北师大必修4《平面向量》测试题及答案
(常考题)北师大版高中数学必修四第二章《平面向量》检测(包含答案解析)
一、选择题1．已知a 与b 的夹角为60，4a =，则a b λ-(R λ∈)的最小值为（ ） A ．23B ．72C ．103D ．4332．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，5cos 6A =，若O 为ABC ∆的外心（即三角形外接圆的圆心），且AO mAB nAC +=，则2n m -=（ ） A ．199B ．4122-C ．111-D ．17113．如下图，四边形OABC 是边长为1的正方形，点D 在OA 的延长线上，且2OD =，点P 为BCD 内(含边界)的动点，设(,)OP OC OD R αβαβ=+∈，则αβ+的最大值等于( )A ．3B ．2C ．52D ．324．在ABC 中，4A π=，3B π=，2BC =，AC 的垂直平分线交AB 于D ，则AC CD ⋅=（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．35．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =．若有(7,16)λ∈，则在正方形的四条边上，使得PE PF λ=成立的点P 有（ ）个．A ．2B ．4C ．6D ．06．已知a ，b 为单位向量，2a b a b +=-，则a 在a b +上的投影为（ ）A ．13B ．26C 6D ．237．在ABC 中，||:||:||3:4:5AB AC BC =，圆O 是ABC 的内切圆，且与BC 切于D 点，设AB a =，AC b =，则AD =（ ）A ．2355a b + B ．3255a b + C．2133a b +D ．1233a b +8．已知O 是三角形ABC 内部一点，且20OA OB OC ++=，则OAB ∆的面积与OAC∆的面积之比为（ ） A ．12B ．1C ．32D ．29．设O 为ABC 内一点,已知2332OA OB OC AB BC CA ++=++,则::AOB BOC COA S S S ∆∆∆= （ ）A ．1:2:3B ．2:3:1C ．3:1:2D ．3:2:110．已知等边ABC 的边长为2，若3BC BE =，AD DC =，则BD AE ⋅等于（ ） A ．103B ．103-C ．2D ．2-11．在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，点E 是AB 边上的中点，点F 是BC 边上的动点，则DE DF ⋅的取值范围是（ ）A ．0,3⎡⎤⎣⎦B ．3,3⎡⎤⎢⎥⎣ C ．3,3⎡⎤⎣⎦D ．[]0,312．设非零向量a 与b 的夹角是23π，且a a b =+，则22a tb b+的最小值为（ ）A ．33B ．32C ．12D ．1二、填空题13．在矩形ABCD 中，已知E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且满足2BE EC =，3CFFD ．若(),AC AE AF R λμλμ=+∈，则λμ+的值为______．14．如图，已知四边形ABCD ，AD CD ⊥，AC BC ⊥，E 是AB 的中点，1CE =，若//AD CE ，则AC BD ⋅的最小值为___________.15．圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若2AB AC AO +=，且OA AC =，则向量BA 在向量BC 方向上的投影为_____.16．把单位向量OA 绕起点O 逆时针旋转120︒，再把模扩大为原来的3倍，得到向量OB ，点C 在线段AB 上，若12AC CB =，则OC BA ⋅的值为__________． 17．已知3a =，2b =，()()2318a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为________. 18．已知平面非零向量,,a b c 两两所成的角相等，1a b c ===，则a b c ++的值为_____．19．若点O 和点F 分别为椭圆24x ＋23y ＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ·FP 的最大值为________.20．已知平面向量a ，b 满足1a =，2a b -与2b a -的夹角为120°，则2b 的最大值是_______.三、解答题21．已知||4,||2a b ==，且a 与b 夹角为120︒， 求：（1）||a b +； （2）a 与a b +的夹角. 22．设非零向量a ，b 不共线.（1）若(),1a t =，()5,b t =，且//a b ，求实数t 的值；（2）若OA a b =+，2OB a b =+，3OC a b =+.求证：A ，B ，C 三点共线. 23．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中(1,2)a = （1）若||25c =，且//c a ，求c 的坐标； （2）若5||2b =，且2 a b +与2a b -垂直，求a 与b 的夹角θ. 24．已知向量()cos ,sin m x x =-，()3,3n =，[]0,x π∈. （1）若m 与n 共线，求tan x 的值； （2）若m 与n 的夹角为3π，求x 的值. 25．已知||1a =，||2b =.（1）若向量a 与向量b 的夹角为135︒，求||a b +及b 在a 方向上的投影； （2）若向量a b -与向量a 垂直，求向量a 与b 的夹角. 26．平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=.（1）求32a b c +-；（2）求满足a mb nc =+的实数,m n 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据向量的模的表示方法得22222a b a a b b λλλ-=-⋅+，再配方即可得答案. 【详解】解：根据向量模的计算公式得：()()222222216421212a b a a b b b bb λλλλλλ-=-⋅+=-+=-+≥，当且仅当2b λ=时等号成立；所以23a b λ-≥，当且仅当2b λ=时等号成立； 故选：A. 【点睛】方法点睛：向量模的计算公式：22a a a a =⋅=2．D解析：D 【分析】设,D E 分别为,AB AC 的中点，连接,OD OE ，则OD AB ⊥，OE AC ⊥，从而得到·0?0OD AB OE AC ==，，坐标化构建m ，n 的方程组，解之即可.【详解】设,D E 分别为,AB AC 的中点，连接,OD OE ，则OD AB ⊥，OE AC ⊥，又OD AD AO =-，即11222mOD AB mAB nAC AB nAC -=--=-， 同理122nOE AE AO AC mAB -=-=-， 因为212·||?02mOD AB AB nAB AC -=-=， 所以124502m n -⨯-=，又212·||?02nOE AC AC mAB AC -=-=，所以12950 2nm-⨯-=，联立方程组124502129502mnnm-⎧⨯-=⎪⎪⎨-⎪⨯-=⎪⎩，解得922811mn⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以17211n m-=.故选D【点睛】本题考查了数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、三角形外心的性质、向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．D解析：D【分析】以O为原点，边OA和OC所在的直线分别为x和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设(),P x y，易得1,2y xαβ==，则12x yαβ+=+，再将原问题转化为线性规划问题，求目标函数12x y+在可行域BCD内(含边界)的最大值，即可求出结果．【详解】以O为原点，边OA和OC所在的直线分别为x和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则()()0,1,2,0C D，如下图所示：设(),P x y，∵(,)OP OC OD Rαβαβ=+∈，∴()()(),0,12,0)2,(x yαββα=+=，∴2,x yβα==，即1,2y xαβ==，∴12x yαβ+=+，令1,2z x y=+则12y x z=-+，其中z为直线12y x z=-+在y轴上的截距，由图可知，当该直线经过点()1,1B 时，其在y 轴上的截距最大为32， ∴αβ+的最大值为32． 故选：D ． 【点睛】本题考查平面向量在几何中的应用，建立坐标系后，可将原问题转化为线性规划中的最值问题，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．4．C解析：C 【分析】由AC 的垂直平分线交AB 于D ，且4A π=可得ACD △为等腰直角三角形，且4A ACD π∠=∠=，2ADC BDC π∠=∠=；进而由2BC =可求出,,DB CD AC 的长，从而求出AC CD ⋅的值. 【详解】解：因为AC 的垂直平分线交AB 于D 、4A π=，所以ACD △为等腰直角三角形，4A ACD π∠=∠=，2ADC BDC π∠=∠=，在BDC 中，3B π=，2BDC π∠=，2BC =，所以1,3BD CD ==，所以3AD CD ==，26AC CD ==，所以32cos63()342AC CD AC CD π⋅=⋅=⨯⨯-=-.故选：C. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，考查运算求解能力，属于基础题型.5．B解析：B 【分析】建立坐标系，逐段分析·PE PF 的取值范围及对应的解． 【详解】以DC 为x 轴，以DA 为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则()()0,4,6,4E F ，（1）若P 在CD 上，设(,0),06P x x ≤≤，(,4),(6,4)PE x PF x ∴=-=-，2616PE PF x x ∴⋅=-+， [0,6],716x PE PF ∈∴≤⋅≤， ∴当=7λ时有一解，当716λ<≤时有两解；（2）若P 在AD 上，设(0,),06P y y <≤，(0,4),(6,4)PE y PF y ∴=-=-， 22(4)816PE PF y y y ∴⋅=-=-+， 06,016y PE PF <≤∴⋅<，∴当=0λ或4<<16λ时有一解，当716λ<≤时有两解； （3）若P 在AB 上，设(,6),06P x x <≤，(,2),(6,2)PE x PF x =--=--，264PE PF x x ∴⋅=-+， 06,54x PE PF <≤∴-≤⋅≤，∴当5λ=-或4λ=时有一解，当54λ-<<时有两解；（4）若P 在BC 上，设(6,),06P y y <<，(6,4),(0,4)PE y PF y ∴=--=-， 22(4)816PE PF y y y ∴⋅=-=-+，06y <<，016PE PF ∴⋅<，∴当0λ=或416λ≤<时有一解，当04λ<<时有两解，综上可知当(7,16)λ∈时，有且只有4个不同的点P 使得PE PF λ⋅=成立. 故选：B. 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算，二次函数的根的个数判断，属于中档题．6．C解析：C 【分析】由题意结合平面向量数量积的运算可得13a b ⋅=，进而可得()b a a +⋅、a b +，代入投影表达式即可得解. 【详解】因为a ，b 为单位向量，所以1==a b ， 又2a b a b +=-，所以()()222a ba b +=-所以22222242a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，即121242a b a b +⋅+=-⋅+， 所以13a b ⋅=，则()2263a b a b+=+=，()243a a b a a b ⋅+=+⋅=，所以a 在a b +上的投影为()4326a a b a b⋅+==+ 故选：C. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用，考查了一个向量在另一个向量上投影的求解，属于中档题.7．B解析：B 【分析】由题得三角形是直角三角形，设3,4,5AB AC BC ===，设,=,,DB BF x AD AE y EC CF z =====求出,,x y z ，再利用平面向量的线性运算求解.【详解】因为||:||:||3:4:5AB AC BC =，所以ABC 是直角三角形，设3,4, 5.AB AC BC ===如图，设,=,,DB BF x AD AE y EC CF z =====由题得34,2,1,35x y y z x y z x z +=⎧⎪+=∴===⎨⎪+=⎩，所以2232()5555AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+3255a b =+. 故选：B 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．A解析：A 【解析】由题意，O 是'AB C ∆的重心，'2OB OB =，所以OAB ∆的面积与OAC ∆的面积之比为12．故选A ． 点睛：本题考查平面向量的应用．由重心的结论：若0OA OB OC ++=，则O 是ABC ∆的重心，本题中构造'AB C ∆，O 是'AB C ∆的重心，根据重心的一些几何性质，求出面积比值．9．B解析：B 【分析】根据23OA OB OC ++=32AB BC CA ++，化简得到12033OA OB OC ++=，设12,33OB OD OC OE ==，则O 为ADE 的重心，有AODAOEDOES SS==，则93,,232AOB BOC AOC S S S S S S ∆∆∆===求解. 【详解】由23OA OB OC ++=32AB BC CA ++，得233322OAOA OB OC OB OA OC OB OA OC ++=-+-+-， 整理得：320OA OB OC ++=，12033OA OB OC ∴++=，设12,33OB OD OC OE ==，则0OA OD OE ++=，即O 为ADE 的重心，AODAOEDOESSSS ∴===，则93,,232AOB BOC AOC S S S S S S ∆∆∆===， 93::3::2:3:122AOB BOC AOC S S S ∆∆∆∴==，故选：B. 【点睛】本题主要考查平面向量的平面几何中的应用，属于中档题.10．D解析：D 【分析】 根据题意得出()12BD BA BC =+，13AE BC BA =-，运用数量积求解即可． 【详解】解：等边△ABC 的边长为2，3BC BE =，AD DC =， ∴()12BD BA BC =+，1313A AB BE AB B E BC A C B =+=+=-， ∴()221111223233BD AE BA BC BC BA BC BA BC BA ⎛⎫⎛⎫+-=--⋅ ⎪ ⎪⎝=⎭⎝⎭， 112144222332⎛⎫=⨯⨯--⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭， 2=-．故选：D ．【点睛】本题考查了平面向量的运算，数量积的求解，关键是分解向量，属于中档题．11．D解析：D 【分析】把DE 用,DA DB 表示，由三点共线把DF 用,DC DB 表示，然后计算数量积，利用函数的知识得取值范围． 【详解】∵菱形ABCD 边长为2，60BAD ∠=︒，2BD =，∴22cos602DA DB DB DC ⋅=⋅=⨯⨯︒=，22cos1202DA DC ⋅=⨯⨯︒=-， ∵E 是AB 边上的中点，∴1()2DE DA DB =+， 点F 是BC 边上，设BF xBC =（01x ≤≤），则()(1)DF DB BF DB xBC DB x DC DB xDC x DB =+=+=+-=+-，DE DF ⋅1()(1)2DA DB xDC x DB ⎡⎤=+⋅+-⎣⎦21(1)(1)2xDA DC x DA DB xDB DC x DB ⎡⎤=⋅+-⋅+⋅+-⎢⎥⎣⎦ []122(1)24(1)3(1)2x x x x x =-+-++-=-， ∵01x ≤≤，∴03(1)3x ≤-≤． 故选：D. 【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是对动点F 引入参数x ：BF xBC=（01x ≤≤），这样所求数量积就可表示为x 的函数，从而得到范围．本题考查了向量共线的条件，属于中档题．12．B解析：B 【分析】利用向量a 与b 的夹角是23π，且a a b =+，得出a b a b ==+，进而将22a tb b+化成只含有t 为自变量的二次函数形态，然后利用二次函数的特性来求出最值. 【详解】对于a ，b 和a b +的关系，根据平行四边形法则，如图a BA CD ==，b BC =，a b BD +=,23ABC π∠=，3DCB π∴∠=， a a b =+，CD BD BC ∴==， a b a b ∴==+， 2222222==222a tb a tb a tb bbb+++，a b =，22222222244cos 223=224a t a b t b a tb a tb b b bπ++++=， 222222222244cos42312444a t a b t b a t a a t a t t baπ++-+==-+当且仅当1t =时，22a tb b+的最小值为3故选：B. 【点睛】本题考查平面向量的综合运用，解题的关键点在于把22a tb b+化成只含有t 为自变量的二次函数形态，进而求最值.二、填空题13．【分析】本题首先可根据题意得出然后将转化为再然后根据列出算式最后通过计算即可得出结果【详解】如图结合题意绘出图像：因为所以则故因为所以解得故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查向量的相关运算主要考查解析：13 10【分析】本题首先可根据题意得出23BE AD、14DF AB=，然后将AC AE AFλμ=+转化为2314AB ADλμλμ⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再然后根据AC AB AD=+列出算式，最后通过计算即可得出结果.【详解】如图，结合题意绘出图像：因为2BE EC=，3CF FD，所以2233BE BC AD，1144DF DC AB ，则23AE AB BE AB AD，14AF AD DF AD AB，故3142AB ADAC AE AF AD ABλμλμ⎛⎫⎛⎫=+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+4231AB ADλμλμ⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为AC AB AD=+，所以114213λμλμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得910λ=，25μ=，1310λμ+=，故答案为：1310.【点睛】关键点点睛：本题考查向量的相关运算，主要考查向量的三角形法则以及平行四边形法则的应用，考查计算能力，考查数形结合思想，是中档题.14．【分析】令结合题中已知条件得出通过根据数量积的概念以及二次函数的性质可得结果【详解】令因为所以又因为是的中点所以故可得所以当时取得最小值故答案为：【点睛】关键点点睛：将表示成根据几何关系将所需量用表解析：1-【分析】令ACD θ∠=，结合题中已知条件得出2CAD πθ∠=-，2CAB πθ∠=-，2sin AC θ=，22sin AD θ=，通过()AC BD AC BA AD ⋅=⋅+，根据数量积的概念以及二次函数的性质可得结果. 【详解】令ACD θ∠=，因为AD CD ⊥，AC BC ⊥，//AD CE ， 所以BCE θ∠=，2ACE CAD πθ∠=∠=-，又因为E 是AB 的中点，1CE =，所以2AB =，1CE =，CBA θ∠=，2CAB πθ∠=-，故可得2sin AC θ=，22sin AD θ=，所以()AC BD AC BA AD AC BA AC AD ⋅=⋅+=⋅+⋅2222sin 2cos 2sin 2sin cos 4sin 4sin 22ππθπθθθθθθ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-++⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2214sin 12θ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当21sin 2θ=时，AC BD ⋅取得最小值1-， 故答案为：1-. 【点睛】关键点点睛：将BD 表示成BA AD +，根据几何关系将所需量用θ表示，将最后结果表示为关于θ的函数.15．3【分析】根据向量关系即可确定的形状再根据向量投影的计算公式即可求得结果【详解】因为圆O 为△ABC 的外接圆半径为2若故可得是以角为直角的直角三角形又因为且外接圆半径是故可得则故向量在向量方向上的投影解析：3 【分析】根据向量关系，即可确定ABC 的形状，再根据向量投影的计算公式，即可求得结果.【详解】因为圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若2AB AC AO +=， 故可得ABC 是以角A 为直角的直角三角形.又因为OA AC =，且外接圆半径是2， 故可得224BC OA AC ===，则AB =，2AB cos ABC BC ∠==，故向量BA 在向量BC 方向上的投影为3AB cos ABC ⨯∠==. 故答案为：3. 【点睛】本题考查向量数量积的几何意义，属中档题.16．【分析】由题意可得与夹角为先求得则再利用平面向量数量积的运算法则求解即可【详解】单位向量绕起点逆时针旋转再把模扩大为原来的3倍得到向量所以与夹角为因为所以所以故答案为【点睛】本题主要考查平面向量几何 解析：116-【分析】由题意可得3OB =，OA 与OB 夹角为120︒，先求得1(2)3OC OA AC OA OB =+=+，则1(2)()3OC BA OA OB OA OB ⋅=+⋅-，再利用平面向量数量积的运算法则求解即可. 【详解】单位向量OA 绕起点O 逆时针旋转120︒，再把模扩大为原来的3倍，得到向量OB ， 所以3OB =，OA 与OB 夹角为120︒， 因为12AC CB =，所以111()(2)333OC OA AC OA AB OA OB OA OA OB =+=+=+-=+，所以()2211(2)()233OC BA OA OB OA OB OA OB OA OB ⋅=+⋅-=--⋅ 11291332⎡⎤⎛⎫=--⨯⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦116=-，故答案为116-. 【点睛】 本题主要考查平面向量几何运算法则以及平面向量数量积的运算，属于中档题. 向量的运算有两种方法：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）．17．【分析】本题先求再根据化简整理得最后求与的夹角为【详解】解：∵∴∵∴整理得：∴与的夹角为：故答案为：【点睛】本题考查运用数量积的定义与运算求向量的夹角是基础题解析：3π【分析】本题先求29a =，24b =，6cos ,a b a b ⋅=，再根据()()2318a b a b +⋅-=-化简整理得1cos ,2a b =，最后求a 与b 的夹角为3π.【详解】解：∵ 3a =，2b =， ∴ 229a a ==，224b b==，cos ,6cos ,a b a b a b a b ⋅=⋅⋅<>=<>，∵ ()()2318a b a b +⋅-=-，∴ ()()2223696cos ,6418a b a b aa b b a b +⋅-=-⋅-=-<>-⨯=-整理得：1cos ,2a b <>=， ∴a 与b 的夹角为：3π. 故答案为：3π 【点睛】本题考查运用数量积的定义与运算求向量的夹角，是基础题.18．3或0【分析】由于三个平面向量两两夹角相等可得任意两向量的夹角是或由于三个向量的模已知当两两夹角为时直接算出结果；当两两夹角为时采取平方的方法可求出三个向量的和向量的模【详解】由题意三个平面向量两两解析：3或0 【分析】由于三个平面向量两两夹角相等，可得任意两向量的夹角是0或120︒，由于三个向量的模已知，当,,a b c →→→两两夹角为0时，直接算出结果；当,,a b c →→→两两夹角为120︒时，采取平方的方法可求出三个向量的和向量的模． 【详解】由题意三个平面向量两两夹角相等，可得任意两向量的夹角是0或120︒， 当,,a b c →→→两两夹角为0时，,,a b c →→→方向相同，则3a b c →→→++=； 当,,a b c →→→两两夹角为120︒时，由于1a b c ===， 则2222222a b c a b c a b a c b c→→→→→→→→→++=+++⋅+⋅+⋅111211cos120211cos120211cos1200=+++⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒=，则20a b c →→→++=，∴0a b c →→→++=. 综上a b c →→→++的值为3或0. 故答案为：3或0. 【点睛】本题考查平面向量的模的求法，涉及向量的夹角和向量的数量积运算，解题的关键是理解向量夹角的定义，考查运算能力.19．6【分析】由椭圆方程得到FO 的坐标设P(xy)(－2≤x≤2)利用数量积的坐标运算将·转化为二次函数最值求解【详解】由椭圆＋＝1可得F(－10)点O(00)设P(xy)(－2≤x≤2)则·＝x2＋x解析：6 【分析】由椭圆方程得到F ，O 的坐标，设P (x ，y )(－2≤x ≤2)，利用数量积的坐标运算将OP ·FP 转化为二次函数最值求解. 【详解】由椭圆24x ＋23y ＝1，可得F (－1，0)，点O (0，0)，设P (x ，y )(－2≤x ≤2)，则OP ·FP ＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋321-4x⎛⎫ ⎪⎝⎭＝14x 2＋x ＋3 ＝14(x ＋2)2＋2，－2≤x ≤2， 当x ＝2时， OP ·FP 取得最大值6. 故答案为：6 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积及应用以及椭圆的几何性质和二次函数求最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20．【分析】设设则有联立四个方程令整理得到从方程有根判别式大于等于零求得结果【详解】设由题意可知则由与夹角为所以①且②③④因为联立①②③④令即整理得将其看作关于的方程若方程有解则有整理得解得因为所以的最解析：52【分析】设设2a b c =-，2b d a =-，则有cos120c d c d ⋅=︒，22(2)(2)522c d a b b a a b a b ⋅=-⋅-=⋅--，2222(2)44c a b a a b b =-=-⋅+，2222(2)44d b a b a b a =-=-⋅+，联立四个方程，令21,m b n a b =+=⋅，整理得到2228204330n mn m m -+-+=，从方程有根，判别式大于等于零求得结果.【详解】设2a b c =-，2b d a =-，由题意可知，则由c 与d 夹角为120︒， 所以cos120c d c d ⋅=︒，①且22(2)(2)522c d a b b a a b a b ⋅=-⋅-=⋅--，②2222(2)44c a b a a b b =-=-⋅+，③ 2222(2)44d b a b a b a =-=-⋅+，④因为11,cos1202a =︒=-， 联立①②③④，2222244104444b a b a a b b b a b a +-⋅=-⋅+⋅-⋅+，令21,m b n a b =+=⋅，即410m n -=2222168010044316161212129m mn n m mn m mn n n m n -+=---+++--，整理得2228204330n mn m m -+-+=，将其看作关于n 的方程，若方程有解，则有22(20)428(433)0m m m ∆=-⨯⨯-+≥，整理得2770m m -+≤，解得7722m +≤≤因为21m b =+，所以2b 的最大值是75122++-=，故答案为：52+. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关向量的问题，解题思路如下： （1）根据向量数量积的定义式求得两向量的数量积；（2）根据向量数量积运算法则求得其结果；（3）利用向量的平方与向量模的平方相等，得到等量关系式；（4）联立，从方程有根，判别式大于等于零，得到不等关系式，求得结果.三、解答题21．（1）2）6π. 【分析】（1）由已知利用向量的数量积的 定义可求||||cos120a b a b =︒，然后由222||()2a b a b a a b b +=+=++可求（2）设a 与a b +的夹角θ，代入向量的夹角公式2()cos ||||423a ab a a a b θ+==+⨯可求θ【详解】 解：（1）||4a =，||2b =，且a 与b 夹角为120︒∴1||||cos12042()42a b a b =︒=⨯⨯-=-∴222||()2164a b a b a a b b +=+=++=+-（2）设a 与a b +的夹角θ则2()3cos ||||42383a ab a a a b θ+====+⨯0θπ∴6πθ=.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的定义及向量的数量积的性质的简单应用，属于基础试题22．（1）2）证明见解析. 【分析】（1）利用平面向量的坐标运算和共线定理列方程求出t 的值； （2）根据条件得到2AC AB =且有公共点A ,即可得到结论. 【详解】解：（1）∵(),1a t =，()5,b t =，且//a b ，故250t t -=⇒=， 即实数t 的值为：5±；（2）证明：∵OA a b =+，2OB a b =+，3OC a b =+. ∴AB OB OA b =-=，2AC OC OA b =-=，即2AC AB =且有公共点A ， 故A ，B ，C 三点共线． 【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，用向量法证明三点共线，属于基础题． 23．（1）(2,4)或(2,4)--；（2）π. 【分析】（1）根据共线向量的坐标关系运算即可求解； （2）由向量垂直及数量积的运算性质可得52a b ⋅=-，再利用夹角公式计算即可. 【详解】（1）设(,)c x y =，||25c =且//c a ，222020x y x y ⎧+=∴⎨-=⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩或24x y =-⎧⎨=-⎩，(2,4)c ∴=或(2,4)c =--；（2）由 已知得(2)(2),(2)(2)0a b a b a b a b +⊥-∴+⋅-= ，即2252320,253204a ab b a b +⋅-=∴⨯+⋅-⨯=， 整理得52a b ⋅=-，cos 1||||a ba b θ⋅∴==-， 又[0,π]θ∈，πθ∴=. 【点睛】本题主要考查了共线向量的坐标运算，数量积的运算，夹角公式，属于中档题.24．（1）3-2）6π【分析】（13sin =-x x ，进而可得结果.（2）由平面向量的数量积可得3cos -x x ，进而可得结果. 【详解】（1）由//m n 3sin tan 3=-⇒=-x x x（2）13cos 3sin cos 132π⋅=-=⋅⋅=⨯m n x x m n 可得1sin()32x π-=-，因为2[0,],[,]333ππππ∈-∈-x x 所以366πππ-=-⇒=x x【点睛】本题考查了平面向量共线的坐标表示、平面向量数量积运算的坐标表示和三角恒等变换，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.25．（1）1a b +=；-1；（2）45︒.【分析】（1）根据平面向量数量积的运算律求出||a b +，再根据平面向量的几何意义求出b 在a 方向上的投影；（2）根据向量垂直，则数量积为零，即可得到1a b ⋅=，再根据夹角公式计算可得；【详解】 解：（1）由已知得2222()2121()212a b a b a a b b +=+=+⋅+=+⨯-+=，∴1a b +=； b 在a 方向上的投影为||cos1352(12b =-=- （2）由已知得()0a b a -⋅=，即20a a b -⋅=∴1a b ⋅=，∴[]2cos ,,0,212a b a b a b a b π⋅===∈⨯，， ∴向量a 与b 的夹角为45︒.【点睛】本题考查平面向量的数量积及夹角的计算，属于中档题.26．（1）()0,6（2）5,98.9m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【分析】（1）根据向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=，利用平面向量的加法和减法运算求解. （2）根据a mb nc =+，有()()()()3,21,24,14,2.m n m n m n =-+=-++再利用平面向量相等求解.【详解】（1）()()()3233,21,224,1a b c +-=+--，()()()()9,61,28,20,6=+--=，（2） a mb nc =+，()()()()3,21,24,14,2.m n m n m n ∴=-+=-++4322m n m n -+=⎧∴⎨+=⎩ ，解之得5989 mn⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。
北师大数学必修四第二章平面向量单元测试题
B、大小为5m，方向指向东南的位移记作 ，大小为5N，方向也指向东南的力记作 ，则 , 可视为两个相等的向量；
C、 ；
D、
4、已知向量 是两个不共线的单位向量，夹角为30o则下列向量共线的一组是（）
A、
B、
C、
D、
5、设 为两不共线的向量，则 与 共线的充要条件是（）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
8、在 中，有命题
① ；② ；③若 ，则 为等腰三角形；④若 ，则 为锐角三角形.
上述命题正确的是（）
A．①②B．①④C．②③D．②③④
9、已知向量 、 满足：| |=1，| |=2，| －2 |=2，则|2 + |=（）
A．21B． C． D．
10、已知 且点 在线段 延长线上，使 ，则点 坐标是（）
4、用向量法证明梯形的中位线平行于底边，长度为两底和的一半。
5、已知 顶点A（-1，-1），B（-1，3），C（2,-1）,试求 外接圆方程。
单元测试题答案
一、DADCC CACBD；
二、1、 2、-25；3、（-3，-4）；4、120°；
三、1、6或10；
2、x=2,y=3;
3、
４、
５、设ＢＣ中点为Ｐ，则Ｐ（ ，１）。
(A) (B) (C) (D)
6、下列说法中正确的序号是（）
①平面内只有互相垂直的单位向量可作为基底；
②两个非零向量平行，则他们所在直线平行；
③零向量不能作为基底中的向量；
④两个基底向量的数量积等于零.
(A)①③ (B)②④ (C)③ (D)②③
7、（03辽宁）已知四边形 是菱形，点 在对角线 上（不包括端点 、 ），则 （）
数学北师大版高中必修4北师大版—高中数学必修4第二章平面向量单元测试(含答案)
数学必修4第二章平面向量单元测试一、选择题：共10小题，每小题5分,总共50分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 下列说法中错误的是（ ）A ．零向量没有方向B ．零向量与任何向量平行C ．零向量的长度为零D ．零向量的方向是任意的 2. 下列命题正确的是（ ）A.向量与是两平行向量 C.若=,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形 B .若→a 、→b 都是单位向量则→a ＝→b D.两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3. 在平行四边形ABCD 中, BC +DC +BA 等于（ ） A. BC B . C.D.AC4. 已知A （m ，－n ），B （―m ，n ），点C 分所成的比为―2，那么点C 的坐标为（ ） A ．（m ，n ） B.（－3m ，3n ） C.（3m ，－3n ） D.（－m ，n ）5. 已知OA =(2,8), OB =(-7,2),则31AB 等于（ ） A.(3，2)B .(310,35--) C.(-3,-2)D.(-35,4) 6. 已知单位向量→a 、→b ，则下面正确的式子是（ ）A. →a ·→b ＝1 B. →a 2＝→b 2 C. →a ＝→b D. |→a |－|→b |＝→0 7. 下列命题正确的是（ ）A 、向量AB 的长度与向量BA 的长度相等。
B 、两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同。
C 、若非零向量AB 与是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线。
D 、若→a 平行→b 且→b 平行→c ，则→a 平行→c 。
8. 已知非零向量→a 、→b ，则|→a ＋→b |= |→a |＋|→b | 的充分必要条件是（ ） A 、→a 与→b 同向 B 、→a ＝→b C 、→a 与→b 平行 D 、 →a 与→b 反向 9. 已知||=5,||=8,则||的取值范围为 （ ）A 、（3,8）B 、[3,8]C 、 （3,13）D 、[3,13]10．F(x)=x 2+6x+11的图象按向量→a 平移得到y= x 2的图象，则向量→a ＝（ ） A 、（－3,2） B 、[3,2] C 、 （3,－2） D 、（－3,－2） 二、填空题：共5小题，每小题5分,总共25分,把答案填在题中横线上． 11. +BC +CA =0为“A 、B 、C 是三角形三个顶点”的 条件. 12. 已知P 点的内分点，且：＝：＝a,则a= 。
专题05：北师大版必修四第二章平面向量综合提升检测题
专题05：北师大版必修四第二章平面向量综合提升检测题一、单选题1．已知向量a =(3，4)，b =(k ，2-k )，且a ∥b ，则实数k ＝（ ） A ．8B ．－6C ．67D ．－432．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b +=（ ）ABC D ．133．若向量(3,0),(2,2)a b ==，则a 与b 夹角的大小是（ ）A ．0B ．4π C ．2π D ．34π 4．已知点()2,2A ，()6,1B -，则与向量AB 同向的单位向量为（ ） A ．43,55⎛⎫-⎪⎝⎭B ．34,55⎛⎫-⎪⎝⎭C ．43,55⎛⎫-⎪⎝⎭D ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭5．a →，b →为非零向量，且|a →＋b →|＝|a →|＋|b →|，则（ ） A ．a →∥b →，且a →与b →方向相同 B ．a →，b →是共线向量且方向相反 C ．a →＝b →D ．a →，b →无论什么关系均可6．在ABC 所在的平面上有一点P ，满足PA PB PC AB ++=，设BA a =，BC b =，则BP =（ ） A ．1233a b +B ．1233a b -C ．2133a b + D ．2133a b - 7．已知向量(1,2),(3,1)a b =-=-，则（ ） A ．//a bB ．a b ⊥C ．)a a /b /-(D ．()a a b ⊥-8．如图，在平行四边形ABCD 中，π3BAD ∠=，2AB =，1AD =，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM NCBC DCλ==，其中[]0,1λ∈，则AM AN ⋅的取值范围是A ．[]0,3B ．[]1,4 C ．[]2,5D ．[]1,79．在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN ＝12NC ，P 是BN 上的一点，若AP ＝m AB ＋29AC ，则实数m 的值为( ) A ．19 B ．13C ．1D ．310．已知向量(2,1)a =--，),2(b λ=，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）.A ．(1,4)(4,)-⋃+∞B ．(2,)+∞C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-11．已知向量()34OA =-，，()15O B A O +=-，，则向量OA 在向量OB 上的投影是（ ） A ．25B 25C ．25-D ．2512．面积为16的正方形ABCD 中，M 为平面上任意一点，若()()MA MB MC MD m +⋅+≥，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(],8-∞-B ．(],6-∞-C ．(],16-∞-D ．(],2-∞-二、填空题13．已知()2,3A ，()5,1B -，则与AB 方向相同的单位向量0a =___________. 14．若两个向量a 与b 的夹角为3π，且a 是单位向量，向量||2b =，2c a b =+，则向量c 与b 的夹角为__________．15．在平行四边形ABCD 中，26AD AB ==，60DAB ∠=，12DE EC →→=，12BF FC →→=.若2FG GE →→=，则AG BD →→⋅=_____________.16．已知向量a ，b 满足1a =，3b =，且a b ⊥，若向量c 满足2c a b a b --=-，则c 的最大值是______．三、解答题17．设向量13(cos ,sin )(02),,22a b αααπ⎛⎫=<=- ⎪ ⎪⎝⎭，且a 与b 不共线．（1）求证：()()a b a b +⊥-；（23a b +与3a b -的模相等，求α. 18．已知向量a 与向量b 的夹角为3π，且1a =，27a b -=. （1）求b ;（2）若()a ab λ⊥-，求λ.19．已知向量a ,b 满足||||1a b ==，|3(0,)ka b a kb k k R +=-∈． (1)求a b ⋅关于k 的解析式f(k)． (2)若//a b ，求实数k 的值． (3)求向量a 与b 夹角的最大值．20．已知向量()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=，()2,0c =. （1）求向量b c +的长度的最大值； （2）设3πα=，且()a b c ⊥+，求cos β的值.21．已知向量a 与b 的夹角为120︒，2a =，1b =. （1）若2a b -；（2）若()()2a tb a b +⊥-，求实数t 的值.22．已知向量()cos ,sin a θθ=，[]0,πθ∈，向量()3,1b =-．（1）若a b ⊥，求θ的值；．（2）若2a b m -<对任意[]0,πθ∈恒成立，求实数m 的取值范围．1【答案】C 【分析】根据两平行向量坐标之间的关系，得到方程，求解方程即可. 【详解】因为a ∥b ，所以有：63(2)47k k k -=⇒=. 故选：C 【点睛】本题考查了已知平行向量求参数问题，属于基础题. 2【答案】C 【分析】先由题意，求出a b ⋅，再由向量模的计算公式，即可求出结果. 【详解】因为a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60︒， 所以1cos602a b a b ⋅=⨯⨯=，因此22396931a b a a b b +=+⋅+=++=故选：C. 【点睛】本题主要考查求向量的模，熟记向量模的计算公式即可，属于基础题型. 3【答案】B 【分析】先由数量积的坐标运算，求出两向量的数量积，再由向量夹角公式，即可得出结果. 【详解】因为向量(3,0),(2,2)a b ==，所以326a b ⋅=⨯=，3a =，44b =+=因此6cos ,322a b a b a b⋅<>===⨯所以,4a b π<>=.故选：B.【点睛】本题主要考查求向量的夹角，熟记向量的夹角公式，以及向量数量积的坐标运算即可，属于基础题型. 4【答案】A 【分析】根据与向量AB 同向的单位向量为AB AB得出结果.【详解】由题意可得()4,3AB =-，()2435AB ∴=+-=，因此，与向量AB 同向的单位向量为143,555AB AB AB⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查同向的单位向量的求解，熟悉结论“与非零向量a 同向的单位向量为a a”的应用是解题的关键，考查计算能力，属于基础题. 5【答案】A 【分析】根据向量模的不等式等号成立的条件即可求解. 【详解】||||||a b a b →→→→+≤+等号成立的条件a →，b →共线且同向， ||||||a b a b →→→→∴+=+可得//a b →→，且a →与b →方向相同，故选：A 6【答案】C 【分析】由向量加减的三角形法则结合相反向量的定义，可得P 为线段AC 的一个三等分点，再根据向量的加减的几何意义即可求出答案. 【详解】解：∵PA PB PC AB ++=，∴2PC PA AB PB AP AB BP AP =-+-=++=；即2PC AP =；故点P 是CA 边上的第二个三等分点；()112121333333BP BA AP BA AC BA BC BA BA BC a b =+=+=+-=+=+；故选：C. 【点睛】本题考查向量的线性运算，掌握向量的加减法和数乘法则是解题基础． 7【答案】D 【分析】根据平面向量加法、减法的坐标运算和向量平行与垂直的坐标表示逐一判断选项，得到答案. 【详解】对A ，由1(1)(2)30⨯---⨯≠，故a 与b 不平行，A 错误； 对B ，由13(2)(1)0⨯+-⨯-≠，故a 与b 不垂直，B 错误；对C ，由()a b -(2,1)=--，则1(1)(2)(2)0⨯---⨯-≠，故a 与()a b -不平行，C 错误；对D ，由1(2)(2)(1)0⨯-+-⨯-=，则()a a b ⊥-，D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了平面向量加法、减法的坐标运算和向量平行与垂直的坐标表示，属于基础题. 8【答案】C 【解析】 因为BM NCBC DCλ==,所以BM BC λ=,NC DC λ=， 所以AM AN ⋅=()()AB BC AD DN λ+⋅+=()()AB BC AD AB DC λλ+⋅+-=()()1AB AD AD AB λλ⎡⎤+⋅+-⎣⎦=()()411AB AD AB AD λλλλ⋅+-++-⋅=()()1411λλλλ+-++-=225λλ--+. 当0λ=时,AM AN ⋅取得最大值5; 当1λ=时,AM AN ⋅取得最小值2,AM AN ⋅的取值范围是[]2,5.本题选择C 选项. 9【答案】B 【分析】根据向量的线性表示逐步代换掉不需要的向量求解. 【详解】 设NP NB λ= ，AP AN NP =+13AC NB λ=+=1()3AC NA AB λ++ 11()33AC AB λλ=-+ 所以112,339λ-= 所以1.3λ=故选B. 【点睛】本题考查向量的线性运算，属于基础题. 【答案】A 【分析】根据题意可知，0a b ⋅<且,a b 不共线，列式即可解出． 【详解】依题可得，0a b ⋅<且,a b 不共线，即()2202210λλ--<⎧⎨-⨯--⨯≠⎩，解得1λ>-且4λ≠．故选：A ． 【点睛】本题主要考查向量的数量积的定义的理解和应用，数量积的坐标表示以及向量不共线的坐标表示，属于基础题． 10【答案】A 【分析】先求出OB ，再由向量OA 在向量OB 上的投影为||OA OB OB ⋅计算得到.【详解】由向量()34OA =-，，()15O B A O +=-，，得(2,1)OB =，则向量OA 在向量OB 上的投影为||OA OB OB ⋅==. 故选：A.【点睛】本题考查了向量投影的理解与计算，属于基础题. 11【答案】C 【分析】以A 为原点建立平面直角坐标系，转化为向量数量积的坐标运算即可. 【详解】以A 为原点建立平面直角坐标系如下所示，则4AB =，()0,0A ，()4,0B ，()4,4C ，()0,4D ，(),M x y ， 则(),MA x y =--，()4,MB x y =--，()4,4MC x y =--，(),4MD x y =--，故MA +()42,2MB x y =--，()42,82MC MD x y +=--， 故()()()(24222MA MB MC MD x y y +⋅+=-+)8-()()2242421616x y =-+--≥-，故实数m 的取值范围为(],16-∞-，故选：C. 【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算，考查了基本运算能力，属于基础题.12【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】AB 方向相同的单位向量为||ABAB . 【详解】(2,3),(5,1)A B -(3,4)AB ∴=-，5AB =034,55||AB a AB ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭故答案为：34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭13【答案】6π 【分析】求出c b ⋅及c ，然后由数量积定义可得夹角． 【详解】由已知12cos13a b π⋅=⨯⨯=， 所以22(2)22126c b a b b a b b ⋅=+⋅=⋅+=⨯+=，22222(2)4441c a b a b a a b b =+=+=+⋅+=⨯设c 与b 的夹角为θ，则cos 23c b c bθ⋅===⨯[0,]θπ∈，所以6πθ=．故答案为：6π． 14【答案】21 【分析】利用平面向量的线性运算可将所求数量积转化为7599AD AB AD AB →→→→⎛⎫⎛⎫+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据平面向量数量积的定义和运算律可求得结果. 【详解】12DE EC →→=，12BF FC →→=，23EF BD ∴=，13AG BD AE EG AD AB AD DE EF AD AB →→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴⋅=+⋅-=++⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212239399AD DC DB AD AB AD AB AB AD AD AB →→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅-=++-⋅- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭227572599999AD AB AD AB AD AD AB AB→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫=+⋅-=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7215366392825219929=⨯-⨯⨯⨯-⨯=--= 故答案为：21.15【分析】设OA =a ，OB =b ，OC c =，OD a b =+，根据条件，借助平面图形得到点C 的轨迹，即可得到结果．【详解】如图，设OA a =，OB b =，OC c =，OD a b =+，连接AD ，BD ，则由a b ⊥可知四边形OADB 为矩形，则2a b a b +=-=．由2c a b a b --=-，可得2c a b a b --=-，连接CD ，则4DC =，所以点C 在以点D 为圆心，4为半径的圆上，所以OC 的最大值为246OD DC +=+=．故答案为：6.16【答案】(1)证明见解析；(2)6π或76π. 【分析】（1）先求出,a b a b +-，再计算()()a b a b +⋅-的值，发现()()0a b a b +⋅-=， 得()()a b a b +⊥-。
高一数学必修4平面向量测试题(含答案)
必修4 第二章平面向量教学质量检测姓名: 班级: 学号: 得分:一.选择题（5分×12=60分）:1．以下说法错误的是（ ）A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等 C.平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量 2．下列四式不能化简为的是（ ）A ．；）＋＋（BC CD AB B ．）；＋）＋（＋（CM BC M B ADC ．；－＋BM AD M B D ．；＋－CD OA OC3．已知=（3，4），=（5，12），与 则夹角的余弦为（ ）A ．6563B ．65C ．513 D ．134． 已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a + 3b | =（ ）A ．7B ．10C ．13D ．45．已知ABCDEF 是正六边形，且−→−AB ＝→a ，−→−AE ＝→b ，则−→−BC ＝（ ）（A ）)(21→→-b a （B ） )(21→→-a b （C ） →a ＋→b 21 （D ） )(21→→+b a6．设→a ，→b 为不共线向量，−→−AB ＝→a +2→b ,−→−BC ＝－4→a －→b ,−→−CD ＝ －5→a －3→b ,则下列关系式中正确的是 （ ）（A ）−→−AD ＝−→−BC （B ）−→−AD ＝2−→−BC （C ）−→−AD ＝－−→−BC （D ）−→−AD ＝－2−→−BC 7．设→1e 与→2e 是不共线的非零向量，且k →1e ＋→2e 与→1e ＋k →2e 共线，则k 的值是（ ）（A ） 1 （B ） －1 （C ） 1± （D ） 任意不为零的实数 8．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ，且−→−AC ·−→−BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ）（A ） 矩形 （B ） 菱形 （C ） 直角梯形 （D ） 等腰梯形9．已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且−→−PN ＝－2−→−PM ，则P 点的坐标为（ ）（A ） （－14，16）（B ） （22，－11）（C ） （6，1） （D ） （2，4） 10．已知→a ＝（1，2），→b ＝（－2，3），且k →a +→b 与→a －k →b 垂直，则k ＝（ ）（A ） 21±-（B ） 12±（C ） 32±（D ） 23±11、若平面向量(1,)a x =和(23,)b x x =+-互相平行，其中x R ∈.则a b -=（ ）A. 2-或0；B.C. 2或D. 2或10.12、下面给出的关系式中正确的个数是（ ）① 00 =⋅a ②a b b a ⋅=⋅③22a a =④)()(c b a c b a ⋅=⋅⑤b a b a ⋅≤⋅ (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3二. 填空题(5分×5=25分):13．若),4,3(=AB Ａ点的坐标为（－２，－１），则Ｂ点的坐标为 ． 14．已知(3,4),(2,3)=-=a b ，则2||3-⋅=a a b ．15、已知向量)2,1(,3==b a，且b a ⊥，则a 的坐标是_________________。
北师大版必修四第二章平面向量综合检测题及答案解析
综合检测（二）（时间120分钟，满分150分）、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的）a ，b ，c 满足 a / b ，且 a 丄c ，贝U c (a + 2b )=( )C. 2•.a 丄c ，-'a c = 0.又•••a//b ，二可设b = a 则 c (a + 2b ) = c(1 + 2 ?)a2.已知向量a = （1,0）与向量b = （—1,^/3）,则向量a 与b 的夹角是（ ）nA -6C.2n【答案】A. 2C-6'•'1= (1 + x,3)， u= (1 — x,1)， 1/u•••(1+ X)x 1-3X (1 — X) — 0,.・.x=2第二章平面向量1.若向量【解析】【答案】 D x k B1 . c o mn B.3【解析】cos〈a ，b 〉=器=T^•••0，b 〉 2n=3 .3.已知 a = (1,2)， b —(X ，1)，11= a + b, u= a — b,且1/ u 则x 的值为（）【解析】【答案】A4.已知|a| = 2|b|, |b|M 0,且关于x的方程x2+ |a|x + ab= 0有实根，则a与b的夹角的取值范围是()n A. [0,6】n , B. [3, n> 0. C. [5,劭n ,D. [6, n【解析】|a|2— 4a b=a f — 4|a||b|cos〈a, b〉= 4|b|2— 8|b|2 cos〈a,b〉-cos a, b〉1W2，〈a, b〉€ [0, n .a,b〉【答案】5.已知|a| = 1, |b| = 6, a (b—a) = 2,则向量a与b的夹角是( )nA.6nB.4nC.nnD-22 2【解析】--a (b—a) = a b— a = 2,.・.|a||b|cos B—|a| = 2,1 n•••1x 6x cos — 1 = 2,.・.cos = 2，又0W 0W n 二=3,故选 C.【答案】 C6.已知OA= (2,2), 5B= (4,1)，在x轴上一点P使A P B P有最小值，则P点的坐标是( )A. (—3,0)B. (3,0)C. (2,0)D. (4,0)【解析】设P(x,0),.・.AP= (x—2,—2), BP= (x —4,— 1),A AP BP= (x—2)(x —4)+ 22 2=x —6x+ 10= (x—3) +1,当x= 3时，AP BP取最小值，此时P(3,0).【答案】 B7•若a,b是非零向量，且a丄b,|a|M |b|,则函数f(x)= (x a+ b) (x b—a)是( )A .一次函数且是奇函数B.一次函数但不是奇函数C•二次函数且是偶函数D.二次函数但不是偶函数【解析】..a丄b,.・.a b= 0,•••f(x) = (x a + b) (x b—a) = x2(a b)+ (|b|2—|a|2)x—a b= (|bf—a|2)x,又|a|M|b|.•••f(x )是一次函数且为奇函数，故选A.【答案】 A> —> AB AC —> AB AC 18 已知非零向量AB与AC满足(=+=) BC = 0且===2则^ ABC |AB| AC| |AB| |AC|A .等边三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.三边均不相等的三角形【解析】AB和钥分别是与AB, AC同向的两个单位向量.|AB| AC|AB AC AB AC f兰+号是/BAC角平分线上的一个向量，由+弋)BC = 0知该向|AB| |AC| |AB| |AC|AB AC 1量与边BC垂直，.・.ZABC是等腰三角形.由 f f = 2知/BAC= 60 : •••ZABC是|AB|| AC|等边三角形.【答案】 A9. (2013 湖北高考)已知点 A(— 1,1), B(1,2), C(-2,— 1), D(3,4),则向量 AB 在CD 方向上的投影为()A鉅C .-寥【解析】 由已知得AB = (2,1), CD = (5,5),因此AB 在CD 方向上的投影为AB CD _ _鉅|CD| 5©2【答案】 A10•在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点'则-()D. 10【解析】--PA ^ CA — CP ,7 2 7 2 7 7 7 2 IPAl = CA — 2CP CA+CP .—7 —7 —7 —7 少 7 少 —7 —7 —7 Q •.•PB _ CB — CP ,・.|PB| _ CB — 2CP CB +CP .—7 2 —7 2 —7 2 —7 2 —7 —7 —7 —7 2 —7 2 —7 —7 —7 •••|PAr + |PBr_ (CA + CB ) — 2CP (CA + CB) + 2CP _ AB — 2CP 2CD + 2CP又AB 2= 16CP 2, CD = 2CP ,代入上式整理得 |FA|2+ |PB|2= 10|CPf ,故所求 值为10.【答案】 D二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横 线上)C. 5 ,211.已知向量a= (2,1), ab= 10, l a + b| = 5 迄，则|b| 等于【解析】••l a+ b|a5 72,A(a + b)2a50,即a2+ b2+ 2a b a50, 又a|=V5, a b= 10,••5+|bf+ 2X 10a 50.解得|b| = 5.【答案】 5」「4si n a— 2cos a12•已知a a g), b a(sin a, cos a，且a// b•则5^5 + 3前 a【解析】••a//b,.・.3cos aa sin a,4sin a— 2cos a 4tan a— 2 4 X 3— 2 55cos a+ 3sin a 5+ 3tan a 5+ 3X 3 75【答案】513.(2013课标全国卷n )已知正方形ABCD的边长为2, E为CD的中点,贝UAE BDa【解析】如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0), B(2,0), D(0,2), E(1,2),••AE= (1,2), BDa (-2,2),••AE BD a 1X (-2) + 2X 2a2.【答案】 22 n14.已知e1, e2是夹角为~的两个单位向量，a a& —2e2, b a k e1 + e2,若a b a 0,则实数k的值为【解析】 由题意a b = 0,即有(81 — 2e 2) (*01 + e 2)= 0•••k e 1+ (1 — 2k) 81 82— 2e 2= 0.又•••|e i |= |e 2|= 1,〈e i ,e 2>2 n•'•k— 2+ (1 — 2k) cos -3 = 0, 1 — 2k 5 • k — 2= ~2~，•-k =4.【答案】515. (2012 安徽高考)设向量 a = (1,2m), b = (m + 1,1), c = (2, m).若(a + c ) 丄 b,则 a i = .【解析】 a + c = (1,2m) + (2, m) = (3,3m).••(a + c)丄 b,•••(a + c ) b = (3,3m) (m + 1,1)= 6m + 3= 0,••a = (1,— 1), la , 12 + (-1丫【答案】迈三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤）16.(本小题满分12分)(2013江苏高考)已知a = (cos a, sin a, b = (cos B, sin 9, 0< 3<a<n.(1)若 |a — b | = 72，求证：a 丄 b ；⑵设c = (0,1)，若a + b = c ,求a 9的值. 【解】（1）证明由题意得a — b l 2 = 2, 即(a — b )2= a 2 — 2a b + b 2 = 2. 又因为 a 2= b 2= laj |b |2 = 1,2n ~3所以 2-2a b = 2, 即卩 a b = 0,故 a 丄b.⑵因为 a + b = (cos a+ cos B, sin 计 sin f) = (0,1),Icos a+ cos 3= 0, 所以1 Isin a+ sin 3= 1,由此得，cos a= cos( — 3)，由 0v 3< n 得 0v n — 3^ n. a= n — 3代入 sin a+ sin 3= 1, 得 sin a= sin十“ 5 n n 所以 a=E, 3=6.【解】AC = OC — OA = (7,— 1 — m),BC = OC - 0B = (5- n ,— 2). ••A 、B 、C 三点共线，••• AC//BC ,•••—14+ (m + 1)(5 — n) = 0. 又OA 丄OB.--—■2n + m = 0.3由①②解得 m = 6, n = 3或m = 3, n =q.18.(本小题满分12分)已知a , b 是两个非零向量，当a +t b (t € R )的模取最 小值时.(1)求t 的值; ⑵求证：b 丄(a + t b ).【解】 (1)(a + t b )2= a + kb |2+ 2a t b,|a + t b |最小，即 |a |2+ |t b |2+ 2a t b 最小,又0V a< n 故 17.(本小题满分 12分)平面内三点A 、B 、C 在一条直线上,0A =(— 2, m),0B = (n,1), 0C = (5, —1),且OA 丄OB ,求实数m 、n 的值.即 t 2|b |2 + [af + 2t|a ||b |cos 〈a , b 〉最小.|a |cos 〈 a , b 〉故当t =— 石 时, |b||a +t b | 最小.2|a |cos 〈 a , b 〉 2(2)证明：b (a +1b ) = ab + t|b | ------------------ = ------ |a ||b |cos 〈 a,b 〉— |b|b | = |a ||b |cos |b|a ,b 〉一 |a ||b |cos 〈a , b 〉= 0,故 b 丄(a +1b ).19.（本小题满分13分）△ ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3OA +4OB + 5OC = 0. (1)求数量积 O A O B , O B OC , OC OA ； (2)求^ ABC 的面积.xKb 1. Com【解】 (1)V3OA + 4OB + 5OC = 0,••3OA + 4OB = 0-5OC , -— -—2 -— 2 即(3OA + 4OB) = (0- 5OC).—7 2 —7 —z —z 2 —7 2可得 9OA + 24OA OB + 16OB = 25OC . 又•••|OA|=|OB|=|OC| = 1,•••OA OB = 0.同理 OB OC =-5,OCOA =- 5.1 —— —— 1 —— —— (2)S Z ABC = S A OAB + Sz oBc + S ZOAC = 2|OA| | OB|sin ZAOB + 2|OB| |OC|sin /BOC + 2|OC| |OA|sin HOC. 又 |O A|= |OB|= |OC|=1.•'S^ABC^ 2(sin ZAOB+sin /BOC + sin ZAOC).由(1)OAOB= |0A| |OB|cos /AOB= cos ZAOB= 0得sin ZAOB= 1.T T T T 4OB OC= |OB| |OC| cos /BOC = cos /BOC=- 5,./ 3-sin /BOC=5,同理sin /AOC=5.5-S/yxBC = 5.20.(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(- 1,-2),B(2,3), C( - 2,- 1).(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;(2)设实数t满足(AB-tOC) 0C= 0,求t的值.【解】(1 )由题设知AB= (3,5), AC= (—1,1),则AB + AC= (2,6), AB- AC= (4,4).所以AB+ AC| = 2^10, AB-AC匸4寸2.故所求的两条对角线长分别为4迈，2>/10.X K b心m⑵由题设知OC= (-2,- 1), AB-tOC = (3+ 2t,5 +1).由(AB-tOC) OC= 0,得(3 + 2t,5 +1) (—2,- 1)= 0,从而5t=—11,所以t115.图121.(本小题满分13分)如图1,平面内有三个向量OA, OB, OC,其中O A与OB的夹角为120°, OA与OC的夹角为30°且|5A|=|OB匸1,|oC| = 2 羽若oC = QA+ QB（入空R）,求H卩的值.【解】法一：作CD //OB交直线OA于点D，作CE //OA交直线OB于点E,贝U OC = OD+ OE,由已知/OCD = /COE= 120 —30 = 90 ° 在Rt△)CD 中，OD = ^3。
高中数学北师大版必修4《第二章平面向量》章末测试卷含试卷分析详解
A.1327B.132C.133D.727 答案：D解析：a ＋x b ＝(2,1)＋(－3x,4x )＝(2－3x,1＋4x )，a －b ＝(2,1)－(－3,4)＝(5，－3)，∵(a ＋x b )⊥(a －b )，∴(2－3x )·5＋(1＋4x )·(－3)＝0，∴x ＝727.8．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案：C解析：由条件知|a |＝5，|b |＝25，a ＋b ＝(－1，－2)，∴|a ＋b |＝5，∵(a ＋b )·c ＝52，∴5×5·cos θ＝52，其中θ为a ＋b 与c 的夹角，∴θ＝60°，∵a ＋b ＝－a ，∴a ＋b 与a 方向相反，∴a 与c 的夹角为120°.9．在边长为1的正方形ABCD 中，设AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则|a －b ＋c |等于( )A ．1 B.32C ．2 D.52答案：C解析：先求模的平方． 10.将一圆的六个等分点分成两组相间的三点，它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一个正六角星，如图所示的正六角星是以原点O 为中心，其中x →，y →，分别为原点O 到两个顶点的向量．若将原点O 到正六角星12个顶点的向量，都写成为a x →＋b y →的形式，则a ＋b 的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：D解析：要求a ＋b 的最大值，只需考虑右图中6个顶点的向量即可，讨论如下：(1)∵OA →＝x →，∴(a ，b )＝(1,0)；(2)∵OB →＝OF →＋FB →＝y →＋3x →，∴(a ，b )＝(3,1)；(3)∵OC →＝OF →＋FC →＝y →＋2x →，∴(a ，b )＝(1,2)；(4)∵OD →＝OF →＋FE →＋ED →＝y →＋x →＋OC →＝y →＋x →＋(y →＋2x → )＝2y →＋3x →，∴(a ，b )＝(3,2)；(5)∵OE →＝OF →＋FE →＝y →＋x →，∴(a ，b )＝(1,1)；(6)∵OF →＝y →，∴(a ，b )＝(0,1)． ∴a ＋b 的最大值为3＋2＝5.二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填入题中横线上．11．已知向量a ，b 满足|a |＝2011，|b |＝4，且a ·b ＝4022，则a 与b 的夹角为________．答案：π3解析：设a 与b 的夹角为θ，由夹角余弦公式cos θ＝a ·b |a ||b |＝40222011×4＝12，解得θ＝π3.12．已知向量a ＝(1，t )，b ＝(－1，t ).2a －b 与b 垂直，则|a |＝________. 答案：2解析：由(2a －b )·b ＝0，可得t ＝±3，所以|a |＝12＋(±3)2＝2.13．如右图，在△ABC 中，∠BAC ＝135° ，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上一点，DC＝2BD ，则AD →·BC →＝________.答案：－43解析：根据向量的加减法法则有：BC →＝AC →－AB →， AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13 (AC →－AB → )＝13AC →＋23AB →，此时AD → ·BC →＝(13AC →＋23AB → )(AC →－AB → )＝13|AC →|2＋13AC →·AB →－23|AB →|2＝13－13×1×2×22－23×2＝－43. 三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14．已知点A 、B 、C 的坐标分别为A (6，2)、B (0,3)、C (－32，sin α)，α∈(π2，3π2)．若AB →|＝|BC →|，求角α的值．解：∵AB →＝(－6，1)，BC →＝(－32，sin α－3)∴|AB →|＝7，|BC →|＝34＋(sin α－3)2由|BC →|＝|AB →|得sin α＝12.又∵α∈(π2，3π2)，∴α＝5π6.15．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是150°，计算： (1)(a ＋2b )(2a －b )； (2)|4a －2b |.解：(1)(a ＋2b )·(2a －b ) ＝2a 2＋3a ·b －2b 2＝2|a |2＋3|a |·|b |·cos150°－2|b |2＝242＋348·(－32)－282＝－96－48 3.(2)|4a －2b |＝(4a －2b )2 ＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16|a |2－16|a |·|b |·cos150°＋4|b |2 ＝1642－1648(－32)＋482＝8(2＋6)．16．已知向量a 与b 的夹角为23π，|a |＝2，|b |＝3，记m ＝3a －2b ，n ＝2a ＋k b .(1)若m ⊥n ，求实数k 的值；(2)是否存在实数k ，使得m ∥n ？说明理由．解：(1)由m ⊥n 得m ·n ＝0，即(3a －2b )·(2a ＋k b )＝0， 整理得：6|a |2－(4－3k )a ·b －2k |b |2＝0，∴27k ＝36，∴k ＝43，∴当k ＝43时，m ⊥n .(2)若存在实数k ，使m ∥n ，则有m ＝λn ， 即3a －2b ＝λ(2a ＋k b )，∴(3－2λ)a ＝(2＋kλ)b .∵由题意可知向量a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2λ＝0，2＋kλ＝0⇒⎩⎨⎧λ＝32，k ＝－43，即存在实数k ＝－43，使得m ∥n .17．如图所示，现有一小船位于d ＝60m 宽的河边P 处，从这里起，在下游l ＝80m 的L 处河流变成“飞流直下三千尺”的瀑布．若河水流速的方向为上游指向下游(与河岸平行)，水速大小为5m/s ，为了使小船能安全渡河，船的划速不能小于多少？解：船速最小时，船应在到达瀑布的那一刻到达对岸，如图所示，船的临界合速度应沿PQ →方向．设P A →＝v 水，从A 向PQ →作垂线，垂足为B ，有向线段AB →即表示最小划速的大小和方向．|v 划|min ＝|v 水|sin θ＝|v 水|·d |PQ →|＝5×60602＋802＝5×0.6＝3(m/s)，所以划速最小为3m/s.18．已知点A (1，－2)，B (2,1)，C (3,2)．(1)已知点D (－2,3)，以AB →、AC →为一组基底来表示AD →＋BD →＋CD →；(2)若AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )，且点P 在第四象限，求λ的取值范围．解：如图，∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝0. ∵AP →＝－AQ →，BP →＝AP →－AB →，CQ →＝AQ →－AC →， ∴BP →·CQ →＝(AP →－AB →)·(AQ →－AC →) ＝AP →·AQ →－AP →·AC →－AB →·AQ →＋AB →·AC →＝－a 2－AP →·AC →＋AB →·AP →＝－a 2＋AP →·(AB →－AC →)＝－a 2＋12PQ →·BC →＝－a 2＋a 2cos θ.故当cos θ＝1，即0＝0(PQ →与BC →方向相同)时，BP →·CQ →最大，其最大值为0.。
北师大版高中数学必修四第二章《平面向量》检测卷(有答案解析)(1)
一、选择题1．已知向量()2,3a =，()4,2b =，那么向量a b -与a 的位置关系是（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．夹角是锐角 D ．夹角是钝角 2．设向量a ，b ，c 满足||||1a b ==，12a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-=，则||c 的最小值是（ ）A ．312+B ．312-C ．3D ．13．在矩形ABCD 中，|AB |＝6，|AD |＝3.若点M 是CD 的中点，点N 是BC 的三等分点，且BN ＝13BC ，则AM ·MN ＝（ ） A ．6 B ．4 C ．3 D ．24．如图，在平行四边形ABCD 中，点E F 、满足2,2BE EC CF FD ==，EF 与AC 交于点G ，设AG GC λ=，则λ=（ ）A ．97B ．74C ．72D ．925．在平行四边形ABCD 中，3DE CE =，若AE 交BD 于点M .且AM AB AD λμ=+，则λμ=（ ） A ．23 B ．32 C ．34 D ．43 6．已知两个非零向量a ，b 的夹角为23π，且=2a b -，则·ab 的取值范围是（ ） A ．2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．[)2,0- C ．2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D ．[)1,0-7．已知O 是三角形ABC 内部一点，且20OA OB OC ++=，则OAB ∆的面积与OAC ∆的面积之比为（ ）A ．12B ．1C ．32D ．28．已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则2a b -的最大值，最小值分别是（ ）A ．420B ．4，42C ．16，0D ．4，09．如图，已知点D 为ABC 的边BC 上一点，3BD DC =，*()∈n E n N 为AC 边的一列点，满足11(32)4n n n n n E A a E B a E D +=-+，其中实数列{}n a 中，10,1n a a >=，，则{}n a 的通项公式为（ ）A ．1321n -⋅-B ．21n -C ．32n -D ．1231n -⋅- 10．已知ABC ∆为等边三角形，则cos ,AB BC =( )A ．32-B ．12-C ．12D ．3211．已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是（ ）A ．a b ⋅B ．a c ⋅C ．b c ⋅D ．不能确定 12．如图所示，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，若AD AB AC λμ=+，则λμ=（ ）A ．12B ．13C ．2D ．23二、填空题13．如图，已知四边形ABCD ，AD CD ⊥，AC BC ⊥，E 是AB 的中点，1CE =，若//AD CE ，则AC BD ⋅的最小值为___________.14．已知平面向量a ，b ，c ，d 满足1a b ==，2c =，0a b ⋅=，1c d -=，则2a b d ++的取值范围为______.15．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G ，作用在行李包上的两个拉力分别为1F ，2F ，且12F F =，1F 与2F 的夹角为θ.给出以下结论： ①θ越大越费力，θ越小越省力；②θ的范围为[]0,π；③当2πθ=时，1F G =； ④当23πθ=时，1F G =. 其中正确结论的序号是______.16．已知向量a 、b 满足1a b +=，2a b -=，则a b +的取值范围为___________. 17．已知O 为ABC 内一点，且满足305OA OB OC =++，延长AO 交BC 于点D .若BD DC λ=，则λ=_____.18．已知,a b 都是单位向量，且a 与b 的夹角是120，||a b -=_________________. 19．下面六个句子中，错误的题号是________.①周期函数必有最小正周期；②若0a b ⋅=则a ，b 至少有一个为0；③α为第三象限角，则()cos sin 0a <；④若向量a 与b 的夹角为锐角，则0a b ⋅>；⑤存在α，R β∈，使()sin sin sin a a ββ+=+成立；⑥在ABC 中，O 为ABC 内一点，且0OA OB OC ++=，则O 为ABC 的重心. 20．在ABC △中，已知4CA =，3CP =23ACB π∠=，点P 是边AB 的中点，则CP CA ⋅的值为_____.三、解答题21．已知在直角坐标系中（O 为坐标原点），()2,5OA =，()3,1OB =，(),3OC x =． （1）若A ，B ，C 共线，求x 的值；（2）当6x =时，直线OC 上存在点M 使MA MB ⊥，求点M 的坐标．22．如图所示，在ABC 中，AB a =，BC b =，D ，F 分别为线段BC ，AC 上一点，且2BD DC =，3CF FA =，BF 和AD 相交于点E .（1）用向量a ，b 表示BF ；（2）假设()1BE BA BD BF λλμ=+-=，用向量a ，b 表示BE 并求出μ的值. 23．已知向量(1,2),(,2),(3,1)==-=-OA OB m OC ，O 为坐标原点．（1）若AB AC ⊥求实数m 的值；（2）在（1）的条件下，求△ABC 的面积．24．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =.（1）若35b =，且//a b ，求b 的坐标； （2）若2c =，且()()2a c a c +⊥-，求a 与c 的夹角θ的余弦值.25．已知向量()()()2,2,2,1,2,1,a b c t R =-==-∈.（1）若()//ta b c +，求t 的值；（2）若3a tb -=，求t 的值.26．已知向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭且函数()f x u v =⋅,若函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π. (1)求函数f (x )的解析式;(2)将函数y =f (x )的图象向左平移12π个单位后,得到函数y =g (x )的图象,求函数g (x )的表达式并其对称轴; (3)若方程f (x )=m (m >0)在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,有两个不同实数根x 1,x 2,求实数m 的取值范围,并求出x 1+x 2的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】首先根据题中所给的向量的坐标，结合向量数量积运算法则，求得其数量积为负数，从而得到其交集为钝角.【详解】因为()2,3a =，()4,2b =，222()23(2432)131410a b a a a b -⋅=-⋅=+-⨯+⨯=-=-<，所以向量a b -与a 的位置关系是夹角为钝角，故选：D.【点睛】该题考查的是有挂向量的问题，涉及到的知识点有向量数量积的运算律，数量积坐标公式，根据数量积的符号判断其交集，属于简单题目. 2．B解析：B【分析】建立坐标系，以向量a ，b 的角平分线所在的直线为x 轴，使得a ，b 的坐标分别为12⎫⎪⎪⎝⎭，21⎫-⎪⎪⎝⎭，设c 的坐标为(),x y ，由已知可得2214x y ⎛-+= ⎝⎭，表示以⎫⎪⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆，求出圆心到原点的距离，再减去半径即为所求 【详解】解：建立坐标系，以向量a ，b 的角平分线所在的直线为x 轴，使得a ，b 的坐标分别为122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设c 的坐标为(),x y ， 因为()()0a c b c -⋅-=，所以11,,022x y x y ⎫⎫--⋅--=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得2214x y ⎛-+= ⎝⎭，表示以3,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆， 则||c 的最小值表示圆上的点到原点的距离的最小值， 因为圆到原点的距离为32，所以圆上的点到原点的距离的最小值为3122-， 故选：B【点睛】此题考查平面向量的数量积运算，解题的关键是写出满足条件的对应的点，考查数学转化思想，考查数形结合的思想，属于中档题3．C解析：C 【分析】根据向量的运算法则，求得12AM AD AB =+，2132MN AD AB =-+，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】由题意，作出图形，如图所示：由图及题意，根据向量的运算法则，可得12AM AD DM AD AB =+=+， 2132MN CN CM CB CD =-=-21213232BC DC AD AB =-+=-+， 所以2212121||||23234AM MN AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21936334=-⨯+⨯=. 故选C ．【点睛】本题主要考查了向量的运算法则，以及平面向量的数量积的运算，其中解答中熟练应用向量的运算法则和向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 4．C解析：C【分析】设H是BC上除E点外的令一个三等分点，判断出G是三角形CFH的重心，得出,CG CO的比例，由此得出λ的值.【详解】设H是BC上除E点外的令一个三等分点，连接FH，连接BD交AC于O，则//BD FH.在三角形CFH中，,CG FG是两条中线的交点，故G是三角形CFH的重心，结合23CH CFBH DF==可知24.5CGCO=，由于O是AC中点，故224.529CGAC==⨯.所以72AGCG=，由此可知72λ=，故选C.【点睛】本小题主要考查平行线分线段成比例，考查三角形的重心，考查比例的计算，属于中档题. 5．B解析：B【分析】根据已知找到相似三角形，用向量AB、AD线性表示向量AM.【详解】如图，平行四边形ABCD中，3DE CE=，ABM EDM，3322DE DC AB ∴==，()22223323555255AM ME AE AD DE AD AB AB AD ⎛⎫===+=+=+ ⎪⎝⎭. 32λμ= 故选：B【点睛】此题考查平面向量的线性运算，属于中档题.6．C解析：C【分析】 对=2a b -两边平方后，结合2·cos 3a b a b π=⋅进行化简可得：224a b b +⋅+=；由基本不等式可得222a b a b +⋅，于是推出403a b <⋅，再结合平面向量数量积即可得解．【详解】因为2a b -=，所以 2224a a b b -⋅+=， 所以2222cos 43b b a a π-⋅+=，即224a a b b +⋅+=， 由基本不等式的性质可知，222a b a b +⋅， 403a b ∴<⋅， 所以212·cos ,0323a b a b a b π⎡⎫=⋅⋅=-⋅∈-⎪⎢⎣⎭． 故选：C ．【点睛】 本题主要考查平面向量数量积运算，考查利用基本不等式求最值，难度一般.对于平面向量的模长问题，一般采用平方处理，然后结合平面向量数量积的运算公式求解即可． 7．A解析：A【解析】由题意，O 是'AB C ∆的重心，'2OB OB =，所以OAB ∆的面积与OAC ∆的面积之比为12．故选A ． 点睛：本题考查平面向量的应用．由重心的结论：若0OA OB OC ++=，则O 是ABC ∆的重心，本题中构造'AB C ∆，O 是'AB C ∆的重心，根据重心的一些几何性质，求出面积比值．8．D解析：D【分析】利用向量的坐标运算得到|2|a b -用θ的三角函数表示化简求最值．【详解】解：向量()a cos sin θθ=，，向量()31b =-，，则2a b -=（2cosθ3-2sinθ+1）， 所以|2|a b -2＝（2cosθ3-2+（2sinθ+1）2＝8﹣3＝8﹣8sin （3πθ-）， 所以|2|a b -2的最大值，最小值分别是：16，0； 所以|2|a b -的最大值，最小值分别是4，0；故选：D ．【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及三角函数解析式的化简；利用了两角差的正弦公式以及正弦函数的有界性．9．D 解析：D 【分析】 以BA 和BC 为基底，表示n BE ，根据n E ，A ，C 三点共线，可得1193331442+-++=++n n n a a a ，构造等比数列，即可求出通项公式. 【详解】113(32),44+=-+=-=-n n n n n n n n E A a E B a E D E D BD BE BC BE , 113(32)()44n n n n n E A a E B a BC BE +∴=-+- 113(32)(32)44n n n n a a E B a BC +=---+ 又=-n n E A BA BE113(32)(32=)44+∴---+-n n n n n a a E B a BC BA BE 113(33)(32)44+-∴++=++n n n n a a BE a BC BA 因为n E ，A ，C 三点共线113(33)1(32)44+-++=++∴n n n a a a ， 即1=32++n n a a ，即1+1=3(1)++n n a a ，所以数列{1}n a +是等比数列，首项为2，公比为3．1+1=23-∴⋅n n a ，即1=23-1-⋅n n a ，故选：D ．【点睛】本题考查了平面向量基本定理和等比数列的通项公式，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题.10．B解析：B【分析】判断,AB BC 两向量夹角容易出错，是23π，而不是3π 【详解】由图发现,AB BC 的夹角不是B 而是其补角23π，21cos ,cos 32AB BC π<>==- 【点睛】 本题考查的是两向量夹角的定义，属于易错题，该类型题建议学生多画画图. 11．C解析：C 【分析】由0a b c ++=，可得2222222().2()a b c a b b c a b c =-+=-+、2222()a c b a c =-+，利用||||||a b c <<，即可比较． 【详解】解：由0a b c ++=，可得()c a b =-+，平方可得2222()a b c a b =-+． 同理可得2222()b c a b c =-+、2222()a c b a c =-+，||||||a b c <<，∴222a b c <<则a b 、b c 、a c 中最小的值是b c ． 故选：C ． 【点睛】本题考查了向量的数量积运算，属于中档题．12．B解析：B 【分析】由向量的运算法则，化简得1344AD AB AC =+,再由AD AB AC λμ=+，即可求得,λμ 的值，即可求解. 【详解】由向量的运算法则，可得34=+=+AD AB BD AB BC 313()444AB AC AB AB AC =+-=+, 因为AD AB AC λμ=+，所以13,44λμ==，从而求得13λμ=，故选:B ． 【点睛】该题考查的是有关向量的基本定理，在解题的过程中，需要利用向量直角的关系，结合三角形法则，即可求得结果，属于基础题.二、填空题13．【分析】令结合题中已知条件得出通过根据数量积的概念以及二次函数的性质可得结果【详解】令因为所以又因为是的中点所以故可得所以当时取得最小值故答案为：【点睛】关键点点睛：将表示成根据几何关系将所需量用表 解析：1-【分析】令ACD θ∠=，结合题中已知条件得出2CAD πθ∠=-，2CAB πθ∠=-，2sin AC θ=，22sin AD θ=，通过()AC BD AC BA AD ⋅=⋅+，根据数量积的概念以及二次函数的性质可得结果. 【详解】令ACD θ∠=，因为AD CD ⊥，AC BC ⊥，//AD CE ， 所以BCE θ∠=，2ACE CAD πθ∠=∠=-，又因为E 是AB 的中点，1CE =，所以2AB =，1CE =，CBA θ∠=，2CAB πθ∠=-，故可得2sin AC θ=，22sin AD θ=，所以()AC BD AC BA AD AC BA AC AD ⋅=⋅+=⋅+⋅2222sin 2cos 2sin 2sin cos 4sin 4sin 22ππθπθθθθθθ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-++⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2214sin 12θ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当21sin 2θ=时，AC BD ⋅取得最小值1-，故答案为：1-. 【点睛】关键点点睛：将BD 表示成BA AD +，根据几何关系将所需量用θ表示，将最后结果表示为关于θ的函数.14．【分析】用几何意义求解不妨设则在圆心在原点半径为2的圆上设则在以为圆心半径为1的圆上运动后形成的轨迹是圆心在原点大圆半径为3小圆半径为1的圆环表示圆环内的点与定点的距离由图形可得最大值和最小值【详解解析：3⎡⎤⎣⎦【分析】用几何意义求解．不妨设()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，则(,)C x y 在圆心在原点，半径为2的圆上，设(),d x y '='，则(,)D x y ''在以C 为圆心半径为1的圆上，C 运动后，D 形成的轨迹是圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环，2a b d ++表示圆环内的点D 与定点()2,1P --的距离，由图形可得最大值和最小值． 【详解】令()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，设C 的坐标为(),x y ，C 的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆上.设(),d x y '='，D 的坐标为(),x y ''，D 的轨迹为圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环上.()22,1a b d d ++=---表示D 与点()2,1P --的距离，由图可知，故2a b d ++的取值范围为0,53⎡⎤+⎣⎦. 故答案为：0,53⎡⎤+⎣⎦【点睛】本题考查向量模的几何意义，考查模的最值，解题关键是设()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，(),d x y '='，固定,a b 后得出了,C D 的轨迹，然后由模2a b d ++的几何意义得出最值．15．①④【分析】根据为定值求出再对题目中的命题分析判断正误即可【详解】解：对于①由为定值所以解得；由题意知时单调递减所以单调递增即越大越费力越小越省力；①正确对于②由题意知的取值范围是所以②错误对于③当解析：①④. 【分析】根据12G F F =+为定值，求出()22121cos GF θ=+，再对题目中的命题分析、判断正误即可. 【详解】解：对于①，由12G F F =+为定值， 所以()2222121212cos 21cos G F F F F F θθ=++⨯⨯=+，解得()22121cos GF θ=+；由题意知()0,θπ∈时，cos y θ=单调递减，所以21F 单调递增，即θ越大越费力，θ越小越省力；①正确.对于②，由题意知，θ的取值范围是()0,π，所以②错误. 对于③，当2πθ=时，2212GF =，所以122F G =，③错误. 对于④，当23πθ=时，221F G =，所以1F G =，④正确. 综上知，正确结论的序号是①④. 故答案为：①④. 【点睛】此题考查平面向量数量积的应用，考查分析问题的能力，属于中档题16．【分析】易得结合可得又可得即可求解【详解】则则又故答案为：【点睛】本题考查向量模的取值范围的计算考查了向量模的三角不等式的应用考查计算能力属于中等题解析：⎡⎣【分析】 易得()2225a b+=，结合()()22225a ba b+≤+=，可得5a b +≤.又a b a b +≥±，可得2a b ±≥，即可求解.【详解】1a b +=，2a b -=，2221a a b b ∴+⋅+=，2224a a b b -⋅+=，()2225a b∴+=，则()()22225a b a b +≤+=，则5a b +≤.又a b a b +≥±，2a b ∴+≥，25a b ∴≤+≤.故答案为：⎡⎣.【点睛】本题考查向量模的取值范围的计算，考查了向量模的三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.17．【分析】将已知条件转化为结合得到设列出关于的方程组由此求得【详解】由于所以所以即因为即化简得设所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理考查平面向量的线性运算考查化归与转化的数学思想解析：53【分析】将已知条件转化为1539AO AB AC =+，结合BD DC λ=，得到111AD AB AC λλλ=+++，设AO k AD =，列出关于,k λ的方程组，由此求得λ. 【详解】由于305OA OB OC =++，所以()()350OA AB AO AC AO +-+-=，所以935AO AB AC =+，即1539AO AB AC =+. 因为BD DC λ=，即()AD AB AC AD λ-=-, 化简得111AD AB AC λλλ=+++， 设11k k AO k AD AB AC λλλ==+++， 所以113519k k λλλ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得53λ=.故答案为：53【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理，考查平面向量的线性运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.18．【分析】根据数量积公式得出的值再由得出答案【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了由数量积求模长属于中档题 3【分析】根据数量积公式得出a b ⋅的值，再由2||()a b a b -=-得出答案.【详解】111cos1202a b ⋅=⨯⨯︒=-22222||()2||2||1113a b a b a a b b a a b b ∴-=-=-⋅+=-⋅+=++=故答案为：3 【点睛】本题主要考查了由数量积求模长，属于中档题.19．①②③【分析】①常函数没有最小正周期；②是非零向量时代表的是两向量垂直；③可采用赋值法令判断正误；④由数量积公式即可判断；⑤令即可判断；⑥结合平面向量加法法则和重心特征即可求解；【详解】①常函数没有解析：①②③ 【分析】①常函数没有最小正周期；②,a b 是非零向量时，0a b ⋅=代表的是两向量垂直； ③可采用赋值法，令76πα=判断正误； ④由数量积公式即可判断； ⑤令0αβ==即可判断；⑥结合平面向量加法法则和重心特征即可求解； 【详解】①常函数没有最小正周期，故判断错误；②,a b 是非零向量时，0a b a b ⋅=⇔⊥，判断错误； ③令76πα=，则()1cos sin 0cos 02a ⎛⎫<⇔-< ⎪⎝⎭，即1cos 02<，显然错误； ④若向量a 与b 的夹角为锐角，则cos 0a b a b θ⋅=⋅>，判断正确； ⑤当0αβ==，()sin sin sin a a ββ+=+，判断正确； ⑥若OA OB OC O ++=，如图：设D 为AC 中点，则2OA OC OD OE +==，则20OD OB +=，所以,,D O B 三点共线，且2OD OD =，故O 为ABC 的重心，判断正确； 故答案为：①②③【点睛】本题主要考查平面向量和三角函数的基础知识，属于基础题20．6【分析】根据平方处理求得即可得解【详解】在中已知点是边的中点解得则故答案为：6【点睛】此题考查平面向量的基本运算关键在于根据向量的运算法则求出模长根据数量积的运算律计算求解解析：6 【分析】 根据()12CP CA CB =+，平方处理求得2CB =，()12CP CA CA CB CA ⋅=+⋅即可得解. 【详解】在ABC △中，已知4CA =，3CP 23ACB π∠=，点P 是边AB 的中点， ()12CP CA CB =+ ()222124CP CA CB CA CB =++⋅ 211316842CB CB ⎛⎫⎛⎫=++⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2CB = 则()()21111162462222CP CA CA CB CA CA CB CA ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=+⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：6 【点睛】此题考查平面向量的基本运算，关键在于根据向量的运算法则求出模长，根据数量积的运算律计算求解.三、解答题21．（1）52x =；（2）()2,1或2211,55⎛⎫⎪⎝⎭． 【分析】（1）利用//AB BC ，结合向量共线的坐标表示列方程，解方程求得x 的值.（2）设M 点的坐标为()6,3λλ，利用MA MB ⊥，结合向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得λ的值，进而求得M 点的坐标. 【详解】（1）()1,4AB OB OA =-=-；()3,2BC OC OB x =-=- ∵A 、B 、C 共线，∴//AB BC ∴()2430x +-= ∴52x =． （2）∵M 在直线OC 上，∴设()6,3OM OC λλλ== ∴()26,53MA OA OM λλ=-=--()36,13MB OB OM λλ=-=--∵MA MB ⊥∴()()()()263653130λλλλ--+--= 即：24548110λλ-+= 解得：13λ=或1115λ=. ∴()2,1OM =或2211,55OM ⎛⎫=⎪⎝⎭． ∴点M 的坐标为()2,1或2211,55⎛⎫⎪⎝⎭． 【点睛】本小题主要考查向量共线、垂直的坐标表示，属于中档题. 22．（1）3144BF a b =-+；（2）2239BE a b =-+，89μ=. 【分析】（1）把BF 放在ABF 中，利用向量加法的三角形法则即可； （2）把a ，b 作为基底，表示出 BE ，利用BE BF μ=求出 μ. 【详解】解：由题意得3CF FA =，2BD DC =，所以14AF AC =，23BD BC = （1）因为BF BA AF =+，AB a =，BC b =所以()1144BF BA AC BA BC BA =+=+- 31314444BA BC a b =+=-+. （2）由（1）知3144BF a b =-+，而3223BD BC b == 而()()23111344BE BA BD BF BE a a b b λλμλλμ⎛⎫=+-=⇒=-+-=-+⎪⎝⎭ 因为a 与b 不共线，由平面向量基本定理得()342134λμμλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 解得89μ=所以2239BE a b =-+，89μ=即为所求. 【点睛】在几何图形中进行向量运算:(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则； (2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算. 23．（1）1；（2）. 【分析】（1）根据向量(1,2),(,2),(3,1)==-=-OA OB m OC ，得到向量,AB AC ，再由AB AC ⊥，利用坐标运算求解.（2）由（1）得到 ,AB AC ，然后由12ABCS AB AC =⨯⨯求解. 【详解】（1）因为向量(1,2),(,2),(3,1)==-=-OA OB m OC ， 所以向量(1,4),(4,1)AB m AC =--=--， 又因为AB AC ⊥， 所以4(1)40m --+=， 解得 2m =.（2）由（1）知：(0,4),(4,1)AB AC =-=--， 所以4,17AB AC ==，所以11422ABCSAB AC =⨯⨯=⨯=【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.24．（1）(3,6)b =或(3,6)b =--；（2）. 【分析】（1）设(,)b x y =，由//a b ，和35b =，列出方程组，求得,x y 的值，即可求解； （2）由()()2a c a c +⊥-，求得3a c ⋅=-，结合夹角公式，即可求解. 【详解】（1）设(,)b x y =，因为//a b ，所以2y x =， ① 又因为35b =，所以2245x y +=， ② 由①②联立，解得(3,6)b =或(3,6)b =--.（2）由已知()()2a c a c +⊥-，可得()()22220a c a c a c a c +⋅-=--⋅=， 又由5a =，2c =，解得3a c ⋅=-，所以35cos 10a c a cθ⋅==-. 【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算，以及平面向量的数量积的坐标运算的应用，意在考查运算与求解能力，属于基础题. 25．（1）2t =-；（2）1t =-或15t =. 【分析】（1）利用向量平行的坐标表示列方程，解方程求得t 的值. （2）利用向量模的坐标运算列方程，解方程求得t 的值. 【详解】（1）()22,21ta b t t +=-++，由于()//ta b c +，所以()()()221212t t -+⨯-=+⨯，即22422t t t -=+⇒=-.（2）()()()2,22,22,2a tb t t t t -=--=---，依题意3a tb -=，所以3=，解得1t =-或15t =. 【点睛】本小题主要考查向量线性运算的坐标表示，考查向量平行的坐标表示，考查向量模的坐标表示，属于中档题. 26．(1)()26f x sin x π⎛⎫=-⎪⎝⎭;(2)()2g x sin x =, 对称轴为,42k x k Z ππ=+∈;(3)112m ≤<,,1223x x π+=. 【分析】(1) 根据向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭和函数()f x u v =⋅，利用数量积结合倍角公式和辅助角法得到，()26πω⎛⎫=-⎪⎝⎭f x sin x ，再根据函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π求解. (2)依据左加右减，将函数y =f (x )的图象向左平移12π个单位后，得到函数()22126g x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令2,2ππ=+∈x k k Z 求其对称轴. (3)作出函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上图象，根据函数y =f (x )与直线y =m 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点求解.再令2,62x k k Z πππ-=+∈，求对称轴. 【详解】(1)()()21122ωωωωωω=-=+-f x sin x sin x x sin x xcos x ，1222226πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭sin x cos x sin x ∵函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π， ∴22T π=， ∴2(0)2ππωω=>， ∴ω=1，故函数f (x )的解析式为()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭; (2)依题意，()22126g x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 令2,2ππ=+∈x k k Z ，则,42ππ=+∈k x k Z ， ∴函数g (x )的对称轴为,42ππ=+∈k x k Z ;(3)∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴12,162sin x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的草图如下，依题意，函数y =f (x )与直线y =m 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点，则112m ≤<， 令2,62x k k Z πππ-=+∈，则,32k x k Z ππ=+∈， ∴函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的对称轴为3x π=，则1223x x π+=. 【点睛】 本题主要考查了平面向量和三角函数，三角函数的图象和性质及其应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.。
新北师大版高中数学必修四第二章《平面向量》测试(答案解析)(6)
一、选择题1．如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且(),OP xOA yOB x y R =+∈，则下列结论正确的个数为（ ）①当0x =时，[]2,3y ∈②当P 是线段CE 的中点时，12x =-，52y =③若x y +为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段 ④x y -的最大值为1- A ．1B ．2C ．3D ．42．已知两个单位向量a ，b ，其中向量a 在向量b 方向上的投影为12．若()()2a b a b λ+⊥-，则实数λ的值为（ ）A ．14-B ．12-C ．0D ．123．过点()3,1P 的直线l 与函数21()26x f x x -=-的图象交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则()OA OB OP +⋅=（ ）A ．10B ．210C ．10D ．20 4．若平面向量与的夹角为，，，则向量的模为（ ） A ．B ．C ．D ．5．若12,e e 是夹角为60︒的两个单位向量，则向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为（ ） A ．30B ．60︒C ．90︒D ．120︒6．已知平面向量a 与b 的夹角为23π，若(3,1)a =-，2213a b -=，则b （ ） A ．3B ．4C 3D ．27．在平行四边形ABCD 中，3DE CE =，若AE 交BD 于点M .且AM AB AD λμ=+，则λμ=（ ） A ．23B ．32C ．34 D ．43 8．已知向量(3,0)a =，(0,1)b =-，(,3)c k =，若(2)a b c -⊥，则k =（ ） A ．2B ．2-C ．32D ．32-9．在空间直角坐标系中，(3,3,0)A ，(0,0,1)B ，点(,1,)P a c 在直线AB 上，则 （ ） A ．11,3a c ==B ．21,3a c ==C ．12,3a c ==D ．22,3a c ==10．已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则2a b -的最大值，最小值分别是（ ）A ．0B ．4，42C ．16，0D ．4，011．在直角梯形ABCD 中，0AD AB ⋅=，30B ∠=︒，23AB =，2BC =，13BE BC =，则（ ） A ．1163AE AB AD =+ B ．1263AE AB AD =+ C ．5163AE AB AD =+ D ．5166AE AB AD =+ 12．在ABC 中，D 是BC 边上的一点，F 是AD 上的一点，且满足2AD AB AC =+和20FD FA +=，连接CF 并延长交AB 于E ，若AE EB λ=，则λ的值为（ ） A ．12B ．13C ．14 D ．15二、填空题13．已知平面向量a ，b ，c 满足45a b ⋅=，4a b -=，1c a -=，则c 的取值范围为________．14．已知3a =，2b =，()()2318a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为________. 15．已知(2,3),(4,7)a b ==-，则向量b 在a 方向上的投影为_________.16．在ABC 中，22AC AB ==，120BAC ∠=，O 是BC 的中点，M 是AO 上一点，且3AO MO =，则MB MC ⋅的值是______.17．已知P 为圆22(4)2x y +-=上一动点，点()1,1Q ，O 为坐标原点，那么OP OQ ⋅的取值范围为________．18．向量a ，b ，c 在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中的位置如图所示，若向量a b λ+与c 共线，则||a b λ-=________．19．如图，在四边形ABCD 中，60B ∠=︒，2AB =，6BC =，1AD =，若M ，N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的取值范围为_________．20．在ABC 中，2AB =，32AC =，135BAC ∠=︒，M 是ABC 所在平面上的动点，则w MA MB MB MC MC MA =⋅+⋅+⋅的最小值为________．三、解答题21．已知4,3,(23)(2)61a b a b a b ==-⋅+=. （1）求a 与b 的夹角为θ； （2）求a b +；（3）若AB ＝a ，BC ＝b ，求△ABC 的面积．22．（1）已知非零向量1e 、2e 不共线，欲使12ke e +和12e ke +共线，试确定实数k 的值. （2）已知向量1a =，2b =，()()23a b a b +⊥-，求a 与b 夹角的大小. 23．已知向量(1,2),(,2),(3,1)==-=-OA OB m OC ，O 为坐标原点． （1）若AB AC ⊥求实数m 的值； （2）在（1）的条件下，求△ABC 的面积．24．已知平行四边形ABCD 中，2AB =，4BC =，60DAB ∠=，点E 是线段BC 的中点.(1)求AC AE ⋅的值；(2)若AF AE AD λ=+，且BD AF ⊥，求λ的值. 25．已知向量a 与向量b 的夹角为3π，且1a =，()32a a b ⊥-.（1）求b ；（2）若27a mb -=，求m . 26．已知单位向量1e ，2e ，的夹角为23π，向量12a e e λ=-，向量1223b e e =+. （1）若//a b ，求λ的值； （2）若a b ⊥，求||a .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用向量共线的充要条件判断出①错，③正确；利用向量的运算法则求出OP ，求出x ，y 判断出②正确,利用三点共线解得④正确 【详解】当0x =时，OP yOB =，则P 在线段BE 上，故13y ≤≤，故①错 当P 是线段CE 的中点时，13()2OP OE EP OB EB BC =+=++ ()11153(2)32222OB OB AB OB OB OB OA OA OB =+-+=-+-=-+，故②对x y +为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，故P 的轨迹是线段，故③对如图，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ， 则：OP ON OM =+；又OP xOA yOB =+；0x ∴≤，1y ≥；由图形看出，当P 与B 重合时：01OP OA OB =⋅+⋅；此时x 取最大值0，y 取最小值1；所以x y -取最大值1-，故④正确 所以选项②③④正确. 故选：C 【点睛】结论点睛：若OC xOA yOB =+，则,,A B C 三点共线1x y ⇔+=.2．C解析：C 【分析】记a 与b 的夹角为θ，则a 在b 上的投影为1cos 2a θ=，然后向量垂直转化为数量积为0可计算λ． 【详解】记a 与b 的夹角为θ，则a 在b 上的投影为cos a θ，则1cos 2a θ=， ∵()()2a b a b λ+⊥-，∴()()()221322221(2)022a b a b a b a b λλλλλλ+⋅-=-+-⋅=-+-⋅==， 故0λ=， 故选：C ． 【点睛】结论点睛：本题考查平面向量的数量积及其几何意义．向量垂直的数量积表示． （1）设,a b 向量的夹角为θ，则a 在b 方向上的投影是cos a b a bθ⋅=；（2）对两个非零向量,a b ，0a b a b ⊥⇔⋅=．3．D解析：D 【分析】判断函数()f x 的图象关于点P 对称，得出过点()3,1P 的直线l 与函数()f x 的图象交于A ，B 两点时，得出A ，B 两点关于点P 对称，则有 2OA OB OP +=，再计算()OA OB OP +⋅的值．【详解】()52121263x f x x x -==+-- ，∴函数21()26x f x x -=-的图象关于点()3,1P 对称，∴过点()3,1P 的直线l 与函数()2126x f x x -=-的图象交于A ，B 两点， 且A ，B 两点关于点()3,1P 对称，∴ 2OA OB OP +=，则()()222223120OA OB OP OP +⋅==⨯+=．故选D ． 【点睛】本题主要考查了函数的对称性，以及平面向量的数量积运算问题，是中档题．4．C解析：C 【解析】，，又，，则，故选5．B解析：B 【分析】首先分别求出12a e e =+与122b e e =-+的数量积以及各自的模，利用数量积公式求之． 【详解】 由已知，1212e e ⋅=，所以(()1212)2e e e e +-+=32，|12e e +3|122e e -+3 设向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为α，则312cos ,2333παα==∴=⋅.故答案为B 【点睛】(1)本题主要考查向量的夹角的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求两个向量的夹角一般有两种方法,方法一：·cos ,ab a b a b=,方法二：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，θ为向量a 与b 的夹角，则121222221122cos x y x yθ=+⋅+.6．A解析：A 【解析】分析：根据题设条件2213a b -=，平方化简，得到关于b 的方程，即可求解结果. 详解：由题意，(3,1)a =-且向量a 与b 的夹角为23π，由2213a b -=，则222222444442cos523a b a b a b b b π-=+-⋅=+-⨯=， 整理得2120b b +-=，解得3b =，故选A.点睛：本题主要考查了向量的运算问题，其中熟记平面向量的数量积的运算公式，以及向量的模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.7．B解析：B 【分析】根据已知找到相似三角形，用向量AB 、AD 线性 表示向量AM . 【详解】如图，平行四边形ABCD 中，3DE CE =，ABMEDM ，3322DE DC AB ∴==，()22223323555255AM ME AE AD DE AD AB AB AD ⎛⎫===+=+=+ ⎪⎝⎭. 32λμ= 故选：B 【点睛】此题考查平面向量的线性运算，属于中档题.8．B解析：B 【分析】 求出2a b -()3,2=，利用向量垂直数量积为零列方程求解即可.【详解】由(3,0)a =，(0,1)b =-， 得2a b -()3,2=，若(2)c a b -⊥，则(2)?0a b c -=，3230,2k k +=∴=-.故选B. 【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答. 9．B解析：B 【解析】∵点P (a ,1,c )在直线AB 上， ∴存在实数λ使得AB BP λ=， ∴()()()0,0,13,3,0,1,1a c λ-=- ， 化为()3,3,1(,,)a c λλλλ--=- ，∴3{31ac λλλλ-=-==- ,解得3{123a c λ=-==.本题选择B 选项.10．D解析：D 【分析】利用向量的坐标运算得到|2|a b -用θ的三角函数表示化简求最值． 【详解】解：向量()a cos sin θθ=，，向量()31b =-，，则2a b -=（2cosθ2sinθ+1），所以|2|a b -2＝（2cosθ2+（2sinθ+1）2＝8﹣＝8﹣8sin （3πθ-），所以|2|a b -2的最大值，最小值分别是：16，0； 所以|2|a b -的最大值，最小值分别是4，0； 故选：D ． 【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及三角函数解析式的化简；利用了两角差的正弦公式以及正弦函数的有界性．11．C解析：C 【分析】先根据题意得1AD =，CD =，进而得2AB DC =，再结合已知和向量的加减法运算求解即可得的答案. 【详解】由题意可求得1AD =，CD =，所以2AB DC =， 又13BE BC =， 则()1133AE AB BE AB BC AB BA AD DC =+=+=+++ 1111333AB AD DC ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭1111336AB AD AB ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭115116363AB AD AB AD ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题考查用基底表示向量，考查运算能力，是基础题.12．C解析：C 【分析】首先过D 做//DG CE ，交AB 于G ，根据向量加法的几何意义得到D 为BC 的中点，从而得到G 为BE 的中点，再利用相似三角形的性质即可得到答案. 【详解】如图所示，过D 做//DG CE ，交AB 于G .因为2AD AB AC =+，所以D 为BC 的中点. 因为//DG CE ，所以G 为BE 的中点， 因为20FD FA +=，所以:1:2AF FD =.因为//DG CE ，所以::1:2AE EG AF FD ==，即12AE EG =. 又因为EG BG =，所以14AE EB =， 故14AE EB =. 故选：C 【点睛】本题主要考查了向量加法运行的几何意义，同时考查了相似三角形的性质，属于中档题.二、填空题13．【分析】结合已知条件画出图象由的几何意义求得的取值范围【详解】如图所示设设是线段的中点依题意可知由于所以即解得所以即所以根据向量模的几何意义可知点在以为圆心为半径的圆上所以所以即的取值范围为故答案为 解析：[]4,10【分析】结合已知条件画出图象，由c 的几何意义求得c 的取值范围. 【详解】如图所示，设,,OA a OB b OC c ===，设D 是线段AB 的中点.依题意可知4,1,2AB AC AD BD ====， 由于45a b ⋅=所以45OA OB ⋅=，即()()()()222224544OA OB OA OB OD BA +---==222441644OD BAOD --==，解得7OD =.所以59OD AD OA OD AD =-≤≤+=, 即59OA ≤≤，所以418,6110OA OA ≤-≤≤+≤根据向量模的几何意义可知，点C 在以A 为圆心，1为半径的圆上， 所以()()minmax11OA OC OA -≤≤+，所以410OC ≤≤，即c 的取值范围为[]4,10. 故答案为：[]4,10【点睛】本小题主要考查向量数量积的运算，考查向量模的几何意义，属于中档题.14．【分析】本题先求再根据化简整理得最后求与的夹角为【详解】解：∵∴∵∴整理得：∴与的夹角为：故答案为：【点睛】本题考查运用数量积的定义与运算求向量的夹角是基础题 解析：3π【分析】本题先求29a =，24b =，6cos ,a b a b ⋅=，再根据()()2318a b a b +⋅-=-化简整理得1cos ,2a b =，最后求a 与b 的夹角为3π.【详解】解：∵ 3a =，2b =， ∴ 229a a ==，224b b==，cos ,6cos ,a b a b a b a b ⋅=⋅⋅<>=<>，∵ ()()2318a b a b +⋅-=-，∴ ()()2223696cos ,6418a b a b aa b b a b +⋅-=-⋅-=-<>-⨯=-整理得：1cos ,2a b <>=， ∴a 与b 的夹角为：3π. 故答案为：3π 【点睛】本题考查运用数量积的定义与运算求向量的夹角，是基础题.15．【分析】根据向量的数量积的坐标运算求得结合向量的投影的概念即可求解【详解】由向量可得所以向量在方向上的投影数列为故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算以及向量的投影的概念其中解答中熟【分析】根据向量的数量积的坐标运算，求得13,13a b a ⋅==，结合向量的投影的概念，即可求解. 【详解】由向量(2,3),(4,7)a b ==-，可得222(4)3713,23a b a ⋅=⨯-+⨯==+=所以向量b 在a 方向上的投影数列为cos ,13a b b a b a⋅===【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，以及向量的投影的概念，其中解答中熟记向量的投影的概念，以及向量的数量积的坐标运算公式是解答的关键，着重考查运算与求解能力.16．【分析】用表示向量然后利用平面向量数量积的运算律可求得的值【详解】为的中点故答案为：【点睛】本题考查平面向量数量积的计算解答的关键就是选择合适的基底表示向量考查计算能力属于中等题解析：53-【分析】用AB 、AC 表示向量MB 、MC ，然后利用平面向量数量积的运算律可求得MB MC ⋅的值. 【详解】O 为BC 的中点，()12AO AB AC ∴=+， 3AO MO =，()1136MO AO AB AC ∴==+，()2133AM AO AB AC ==+， ()()11233MB AB AM AB AB AC AB AC ∴=-=-+=-， ()()11233MC AC AM AC AB AC AC AB ∴=-=-+=-， 22AC AB ==，120BAC ∠=，()()()22112252299MB MC AB AC AC AB AB AC AB AC ∴⋅=-⋅-=⋅--221155122122923⎡⎤⎛⎫=⨯⨯⨯--⨯-⨯=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故答案为：53-. 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，解答的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.17．【分析】先将圆的方程化为参数方程设利用数量积运算结合三角函数的性质求解【详解】因为圆的方程所以其参数方程为：设所以因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查圆的方程的应用以及平面向量的数量积运算和三角函解析：[2,6]【分析】先将圆的方程化为参数方程,4x R y θθθ⎧=⎪∈⎨=⎪⎩，设,4)P θθ，利用数量积运算结合三角函数的性质求解. 【详解】因为圆的方程22(4)2x y +-=，所以其参数方程为：,4x R y θθθ⎧=⎪∈⎨=⎪⎩，设,4)P θθ，所以2cos (4)2sin()44πθθθ⋅=++=++OP OQ ，因为[]sin()1,14πθ+∈-，所以[2,6]⋅∈OP OQ .故答案为：[2,6] 【点睛】本题主要考查圆的方程的应用以及平面向量的数量积运算和三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．【分析】建立平面直角坐标系从而得到的坐标这样即可得出的坐标根据与共线可求出从而求出的坐标即得解【详解】建立如图所示平面直角坐标系则：；与共线故答案为：【点睛】本题考查了平面向量线性运算和共线的坐标表 【分析】建立平面直角坐标系，从而得到,,a b c 的坐标，这样即可得出a b λ+的坐标，根据a b λ+与c 共线，可求出λ，从而求出a b λ-的坐标，即得解. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系，则：(1,1),(0,1),(2,1)a b c ==-= ；(,1)a b λλλ∴+=-a b λ+与c 共线2(1)02λλλ∴--=∴= (2,3)a b λ∴-=22||2313a b λ∴-=+=13【点睛】本题考查了平面向量线性运算和共线的坐标表示，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.19．【分析】首先以点为原点建立空间直角坐标系利用向量的坐标表示再求取值范围【详解】如图建立平面直角坐标系当时取得最小值当时取得最大值所以的取值范围为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用坐标法解解析：11,154⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】首先以点B 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标表示DM DN ⋅，再求取值范围. 【详解】如图，建立平面直角坐标系，(3A ，(3D ，(),0M x ，()1,0N x +，(2,3DM x =--，(1,3DN x =--，[]0,5x ∈，()()212335DM DN x x x x ⋅=--+=-+231124x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，当32x =时，取得最小值114，当5x =时，取得最大值15， 所以DM DN ⋅的取值范围为11,154⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：11,154⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用坐标法解决数量积的范围问题.20．【分析】以A 为原点AC 所在直线为x 轴建系如图所示根据题意可得ABC 坐标设可得的坐标根据数量积公式可得的表达式即可求得答案【详解】以A 为原点AC 所在直线为x 轴建立坐标系如图所示：因为所以设则所以=当时 解析：283-【分析】以A 为原点，AC 所在直线为x 轴，建系，如图所示，根据题意，可得A 、B 、C 坐标，设(,)M x y ，可得,,MA MB MC 的坐标，根据数量积公式，可得w 的表达式，即可求得答案.【详解】以A 为原点，AC 所在直线为x 轴，建立坐标系，如图所示：因为2AB =，32AC =135BAC ∠=︒， 所以(0,0),(2,2),(32,0)A B C -，设(,)M x y ，则(,),(2,2),(32,)MA x y MB x y MC x y =--=---=--， 所以(2)(2)w MA MB MB MC MC MA x x y y =⋅+⋅+⋅=++2(2)(32)(2)(32)x x y y x x y -++-+=22222222834232263()3()333x x y x y -+--=-+--，当33x y ==时，w 有最小值，且为283-， 故答案为：283- 【点睛】解题的关键是建立适当的坐标系，求得点坐标，利用数量积公式的坐标公式求解，考查分析理解，计算化简的能力，属基础题.三、解答题21．（1）23π；（23） 【分析】（1）将已知条件中的式子展开，利用公式求得6a b ⋅=-，根据向量夹角公式求得1cos 2θ=-，结合角的范围，求得结果；（2）利用向量的模的平方和向量的平方是相等的，从而求得结果； （3）根据向量所成角，求得三角形的内角，利用面积公式求得结果. 【详解】（1）因为(23)(2)61a b a b -⋅+=， 所以2244361aa b b -⋅-=.又4,3a b ==， 所以6442761a b -⋅-=， 所以6a b ⋅=-， 所以61cos 432a ba b θ⋅-===-⨯. 又0≤θ≤π，所以23πθ=. （2）2222()2a b a b a a b b +=+=+⋅+ ＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以13a b +=； （3）因为AB 与BC 的夹角23πθ=， 所以∠ABC ＝233πππ-=. 又4,3AB a BC b ====，所以S △ABC ＝1432⨯⨯= 【点睛】该题考查的是有关向量与解三角形的综合题，涉及到的知识点有向量数量积，向量夹角公式，向量的平方和向量模的平方是相等的，三角形面积公式，属于简单题目. 22．（1）1k =±；（2）3π. 【分析】（1）本题首先可以根据12ke e +和12e ke +共线得出()1212ke e e ke λ+=+，然后通过计算即可得出结果；（2）本题首先可根据()()23a b a b +⊥-得出()()230a b a b +⋅-=，然后根据1a =以及2b =求出1cos 2θ=，最后根据[]0,θπ∈即可得出结果. 【详解】（1）因为12ke e +和12e ke +共线，非零向量1e 、2e 不共线，所以存在唯一实数λ使()1212ke e e ke λ+=+，即1212ke e e ke λλ+=+，则1k kλλ=⎧⎨=⎩，即21k =，1k =±， 故当1k =±时，12ke e +和12e ke +共线.（2）因为()()23a b a b +⊥-，所以()()22233520a b a b a a b b+⋅-=+⋅-=，令a 与b 夹角为θ， 因为1a =，2b =，所以2235231512cos 240a a b b θ+⋅-=⨯+⨯⨯⨯-⨯=，解得1cos 2θ=， 因为[]0,θπ∈，所以a 与b 的夹角3πθ=.【点睛】本题考查向量共线以及向量垂直的相关性质，若非零向量a 、b 共线，则存在唯一实数λ使λab ，若非零向量a 、b 垂直，则0a b ⋅=，考查计算能力，是中档题.23．（1）1；（2）. 【分析】（1）根据向量(1,2),(,2),(3,1)==-=-OA OB m OC ，得到向量,AB AC ，再由AB AC ⊥，利用坐标运算求解.（2）由（1）得到 ,AB AC ，然后由12ABCS AB AC =⨯⨯求解. 【详解】（1）因为向量(1,2),(,2),(3,1)==-=-OA OB m OC ， 所以向量(1,4),(4,1)AB m AC =--=--， 又因为AB AC ⊥， 所以4(1)40m --+=， 解得 2m =.（2）由（1）知：(0,4),(4,1)AB AC =-=--， 所以4,17AB AC ==， 所以1141721722ABCSAB AC =⨯⨯=⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 24．(1)18；(2)12λ=-. 【分析】(1)根据条件，可以点A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，从而可得出AC AE ，的坐标，然后进行向量数量积的坐标运算即可；(2)可以得出(023)，BD =，(32323)，AF =++λλ，然后根据BD AF ⊥，即可得出0BD AF ⋅=，进行向量数量积的坐标运算，即可求出λ的值. 【详解】(1)以A 点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则(0,0)A ，(2,0)B ，(4,23)C ，3)E ，(2,23)D ， 所以(423)，AC =，(33)，AE =，所以432318AC AE ⋅=⨯+⨯=；(2)(0BD =，(32)AF =+λ， 因为BD AF ⊥，所以23)0BD AF ⋅==， 解得12λ=-. 【点睛】本题主要考查向量的数量积的坐标运算，选择恰当的点作为坐标原点建系及正确的写出各点坐标是关键，属于中档题.本题也可以AB ,AD 作为基底，利用基底法求解. 25．（1）3b =；（2）13m =-或1m =. 【分析】（1）本小题先求出32a b ⋅=，再求3b =即可； （2）本小题先求出23210m m --=，再求解m . 【详解】解：（1）∵()23232320a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-⋅=， ∴32a b ⋅=，∴13cos 322a b a b b π⋅=⋅⋅==， ∴3b =.（2）∵27a mb -=， ∴()222227244469a mba mab m b m m =-=-⋅+=-+，整理得：23210m m --=， 解得：13m =-或1m =. 【点睛】本题考查利用向量垂直求向量的数量积、向量的数量积公式、利用和与差的向量的模求参数，是中档题.26．（1）23-；（2 【分析】（1）由//a b ，所以存在唯一实数ｔ，使得b ta =，建立方程组可得答案；（2）由已知求得12e e ⋅，再由a b ⊥得()()1212230e e e e λ-⋅+=，可解得λ，再利用向量的模的计算方法可求得答案. 【详解】（1）因为//a b ，所以存在唯一实数ｔ，使得b ta =，即()121223e e t e e λ+=-， 所以23t tλ=⎧⎨=-⎩，解得23λ=-；（2）由已知得122111cos32e e π⋅=⨯⨯=-，由a b ⊥得()()1212230e e e e λ-⋅+=，即()12+32302λλ⎛⎫-⨯--= ⎪⎝⎭，解得4λ=，所以124a e e =-，所以22121212||416821a e e e e e e =-=+-⋅=||21a =． 【点睛】本题考查向量平行的条件和向量垂直的条件，以及向量的模的计算，属于中档题.。
北师大版高中数学必修四章末综合测评(二) 平面向量.docx
章末综合测评(二) 平面向量(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．化简AC →－BD →＋CD →－AB →得( )A ．AB → B ．DA →C ．BC→ D ．0【解析】 AC→－BD →＋CD →－AB →＝AC →＋CD →－(AB →＋BD →)＝AD →－AD →＝0. 【答案】 D2．已知a ，b 都是单位向量，则下列结论正确的是( ) A ．a·b ＝1 B ．a 2＝b 2 C ．a ∥b ⇒a ＝bD ．a·b ＝0 【解析】 因为a ，b 都是单位向量，所以|a |＝|b |＝1，所以|a |2＝|b |2，即a 2＝b 2.【答案】 B3．已知A ，B ，C 为平面上不共线的三点，若向量AB →＝(1,1)，n ＝(1，－1)，且n ·AC →＝2，则n ·BC→等于( ) A ．－2B ．2C ．0D ．2或－2【解析】 因为n ·AB →＝n ·(AC →－BC →)＝n ·AC →－n ·BC→. 又n ·AB →＝(1，－1)·(1,1)＝1－1＝0， 所以n ·BC →＝n ·AC →＝2. 【答案】 B4．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A ．AD→＝－13AB →＋43AC → B.AD→＝13AB →－43AC →C ．AD→＝43AB →＋13AC →D.AD→＝43AB →－13AC →【解析】 AD→＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝43AC →－13AB →＝－13AB→＋43AC →.故选A ．【答案】 A5．已知向量a ，b 不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为( )A ．3B ．－3C ．0D ．2【解析】 由原式可得⎩⎨⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝3，∴x －y ＝3. 【答案】 A6．设向量a ＝(－1,2)，b ＝(1，－1)，c ＝(3，－2)，用a ，b 作基底可将c 表示为c ＝p a ＋q b ，则实数p ，q 的值为( )A ．p ＝4，q ＝1B ．p ＝1，q ＝4C ．p ＝0，q ＝4D ．p ＝1，q ＝－4【解析】 ∵c ＝(3，－2)＝p a ＋q b ＝(－p ＋q,2p －q )， ∴⎩⎨⎧ －p ＋q ＝3，2p －q ＝－2，解得⎩⎨⎧p ＝1，q ＝4. 【答案】 B7．已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝( ) A ．－32a 2 B ．－34a 2 C ．34a 2D ．32a 2【解析】 由已知条件得BD →·CD →＝BD →·BA →＝3a ·a cos 30°＝32a 2，故选D. 【答案】 D8．若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为( )【导学号：66470061】A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【解析】 因为c ⊥a ，所以c ·a ＝0，即(a ＋b )·a ＝0， 所以a ·b ＝－a 2＝－1.设a ·b 的夹角为θ， 所以cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－11×2＝－12. 又θ∈[0，π]， 所以θ＝120°. 【答案】 C9．数轴上点A ，B ，C 的坐标分别为－1,1,5，则下列结论错误的是( ) A ．AB→的坐标是2B ．CA →＝－3AB →C ．CB→的坐标是4 D ．BC→＝2AB → 【解析】 答案C 不正确．故选C ． 【答案】 C10．设0≤θ<2π，已知两个向量OP 1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→＝(2＋sin θ，2－cosθ)，则向量P 1P 2→长度的最大值为( )A ． 2B ． 3C ．3 2D ．2 3【解析】 因为P 1P 2→＝OP 2→－OP 1→＝(2＋sin θ－cos θ，2－cos θ－sin θ)，所以|P 1P 2→|＝(2＋sin θ－cos θ)2＋(2－cos θ－sin θ)2＝10－8cos θ≤3 2. 【答案】 C11．如图1所示，半圆的直径AB ＝4，O 为圆心，C 是半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC →上的动点，则(P A →＋PB →)·PC→的最小值为( )图1A ．2B ．0C ．－1D ． －2【解析】 由平行四边形法则得P A →＋PB →＝2PO →，故(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →，又|PC →|＝2－|PO →| 且PO →·PC →反向，设|PO →|＝t (0≤t ≤2)， 则(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2t (2－t ) ＝2(t 2－2t )＝2[(t －1)2－1]． ∵0≤t ≤2，∴当t ＝1时，(P A →＋PB →)·PC →的最小值为－2. 【答案】 D12．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|P A |2＋|PB |2|PC |2等于( )A ．2B ．4C ．5D ．10【解析】 ∵P A →＝CA →－CP →， ∴|P A →|2＝CA →2－2CP →·CA→＋CP →2. ∵PB →＝CB →－CP →，∴|PB →|2＝CB →2－2CP →·CB→＋CP →2， ∴|P A →|2＋|PB →|2＝(CA →2＋CB →2)－2CP →·(CA →＋CB →)＋2CP →2＝AB →2－2CP →·2CD→＋2CP →2.又AB →2＝16CP →2，CD →＝2CP →，代入上式整理得|P A →|2＋|PB→|2＝10|CP →|2，故所求值为10.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．已知向量O A →⊥A B →，|O A →|＝3，则O A →·O B →＝ .【解析】 因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝OA →·(OB →－OA →)＝OA →·OB →－OA 2→＝0，所以OA →·OB →＝OA 2→＝|OA →|2＝9，即OA →·OB→＝9. 【答案】 914．有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为2，为使所走路程最短，小船应朝与水速成 角的方向行驶．【解析】 如图，OA→为水速，OC →是船行驶路程最短的情形，OB →是船行驶的速度，不难知道∠AOB ＝135°.【答案】 135°15．已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为(2,0)，则|P A →＋PB→＋PC →|的最大值为 ． 【解析】 法一：AC 为Rt △ABC 的斜边，则AC 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，故AC 必经过原点，如图，则P A →＋PC →＝2PO →，|P A →＋PB →＋PC →|＝|2PO →＋PB →|≤2|PO →|＋|PB →|，当P ，O ，B 三点共线时取等号，即当B 落在点(－1,0)处时|P A →＋PB →＋PC →|取得最大值，此时，PO →＝(－2,0)，PB →＝(－3,0)，2|PO →|＋|PB →|＝2×2＋3＝7，故|P A →＋PB→＋PC →|的最大值为7.法二：同法一，得|P A →＋PB →＋PC →|＝|2PO →＋PB →|.又PB→＝OB →－OP →， ∴|P A →＋PB →＋PC →|＝|2PO →＋OB →－OP →|＝|OB →－3OP →| ＝OB →2＋9OP →2－6OB →·OP→＝12＋9×22－6×1×2cos ∠POB ＝37－12cos ∠POB ≤37＋12＝7，当且仅当∠POB ＝180°时取“等号”，故|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为7. 法三：同法一，得|P A →＋PB →＋PC →|＝|2PO →＋PB →|.设B (cos α，sin α)，则|2 PO →＋PB→|＝|2(－2,0)＋(cos α－2，sin α)|＝|(－6＋cos α，sin α)| ＝(－6＋cos α)2＋sin 2α＝37－12cos α≤37＋12＝7(当cos α＝－1，即B 落在点(－1,0)处时取等号)．故|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为7. 【答案】 716.如图2，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD→的值是 .图2【导学号：69992032】【解析】 由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB →－AB →＝AD →－34AB →.因为AP→·BP →＝2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－34AB →＝2，即AD →2－12AD →·AB →－316AB 2→＝2.又因为AD2→＝25，AB 2→＝64，所以AB →·AD →＝22.【答案】 22三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠CDA ＝∠DAB ＝90°，CD ＝DA ＝12AB .求证：AC ⊥BC ．【导学号：66470062】【证明】 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系如图，设AD ＝1，则A (0,0)，B (2,0)，C (1,1)，D (0,1)，所以BC →＝(－1,1)，AC →＝(1,1)，BC →·AC →＝－1×1＋1×1＝0，所以AC →⊥BC →，即AC ⊥BC ．18．(本小题满分12分)设OA→＝(2，－1)，OB →＝(3,0)，OC →＝(m,3)．(1)当m ＝8时，将OC→用OA →和OB →表示；(2)若A ，B ，C 三点能构成三角形，求实数m 应满足的条件． 【解】 (1)当m ＝8时，OC→＝(8,3)，设OC →＝xOA →＋yOB →，则(8,3)＝x (2，－1)＋y (3,0)＝(2x ＋3y ，－x )， 所以⎩⎨⎧2x ＋3y ＝8，－x ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝143，所以OC→＝－3OA →＋143OB →.(2)因为A ，B ，C 三点能构成三角形， 所以AB→，AC →不共线， AB→＝(1,1)，AC →＝(m －2,4)， 所以1×4－1×(m －2)≠0，所以m ≠6.19．(本小题满分12分)平面内有四边形ABCD ，BC →＝2AD →，且AB ＝CD ＝DA ＝2，AD→＝a ，BA →＝b ，M 是CD 的中点．(1)试用a ，b 表示BM→；(2)AB 上有点P ，PC 和BM 的交点Q ，PQ ∶QC ＝1∶2，求AP ∶PB 和BQ ∶QM . 【解】 (1)BM→＝12(BD →＋BC →) ＝12(BA →＋AD →＋2AD→)＝32a ＋12b . (2)设BP→＝tBA →，则BQ→＝BC →＋CQ →＝BC →＋23CP →＝2AD →＋23(CB →＋BP →)＝23tBA →＋23AD →＝23(a ＋t b )． 设BQ→＝λBM →＝3λ2a ＋λ2b ，由于BA →，AD →不共线，则有⎩⎪⎨⎪⎧3λ2＝23，λ2＝23t ，解方程组，得λ＝49，t ＝13.故AP ∶PB ＝2∶1，BQ ∶QM ＝4∶5.20．(本小题满分12分)如图3，平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，CE →＝13CB →，CF →＝23CD →.图3(1)用a ，b 表示EF→；(2)若|a |＝1，|b |＝4，∠DAB ＝60°，分别求|EF →|和AC →·FE →的值．【解】 (1)EF→＝CF →－CE →＝23CD →－13CB → ＝－23AB →＋13AD → ＝－23a ＋13b .(2)∵|a |＝1，|b |＝4，a 与b 夹角∠DAB ＝60°， ∴a ·b ＝1×4×cos 60°＝2， ∴|EF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a ＋13b 2 ＝49a 2－49a ·b ＋19b 2＝49－49×2＋19×16 ＝233. ∵AC→＝a ＋b . ∴AC →·FE →＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －13b ＝23|a |2＋13a ·b －13|b |2 ＝23×1＋13×2－13×16 ＝－4.21．(本小题满分12分)已知a ＝(1，cos x )，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，sin x ，x ∈(0，π)．(1)若a ∥b ，求sin x ＋cos xsin x －cos x 的值；(2)若a ⊥b ，求sin x －cos x 的值． 【解】 (1)因为a ∥b ， 所以sin x ＝13cos x ⇒tan x ＝13，所以sin x ＋cos x sin x －cos x ＝tan x ＋1tan x －1＝13＋113－1＝－2.(2)因为a ⊥b ，所以13＋sin x cos x ＝0⇒sin x cos x ＝－13， 所以(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝53. 又因为x ∈(0，π)且sin x cos x <0， 所以x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⇒sin x －cos x >0，所以sin x －cos x ＝153. 22. (本小题满分12分)如图4，AB→＝(6,1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)．图4(1)若BC→∥DA →，求x 与y 之间的关系式； (2)若在(1)的条件下，又有AC →⊥BD →，求x ，y 的值及四边形ABCD 的面积．【解】 (1)∵AD→＝AB →＋BC →＋CD →＝(6,1)＋(x ，y )＋(－2，－3)＝(x ＋4，y －2)， ∴DA→＝－AD →＝(－x －4,2－y )． 又∵BC→∥DA →，BC →＝(x ，y )， ∴x (2－y )－y (－x －4)＝0，即x ＋2y ＝0.(2)∵AC→＝AB →＋BC →＝(6,1)＋(x ，y )＝(x ＋6，y ＋1)， BD→＝BC →＋CD →＝(x ，y )＋(－2，－3)＝(x －2，y －3)， 且AC →⊥BD →，∴AC →·BD →＝0， 即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0. 又由(1)的结论x ＋2y ＝0，∴(6－2y )(－2y －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0， 化简，得y 2－2y －3＝0，∴y ＝3或y ＝－1.—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————桑水 当y ＝3时，x ＝－6.于是有BC→＝(－6,3)，AC →＝(0,4)，BD →＝(－8,0)， ∴|AC→|＝4，|BD →|＝8， ∴S 四边形ABCD ＝12|AC →||BD →|＝16；当y ＝－1时，x ＝2.于是有BC→＝(2，－1)，AC →＝(8,0)，BD →＝(0，－4)， ∴|AC→|＝8，|BD →|＝4， ∴S 四边形ABCD ＝12|AC →||BD →|＝16，∴⎩⎨⎧ x ＝－6，y ＝3，或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1，S 四边形ABCD ＝16.。
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北师大必修4《平面向量》测试题及答案
一、选择题
1.若三点P （1，1），A （2，-4），B （x,-9）共线，则（ ） A.x=-1
B.x=3
C.x=
2
9
D.x=51
2.与向量a=(-5,4)平行的向量是（ ） A.（-5k,4k ）
B.(-
k 5,-k
4) C.(-10,2)
D.(5k,4k)
3.若点P 分AB 所成的比为43
，则A 分BP 所成的比是（ ） A.
7
3
B. 37
C.- 37
D.-7
3
4.已知向量a 、b ，a ·a =-40，|a |=10,|b |=8，则向量a 与b 的夹角为
（ ）
A.60°
B.-60°
C.120°
D.-120°
5.若|a-b|=32041-,|a |=4,|b |=5，则向量a ·b =（ ） A.103
B.-103
C.102
D.10
6.已知a =(3,0),b =(-5,5)，则a 与b 的夹角为( ) A.
4
π
B.
4
3π C.
3
π
D.32π
7.已知向量a =(3,4),b =(2,-1)，如果向量a +x ·b 与b 垂直，则x 的值
为（ ）
A.
3
23 B.
23
3
C.2
D.-
5
2 8.设点P 分有向线段21P P 的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（ ）
A.(-∞,-1)
B.(-1,0)
C.(-∞,0)
D.(-∞,-
2
1) 9.设四边形ABCD 中，有DC =2
1
AB ，且|AD |=|BC |，则这个四边形是（ ） A.平行四边形
B.矩形
C.等腰梯形
D.菱形
10.将y=x+2的图像C按a=(6,-2)平移后得C′的解析式为（）
A.y=x+10
B.y=x-6
C.y=x+6
D.y=x-10
11.将函数y=x2+4x+5的图像按向量a经过一次平移后，得到y=x2的图像，则a等于（）
A.(2,-1)
B.(-2,1)
C.(-2,-1)
D.(2,1)
12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D的坐标是（）
A.(2a,b)
B.(a-b,a+b)
C.(a+b,b-a)
D.(a-b,b-a)
二、填空题
13.设向量a=(2,-1)，向量b与a共线且b与a同向，b的模为25，则b= 。
14.已知：|a|=2,|b|=2,a与b的夹角为45°，要使λb-a垂直，则λ= 。
15.已知|a|=3,|b|=5，如果a∥b，则a·b= 。
16.在菱形ABCD中，（AB+AD）·（AB-AD）= 。
三、解答题
17.如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB=2CD，M、N分别是DC、AB 的中点，已知AB=a,AD=b,试用a、b分别表示DC、BC、MN。
18.已知非零向量,a b 满足||||a b a b +=-,求证: a b ⊥
19.设e 1与e 2是两个单位向量，其夹角为60°，试求向量a =2e 1+e 2,b =-3e 1+2e 2的夹角θ。
20.以原点O 和A （4，2）为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，∠B=90°，求点B 的坐标和AB 。
21. 已知||2a = ||3b =,a b 与的夹角为60o
, 53c a b =+,
3d a kb =+,当当实数k 为何值时，⑴c ∥d ⑵c d ⊥
22.已知△ABC 顶点A （0，0），B （4，8），C （6，-4），点M 内分AB 所成的比为3，N 是AC 边上的一点，且△AMN 的面积等于△ABC 面积的一半，求N 点的坐标。
参考答案
1.B
2.A
3.C
4.C
5.A
6.B
7.D
8.A
9.C 10.B 11.A 12.C 13.(4,-2) 14.2 15.±15 16.0 17.[解] 连结AC
DC =
21AB =2
1
a ,…… AC =AD +DC =
b +21
a ,……
BC =AC -AB = b +21a -a = b-2
1
a ,……
NM =ND +DM =NA +AD +DM = b-4
1
a ,……
MN =-NM =4
1
a -
b 。
……
18. 证：
()()2
2
22
a b a b a b a b a b
a b +=-⇒+=+⇒+=-
2
2
2
2
220a a b b a a b b a b ⇒+⋅+=-⋅+⇒⋅= 又,a b 为非零向量
a b ⇒⊥
19.[解] ∵a =2e 1+e 2,∴|a |2
=a 2
=(2e 1+e 2)2
=4e 12
+4e 1·e 2+e 22
=7,∴|a |=7。
同理得|b|=7。
又a ·b ==（2e 1+e 2）·(-3e 1+2e 2,)=-6e 12+ e 1·e 2+2e 22
=-2
7
， ∴ cos θ=||·||·b a b a =7727
⨯-
=-2
1,∴θ=120°. 20.[解] 如图8，设B(x,y),
则OB =(x,y), AB =(x-4,y-2)。
∵∠B=90°，∴OB ⊥AB ，∴x(x-4)+y(y-2)=0，即x 2
+y 2
=4x+2y 。
①
设OA 的中点为C ，则C(2,1), OC =（2，1），CB =(x-2,y-1) ∵△ABO 为等腰直角三角形，∴OC ⊥CB ，∴2(x-2)+y-1=0，即2x+y=5。
②
解得①、②得⎩⎨⎧==311
1y x 或⎩⎨⎧-==1322y x
∴B(1,3)或B(3,-1)，从而AB =(-3,1)或AB =（-1,-3） 21. ⑴若c ∥d 得59=k ⑵若d c ⊥得14
29-=k
22.[解] 如图10，
ABC
AMN S S △△=BAC AC AB BAC
AN AM ∠∠sin ·||·||2
1
sin ·||·||21
||·||AC AB AN AM 。
∵M 分AB 的比为3||AB =4
3
，则由题设条件得 21=34||AC AN ||AC AN =32||AC AN =2。
由定比分点公式得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
-=+-⨯+==+⨯+=.3821)4(20,42
1620N N y x
∴N(4,-3
8
)。