2020_2021学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1双曲线及其标准方程学案含解析新人教A版选

2．2 双曲线2.2.1 双曲线及其标准方程内容标准学科素养1.掌握双曲线的定义．2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程．3.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.应用直观想象提升逻辑推理及数学运算授课提示：对应学生用书第31页[基础认识]知识点一双曲线的定义预习教材P45，思考并完成以下问题我们知道，与两个定点距离的和为非零常数(大于两定点间的距离)的点的轨迹是椭圆．那么，与两定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？如图，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线．这条曲线是满足下面条件的点的集合：P＝{M||MF1|－|MF2|＝常数}．如果使点M到点F2的距离减去到点F1的距离所得的差等于同一个常数，就得到另一条曲线(图中左边的曲线)．这条曲线是满足下面条件的点的集合：P＝{M||MF2|－|MF1|＝常数}．这两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支．知识梳理双曲线的定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．思考若常数＝|F1F2|，则满足条件的点的轨迹是什么？若常数>|F1F2|，则满足条件的点是否存在？提示：两条射线不存在知识点二双曲线的标准方程思考并完成以下问题类比椭圆标准方程的建立过程，你能说说应怎样选择坐标系，建立双曲线的标准方程吗？提示：建立如图直角坐标系，设M(x，y)是双曲线上任一点，|F1F2|＝2c，||MF1|－|MF2||＝2a，则|x＋c2＋y2－x－c2＋y2|＝2a，整理得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)，令b2＝c2－a2(b>0)，则b2x2－a2y2＝a2b2，即x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)——双曲线的标准方程．知识梳理 双曲线的标准方程焦点在x 轴上焦点在y 轴上标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)焦点F 1(－c,0)， F 2(c,0)F 1(0，－c )， F 2(0，c )焦距|F 1F 2|＝2c ，c 2＝a 2＋b 2 1．动点P 到点M (1,0)，N (－1,0)的距离之差的绝对值为2，则点P 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．两条射线 D ．一条射线答案：C2．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫62，0 D ．(3，0)答案：C授课提示：对应学生用书第31页 探究一 双曲线定义的应用[教材P 54习题2.2A 组1题]双曲线4x 2－y 2＋64＝0上一点P 到它的一个焦点的距离等于1，那么点P 到另一个焦点的距离等于________．解析：双曲线4x 2－y 2＋64＝0可化为y 264－x 216＝1， ∴a ＝8.由定义知|PF 1|－|PF 2|＝16，|PF 2|＝±16＋|PF 1|，|PF 2|＝17或|PF 2|＝－15(舍去)． 答案：17[例1] (1)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3(2)设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 224＝1的左、右焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．42B ．8 3C ．24D ．48[解析] (1)由题意得||PF 1|－|PF 2||＝6，∴|PF 2|＝|PF 1|±6，∴|PF 2|＝9或－3(舍去) 故选B.(2)⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2，3|PF 1|＝4|PF 2|，解得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.在△PF 1F 2中，|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝10 ∴△PF 1F 2为直角三角形，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝24.故选C.[答案] (1)B (2)C方法技巧 1.求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．2．在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用．跟踪探究 1.已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2.若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解析：由x 29－y 216＝1得，a ＝3，b ＝4，c ＝5.由双曲线的定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.探究二 求双曲线的标准方程[阅读教材P 47例1]已知双曲线两个焦点分别为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，双曲线上一点P 到F 1、F 2距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．题型：待定系数法求双曲线的标准方程． 方法步骤：①根据条件设出所求方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．②根据双曲线的定义得2a ＝||PF 1|－|PF 2||＝6， ∴a ＝3.又∵c ＝5，从而求出b . ③写出所求的标准方程．[例2] 求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦距为26，且经过点M (0,12)；(2)双曲线上两点P 1，P 2的坐标分别为(3，－42)，⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5.[解析] (1)∵双曲线经过点M (0,12)，∴M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12. 又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25. ∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1. (2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，则⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋32n ＝1，8116m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝116，m ＝－19，∴双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.方法技巧 待定系数法求方程的步骤(1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴． (2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式．①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)． ②与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)共焦点的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－k－y 2b 2＋k＝1(－b 2<k <a 2)．(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值． (4)结论：写出双曲线的标准方程． 跟踪探究 2.(1)求以椭圆x 216＋y 29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，－5)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线过P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5两点，求双曲线的标准方程．解析：(1)由题意， 知双曲线的两焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)． 设双曲线方程为y 2a2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，将点A (4，－5)代入双曲线方程， 得25a 2－16b2＝1.又a 2＋b 2＝9，解得a 2＝5，b 2＝4， 所以双曲线的标准方程为y 25－x 24＝1.(2)若焦点在x 轴上， 设双曲线的方程为x 2a2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9(舍去)．若焦点在y 轴上， 设双曲线的方程为y 2a2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，将P ，Q 两点坐标代入可得⎩⎪⎨⎪⎧22516a 2－9b2＝1，25a2－2569b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝9，b2＝16，所以双曲线的标准方程为y29－x216＝1.综上，双曲线的标准方程为y29－x216＝1.探究三与双曲线有关的轨迹问题[阅读教材P47例2]已知A，B两地相距800 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s，且声速为340 m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．题型：求动点的轨迹方程．方法步骤：①建立直角坐标系，使A，B在x轴上，坐标原点为AB的中点，设爆炸点P(x，y)．②建立P的几何性质，|PA|－|PB|＝680.(AB＝800>600)故P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线一支．从而写出所求轨迹方程．[例3] 如图，在△ABC中，已知|AB|＝42，且三个内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．[解析] 以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A(－22，0)，B(22，0)．由正弦定理得sin A＝|BC|2R，sin B＝|AC|2R，sin C ＝|AB |2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ， ∴2|BC |＋|AB |＝2|AC |， 从而有|AC |－|BC |＝12|AB |＝22<|AB |.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)． ∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6，即所求轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．方法技巧 1.求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程．2．求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．跟踪探究 3．如图所示，已知定圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，定圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解析：圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1； 圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4. 设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4， ∴|MF 2|－|MF 1|＝3<10＝|F 1F 2|.∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的左支，且a ＝32，c ＝5，于是b 2＝c 2－a 2＝914.∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 294－y 2914＝1⎝⎛⎭⎪⎫x ≤－32.授课提示：对应学生用书第33页[课后小结](1)理解双曲线定义应注意以下三点：①定义中的动点与定点在同一平面内；②距离的差要加绝对值，否则只表示双曲线的一支；③距离差的绝对值必须小于焦距，否则不是双曲线，而是两条射线或无轨迹．(2)利用待定系数法可以求双曲线的标准方程，求解步骤包括“定位”与“定量”两步．[素养培优]1．忽视双曲线上的点到焦点距离的范围致误双曲线x225－y224＝1上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为( )A．1或21 B．14或36C．2 D．21易错分析由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝10，不妨设F1、F2分别为左、右焦点．若|PF2|＝11，∴|PF1|＝1或21，故选A，忽视了|PF1|的取值范围．考查直观想象、逻辑推理的学科素养．自我纠正由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝10(F1、F2为左、右焦点)．又∵|PF1|＝1或21，当P在左支上时，|PF1|>c－a＝2，故|PF1|＝1舍去；当P在右支上时，|PF1|>c＋a＝12，故|PF1|＝21，故选D.答案：D2．混淆a，b，c的关系致误双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标为(0,3)，求k的值．易错分析 由8kx 2－ky 2＝8，得x 21k －y 28k＝1. ∵焦点在y 轴上，∴a 2＝8－k ，b 2＝－1k， 又∵c 2＝a 2－b 2，故3＝－7k ，∴k ＝－73. 混淆了椭圆与双曲线中a 、b 、c 的关系导致结果错误．考查直观想象、数学运算的学科素养．自我纠正 将双曲线的方程化成kx 2－k 8y 2＝1.因为双曲线的一个焦点坐标是(0,3)，所以焦点在y 轴上，且c ＝3.所以a 2＝－8k ，b 2＝－1k .所以－8k －1k＝9，解得k ＝－1. 3．忽视对双曲线焦点位置的讨论致误若双曲线x 2m －2－y 2m －7＝1的焦距等于6，求实数m 的值．易错分析 解答本题时，容易将m －2看作a 2，将m －7看作b 2，而造成漏解．考查逻辑推理及数学运算．自我纠正 因为双曲线的焦距等于6，即2c ＝6，所以c ＝3，即a 2＋b 2＝c 2＝9.(1)当双曲线焦点在x 轴上时，方程为x 2m －2－y 2m －7＝1，a 2＝m －2，b 2＝m －7，所以m －2＋m －7＝9，解得m ＝9，即实数m 的值为9.(2)当双曲线焦点在y 轴上时，方程为y 27－m －x 22－m＝1，a 2＝7－m ，b 2＝2－m ，所以7－m ＋2－m ＝9，解得m ＝0，即实数m 的值为0.综上可知，实数m 的值为0或9.。