(完整版)高一数学必修4平面向量练习题及答案(完整版)
(word完整版)高一数学数学必修4平面向量复习题
1•设a 、b 、c 是单位向量，且 a -b = o ,贝U a c ? b c 的最小值为（D )2A.1B.2C. 2A. 2B. 2 2C. 1D.12r r rr r r r r r uu r r r 2解析Q a,b,c 是单位向量a c ?bc ago (a b)gs crr r _ r r r1 |ab|gc| 1 <2cos ab,c 1.2.2.已知向量a 2,1 ,ab 10,|ab| 5J2，则 |b|(C )A. .5B. .10C.5D. 25r r 宀 r 宀 r r r 宀“ r2 2 2 2解析 Q50 |a b| |a | 2a gD |b| 5 20 | b ||b| 5 故选 C.3.平面向量a 与b 的夹角为600, a (2,0) , b 1则a 2b ( B )A.、3B. 2 3C. 4D.2解析 由已知 |a|= 2,|a + 2b|2= a 2 + 4a b + 4b 2= 4+ 4X2X1 Xcos60° + 4= 12A a 2b2^3LUIUuiuuuu uiPC) = 2AP PM=2 AP PM cosO 2 -5.已知a 3,2 , b1,0，向量a b 与a2b 垂直，则实数的值为()1 A.—1 B.-1 C.—D.17766uuruur uuu UUJ uujruuu6.设 D 、E 、 F 分别是△ ABC 的三边 BC 、CA 、AB 上的点，且DC2BD,CE2EA, AF 2FB,UJLT 则ADUUU uuu uuu BE CF 与 BC(A)A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直(A )4444A.B.c.D.9339uu 由APUuu UJ uuuu 解析 2PM 知，p 为 ABC 的重心,根据向量的加法 ,PB P C2PM则 uur 4.在 ABC 中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在AM 上且满足学PALunn uur uuu uuu2PM ，则 PA (PB PC)等于uuruuu uiuuu uuu AP (PB1•设a 、b 、c 是单位向量，且 a -b = o ,贝U a c ? b c 的最小值为（ D )27.已知a , b 是平面内两个互相垂直的单位向量，右向量 c 满足（ac) (b c)0,则 c 的最大值是(C )3 4uuu uuu uuur8.已知O 是厶ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC 0，那么（ A ）则—的取值范围是mA .、3B . 2.3C .6 D . 2、616.在平行四边形 ABCD 中， uuu AE 1 uuu unr-AB, AF1 UULT一AD , CE 与BF 相交于G 点.的最小值为（B ) A. uuir unr AO ODunr uuir B. AO 2ODuuir uuirC. AO 3ODuur unr D. 2AO OD 9•设a5 ^2（4,3） , a 在b 上的投影为 ，b 在x 轴上的投影为2,且 | b |< 14，则 b 为(B ) (2,4)2,C .D . (2,) 10.设a, b 是非零向量，若函数f(x)(xa b) (a xb ）的图象是一条直线, 则必有（ A ）11.设两个向量a （ 2,a//2cos C . |a|)和b|b|D . |a| |b|mm,—2 sin ，其中，m, 为实数.若a 2b ,A . [-6, 1]B. [4,]C. (-6, 1] D . [-1 , 6]12.已知向量a(1, n),（1, n ），若2a b 与b 垂直，则|a（C13•如图，已知正六边形 RP 2P 3P 4P 5P 6 ,F 列向量的数量积中最大的是（A. RP2 ,R F 3B. P 1P 2, P 1P4C. P 1P 2 , P 1 P 5D.P 1P 2 ,P 1P614.已知向量a 尢,|e |= 1，对任意t € R , 恒有|a - t e | 冷一e |,贝y ( B )A. a 丄 eB. e 丄(a - e )C.a 丄(a - e )D.(a + e )丄(a - e )15.已知向量 unr unr n uurOA , OB 的夹角为一，|OA| 4 ,3luu r|OB| 1，若点 M 在直线 OB 上，贝U |&A OM |uuu r uur r uuur AB a, AD b,则AG342 r 1 r 2 rA. a bB. a7 7 7 17.设向量a与b的夹角为A」10 B. 3b 73.10 10C.(2,1),C.1 r r 4 rb D. a7 72b (4,5)，则cosD.18.已知向量a , b的夹角为3，且|a||b| 1 ,19.20.21.22.23.24.中,25.7等于D 则向量a与向量a 2b的夹角等于（5A .6已知向量A. [0, .2]已知单位向量A . 2.3在厶ABC 已知向量已知向量中,arOib-r-|b|其中b均为非零向量, 则| p |的取值范围是(B )B.[0,1]C.(0,2]D.[0,2]a,b的夹角为一，那么a2bAR 2RB,CP 2PR,若AP mAB nAC,贝U mC.a和b的夹角为120 ,B. 7|a| 2，且(2aOAA. [0,4]b) a，则|b |(0,2),OB (2,0),BCB .[冷C 2 cos ,2 sinC. [4,3T]）,贝UOA与OC夹角的取值范围是（上海）直角坐标系xOy中，i, j分别是与x, y轴正方向同向的单位向量. 在直角三角形ABC若AB 2i A. 1 j, AC 3i k j，则k的可能值个数是（B. 2若四边形ABCD满足AB CDc.「uuu0 , (AB3uiur uuirAD) ACD. 4则该四边形一定是BA.直角梯形B.菱形C.矩形D.正方形ir r ir 26.已知向量m,n的夹角为一，且|m |6uuir D为BC边的中点，贝U | AD |（乜,订| 2 ,在△ABC中,uuuABir r uuur ir r2m 2n，AC 2m 6n，112427. A . 2 uuu|OA|已知A.3 B . uuu,|OB| .3 ,OA?O B =0 , AOCD . 8uuur 30o ,设OC uuu uuu mOA nOB (m, nR),则D. 28.如图， 其中45°直角三角板的斜边与 所对的直角边重合.若 x , y 等于B x 3, y 1B. 345°直角三角板和 30°直角三角板拼在一起， 直角三角板的 30°角 uuur y DA , uu u DB 30° uuu r DC 则A. C. x 2, y . 3 二、填空题 1. 若向量 a , b 满足 2. 3. 4. 5. 6. 7.8. 答案 .7 设向量 答案 1 3,y 3 3,y 1 3 1,b 2且a 与b 的夹角为—, 3 a (1,2), (2,3)，若向量 a b 与向量c (4, 7)共线，则已知向量a 与b 的夹角为120°，且a b 4，那么 b (2a b)的值为答案 0 已知平面向量a (2,4) , b ( 1,2).答案 8,2b 的夹角为120 ,答案设向量 答案若向量 答案若向量 答案uuuAB60若 c a (a 则5a bb)b , 则|C|uu ur 2, ACuuu uur3, AB AC | J 19,则r r aba 与b 的夹角为60 , 1，则 a? a bCABa,b 满足2,(a b) a ，则向量a 与b 的夹角等于uuu UULT LUU LUT UJU9. O 为平面上定点，A, B, C 是平面上不共线的三若 (OB OC ) •OB OC 2OA)=0,贝U ABC 的形状是 __________________________ .等腰三角形答案 -2510.不共线的向量m^ , m 2的模都为2,若a3m i2m 2 , b 2mi 3m 2 ,则两向量a b 与a b 的夹角为 _________________ 90 ° 11 •定义一种运算 S a b ，在框图所表达的算法中揭示了这种运算“”的含义•那么，按照运算 “”的含义，计算 tan 15o tan300 tan300 tan 15o _________ 1 ___r r12、 已知向量 a (cos15o ,sin150), b ( sin 150, cos1S),贝y a b 的值为 ________ . 答案113、 已知 Rt △ ABC 的斜边BC=5 ,则 AB BC BC CA CA AB 的值等于y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中,uur r AB ir uuur r rj , AC 2i mj ,则实数 m=答案 —2或0三、解答题rr r r r r1、已知ia 4,|b| 3,(2a — 3b) (2a b) 61 ,r rr r(1 )求 a b 的值；求a 与b 的夹(3)求b 的值;r r r r 心解：(1)由(2a —3b) (2a b) 61 得4a r r 「2「2又由 k 4,|b| 3得 a 16, 9代入上式得64 4a b 2761 a br rr3b14.在直角坐标系xOy 中,i[j 分别是与x 轴,艸(13|fr!=4・得卜2・｛妨=』_虛讪一&r5 52’uuuruur uur(2, 4)，在向量OC 上是否存在点P ，使得PA PB ，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由。
(完整版)高一数学必修4平面向量练习题及答案(完整版)
平面向量练习题一、选择题1、若向量a= (1,1), b= (1,－1), c =(－1,2),则 c等于( )A 、21 a +23bB 、21a 23 bC 、23a 21 bD 、23 a + 21b2、已知，A （2，3），B （－4，5），则与AB 共线的单位向量是（ ）A 、)1010,10103(e B 、)1010,10103()1010,10103(或e C 、)2,6( eD 、)2,6()2,6(或 e3、已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1( 与垂直时k 值为 （ ）A 、17B 、18C 、19D 、204、已知向量OP =(2，1)，OA =(1，7)，OB =(5，1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么XB XA 的最小值是 ( )A 、-16B 、-8C 、0D 、45、若向量)1,2(),2,1( n m 分别是直线ax+(b －a)y －a=0和ax+4by+b=0的方向向量，则 a, b 的值分别可以是 （ ）A 、 －1 ，2B 、 －2 ，1C 、 1 ，2D 、 2，1 6、若向量a =(cos ,sin )，b =(cos,sin)，则a 与b 一定满足 （ ）A 、a 与b 的夹角等于 －B 、(a ＋b )⊥(a －b )C 、a ∥bD 、a ⊥b7、设j i ,分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，j i OP sin 3cos 3 ，i OQ ),2,0(。
若用来表示OP与OQ 的夹角，则等于 （ ） A 、B 、2C 、2D 、8、设 20 ，已知两个向量 sin ,cos 1 OP ， cos 2,sin 22 OP ，则向量21P P 长度的最大值是（ ） A 、2B 、3C 、23D 、二、填空题9、已知点A(2，0)，B(4，0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 运动，则使BP AP 取得最小值的点P 的坐标是 、10、把函数sin y x x的图象，按向量 ,a m n v（m>0）平移后所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小正值为__________________、11、已知向量 m m 则若,),,3(),2,1( 、 三、解答题12、求点A （－3，5）关于点P （－1，2）的对称点/A 、13、平面直角坐标系有点].4,4[),1,(cos ),cos ,1(x x Q x P （1）求向量和的夹角 的余弦用x 表示的函数)(x f ； （2）求 的最值、14、设，)2cos ,sin 2(x x ，x ，)1cos ( 其中x ∈[0，2]、 (1)求f(x)=·的最大值和最小值； (2)当 OA u u u r ⊥OB uuu r ，求|AB u u u r|、15、已知定点)1,0(A 、)1,0( B 、)0,1(C ，动点P 满足：2||PC k BP AP 、（1）求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的图形； （2）当2 k 时，求||BP AP 的最大值和最小值、参考答案一、选择题1、B ；2、B ；3、C ；4、B ；5、D ；6、B ；7、D ；8、C 二、填空题9、(0，0) 10、56m 11、4 三、解答题12、解：设/A （ｘ，ｙ），则有312522xy ，解得11x y 、所以/A （1，－1）。
人教版高一数学必修4第二章平面向量测试题(含答案)
必修4第二章平面向量检测一.选择题:1．以下说法错误的是（ ）A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等 C.平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量 2．下列四式不能化简为AD 的是（ ）A ．；）＋＋（BC CD AB B ．）；＋）＋（＋（CM BC M B ADC ．；－＋BM AD M B D ．；＋－CD OA OC3．已知=（3，4），b =（5，12），a 与b 则夹角的余弦为（ ） A ．6563B ．65 C ．513D ．134． 已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a + 3b | =（ ）A ．7B ．10C ．13D ．45．已知ABCDEF 是正六边形，且−→−AB ＝→a ，−→−AE ＝→b ，则−→−BC ＝（ ）（A ）)(21→→-b a （B ） )(21→→-a b （C ） →a ＋→b 21 （D ） )(21→→+b a6．设→a ，→b 为不共线向量，−→−AB ＝→a +2→b ,−→−BC ＝－4→a －→b ,−→−CD ＝－5→a －3→b ,则下列关系式中正确的是 （ ）（A ）−→−AD ＝−→−BC （B ）−→−AD ＝2−→−BC （C ）−→−AD ＝－−→−BC （D ）−→−AD ＝－2−→−BC 7．设→1e 与→2e 是不共线的非零向量，且k →1e ＋→2e 与→1e ＋k →2e 共线，则k 的值是（ ）（A ） 1 （B ） －1 （C ） 1± （D ） 任意不为零的实数 8．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ，且−→−AC ·−→−BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ）（A ）矩形 （B ） 菱形 （C ） 直角梯形 （D ） 等腰梯形9．已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且−→−PN ＝－2−→−PM ，则P 点的坐标为（ ）（A ） （－14，16）（B ） （22，－11）（C ） （6，1） （D ） （2，4） 10．已知→a ＝（1，2），→b ＝（－2，3），且k →a +→b 与→a －k →b 垂直，则k ＝（ ）（A ） 21±-（B ） 12±（C ） 32±（D ） 23±11、若平面向量(1,)a x =和(23,)b x x =+-互相平行，其中x R ∈.则a b -=（ ）A. 2-或0；B. 25；C. 2或25；D. 2或10. 12、下面给出的关系式中正确的个数是（ ）① 00 =⋅a ②a b b a ⋅=⋅③22a a =④)()(c b a c b a ⋅=⋅⑤b a b a ⋅≤⋅ (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 二. 填空题13．若),4,3(=AB Ａ点的坐标为（－２，－１），则Ｂ点的坐标为 ． 14．已知(3,4),(2,3)=-=a b ，则2||3-⋅=a a b ．15、已知向量)2,1(,3==b a，且b a ⊥，则a 的坐标是_________________。
高一数学必修四平面向量基础练习题及答案
平面向量的基本定理及坐标表示、选择题1、若向量a=（1,1）,b=(1, - 1), c =( —1,2),则c 等于()13 1 3 . 3 1 -3 1 ,A、一a+ —bB、一a — bC、 a — bD、a+ b22 2 2 2 222 2、已知，A (2, 3), B （—4, 5）,则与AB共线的单位向量是( )—r 3.10.10 3.10 10 , 3 1010、A、e (, ---- -)B、e (——, ------ )或( -------- ,)101010 10 1010C、e (6,2)D、e ( 6,2)或(6,2)—*3、已知a，(1,2),b(3,2),ka b与a3b垂直时k值为( )A、171B、18C、19D、204、已知向量OP=(2, 1), OA =(1 , 7), OB =(5 , 1),设X是直线OP上的一点（O为坐标原点），那么XA XB的最小值是()A、-16B、-8C、0D、45、若向量m (1,2),n（2,1）分别是直线ax+(b —a)y —a=0 和ax+4by+b=0 的方向向量，贝U a,b的值分别可以是( )A、 1 , 2B、—2 , 1C、 1 , 2D、2 , 16、若向量a=(cos,sin),b=(cos ,sin）,则a与b 一定满足( )A、a与b的夹角等于一B、(a + b)丄(a —b)C、a// bD、a 丄b7、设i , j分别是x轴，y轴正方向上的单位向量，OP 3cos i3sin j ,(0,?),OQ i。
若用来表示OP与OQ的夹角，贝U 等于（）A、B、—2c、—2D、8、设0 2 ，已知两个向量OR cos , sin , OP2 2 sin , 2 cos ，则向量P-l P2长度的最大值是( )A、、2B、.3C、32D、二、填空题9、已知点A(2 , 0), B(4 , 0)，动点P在抛物线y2=- 4x运动，则使AP BP取得最小值的点P的坐标是____________________________________ 、10、把函数y 、.3cosx si nx的图象，按向量a m,n (m>0)平移后所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小正值为____________________ 、11、_____________________________________________________________ 已知向量OA ( 1,2),OB (3,m),若OA AB,则m ________________________________ 、三、解答题12、求点A (- 3, 5)关于点P (- 1, 2)的对称点A、13、平面直角坐标系有点P(1, cosx), Q (cosx,1), x [,].4 4(1)求向量OP和OQ的夹角的余弦用x表示的函数f(x);(2)求的最值、14、设OA (2sinx,cos2x),OB ( cosx, 1)，其中x€ [0, 卜2(1)求f(x)= OA OB的最大值和最小值;um uuu uuu⑵当OA丄OB，求| AB卜215、已知定点A(0,1)、B(0, 1)、C(1,0)，动点P 满足：AP BP k|PC|、量P-l P2长度的最大值是( )(1)求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的图形；(2)当k 2时，求| AP BP |的最大值和最小值、4min14、解：⑴ f(x)= OAOB = -2sinxcosx+cos2x= 2cos(2x、选择题参考答案I 、 B ; 2、B ; 3、C ; 4、B ; 5、D ; 6、B ; 7、D ; 8、C 二、 填空题 9、 (0, 0)510、 m 一 6II 、 4 三、 解答题12、解：设A3 x2，则有L 25 y 2解得1、所以 A/(1，- 1)o13、解：(1)OP OQ 2cosx,|OP||OQ| 12cos x, cosOP OQ |OP| |OQ|2cosx 1 cos 2 xf (x)(2) COSf(x)2cosx 1 2cos2 cosxcosxcosx2T 1]2 cosx3.2cosx◎ f(x) 1,即 口33cos 1max2(2 arccos一 3AP BP(x, y1) (x, y 1) (2x,2y) •••I AP BP |5■/ 0$w ,_w2+— <— 2 4 4 4• ••当 2X+ —= 一，即 x=0 时，f(X )max =1 ；4 4当 2x+ 一= n,即 x= — n 时，f(x) min =- 2、4 8⑵ OA OB 即 f(x)=0 , 2x+ 一 = — , • x= 一、428此时 | AB |, (2sinx cosx)2 (cos2x 1)2=.4sin 2 x cos 2 x 4sin xcosx (cos2x 1)27 72— —cos2x 2sin2x cos 2x 2 22 7cos — 2sin — cos2 — 2 2 4 44=1 ■16 3.2、2的圆、|1 k|, 方 程化 为 (x 2)2 y 2115、解:(1 ）设动点P 的坐标为(x, y),则AP(x,y 1) , BP(x,y 1),PC (1 x,y)AP BP k | PC |2,• x 2y 21 k (x2 21) y即 (1 k)x 2(1 k)y 22kx k 10。
(完整版)高一数学必修4《平面向量》测试卷(含答案),推荐文档
A
B
《平面向量》答案解析
19.解：(1)由题意知则AB (3,5), AC (1,1),
一.选择题.(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)
AB AC (2, 6), AB AC (4, 4)
BDBAD BAADC AB
AB AC 2 10, AB AC 4 2
A. a b c d 0
B. a b c d 0
a b mq np .下列说法错误的是（ ）
C. a b c d 0
D. a b c d 0
A.若 a与b 共线，则 a b 0
B. a b b a
7.若 a (我2,3)去,b 人(4也,7) ，就则有b在a人方向！上为的投U影R为扼（腕入）站内信不存在向你偶同C.意R调, 都剖有 (沙a)龙b 课 (反a 倒b) 是龙卷风D.前(a 一b)2天 (a我b)2分 a页2 b符2 ZNBX吃噶十
16.已知正方形 ABCD 的边长为1，点 E 是 AB 边上的动点，则 DE CB 的值为
（3）若点 M 为直线 OD 上的一个动点，当 MA MB 取最小值时，求 OM 的坐标.
， DE DC 的最大值为
.
三.解答题.（本大题共 6 小题，其中 17 题 10 分，其余 5 个小题每题 12 分，共 70
AB AD
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(2)设C则(由x, 得y), AD BC (3,3) (x 3, y 2)
x 0, y 5
C (0, 5)
(3)设M则(a,b), OM (a,b),OD (1, 4)
O, M , D三点共线
a b 1 4
b 4a
MA MB (2 a,1 b) (3 a, 2 b)
(完整版)高中数学平面向量习题及答案
第二章 平面向量一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．AD 与AE 相等D ．AD 与BD 相等2．下列命题正确的是( )． A ．向量AB 与BA 是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若AB ＝DC ，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足OC ＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP ＝( )． A ．λ(AB ＋AD )，λ∈(0，1) B ．λ(AB ＋BC )，λ∈(0，22) C ．λ(AB －AD )，λ∈(0，1)D ．λ(AB －BC )，λ∈(0，22) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则DF ＝( )． A ．EF ＋EDB ．EF －DEC ．EF ＋ADD ．EF ＋AF7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )．(第1题)A．2 B．4 C．6 D．128．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB ＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的()．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，DC＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()．A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形10．如图，梯形ABCD中，|AD|＝|BC|，EF∥AB∥CD则相等向量是()．A．AD与BC B．OA与OBC．AC与BD D．EO与OF(第10题)二、填空题11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x ＝．13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋m b)⊥(a－b)，则实数m等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O 是△ABC的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a＋c ＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)．(第19题) 20．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值．参考答案一、选择题 1．B解析：如图，AB 与AC ，AD 与AE 不平行，AD 与BD 共线反向．2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若AB ＝DC ，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对．3．D解析：提示：设OC ＝(x ，y )，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)，α OA ＝(3α，α)，β OB ＝(－β，3β)，又αOA ＋β OB ＝(3α－β，α＋3β)，∴ (x ，y )＝(3α－β，α＋3β)，∴⎩⎨⎧βαβα33＋＝－＝y x ，又α＋β＝1，由此得到答案为D ．4．B解析：∵(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，∴(a －2b )·a ＝a 2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝b 2－2a ·b ＝0，∴ a 2＝b 2，即|a |＝|b |．∴|a |2＝2|a ||b |cos θ＝2|a |2cos θ．解得cos θ＝21． ∴ a 与b 的夹角是3π． 5．A解析：由平行四边形法则，AB ＋AD ＝AC ，又AB ＋BC ＝AC ，由 λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵AF ＝DE ， ∴ DF ＝DE ＋EF ＝EF ＋AF ．(第6题)(第1题)7．C解析：由(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，得a 2－a ·b －6b 2＝－72． 而|b |＝4，a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝2|a |， ∴ |a |2－2|a |－96＝－72，解得|a |＝6． 8．D解析：由 OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，得OA ·OB ＝OC ·OA , 即OA ·(OC －OB )＝0，故BC ·OA ＝0，BC ⊥OA ，同理可证AC ⊥OB ， ∴ O 是△ABC 的三条高的交点． 9．C解析：∵AD ＝AB ＋BC ＋D C ＝－8a －2b ＝2BC ，∴AD ∥BC 且|AD |≠|BC |． ∴ 四边形ABCD 为梯形． 10．D解析：AD 与BC ，AC 与BD ，OA 与OB 方向都不相同，不是相等向量． 二、填空题 11．－32． 解析：A ，B ，C 三点共线等价于AB ，BC 共线，AB ＝OB －OA ＝(4，5)－(k ，12)＝(4－k ，－7)，BC ＝OC －OB ＝(－k ，10)－(4，5)＝(－k －4，5)，又 A ，B ，C 三点共线，∴ 5(4－k )＝－7(－k －4)，∴ k ＝－32． 12．－1．解析：∵ M (－1，3)，N (1，3)， ∴ MN ＝(2，0)，又a ＝MN ，∴ ⎩⎨⎧0＝4－3－2＝3＋2x x x 解得⎩⎨⎧4＝1＝－1＝－x x x 或∴ x ＝－1． 13．－25．解析：思路1：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴ △ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0， ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(BC ＋AB ) ＝－(CA )2 ＝－2CA ＝－25．思路2：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴∠ABC ＝90°， ∴ cos ∠CAB ＝CA AB＝53，cos ∠BCA ＝CABC＝54．根据数积定义，结合图(右图)知AB ·BC ＝0， BC ·CA ＝BC ·CA cos ∠ACE ＝4×5×(－54)＝－16， CA ·AB ＝CA ·AB cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9． ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0―16―9＝－25． 14．323． 解析：a ＋m b ＝(3＋2m ，4－m )，a －b ＝(1，5)． ∵ (a ＋m b )⊥(a －b )，∴ (a ＋m b )·(a －b )＝(3＋2m )×1＋(4－m )×5＝0 m ＝323． 15．答案：重心．解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF 交AC 于D(第13题)点E ，则OF ＝OA ＋OC ，又 OA ＋OC ＝－OB ，∴ OF ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心． 16．答案：平行四边形．解析：∵ a ＋c ＝b ＋d ，∴ a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ． ∴ 四边形ABCD 为平行四边形． 三、解答题 17．λ＜－1．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则AP ＝(x ，y )－(2，3)＝(x －2，y －3)． AB ＋λAC ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］＝(3，１)＋λ(5，7) ＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵ AP ＝AB ＋λAC ，∴ (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∴ ⎩⎨⎧+=-+=-λλ713532y x 即⎩⎨⎧+=+=λλ7455y x要使点P 在第三象限内，只需⎩⎨⎧<+<+074055λλ 解得 λ＜－1．18．DF ＝(47，2)． 解析：∵ A (7，8)，B (3，5)，C (4，3)， AB ＝(－4，－3)，AC ＝(－3，－5)．又 D 是BC 的中点， ∴ AD ＝21(AB ＋AC )＝21(－4－3，－3－5) ＝21(－7，－8)＝(－27，－4)． 又 M ，N 分别是AB ，AC 的中点， ∴ F 是AD 的中点， ∴ DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27，－4)＝(47，2)． (第18题)19．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ． ∴ AF ·ED ＝(a ＋21b )·(b －21a )＝21b 2－21a 2＋43a ·b ． 又AB ⊥AD ，且AB ＝AD ，∴ a 2＝b 2，a ·b ＝0． ∴ AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴ |2a －b |2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ． 又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos3π－cos θsin 3π)＝8sin (θ－3π)，最大值为8， ∴ |2a －b |2的最大值为16，∴|2a －b |的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2a －b |表示2a ，b 终点间的距离．|2a |＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ |的最大值为直径的长为4．(第19题)。
必修4平面向量 附详细答案
附详细答案15 向量的概念及表示1． 下列量中是向量的有 ．（填写序号） （1）速度； （2）体重； （3）力； （4）位移； （5）距离； （6）高度．2． 下列说法正确的有 ．（填写序号）（1）零向量是长度为0的向量； （2）向量可以用有向线段来表示； （3）所有单位向量都相等； （4）所有单位向量的模都相等．3． 把平面上所有单位向量归结到共同的起点，那么这些向量的终点所构成的图形为 ．4． 在四边形ABCD 中，AB DC =，且||||AB BC = ，则这个四边形是 ．5． 已知O 是正方形ABCD 对角线的交点，在以O ，A ，B ，C ，D 这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，与BC相等的向量有 ． 6． 下列命题中正确的是 ．①a b = ，则a ∥b ；②a b = ，则a =b ； ③||||a b = ，则a b = ； ④a b = ，则||||a b = ．7． 在ABCD 中，以A 、B 、C 、D 为端点的向量中，与AB 平行的向量（AB除外）共有 个．8． 有下列四个命题：①两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同；②两个有公共终点的向量，一定是共线向量；③两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同；④若AB 与CD是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上．其中正确的命题个数为 ．9． 如图1，在5×4方格纸中有一个向量AB ，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与AB 相等的向量（AB除外）共有 个．10．如图2，以边长为1的正方形所组成4×2的方格纸中的格点为起点和终点的所有向量中，模等于5的向量有 个不同的方向． 11．已知飞机从甲地按北偏东300的方向飞行2000km 到达乙地，再从乙地按南偏东300的方向飞行2000km 到达丙地，再从丙地按西南方向飞行10002km 到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？12．如图，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形．在图中所示的．．．．．向量中： （１）分别写出与AO ，BO相等的向量； （２）写出与AO共线的向量；图2图1（３）写出与AO的模相等的向量； （４）向量AO 与CO是否相等？16 向量的加法1． 向量的加法满足 法则或 法则．2． 已知C 是线段AB 的中点，则AC BC + ＝ ． 3． ()()AB MB BO BC OM ++++化简后的向量为 ．4． 在ABCD 中，,AB AD ==a b ，则CA - ＝ ．5． 在矩形ABCD 中，若3,4AB BC == ，则AB AD +＝ ．6． 在正方形ABCD 边长为1，,,AB AD AC ===a b c ，则++a b c 的模等于 ．7． 设()()a AB CD BC DA =+++，而0b ≠ ，则下列各结论中：①a ∥b ；②a b a += ；③a b b += ；④||||||a b a b +<+，正确的是 ．8． 设⊿ABC 三边上的中线分别为AD 、BE 、CF 且它们相交于点G ，则下列三个向量AB BC CA ++ 、GA GB GC ++ 、BF DC AE ++ 中等于0的个数是 ．9． 在⊿ABC 中，,AB AC ==a b ，若点M 为边BC 的中点，则AM ＝ ．10．已知3,4==a b ，则+a b 的取值范围是 ．11．如图，P 、Q 是⊿ABC 的边BC 上的两点，且BP =QC ，求证：AB AC AP AQ +=+．12．如图，在任意四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 中点．QPCA17 向量的减法1． 向量的减法满足 法则． 2． 在∆ABC 中，||||||1AB BC CA === ，则||AB AC -的值为 ．3． 在ABCD 中，若AB = a ，AD = b ，则BD =．4． 下列四式不能化简为的是 ．①（+CD ）+BC ； ②（+MB ）+（BC +CM ）； ③MB +-AD BM ； ④OC OA -+CD ．5． 已知四边形ABCD 的对角线的交点为O ，若,OA CO DO BO -=+=00，则四边形ABCD 的形状是 ．6．有一边长为1的正方形ABCD ，设,,,AB BC AC ===a b c 则--=a b c ．7． 已知||||||a b a b ==-，作OA a = ，OB a b =+ ，则∠AOB = ．8． 已知3,4==a b ，则-a b 的取值范围是 ．9． 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知A ，B ，C 是不共线的三个定点，动点P 满足OP OA - 与OB OC -共线，则点P 的轨迹为 ．10．已知1,1,==+=a b a b -a b ＝ ．11．如图，四边形ABCD 是一个梯形，AB ∥CD 且AB =2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，若AB a = ，AD b =，14MC a = ，试用a ，b 表示BC 和MN ．12．在静水中划船的速度是每分钟40米，水流的速度是每分钟20米，如果船从岸边出发，径直沿垂直与水流的航线到达对岸，那么 船行进方向应指向何处，实际船速为多少？18 向量的数乘（1）1． λa 与a 是共线向量，当0λ>时，λa 与a 方向 ；当0λ<时，λa 与a 方向 ；当0λ=时，λa ＝ ．且总有λa ＝ ．2． 设a ≠0，则与a 方向相同的单位向量可表示为 ．3． 已知m 、n 是实数，a 、b 是向量，对于命题：其中正确命题为_____________________．①()m m m -=-a b a b ；②()m n m n -=-a a a ；③若m m =a b ，则a b =；④若m n =a a ，则m n =． 4． 计算4(32)(368)-+---+a b c a b c =__________．5． 已知向量a ，b ，且2()3()+--=b x a x 0，则x ＝__________．6． 已知点P 是线段AB 的三等分点，则AP ＝ PB．7． 已知E 、F 分别为四边形ABCD 的边CD 、BC 边上的中点，设AD = a ，BA = b ，则EF= ．8． 已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不含端点A 、C ），若()AP AB AD λ=+，则实数λ∈ ．9． 点C 在线段AB 上，且35AC AB = ，若AC BC λ=，则λ= ．10．在ABC △中，AB = c ，AC = b ．若点D 满足2BD DC = ，则AD =． 11．如图，在∆ABC 中，G 是∆ABC 的重心，证明：()13AG AB AC =+12．已知OA 和OB 是不共线向量，且()AP t AB t =∈R，试用OA 和OB 表示OP ．19 向量的数乘（2）1． 如果()λ=≠b a a 0，则称向量b 可以用非零向量a ． 2． 点P 在线段AB 上，且47AP AB =，则AP ＝ BP ． 3． 设点P ，Q 是线段AB 的三等分点，若,,OA OB ==a b 则OP OQ +＝ ．4． 设a ，b 不共线，已知32,(2)AB BC k k =+=+-a b a b，若Ａ，B ，C 三点共线，则实数k 的值为 ．5． 设两个非零向量a ，b 不共线，且k +a b 与k +a b 共线，则k 的值为 ．6． 已知Ａ，B ，C 三点共线，O 为平面内任意一点，若OC OA OB λμ=+，则 λμ+＝ ．7．已知⊿ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P ，若PA PB PC AB ++=，则关于点P 的位置的正确说法是 ．①P 在⊿ABC 的内部 ；②P 在⊿ABC 的外部；③P 在直线AB 上；④P 在AC 线段上．8．已知,λμ∈R ，a 与b 不共线，非零向量=c λμ+a b ，若c ∥a ，则,λμ满足的条件为 ．9． 已知平面内有一定角BAC ∠和一动点P 满足()AB ACAP AB ACλ=+，则点P 的轨迹为 ．10．若平面向量a ，b 共线，则下列说法正确的是 ．①a ，b 方向必相同；②a ，b两向量中至少有一个为零向量；③存在λ∈R ，使λ=b a ；④存在不全为零的实数1λ，2λ，12λλ+=a b 0．11．已知2AB =+a b，3AC =-a b ，AD = 5λ+a b ，其中a 与b 不共线，且B 、C 、D 三点共线，求λ的值．12．设O 是正△ABC 的中心，P 为平面上任意一点，证明：3PA PB PC PO ++=．20 平面向量基本定理1． 下列说法正确的有 ．①平面内有且只有一对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底； ②平面内有无数对不共线的向量可以作为表示该平面所有向量的基底； ③基向量不可能是零向量；④基向量可以是单位向量． 2．如果e 1和e 2是平面向量的一组基底，则下列说法错误的是 ．①若实数1λ，2λ使1122λλ+=e e 0，则120λλ==；②平面内任何一个向量都可以用一对有序实数1λ，2λ表示为1122λλ+e e ； ③平面内存在一个向量a ，使1122λλ=+a e e 成立的实数1λ，2λ有无数对；④若存在实数1212λλμμ,,,使1122λλ=+a e e 和1122μμ=+a e e 都成立，则1122λμλμ==,．3． 在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，DC 的中点，若基底为,BC AD ，则EF =．4． 已知e 1和e 2是平面向量的一组基底，若k e 1＋e 2与9e 1＋k e 2不能作为平面内所有向量的一组基底，则实数k 的值为 ．5． 已知向量e 1，e 2不共线，实数x 、y 满足(3x －4y )e 1+(2x －3y )e 2=6e 1+3e 2，则x －y ＝ ． 6． 若向量a 的一个正交分解是12,=+a e e 且1222,==e e 则=a ．7． 在ABCD 中，,,3AB AD AN NC ===a b，M 为BC 的中点，则MN = ．（用,a b 作基底表示）8． 已知1,,OA OB OA OB ==⊥ 点C 在直线AB 上且AOC ∠30o=．设(,)OC mOA nOB m n R =+∈ ，则mn＝ ．9． 如图，平面内有三个向量、OB 、OC ,其中与与OB 的夹角为120°， 与OC 的夹角为30°，且||＝|OB |＝1，|OC |＝32，若OC ＝λ+μOB （λ，μ∈R ），则λ+μ的值为 ．10．ABC ∆外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(m ++=，则实数m = ．11．已知e 1和e 2是两个不共线的向量，若12121228,3,2,AB CB CD =-=+=-e e e e e e求证：A 、B 、D 三点共线．12．如图，在ABCD 中，点M 在AB 的延长线上，且2,AB BM = 点N 在BC 上，且3,BC BN =证明M ，N ，D 三点共线．21平面向量的坐标运算（1）1． 以原点为起点，点M (x ，y )为终点的向量OM的坐标可以用 来表示．2． 分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，若向量a ＝x i ＋y j ，则a 的坐标为 ．3． 已知点A （1，3），则与向量OA 方向相同的单位向量的坐标为 ．4． 与向量a ＝（12，5）平行的单位向量为 ．5． 已知点A （2，4），B （3，6），则向量AB ＝ ，BA ＝ ．6． 已知a ＝(1,2)，b ＝(－2,1)，则3a －2b ＝ ．7． 已知O为坐标原点，(1OA = ，现将A 点绕着O 点逆时针旋转π2到达点B ，则向量OB 的坐标为 ． 8． 已知向量(3,1),AB =-将表示向量的有向线段沿x 轴向左平移1个单位，再沿y 轴向上平移1个单位，得到有向线段''A B ，那么向量''A B的坐标是 ．9． 若向量a ＝(1,1)，＝(1,－1)，c ＝(－1,2)，若c ＝x a ＋y b ，则x ＋y ＝ ．10．已知O 为坐标原点，A （2，－1），B （－4，8），且3AB BC += 0，则OC的坐标是 ． 11．已知点(1,2),(2,8),A B -且向量11,,33AC AB DA BA ==-求点,C D 及向量CD 的坐标．12．在直角坐标平面内，已知=（6,22---x x x x ），且的坐标所表示的点在第四象限，求x 的取值范围．A BM22 平面向量的坐标运算（2）1． 下列说法正确的有 ． （1）存在向量a 与任何向量都是平行向量；（2）如果向量a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），且a ∥b ，则x 1y 1＝x 2y 2；（3）如果向量a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），且a ∥b ，则x 1 y 2－x 2 y 1＝0； （4）如果向量a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），且x 1y 1＝x 2y 2，则a ∥b ．2． 已知向量a =(2,3)，b =(x ,-6)，当a //b 时，x 的值为 ．3． 设梯形ABCD 的顶点坐标为A （－1，2），B （3，4），D （2，1），且AB //DC ，AB =2CD ，则点C 的坐标 ． 4． 已知平行四边形的三个顶点是（3，－2），（5,2），(－1,4)，则第四个顶点的坐标为 ． 5． 已知a =(3,4)，b =(sin α，cos α)，a //b ，则tan α= ．6． 已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k ＝ ． 7． 设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ ． 8． 将函数21xy =+的图象按向量a 平移得到函数12x y +=的图象，则=a ．9． 已知向量a ＝(－1,2)，点A (－2,1)，若AB∥a ，且AB = 则OB 的坐标为 ． 10．已知向量(31)(13),(,7)k ===a b c ，,，，若()-a c ∥b ，则k = ． 11．设向量a =(2,1)，b =(x ，－1)，当a ＋2b 与2a －b 平行时，求实数x 的值．12．已知点(0,0),(1,2),(4,5),O A B 且.OP OA t AB =+（1）若点P 在x 轴上，求实数t 的值．（2）若点P 在第二象限，求实数t 的取值范围．（3）四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的实数t ；若不能，说明理由．23 向量的数量积（1）1．已知向量a 和向量b 的夹角为30o，2,==a b a 和向量b 的数量积∙a b ＝ ．2． 已知正△ABC 的边长为1，则AB BC＝ ．3．下列等式中，恒成立的是 ．①222()=a b a b ；②2()()()-=-a b b a a b a b ；③3322()()+-+=+a b a a b b a b； ④2222()-+=-a a b b a b． 4． 设a ，b ，c 是三个非零向量，下列结论正确的是 ．①若∙=a b a b ，则a b ； ②若∙=∙a c b c ，则=a b ； ③若+=-a b a b ，则⊥a b ；④∙a b a b ≤．5． 已知a ，b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a +3b |＝ ． 6． 若||1,||2,===+a b c a b ，且⊥c a ，则向量a 与b 的夹角为 ．7． 已知平面上三点A ,B ,C 满足3,4,5AB BC CA ===，则AB BC BC CA CA AB ∙+∙+∙ 的值等于 ．8． 已知⊥a b ，2,3,==a b 且32+a b 与λ-a b 垂直，则实数λ＝ ．9． 在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若AM ＝2，则)(OC OB OA +∙的最小值是_____．10．已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,OA OB OC NA NB NC ==++=0， PA PB PB PC PC PA ∙=∙=∙，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的 ．①重心 外心 垂心 ②重心 外心 内心 ③外心 重心 垂心 ④外心 重心 内心 11．已知5,==a b 向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |和|a －b |的值．12．已知向量a 与b 的夹角为120，且4,2,==a b 求： （1）(32)(4);-+b a a b （2）34.-a b24 向量的数量积（2）1． 已知平面向量(3,1)=a ，(,3)x =-b ，且⊥a b ，则 x ＝ ．2． 已知向量(2,1)=-a ，(3,2)=-b ，则(3)(2)--a b a b＝ ．3． 已知向量a = (2,1)，a·b =10，︱a +b ︱=b ︱= ．4． 已知向量(1,2),(2,4),||==--a b c 若5(),2+=a b c 则向量a 与c 夹角为 ． 5． 已知向量(1,1)=a ，(2,3)=-b ，若2k -a b 与a 垂直，则实数k 等于 ．6． 已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c = ．7． 若向量(4,3),1=-=a b ，且5∙=a b ，则向量=b ．8． 与(3,2)=a 垂直的单位向量为 ．9．已知(2,2),(5,).k =-=a b 若+a b 不超过5，则k 取值范围为 ．10．若(,1),(2,3)x x ==a b ，那么22||||∙+a ba b 的取值范围是 ．11．设(,2),(3,5),x ==-a b 若a 与b 的夹角为钝角，求实数x 的取值范围．12．已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2＜θ＜π2．若a ⊥b ，求θ．25 向量的应用1． 夹角为120°的两个力f 1，f 2作用于同一点，且|f 1|＝|f 2|＝m （m ＞0），则f 1，f 2的合力f 的大小及f 与f 1的夹角分别为 ．2． 某人以 a km/h 的速度向东行走，此时正刮着时速为a km/h 的北风，此人感到的风向和风速分别为 ．3．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -∙+-=，则△ABC 的形状是 ．4． 若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+- ，则△ABC 的形状是 ．5． 直线 l 垂直于向量a ＝（1，4），则 l 的斜率为 ．6． 若直线 l 经过点（1，1），且平行于向量a ＝（2，3），则直线 l 的方程为 ． 7． 已知向量(sin ,2)θ=-a 与(1,cos )θ=b 互相垂直，其中(0,)2πθ∈，则tan θ＝ ．8． 若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =+-的图象，则向量a = ．9． ABCD 中，,AB AD ==a b，则ABCD 的面积为 ．10．有两个向量1(1,0)=e ，2(0,1)=e ，今有动点P ，从0(1,2)P -开始沿着与向量12+e e 相同的方向作匀速直线运动，速度为12||+e e ；另一动点Q ，从0(2,1)Q --开始沿着与向量1232+e e 相同的方向作匀速直线运动，速度为12|32|+e e ．设P 、Q 在时刻0t =秒时分别在0P 、0Q 处，则当00PQ P Q ⊥时，t = 秒．11．某人在静水中游泳的速度为3m/s ，河水自西向东流速为1m/s ，若此人朝正南方向游去，求他的实际前进方向和速度。
平面向量练习题及答案
平面向量练习题及答案1. 向量初步概念和运算(1) 已知向量a=3i+4j，求向量a的模长。
答案：|a| = √(3^2 + 4^2) = 5(2) 已知向量b=-2i+5j，求向量b的模长。
答案：|b| = √((-2)^2 + 5^2) = √29(3) 已知向量c=2i+3j，求向量c的模长和方向角（与x轴正方向的夹角）。
答案：|c| = √(2^2 + 3^2) = √13方向角θ = arctan(3/2)2. 向量的线性运算(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a+b。
答案：a+b = (3-2)i + (4+5)j = i + 9j(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=2i-7j，求向量a-b。
答案：a-b = (3-2)i + (4-(-7))j = i + 11j(3) 已知向量a=3i+4j，求向量-2a的模长。
答案：|-2a| = |-2(3i+4j)| = |-6i-8j| = √((-6)^2 + (-8)^2) = 103. 向量的数量积与投影(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a·b的值。
答案：a·b = (3*-2) + (4*5) = -6 + 20 = 14(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a在b方向上的投影。
答案：a在b方向上的投影= (a·b)/|b| = 14/√294. 向量的夹角和垂直判定(1) 判断向量a=3i+4j和向量b=-2i+5j是否相互垂直。
答案：两个向量相互垂直的条件是a·b = 0。
计算得到a·b = 14，因此向量a和向量b不相互垂直。
(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=-8i+6j，求向量a和向量b的夹角。
答案：向量a和向量b的夹角θ = arccos((a·b)/(∣a∣*∣b∣)) = arccos((-66)/(√25*√100))5. 向量共线和平面向量的应用(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-6i-8j，判断向量a和向量b是否共线。
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平面向量练习题
一、选择题
1、若向量a
= (1,1), b
= (1,－1), c =(－1,2),则 c
等于( )
A 、21 a +23b
B 、21a 23 b
C 、23a 2
1 b
D 、2
3 a + 21b
2、已知，A （2，3），B （－4，5），则与AB 共线的单位向量是
（ ）
A 、)10
10
,10103(
e B 、)10
10
,10103()1010,10103(
或e C 、)2,6( e
D 、)2,6()2,6(或 e
3、已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1( 与垂直时k 值为 （ ）
A 、17
B 、18
C 、19
D 、20
4、已知向量OP =(2，1)，OA =(1，7)，OB =(5，1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么XB XA 的最小值是 ( )
A 、-16
B 、-8
C 、0
D 、4
5、若向量)1,2(),2,1( n m 分别是直线ax+(b －a)y －a=0和ax+4by+b=0的方向向量，则 a, b 的值分别可以是 （ ）
A 、 －1 ，2
B 、 －2 ，1
C 、 1 ，2
D 、 2，1 6、若向量a =(cos ,sin )，b =(cos
,sin
)，则a 与b 一定满足 （ ）
A 、a 与b 的夹角等于 －
B 、(a ＋b )⊥(a －b )
C 、a ∥b
D 、a ⊥b
7、设j i ,分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，j i OP sin 3cos 3 ，i OQ ),2
,0(。
若用来表示OP
与OQ 的夹角，则等于 （ ） A 、
B 、
2
C 、
2
D 、
8、设 20 ，已知两个向量 sin ,cos 1 OP ， cos 2,sin 22 OP ，则向量21P P 长度的最大值是（ ） A 、2
B 、3
C 、23
D 、
二、填空题
9、已知点A(2，0)，B(4，0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 运动，则使BP AP 取得最小值的点P 的坐标
是 、
10、把函数sin y x x
的图象，按向量 ,a m n v
（m>0）平移后所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小
正值为__________________、
11、已知向量 m m 则若,),,3(),2,1( 、 三、解答题
12、求点A （－3，5）关于点P （－1，2）的对称点/A 、
13、平面直角坐标系有点].4
,4[),1,(cos ),cos ,1(
x x Q x P （1）求向量和的夹角 的余弦用x 表示的函数)(x f ； （2）求 的最值、
14、设，)2cos ,sin 2(x x ，
x ，)1cos ( 其中x ∈[0，2
]、 (1)求f(x)=·
的最大值和最小值； (2)当 OA u u u r ⊥OB uuu r ，求|AB u u u r
|、
15、已知定点)1,0(A 、)1,0( B 、)0,1(C ，动点P 满足：2
||
PC k BP AP 、
（1）求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的图形； （2）当2 k 时，求||
BP AP 的最大值和最小值、
参考答案
一、选择题
1、B ；
2、B ；
3、C ；
4、B ；
5、D ；
6、B ；
7、D ；
8、C 二、填空题
9、(0，0) 10、56
m 11、4 三、解答题
12、解：设/
A （ｘ，ｙ），则有31252
2
x
y ，解得11x y 、所以/A （1，－1）。
13、解：（1）)(cos 1cos 2|
|||cos ,cos 1||||,cos 222x f x
x
OQ OP x OQ OP x OQ OP
（2）
x
x x
x
x f cos 1cos 2cos 1cos 2)(cos 2
且]4
,4[
x ，]1,22[cos x 223cos 1cos 2
x x 1cos 3
2
2,1)(322 即x f ;322arccos max 0min
14、解：⑴f(x)=·
= -2sinxcosx+cos2x=)4
2cos(2
x 、
∵0≤x ≤2 ， ∴4 ≤2x+4 ≤45
、 ∴当2x+4 =4
，即x=0时，f(x)max =1；
当2x+4
=π，即x=83π时，f(x)min = -2、
⑵OB OA 即f(x)=0，2x+4 =2 ，∴x=8
、
此时||22)12(cos )cos sin 2(
x x x
=2
2
2
)12(cos cos sin 4cos sin 4 x x x x x
=
x x x 2cos 2sin 22cos 2
7
272
=
4
cos 4sin 24cos 27272 =
23162
1
、 15、解：( 1 ) 设动点P 的坐标为),(y x ，
则)1,( y x AP ，)1,( y x BP ，),1(y x PC
、
∵2
||
PC k BP AP ，∴
2
222)1(1y x k y x ，
即 012)1()1(2
2
k kx y k x k 。
若1 k ，则方程为1 x ，表示过点)0,1(且平行于y 轴的直线、 若1 k ，则方程为222)11()1(k y k k x
，表示以)0,1(k
k
为圆心，以为半径 |
1|1
k 的圆、
( 2 ) 当2 k 时，方程化为1)2(2
2
y x 、)2,2()1,()1,(y x y x y x BP AP
∴2
22||y x BP AP
、
又∵1)2(2
2
y x ，∴ 令 sin ,cos 2 y x ，则
cos 4522||22
y x BP AP
∴当1cos 时，||
BP AP 的最大值为6，当1cos 时，最小值为2。