北师版高一数学必修四平面向量测试题及答案
(常考题)北师大版高中数学必修四第二章《平面向量》检测(有答案解析)
一、选择题1．已知ABC 为等边三角形，2AB =，ABC 所在平面内的点P 满足1AP AB AC --=，AP 的最小值为（ ）A ．31-B ．221-C ．231-D ．71-2．如图，在ABC 中，AD AB ⊥，2AD =，3DC BD =，则AC AD ⋅的值为（ ）A ．3B ．8C ．12D ．163．如图，在ABC 中，13AN NC =，P 是BN 上的一点，若2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则实数m 的值为( )A ．19B ．13C ．1D ．34．若平面向量与的夹角为，，，则向量的模为（ ） A ．B ．C ．D ．5．在矩形ABCD 中，|AB |＝6，|AD |＝3.若点M 是CD 的中点，点N 是BC 的三等分点，且BN ＝13BC ，则AM ·MN ＝（ ） A ．6 B ．4C ．3D ．26．已知a ，b 是单位向量，a •b =0．若向量c 满足|c a b --|＝1，则|c |的最大值为（ ）A ．21-B ．2C ．21+D ．22+7．已知ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且AE EB =，2AD DC =，与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ）A ．1AB CD ⋅=- B ．1233BD BC BA =+ C ．3OA OB OC ++=D ．ED 在BC 方向上的投影为768．在△ABC 中，M 是BC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则AM ＝( ) A ．1()2a b + B ．1()2a b - C ．12a b + D ．12a b +9．在ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，那么下列各式中正确的是（ ） A ．DB DC =B ．2AD DE =C ．2AB AC AD += D ．AB AC BC -=10．已知a ，b 为单位向量，2a b a b +=-，则a 在a b +上的投影为（ ）A ．13B ．263-C ．6 D ．22311．已知平面上的非零．．向量a ，b ，c ，下列说法中正确的是（ ） ①若//a b ，//b c ，则//a c ； ②若2a b =，则2a b =±；③若23x y a b a b +=+，则2x =，3y =； ④若//a b ，则一定存在唯一的实数λ，使得a b λ=. A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④12．在ABC 中，D 是BC 边上的一点，F 是AD 上的一点，且满足2AD AB AC =+和20FD FA +=，连接CF 并延长交AB 于E ，若AE EB λ=，则λ的值为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．15二、填空题13．如图，在Rt ABC ∆中，2,60,90AB BAC B =∠=︒∠=︒，G 是ABC ∆的重心，则GB GC ⋅=__________．14．已知平面向量a ，b ，c 满足45a b ⋅=，4a b -=，1c a -=，则c 的取值范围为________．15．已知向量a 、b 满足1a b +=，2a b -=，则a b +的取值范围为___________. 16．已知O 为ABC 内一点，且满足305OA OB OC =++，延长AO 交BC 于点D .若BD DC λ=，则λ=_____.17．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，圆M 为BCD △的内切圆，点P 为圆上任意一点， 且AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为________.18．已知夹角为θ的两个单位向量,a b ，向量c 满足()()0a c b c -⋅-=，则c 的最大值为______.19．在ABC ∆中，1AC BC ==，3AB =CE xCA =，CF yCB =，其中(),0,1x y ∈，且41x y +=，若M ，N 分别为线段EF ，AB 中点，当线段MN 取最小值时x y +=__________.20．已知向量a =（1，0），b =（12-，32），向量c 满足22c =，且（c a b --）•c =0，则a 与c 的夹角为_____．三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,2A -，()1,1B ，()3,1C -. （Ⅰ)求AB 的坐标及AB ；（Ⅱ)当实数t 为何值时，()tOC OB AB +. 22．已知平面向量34,55a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2||b =，a与b 夹角为4π.（1）求向量a 在b 方向上的投影； （2）求a b -与a b +夹角的余弦值.23．已知平面直角坐标系中，点 O 为原点，()()3,1,1,2A B - ． (I)求AB 的坐标及AB ；(Ⅱ)设 e 为单位向量，且 e OB ⊥，求e 的坐标 24．已知a ，b ，c 在同一平面内，且()1,2a =.（1）若35c =，且//a c ，求c ； （2）若2b =，且()()2a b a b +⊥-，求a 与b 的夹角的余弦值.25．已知向量(1,2),(,2),(3,1)==-=-OA OB m OC ，O 为坐标原点． （1）若AB AC ⊥求实数m 的值； （2）在（1）的条件下，求△ABC 的面积． 26．已知||2,||3,a b a ==与b 的夹角为120°． （1）求(2)(3)a b a b -⋅+与||a b +的值； （2）x 为何值时，xa b -与3ab 垂直？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】计算出AB AC +的值，利用向量模的三角不等式可求得AP 的最小值. 【详解】2222222cos123AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC π+=++⋅=++⋅=，所以，23AB AC += 由平面向量模的三角不等式可得()()231AP AP AB AC AB AC AP AB AC AB AC =--++≥---+=.当且仅当AP AB AC --与AB AC +方向相反时，等号成立.因此，AP 的最小值为1. 故选：C. 【点睛】结论点睛：在求解向量模的最值时，可利用向量模的三角不等式来求解：a b a b a b -≤±≤+. 2．D解析：D 【分析】利用AB 、AD 表示向量AC ，再利用平面向量数量积的运算性质可求得AC AD ⋅的值. 【详解】()3343AC AD DC AD BD AD AD AB AD AB =+=+=+-=-，AD AB ⊥，则0⋅=AD AB ，所以，()224344216AC AD AD AB AD AD ⋅=-⋅==⨯=. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．3．A解析：A 【解析】 因为2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭29mAB AC =+，设BP tBN =，而31()()(1)44AP AB BP AB t BC CN AB t BC AC t AB t AC =+=++=+-=-+，所以1m t =-且249t =，故811199m t =-=-=，应选答案A ． 4．C解析：C 【解析】，，又，，则，故选5．C解析：C 【分析】根据向量的运算法则，求得12AM AD AB =+，2132MN AD AB =-+，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】由题意，作出图形，如图所示：由图及题意，根据向量的运算法则，可得12AM AD DM AD AB =+=+，2132MN CN CM CB CD =-=-21213232BC DC AD AB =-+=-+，所以2212121||||23234AM MN AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21936334=-⨯+⨯=.故选C ．【点睛】本题主要考查了向量的运算法则，以及平面向量的数量积的运算，其中解答中熟练应用向量的运算法则和向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.6．C解析：C 【分析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出． 【详解】∵|a |＝|b |＝1，且0a b ⋅=，∴可设()10a =，，()01b =，，()c x y ，=． ∴()11c a b x y --=--，． ∵1c a b --=， ∴22(1)(1)1x y -+-=x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1．∴c 的最大值2211121=+=．故选C ． 【点睛】熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合是解题的关键．7．D解析：D 【分析】利用CE AB ⊥，判断出A 错误；由2AD DC =结合平面向量的基本定理，判断出选项B 错误；以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，写出各点坐标，计算出OA OBOC ++的值，判断出选项C 错误；利用投影的定义计算出D 正确． 【详解】由题E 为AB 中点，则CE AB ⊥，0AB CE ⋅=，所以选项A 错误；由平面向量线性运算得2133BD BC BA =+，所以选项B 错误； 以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，()0,0E ，1,0A ，()1,0B -，(3C ，13,33D ⎛ ⎝⎭，设()0,O y ，(3y ∈，()1,BO y =，123,33DO y ⎛=-- ⎝⎭，//BO DO ，所以，2313y y =-，解：3y =， 32OA OB OC OE OE OE ++=+==，所以选项C 错误； 123,33ED ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(1,3BC =，ED 在BC 方向上的投影为127326BC BCED +⋅==，故选：D ． 【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，考查平面向量基本定理，考查投影的定义，考查平面向量的坐标表示，属于中档题．8．D解析：D【分析】根据向量的加法的几何意义即可求得结果. 【详解】在ABC ∆中，M 是BC 的中点， 又,AB a BC b ==， 所以1122AM AB BM AB BC a b =+=+=+， 故选D. 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目.9．C解析：C 【解析】依题意ABC 如图所示：∵D 是BC 的中点 ∴DB CD =，故A 错误 ∵E 是AD 的中点 ∴2AD ED =，故B 错误∵AB AD DB =+，AC AD DC =+∴2AB AC AD DB AD DC AD +=+++=，故C 正确∴()AB AC AD DB AD DC DB DC CB -=+-+=-=，故D 错误 故选C10．C解析：C 【分析】由题意结合平面向量数量积的运算可得13a b ⋅=，进而可得()b a a +⋅、a b +，代入投影表达式即可得解. 【详解】因为a ，b 为单位向量，所以1==a b ， 又2a b a b +=-，所以()()222a ba b +=-所以22222242a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，即121242a b a b +⋅+=-⋅+， 所以13a b ⋅=，则()2263a b a b +=+=，()243a a b a a b ⋅+=+⋅=，所以a 在a b +上的投影为()4326a a ba b⋅+==+ 故选：C. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用，考查了一个向量在另一个向量上投影的求解，属于中档题.11．B解析：B 【分析】根据向量共线定理判断①④，由模长关系只能说明向量a ，b 的长度关系判断②，举反例判断③. 【详解】对于①，由向量共线定理可知，//a b ，则存在唯一的实数1λ，使得1λa b ，//b c ，则存在唯一的实数2λ，使得2λbc ，由此得出存在唯一的实数12λλ⋅，使得12a c λλ=⋅，即//a c ，则①正确；对于②，模长关系只能说明向量a ，b 的长度关系，与方向无关，则②错误； 对于③，当a b =时，由题意可得()5x y a a +=，则5x y +=，不能说明2x =，3y =，则③错误；由向量共线定理可知，④正确； 故选：B. 【点睛】本题主要考查了向量共线定理以及向量的定义，属于中档题.12．C解析：C 【分析】首先过D 做//DG CE ，交AB 于G ，根据向量加法的几何意义得到D 为BC 的中点，从而得到G 为BE 的中点，再利用相似三角形的性质即可得到答案. 【详解】如图所示，过D 做//DG CE ，交AB 于G .因为2AD AB AC =+，所以D 为BC 的中点. 因为//DG CE ，所以G 为BE 的中点， 因为20FD FA +=，所以:1:2AF FD =.因为//DG CE ，所以::1:2AE EG AF FD ==，即12AE EG =. 又因为EG BG =，所以14AE EB =， 故14AE EB =. 故选：C 【点睛】本题主要考查了向量加法运行的几何意义，同时考查了相似三角形的性质，属于中档题.二、填空题13．【解析】分析：建立平面直角坐标系结合平面向量数量积的坐标运算整理计算即可求得最终结果详解：建立如图所示的平面直角坐标系则：由中心坐标公式可得：即据此有：结合平面向量数量积的坐标运算法则可得：点睛：求 解析：209-【解析】分析：建立平面直角坐标系，结合平面向量数量积的坐标运算整理计算即可求得最终结果. 详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则：()0,2A ，()0,0B ，()23,0C ，由中心坐标公式可得：002320033G ⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭，即223,33G ⎫⎪⎭， 据此有：223,33GB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，423,33GC ⎛⎫=-⎪⎭， 结合平面向量数量积的坐标运算法则可得：2422203333339GB GC ⎛⎛⎫⎛⎫⋅=--⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎝⎭.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．14．【分析】结合已知条件画出图象由的几何意义求得的取值范围【详解】如图所示设设是线段的中点依题意可知由于所以即解得所以即所以根据向量模的几何意义可知点在以为圆心为半径的圆上所以所以即的取值范围为故答案为 解析：[]4,10【分析】结合已知条件画出图象，由c 的几何意义求得c 的取值范围. 【详解】如图所示，设,,OA a OB b OC c ===，设D 是线段AB 的中点. 依题意可知4,1,2AB AC AD BD ====， 由于45a b ⋅=所以45OA OB ⋅=，即()()()()222224544OA OB OA OBOD BA+---==222441644OD BAOD --==，解得7OD =.所以59OD AD OA OD AD =-≤≤+=, 即59OA ≤≤，所以418,6110OA OA ≤-≤≤+≤根据向量模的几何意义可知，点C 在以A 为圆心，1为半径的圆上， 所以()()minmax11OA OC OA -≤≤+，所以410OC ≤≤，即c 的取值范围为[]4,10. 故答案为：[]4,10【点睛】本小题主要考查向量数量积的运算，考查向量模的几何意义，属于中档题.15．【分析】易得结合可得又可得即可求解【详解】则则又故答案为：【点睛】本题考查向量模的取值范围的计算考查了向量模的三角不等式的应用考查计算能力属于中等题解析：5⎡⎣【分析】 易得()2225a b+=，结合()()22225a ba b+≤+=，可得5a b +≤.又a b a b +≥±，可得2a b ±≥，即可求解.【详解】1a b +=，2a b -=，2221a a b b ∴+⋅+=，2224a a b b -⋅+=，()2225a b∴+=，则()()22225a ba b+≤+=，则5a b +≤.又a b a b +≥±，2a b ∴+≥，25a b ∴≤+≤.故答案为：5⎡⎣.【点睛】本题考查向量模的取值范围的计算，考查了向量模的三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.16．【分析】将已知条件转化为结合得到设列出关于的方程组由此求得【详解】由于所以所以即因为即化简得设所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理考查平面向量的线性运算考查化归与转化的数学思想解析：53【分析】将已知条件转化为1539AO AB AC=+，结合BD DCλ=，得到111AD AB ACλλλ=+++，设AO k AD=，列出关于,kλ的方程组，由此求得λ.【详解】由于305OA OB OC=++，所以()()350OA AB AO AC AO+-+-=，所以935AO AB AC=+，即1539AO AB AC=+.因为BD DCλ=，即()AD AB AC ADλ-=-,化简得111AD AB ACλλλ=+++，设11k kAO k AD AB ACλλλ==+++，所以113519kkλλλ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得53λ=.故答案为：53【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理，考查平面向量的线性运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.17．【分析】以点B为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示由已知条件得出点坐标圆M的方程设由得出再设（为参数）代入中根据三角函数的值域可求得最大值【详解】以点B为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示因为在解析：116【分析】以点B 为坐标原点，建立平面直角坐标系如下图所示，由已知条件得出点坐标，圆M 的方程，设(),P x y ，由AP AB AD λμ=+，得出134y x λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，再设3cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），代入λμ+中，根据三角函数的值域，可求得最大值. 【详解】以点B 为坐标原点，建立平面直角坐标系如下图所示，因为在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，所以圆M 的半径为3+4512r -==， 所以()0,0B ，()0,3A ，()4,0C ，()4,3D，()3,1M ，圆M 的方程为()()22311x y -+-=，设(),P x y ，又AP AB AD λμ=+，所以()()(),30,34,0x y λμ-=-+，解得134y x λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 又点P 是圆M 上的点，所以3cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），所以()1sin 3cos 517sin 1+1+34312124+y x θθβθλμ+=+--+=-=，其中3tan 4β=， 所以，当()sin 1βθ-=时，λμ+取得最大值116， 故答案为：116.【点睛】本题考查向量的线性表示，动点的轨迹中的最值问题，属于中档题.18．【分析】建立平面直角坐标系设出向量的坐标得出向量的终点的轨迹方程再运用点与圆的位置关系可以得到的最大值【详解】由已知建立平面直角坐标系设又所以所以点在以为圆心以为半径的圆上所以的最大值为所以的最大值解析：cossin22θθ+【分析】建立平面直角坐标系，设出向量a b c ，，的坐标，得出向量c 的终点C 的轨迹方程，再运用点与圆的位置关系可以得到||c 的最大值. 【详解】由已知建立平面直角坐标系，设()()()10cos ,sin ,,OA a OB b OC c x y θθ======，，，又()()0a c b c -⋅-=，所以()22+1+cos sin +cos 0x x y y θθθ-⋅-⋅=，所以点C 在以1+cos sin ,22P θθ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以sin 2R θ=为半径的圆上， 所以c 的最大值为221+cos sin ++sin cos +sin 22222OP R θθθθθ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以c 的最大值为cos sin22θθ+，故答案为：cos sin22θθ+.【点睛】本题考查求向量的模的最值，建立平面直角坐标系，设出向量坐标，得出向量的终点的轨迹方程是解决本题的关键，属于中档题.19．【分析】根据平面向量的数量积运算求得的值再利用中线的性质表示出由此求得计算当的最小时的值即可【详解】解：连接如图所示：由等腰三角形中知所以∵是的中线∴同理可得∴又∴故当时有最小值此时故答案为：【点睛 解析：47【分析】根据平面向量的数量积运算求得CA CB 的值，再利用中线的性质表示出CM 、CN ，由此求得MN ，计算当||MN 的最小时x y +的值即可． 【详解】解：连接CM ，CN ，如图所示：由等腰三角形中，1AC BC ==，AB =120ACB ∠=︒，所以1=2CA CB ⋅-.∵CM 是CEF ∆的中线，∴()()1122CM CE CF xCA yCB =+=+. 同理可得()1=2CN CA CB +. ∴()()111122MN CN CM x CA y CB =-=-+-， ()()()()222111111114224MN x x y y ⎛⎫=-+--⨯-+- ⎪⎝⎭， 又41x y +=， ∴222131424MN y y =-+，(),0,1x y ∈. 故当17y =时，2MN 有最小值，此时3147x y =-=. 故答案为：47. 【点睛】本题考查了平面向量数量积公式及其运算性质问题，也考查了二次函数求最值的应用问题，属于中档题．20．或【分析】向量（10）设与的夹角为θ结合已知可得出坐标利用向量坐标运算建立关系式即可求解【详解】设与的夹角为θ则或且∴由得若∴∴且∴或∴或若且不存在∴或故答案为:或【点睛】本题考查向量的夹角向量的坐解析：12π或712π 【分析】向量a =（1，0），设a 与c 的夹角为θ，结合已知可得出c 坐标，利用向量坐标运算，建立θ关系式，即可求解. 【详解】设a 与c 的夹角为θ，则()2,c cos sin θθ=， 或()2,2c cos sin θθ=-且1322a b ⎛+= ⎝⎭，， ∴由()0c a b c --⋅=得，()2c a b c =+⋅， 若()2,2c cos sin θθ=，∴11226cos πθθθ⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴62sin πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且7666πππθ≤+≤， ∴64ππθ+=或34π， ∴12πθ=或712π． 若()2,2c cos sin θθ=-，11226cos sin πθθθ⎫⎛⎫==-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，6sin πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭且5666πππθ-≤-≤， θ不存在.∴12πθ=或712π． 故答案为:12π或712π. 【点睛】本题考查向量的夹角、向量的坐标坐标运算，向量设为三角形式是解题的关键，属于中档题.三、解答题21．（Ⅰ)(2,1)AB =-，5AB =Ⅱ)3t = 【分析】（Ⅰ）根据点A ，B 的坐标即可求出(2,1)AB =-，从而可求出||AB ；（Ⅱ）可以求出(13,1)tOC OB t t +=-+，根据()//tOC OB AB +即可得出2(1)(1)(13)30t t t +---=-=，解出t 即可．【详解】（Ⅰ)∵()1,2A -，()1,1B ，∴(2,1)AB =- ∴2||25AB ==（Ⅱ)∵()3,1C -，∴(13,1)tOC OB t t +=-+. ∵()tOC OBAB +∴2(1)(1)(13)30t t t +---=-=，∴3t =【点睛】考查根据点的坐标求向量的坐标的方法，根据向量的坐标求向量长度的方法，以及平行向量的坐标关系． 22．(1). 【解析】试题分析：(1)由向量数量积的几何意义可求向量a 在b 方向上的投影; (2)由向量夹角公式可求a -b 与a +b 的夹角的余弦值 试题 (1)|a |=|(34,55)|=1 ∴向量a 在b 方向上的投影为a cosθ=a ?bb=2(2)cos<a -b ,a +b>=()()a b a b a b a b-+-+|a -b |2=|a |2+|b |2-2ab =12,|a b -|=22. |a b +|2=|a |2+|b |2+2ab =52,|a b + (a b -)(a b +)=a 2-b 2=12cos<,a b a b -+>=()()a b a b a b a b-+-+=5.23．（1）()4,1=-AB ,17;=AB （2）25,⎛= ⎝⎭e ，或25.⎛=- ⎝⎭e 【详解】试题分析：（I ）利用向量的坐标运算直接求AB 的坐标及AB ；（II ）利用向量的垂直，数量积为0，结合单位向量求解即可． 试题（I ）()()AB 13,214,1=---=-,(AB =-=(Ⅱ)设单位向量(),e x y =， 所以221x y +=，即221x y += 又(),1,2⊥=-e OB OB ,所以20x y -+=即2x y =由2221x y x y =⎧⎨+=⎩，解得5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或者5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以25,55⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭e ，或25,.55⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭e 24．（1）()3,6c=或()3,6c =--；（2）10-.【分析】（1）设(),c x y =，由平面向量平行的坐标表示及模的坐标表示可得2y x=⎧=即可得解；（2）由平面向量垂直可得()()20a b a b +⋅-=，再由平面向量数量积的运算可得1a b ⋅=-，最后由cos ,a ba b a b⋅=⋅即可得解. 【详解】（1）设(),c x y =，因为()1,2a =，//a c ，35c =，所以235y x x y =⎧+=⎪⎩36x y =⎧⎨=⎩或36x y =-⎧⎨=-⎩， 所以()3,6c =或()3,6c =--；（2）因为()1,2a =，所以14a =+又()()2a b a b +⊥-，2b =，所以()()22225220a b a b aa b ba b +⋅-=+⋅-=+⋅-⨯=，所以1a b ⋅=-， 所以cos ,105a b a b a b⋅===-⨯⋅.【点睛】本题考查了平面向量共线及模的坐标表示，考查了平面向量数量积的应用及运算求解能力，属于中档题. 25．（1）1；（2） 【分析】（1）根据向量(1,2),(,2),(3,1)==-=-OA OB m OC ，得到向量,AB AC ，再由AB AC ⊥，利用坐标运算求解.（2）由（1）得到 ,AB AC ，然后由12ABCS AB AC =⨯⨯求解. 【详解】（1）因为向量(1,2),(,2),(3,1)==-=-OA OB m OC ， 所以向量(1,4),(4,1)AB m AC =--=--， 又因为AB AC ⊥， 所以4(1)40m --+=， 解得 2m =.（2）由（1）知：(0,4),(4,1)AB AC =-=--， 所以4,17AB AC ==所以11422ABCSAB AC =⨯⨯=⨯= 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.26．（1）34-2）当245x =-时，xa b -与3a b 垂直．【分析】（1）先由数量积的定义求出3a b ⋅=-，由数量积的运算性质可得22(2)(3)253a b a b a a b b -⋅+=+⋅-，222||||2a b a b a a b b +=+=+⋅+，将条件及a b ⋅的值代入，可得答案. （2）由xa b -与3a b 垂直，可得22()(3)(31)30xa b a b xa x a b b -⋅+=+-⋅-=，将条件代入可求出x 的值.【详解】（1）||||cos ,23cos1203a b a b a b ︒⋅=〈〉=⨯⨯=-．22(2)(3)25324153934a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=⨯--⨯=-．222||||2469a b a b a a b b +=+=+⋅+=-+=（2）因为()(3)xa b a b -⊥+，所以22()(3)(31)3493270xa b a b xa x a b b x x -⋅+=+-⋅-=-+-=，即245x =-． 所以当245x =-时，xa b -与3a b 垂直．【点睛】本题考查向量数量积的定义和运算性质，求模长，根据向量垂直其数量积为零求参数的值，属于中档题.。
北师大必修4《平面向量》测试题及答案
北师大必修4《平面向量》测试题及答案一、选择题1.若三点P （1，1），A （2，-4），B （x,-9）共线，则（ ） A.x=-1B.x=3C.x=29D.x=512.与向量a=(-5,4)平行的向量是（ ） A.（-5k,4k ）B.(-k 5,-k4) C.(-10,2)D.(5k,4k)3.若点P 分AB 所成的比为43，则A 分BP 所成的比是（ ） A.73B. 37C.- 37D.-734.已知向量a 、b ，a ·a =-40，|a |=10,|b |=8，则向量a 与b 的夹角为（ ）A.60°B.-60°C.120°D.-120°5.若|a-b|=32041-,|a |=4,|b |=5，则向量a ·b =（ ） A.103B.-103C.102D.106.已知a =(3,0),b =(-5,5)，则a 与b 的夹角为( ) A.4πB.43π C.3πD.32π7.已知向量a =(3,4),b =(2,-1)，如果向量a +x ·b 与b 垂直，则x 的值为（ ）A.323 B.233C.2D.-52 8.设点P 分有向线段21P P 的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（ ）A.(-∞,-1)B.(-1,0)C.(-∞,0)D.(-∞,-21) 9.设四边形ABCD 中，有DC =21AB ，且|AD |=|BC |，则这个四边形是（ ） A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形10.将y=x+2的图像C按a=(6,-2)平移后得C′的解析式为（）A.y=x+10B.y=x-6C.y=x+6D.y=x-1011.将函数y=x2+4x+5的图像按向量a经过一次平移后，得到y=x2的图像，则a等于（）A.(2,-1)B.(-2,1)C.(-2,-1)D.(2,1)12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D的坐标是（）A.(2a,b)B.(a-b,a+b)C.(a+b,b-a)D.(a-b,b-a)二、填空题13.设向量a=(2,-1)，向量b与a共线且b与a同向，b的模为25，则b= 。
(常考题)北师大版高中数学必修四第二章《平面向量》检测(包含答案解析)
一、选择题1．已知a 与b 的夹角为60，4a =，则a b λ-(R λ∈)的最小值为（ ） A ．23B ．72C ．103D ．4332．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，5cos 6A =，若O 为ABC ∆的外心（即三角形外接圆的圆心），且AO mAB nAC +=，则2n m -=（ ） A ．199B ．4122-C ．111-D ．17113．如下图，四边形OABC 是边长为1的正方形，点D 在OA 的延长线上，且2OD =，点P 为BCD 内(含边界)的动点，设(,)OP OC OD R αβαβ=+∈，则αβ+的最大值等于( )A ．3B ．2C ．52D ．324．在ABC 中，4A π=，3B π=，2BC =，AC 的垂直平分线交AB 于D ，则AC CD ⋅=（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．35．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =．若有(7,16)λ∈，则在正方形的四条边上，使得PE PF λ=成立的点P 有（ ）个．A ．2B ．4C ．6D ．06．已知a ，b 为单位向量，2a b a b +=-，则a 在a b +上的投影为（ ）A ．13B ．26C 6D ．237．在ABC 中，||:||:||3:4:5AB AC BC =，圆O 是ABC 的内切圆，且与BC 切于D 点，设AB a =，AC b =，则AD =（ ）A ．2355a b + B ．3255a b + C．2133a b +D ．1233a b +8．已知O 是三角形ABC 内部一点，且20OA OB OC ++=，则OAB ∆的面积与OAC∆的面积之比为（ ） A ．12B ．1C ．32D ．29．设O 为ABC 内一点,已知2332OA OB OC AB BC CA ++=++,则::AOB BOC COA S S S ∆∆∆= （ ）A ．1:2:3B ．2:3:1C ．3:1:2D ．3:2:110．已知等边ABC 的边长为2，若3BC BE =，AD DC =，则BD AE ⋅等于（ ） A ．103B ．103-C ．2D ．2-11．在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，点E 是AB 边上的中点，点F 是BC 边上的动点，则DE DF ⋅的取值范围是（ ）A ．0,3⎡⎤⎣⎦B ．3,3⎡⎤⎢⎥⎣ C ．3,3⎡⎤⎣⎦D ．[]0,312．设非零向量a 与b 的夹角是23π，且a a b =+，则22a tb b+的最小值为（ ）A ．33B ．32C ．12D ．1二、填空题13．在矩形ABCD 中，已知E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且满足2BE EC =，3CFFD ．若(),AC AE AF R λμλμ=+∈，则λμ+的值为______．14．如图，已知四边形ABCD ，AD CD ⊥，AC BC ⊥，E 是AB 的中点，1CE =，若//AD CE ，则AC BD ⋅的最小值为___________.15．圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若2AB AC AO +=，且OA AC =，则向量BA 在向量BC 方向上的投影为_____.16．把单位向量OA 绕起点O 逆时针旋转120︒，再把模扩大为原来的3倍，得到向量OB ，点C 在线段AB 上，若12AC CB =，则OC BA ⋅的值为__________． 17．已知3a =，2b =，()()2318a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为________. 18．已知平面非零向量,,a b c 两两所成的角相等，1a b c ===，则a b c ++的值为_____．19．若点O 和点F 分别为椭圆24x ＋23y ＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ·FP 的最大值为________.20．已知平面向量a ，b 满足1a =，2a b -与2b a -的夹角为120°，则2b 的最大值是_______.三、解答题21．已知||4,||2a b ==，且a 与b 夹角为120︒， 求：（1）||a b +； （2）a 与a b +的夹角. 22．设非零向量a ，b 不共线.（1）若(),1a t =，()5,b t =，且//a b ，求实数t 的值；（2）若OA a b =+，2OB a b =+，3OC a b =+.求证：A ，B ，C 三点共线. 23．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中(1,2)a = （1）若||25c =，且//c a ，求c 的坐标； （2）若5||2b =，且2 a b +与2a b -垂直，求a 与b 的夹角θ. 24．已知向量()cos ,sin m x x =-，()3,3n =，[]0,x π∈. （1）若m 与n 共线，求tan x 的值； （2）若m 与n 的夹角为3π，求x 的值. 25．已知||1a =，||2b =.（1）若向量a 与向量b 的夹角为135︒，求||a b +及b 在a 方向上的投影； （2）若向量a b -与向量a 垂直，求向量a 与b 的夹角. 26．平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=.（1）求32a b c +-；（2）求满足a mb nc =+的实数,m n 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据向量的模的表示方法得22222a b a a b b λλλ-=-⋅+，再配方即可得答案. 【详解】解：根据向量模的计算公式得：()()222222216421212a b a a b b b bb λλλλλλ-=-⋅+=-+=-+≥，当且仅当2b λ=时等号成立；所以23a b λ-≥，当且仅当2b λ=时等号成立； 故选：A. 【点睛】方法点睛：向量模的计算公式：22a a a a =⋅=2．D解析：D 【分析】设,D E 分别为,AB AC 的中点，连接,OD OE ，则OD AB ⊥，OE AC ⊥，从而得到·0?0OD AB OE AC ==，，坐标化构建m ，n 的方程组，解之即可.【详解】设,D E 分别为,AB AC 的中点，连接,OD OE ，则OD AB ⊥，OE AC ⊥，又OD AD AO =-，即11222mOD AB mAB nAC AB nAC -=--=-， 同理122nOE AE AO AC mAB -=-=-， 因为212·||?02mOD AB AB nAB AC -=-=， 所以124502m n -⨯-=，又212·||?02nOE AC AC mAB AC -=-=，所以12950 2nm-⨯-=，联立方程组124502129502mnnm-⎧⨯-=⎪⎪⎨-⎪⨯-=⎪⎩，解得922811mn⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以17211n m-=.故选D【点睛】本题考查了数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、三角形外心的性质、向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．D解析：D【分析】以O为原点，边OA和OC所在的直线分别为x和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设(),P x y，易得1,2y xαβ==，则12x yαβ+=+，再将原问题转化为线性规划问题，求目标函数12x y+在可行域BCD内(含边界)的最大值，即可求出结果．【详解】以O为原点，边OA和OC所在的直线分别为x和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则()()0,1,2,0C D，如下图所示：设(),P x y，∵(,)OP OC OD Rαβαβ=+∈，∴()()(),0,12,0)2,(x yαββα=+=，∴2,x yβα==，即1,2y xαβ==，∴12x yαβ+=+，令1,2z x y=+则12y x z=-+，其中z为直线12y x z=-+在y轴上的截距，由图可知，当该直线经过点()1,1B 时，其在y 轴上的截距最大为32， ∴αβ+的最大值为32． 故选：D ． 【点睛】本题考查平面向量在几何中的应用，建立坐标系后，可将原问题转化为线性规划中的最值问题，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．4．C解析：C 【分析】由AC 的垂直平分线交AB 于D ，且4A π=可得ACD △为等腰直角三角形，且4A ACD π∠=∠=，2ADC BDC π∠=∠=；进而由2BC =可求出,,DB CD AC 的长，从而求出AC CD ⋅的值. 【详解】解：因为AC 的垂直平分线交AB 于D 、4A π=，所以ACD △为等腰直角三角形，4A ACD π∠=∠=，2ADC BDC π∠=∠=，在BDC 中，3B π=，2BDC π∠=，2BC =，所以1,3BD CD ==，所以3AD CD ==，26AC CD ==，所以32cos63()342AC CD AC CD π⋅=⋅=⨯⨯-=-.故选：C. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，考查运算求解能力，属于基础题型.5．B解析：B 【分析】建立坐标系，逐段分析·PE PF 的取值范围及对应的解． 【详解】以DC 为x 轴，以DA 为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则()()0,4,6,4E F ，（1）若P 在CD 上，设(,0),06P x x ≤≤，(,4),(6,4)PE x PF x ∴=-=-，2616PE PF x x ∴⋅=-+， [0,6],716x PE PF ∈∴≤⋅≤， ∴当=7λ时有一解，当716λ<≤时有两解；（2）若P 在AD 上，设(0,),06P y y <≤，(0,4),(6,4)PE y PF y ∴=-=-， 22(4)816PE PF y y y ∴⋅=-=-+， 06,016y PE PF <≤∴⋅<，∴当=0λ或4<<16λ时有一解，当716λ<≤时有两解； （3）若P 在AB 上，设(,6),06P x x <≤，(,2),(6,2)PE x PF x =--=--，264PE PF x x ∴⋅=-+， 06,54x PE PF <≤∴-≤⋅≤，∴当5λ=-或4λ=时有一解，当54λ-<<时有两解；（4）若P 在BC 上，设(6,),06P y y <<，(6,4),(0,4)PE y PF y ∴=--=-， 22(4)816PE PF y y y ∴⋅=-=-+，06y <<，016PE PF ∴⋅<，∴当0λ=或416λ≤<时有一解，当04λ<<时有两解，综上可知当(7,16)λ∈时，有且只有4个不同的点P 使得PE PF λ⋅=成立. 故选：B. 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算，二次函数的根的个数判断，属于中档题．6．C解析：C 【分析】由题意结合平面向量数量积的运算可得13a b ⋅=，进而可得()b a a +⋅、a b +，代入投影表达式即可得解. 【详解】因为a ，b 为单位向量，所以1==a b ， 又2a b a b +=-，所以()()222a ba b +=-所以22222242a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，即121242a b a b +⋅+=-⋅+， 所以13a b ⋅=，则()2263a b a b+=+=，()243a a b a a b ⋅+=+⋅=，所以a 在a b +上的投影为()4326a a b a b⋅+==+ 故选：C. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用，考查了一个向量在另一个向量上投影的求解，属于中档题.7．B解析：B 【分析】由题得三角形是直角三角形，设3,4,5AB AC BC ===，设,=,,DB BF x AD AE y EC CF z =====求出,,x y z ，再利用平面向量的线性运算求解.【详解】因为||:||:||3:4:5AB AC BC =，所以ABC 是直角三角形，设3,4, 5.AB AC BC ===如图，设,=,,DB BF x AD AE y EC CF z =====由题得34,2,1,35x y y z x y z x z +=⎧⎪+=∴===⎨⎪+=⎩，所以2232()5555AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+3255a b =+. 故选：B 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．A解析：A 【解析】由题意，O 是'AB C ∆的重心，'2OB OB =，所以OAB ∆的面积与OAC ∆的面积之比为12．故选A ． 点睛：本题考查平面向量的应用．由重心的结论：若0OA OB OC ++=，则O 是ABC ∆的重心，本题中构造'AB C ∆，O 是'AB C ∆的重心，根据重心的一些几何性质，求出面积比值．9．B解析：B 【分析】根据23OA OB OC ++=32AB BC CA ++，化简得到12033OA OB OC ++=，设12,33OB OD OC OE ==，则O 为ADE 的重心，有AODAOEDOES SS==，则93,,232AOB BOC AOC S S S S S S ∆∆∆===求解. 【详解】由23OA OB OC ++=32AB BC CA ++，得233322OAOA OB OC OB OA OC OB OA OC ++=-+-+-， 整理得：320OA OB OC ++=，12033OA OB OC ∴++=，设12,33OB OD OC OE ==，则0OA OD OE ++=，即O 为ADE 的重心，AODAOEDOESSSS ∴===，则93,,232AOB BOC AOC S S S S S S ∆∆∆===， 93::3::2:3:122AOB BOC AOC S S S ∆∆∆∴==，故选：B. 【点睛】本题主要考查平面向量的平面几何中的应用，属于中档题.10．D解析：D 【分析】 根据题意得出()12BD BA BC =+，13AE BC BA =-，运用数量积求解即可． 【详解】解：等边△ABC 的边长为2，3BC BE =，AD DC =， ∴()12BD BA BC =+，1313A AB BE AB B E BC A C B =+=+=-， ∴()221111223233BD AE BA BC BC BA BC BA BC BA ⎛⎫⎛⎫+-=--⋅ ⎪ ⎪⎝=⎭⎝⎭， 112144222332⎛⎫=⨯⨯--⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭， 2=-．故选：D ．【点睛】本题考查了平面向量的运算，数量积的求解，关键是分解向量，属于中档题．11．D解析：D 【分析】把DE 用,DA DB 表示，由三点共线把DF 用,DC DB 表示，然后计算数量积，利用函数的知识得取值范围． 【详解】∵菱形ABCD 边长为2，60BAD ∠=︒，2BD =，∴22cos602DA DB DB DC ⋅=⋅=⨯⨯︒=，22cos1202DA DC ⋅=⨯⨯︒=-， ∵E 是AB 边上的中点，∴1()2DE DA DB =+， 点F 是BC 边上，设BF xBC =（01x ≤≤），则()(1)DF DB BF DB xBC DB x DC DB xDC x DB =+=+=+-=+-，DE DF ⋅1()(1)2DA DB xDC x DB ⎡⎤=+⋅+-⎣⎦21(1)(1)2xDA DC x DA DB xDB DC x DB ⎡⎤=⋅+-⋅+⋅+-⎢⎥⎣⎦ []122(1)24(1)3(1)2x x x x x =-+-++-=-， ∵01x ≤≤，∴03(1)3x ≤-≤． 故选：D. 【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是对动点F 引入参数x ：BF xBC=（01x ≤≤），这样所求数量积就可表示为x 的函数，从而得到范围．本题考查了向量共线的条件，属于中档题．12．B解析：B 【分析】利用向量a 与b 的夹角是23π，且a a b =+，得出a b a b ==+，进而将22a tb b+化成只含有t 为自变量的二次函数形态，然后利用二次函数的特性来求出最值. 【详解】对于a ，b 和a b +的关系，根据平行四边形法则，如图a BA CD ==，b BC =，a b BD +=,23ABC π∠=，3DCB π∴∠=， a a b =+，CD BD BC ∴==， a b a b ∴==+， 2222222==222a tb a tb a tb bbb+++，a b =，22222222244cos 223=224a t a b t b a tb a tb b b bπ++++=， 222222222244cos42312444a t a b t b a t a a t a t t baπ++-+==-+当且仅当1t =时，22a tb b+的最小值为3故选：B. 【点睛】本题考查平面向量的综合运用，解题的关键点在于把22a tb b+化成只含有t 为自变量的二次函数形态，进而求最值.二、填空题13．【分析】本题首先可根据题意得出然后将转化为再然后根据列出算式最后通过计算即可得出结果【详解】如图结合题意绘出图像：因为所以则故因为所以解得故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查向量的相关运算主要考查解析：13 10【分析】本题首先可根据题意得出23BE AD、14DF AB=，然后将AC AE AFλμ=+转化为2314AB ADλμλμ⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再然后根据AC AB AD=+列出算式，最后通过计算即可得出结果.【详解】如图，结合题意绘出图像：因为2BE EC=，3CF FD，所以2233BE BC AD，1144DF DC AB ，则23AE AB BE AB AD，14AF AD DF AD AB，故3142AB ADAC AE AF AD ABλμλμ⎛⎫⎛⎫=+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+4231AB ADλμλμ⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为AC AB AD=+，所以114213λμλμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得910λ=，25μ=，1310λμ+=，故答案为：1310.【点睛】关键点点睛：本题考查向量的相关运算，主要考查向量的三角形法则以及平行四边形法则的应用，考查计算能力，考查数形结合思想，是中档题.14．【分析】令结合题中已知条件得出通过根据数量积的概念以及二次函数的性质可得结果【详解】令因为所以又因为是的中点所以故可得所以当时取得最小值故答案为：【点睛】关键点点睛：将表示成根据几何关系将所需量用表解析：1-【分析】令ACD θ∠=，结合题中已知条件得出2CAD πθ∠=-，2CAB πθ∠=-，2sin AC θ=，22sin AD θ=，通过()AC BD AC BA AD ⋅=⋅+，根据数量积的概念以及二次函数的性质可得结果. 【详解】令ACD θ∠=，因为AD CD ⊥，AC BC ⊥，//AD CE ， 所以BCE θ∠=，2ACE CAD πθ∠=∠=-，又因为E 是AB 的中点，1CE =，所以2AB =，1CE =，CBA θ∠=，2CAB πθ∠=-，故可得2sin AC θ=，22sin AD θ=，所以()AC BD AC BA AD AC BA AC AD ⋅=⋅+=⋅+⋅2222sin 2cos 2sin 2sin cos 4sin 4sin 22ππθπθθθθθθ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-++⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2214sin 12θ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当21sin 2θ=时，AC BD ⋅取得最小值1-， 故答案为：1-. 【点睛】关键点点睛：将BD 表示成BA AD +，根据几何关系将所需量用θ表示，将最后结果表示为关于θ的函数.15．3【分析】根据向量关系即可确定的形状再根据向量投影的计算公式即可求得结果【详解】因为圆O 为△ABC 的外接圆半径为2若故可得是以角为直角的直角三角形又因为且外接圆半径是故可得则故向量在向量方向上的投影解析：3 【分析】根据向量关系，即可确定ABC 的形状，再根据向量投影的计算公式，即可求得结果.【详解】因为圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若2AB AC AO +=， 故可得ABC 是以角A 为直角的直角三角形.又因为OA AC =，且外接圆半径是2， 故可得224BC OA AC ===，则AB =，2AB cos ABC BC ∠==，故向量BA 在向量BC 方向上的投影为3AB cos ABC ⨯∠==. 故答案为：3. 【点睛】本题考查向量数量积的几何意义，属中档题.16．【分析】由题意可得与夹角为先求得则再利用平面向量数量积的运算法则求解即可【详解】单位向量绕起点逆时针旋转再把模扩大为原来的3倍得到向量所以与夹角为因为所以所以故答案为【点睛】本题主要考查平面向量几何 解析：116-【分析】由题意可得3OB =，OA 与OB 夹角为120︒，先求得1(2)3OC OA AC OA OB =+=+，则1(2)()3OC BA OA OB OA OB ⋅=+⋅-，再利用平面向量数量积的运算法则求解即可. 【详解】单位向量OA 绕起点O 逆时针旋转120︒，再把模扩大为原来的3倍，得到向量OB ， 所以3OB =，OA 与OB 夹角为120︒， 因为12AC CB =，所以111()(2)333OC OA AC OA AB OA OB OA OA OB =+=+=+-=+，所以()2211(2)()233OC BA OA OB OA OB OA OB OA OB ⋅=+⋅-=--⋅ 11291332⎡⎤⎛⎫=--⨯⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦116=-，故答案为116-. 【点睛】 本题主要考查平面向量几何运算法则以及平面向量数量积的运算，属于中档题. 向量的运算有两种方法：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）．17．【分析】本题先求再根据化简整理得最后求与的夹角为【详解】解：∵∴∵∴整理得：∴与的夹角为：故答案为：【点睛】本题考查运用数量积的定义与运算求向量的夹角是基础题解析：3π【分析】本题先求29a =，24b =，6cos ,a b a b ⋅=，再根据()()2318a b a b +⋅-=-化简整理得1cos ,2a b =，最后求a 与b 的夹角为3π.【详解】解：∵ 3a =，2b =， ∴ 229a a ==，224b b==，cos ,6cos ,a b a b a b a b ⋅=⋅⋅<>=<>，∵ ()()2318a b a b +⋅-=-，∴ ()()2223696cos ,6418a b a b aa b b a b +⋅-=-⋅-=-<>-⨯=-整理得：1cos ,2a b <>=， ∴a 与b 的夹角为：3π. 故答案为：3π 【点睛】本题考查运用数量积的定义与运算求向量的夹角，是基础题.18．3或0【分析】由于三个平面向量两两夹角相等可得任意两向量的夹角是或由于三个向量的模已知当两两夹角为时直接算出结果；当两两夹角为时采取平方的方法可求出三个向量的和向量的模【详解】由题意三个平面向量两两解析：3或0 【分析】由于三个平面向量两两夹角相等，可得任意两向量的夹角是0或120︒，由于三个向量的模已知，当,,a b c →→→两两夹角为0时，直接算出结果；当,,a b c →→→两两夹角为120︒时，采取平方的方法可求出三个向量的和向量的模． 【详解】由题意三个平面向量两两夹角相等，可得任意两向量的夹角是0或120︒， 当,,a b c →→→两两夹角为0时，,,a b c →→→方向相同，则3a b c →→→++=； 当,,a b c →→→两两夹角为120︒时，由于1a b c ===， 则2222222a b c a b c a b a c b c→→→→→→→→→++=+++⋅+⋅+⋅111211cos120211cos120211cos1200=+++⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒=，则20a b c →→→++=，∴0a b c →→→++=. 综上a b c →→→++的值为3或0. 故答案为：3或0. 【点睛】本题考查平面向量的模的求法，涉及向量的夹角和向量的数量积运算，解题的关键是理解向量夹角的定义，考查运算能力.19．6【分析】由椭圆方程得到FO 的坐标设P(xy)(－2≤x≤2)利用数量积的坐标运算将·转化为二次函数最值求解【详解】由椭圆＋＝1可得F(－10)点O(00)设P(xy)(－2≤x≤2)则·＝x2＋x解析：6 【分析】由椭圆方程得到F ，O 的坐标，设P (x ，y )(－2≤x ≤2)，利用数量积的坐标运算将OP ·FP 转化为二次函数最值求解. 【详解】由椭圆24x ＋23y ＝1，可得F (－1，0)，点O (0，0)，设P (x ，y )(－2≤x ≤2)，则OP ·FP ＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋321-4x⎛⎫ ⎪⎝⎭＝14x 2＋x ＋3 ＝14(x ＋2)2＋2，－2≤x ≤2， 当x ＝2时， OP ·FP 取得最大值6. 故答案为：6 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积及应用以及椭圆的几何性质和二次函数求最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20．【分析】设设则有联立四个方程令整理得到从方程有根判别式大于等于零求得结果【详解】设由题意可知则由与夹角为所以①且②③④因为联立①②③④令即整理得将其看作关于的方程若方程有解则有整理得解得因为所以的最解析：52【分析】设设2a b c =-，2b d a =-，则有cos120c d c d ⋅=︒，22(2)(2)522c d a b b a a b a b ⋅=-⋅-=⋅--，2222(2)44c a b a a b b =-=-⋅+，2222(2)44d b a b a b a =-=-⋅+，联立四个方程，令21,m b n a b =+=⋅，整理得到2228204330n mn m m -+-+=，从方程有根，判别式大于等于零求得结果.【详解】设2a b c =-，2b d a =-，由题意可知，则由c 与d 夹角为120︒， 所以cos120c d c d ⋅=︒，①且22(2)(2)522c d a b b a a b a b ⋅=-⋅-=⋅--，②2222(2)44c a b a a b b =-=-⋅+，③ 2222(2)44d b a b a b a =-=-⋅+，④因为11,cos1202a =︒=-， 联立①②③④，2222244104444b a b a a b b b a b a +-⋅=-⋅+⋅-⋅+，令21,m b n a b =+=⋅，即410m n -=2222168010044316161212129m mn n m mn m mn n n m n -+=---+++--，整理得2228204330n mn m m -+-+=，将其看作关于n 的方程，若方程有解，则有22(20)428(433)0m m m ∆=-⨯⨯-+≥，整理得2770m m -+≤，解得7722m +≤≤因为21m b =+，所以2b 的最大值是75122++-=，故答案为：52+. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关向量的问题，解题思路如下： （1）根据向量数量积的定义式求得两向量的数量积；（2）根据向量数量积运算法则求得其结果；（3）利用向量的平方与向量模的平方相等，得到等量关系式；（4）联立，从方程有根，判别式大于等于零，得到不等关系式，求得结果.三、解答题21．（1）2）6π. 【分析】（1）由已知利用向量的数量积的 定义可求||||cos120a b a b =︒，然后由222||()2a b a b a a b b +=+=++可求（2）设a 与a b +的夹角θ，代入向量的夹角公式2()cos ||||423a ab a a a b θ+==+⨯可求θ【详解】 解：（1）||4a =，||2b =，且a 与b 夹角为120︒∴1||||cos12042()42a b a b =︒=⨯⨯-=-∴222||()2164a b a b a a b b +=+=++=+-（2）设a 与a b +的夹角θ则2()3cos ||||42383a ab a a a b θ+====+⨯0θπ∴6πθ=.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的定义及向量的数量积的性质的简单应用，属于基础试题22．（1）2）证明见解析. 【分析】（1）利用平面向量的坐标运算和共线定理列方程求出t 的值； （2）根据条件得到2AC AB =且有公共点A ,即可得到结论. 【详解】解：（1）∵(),1a t =，()5,b t =，且//a b ，故250t t -=⇒=， 即实数t 的值为：5±；（2）证明：∵OA a b =+，2OB a b =+，3OC a b =+. ∴AB OB OA b =-=，2AC OC OA b =-=，即2AC AB =且有公共点A ， 故A ，B ，C 三点共线． 【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，用向量法证明三点共线，属于基础题． 23．（1）(2,4)或(2,4)--；（2）π. 【分析】（1）根据共线向量的坐标关系运算即可求解； （2）由向量垂直及数量积的运算性质可得52a b ⋅=-，再利用夹角公式计算即可. 【详解】（1）设(,)c x y =，||25c =且//c a ，222020x y x y ⎧+=∴⎨-=⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩或24x y =-⎧⎨=-⎩，(2,4)c ∴=或(2,4)c =--；（2）由 已知得(2)(2),(2)(2)0a b a b a b a b +⊥-∴+⋅-= ，即2252320,253204a ab b a b +⋅-=∴⨯+⋅-⨯=， 整理得52a b ⋅=-，cos 1||||a ba b θ⋅∴==-， 又[0,π]θ∈，πθ∴=. 【点睛】本题主要考查了共线向量的坐标运算，数量积的运算，夹角公式，属于中档题.24．（1）3-2）6π【分析】（13sin =-x x ，进而可得结果.（2）由平面向量的数量积可得3cos -x x ，进而可得结果. 【详解】（1）由//m n 3sin tan 3=-⇒=-x x x（2）13cos 3sin cos 132π⋅=-=⋅⋅=⨯m n x x m n 可得1sin()32x π-=-，因为2[0,],[,]333ππππ∈-∈-x x 所以366πππ-=-⇒=x x【点睛】本题考查了平面向量共线的坐标表示、平面向量数量积运算的坐标表示和三角恒等变换，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.25．（1）1a b +=；-1；（2）45︒.【分析】（1）根据平面向量数量积的运算律求出||a b +，再根据平面向量的几何意义求出b 在a 方向上的投影；（2）根据向量垂直，则数量积为零，即可得到1a b ⋅=，再根据夹角公式计算可得；【详解】 解：（1）由已知得2222()2121()212a b a b a a b b +=+=+⋅+=+⨯-+=，∴1a b +=； b 在a 方向上的投影为||cos1352(12b =-=- （2）由已知得()0a b a -⋅=，即20a a b -⋅=∴1a b ⋅=，∴[]2cos ,,0,212a b a b a b a b π⋅===∈⨯，， ∴向量a 与b 的夹角为45︒.【点睛】本题考查平面向量的数量积及夹角的计算，属于中档题.26．（1）()0,6（2）5,98.9m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【分析】（1）根据向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=，利用平面向量的加法和减法运算求解. （2）根据a mb nc =+，有()()()()3,21,24,14,2.m n m n m n =-+=-++再利用平面向量相等求解.【详解】（1）()()()3233,21,224,1a b c +-=+--，()()()()9,61,28,20,6=+--=，（2） a mb nc =+，()()()()3,21,24,14,2.m n m n m n ∴=-+=-++4322m n m n -+=⎧∴⎨+=⎩ ，解之得5989 mn⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。
(常考题)北师大版高中数学必修四第二章《平面向量》测试(包含答案解析)(4)
一、选择题1．已知向量a 、b 满足||||2a b a b ==⋅=，若,,1x y R x y ∈+=，则1|(1)|2x a xb ya y b ⎛⎫-+++- ⎪⎝⎭的最小值为（ ）A ．1B ．3C ．7D ．32．设向量a ，b ，c 满足||||1a b ==，12a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-=，则||c 的最小值是（ ） A ．31+ B ．312- C ．3 D ．13．若平面向量与的夹角为，，，则向量的模为（ ） A ．B ．C ．D ．4．若向量a ，b 满足|a 10 ，b =（﹣2，1），a •b =5，则a 与b 的夹角为（ ） A ．90° B ．60°C ．45°D ．30°5．已知a ，b 是单位向量，a •b =0．若向量c 满足|c a b --|＝1，则|c |的最大值为（ ） A 21B 2C 21D 22+6．已知正方形ABCD 的边长为2，EF 为该正方形内切圆的直径，P 在ABCD 的四边上运动，则PE PF ⋅的最大值为（ ） A 2B ．1C ．2D ．227．已知,M N 为单位圆22:1O x y +=上的两个动点，且满足1MN =，()3,4P ，则2PM PN -的最大值为（ ）A ．53+B ．53C ．523+D ．58．在△ABC 中，M 是BC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则AM ＝( ) A ．1()2a b + B ．1()2a b - C ．12a b + D ．12a b +9．已知ABC ，若对任意m R ∈，BC mBA CA -≥恒成立，则ABC 为（ ） A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不确定10．在ABC 中，||:||:||3:4:5AB AC BC =，圆O 是ABC 的内切圆，且与BC 切于D 点，设AB a =，AC b =，则AD =（ ） A ．2355a b + B ．3255a b +C ．2133a b + D ．1233a b +11．在ABC ∆中，D 为BC 边上一点，且AD BC ⊥，向量AB AC +与向量AD 共线，若10AC =2BC =，0GA GB GC ++=，则AB CG=（ ）A ．3B C ．2D 12．已知2a b ==，0a b ⋅=，()()0c a c b -⋅-=，若2d c -=，则d 最大值为（ ）A ．B ．1+C ．2+D ．二、填空题13．已知ABC ，AB AC ⊥，2AB =，12AC =，如果P 点是ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，那么PB PC ⋅的值等于________.14．已知向量a 、b 满足1a b +=，2a b -=，则a b +的取值范围为___________. 15．在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB BC ==，1CD =，120BCD ∠=︒，P ，Q 分别为线段BC 和CD 上的动点，且BP BC λ=，16DQ DC λ=，则AP BQ 的最大值为_____________.16．设向量a ，b ，c ，满足1a b ==，12a b ⋅=-，a c -与b c -的夹角为60︒，则c 的最大值等于________17．已知平面向量2a =，3b =，4c =，4d =，0a b c d +++=，则()()a b b c +⋅+=______.18．在梯形ABCD 中，AB //CD ，90DAB ∠=，2AB =，1CD AD ==，若点M 在线段BD 上，则AM CM ⋅的最小值为______________.19．向量a ，b ，c 在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中的位置如图所示，若向量a b λ+与c 共线，则||a b λ-=________．20．已知点O 是ABC ∆内部一点，并且满足230OA OB OC ++=，BOC ∆的面积为1S ，ABC ∆的面积为2S ，则12S S =______.三、解答题21．已知()1,2a =，()2,1b =-，k 为何值时， （1）ka b +与a b -垂直？ （2）ka b +与a b -平行？22．已知4,3,(23)(2)61a b a b a b ==-⋅+=. （1）求a 与b 的夹角为θ； （2）求a b +；（3）若AB ＝a ，BC ＝b ，求△ABC 的面积．23．如图，四边形ABOC 是边长为1的菱形，120CAB ∠=︒，E 为OC 中点．（1）求BC 和BE ；（2）若点M 满足ME MB =，问BE BM ⋅的值是否为定值？若是定值请求出这个值；若不是定值，说明理由．24．如图，在梯形ABCD 中，E 为DC 的中点，//,,2AD BC BAD π∠=,3BDA BC BD π∠==．（1）求AE BD ⋅；（2）求AC 与BD 夹角的余弦值．25．已知||2,||3,a b a ==与b 的夹角为120°． （1）求(2)(3)a b a b -⋅+与||a b +的值； （2）x 为何值时，xa b -与3ab 垂直？26．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边为a ，b ，c ，向量m (2cossin )2C C =-，， n =(cos2sin )2C C ，，且m n ⊥． （1）求角C ；（2）若22212a b c =+，试求sin()A B -的值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用已知条件求出向量a 、b 的夹角，建立直角坐标系把所求问题转化为解析几何问题. 【详解】设a 、b 所成角为θ， 由||||2==a b ，2a b ，则1cos 2θ=，因为0θπ≤≤ 所以3πθ=，记a OA =，b OB =,以OA 所在的直线为x 轴，以过O 点垂直于OA 的直线为y 轴， 建立平面直角坐标系，则()2,0A ，(B ，所以()2,0a OA ==，(1,b OB ==，()(1)2x a xb x -+=-，所以((1)2x a xb x -+=-=，表示点()P x 与点()2,0A 两点间的距离， 由,,1x y R x y ∈+=113,22222ya y b y x ⎛⎫⎛⎛⎫+-=+-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以1322ya y b x ⎛⎫⎛+-=- ⎪ ⎝⎭，表示点()P x 与点32Q ⎛ ⎝⎭两点间的距离，∴1|(1)|2x a xb ya y b ⎛⎫-+++- ⎪⎝⎭的最小值转化为P 到,A Q 两点的距离和最小，()P x 在直线y =上，()2,0A 关于直线y =的对称点为(R -，PQ PA ∴+的最小值为QR == 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查了向量模的坐标运算以及模转化为两点之间距离的转化思想，解题的关键是将向量的模转化为点()P x 到()2,0A 、3,22Q ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭两点间的距离，考查了运算求解能力.2．B解析：B 【分析】建立坐标系，以向量a ，b 的角平分线所在的直线为x 轴，使得a ，b 的坐标分别为31,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设c 的坐标为(),x y ，由已知可得22314x y ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，表示以3,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆，求出圆心到原点的距离，再减去半径即为所求 【详解】解：建立坐标系，以向量a ，b 的角平分线所在的直线为x 轴，使得a ，b 的坐标分别为31,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,21⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，设c 的坐标为(),x y ， 因为()()0a c b c -⋅-=，所以3131,,022x y x y ⎛⎫⎛⎫--⋅---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得223124x y ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭， 表示以3,02⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆， 则||c 的最小值表示圆上的点到原点的距离的最小值， 因为圆到原点的距离为3，所以圆上的点到原点的距离的最小值为3122-，故选：B【点睛】此题考查平面向量的数量积运算，解题的关键是写出满足条件的对应的点，考查数学转化思想，考查数形结合的思想，属于中档题3．C解析：C 【解析】，，又，，则，故选4．C解析：C 【详解】由题意可得22(2)15b =-+=,所以2cos ,52a b a b a b ⋅===⋅,又因为,[0,180]<>∈a b ,所以,45<>=a b ,选C.5．C解析：C 【分析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出． 【详解】∵|a |＝|b |＝1，且0a b ⋅=，∴可设()10a =，，()01b =，，()c x y ，=． ∴()11c a b x y --=--，． ∵1c a b --=， ∴22(1)(1)1x y -+-=x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1．∴c 的最大值2211121=+=．故选C ． 【点睛】熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合是解题的关键．6．B解析：B 【分析】作出图形，利用平面向量的线性运算以及数量积的运算性质可得出21P OP E PF =⋅-，求得OP 的最大值，由此可求得PE PF ⋅的最大值. 【详解】 如下图所示：由题可知正方形ABCD 的内切圆的半径为1，设该内切圆的圆心为O ，()()()()2221PE PF OE OP OF OP OP OE OP OE OP OE OP ⋅=-⋅-=-+⋅--=-=-，由图象可知，当点P 为ABCD 的顶点时，2OP 取得最大值2，所以PE PF ⋅的最大值为1.故选：B. 【点睛】本题考查平面向量数量积最值的计算，考查计算能力，属于中等题.7．A解析：A 【分析】根据条件可知22PM PN PO OM ON -=+-2PO OM ON ≤+-，即可求出最大值. 【详解】由1MN =可知，OMN 为等边三角形，则1cos602OM ON OM ON ⋅=⋅⋅︒=， 由PM PO OM =+，PN PO ON =+，得22PM PN PO OM ON -=+-2PO OM ON ≤+-，()224413OM ONOM ON -=-⋅+=，又()3,4P ，则5PO =，因此当PO 与2OM ON -同向时，等号成立，此时2PM PN -的最大值为53+故选：A. 【点睛】本题考查向量模的大小关系，属于中档题.8．D解析：D 【分析】根据向量的加法的几何意义即可求得结果.【详解】在ABC ∆中，M 是BC 的中点， 又,AB a BC b ==， 所以1122AM AB BM AB BC a b =+=+=+， 故选D. 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目.9．C解析：C 【分析】在直线AB 上取一点D ，根据向量减法运算可得到DC CA ≥，由垂线段最短可确定结论. 【详解】在直线AB 上取一点D ，使得mBA BD =，则BC mBA BC BD DC -=-=，DC CA ∴≥.对于任意m R ∈，都有不等式成立，由垂线段最短可知：AC AD ⊥，即AC AB ⊥，ABC ∴为直角三角形.故选：C . 【点睛】本题考查与平面向量结合的三角形形状的判断，关键是能够利用平面向量数乘运算和减法运算的几何意义准确化简不等式.10．B解析：B 【分析】由题得三角形是直角三角形，设3,4,5AB AC BC ===，设,=,,DB BF x AD AE y EC CF z =====求出,,x y z ，再利用平面向量的线性运算求解.【详解】因为||:||:||3:4:5AB AC BC =，所以ABC 是直角三角形，设3,4, 5.AB AC BC ===如图，设,=,,DB BF x AD AE y EC CF z =====由题得34,2,1,35x y y z x y z x z +=⎧⎪+=∴===⎨⎪+=⎩，所以2232()5555AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+3255a b =+. 故选：B 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．B解析：B 【解析】取BC 的中点E ，则2AB AC AE +=与向量AD 共线，所以A 、D 、E 三点共线，即ABC ∆中BC 边上的中线与高线重合，则10AB AC ==因为0GA GB GC ++=，所以G 为ABC ∆的重心，则2222() 2.32BC GA GE AC ==-=所以22101,112, 5.2AB CE CG CG==+=∴== 本题选择B 选项.12．C解析：C 【分析】不妨设(2,0),(0,2)a b ==，设(,),(,)c m n d x y ==，则由()()0c a c b -⋅-=求出点(,)a b 满足的关系（点(,)C a b 在一个圆上），而2d c -=表示点(,)D x y 在以(,)C a b 为圆心，2为半径的圆上，d 表示该圆上的点到原点的距离，由几何意义可得解．∵2a b ==，0a b ⋅=，∴不妨设(2,0),(0,2)a OA b OB ====，如图，设(,)c OC m n ==，(,)d OD x y ==，则()()(2,)(,2)(2)(2)0c a c b m n m n m m n n -⋅-=-⋅-=-+-=，即22(1)(1)2m n -+-=，∴点(,)C m n 在以(1,1)M 为圆心，2为半径的圆M 上，又2d c -=，∴(,)D x y 在以(,)C a b 为圆心，2为半径的圆C 上，则2d OC ≤+，当且仅当D 在OC 延长线上时等号成立，又OC 的最大值是圆M 的直径22，∴d 最大值为222+．故选：C ．【点睛】本题考查平面向量的数量积与向量的模，解题关键是引入坐标表示向量，用几何意义表示向量，求解结论．二、填空题13．13【分析】由条件可得可得由可得出答案【详解】又故答案为：13【点睛】本题主要考查了平面向量线性运算和数量积的运算性质的应用属于中档题 解析：13【分析】由条件可得0AB AC ⋅=，182AP AB AC =+，可得217AP =，由()()PB PC PA AB PA AC ⋅=+⋅+，可得出答案.AB AC ⊥，2AB =，12AC =，4AB AC AP AB AC =+， 0AB AC ∴⋅=，182AP AB AC =+， 2222118641724AP AB AC AB AC ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭， PB PA AB =+，PC PA AC =+，()()2PB PC PA AB PA AC PA PA AC PA AB ∴⋅=+⋅+=+⋅+⋅ 又42PA AC AC ⋅=-=-，2PA AB AB ⋅=-=- 172213PB PC ∴⋅=--=.故答案为：13.【点睛】本题主要考查了平面向量线性运算和数量积的运算性质的应用，属于中档题.14．【分析】易得结合可得又可得即可求解【详解】则则又故答案为：【点睛】本题考查向量模的取值范围的计算考查了向量模的三角不等式的应用考查计算能力属于中等题解析：⎡⎣ 【分析】 易得()2225a b +=，结合()()22225a b a b +≤+=，可得5a b +≤.又a b a b +≥±，可得2a b ±≥，即可求解. 【详解】1a b +=，2a b -=，2221a a b b ∴+⋅+=，2224a a b b -⋅+=，()2225a b ∴+=，则()()22225a b a b +≤+=，则5a b +≤.又a b a b +≥±，2a b ∴+≥，25a b ∴≤+≤.故答案为：⎡⎣.【点睛】本题考查向量模的取值范围的计算，考查了向量模的三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.15．【分析】根据平面向量的线性运算与数量积运算求的解析式根据题意求出的取值范围再根据对勾函数的性质求最大值【详解】解：梯形中则解得；设则在上单调递增；时取得最大值故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向量 解析：76 【分析】根据平面向量的线性运算与数量积运算，求AP BQ 的解析式，根据题意求出λ的取值范围，再根据对勾函数的性质求最大值．【详解】解：梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB BC ==，1CD =，120BCD ∠=︒，BP BC λ=，16DQ DC λ=， 则61()()()()6AP BQ AB BP BC CQ AB BC BC CD λλλ-=++=++2611666AB BC AB CD BC CB CD λλλλ--=+++ 26116122cos12021221()662λλλλ--=⨯⨯︒-⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯- 125536λλ=+-， 011016λλ⎧⎪⎨⎪⎩，解得116λ； 设125()536f λλλ=+-，则()f λ在1,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增； 1λ∴=时()f λ取得最大值76， 故答案为：76． 【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算以及平面向量的数量积的运算问题，同时也考查了函数的最值问题，其中解答中根据向量的线性运算和数量积的运算，求得AP BQ 的解析式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档题.16．【分析】作向量根据已知条件可得出与的夹角为四点共圆再结合正余弦定理可得出结果【详解】解：如下图作向量与的夹角为即又与的夹角为即与夹角为四点共圆当为直径时最大在中由余弦定理得：的外接圆的直径为四点共圆解析：2【分析】作向量OA a =，OB b =，OC c =，根据已知条件可得出a 与b 的夹角为120︒，A ，O ，B ，C 四点共圆，再结合正余弦定理可得出结果.【详解】解：如下图，作向量OA a =，OB b =，OC c =，∴CA a c =-，CB b c =-，1a b ==，1cos ,2a b a b a b ⋅=⋅⋅=-， ∴a 与b 的夹角为120︒，即120AOB ∠=︒.∴120AOB ∠=︒.又a c -与b c -的夹角为60︒，即CA 与CB 夹角为60︒，∴A ，O ，B ，C 四点共圆. ∴当OC 为直径时c 最大，在AOB 中，由余弦定理得：2222cos1203AB OA OB OA OB =+-⋅︒=， ∴3AB =.∴AOB 的外接圆的直径为2sin120AB =︒. ∴A ，O ，B ，C 四点共圆的圆的直径为2.∴c 的最大值为2.故答案为：2.【点睛】本题主要考查向量在几何图形中的应用，考查正余弦定理，考查数形结合的能力，分析问题能力，属于中档题.17．【分析】根据得到然后两边平方结合求得再由求解即可【详解】因为所以所以所以因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算还考查了运算求解的能力属于中档题 解析：52【分析】根据0a b c d +++=，得到++=-a b c d ，然后两边平方结合2a =，3b =，4c =，4d =，求得⋅+⋅+⋅a b a c b c ，再由()()a b b c +⋅+=2⋅+⋅+⋅+a b a c b c b 求解即可.【详解】因为0a b c d +++=， 所以++=-a b c d ， 所以()()22++=-a b c d ， 所以()()()()2222222+++⋅+⋅+⋅=-a b c a b a c b c d ， 因为2a =，3b =，4c =，4d =，所以132⋅+⋅+⋅=-a b a c b c ， ()()a b b c +⋅+=252⋅+⋅+⋅+=a b a c b c b . 故答案为：52 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18．【分析】根据建立平面直角坐标系设得到再求得的坐标利用数量积的坐标运算求解【详解】建立如图所示平面直角坐标系：因为所以设所以所以所以所以当时的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算 解析：920-【分析】根据AB //CD ，90DAB ∠=，2AB =，1CD AD ==，建立平面直角坐标系，设,01λλ=≤≤BM BD ，得到()22,λλ-M ，再求得,AM CM 的坐标，利用数量积的坐标运算求解.【详解】建立如图所示平面直角坐标系：因为AB //CD ，90DAB ∠=，2AB =，1CD AD ==，所以()2,0B ，()0,1D ，()1,1C ，设,01BM BD λλ=≤≤，所以()()2,2,1λ-=-x y所以()22,λλ-M ，所以()()22,,12,1λλλλ---==AM CM ，所以()()22,12,1λλλλ⋅=-⋅--AM CM ，227957251020λλλ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭， 当710λ=时，AM CM ⋅的最小值为920-. 故答案为：920-【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 19．【分析】建立平面直角坐标系从而得到的坐标这样即可得出的坐标根据与共线可求出从而求出的坐标即得解【详解】建立如图所示平面直角坐标系则：；与共线故答案为：【点睛】本题考查了平面向量线性运算和共线的坐标表 13【分析】建立平面直角坐标系，从而得到,,a b c 的坐标，这样即可得出a b λ+的坐标，根据a b λ+与c 共线，可求出λ，从而求出a b λ-的坐标，即得解.【详解】建立如图所示平面直角坐标系，则：(1,1),(0,1),(2,1)a b c ==-= ；(,1)a b λλλ∴+=-a b λ+与c 共线2(1)02λλλ∴--=∴=(2,3)a b λ∴-= 22||2313a b λ∴-=+=13【点睛】本题考查了平面向量线性运算和共线的坐标表示，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.20．【分析】将化为再构造向量和得出比例关系最后求解【详解】因为所以分别取的中点则所以即三点共线且如图所示则由于为中点所以所以故答案为：【点睛】本题考查向量的线性运算但是在三角形中考查又和三角形面积综合在解析：16【分析】将230OA OB OC ++=化为()2OA OC OB OC +=-+，再构造向量()12OA OC +和()12OB OC +，得出比例关系，最后求解12.S S 【详解】因为230OA OB OC ++=，所以()2OA OC OB OC +=-+， 分别取AC ，BC 的中点D ，E ，则2OA OC OD +=，2OB OC OE +=. 所以2OD OE =-，即O ，D ，E 三点共线且2OD OE =.如图所示，则13OBC DBC S S ∆∆=，由于D 为AC 中点，所以12DBC ABC S S ∆∆=，所以16OBC ABC S S ∆∆=. 故答案为：16【点睛】 本题考查向量的线性运算，但是在三角形中考查，又和三角形面积综合在一起，属于中档题.三、解答题21．（1）1（2）-1【分析】（1）分别表示出ka b +与a b -，再利用数量积为0求解即可；（2）若ka b +与a b -平行，则等价于22131k k -+=，化简即可； 【详解】（1）()()()1,22,12,21ka b k k k +=+-=-+()3,1a b -=当()()ka a b b +⊥-时 ()()2,213,10k k -+⋅= 36210k k ∴-++=1k ∴=时()()ka a b b +⊥-（2）当()ka b +与()a b -平行时 22131k k -+= 1k ∴=-1k ∴=-时，()ka b +与()a b -平行【点睛】本题考查向量加法与减法的坐标运算，由两向量平行与垂直求参数，属于基础题22．（1）23π；（23） 【分析】 （1）将已知条件中的式子展开，利用公式求得6a b ⋅=-，根据向量夹角公式求得1cos 2θ=-，结合角的范围，求得结果； （2）利用向量的模的平方和向量的平方是相等的，从而求得结果；（3）根据向量所成角，求得三角形的内角，利用面积公式求得结果.【详解】（1）因为(23)(2)61a b a b -⋅+=， 所以2244361a a b b -⋅-=. 又4,3a b ==，所以6442761a b -⋅-=，所以6a b ⋅=-， 所以61cos 432a b a bθ⋅-===-⨯. 又0≤θ≤π，所以23πθ=. （2）2222()2a b a b a a b b +=+=+⋅+ ＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以13a b +=； （3）因为AB 与BC 的夹角23πθ=， 所以∠ABC ＝233πππ-=. 又4,3AB a BC b ====，所以S △ABC ＝14322⨯⨯⨯= 【点睛】 该题考查的是有关向量与解三角形的综合题，涉及到的知识点有向量数量积，向量夹角公式，向量的平方和向量模的平方是相等的，三角形面积公式，属于简单题目.23．（1）3BC =；7BE =2）是定值，78. 【分析】（1）由()22BC AC AB =-，()2212BE BO BC ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，结合数量积公式得出BC 和BE ；（2）取BE 的中点N ，连接MN ，由ME MB =，得出MN BE ⊥，由BM BN NM =+，结合数量积公式计算BE BM ⋅，即可得出定值.【详解】（1）∵BC AC AB =-∴222211211cos1203BC AC AB AB AC =+-⋅=+-⨯⨯⨯︒=∴3BC =又()12BE BO BC =+ ∴()2221137213213444BE BO BC BO BC ⎛⎫=++⋅=++⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭ ∴7BE = （2）取BE 的中点N ，连接MN∵ME MB =，∴MN BE ⊥，且BM BN NM =+∴()BE BM BE BN NM BE BN BE NM ⋅=⋅+=⋅+⋅211177022248BE BE BE =⋅+==⨯= ∴78BE BM ⋅=（为定值）【点睛】本题主要考查了利用定义计算数量积以及模长，涉及了向量加减法的应用，属于中档题. 24．（1）0；（2）714-.【分析】（1）由BCD △为等边三角形得出2BC AD =，由向量的加法和减法运算得出13,22AE AB AD BD AD AB =+=-，再由向量的数量积公式得出AE BD ⋅的值；（2）设AD a =，则3,2,AB BC BD a AC ====，由数量积公式得出AC BD ⋅，进而得出AC 与BD 夹角的余弦值．【详解】解：（1）因为//AD BC ，,,23BAD BDA BC BD ππ∠=∠==所以BCD △为等边三角形，2BC AB AD == 又E 为DC 的中点所以1113()(),2222AE AC AD AB BC AD AB AD BD AD AB =+=++=+=- 则221313()02222AE BD AB AD AD AB AB AB AD AD ⎛⎫⋅=+⋅-=--⋅+=⎪⎝⎭ （2）设AD a =，则3,2,7AB a BC BD a AC a ==== 222(2)()2AC BD AB AD AD AB AB AD AB AD a ⋅=+⋅-=--⋅+=-设AC 与BD 的夹角为θ，则2cos 142AC BD AC BD θ⋅===-． 【点睛】本题主要考查了利用定义求向量的数量积以及夹角，属于中档题.25．（1）34-2）当245x =-时，xa b -与3a b 垂直．【分析】 （1）先由数量积的定义求出3a b ⋅=-，由数量积的运算性质可得22(2)(3)253a b a b a a b b -⋅+=+⋅-，222||||2a b a b a a b b +=+=+⋅+，将条件及a b ⋅的值代入，可得答案.（2）由xa b -与3ab 垂直，可得22()(3)(31)30xa b a b xa x a b b -⋅+=+-⋅-=，将条件代入可求出x 的值.【详解】（1）||||cos ,23cos1203a b a b a b ︒⋅=〈〉=⨯⨯=-． 22(2)(3)25324153934a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=⨯--⨯=-．222||||2469a b a b a a b b +=+=+⋅+=-+=（2）因为()(3)xa b a b -⊥+，所以22()(3)(31)3493270xa b a b xa x a b b x x -⋅+=+-⋅-=-+-=，即245x =-． 所以当245x =-时，xa b -与3a b 垂直． 【点睛】本题考查向量数量积的定义和运算性质，求模长，根据向量垂直其数量积为零求参数的值，属于中档题.26．（1）60C =︒；（2. 【分析】（1）利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积公式以及二倍角公式，求得cos C 的值，可得C 的值．（2）利用两角差的正弦公式，正弦定理和余弦定理化简，可得结果．【详解】（1）由题意知，0m n =，即222cos 2sin 02C C -=，21cos 2(1cos )0C C +--=， 22cos cos 10C C +-=，即cos 1C =-，或1cos 2C =， 因为0C π<<，所以60C =︒．（2）2222221122a b c a b c =+⇒-=， 222222sin()sin cos sin cos 2222a a c b b b c a A B A B B A R ac R bc+-+--=-=- ()222214442a b c c sinC cR cR R -=====． 【点睛】本题主要考查两个向量数量积公式，两角差的正弦公式，正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．。
(常考题)北师大版高中数学必修四第二章《平面向量》检测题(有答案解析)(1)
一、选择题1．已知函数()sin (0)2f x x a a π⎛⎫=>⎪⎝⎭，点A ，B 分别为()f x 图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O 为坐标原点，若OAB 为钝角三角形，则a 的取值范围为（ ）A ．10,(2,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．0,(1,)3⎛⋃+∞ ⎝⎭C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．(1,)+∞2．已知非零向量a →，b →夹角为45︒，且2a =，2a b -=,则b →等于（ ）A ．B ．2CD ．23．若向量a ，b 满足|a ，b =（﹣2，1），a •b =5，则a 与b 的夹角为（ ） A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°4．已知圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3y x上，线段AB 为圆C的直径，则PA PB ⋅的最小值为（） A ．2B ．52C ．3D ．725．已知1a =，2b =，则a b a b ++-的最大值等于（ ）A ．4B C ．D ．56．ABC 中，AD DC =，点M 在BD 上，且满足37AM AB t AC =+，则实数t 的值为（ ） A ．67B ．47C ．27D ．597．已知ABC ，若对任意m R ∈，BC mBA CA -≥恒成立，则ABC 为（ ） A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不确定8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，原点O 为正八边形12345678PP P P P P P P 的中心，18PP x ⊥轴，若坐标轴上的点M （异于点O ）满足0i j OM OP OP ++=（其中1,8i j ≤≤，且i 、j N *∈），则满足以上条件的点M 的个数为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．89．如图，已知点D 为ABC 的边BC 上一点，3BD DC =，*()∈n E n N 为AC 边的一列点，满足11(32)4n n n n n EA a EB a E D +=-+，其中实数列{}n a 中，10,1n a a >=，，则{}n a 的通项公式为（ ）A ．1321n -⋅-B ．21n -C ．32n -D ．1231n -⋅-10．在直角梯形ABCD 中，0AD AB ⋅=，30B ∠=︒，23AB =2BC =，13BE BC =，则（ ）A ．1163AE AB AD =+ B ．1263AE AB AD =+ C ．5163AE AB AD =+ D ．5166AE AB AD =+ 11．设O 是△ABC 720OA OB OC ++=，则∠BOC =（ ） A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π12．设非零向量a 与b 的夹角是23π，且a a b =+，则22a tb b+的最小值为（ ）A ．33B ．32C ．12D ．1二、填空题13．如图，已知四边形ABCD ，AD CD ⊥，AC BC ⊥，E 是AB 的中点，1CE =，若//AD CE ，则AC BD ⋅的最小值为___________.14．如图所示，已知AOB ，点C 是点B 关于点A 的对称点，2OD DB =，DC 和OA 交于点E ，若OE OA λ=，则实数λ的值为_______．15．已知平面向量a ，b ，c ，d 满足1a b ==，2c =，0a b ⋅=，1c d -=，则2a b d ++的取值范围为______.16．已知平面向量a ，b 不共线，且1a =，1a b ⋅=，记b 与2a b +的夹角是θ，则θ最大时，a b -=_______.17．在△ABC 中，D 为BC 中点，直线AB 上的点M 满足：32(33)()AM AD AC R λλλ=+-∈，则AM MB=__________．18．已知向量2a =，1b =，223a b -=，则向量a ，b 的夹角为_______. 19．已知O 为ABC 内一点，且满足305OA OB OC =++，延长AO 交BC 于点D .若BD DC λ=，则λ=_____.20．已知平面单位向量a ，b 满足1a b -≤．设向量2a b +与向量2a b -的夹角为θ，则cos θ的最大值为______． 三、解答题21．如图，正六边形ABCDEF 的边长为1．M ，N 分别是BC ，DE 上的动点，且满足BM DN =．（1）若M ，N 分别是BC ，DE 的中点，求AM AN ⋅的值； （2）求AM AN ⋅的取值范围．22．已知平行四边形ABCD 中，2AB =，4BC =，60DAB ∠=，点E 是线段BC 的中点.(1)求AC AE ⋅的值；(2)若AF AE AD λ=+，且BD AF ⊥，求λ的值. 23．设非零向量a ，b 不共线.（1）若(),1a t =，()5,b t =，且//a b ，求实数t 的值；（2）若OA a b =+，2OB a b =+，3OC a b =+.求证：A ，B ，C 三点共线. 24．已知||1a =，||2b =.（1）若向量a 与向量b 的夹角为135︒，求||a b +及b 在a 方向上的投影； （2）若向量a b -与向量a 垂直，求向量a 与b 的夹角. 25．已知向量a 、b 的夹角为3π，且||1a =，||3b =. （1）求||a b +的值； （2）求a 与a b +的夹角的余弦.26．已知a =（1，2）b =（-3，2），当k 为何值时． （1）ka b +与3a b -垂直； （2）ka b +与3a b -平行．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】首先根据题的条件，将三角形三个顶点的坐标写出来，之后根据三角形是钝角三角形，利用向量夹角为钝角的条件，从而转化为向量的数量积0OA OB ⋅<或0AB AO ⋅<，找出a 所满足的条件，最后求得结果. 【详解】 由题意得24,(0,0),(,1),(3,1)2T a O A a B a aππ==-，因为OAB 为钝角三角形，所以0OA OB ⋅<或0AB AO ⋅<，即2310a -<，或2220a -+<，从而0a <或1a >． 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关利用钝角三角形求对应参数的取值范围，涉及到的知识点有正弦型函数图象上的特殊点的坐标，钝角三角形的等价转化，向量的数量积坐标公式，属于中档题.2．A解析：A 【分析】根据数量积的运算，2a b →→-=两边平方即可求解. 【详解】2a b →→-=,=2a →,a →，b →夹角为45︒,2222()24a b a b a a b b →→→→→→→→∴-=-=-⋅+=, 2422||cos||44b b π→→∴-⨯+=,解得：||b →= 故选：A 【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算性质，数量积的定义，属于中档题.3．C解析：C 【详解】由题意可得2(2)b =-=所以cos ,252a b a b a b ⋅===⋅,又因为,[0,180]<>∈a b ,所以,45<>=a b ,选C.4．B解析：B【分析】将PA PB ⋅转化为2||2PC -，利用圆心到直线的距离求得||PC 的取值范围求得PA PB ⋅的最小值. 【详解】()()()()PA PB PC CA PC CB PC CA PC CA ⋅=+⋅+=+⋅-2222||||||22PC CA PC =-=-≥-52=.故选B. 【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.5．C解析：C 【分析】利用基本不等式得到222a b a b a b a b ++-++-≤，然后利用平面向量数量积运算求解. 【详解】因为1a =，2b =，所以222222252a b a ba b a b a b ++-++-≤=+=，当且仅当a b a b +=-，即a b ⊥时取等号， 故选：C 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于中档题.6．C解析：C 【分析】由题意，可设DM k DB =，结合条件整理可得11(1)22AM AC DM k AC k AB =+=-+，得到关于k 与t 的方程组，解出t 即可． 【详解】 如图，因为AD DC =，所以12AD AC = 则12AM AD DM AC DM =+=+，因为M在BD上，不妨设1()()2 DM kDB k AB AD k AB AC==-=-，则1111()(1)2222AM AC DM AC k AB AC k AC k AB=+=+-=-+，因为37AM AB t AC=+，所以37{1(1)2kk t=-=，解得27t=，故选：C【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．7．C解析：C【分析】在直线AB上取一点D，根据向量减法运算可得到DC CA≥，由垂线段最短可确定结论.【详解】在直线AB上取一点D，使得mBA BD=，则BC mBA BC BD DC-=-=，DC CA∴≥.对于任意m R∈，都有不等式成立，由垂线段最短可知：AC AD⊥，即AC AB⊥，ABC∴为直角三角形.故选：C.【点睛】本题考查与平面向量结合的三角形形状的判断，关键是能够利用平面向量数乘运算和减法运算的几何意义准确化简不等式.8．D解析：D【分析】分点M在x、y轴进行分类讨论，可得出点i P、j P关于坐标轴对称，由此可得出点M的个数.【详解】分以下两种情况讨论：①若点M 在x 轴上，则i P 、()1,8,,j P i j i j N*≤≤∈关于x 轴对称，由图可知，1P 与8P 、2P 与7P 、3P 与6P 、4P 与5P 关于x 轴对称，此时，符合条件的点M 有4个；②若点M 在y 轴上，则i P 、()1,8,,j P i j i j N*≤≤∈关于y 轴对称，由图可知，1P 与4P 、2P 与3P 、5P 与8P 、6P 与7P 关于y 轴对称，此时，符合条件的点M 有4个.综上所述，满足题中条件的点M 的个数为8. 故选：D. 【点睛】本题考查符合条件的点的个数的求解，考查了平面向量加法法则的应用，属于中等题.9．D解析：D 【分析】以BA 和BC 为基底，表示n BE ，根据n E ，A ，C 三点共线，可得1193331442+-++=++n n n a a a ，构造等比数列，即可求出通项公式. 【详解】113(32),44+=-+=-=-n n n n n n n n E A a E B a E D E D BD BE BC BE , 113(32)()44n n n n n E A a E B a BC BE +∴=-+-113(32)(32)44n n n n a a E B a BC +=---+ 又=-n n E A BA BE113(32)(32=)44+∴---+-n n n n n a a E B a BC BA BE113(33)(32)44+-∴++=++n n n n a a BE a BC BA因为n E ，A ，C 三点共线113(33)1(32)44+-++=++∴n n n a a a ，即1=32++n n a a ，即1+1=3(1)++n n a a ，所以数列{1}n a +是等比数列，首项为2，公比为3．1+1=23-∴⋅n n a ，即1=23-1-⋅n n a ， 故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量基本定理和等比数列的通项公式，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题.10．C解析：C 【分析】先根据题意得1AD =，CD =2AB DC =，再结合已知和向量的加减法运算求解即可得的答案. 【详解】由题意可求得1AD =，CD =所以2AB DC =， 又13BE BC =， 则()1133AE AB BE AB BC AB BA AD DC =+=+=+++ 1111333AB AD DC ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭1111336AB AD AB ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭115116363AB AD AB AD ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题考查用基底表示向量，考查运算能力，是基础题.11．B解析：B 【分析】不妨设ABC 的外接圆的半径为1，作2=OF OB ，以,OC OF 为邻边作平行四边形COFE ，可得1,2,===OC OF OE ,再利用两角和余弦公式可得3BOC π∠=【详解】不妨设ABC 的外接圆的半径为1，作2=OF OB ，以,OC OF 为邻边作平行四边形COFE ，+=OC OF OE ，所以1,2,7===OC OF OE2221723cos sin 21777，+-∠==∠=⨯⨯EOC EOC ， 2222713cos sin 2272727，+-∠==∠=⨯⨯EOF EOF ， 3331cos cos()2727727∠=∠+∠=⋅-⋅=BOC COE EOF 3π∴∠=BOC故选：B 【点睛】本题考查了平面几何和向量的综合，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.12．B解析：B 【分析】利用向量a 与b 的夹角是23π，且a a b =+，得出a b a b ==+，进而将22a tb b+化成只含有t 为自变量的二次函数形态，然后利用二次函数的特性来求出最值. 【详解】对于a ，b 和a b +的关系，根据平行四边形法则，如图a BA CD ==，b BC =，a b BD +=,23ABC π∠=，3DCB π∴∠=， a a b =+，CD BD BC ∴==， a b a b ∴==+， 2222222==222a tb a tb a tb bbb+++，a b =，22222222244cos 223=224a t a b t b a tb a tb b b bπ++++=， 22222222244cos 4231244a t a b t b a t aa t a t tb aπ++-+==-+当且仅当1t =时，22a tb b+的最小值为故选：B. 【点睛】本题考查平面向量的综合运用，解题的关键点在于把22a tb b+化成只含有t 为自变量的二次函数形态，进而求最值.二、填空题13．【分析】令结合题中已知条件得出通过根据数量积的概念以及二次函数的性质可得结果【详解】令因为所以又因为是的中点所以故可得所以当时取得最小值故答案为：【点睛】关键点点睛：将表示成根据几何关系将所需量用表 解析：1-【分析】令ACD θ∠=，结合题中已知条件得出2CAD πθ∠=-，2CAB πθ∠=-，2sin AC θ=，22sin AD θ=，通过()AC BD AC BA AD ⋅=⋅+，根据数量积的概念以及二次函数的性质可得结果. 【详解】令ACD θ∠=，因为AD CD ⊥，AC BC ⊥，//AD CE ， 所以BCE θ∠=，2ACE CAD πθ∠=∠=-，又因为E 是AB 的中点，1CE =，所以2AB =，1CE =，CBA θ∠=，2CAB πθ∠=-，故可得2sin AC θ=，22sin AD θ=，所以()AC BD AC BA AD AC BA AC AD ⋅=⋅+=⋅+⋅2222sin 2cos 2sin 2sin cos 4sin 4sin 22ππθπθθθθθθ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-++⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2214sin 12θ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当21sin 2θ=时，AC BD ⋅取得最小值1-， 故答案为：1-. 【点睛】关键点点睛：将BD 表示成BA AD +，根据几何关系将所需量用θ表示，将最后结果表示为关于θ的函数.14．【分析】设可得又因为即可求解【详解】如图所示：设由于所以由于点是点关于点的对称点则为中点所以得所以由于又因为得故答案为：【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法解析：45【分析】设,OA a OB b ==，可得523DC a b =-，()2EC a b λ=--，又因为//EC DC ，即可求解λ． 【详解】 如图所示：设,OA a OB b ==，由于2OD DB =，所以23OD b =，由于点C 是点B 关于点A 的对称点，则A 为BC 中点， 所以()12OA OB OC =+，得2OC a b =- 所以523DC OC OD a b =-=-由于()2EC OC OE a b λ=-=-- ，又因为//EC DC21523λ-=得45λ= ． 故答案为：45【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．15．【分析】用几何意义求解不妨设则在圆心在原点半径为2的圆上设则在以为圆心半径为1的圆上运动后形成的轨迹是圆心在原点大圆半径为3小圆半径为1的圆环表示圆环内的点与定点的距离由图形可得最大值和最小值【详解解析：3⎡⎤⎣⎦【分析】用几何意义求解．不妨设()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，则(,)C x y 在圆心在原点，半径为2的圆上，设(),d x y '='，则(,)D x y ''在以C 为圆心半径为1的圆上，C 运动后，D 形成的轨迹是圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环，2a b d ++表示圆环内的点D 与定点()2,1P --的距离，由图形可得最大值和最小值． 【详解】令()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，设C 的坐标为(),x y ，C 的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆上.设(),d x y '='，D 的坐标为(),x y ''，D 的轨迹为圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环上.()22,1a b d d ++=---表示D 与点()2,1P --的距离，由图可知，故2a b d ++的取值范围为3⎡⎤⎣⎦. 故答案为：3⎡⎤⎣⎦【点睛】本题考查向量模的几何意义，考查模的最值，解题关键是设()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，(),d x y '='，固定,a b 后得出了,C D 的轨迹，然后由模2a b d ++的几何意义得出最值．16．【分析】把表示为的函数利用函数的性质求出当最大时的值进而可求出的值【详解】设则所以易得当时取得最小值取得最大值此时故答案为：【点睛】本题考查平面向量的有关计算利用函数的思想求最值是一种常见思路属于中 3【分析】把cos θ表示为|b|的函数，利用函数的性质求出当θ最大时|b|的值，进而可求出a b -的值. 【详解】 设()0b x x =>，则()22·222b a b a b b x +=⋅+=+，222|2+|=448a b a a b b x +⋅+=+，所以()22·2cos 28b a bb a bx xθ+==++易得cos 0θ>，()()()2222222222211cos 124811411222263x x x x x x θ+===+⎛⎫-++--+⎪+++⎝⎭，当24x =时，2cos θ取得最小值，θ取得最大值， 此时22||=21243a b a a b b --⋅+=-+= 3 【点睛】本题考查平面向量的有关计算，利用函数的思想求最值是一种常见思路.属于中档题.17．1【解析】设∵D 为BC 中点所以可以化为3x=λ（）+（3-3λ）化简为（3x-λ）=（3-2λ）只有3x-λ=3-2λ=0时（3x-λ）=（3-2λ）才成立所以λ=x=所以则M 为AB 的中点故答案为1解析：1 【解析】设 AM AB λ=，∵D 为BC 中点，所以12AD AB AC （）=+,() 3233AM AD AC λλ=+- 可以化为3x AB =λ（AB AC +）+（3-3λ）AC ，化简为（3x-λ）AB =（3-2λ）AC ，只有3x-λ=3-2λ=0时，（3x-λ）AB =（3-2λ）AC 才成立，所以λ=32，x=12所以12AM AB =，则M 为AB 的中点 故答案为1点睛：本题考查向量的基本定理基本定理及其意义，考查向量加法的三角形法则，考查数形结合思想，直线AB 上的点M 可设成 AM AB λ=，D 为BC 中点可得出12AD AB AC （）=+，代入已知条件整理可得.18．【分析】已知式平方后求得再由数量积的定义可得夹角【详解】由得∴∴∴故答案为：【点睛】本题考查求向量的夹角解题关键是掌握向量的模与数量积的关系由模求得数量积后可得 解析：23π 【分析】已知式223a b -=平方后求得a b ⋅，再由数量积的定义可得夹角． 【详解】由223a b -=得222(2)4444412a b a a b b a b -=-⋅+=-⋅+=，∴1a b ⋅=-， ∴cos ,2cos ,1a b a b a b <>=<>=-，1cos ,2a b <>=-，∴2,3a b π<>=．故答案为：23π． 【点睛】本题考查求向量的夹角，解题关键是掌握向量的模与数量积的关系，由模求得数量积后可得．19．【分析】将已知条件转化为结合得到设列出关于的方程组由此求得【详解】由于所以所以即因为即化简得设所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理考查平面向量的线性运算考查化归与转化的数学思想解析：5 3【分析】将已知条件转化为1539 AO AB AC =+，结合BD DCλ=，得到111AD AB ACλλλ=+++，设AO k AD=，列出关于,kλ的方程组，由此求得λ.【详解】由于305OA OB OC=++，所以()()350OA AB AO AC AO+-+-=，所以935AO AB AC=+，即1539AO AB AC=+.因为BD DCλ=，即()AD AB AC ADλ-=-,化简得111AD AB ACλλλ=+++，设11k kAO k AD AB ACλλλ==+++，所以113519kkλλλ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得53λ=.故答案为：53【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理，考查平面向量的线性运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.20．【分析】设的夹角为由题可得则可化简得出即可求出最值【详解】是单位向量设的夹角为则由可得即可得则当时取得最大值为故答案为：【点睛】本题考查数量积的运算律解题的关键是先得出的夹角为满足的再将所求化为可求解析：14-【分析】设,a b 的夹角为α，由题可得1cos 2α≥，则可化简得出cos θ=-求出最值. 【详解】,a b 是单位向量，1a b ∴==，设,a b 的夹角为α，则由1a b -≤可得21a b -≤，即222cos 1aa b b α-⋅⋅+≤，可得1cos 2α≥， 则()()22222222cos 224444a ba b a b a ba a bb a a b bθ+⋅-==+⋅-+⋅+⋅-⋅+==-=- 当1cos 2α=时，cos θ取得最大值为14-. 故答案为：14-. 【点睛】本题考查数量积的运算律，解题的关键是先得出,a b 的夹角为α满足的1cos 2α≥，再将所求化为cos θ=-. 三、解答题21．（1）118；（2）31.2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）首先以点A 为坐标原点建立平面直角坐标系．求AM ，AN 的坐标，再求数量积；（2）首先利用BM DN =，设BM DN t ==，表示向量AM ，AN ，利用数量积的坐标表示转化为二次函数求取值范围. 【详解】（1）如图，以AB 所在直线为x 轴，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系．因为ABCDEF 是边长为1的正六边形，且M ，N 分别是BC ，DE 的中点，所以53,44M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，132N ⎛ ⎝， 所以5311848AM AN ⋅=+=． （2）设BM DN t ==，则[]0,1t ∈． 所以312t M ⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭，(13N t -． 所以()()223113*********t AM AN t t t t t ⎛⎫⋅=+⋅-+=-++=--+ ⎪⎝⎭． 当0t =时，AM AN ⋅取得最小值1； 当1t =时，AM AN ⋅取得最大值32． 所以AM AN ⋅的取值范围为31.2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查数量积的坐标表示，重点考查计算能力，属于基础题型. 22．(1)18；(2)12λ=-. 【分析】(1)根据条件，可以点A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，从而可得出AC AE ，的坐标，然后进行向量数量积的坐标运算即可；(2)可以得出(023)，BD =，(32323)，AF =+λλ，然后根据BD AF ⊥，即可得出0BD AF ⋅=，进行向量数量积的坐标运算，即可求出λ的值.【详解】(1)以A 点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则(0,0)A ，(2,0)B ，(4,23)C ，3)E ，(2,3)D ， 所以(423)，AC =，(33)，AE =， 所以4323318AC AE ⋅=⨯+⨯=； (2)(023)，BD =，(32323)，AF =+λλ， 因为BD AF ⊥，所以2333)0BD AF ⋅==λ， 解得12λ=-. 【点睛】本题主要考查向量的数量积的坐标运算，选择恰当的点作为坐标原点建系及正确的写出各点坐标是关键，属于中档题.本题也可以AB ,AD 作为基底，利用基底法求解. 23．（1）5±2）证明见解析. 【分析】（1）利用平面向量的坐标运算和共线定理列方程求出t 的值； （2）根据条件得到2AC AB =且有公共点A ,即可得到结论. 【详解】解：（1）∵(),1a t =，()5,b t =，且//a b ， 故2505t t -=⇒=±， 即实数t 的值为：5±；（2）证明：∵OA a b =+，2OB a b =+，3OC a b =+. ∴AB OB OA b =-=，2AC OC OA b =-=，即2AC AB =且有公共点A ， 故A ，B ，C 三点共线． 【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，用向量法证明三点共线，属于基础题．24．（1）1a b +=；-1；（2）45︒. 【分析】（1）根据平面向量数量积的运算律求出||a b +，再根据平面向量的几何意义求出b 在a 方向上的投影；（2）根据向量垂直，则数量积为零，即可得到1a b ⋅=，再根据夹角公式计算可得； 【详解】解：（1）由已知得2222()2121()212a b a b a a b b +=+=+⋅+=+⨯-+=，∴1a b +=；b 在a 方向上的投影为||cos1352(1b ==- （2）由已知得()0a b a -⋅=，即20a a b -⋅=∴1a b ⋅=，∴[]2cos ,,0,212a b a b a b a b π⋅===∈⨯，，∴向量a 与b 的夹角为45︒. 【点睛】本题考查平面向量的数量积及夹角的计算，属于中档题.25．（12 【分析】（1）利用定义得出a b ⋅，再结合模长公式求解即可；（2）先得出()a a b ⋅+，再由数量积公式得出a 与a b +的夹角的余弦. 【详解】 （1）313cos32a b π⋅=⨯⨯=2223()||2||122a b a b a a b b ∴+=+=+⋅+=+⨯=（2）235()||122a ab a a b ⋅+=+⋅=+= 5()2cos ,26113a ab a a b a a b⋅+∴+===⨯⋅+ 【点睛】本题主要考查了利用定义求模长以及求夹角，属于中档题.26．（1）19； （2）13-.【分析】（1）由题意，求得(3,22),3(10,4)ka b k k a b +=-+-=-，根据因为ka b +与3a b -垂直，列出方程，即可求解；（2）根据ka b +与3a b -平行，列出方程，即可求解.【详解】（1）由题意，向量(1,2),(3,2)a b ==-，则(3,22),3(10,4)ka b k k a b +=-+-=-，因为ka b +与3a b -垂直，所以()(3)10(3)4(22)0ka b a b k k +⋅-=--+=，即2380k -=，解得19k =.（2）若ka b +与3a b -平行，则满足4(3)10(22)0k k ---+=，即2480k -+=，解得13k =-.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以向量垂直和平行的判定及应用，其中解答中熟练应用向量的坐标运算公式，根据向量垂直和平行，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.。
(常考题)北师大版高中数学必修四第二章《平面向量》测试卷(答案解析)(1)
一、选择题1．已知a 与b 的夹角为60，4a =，则a b λ-(R λ∈)的最小值为（ ） A ．23B ．72C ．103D ．4332．已知向量,a b ，满足||1,||2a b ==，若对任意模为2的向量c ，均有||||27a c b c ⋅+⋅≤，则向量,a b 的夹角的取值范围是（ ）A ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．设向量a ，b ，c 满足||||1a b ==，12a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-=，则||c 的最小值是（ ） A ．312+ B ．312- C ．3 D ．14．如图，在ABC 中，13AN NC =，P 是BN 上的一点，若2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则实数m 的值为( )A ．19B ．13C ．1D ．35．若平面向量与的夹角为，，，则向量的模为（ ） A ．B ．C ．D ．6．已知非零向量,a b 满足4,2a b ==，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则a b -等于（ ） A ．1B ．25C ．5D ．37．已知a ，b 是单位向量，a •b =0．若向量c 满足|c a b --|＝1，则|c |的最大值为（ ） A 21B 2C ．21+D 22+8．在△ABC 中，M 是BC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则AM ＝( )A ．1()2a b + B ．1()2a b - C ．12a b + D ．12a b +9．已知向量()a 1,2=，()b x,2=-，且a b ⊥，则a b +等于（ ）．AB ．5C ．42D 3110．已知a ，b 为单位向量，2a b a b +=-，则a 在a b +上的投影为（ ）A ．13B ．CD ．311．在ABC ∆中，060BAC ∠=，5AB =，6AC =，D 是AB 上一点，且5AB CD ⋅=-，则BD 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．ABC 中，5AB =，10AC =，25AB AC =，点P 是ABC 内（包括边界）的一动点，且32()55AP AB AC R λλ=-∈，则||AP 的最大值是( )A ．2BCD 二、填空题13．已知向量()3,2OA =，()2,1OB =，O 点为坐标原点，在x 轴上找一个点M ，使得AM BM ⋅取最小值，则M 点的坐标是___________.14．已知向量(12,2)a t =-+，(2,44)b t =-+，(1,)c λ=（其中t ，)R λ∈．若(2)c a b ⊥+，则λ=__．15．已知平面向量a ，b 夹角为30，若2=a ，则12b a b +-的最小值为______． 16．在平面内,定点,,A B C 满足DA DB DC ==，2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，动点,P M 满足1AP PM MC ==，则2BM 的最大值为________.17．已知腰长为2的等腰直角△ABC 中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若2PC =，则()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅的最小值 ________． 18．已知(2,1)a =，(3,4)b =，则a 在b 的方向上的投影为________． 19．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O .已知AC BC =，AC BC ⊥，AD BD ⊥，且O 是AC 的中点，若2AD AB CD CB ⋅-⋅=，则AC BD ⋅的值为__________.20．已知平面向量a ，b 满足1a =，2a b -与2b a -的夹角为120°，则2b 的最大值是_______.三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,2)A --，()2,3B ，(2,1)C --． （1）求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； （2）若存在y 轴上一点P 满足BC AP ⊥，求BPC ∠． 22．已知向量(3,4)OA =-，(6,3)OB =-，(5,3)OC x =-． （1）若点A ，B ，C 三点共线，求x 的值；（2）若ABC 为直角三角形，且B 为直角，求x 的值． 23．已知4,3,(23)(2)61a b a b a b ==-⋅+=. （1）求a 与b 的夹角为θ； （2）求a b +；（3）若AB ＝a ，BC ＝b ，求△ABC 的面积．24．已知()sin ,3a x x =，()cos ,cos b x x =-，函数3()2f x a b =⋅+． （1）求函数()f x 图象的对称轴方程； （2）若方程1()3f x =在()0,π上的解为1x ，2x ，求()12cos x x +的值． 25．已知向量()1,2a =-，()3,1b =-. （1）若()a b a λ+⊥，求实数λ的值；（2）若2c a b =-，2d a b =+，求向量c 与d 的夹角.26．已知向量(1,2),(,2),(3,1)==-=-OA OB m OC ，O 为坐标原点． （1）若AB AC ⊥求实数m 的值； （2）在（1）的条件下，求△ABC 的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A解析：A 【分析】根据向量的模的表示方法得22222a b a a b b λλλ-=-⋅+，再配方即可得答案. 【详解】解：根据向量模的计算公式得：()()222222216421212a b a a b b b bb λλλλλλ-=-⋅+=-+=-+≥，当且仅当2b λ=时等号成立；所以23a b λ-≥，当且仅当2b λ=时等号成立； 故选：A. 【点睛】方法点睛：向量模的计算公式：22a a a a =⋅=2．B解析：B 【分析】根据向量不等式得到7a b +≤，平方得到1a b ⋅≤，代入数据计算得到1cos 2α≤得到答案. 【详解】由||1a =，||2b =，若对任意模为2的向量c ，均有||||27a c b c ⋅+⋅≤ 可得：()()27a b c a b c a c b c +⋅≤+⋅≤⋅+⋅≤ 可得:()227a b +⋅≤,7a b +≤平方得到2227a b a b ++⋅≤，即1a b ⋅≤1cos 1,cos ,23a b a b παααπ⋅=⋅≤∴≤∴≤≤故选：B 【点睛】本题考查了向量夹角的计算，利用向量三角不等式的关系进行求解是解题的关键.3．B解析：B 【分析】建立坐标系，以向量a ，b 的角平分线所在的直线为x 轴，使得a ，b 的坐标分别为12⎫⎪⎪⎝⎭，21⎫-⎪⎪⎝⎭，设c 的坐标为(),x y ，由已知可得2214x y ⎛+= ⎝⎭，表示以3,0⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆，求出圆心到原点的距离，再减去半径即为所求 【详解】解：建立坐标系，以向量a ，b 的角平分线所在的直线为x 轴，使得a ，b 的坐标分别为31,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,21⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，设c 的坐标为(),x y ， 因为()()0a c b c -⋅-=，所以3131,,022x y x y ⎛⎫⎛⎫--⋅---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得22314x y ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭， 表示以3,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆， 则||c 的最小值表示圆上的点到原点的距离的最小值， 因为圆到原点的距离为32，所以圆上的点到原点的距离的最小值为3122-，故选：B【点睛】此题考查平面向量的数量积运算，解题的关键是写出满足条件的对应的点，考查数学转化思想，考查数形结合的思想，属于中档题4．A解析：A 【解析】因为2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭29mAB AC =+，设BP tBN =，而31()()(1)44AP AB BP AB t BC CN AB t BC AC t AB t AC =+=++=+-=-+，所以1m t =-且249t =，故811199m t =-=-=，应选答案A ． 5．C【解析】，，又，，则，故选6．B解析：B 【解析】因为a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，设这两个向量的夹角为θ，则cos cos 4cos 2cos 2a b πθθθθθ===⇒=，又由2()a b a b -=-且4,2a b ==，所以222()225a b a b a a b b -=-=-⋅+=，故选B.7．C解析：C 【分析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出． 【详解】∵|a |＝|b |＝1，且0a b ⋅=，∴可设()10a =，，()01b =，，()c x y ，=．∴()11c a b x y --=--，． ∵1c a b --=， ∴22(1)(1)1x y -+-=x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1．∴c 的最大值2211121=+=．故选C ． 【点睛】熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合是解题的关键．8．D【分析】根据向量的加法的几何意义即可求得结果. 【详解】在ABC ∆中，M 是BC 的中点， 又,AB a BC b ==， 所以1122AM AB BM AB BC a b =+=+=+， 故选D. 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目.9．B解析：B 【分析】由向量垂直可得0a b ⋅=，求得x ，及向量b 的坐标表示，再利用向量加法的坐标运算和向量模的坐标运算可求得模. 【详解】由a b ⊥，可得0a b ⋅=，代入坐标运算可得x-4=0，解得x=4,所以a b + ()5,0=，得a b +=5，选B.【点睛】求向量的模的方法：一是利用坐标()22,a x y a x y =⇒=+，二是利用性质2a a =，结合向量数量积求解. 10．C解析：C 【分析】由题意结合平面向量数量积的运算可得13a b ⋅=，进而可得()b a a +⋅、a b +，代入投影表达式即可得解. 【详解】因为a ，b 为单位向量，所以1==a b ， 又2a b a b +=-，所以()()222a ba b +=-所以22222242a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，即121242a b a b +⋅+=-⋅+， 所以13a b ⋅=，则()2263a b a b+=+=，()243a a b a a b ⋅+=+⋅=，所以a 在a b +上的投影为()46326a a b a b⋅+==+. 故选：C. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用，考查了一个向量在另一个向量上投影的求解，属于中档题.11．C解析：C 【解析】在ABC ∆中，060BAC ∠=，5,6AB AC ==，D 是AB 是上一点，且5AB CD ⋅=-， 如图所示，设AD k AB =，所以CD AD AC k AB AC =-=-， 所以21()2556251552AB CD AB k AB AC k AB AB AC k k ⋅=⋅-=-⋅=-⨯⨯=-=-， 解得25k =，所以2(1)35BD AB =-=，故选C ．12．B解析：B 【分析】以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，根据向量的坐标运算求得3(3)y x =-，当该直线与直线BC 相交时，||AP 取得最大值．【详解】解：ABC 中，5AB =，10AC =，25AB AC =，510cos 25A ∴⨯⨯=，1cos 2A =，60A ∴=︒，90B =︒； 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系，如图所示，5AB =，10AC =，60BAC ∠=︒，(0,0)A ∴，(5,0)B ，(5C ，53)，设点P 为(,)x y ，05x ，03y ，3255AP AB AC λ=-， (x ∴，3)(55y =，20)(55λ-，53)(32λ=-，23)λ-，∴3223x y λλ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩， 3(3)y x ∴=-，①直线BC 的方程为5x =，②，联立①②，得523x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，此时||AP 最大，22||5(23)37AP ∴=+=． 故选：B ．【点睛】本题考查了向量在几何中的应用问题，建立直角坐标系是解题的关键，属于中档题．二、填空题13．【分析】设点的坐标是求出再利用配方法可得答案【详解】设点的坐标是即因为向量所以当时有最小值此时点的坐标是故答案为：【点睛】方法点睛：平面向量求最值有三种常见方法：1几何法；2三角函数有界法；3二次函解析：5,02⎛⎫⎪⎝⎭【分析】设M 点的坐标是(),0t ，求出AM BM ⋅，再利用配方法可得答案. 【详解】设M 点的坐标是(),0t ，即(),0OM t =， 因为向量()3,2OA =，()2,1OB =， 所以()3,2AM OM OA t =-=--，()2,1BM OM OB t =-=--， ()()()()3221AM BM t t ⋅=--+-⨯- 22575824t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，当52t =时，AM BM ⋅有最小值74，此时M 点的坐标是5,02⎛⎫⎪⎝⎭， 故答案为：5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：平面向量求最值有三种常见方法：1、几何法；2、三角函数有界法；3、二次函数配方法.14．-1【分析】根据条件求出然后由得到再求出的值【详解】解：且故答案为：【点睛】本题考查向量坐标的加法数乘和数量积的运算向量垂直的充要条件考查计算能力属于基础题解析：-1 【分析】根据条件求出2(4,4)a b t t +=，然后由(2)c a b ⊥+，得到·(2)0c a b +=，再求出λ的值． 【详解】解：2(4,4)a b t t +=，(1,)c λ=，且(2)c a b ⊥+，∴·(2)440c a b t t λ+=+=，1λ∴=-．故答案为：1-． 【点睛】本题考查向量坐标的加法、数乘和数量积的运算，向量垂直的充要条件，考查计算能力，属于基础题．15．【分析】首先设则结合向量夹角为利用对称关系求得其最小值也可以建系利用向量的坐标去求解【详解】解析1：（对称）设则过作于点由于向量夹角为则故所以最小值为到的距离为即的最小值为故答案为：解法2：（建系）【分析】首先设a OA =，b OB =，则a b BA -=，结合向量a ，b 夹角为30，利用对称关系，求得其最小值，也可以建系，利用向量的坐标去求解.【详解】解析1：（对称）设a OA=，b OB=，则a b BA-=，过B作BH OA⊥于点H．由于向量a，b夹角为30，则12 BH OB=，故12b a b BH AB BH A B'+-=+=+，所以最小值为A'到OA的距离为3，即12b a b+-的最小值为3．3解法2：（建系）设()2,0a=，则3,3b m⎛⎫= ⎪⎝⎭，不妨设0m>，则()22213134244 23333mb a b m m m m m+-=+-+=+-+令()2344433xf x x x=+-+则()242334443xf xx x-'=+-+()0f x'=，解得1x=，即当1x=时，()min3f x=所以12b a b+-的最小值为33【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量模的和的最小值的求解，在解题的过程中，可以利用图形，从对称角度去分析，也可以建系，将其坐标化求解，属于中档题目.16．【分析】由可得为的外心又可得为的垂心则为的中心即为正三角形运用向量的数量积定义可得的边长以为坐标原点所在直线为轴建立直角坐标系求得的坐标再设由中点坐标公式可得的坐标运用两点的距离公式可得的长运用三角 解析：494【分析】 由DA DB DC ==，可得D 为ABC ∆的外心，又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅，可得D 为ABC ∆的垂心，则D 为ABC ∆的中心，即ABC ∆为正三角形．运用向量的数量积定义可得ABC ∆的边长，以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ，求得,B C 的坐标，再设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<，由中点坐标公式可得M 的坐标，运用两点的距离公式可得BM 的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值． 【详解】 解: 由DA DB DC ==，可得D 为ABC ∆的外心，又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅， 可得()0,(DB DA DC DC DB ⋅-=⋅ )0DA -=，即0DB AC DC AB ⋅=⋅=， 即有,DB AC DC AB ⊥⊥，可得D 为ABC ∆的垂心，则D 为ABC ∆的中心，即ABC ∆为正三角形，由2DA DB ⋅=-，即有||||cos1202DA DB ︒⋅=-，解得||2DA =，ABC∆的边长为4cos30︒=以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ，可得B(3,3),C(3,D(2,0)-，由||1AP=，可设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<，由PM MC =，可得M 为PC中点，即有3cos (2M θ+， 则2223cos ||3=+2BM θ+⎛⎫- ⎪⎝⎭⎝ 22(3cos )sin )376cos 444θθθθ--+=+= 3712sin 64πθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=， 当sin 16πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即23πθ=时，取得最大值，且为494． 故答案为：494．【点睛】本题考查向量的定义和性质，以及模的最值的求法，注意运用坐标法，转化为三角函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．17．【详解】如图建立平面直角坐标系∴当sin 时得到最小值为故选 解析：48322-【详解】如图建立平面直角坐标系，()((P 2cos θ2sin θA 22B22M 02-，，，，，，， ∴()()((42cos θ2θ22cos θ2θ24PA PB PC PM ⎡⎤⋅+⋅=+⋅-++⎣⎦，， ()(22cos θ2sin θ2cos θ2sin θ216sin θ322sin θ32⎡⎤⋅+=++⎣⎦，，， 当sin θ1=-时，得到最小值为48322-48322- 18．2【分析】根据向量在的方向上的投影为结合向量的数量积的坐标运算和模的计算公式即可求解【详解】由题意向量可得则在的方向上的投影为故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算和模计算公式的应 解析：2【分析】根据向量a 在b 的方向上的投影为a b b ⋅，结合向量的数量积的坐标运算和模的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，向量(2,1)a =，(3,4)b =，可得231410a b ⋅=⨯+⨯=，22345b =+=， 则a 在b 的方向上的投影为1025a b b ⋅==. 故答案为：2.【点睛】 本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算和模计算公式的应用，以及向量的投影的概念与计算，其中解答熟记平面向量的数量积、模及投影的计算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.19．【分析】如图设先求出再根据得到再求的值得解【详解】如图四点共圆为圆的直径设所以由相交弦定理得在直角△中由勾股定理得在△中由余弦定理得因为所以又所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的 解析：3-【分析】 如图，设12OA OC BC t ===，先求出,,OD AD CD ,再根据2AD AB CD CB ⋅-⋅=得到52t =，再求AC BD ⋅的值得解. 【详解】如图，,,,A B C D 四点共圆，AB 为圆的直径.设12OA OC BC t ===，所以225AB t OB t ==，由相交弦定理得5OD =， 在直角△AOD 中，由勾股定理得5AD =， 在△COD 中，由余弦定理得225t CD =. 因为2AD AB CD CB ⋅-⋅=， 2222cos 2cos(180)255t t DAB t DAB ∠--∠=， 又cos 10AD DAB AB ∠==,所以52t =. 所以212125=(2)(5)cos(180)35545AC BD t t t α⋅+-=-=-=-. 故答案为：3-【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算，考查平面几何圆的知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．【分析】设设则有联立四个方程令整理得到从方程有根判别式大于等于零求得结果【详解】设由题意可知则由与夹角为所以①且②③④因为联立①②③④令即整理得将其看作关于的方程若方程有解则有整理得解得因为所以的最【分析】设设2a b c =-，2b d a =-，则有cos120c d c d ⋅=︒，22(2)(2)522c d a b b a a b a b ⋅=-⋅-=⋅--，2222(2)44c a b a a b b =-=-⋅+，2222(2)44d b a b a b a =-=-⋅+，联立四个方程，令21,m b n a b =+=⋅，整理得到2228204330n mn m m -+-+=，从方程有根，判别式大于等于零求得结果.【详解】设2a b c =-，2b d a =-，由题意可知，则由c 与d 夹角为120︒，所以cos120c d c d ⋅=︒，①且22(2)(2)522c d a b b a a b a b ⋅=-⋅-=⋅--，② 2222(2)44c a b a a b b =-=-⋅+，③ 2222(2)44d b a b a b a =-=-⋅+，④因为11,cos1202a =︒=-， 联立①②③④，2222244104444b a b a a b b b a b a +-⋅=-⋅+⋅-⋅+， 令21,m b n a b =+=⋅，即410m n -=2222168010044316161212129m mn n m mn m mn n n m n -+=---+++--， 整理得2228204330n mn m m -+-+=，将其看作关于n 的方程，若方程有解，则有22(20)428(433)0m m m ∆=-⨯⨯-+≥，整理得2770m m -+≤m ≤≤因为21m b =+，所以2b 的最大值是75122++-=，. 【点睛】 思路点睛：该题考查的是有关向量的问题，解题思路如下：（1）根据向量数量积的定义式求得两向量的数量积；（2）根据向量数量积运算法则求得其结果；（3）利用向量的平方与向量模的平方相等，得到等量关系式；（4）联立，从方程有根，判别式大于等于零，得到不等关系式，求得结果.三、解答题21．（1）；（2） 【分析】（1）计算AB AC +和AB AC -可得；（2）先求出P 点坐标，再求PB 和PC 的夹角即得．【详解】（1）由题意(3,5)AB =，(1,1)AC =-，(2,6)AB AC +===(4,4)AB AC -==所以所求对角线长为 （2）设(0,)P y ，则由BC AP ⊥得3(1)(2)12(2)0(1)y ----⨯=-----，3y =-，即(0,3)P -，(2,6)PB =，(2,2)PC =-，cos 2PB PCBPC PB PC ⋅∠===所以arccos5BPC ∠=． 【点睛】 关键点点睛：根据向量加减法的几何意义，以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的对角线长就是,AB AC 和与差的模．而求BPC ∠，可以算作是,PB PC 的夹角，也可以用两直线的夹角公式求解．22．（1）19x =-；（2）1x =．【分析】（1）由点A ，B ，C 三点共线可得AB 和BC 共线，解关于x 的方程可得答案； （2）由ABC 为直角三角形可得AB BC ⊥，即0AB BC ⋅=，解关于x 的方程可得答案．【详解】（1）(3,4)OA =-，(6,3)OB =-，(5,3)OC x =-，∴(3,1)AB OB OA =-=，(1,6)BC OC OB x =-=--点A ，B ，C 三点共线，∴AB 和BC 共线，361x ∴⨯=--，解得19x =-；（2）ABC 为直角三角形，且B 为直角，∴AB BC ⊥，∴3(1)60AB BC x ⋅=--+=，解得1x =．【点睛】方法点睛：利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答.23．（1）23π；（23） 【分析】（1）将已知条件中的式子展开，利用公式求得6a b ⋅=-，根据向量夹角公式求得1cos 2θ=-，结合角的范围，求得结果； （2）利用向量的模的平方和向量的平方是相等的，从而求得结果；（3）根据向量所成角，求得三角形的内角，利用面积公式求得结果.【详解】（1）因为(23)(2)61a b a b -⋅+=， 所以2244361a a b b -⋅-=. 又4,3a b ==，所以6442761a b -⋅-=，所以6a b ⋅=-， 所以61cos 432a b a bθ⋅-===-⨯. 又0≤θ≤π，所以23πθ=. （2）2222()2a b a b a a b b +=+=+⋅+ ＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以13a b +=；（3）因为AB 与BC 的夹角23πθ=，所以∠ABC ＝233πππ-=. 又4,3AB a BC b ====，所以S △ABC ＝14322⨯⨯⨯= 【点睛】该题考查的是有关向量与解三角形的综合题，涉及到的知识点有向量数量积，向量夹角公式，向量的平方和向量模的平方是相等的，三角形面积公式，属于简单题目.24．（Ⅰ）5()212k x k Z ππ=+∈; （Ⅱ）13. 【分析】（1）先根据向量数量积的坐标表示求出()f x ,利用二倍角公式与辅助角公式化简()f x ，结合正弦函数的对称性即可求出函数的对称轴；（2）由方程1()3f x =在()0,π（上的解为12,x x ，及正弦函数的对称性可求12x x +，进而可得结果．【详解】解：(),a sinx =，(),b cosx cosx =-，()2311212222232cos x f x a b sinxcosx x sin x sin x π+⎛⎫∴=⋅+===-- ⎪⎝⎭ ()1令112232x k πππ-=+可得512x k ππ=+，k z ∈∴函数()f x 图象的对称轴方程512x k ππ=+，k z ∈ ()2方程()13f x =在()0,π上的解为1x ，2x ，由正弦函数的对称性可知12526x x k ππ+=+，1x ，()20,x π∈，()121256x x cos x x π∴+=∴+= 【点睛】本题主要考查了向量数量积的坐标表示，正弦函数的对称性的应用，属于基础试题．以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.25．（1）1；（2）34π. 【分析】 （1）先求得a λb +，然后利用()0a b a λ+⋅=列方程，解方程求得λ的值.（2）求得,c d 的坐标，利用夹角公式计算出c 与d 的夹角的余弦值，由此求得c 与d 的夹角.【详解】（1）由()1,2a =-，()3,1b =-得()13,2a b λλλ+=-+-，因为()a b a λ+⊥，所以()0a b a λ+⋅=，所以()()13220λλ--++-=， 即550λ-+=，解得1λ=；（2）由()1,2a =-，()3,1b =-得 ()25,5c a b =-=-，()25,0d a b =+=，所以25c d ⋅=-，52c =，5d =，设向量c 与d 的夹角为θ，则cos2θ==- 又因为[]0,θπ∈，所以34πθ=， 即向量c 与d 的夹角为34π. 【点睛】本小题主要考查向量垂直的坐标表示，考查向量夹角的计算，考查向量线性运算的坐标表示，属于中档题.26．（1）1；（2）【分析】（1）根据向量(1,2),(,2),(3,1)==-=-OA OB m OC ，得到向量,AB AC ，再由AB AC ⊥，利用坐标运算求解.（2）由（1）得到 ,AB AC ，然后由12ABC S AB AC =⨯⨯求解. 【详解】（1）因为向量(1,2),(,2),(3,1)==-=-OA OB m OC ，所以向量(1,4),(4,1)AB m AC =--=--，又因为AB AC ⊥，所以4(1)40m --+=，解得 2m =.（2）由（1）知：(0,4),(4,1)AB AC =-=--， 所以4,17AB AC ==所以11422ABC S AB AC =⨯⨯=⨯= 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。
北师大版高中数学必修四第二章《平面向量》检测题(有答案解析)
一、选择题1．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，5cos 6A =，若O 为ABC ∆的外心（即三角形外接圆的圆心），且AO mAB nAC +=，则2n m -=（ ） A ．199B ．4122-C ．111-D ．17112．若12,e e 是夹角为60︒的两个单位向量，则向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为（ ） A ．30B ．60︒C ．90︒D ．120︒3．已知非零向量,a b 满足4,2a b ==，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则a b -等于（ ） A ．1B ．25C ．5D ．34．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =．若有(7,16)λ∈，则在正方形的四条边上，使得PE PF λ=成立的点P 有（ ）个．A ．2B ．4C ．6D ．05．在ABC 中，||:||:||3:4:5AB AC BC =，圆O 是ABC 的内切圆，且与BC 切于D 点，设AB a =，AC b =，则AD =（ ）A ．2355a b +B ．3255a b + C ．2133a b +D ．1233a b +6．若2a b c ===，且0a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-≤，则a b c +-的取值范围是( )A ．[0,222]B ．[0,2]C ．[222,222]-+D ．[222,2]-7．已知O 是三角形ABC 内部一点，且20OA OB OC ++=，则OAB ∆的面积与OAC ∆的面积之比为（ ）A ．12B ．1C ．32D ．28．已知向量a ，b 满足||3,||2a b ==，且对任意的实数x ，不等式a xb a b +≥+恒成立，设a ，b 的夹角为θ，则tan θ的值为（ ） A ．5 B ．52-C ．5-D ．59．已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则2a b -的最大值，最小值分别是（ ） A ．42，0B ．4，42C ．16，0D ．4，010．已知等边ABC 的边长为2，若3BC BE =，AD DC =，则BD AE ⋅等于（ ） A ．103B ．103-C ．2D ．2-11．已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是（ ） A ．a b ⋅B ．a c ⋅C ．b c ⋅D ．不能确定12．在ABC 中，D 是BC 边上的一点，F 是AD 上的一点，且满足2AD AB AC =+和20FD FA +=，连接CF 并延长交AB 于E ，若AE EB λ=，则λ的值为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．15二、填空题13．如图，已知ABC 为边长为2的等边三角形，动点P 在以BC 为直径的半圆上，若AP AB AC λμ=+，则2λμ+的最小值为_______．14．O 为坐标原点，已知向量()1,5OA =，()4,2OB =，()6,8OC =，,x y 为非负实数且01x y ≤+≤，CD xCA yCB =+，则OD 的最小值为_______________15．设1e ，2e 是单位向量，且1e ，2e 的夹角为23π，若12a e e =+，122b e e =-，则a 在b 方向上的投影为___________．16．如图，正方形ABCD 的边长为2，E 是以CD 为直径的半圆弧上一点，则AD AE ⋅的最大值为______．17．在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB BC ==，1CD =，120BCD ∠=︒，P ，Q 分别为线段BC 和CD 上的动点，且BP BC λ=，16DQ DC λ=，则AP BQ 的最大值为_____________.18．已知非零向量m →，n →满足4m →=3n →，cos m →〈，13n →〉=.若n →⊥t m n →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则实数t的值为_____________.19．ABC 中，2AB BA BC =⋅，0OA OC AB ++=，且1OA AB ==，则CA CB ⋅=______.20．已知向量()()2,3,1,2==-a b ，若ma b +与2a b -平行，则实数m 等于______.三、解答题21．已知12,e e 是平面内两个不共线的非零向量，12122,,AB e e BE e e EC λ=+=-+=122e e -+，且A ，E ，C 三点共线．（1）求实数λ的值；（2）若()()122,1,2,2e e ==-，求BC 的坐标；（3）已知()3,5D ，在（2）的条件下，若,,,A B C D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．22．在OAB 的边OA ，OB 上分别有一点P ，Q ，已知:1:2OP PA =，:3:2OQ QB =，连接AQ ，BP ，设它们交于点R ，若OA a =，OB b =.（1）用a 与b 表示OR ；（2）过R 作RH AB ⊥，垂足为H ，若1a =，2b =，a 与b 的夹角2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求BHBA的范围.23．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()()sin sin ,sin sin ,sin sin ,sin m B C A B n B C A =++=-，且m n ⊥.（1）求角C 的大小； （2）若3c =，求2a b +的取值范围.24．已知平面非零向量a ，b 的夹角是23π. （1）若1a =，27a b +=，求b ；（2）若()2,0a =，(),3b t =，求t 的值，并求与a b -共线的单位向量e 的坐标. 25．已知4,3,(23)(2)61a b a b a b ==-⋅+=. （1）求a 与b 的夹角为θ； （2）求a b +；（3）若AB ＝a ，BC ＝b ，求△ABC 的面积． 26．如图，在ABC 中，1AB AC ==，120BAC ∠=.（Ⅰ）求AB BC 的值；（Ⅱ）设点P 在以A 为圆心，AB 为半径的圆弧BC 上运动，且AP x AB y AC →→→=+，其中,x y R ∈. 求xy 的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】设,D E 分别为,AB AC 的中点，连接,OD OE ，则OD AB ⊥，OE AC ⊥，从而得到·0?0OD AB OE AC ==，，坐标化构建m ，n 的方程组，解之即可. 【详解】设,D E 分别为,AB AC 的中点，连接,OD OE ，则OD AB ⊥，OE AC ⊥，又OD AD AO =-，即11222m OD AB mAB nAC AB nAC -=--=-， 同理122nOE AE AO AC mAB -=-=-， 因为212·||?02mOD AB AB nAB AC -=-=， 所以124502m n -⨯-=，又212·||?02nOE AC AC mAB AC -=-=， 所以129502nm -⨯-=，联立方程组124502129502mn n m -⎧⨯-=⎪⎪⎨-⎪⨯-=⎪⎩，解得922811m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以17211n m -=. 故选D 【点睛】本题考查了数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、三角形外心的性质、向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．B解析：B 【分析】首先分别求出12a e e =+与122b e e =-+的数量积以及各自的模，利用数量积公式求之． 【详解】 由已知，1212e e ⋅=，所以(()1212)2e e e e +-+=32，|12e e +，|122e e -+, 设向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为α，则31cos ,2333παα==∴=⋅.故答案为B 【点睛】(1)本题主要考查向量的夹角的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求两个向量的夹角一般有两种方法,方法一：·cos ,ab a b a b=,方法二：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，θ为向量a 与b 的夹角，则121222221122cos x y x y θ=+⋅+.3．B解析：B 【解析】因为a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，设这两个向量的夹角为θ，则cos cos 4cos 2cos 2a b πθθθθθ===⇒=，又由2()a b a b -=-且4,2a b ==，所以222()225a b a b a a b b -=-=-⋅+=，故选B.4．B解析：B 【分析】建立坐标系，逐段分析·PE PF 的取值范围及对应的解． 【详解】以DC 为x 轴，以DA 为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则()()0,4,6,4E F ，（1）若P 在CD 上，设(,0),06P x x ≤≤，(,4),(6,4)PE x PF x ∴=-=-，2616PE PF x x ∴⋅=-+， [0,6],716x PE PF ∈∴≤⋅≤， ∴当=7λ时有一解，当716λ<≤时有两解；（2）若P 在AD 上，设(0,),06P y y <≤，(0,4),(6,4)PE y PF y ∴=-=-，22(4)816PE PF y y y ∴⋅=-=-+， 06,016y PE PF <≤∴⋅<，∴当=0λ或4<<16λ时有一解，当716λ<≤时有两解； （3）若P 在AB 上，设(,6),06P x x <≤，(,2),(6,2)PE x PF x =--=--，264PE PF x x ∴⋅=-+， 06,54x PE PF <≤∴-≤⋅≤，∴当5λ=-或4λ=时有一解，当54λ-<<时有两解；（4）若P 在BC 上，设(6,),06P y y <<，(6,4),(0,4)PE y PF y ∴=--=-， 22(4)816PE PF y y y ∴⋅=-=-+，06y <<，016PE PF ∴⋅<，∴当0λ=或416λ≤<时有一解，当04λ<<时有两解，综上可知当(7,16)λ∈时，有且只有4个不同的点P 使得PE PF λ⋅=成立. 故选：B. 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算，二次函数的根的个数判断，属于中档题．5．B解析：B 【分析】由题得三角形是直角三角形，设3,4,5AB AC BC ===，设,=,,DB BF x AD AE y EC CF z =====求出,,x y z ，再利用平面向量的线性运算求解.【详解】因为||:||:||3:4:5AB AC BC =，所以ABC 是直角三角形，设3,4, 5.AB AC BC ===如图，设,=,,DB BF x AD AE y EC CF z =====由题得34,2,1,35x yy z x y zx z+=⎧⎪+=∴===⎨⎪+=⎩，所以2232()5555AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC=+=+=+-=+3255a b=+.故选：B【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6．D解析：D【解析】如图所示：OA a=，OB b=，OC c=，OD a b=+∵()()0a cb c-⋅-≤，∴点C在劣弧AB上运动，a b c+-表示C、D两点间的距离CD．CD的最大值是BD＝２，CD最小值为OD2222-=.故选D7．A解析：A【解析】由题意，O 是'AB C ∆的重心，'2OB OB =，所以OAB ∆的面积与OAC ∆的面积之比为12．故选A ． 点睛：本题考查平面向量的应用．由重心的结论：若0OA OB OC ++=，则O 是ABC ∆的重心，本题中构造'AB C ∆，O 是'AB C ∆的重心，根据重心的一些几何性质，求出面积比值．8．B解析：B 【分析】因为对任意实数x ，不等式a xb a b +≥+恒成立，所以242240x a bx a b +⋅-⋅-≥对任意实数x 恒成立，则0∆≤，即()2216(24)0a ba b ⋅+⋅+≤，结合已知可得cos θ的值，进而可求出sin θ的值，从而可求出答案. 【详解】由题意，a xb a b +≥⇔+22a xb a b +≥⇔+222220x b a bx a b b +⋅-⋅-≥，对任意实数x ，不等式a xb a b +≥+恒成立，且||3,||2a b ==，∴242240x a bx a b +⋅-⋅-≥对任意实数x 恒成立， ∴0∆≤，即()2216(24)0a ba b ⋅+⋅+≤，又cos 6cos a b a b θθ⋅==，∴2144cos 16(12cos 4)0θθ++≤，即29cos 12cos 40θθ++≤，∴2(3cos 2)0θ+≤，则2(3cos 2)0θ+=，解得2cos 3θ=-， 又0πθ≤≤，∴25sin 1cos 3θθ=-=， ∴5sin 53tan 2cos 3θθθ===-.故选：B .【点睛】本题主要考查了求三角函数值，考查向量数量积的运算，考查一元二次不等式的解与判别式的关系，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.9．D解析：D 【分析】利用向量的坐标运算得到|2|a b -用θ的三角函数表示化简求最值． 【详解】解：向量()a cos sin θθ=，，向量()31b =-，，则2a b -=（2cosθ2sinθ+1），所以|2|a b -2＝（2cosθ2+（2sinθ+1）2＝8﹣cosθ+4sinθ＝8﹣8sin （3πθ-），所以|2|a b -2的最大值，最小值分别是：16，0； 所以|2|a b -的最大值，最小值分别是4，0； 故选：D ． 【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及三角函数解析式的化简；利用了两角差的正弦公式以及正弦函数的有界性．10．D解析：D 【分析】 根据题意得出()12BD BA BC =+，13AE BC BA =-，运用数量积求解即可． 【详解】解：等边△ABC 的边长为2，3BC BE =，AD DC =， ∴()12BD BA BC =+，1313A AB BE AB B E BC A C B =+=+=-， ∴()221111223233BD AE BA BC BC BA BC BA BC BA ⎛⎫⎛⎫+-=--⋅ ⎪ ⎪⎝=⎭⎝⎭， 112144222332⎛⎫=⨯⨯--⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭， 2=-．故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量的运算，数量积的求解，关键是分解向量，属于中档题．11．C解析：C【分析】由0a b c ++=，可得2222222().2()a b c a b b c a b c =-+=-+、2222()a c b a c =-+，利用||||||a b c <<，即可比较．【详解】解：由0a b c ++=，可得()c a b =-+，平方可得2222()a b c a b =-+．同理可得2222()b c a b c =-+、2222()a c b a c =-+， ||||||a b c <<，∴222a b c <<则a b 、b c 、a c 中最小的值是b c ．故选：C ．【点睛】本题考查了向量的数量积运算，属于中档题．12．C解析：C【分析】首先过D 做//DG CE ，交AB 于G ，根据向量加法的几何意义得到D 为BC 的中点，从而得到G 为BE 的中点，再利用相似三角形的性质即可得到答案.【详解】如图所示，过D 做//DG CE ，交AB 于G .因为2AD AB AC =+，所以D 为BC 的中点.因为//DG CE ，所以G 为BE 的中点，因为20FD FA +=，所以:1:2AF FD =.因为//DG CE ，所以::1:2AE EG AF FD ==，即12AE EG =. 又因为EG BG =，所以14AE EB =， 故14AE EB =. 故选：C【点睛】本题主要考查了向量加法运行的几何意义，同时考查了相似三角形的性质，属于中档题.二、填空题13．1【分析】如图建系设P 点坐标则可得的坐标根据题意可得的表达式代入所求根据的范围利用三角函数求最值即可得答案【详解】取BC 中点O 以O 为原点OCOA 方向为x 轴y 轴正方向建系如图所示由题意得：所以如图以B 解析：1【分析】如图建系，设P 点坐标(cos ,sin )θθ，则可得,,AP AB AC 的坐标，根据题意，可得,λμ的表达式，代入所求，根据θ的范围，利用三角函数求最值，即可得答案.【详解】取BC 中点O ，以O 为原点，OC ，OA 方向为x 轴y 轴正方向建系，如图所示由题意得：2sin 603OA =︒=3),(1,0),(1,0)A B C -，如图以BC 为直径的半圆方程为：221(0)x y y +=≤，设(cos ,sin )P θθ，因为sin 0θ≤，所以[,2]θππ∈， 则(cos ,sin 3)AP θθ=-，(1,3),(1,3)AB AC =--=-， 因为AP AB AC λμ=+，所以cos sin 333θλμθλμ=-+⎧⎪⎨=--⎪⎩， 整理可得113cos 226131cos 22μθθλθθ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以131113322(cos )cos sin()26222626πλμθθθθθ+=--++-=-+， 因为[,2]θππ∈，所以713[,]666πππθ+∈，当1366ππθ+=时，sin()6πθ+取最大值12， 所以2λμ+的最小值为31122-=， 故答案为：1【点睛】解题的关键是在适当位置建系，进而可得点的坐标及向量坐标，利用向量的坐标运算，即可求得2λμ+的表达式，再利用三角函数图像与性质求解，综合性较强，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.14．【分析】根据题意得表示的区域为及内部的点进而得当时取得最小值再计算即可得答案【详解】又为非负实数且所以表示的区域为及内部的点当时取得最小值因为所在的直线方程为即则取得最小值为故答案为：【点睛】本题考 解析：32【分析】根据题意得D 表示的区域为ABC 及内部的点，进而得当⊥OD AB 时，OD 取得最小值，再计算即可得答案.【详解】()1,5OA =，()4,2OB =，()6,8OC =，又,x y 为非负实数且01x y ≤+≤，CD xCA yCB =+，所以D 表示的区域为ABC 及内部的点，当⊥OD AB 时，OD 取得最小值，因为AB 所在的直线方程为()()5251114y x x --=-=---，即60x y +-=， 则OD 取得最小值为322=. 故答案为：32.【点睛】本题考查向量的模的求解与线性规划，解题的关键是根据题意明确D 表示的区域，是中档题.15．【分析】根据平面向量数量积的定义求出与并计算出平面向量的模再利用公式即可求解【详解】由平面向量的数量积的定义可得即所以在方向上的投影为故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的定义以及向量的【分析】根据平面向量数量积的定义求出12e e ⋅与a b ⋅，并计算出平面向量b 的模b ，再利用公式，即可求解.【详解】 由平面向量的数量积的定义，可得1221211cos 11()322e e e e π⋅=⋅=⨯⨯-=-， 222222111111()(2)22122a b e e e e e e e e ⋅=+-=+⋅-=--=， 22221112221(2)4444()172e e e e e e b =-=-⋅+=-⨯-+=，即7b =，所以a 在b 方向上的投影为127a b b⋅==故答案为：14. 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的定义，以及向量的投影的应用，其中解答中熟记平面向量的数量积的计算公式，以及向量的投影的计算是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 16．6【分析】先建立平面直角坐标系再表示出点的坐标接着表示出最后求求得最大值即可【详解】解：以点为原点以方向为轴正方向以方向为轴正方向建立平面直角坐标系如图则由图可知以为直径的圆的方程为：参数方向：因为 解析：6【分析】先建立平面直角坐标系，再表示出点E 的坐标，接着表示出AD ，AE ，最后求AD AE ⋅求得最大值即可.【详解】解：以点A 为原点，以AB 方向为x 轴正方向，以AD 方向为y 轴正方向，建立平面直角坐标系，如图，则(0,0)A ，(0,2)D由图可知以CD 为直径的圆的方程为：22(1)(2)1x y -+-=，参数方向：1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩， 因为E 是以CD 为直径的半圆弧上一点，所以(1cos ,2sin )E θθ++，（0θπ≤≤）， 所以(0,2)AD =，(1cos ,2sin )AE θθ=++，则0(1cos )2(2sin )42sin AD AE θθθ⋅=⨯+++=+， 当2πθ=时，AD AE ⋅取得最大值6.故答案为：6【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，是基础题17．【分析】根据平面向量的线性运算与数量积运算求的解析式根据题意求出的取值范围再根据对勾函数的性质求最大值【详解】解：梯形中则解得；设则在上单调递增；时取得最大值故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向量解析：76【分析】根据平面向量的线性运算与数量积运算，求AP BQ 的解析式，根据题意求出λ的取值范围，再根据对勾函数的性质求最大值．【详解】解：梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB BC ==，1CD =，120BCD ∠=︒，BP BC λ=，16DQ DC λ=， 则61()()()()6AP BQ AB BP BC CQ AB BC BC CD λλλ-=++=++2611666AB BC AB CD BC CB CD λλλλ--=+++ 26116122cos12021221()662λλλλ--=⨯⨯︒-⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯- 125536λλ=+-， 011016λλ⎧⎪⎨⎪⎩，解得116λ； 设125()536f λλλ=+-，则()f λ在1,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增； 1λ∴=时()f λ取得最大值76， 故答案为：76． 【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算以及平面向量的数量积的运算问题，同时也考查了函数的最值问题，其中解答中根据向量的线性运算和数量积的运算，求得AP BQ 的解析式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档题.18．【分析】利用向量的数量积公式向量垂直的性质直接直解【详解】非零向量满足=⊥解得故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的数量积公式向量垂直的性质等基础知识考查运算能力属于中档题 解析：4-【分析】利用向量的数量积公式、向量垂直的性质直接直解．【详解】 非零向量m →，n →满足4m →=3n →，cos m →〈，13n →〉=,n →⊥t m n →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭, n →∴⋅22+||||cos ,||t m n t m n n t m n m n n →→→→→→→→→→⎛⎫+=⋅=<>+ ⎪⎝⎭ 223||||034t n n →→=⨯+=, 解得4t =-，故答案为：4-【点睛】本题主要考查了向量的数量积公式、向量垂直的性质等基础知识，考查运算能力，属于中档题.19．3【分析】由得出由得是中点在直角三角形中求出角再根据数量积的定义计算【详解】由得所以又所以是中点如图中所以所以故答案为：3【点睛】本题考查向量的数量积解题关键由已知数量积为0得出直角三角形由向量的线 解析：3【分析】由2AB BA BC =⋅得出AB AC ⊥，由0OA OC AB ++=得O 是BC 中点，在直角三角形中求出角C ，再根据数量积的定义计算．【详解】由2AB BA BC =⋅得22()0AB BA BC AB AB BC AB AB BC AB AC -⋅=+⋅=⋅+=⋅=，所以AB AC ⊥，又0OA OC AB OB OC ++=+=，所以O 是BC 中点，如图Rt ABC 中，1AB =，1OA OB OC ===，所以30C =︒，22213AC =-=，所以23cos303CA CB ⋅=⨯︒=．故答案为：3．【点睛】本题考查向量的数量积，解题关键由已知数量积为0得出直角三角形，由向量的线性运算得出O 是BC 中点．20．【分析】由向量坐标的数乘及加减法运算求出与然后利用向量共线的坐标表示列式求解【详解】解：由向量和所以由与平行所以解得故答案为：【点睛】本题考查了平行向量与共线向量考查了平面向量的坐标运算属于基础题 解析：12- 【分析】由向量坐标的数乘及加减法运算求出ma b +与2a b -，然后利用向量共线的坐标表示列式求解．【详解】解：由向量(2,3)a =和(1,2)b =-，所以()()()2,31,221,32m m m b m a ++=-=-+，()()()22,321,24,1a b -=--=-，由ma b +与2a b -平行，所以4(32)(21)0m m ++-=．解得12m =-． 故答案为：12-． 【点睛】 本题考查了平行向量与共线向量，考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．三、解答题21．（1）32λ=-；（2）(－7，－2)；（3）(10，7)． 【分析】 （1）AE =k EC ， 得到()()12121k e k e λ+=--.由12,e e 不共线，得到12010k k λ+=⎧⎨--=⎩，求解得到λ的值；（2）利用平面向量的坐标运算计算即可；（3）设A (x ，y )，由AD BC =，利用向量的坐标运算求解即可.【详解】（1）()()()12121221AE AB BE e e e e e e λλ=+=++-+++＝.因为A ，E ，C 三点共线，所以存在实数k ，使得AE =k EC ，即()()121212e e k e e λ++=-+，得()()12121k e k e λ+=--.因为12,e e 是平面内两个不共线的非零向量，所以12010k k λ+=⎧⎨--=⎩解得13,λ22k =-=-. （2）()()()12136,31,17,22BE EC e e +=--=--+-=--． （3）因为A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形， 所以AD BC =.设A (x ，y )，则()35AD x y =--，， 因为()7,2BC =--，所以3752x x -=-⎧⎨-=-⎩解得107x y =⎧⎨=⎩即点A 的坐标为(10，7)．【点睛】本题考查平面向量的基本定理的应用，平面向量的坐标运算，属基础题.根据平面向量的基本定理中的唯一性可得若12,e e 不共线，由12xe ye =，则0x y ==.这是在已知三点共线或向量共线求参数值的常用方法.22．（1）11 62OR a b=+；（2）171,422⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）利用,,A R Q三点共线和,,B R P三点共线，结合平面向量共线定理，可构造方程组求得结果；（2）设BHtBA=，利用0BH AB⋅=，结合平面向量线性运算将两个向量转化为用,a b表示的向量，利用平面向量数量积的运算律可整理得到t关于cosθ的函数形式，利用cosθ的范围即可求得结果.【详解】（1）设OR OA OQλμ=+，,,A R Q三点共线，1λμ∴+=，又:3:2OQ QB=，35OQ OB∴=，35OR OA OBμλ∴=+；设OR mOP nOB=+，同理可得：1m n+=，3mOR OA nOB=+，,OA OB不共线，335mnλμ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，51331m nm n⎧+=⎪∴⎨⎪+=⎩，解得：1212mn⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，1162OR OA OB∴=+，即1162OR a b=+.（2）设BHtBA=，则BH tBA=，()()1162RH BH BR tBA OR OB t OA OB OA OB⎛⎫=-=--=---⎪⎝⎭11116262t OA t OB t a t b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又AB OB OA b a =-=-，BH AB ⊥，0BH AB ∴⋅=，()2211112262623t a t b b a t a t b t a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-+-⋅-=-+-+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦14134244cos 54cos cos 06363t t t t t θθθ⎛⎫=-+-+-=-+-= ⎪⎝⎭， 整理可得：134cos 138cos 136354cos 3024cos 33024cos t θθθθθ--===+---， 2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，11cos ,22θ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦，171,422t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦， 即BHBA 的取值范围为171,422⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】思路点睛：本题考查了平面向量线性运算和数量积运算的综合应用，处理数量积运算问题时，通常利用线性运算将所求向量进行等价转化，利用模长和夹角已知的两个向量来表示所求向量，如本题中利用,a b 表示出,BH AB ，再结合数量积的运算律来进行求解. 23．（1）2C 3π=；（2）. 【分析】（1）根据向量m n ⊥得到22sin sin (sin sin )sin 0B C A B B -++=，再由正弦定理将边化为角的表达式，结合余弦定理求得角C 的值．（2）利用正弦定理求的△ABC 的外接圆半径，将2a b +表示成A 与B 的三角函数式，利用辅助角公式化为角A 的函数表达式；再由角A 的取值范围求得2a b +的范围．【详解】（1）∵m n ⊥∴0m n ⋅=∴22sin sin (sin sin )sin 0B C A B B -++=∴222c a b ab =++∴1cos 2C =-又()0,C π∈ . ∴23C π= . （2）∵23C π=，c =∴△ABC 外接圆直径2R=2∴24sin 2sin a b A B +=+4sin 2sin 3A A π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭4sin sin A A A =+-3sin A A =6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ∵0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ∴,662A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭∴1sin ,162A π⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴2a b +的取值范围是. 【点睛】 本题考查了向量垂直的坐标表示，正弦定理、余弦定理的综合应用，辅助角公式化简三角函数表达式，知识点多，较为综合，属于中档题．24．（1）32；（2）1t =-，31,2e ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，或31,2e ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. 【分析】 （1）对27a b +=进行平方，利用数量积公式可求得b ；（2）根据向量坐标运算的夹角公式可求得t ，设单位向量e 的坐标根据模长和共线可得答案. 【详解】（1）向量a ，b 的夹角是23π，由27a b +=得()()()22222224144cos 73a b a b a b b b π+=++⋅=++=， 解得32b =，1b =-舍去，所以32b =. （2）()2,0a =，(),3b t =，由向量a ，b 的夹角是23π得221cos 322ta b π===-⨯⨯，解得1t =-，1t =舍去， 因为(2,3)(3,a b t -=--=，设单位向量(,)e x y =，所以221x y +=，又e 与a b -共线，所以3y =，求得212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以31,2e ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，或31,2e ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了向量的数量积、夹角、模长的运算，考查了向量的坐标运算及单位向量.25．（1）23π；（23） 【分析】（1）将已知条件中的式子展开，利用公式求得6a b ⋅=-，根据向量夹角公式求得1cos 2θ=-，结合角的范围，求得结果； （2）利用向量的模的平方和向量的平方是相等的，从而求得结果；（3）根据向量所成角，求得三角形的内角，利用面积公式求得结果.【详解】（1）因为(23)(2)61a b a b -⋅+=， 所以2244361a a b b -⋅-=. 又4,3a b ==，所以6442761a b -⋅-=，所以6a b ⋅=-， 所以61cos 432a b a bθ⋅-===-⨯. 又0≤θ≤π，所以23πθ=. （2）2222()2a b a b a a b b +=+=+⋅+ ＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以13a b +=； （3）因为AB 与BC 的夹角23πθ=， 所以∠ABC ＝233πππ-=. 又4,3AB a BC b ====，所以S △ABC ＝13433322⨯⨯⨯=. 【点睛】 该题考查的是有关向量与解三角形的综合题，涉及到的知识点有向量数量积，向量夹角公式，向量的平方和向量模的平方是相等的，三角形面积公式，属于简单题目.26．（Ⅰ）32-；（Ⅱ）1. 【分析】(I ）建立坐标系，求出向量坐标，代入数量积公式计算；(II ）利用向量坐标运算，得到三角函数，根据三角函数求出最大值.【详解】（Ⅰ）()AB BC AB AC AB →→→→→⋅=⋅- 213122AB AC AB →→→=⋅-=--=-. （Ⅱ）建立如图所示的平面直角坐标系，则(1,0)B ，13(,)22C -. 设(cos ,sin )P θθ，[0,]3θ2π∈，由AP x AB y AC →→→=+， 得13(cos ,sin )(1,0)(2x y θθ=+-. 所以3cos ,sin 2y x y θθ=-=. 所以3cos sin 3x θθ=+，33y θ=， 2232311sin cos sin 2cos 233333xy θθθθθ=+=+- 2311(2cos 2)323θθ=-+21sin(2)363πθ=-+， 因为2[0,]3πθ∈，72[,]666πππθ-∈-. 所以，当262ππθ-=，即3πθ=时，xy 的最大值为1. 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算，向量的坐标运算，正弦型函数的图象与性质，属于中档题．。
(常考题)北师大版高中数学必修四第二章《平面向量》检测(有答案解析)(1)
一、选择题1．设向量a ，b ，c 满足||||1a b ==，12a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-=，则||c 的最小值是（ ） A ．31+ B ．312- C ．3 D ．12．已知向量()1,2a =，()2,3b =-，若向量c 满足()//c a b +，()c a b ⊥+，则c =（ ） A ．7793⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．7739⎛⎫-- ⎪⎝⎭，C ．7739⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．7793⎛⎫-- ⎪⎝⎭，3．在AOB ∆中，0,5,25,OA OB OA OB AB ⋅===边上的高为,OD D 在AB 上，点E 位于线段OD 上，若34OE EA ⋅=，则向量EA 在向量OD 上的投影为（ ） A ．12或32B ．1C ．1或12D ．324．已知a ，b 是单位向量，a •b =0．若向量c 满足|c a b --|＝1，则|c |的最大值为（ ） A ．21-B ．2C ．21+D ．22+5．已知20a b =≠，且关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( ) A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =．若有(7,16)λ∈，则在正方形的四条边上，使得PE PF λ=成立的点P 有（ ）个．A ．2B ．4C ．6D ．07．已知两个非零向量a ，b 的夹角为23π，且=2a b -，则·ab 的取值范围是（ ）A ．2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．[)2,0-C ．2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．[)1,0-8．已知ABC ∆为等边三角形，则cos ,AB BC =( )A ．B ．12-C ．12D 9．直线0ax by c与圆22:4O x y +=相交于M ，N 两点，若222c a b =+，P 为圆O 上任意一点，则PM PN ⋅的取值范围为（ ）A ．[2,6]-B ．[]2,4-C ．[]1,4D ．[1,4]-10．在直角梯形ABCD 中，0AD AB ⋅=，30B ∠=︒，AB =2BC =，13BE BC =，则（ ）A ．1163AE AB AD =+ B ．1263AE AB AD =+ C ．5163AE AB AD =+ D ．5166AE AB AD =+ 11．已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是（ ） A ．a b ⋅B ．a c ⋅C ．b c ⋅D ．不能确定12．已知正项等比数列{}n a ，若向量()28,a a =，()8,2b a =，//a b ，则212229log log log (a a a ++⋯+= )A ．12B ．28log 5+C ．5D ．18二、填空题13．已知向量1e ，2e 是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点P ，当12OP xe ye =+时，则称有序实数对(),x y 为点P 的广义坐标，若点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，对于下列命题： ① 线段A 、B 的中点的广义坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭； ② A 、B 两点间的距离为(12x x -③ 向量OA 平行于向量OB 的充要条件是1221x y x y =； ④ 向量OA 垂直于向量OB 的充要条件是12120x x y y +=. 其中的真命题是________（请写出所有真命题的序号） 14．在ABC 中，AB AC =，E ，F 是边BC 的三等分点，若3AB AC AB AC +=-，则cos EAF ∠=_______________15．设1e ，2e 是单位向量，且1e ，2e 的夹角为23π，若12a e e =+，122b e e =-，则a 在b 方向上的投影为___________．16．在ABC 中，90,6C CA CB ∠=︒==，P 为ABC 所在平面内一动点，则()CP AP BP ⋅+的最小值为________．17．已知向量a 、b 满足1a b +=，2a b -=，则a b +的取值范围为___________. 18．已知O 为ABC 内一点，且满足305OA OB OC =++，延长AO 交BC 于点D .若BD DC λ=，则λ=_____.19．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O .已知AC BC =，AC BC ⊥，AD BD ⊥，且O 是AC 的中点，若2AD AB CD CB ⋅-⋅=，则AC BD ⋅的值为__________.20．在ABC △中，已知4CA =，3CP =23ACB π∠=，点P 是边AB 的中点，则CP CA ⋅的值为_____.三、解答题21．平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=. （1）求32a b c +-；（2）求满足a mb nc =+的实数m 和n ； （3）若()(2)a kc b a +⊥-，求实数k .22．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，左顶点为A ，若122F F =，椭圆的离心率为12e =． （1）求椭圆的标准方程．（2）若P 是椭圆上的任意一点，求1PF PA ⋅的取值范围． 23．已知平面向量(6,19)a =-，(2,1)b =，(3,4)c =-. （1）求满足a mb nc =+的实数m ，n ； （2）若()(2)a kb c b +⊥-，求实数k 的值.24．如图，在OAB 中，P 为边AB 上的一点2BP PA =，6OA =，2OB =且OA 与OB 的夹角为60︒.（1）设OP xOA yOB =+，求x ，y 的值； （2）求OP AB ⋅的值.25．如图，在直角△ABC 中，点D 为斜边BC 的靠近点B 的三等分点，点E 为AD 的中点，3,6AB AC ==（1）用,AB AC 表示AD 和EB ； （2）求向量EB 与EC 夹角的余弦值．26．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足1cos cos sin sin 2b A C a B C b -=．（1）求B 的大小；（2）设1BA BC ⋅=-，D 为边AC 上的点，满足2AD DC =，求BD 的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】建立坐标系，以向量a ，b 的角平分线所在的直线为x 轴，使得a ，b 的坐标分别为3122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设c 的坐标为(),x y ，由已知可得223124x y ⎛-+= ⎝⎭，表示以3⎫⎪⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆，求出圆心到原点的距离，再减去半径即为所求解：建立坐标系，以向量a ，b 的角平分线所在的直线为x 轴，使得a ，b 的坐标分别为31,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,21⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，设c 的坐标为(),x y ， 因为()()0a c b c -⋅-=，所以3131,,022x y x y ⎛⎫⎛⎫--⋅---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得22314x y ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭， 表示以3,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆， 则||c 的最小值表示圆上的点到原点的距离的最小值， 因为圆到原点的距离为32，所以圆上的点到原点的距离的最小值为3122-，故选：B【点睛】此题考查平面向量的数量积运算，解题的关键是写出满足条件的对应的点，考查数学转化思想，考查数形结合的思想，属于中档题2．D解析：D 【分析】设出(,)c x y =，根据向量的共线与垂直的坐标运算，列出方程组，即可求解. 【详解】设(,)c x y =，向量()1,2a =，()2,3b =-，可得(1,2),(3,1)c a x y a b +=+++=-， 由()//c a b +，可得3(1)2(2)x y -⨯+=+，即3270x y ++=， 由()c a b ⊥+，可得30x y -=，联立方程组327030x y x y ++=⎧⎨-=⎩，解得77,93x y =-=-，即77(,)93c =--.【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量的共线与垂直的坐标运算及应用，其中解答中熟记向量的共线和垂直的坐标运算时解答的关键，着重考查推理与运算能力.3．A解析：A 【解析】Rt AOB 中，0OA OB ⋅=，∴2AOB π∠=，∵5OA =，25OB =|，∴225AB OA OB =+= ， ∵AB 边上的高线为OD ，点E 位于线段OD 上，建立平面直角坐标系，如图所示； 则)5,0A、(025B ，、设(),D m n ，则OAD BAO ∽，∴OA ADAB OA=， ∴1AD =，∴15AD AB =， 即()(155,255m n =-，，求得55m =， ∴452555D ⎛⎝⎭；则45254525,,5555OE OD λλλ⎛⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 45255,EA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎭；∵34OE EA ⋅=，∴2454525354λλλ⎛⎫⎛⎫⋅--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭， 解得34λ=或14λ=；∴向量EA 在向量OD 上的投影为()()45251,1ED OD OE λλ⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭，当34λ=时，551,2ED ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭；当14λ=时，35353,2ED ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭． 即向量EA 在向量OD 上的投影为12或32，故选A. 4．C解析：C 【分析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出． 【详解】∵|a |＝|b |＝1，且0a b ⋅=，∴可设()10a =，，()01b =，，()c x y ，=．∴()11c a b x y --=--，． ∵1c a b --=， ∴22(1)(1)1x y -+-=x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1．∴c 的最大值2211121=+=．故选C ． 【点睛】熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合是解题的关键．5．B解析：B 【分析】根据方程有实根得到24cos 0a a b θ∆=-≥，利用向量模长关系可求得1cos 2θ≤，根据向量夹角所处的范围可求得结果. 【详解】关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根 240a a b ∴∆=-⋅≥设a 与b 的夹角为θ，则24cos 0a a b θ-≥ 又20a b =≠ 24cos 0b b θ∴-≥ 1cos 2θ∴≤ 又[]0,θπ∈ ,3πθπ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦本题正确选项：B 【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围，从而根据向量夹角范围得到结果.6．B解析：B 【分析】建立坐标系，逐段分析·PE PF 的取值范围及对应的解． 【详解】以DC 为x 轴，以DA 为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则()()0,4,6,4E F ，（1）若P 在CD 上，设(,0),06P x x ≤≤，(,4),(6,4)PE x PF x ∴=-=-，2616PE PF x x ∴⋅=-+， [0,6],716x PE PF ∈∴≤⋅≤， ∴当=7λ时有一解，当716λ<≤时有两解；（2）若P 在AD 上，设(0,),06P y y <≤，(0,4),(6,4)PE y PF y ∴=-=-， 22(4)816PE PF y y y ∴⋅=-=-+， 06,016y PE PF <≤∴⋅<，∴当=0λ或4<<16λ时有一解，当716λ<≤时有两解； （3）若P 在AB 上，设(,6),06P x x <≤，(,2),(6,2)PE x PF x =--=--，264PE PF x x ∴⋅=-+， 06,54x PE PF <≤∴-≤⋅≤，∴当5λ=-或4λ=时有一解，当54λ-<<时有两解；（4）若P 在BC 上，设(6,),06P y y <<，(6,4),(0,4)PE y PF y ∴=--=-， 22(4)816PE PF y y y ∴⋅=-=-+，06y <<，016PE PF ∴⋅<，∴当0λ=或416λ≤<时有一解，当04λ<<时有两解，综上可知当(7,16)λ∈时，有且只有4个不同的点P 使得PE PF λ⋅=成立. 故选：B. 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算，二次函数的根的个数判断，属于中档题．7．C解析：C 【分析】对=2a b -两边平方后，结合2·cos 3a b a b π=⋅进行化简可得：224a b b +⋅+=；由基本不等式可得222a b a b +⋅，于是推出403a b<⋅，再结合平面向量数量积即可得解． 【详解】因为2a b -=，所以 2224a a b b -⋅+=，所以2222cos43b b a a π-⋅+=，即224a a b b +⋅+=， 由基本不等式的性质可知，222a b a b +⋅，403a b∴<⋅，所以212·cos ,0323a b a b a b π⎡⎫=⋅⋅=-⋅∈-⎪⎢⎣⎭． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查平面向量数量积运算，考查利用基本不等式求最值，难度一般.对于平面向量的模长问题，一般采用平方处理，然后结合平面向量数量积的运算公式求解即可．8．B解析：B 【分析】判断,AB BC 两向量夹角容易出错，是23π，而不是3π【详解】由图发现,AB BC 的夹角不是B 而是其补角23π，21cos ,cos32AB BC π<>==- 【点睛】本题考查的是两向量夹角的定义，属于易错题，该类型题建议学生多画画图.9．A解析：A 【分析】取MN 的中点A ，连接OA 、OP ，由点到直线的距离公式可得1OA =，于是推出1cos 2AON ∠=，1cos 2MON ∠=-，而||||cos 2OM ON OM ON MON ⋅=⋅∠=-，()()PM PN OM OP ON OP ⋅=-⋅-()224cos OM ON OPOP OM ON AOP =⋅+-⋅+=-∠，其中cos [1,1]AOP ∠∈-，从而得解. 【详解】解：取MN 的中点A ，连接OA 、OP ，则OA MN ⊥，∵222c a b =+，∴点O 到直线MN 的距离221OA a b==+，在Rt AON 中，1cos 2OA AON ON ∠==， ∴2211cos 2cos 12122MON AON ⎛⎫∠=∠-=⨯-=- ⎪⎝⎭， ∴1||||cos 2222OM ON OM ON MON ⎛⎫⋅=⋅∠=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭， ∴()()PM PN OM OP ON OP ⋅=-⋅-2()OM ON OP OP OM ON =⋅+-⋅+24222||||cos OP OA OP OA AOP =-+-⋅=-⋅∠24cos AOP =-∠，当OP ，OA 同向时，取得最小值，为242-=-； 当OP ，OA 反向时，取得最大值，为246+=. ∴PM PN ⋅的取值范围为[]2,6-. 故选：A. 【点睛】本题考查点到直线距离公式、向量的数量积运算、直线与圆的方程，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查运算求解能力.10．C解析：C 【分析】先根据题意得1AD =，3CD =2AB DC =，再结合已知和向量的加减法运算求解即可得的答案. 【详解】由题意可求得1AD =，3CD =所以2AB DC =， 又13BE BC =， 则()1133AE AB BE AB BC AB BA AD DC =+=+=+++ 1111333AB AD DC ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭1111336AB AD AB ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭115116363AB AD AB AD ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题考查用基底表示向量，考查运算能力，是基础题.11．C解析：C 【分析】由0a b c ++=，可得2222222().2()a b c a b b c a b c =-+=-+、2222()a c b a c =-+，利用||||||a b c <<，即可比较． 【详解】解：由0a b c ++=，可得()c a b =-+，平方可得2222()a b c a b =-+． 同理可得2222()b c a b c =-+、2222()a c b a c =-+，||||||a b c <<，∴222a b c <<则a b 、b c 、a c 中最小的值是b c ． 故选：C ． 【点睛】本题考查了向量的数量积运算，属于中档题．12．D解析：D 【分析】本题先根据平行向量的坐标运算可得2816a a =，再根据等比中项的知识，可计算出54a =，在求和时根据对数的运算及等比中项的性质可得到正确选项．【详解】解：由题意，向量()28,a a =，()8,2b a =，//a b 则28820a a ⨯-⨯=，即2816a a =，根据等比中项的知识，可得228516a a a ==， 50a >，54a ∴=，212229log log log a a a ∴++⋯+2129log ()a a a =⋯2192837465log [()()()()]a a a a a a a a a =925log a =29log 4=18=．故选：D ． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质应用，以及数列与向量的综合问题.考查了转化与化归思想，平行向量的运算，对数的计算，逻辑思维能力和数学运算能力.属于中档题.二、填空题13．①③【分析】根据点的广义坐标分别为利用向量的运算公式分别计算①②③④得出结论【详解】点的广义坐标分别为对于①线段的中点设为M 根据=（）=中点的广义坐标为故①正确对于②∵（x2﹣x1）A 两点间的距离为解析：①③ 【分析】根据点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，1112OA x e y e ∴=+，2122OB x e y e =+，利用向量的运算公式分别计算①②③④，得出结论.【详解】点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，1112OA x e y e ∴=+，2122OB x e y e =+，对于①，线段A 、B 的中点设为M ，根据OM =12（OA OB +）=12112211()()22x x e y y e +++ ∴中点的广义坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭,故①正确. 对于②，∵AB =（x 2﹣x 1）()1212e y y e +-，∴A 、B 12e ，故②不一定正确.对于③，向量OA 平行于向量OB ，则t OA OB =，即（11,x y ）=t ()22,x y ,1221x y x y ∴=，故③正确.对于④，向量OA 垂直于向量OB ，则OA OB =0，221211221121220x x e x y x y e e y y e ∴+++=（），故④不一定正确.故答案为①③. 【点睛】本题在新情境下考查了数量积运算性质、数量积定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．【分析】以ABAC 为邻边作平行四边形ABCD 根据得到再根据得到平行四边形ABCD 是菱形则设利用勾股定理分别求得的长度在中利用余弦定理求解【详解】如图所示：以ABAC 为邻边作平行四边形ABCD 则因为所 解析：1314【分析】以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABCD ，根据3AB AC AB AC +=-，得到3AD CB =， 再根据AB AC =，得到平行四边形ABCD 是菱形，则CB AD ⊥，设3CB =，利用勾股定理分别求得EF ，,AE AF 的长度，在AEF 中利用余弦定理求解. 【详解】 如图所示：以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABCD ，则,AB AC AD AB AC CB +=-=， 因为3AB AC AB AC +=-，所以3AD CB =，设3CB =3AD =， 因为AB AC =，所以平行四边形ABCD 是菱形， 所以CB AD ⊥，所以223333,22AB AC EF ⎛⎫⎛⎫==+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3AE AF ===，所以2222121113cos 21433AE AF EF EAF AE AF +-+-∠===⋅. 故答案为：1314【点睛】本题主要考查平面向量的平行四边形法则以及余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.15．【分析】根据平面向量数量积的定义求出与并计算出平面向量的模再利用公式即可求解【详解】由平面向量的数量积的定义可得即所以在方向上的投影为故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的定义以及向量的【分析】根据平面向量数量积的定义求出12e e ⋅与a b ⋅，并计算出平面向量b 的模b ，再利用公式，即可求解. 【详解】由平面向量的数量积的定义，可得1221211cos11()322e e e e π⋅=⋅=⨯⨯-=-， 222222111111()(2)22122a b e e e e e e e e ⋅=+-=+⋅-=--=，22221112221(2)4444()172e e e e e e b =-=-⋅+=-⨯-+=，即7b =，所以a 在b 方向上的投影为127a b b⋅==. 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的定义，以及向量的投影的应用，其中解答中熟记平面向量的数量积的计算公式，以及向量的投影的计算是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.16．【分析】建立坐标系利用向量的坐标运算公式将用的坐标表示利用配方法求得最小值【详解】由题意可建立如图所示的直角坐标系易知设则故当且仅当时取得等号∴所求最小值为故答案为：【点睛】本题考查向量的数量积的坐 解析：9-【分析】建立坐标系，利用向量的坐标运算公式将()CP AP BP ⋅+用(),P x y 的坐标表示，利用配方法求得最小值. 【详解】由题意可建立如图所示的直角坐标系，易知()()()6,0,0,6,0,0A B C ，设(),P x y ， 则(,),(6,),(,6)CP x y AP x y BP x y ==-=-，故2233()(26)(26)229922CP AP BP x x y y x y ⎛⎫⎛⎫⋅+=-+-=-+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 当且仅当32x y ==时取得等号， ∴所求最小值为9-， 故答案为：9-.【点睛】本题考查向量的数量积的坐标运算和配方法求最值，关键在于建立坐标系，用(),P x y 的坐标表达所求的向量的数量积，属中档题.17．【分析】易得结合可得又可得即可求解【详解】则则又故答案为：【点睛】本题考查向量模的取值范围的计算考查了向量模的三角不等式的应用考查计算能力属于中等题解析：5⎡⎣【分析】 易得()2225a b+=，结合()()22225a ba b+≤+=，可得5a b +≤.又a b a b +≥±，可得2a b ±≥，即可求解.【详解】1a b +=，2a b -=，2221a a b b ∴+⋅+=，2224a a b b -⋅+=，()2225a b∴+=，则()()22225a ba b+≤+=，则5a b +≤.又a b a b +≥±，2a b ∴+≥，25a b ∴≤+≤.故答案为：⎡⎣.【点睛】本题考查向量模的取值范围的计算，考查了向量模的三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.18．【分析】将已知条件转化为结合得到设列出关于的方程组由此求得【详解】由于所以所以即因为即化简得设所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理考查平面向量的线性运算考查化归与转化的数学思想解析：53【分析】将已知条件转化为1539AO AB AC =+，结合BD DC λ=，得到111AD AB AC λλλ=+++，设AO k AD =，列出关于,k λ的方程组，由此求得λ. 【详解】 由于305OA OB OC =++，所以()()350OA AB AO AC AO +-+-=，所以935AO AB AC =+，即1539AO AB AC =+. 因为BD DC λ=，即()AD AB AC AD λ-=-, 化简得111AD AB AC λλλ=+++， 设11k k AO k AD AB AC λλλ==+++， 所以113519k k λλλ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得53λ=.故答案为：53【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理，考查平面向量的线性运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.19．【分析】如图设先求出再根据得到再求的值得解【详解】如图四点共圆为圆的直径设所以由相交弦定理得在直角△中由勾股定理得在△中由余弦定理得因为所以又所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的 解析：3-【分析】如图，设12OA OC BC t ===，先求出,,OD AD CD ,再根据2AD AB CD CB ⋅-⋅=得到52t =，再求AC BD ⋅的值得解. 【详解】如图，,,,A B C D 四点共圆，AB 为圆的直径. 设12OA OC BC t ===，所以225AB t OB t ==，由相交弦定理得5OD =，在直角△AOD 中，由勾股定理得5AD =， 在△COD 中，由余弦定理得225tCD =.因为2AD AB CD CB ⋅-⋅=， 所以2222cos 2cos(180)255t t DAB t DAB ∠--∠=， 又cos 10AD DAB AB ∠==,所以5t =.所以212125=(2)(5)cos(180)35545AC BD t t t α⋅+-=-=-=-.故答案为：3- 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算，考查平面几何圆的知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．6【分析】根据平方处理求得即可得解【详解】在中已知点是边的中点解得则故答案为：6【点睛】此题考查平面向量的基本运算关键在于根据向量的运算法则求出模长根据数量积的运算律计算求解解析：6 【分析】 根据()12CP CA CB =+，平方处理求得2CB =，()12CP CA CA CB CA ⋅=+⋅即可得解. 【详解】在ABC △中，已知4CA =，3CP 23ACB π∠=，点P 是边AB 的中点， ()12CP CA CB =+ ()222124CP CA CB CA CB =++⋅ 211316842CB CB ⎛⎫⎛⎫=++⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2CB =则()()21111162462222CP CA CA CB CA CA CB CA ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=+⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：6 【点睛】此题考查平面向量的基本运算，关键在于根据向量的运算法则求出模长，根据数量积的运算律计算求解.三、解答题21．（1）6；（2）58,99m n ==；（3）1118k =-.【分析】（1）利用向量加法的坐标运算得到()320,6a b c +-=，再求模长即可；（2）先写mb nc +的坐标，再根据a mb nc =+使对应横纵坐标相等列方程组，解方程组即得结果；（3）利用向量垂直则数量积为零，再利用数量积的坐标运算列关系求出参数即可. 【详解】解：（1）由(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=，得3(9,6),(1,2),2(8,2)a b c ==-=∴()()32918,6220,6a b c +-=--+-=，∴23206a b c +-=+=；（2）()(),2,4,mb m m nc n n =-=， ∴()4,2mb nc n m m n +=-+，a mb nc =+，∴()4,2(3,2)a n m m n ==-+，故4322n m m n -=⎧⎨+=⎩，解得58,99m n ==；（3）(3,2),(4,)a kc k k ==，∴()34,2a kc k k +=++，(3,2),2(2,4)a b ==-，∴()25,2b a -=-，()()2a kc b a +⊥-，∴()()20a kc b a +⋅-=，即()()534220k k -+++=，解得1118k =-. 【点睛】 结论点睛：若()()1122,,,a x y b x y == ，则//a b 等价于12210x y x y -=；a b ⊥等价于12120x x y y +=.22．（1）22143x y +=；（2）[0,12].【分析】（1）由椭圆的离心率及焦距，可得1,2c a ==，b =（2）设()00,P x y ，(2,0)A -，1(1,0)F -，再将向量的数量积转化为坐标运算，研究函数的最值，即可得答案；【详解】解：（1）由题意，∵122F F =，椭圆的离心率为12e =， ∴1,2c a ==， ∴b =∴椭圆的标准方程为22143x y +=． （2）设()00,P x y ，(2,0)A -，1(1,0)F -，∴()()22200001001232PF P x x y x A x y ⋅----+=+++=， ∵P 点在椭圆上，∴2200143x y +=，2200334y x =-， ∴21001354PF PA x x ⋅=++， 由椭圆方程得022x -≤≤，二次函数开口向上，对称轴062x =-<-，当02x =-时，取最小值0，当02x =时，取最大值12．∴1PF PA ⋅的取值范围是[0,12]． 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、向量数量积的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意问题转化为二次函数的最值问题. 23．（1）3m =，4n =；（2）203k =. 【分析】（1）根据a mb nc =+可得关于,m n 的方程组，解方程组后可得实数m ，n 的值. （2）求出,2a kb c b +-的坐标后，利用向量垂直的坐标形式可求实数k 的值.【详解】解：（1）由(2,)mb m m =，(3,4)nc n n =-得：(23,4)mb nc m n m n +=-+ 且(6,19)a mb nc =-=+ 所以236,419,m n m n -=-⎧⎨+=⎩得3m =，4n =.（2）因为(62,19)a kb k k +=-++，2(7,2)c b -=-，且()(2)a kb c b +⊥-，所以7(62)2(19)0k k -⨯-++⨯+=， 所以203k =. 【点睛】 如果()()1122,,,a x y b x y ==，那么：（1）若//a b ，则1221x y x y =；（2）若a b ⊥，则12120x x y y +=；24．（1）23x =，13y =；（2）623-. 【分析】（1）由向量的加减运算，可得()2233=+=+=+-OP OB BP OB BA OB OA OB ，进而可得答案.（2）用OAOB ，表示OP AB ⋅，利用向量数量积公式，即可求得结果.【详解】（1）因为2BP PA =，所以23BP BA =. ()22213333OP OB BP OB BA OB OA OB OA OB =+=+=+-=+. 又OP xOA xOB =-，又因为OA 、OB 不共线，所以，23x =，13y = （2）结合（1）可得： ()2133OP AB OA OB OB OA ⎛⎫⋅=+⋅- ⎪⎝⎭. 2222113333=⋅-+-⋅OA OB OA OB OA OB 22121333=⋅-+OA OB OA OB ， 因为6OA =，2OB =，且OA 与OB 的夹角为60︒. 所以22112162626232333OP AB ⋅=⨯⨯⨯-⨯+⨯=-. 【点睛】本题考查了向量的加减运算、平面向量基本定理、向量的数量积运算等基本数学知识，考查了运算求解能力和转化的数学思想，属于基础题目.25．（1）2133AD AB AC =+，2136EB AB AC =-，（2）7130- 【分析】（1）利用平面向量基本定理和向量的加减法法则进行求解即可（2）如图，以AC ，AB 所在的方向分别为x 轴，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，然后表示出向量EB 与EC 的坐标，再利用向量夹角的坐标公式求解【详解】解：（1）因为D 为斜边BC 的靠近点B 的三等分点， 所以1111()3333BD BC AC AB AC AB ==-=-， 所以2133AD AB BD AB AC =+=+， 因为E 为AD 的中点， 所以112111223336AE AD AB AC AB AC ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭， 所以2136EB AB AE AB AC =-=-, （2）1536EC AC AE AB AC =-=-+, 如图，以AC ，AB 所在的方向分别为x 轴，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系， 则(0,3),(6,0)B C ,所以21(1,2)36EB AB AC =-=-，15(5,1)36EC AB AC =-+=- ，所以(1)52(1)7EB EC ⋅=-⨯+⨯-=-，2222(1)25,5(1)26EB EC =-+==+-=设向量EB 与EC 夹角为θ，则7130cos 526EB ECEB EC θ⋅===⨯⋅【点睛】此题考查平面向量基本定理的应用，考查向量夹角公式的应用，考查计算能力，属于中档题26．（1）23B π=；（2）23. 【分析】（1）由正弦定理化简已知等式，结合sin 0B ≠，可得1cos cos sin sin 2A C A C -=，利用两角差的余弦函数公式，诱导公式，三角形内角和定理可求1cos 2B =-，结合范围由()0,B π∈，可得B 的值；（2）利用平面向量数量积的运算可求2ac =，由题意利用平面向量的运算可得2133BD BA BC =+，两边平方利用基本不等式可求BD 的最小值. 【详解】 （1）由sin sin sin a b c A B C ==，得1sin cos cos sin sin sin sin 2B AC A B C B -=， 又∵在ABC ∆中，sin 0B ≠， ∴1cos cos sin sin 2A C A C -=，即1cos()2A C +=，而A B C π++= ∴1cos 2B =-， 故23B π=. （2）cos 1BA BC ac B ⋅=⋅=-，∴2ac =， ∴1121()3333BD BA AD BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=+， ∴222414999BD BA BC BA BC =++⋅22414444999999c a ac =+-≥-=， ∴23BD ≥，当且仅当2a c =时取到． 故BD 的最小值为23. 【点睛】 本题主要考查了正弦定理，两角差的余弦函数公式，诱导公式，三角形内角和定理，平面向量的运算以及基本不等式的应用，考查了转化思想，属于中档题．。
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第二章平面向量测试题
一、选择题: (本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1．设点P（3，-6），Q（-5，2），R的纵坐标为-9，且P、Q、R三点共线，则R点的横坐标为（）。
A、-9
B、-6
C、9
D、6 2．已知=(2,3), b=(-4,7)，则在b上的投影为（）。
A、 B、C、D、
5．已知| |=4, |b|=3, 与b的夹角为60°，则| +b|等于（）。
A、 B、 C、 D、
6．已知O、A、B为平面上三点，点C分有向线段所成的比为2，则（）。
A、 B、
C、 D、
7．O是ΔABC所在平面上一点，且满足条件，则点O是ΔABC的（）。
A、重心
B、垂心
C、内心
D、外心8．设、b、均为平面内任意非零向量且互不共线，则下列4个命题：(1)( ·b)2= 2·b2(2)| +b|≥| -b| (3)| +b|2=( +b)2
(4)(b) -(a)b与不一定垂直。
其中真命题的个数是（）。
A、1
B、2
C、3
D、4
9．在ΔABC中，A=60°，b=1，，则等于（）。
A 、
B 、
C 、
D 、
10．设 、b 不共线，则关于x 的方程 x 2
+b x+ =0的解的情况是（ ）。
A 、至少有一个实数解 B 、至多只有一个实数解 C 、至多有两个实数解 D 、可能有无数个实数解 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，满分16分.）.
11．在等腰直角三角形ABC 中，斜边AC=22，则CA AB =_________
12．已知ABCDEF 为正六边形，且AC =a ，AD =b ，则用a ，b 表示AB 为______.
13．有一两岸平行的河流，水速为1，速度为
的小船要从河的一边驶
向对岸，为使所行路程最短，小船应朝________方向行驶。
14．如果向量 与b 的夹角为θ，那么我们称 ×b 为向量 与b 的“向量积”， ×b 是一个向量，它的长度| ×b |=| ||b |sin θ，如果| |=3, |b |=2, ·b =-2，则| ×b |=______。
三、解答题：（本大题共4小题，满分44分.） 15．已知向量 =
, 求向量b ，使|b |=2| |，并且 与b 的夹角
为 。
（10分）
16、已知平面上3个向量 、b 、 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120。
(1) 求证：( -b )⊥ ;
(2)若|k +b+ |>1 (k∈R), 求k的取值范围。
（12分）
17．（本小题满分12分)
已知e1，e2是两个不共线的向量，=e1+e2，=-λe1-8e2, =3e1-3e2,若A、B、D三点在同一条直线上，求实数λ的值.
18．某人在静水中游泳，速度为43公里/小时，他在水流速度为4公里/
小时的河中游泳.
(1)若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？
(2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？
平面向量测试题
参考答案
一、选择题：
1. D. 设R(x, -9), 则由得(x+5)(-8)=-11×8, x=6.
2. C. ∵|b| , ∴| | =
.
3. A. 平移后所得向量与原向量相等。
4．A．由(a+b+c)(b+c-a)=3bc, 得a2=b2+c2-bc, A=60°.
sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC，得cosBsinC=0, ∴ΔABC是直角三角形。
5．D．.
6. B
7. B. 由，得OB ⊥CA，同理OA⊥BC，∴O是ΔABC的垂心。
8．A．(1)(2)(4)均错。
9．B．由，得c=4, 又a2=b2+c2-2bccosA=13,
∴.
10．B．- =x2+x b，根据平面向量基本定理，有且仅有一对实数λ
和μ，使- =λ+μb。
故λ=x2, 且μ=x,
∴λ=μ2，故原方程至多有一个实数解。
二、填空题
11. 4
12.. 13. 与水流方向成135°角。
14．。
·b=| ||b|cosθ,
∴ , | ×b |=| ||b |sin
三、解答题
15
．
由
题
设
,
设 b =
, 则由
,得
. ∴ ,
解得 sin α=1或 。
当sin α=1时，cos α=0；当 时， 。
故所求的向量
或。
16．(1) ∵向量 、b 、 的模均为1，且它们之间的夹角均为120°。
∴
, ∴( -b )⊥ .
(2) ∵|k +b + |>1, ∴ |k +b + |2
>1, ∴k 2
2
+b 2
+ 2
+2k ·b +2k · +2b · >1,
∵
,
∴k 2
-2k>0, ∴k<0或k>2。
17．解法一：∵A 、B 、D 三点共线
∴AB 与AD 共线，∴存在实数k ,使AB =k ·AD 又∵+-=++= =(λ+4)e 1+6e 2.
∴有e 1+e 2=k (λ+4)
e 1+6k e 2
∴有⎩⎨⎧==+161)4(k k λ ∴⎪⎩⎪
⎨⎧==2
61λk
解法二：∵A 、B 、D 三点共线 ∴AB 与BD 共线， ∴存在实数m ,使BD m AB = 又∵CB CD BD -==(3+λ)e 1+5e 2 ∴(3+λ)m e 1+5m e 2=e 1+e 2
∴有⎩⎨⎧==+151)3(m m λ ∴⎪⎩⎪
⎨⎧
==2
51λm
18、解：(1)如图①，设人游泳的速度为OB ，水流的速度为OA ，以OA 、
OB 为邻边作OACB ，则此人的实际速度为OC OB OA =+
图① 图②
由勾股定理知||=8
且在Rt △ACO 中，∠COA =60°,故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8公里/小时.
(2)如图②,设此人的实际速度为，水流速度为，则游速为
OA
OD AD -=，在Rt
△AOD 中，
3
3
cos ,24||,4||,34||=
===DAO OD OA AD . ∴∠DAO =arccos
3
3
. 故此人沿与河岸成arccos
3
3
的夹角逆着水流方向前进，实际前进的速度大小为42公里/小时.
3．设点A （1，2），B （3，5），将向量 按向量 =（-1，-1）平移后得
向量
为（ ）。
A 、（2，3）
B 、（1，2）
C 、（3，4）
D 、（4，7）。