高中数学必修4平面向量知识点总结

高中数学必修4 平面向量

知识点归纳

一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念：

①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a

,,……来表示，或用有向线段的

起点与终点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ，a

；坐标表示法

),(y x yj xi a

向量的大小即向量的模（长度）

，记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a

｜

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．

②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0

与任意向量平行零向

量a ＝0 ｜a

｜＝0 由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在

有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）

③单位向量：模为1个单位长度的向量

向量0a 为单位向量 ｜0a

｜＝1

④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以

移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b

由于向量可

以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量

数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为

b a

大小相等，方向相同

),(),(2211y x y x 21

2

1y y x x

2向量加法

求两个向量和的运算叫做向量的加法

设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u

r u u u r =AC u u u r

（1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律；

向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：

（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量

（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一

个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点

当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

L ，但这时必须“首尾相连”．

3向量的减法

① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a

的相反向量

记作a

,零向量的相反向量仍是零向量

关于相反向量有： （i ）)(a =a ； (ii) a +(a )=(a )+a =0

；

(iii)若a 、b

是互为相反向量，则a =b ,b =a ,a +b =0

②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b

的差， 记作：)(b a b a

求两个向量差的运算，叫做向量的减法

③作图法：b a 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b

有共同起

点）

4实数与向量的积：

①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa

，它的长度与方向规定如下：

（Ⅰ）a a

；

（Ⅱ）当0 时，λa 的方向与a 的方向相同；当0 时，λa 的方向与a

的方向相反；当0 时，0

a ，方向是任意的

②数乘向量满足交换律、结合律与分配律 5两个向量共线定理：

向量b 与非零向量a

共线 有且只有一个实数 ，使得b =

6平面向量的基本定理：

如果21,e e

是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量

a

，有且只有一对实数21, 使：2211e e a ，其中不共线的向量21,e e 叫做表

示这一平面内所有向量的一组基底 7 特别注意:

（1）向量的加法与减法是互逆运算

（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件 （3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况

（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关

学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点

例1 给出下列命题：

① 若|a r |＝|b r |，则a r =b r

；

② 若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB DC u u u r u u u r

是四边形ABCD 为平行四边

形的充要条件；

③ 若a r =b r ，b r =c r ，则a r =c r ， ④

a

r =

b

r 的充要条件是|

a

r |=|

b

r |且

a r

b r a r b r b r

c r a r c r AB DC u u u

r u u u r ||||AB DC u u u r u u u r //AB DC u u u r u u u r //AB DC u u u r u u u r ||||AB DC u u u r u u u r AB DC u u u r u u u r a r b

r a r b r b r c r b r c r a r c r a r c r a r b r a r b r a r b r a r b r a r b r a r b r b r 0r AB BC CD u u u

r u u u r u u u r DB AC BD u u u r u u u r u u u r OA OC OB CO

u u u r u u u r u u u r u u u r ()AB BC CD AC CD AD

u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()0DB BD AC AC AC

u u u r u u u r u u u r r u u u r u u u r ()()()0OB OA OC CO AB OC CO AB AB u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r u u u r a r b r c r a r b r d r a r b r c r d r c r d

r c r d r a r b r a r b r a r b r 0r a r b r 1010

k k k 面向量的坐标表示

1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个

单位向量,i j r r 作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a r 可表示

成a xi yj r r r ，由于a r 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a r

的坐标，

记作a r =(x,y)，其中x 叫作a r

在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标

(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量 (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关

2平面向量的坐标运算：

(1) 若 1122,,,a x y b x y r r ，则 1212,a b x x y y r

r

(2) 若 2211,,,y x B y x A ，则 2121,AB x x y y u u u r

(3) 若a r =(x,y)，则 a r

=( x, y)

(4) 若 1122,,,a x y b x y r r ，则1221//0a b x y x y r

r