e 其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（） A ．① B ．①③ C ．②③ D ．①②③ 8．与向量)5,12(=平行的单位向量为（）A ．)5,1312(B ．)135,1312(--C ．)135,1312(或)135,1312(--D ．)135,1312(±± 9．若32041||-=-，5||,4||==，则与的数量积为（）A ．103B ．－103C ．102D ．1010．若将向量)1,2(=围绕原点按逆时针旋转4π得到向量,则的坐标为( ）A ．)223,22(--B ．)223,22(C ．)22,223(-D ．)22,223(- 11．设k ∈R ，下列向量中，与向量)1,1(-=一定不平行的向量是（）A ．),(k k =B ．),(k k --=C ．)1,1(22++=k kD ．)1,1(22--=k k12．已知12||,10||==b a ，且36)51)(3(-=b a ，则b a 与的夹角为（）A ．60°B ．120°C ．135°D ．150°二、填空题13．非零向量||||||,+==满足，则,的夹角为 .14．在四边形ABCD 中，若||||,,b a b a b AD a AB -=+==且,则四边形ABCD 的形状是 15．已知)2,3(=a ，)1,2(-=，若b a b a λλ++与平行，则λ= .16．已知为单位向量，||=4，与的夹角为π32，则在方向上的投影为 .三、解答题17．已知非零向量b a ,满足||||b a b a -=+,求证: ⊥18．已知在△ABC 中，)3,2(=，),,1(k =且△ABC 中∠C 为直角，求k 的值.19、设21,e e 是两个不共线的向量，2121212,3,2e e e e e k e -=+=+=，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.20．已知2||= 3||=,与的夹角为60o,35+=,k +=3,当当实数k 为何值时，⑴∥ ⑵d c ⊥21．如图，ABCD 为正方形，P 是对角线DB 上一点，PECF 为矩形，求证：①PA=EF ；②PA ⊥EF.22．如图，矩形ABCD 内接于半径为r 的圆O ，点P 是圆周上任意一点，求证：PA 2+PB 2+PC 2+PD 2=8r 2.23、如图，已知4AD AB = ，4DE BC = ，试判断AC 与AE是否共线?24、已知向量33(cos ,sin )22x x a = ，(cos ,sin )22x xb =- ， [,]32x ππ∈-（1）求证：()a b - ⊥()a b + ；（2）13a b += ，求cos x 的值参考答案二、填空题：13． 120°； 14．矩形 15、 1± 16． 2- 三、解答题： 17．证：()()22-=+⇒+=+⇒-=+0222222=⇒+-=++⇒b a b b a a b b a a 为非零向量又, ⊥∴18．解：)3,1()3,2(),1(--=-=-=k k0)3,1(),1(0=--⋅⇒=⋅⇒⊥⇒∠∠k k RT C 为21330312±=⇒=-+-⇒k k k 19．()212121432e e e e e e -=+--=-= 若A ，B ，D 三点共线，则共线，λ=∴设即212142e e e k e λλ-=+由于不共线与21e e 可得：221142e e k e e λλ-==故8,2-==k λ20.⑴若c ∥d 得59=k ⑵若d c ⊥得1429-=k 21.解以D 为原点为x 轴正方向建立直角坐标系则A(0,1), C:(1,0) B:(1,1))22,22(,r r P r DP则设=)221,22(r r --=∴ )0,22(:),22,1(r F r E 点为)22,122(r r --=∴22)221()22(||r r -+-=∴22)22()221(||r r -+-=∴故EF PA =⊥⇒=⋅0而 22.证:-=-=, 22222222||2||)(||||2||)(||PB PD PB PD PB PD BD +-=-=+-=-=∴0,,,=⋅=⋅⇒⊥⊥AC BD 故为直径222222||||||||||||+++=+∴即2222222844r PD PC PB PA r r =+++=+。

新课标人教A版数学必修4全部课件：平面向量的练习题

9 设 a，是两个不同的向量，已 b
知 AB ＝ 2 a＋ k b，＝ a＋ 3 b CB k。 8
CD ＝ 2 a－ b，若 A ， B ， D 三点共线，求实数
10 平行四边形 ABCD 中， M ， N 分别为 DC 、 BC 的中点，已知 AM ＝ c，＝ d，用 c，表示 AB ，。 AN d AD AB ＝ 2 3

3 如图，已知 AM ＝ AB ， AN ＝ AC ，求证：MN ＝ BC 3 3 1 3 4 △ ABC 中，＝ AB ， DE ∥ BC , 与边 AC 相交于 E ,△ ABC AD 4
的中线 AM 与 DE 相交于 N ，设 AB ＝ a，＝ b，用 a，表示 DN 。 AC b
A
M N
y B
A
o x
28 .如图 AOE 和 BOE 都是边长为 1的等边三角形，延长 OB 到 C ，使 | BC | t ( t 0 ).
y A
连 AC 交 BE 于 D . （1）用 t 表示 OC 的坐标 ; . （ 2）求 OD 和 EC 所成的角的大小 . .
O
E
x
D
B
C
29 .已知四边形 ABCD ， AB | | AD | ， | | BC | | CD | .试用向量方法证明它的对角线互相垂直 30 .如图，已知；两条
3 , 5 , 求 A 1 , B 1 , C 1
2 ,3 , 3 , 7 , 4 , 5
ABCD ， AB ， AD 边长分别为 1， 2 0
24 .已知平行四边形

A 60 ，求 AB CD AC DB AD BC
25 .已知 O 0，， A 1，， B 3，， C 在线段 OB 上，向量 0 2 5 63 105 OA BA AC 与 OB 垂直，求 C 。， 34 34

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《必修4》第二章平面向量一、知识纲要1、向量的相关概念：（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量，记为AB 或a。

向量又称矢量。

①向量和标量的区别：向量既有大小又有方向；标量只有大小，没有方向。

普通的数量都是标量，力是一种常见的向量。

②向量常用有向线段来表示，但也不能说向量就是有向线段，因为向量是自由的，可以平移；有向线段有固定的起点和终点，不能随意移动。

（2）向量的模：向量的大小又叫向量的模，它指的是：表示向量的有向线段的长度。

记作：|AB |或｜a｜。

向量本身不能比较大小，但向量的模可以比较大小。

（3）零向量：长度为0的向量叫零向量，记为0 ，零向量的方向是任意的。

①｜a｜＝0； ②0 与0的区别：写法的区别，意义的区别。

（4）单位向量：模长为1个单位长度的非零向量叫单位向量。

若向量a 是单位向量，则｜a｜= 1 。

2、向量的表示：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意：方向是“起点指向终点”。

（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b →等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量i 、j 为基底向量，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。

此时｜a｜。

若已知1122(,)(,)A x y B x y 和，则()2121=--AB x x y y ，，即终点坐标减去起点坐标。

特别的，如果向量的起点在原点，那么向量的坐标数值与向量的终点坐标数值相同。

3、向量之间的关系：（1）平行（共线）：对于两个非零向量，若它们的方向相同或相反的，那么就称这种关系为平行，记作a ∥b。

换言之，方向相同或相反的两个非零向量叫平行向量（共线向量）。

相互平行的两个向量之间的夹角为0度或180度，记为<a ,b> = 00或1800 。

由于向量可以进行任意的平移(所以向量又叫自由向量)，所以平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。

注意① 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。

② 规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。

③平行向量无传递性（因为有0).（2）不平行：对于两个非零向量a 和b，如果平移后它们的夹角不是0度或180度，则称这两个向量不平行。

此时，它们夹角的范围是 <a ,b> ∈（0，π）。

特别的，当<a ,b > =2π（即900）时，称为两个向量垂直，记为⊥a b 。

4、由向量之间的关系引出的术语：（1）同向向量：如果两个向量方向相同（即：共线并且夹角为0度），那么就称这两个向量是同向向量。

<a ,b> = 0（2）反向向量：如果两个向量方向相反（即：共线并且夹角为180度），那么就称这两个向量是反向向量。

<a ,b> =π注意：同向向量和反向向量都是共线向量。

并且只考虑方向，不研究模长的大小关系。

（3）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，记为b a =。

注意：① 相等向量经过平移后总可以重合，是同向向量的升级版。

② 相等向量的坐标体现为：),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x③ 若b a =，且c =b ，则c a=。

即向量相等具有传递性。

（4）相反向量：长度相等且方向相反的两个向量叫相反向量，a 的相反向量记为－a ，AB 的相反向量记为：－AB 或BA ，零向量的相反向量仍是零向量。

注意：① 相反向量是反向向量的升级版，要求方向相反，且大小相等，即|a |＝|b |。

② 若b a 与为相反向量，则0=+b a 。

③ 相反向量的坐标体现为：),(-),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121--y y x x④ 双重取反必还原：)(a --=a。

5、向量的线性运算：（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。

注意加法性质：① a a a=+=+00，任何向量与零向量的和都是任何向量；② a +(a -)=(a -)+a =0，一对相反向量的和一定为零向量； ③ 向量加法满足交换律：a +b =b +a；④ 向量加法满足结合律：（a+b ）+c =a +（b +c ）；（2）向量减法：求两个向量差的运算叫做向量的加法。

记作：)(b a b a -+=-，即求两个向量a 与b 的差，等于向量a加上b 的相反向量。

注意 ① a +(a -)=(a -)+a =0 ；② 若a 、b是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =0 .小结加减法的运算法则：（作图）“三角形法则” “平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD PQ QR AR +++++=，但这时必须“首尾相连”．（3）向量的数乘运算：实数λ与向量a 的积是一个向量，所得的结果表示：在a 的方向（或a的相反方向）取λ倍构成一个新向量，记作aλ。

aλ的长度与方向规定如下：①a a⋅=λλ；② 当0>λ时，a λ的方向与a 的方向相同；当0<λ时，a λ的方向与a的方向相反；当0=λ时，0=a λ，方向是任意的③ 数乘向量满足交换律、结合律与分配律：a a a λμμλλμ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅， ()a a a λμλμ+⋅=⋅+⋅， ()ab a b λλλ⋅+=⋅+⋅6、向量的投影和数量积：(1) 两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ 叫做a 与b 的数量积（或内积）规定0a ⋅=(2) 向量的投影：︱b ︱cos θ=||a ba ⋅∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影(3) 数量积的几何意义： a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积(4)、向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅==（5）、乘法公式成立：()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-； ()2222a b a a b b±=±⋅+222a a b b =±⋅+（6）平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a ⋅=⋅②对实数的结合律成立：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅± 特别注意：（1）结合律不成立：()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅；（2）消去律不成立a b a c ⋅=⋅不能得到b c =⋅（3）a b ⋅=0不能得到a =0或b =07、向量的坐标运算：（1）已知起点和终点的坐标，求向量坐标:已知1122(,)(,)A x y B x y 和，则()2121=--AB x x y y ，，即终点坐标减去起点坐标。

（2）已知向量的坐标，求向量的模:已知(),a x y =，则a=；已知1122(,)(,)A x y B x y 和，则()2121=--AB x x y y ，，此时，(2||=AB x ，本公式等价于“两点间距离公式: 已知1122(,)(,)A x y B x y 和则AB 。

（3）已知两个向量的坐标，求这两个向量加减、数乘和数量积：①加减：已知()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±±，即对应横纵坐标相加减。

②数乘：已知(),a x y =，则(),=,a x y x y λλλλ=（），即倍数对坐标作分配。

③数量积：已知()()1122,,,a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅，即对应坐标之积再相加。

（4）已知两个向量的坐标，求这两个向量的夹角或夹角余弦值：已知()()1122,,,a x y b x y ==，则121cos ,x a b a b a bx ⋅==⋅+。

8、向量的夹角已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ （001800≤≤θ）叫做向量a 与b 的夹角，记为,a b <>。

① 研究向量夹角时，必须将两个向量的起点移动到同一点上；② 当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，,0a b <>= ③ 当且仅当a 与b 反方向时,a b π<>= ④ 0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 ⑤ cos θ=cos ,a b a b a b•<>=•=⑥ 向量夹角与数量积的关系：当θ为锐角时，a •b ＞0（反之不成立，因为数量积为正数的两个向量不一定构成锐角，可能是平行且同向）；当θ为钝角时，a •b ＜0。

（反之不成立，因为数量积为负数的两个向量不一定构成钝角，可能是平行且反向）9、平面向量的基本定理如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

若给定一组基底向量，则平面内的任何一个向量都存在一组实属对与之对应，当这组基底是两个相互垂直的单位向量时，这组基底可以构成一个系统，这个系统叫平面直角坐标系，与向量对应的实数对就是坐标。

10、向量垂直（共线）的基本定理（1）共线： a ∥b ⇔ ,(0)a b b λ=≠，此为向量平行的符号表达。

若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-=或⎩⎨⎧==2121y y x x λλ，此为向量平行的坐标表达。

对于“a ∥b ⇔,(0)a b b λ=≠”，当0a =时，可以看成是非零向量b 的0倍（即0λ=），所以规定“零向量0与任何非零向量b 平行”。