复合函数的补充20151210
《复合函数的导数》课件
目 录
• 复合函数简介 • 复合函数的导数 • 复合函数导数的计算 • 复合函数导数的应用 • 习题与答案
01
CATALOGUE
复合函数简介
复合函数的定义
复合函数是由两个或多个函数通过复 合运算得到的函数。
设$u = f(x)$是一个函数，$y = g(u)$是另一个函数，则复合函数$y = g(f(x))$是由$f(x)$和$g(u)$复合而 成。
复合函数导数的计算
链式法则
总结词
链式法则是复合函数求导的核心，它描述了函数内部自变量对外部自变量的导数关系。
详细描述
链式法则指出，如果一个函数y是另一个函数u的复合函数，即y=f(u)，那么dy/dx等于dy/du乘以du/dx。具体 地，假设y=f(u)和u=g(x)，则dy/dx=(dy/du)*(du/dx)。
$f'(x) = 3x^2 + 4x + 1$
$f'(frac{pi}{2}) = cos(frac{pi}{2}) cdot frac{pi}{2} = 0$
$f'(e) = frac{2}{e}$
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复合函数导数的应用 利用导数研究函数的单调性
总结词
利用导数研究曲线的凹凸性。
详细描述
通过求二阶导数并分析其符号，可以判断曲线的凹凸性 。二阶导数大于0的区间内，曲线为凹；二阶导数小于0 的区间内，曲线为凸。这一性质在几何和工程领域中有 重要的应用。
05
CATALOGUE
习题与答案
习题
计算复合函数$f(x) = (x^2 + 1)(x + 3)$的导数 。
乘积法则
函数的复合过程 复合函数怎么求
函数的复合过程复合函数怎么求复合函数就是把几个简洁的函数复合为一个较为简单的函数。
例如，函数y=cosx²，其复合过程为：y=cosu，u=x²。
函数的复合过程复合函数，是按肯定次序把有限个函数合成得到的函数，对两个函数f：A关于函数的复合运算→B，g：B→C，由h(x)=g(f(x))(x∈A)确定的函数h称为f与g的复合函数，记为g·f。
这样，g·f是A到C的函数，(g·f)(x)=g(f(x))，它的值域是g(f(A))，记号“·”表示两个函数的复合，它是二元运算.这个运算不满意交换律，即一般来说g·f≠f·g，但它满意结合律：对f：A→B，g：B→C，h：C→D，有h·(g·f)=(h·g)·f，于是可以定义h·g·f=h·(g·f)=(h·g)·f。
一般地，对n+1个满意Bi∈Ai+1(i=1，2，…，n)的函数fi：Ai→Bi(i=1，2，…，n+1)可以定义n重复合函数fn+1·fn·…·f1，任给两个函数f：A→B，g：C→D，当且仅当f(A)∈C时可以得到复合函数g·f：A→D；当且仅当g(C)∈A时可以得到f·g：C→B，当函数用变量表示为t=f(x)，y=g(t)，且f的值域含于g的定义域时，称t为复合函数y=g(f(x))的中间变量，函数的复合是讨论函数的一种工具，一方面它供应了构造各式各样的新函数的方法；另一方面，为讨论简单的函数，常将它们看成一些简洁函数的复合(求函数的导数时常这样做)。
复合函数的定义域若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D={x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。
复合函数单调性的求法与含 参数问题
的定义域为，求函数
的定义域 解
，， 故函数
的定义域为 【评注】由的定义域为得，有的同学会误将此的范围当作
的定义域，为了更易分清此非彼，我们可将令成一个整体，即， 先解出的定义域，即为
的定义域。 三、已知复合函数
的定义域，求
的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：
可先由定义域求得
复合函数单调性的求法与含参数问题 若，又，且值域与定义域的交集不空，则函数叫
的复合函数，其中叫外层函数，叫内层函数，简而言之，所谓复 合函数就是由一些初等函数复合而成的函数。
对于有关复合函数定义域问题我们可以分成以下几种常见题型： （一）求复合函数表达式 例１、（1）设 f(x)=2x3 g(x)=x2+2 求f[g(x)]（或g[f(x)]）。
(C).在区间(-2，0)上是增函数； (D).在区间(0， 2)上是 增函数.
解：令g(x)=f(u)=-(u-1) 2+9，u=2-x2，则 (1) g(x) =-(u-1) 2+9在u∈-∞，1上是增函数，与u=2-x2具 有相同的增减性，
由2-x2≤1得 x≤-1或x≥1，而u在x∈-∞，-1上是增函 数，
∴ 函数y=0.8x2-4x+3在(-∞，2]上是增函数，在[2，+∞)上是
减函数。
这里没有第四步，因为中间变量允许的取值范围是R，无需转化
为自变量的取值范围。
三、外函数有两种单调性，而内涵数只有一种单调性的复合型：
例4 在下列各区间中，函数y=sin(x+)的单调递增区间是( )
(A).[，π]
（2）已知：f(x)=x2x+3 求：f() f(x+1) （二）求复合函数相关定义域
复合函数的求法
复合函数的求法
求复合函数的方法可以通过两种方式进行：
1. 代数方法：设有两个函数f(x)和g(x)，要求复合函数(f ∘
g)(x)，首先需要将g(x)代入f(x)中得到f(g(x))。
具体步骤如下： - 将g(x)替换为f(x)中的变量，得到f(g(x))。
- 将g(x)的表达式代入f(x)的表达式中。
- 简化表达式，得到复合函数的最终表达式。
2. 图像方法：设有两个函数f(x)和g(x)，要求复合函数(f ∘
g)(x)，可以通过图像的方法来求解。
具体步骤如下：
- 绘制f(x)和g(x)的图像。
- 将g(x)的图像沿着x轴平移得到g(f(x))的图像。
- 根据g(f(x))的图像，确定复合函数的值。
无论是代数方法还是图像方法，都需要明确复合函数的定义和要求的形式，才能正确求解复合函数。
2.5 简单复合函数的求导法则(教学课件)-高二下学期数学北师大版(2019)选择性必修第二册
学习目标
新课讲授
课堂总结
根据今天所学，回答下列问题：
1.什么是复合函数？ 2.如何求复合函数的导数？
1
= 2 与μ=φ（x）=3x+1复合而成的.
由复合函数的求导法则，可得
y(x) ( 3x 1) f ()(x) ( ) (3x 1) 1 3 3 .
2 2 3x 1
学习目标
新课讲授
课堂总结
例2：求函数 y=（2x-1)30的导数.
解：引入中间变量μ=φ（x）=2x-1，则函数y=（2x-1)30是由函数f（μ） =μ30与μ=φ（x）=2x-1复合而成的.
课堂总结
练一练
1.指出下列函数是怎样复合而成的． (1)y=(3＋5x)2；(2)y=log3(x2-2x+5)；(3)y=cos 3x.
解： (1)y=(3＋5x)2是由函数y=u2，u=3＋5x复合而成的． (2)y=log3(x2-2x+5)是由函数y=log3u，u=x2-2x+5复合而成的． (3)y=cos 3x是由函数y=cos u，u=3x复合而成的．
学习目标
新课讲授
课堂总结
归纳总结
复合函数y=f(φ(x)）对x的导数为
yʹx=表示y对 x的导数.
yʹx=[f(φ(x)）]ʹ=fʹ（μ）φʹ（x），其中μ=φ（x）.
学习目标
新课讲授
课堂总结
例1：求函数 y 3x 1 的导数 .
解：引入中间变量μ=φ（x）=3x+1，则函数 y 3x 1 是由函数f（μ）
学习目标
新课讲授
概念生成
课堂总结
复合函数
一般地，对于两个函数y=f（μ）和μ=φ（x）=ax+b,如果给定x的 一个值，就得到了μ的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的 函数，称这个函数为函数y=f（μ）和μ=φ（x）的复合函数，记作 y=f(φ(x)）,其中μ为中间变量.
专题：复合函数的零点
复合函数的零点问题1、直线1y =与曲线2y x x a =-+有4个交点，则a 的取值范围是2、已知函数)(x f 在定义域),0(+∞上是单调函数,若对任意),0(+∞∈x ，都有2]1)([=-xx f f ,则)51(f 的值是 .3、已知函数12)(22+-++=m m mx x x f ,若方程0))((=x f f 无实根，则m 的取值范围为 . 4、已知函数）（R x x x x f ∈=3-)(3.设c x f f x h -=))(()(，其中∈c [-2,2],求函数)(x h y =零点个数.5、已知函数(0)()lg()(0)x e x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，则实数2t ≤-是关于x 的方程2()()0f x f x t ++=.有三个不同实数根的 条件。
6、设定义域为R 的函数1251,0()44,0x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩，若关 于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有5个不同的实数解，则m =__________ 7、设定义域为R 的函数2lg (>0)()-2(0)x x f x x x x ⎧=⎨-≤⎩ 则关于x 的函数 1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为______________.8、已知函数()⎩⎨⎧>≤+=0,log 0,12x x x x x f ，则函数()()1-=x f f y 的零点个数为_________.9、已知函数31+,>0()3,0x x f x xx x ⎧⎪=⎨⎪+≤⎩， 则函数)2(-)2()(F 2>+=a a x x f x 的零点个数可能为_________. 10、已知函数),0()0,()(+∞-∞ 是定义在x f 上的偶函数，当0>x 时，1)(4)(2),2(21,20,12)(|1|-=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=-x f x g x x f x x f x 则函数的零点个数为11、函数0.5(x)2log 1xf x =-的零点个数为（ ）12、函数(x)2ln f x =的图像与函数2(x)x 45g x =-+的图像的交点个数为（ ）13、已知函数32, 2(x)(x 1),x 2x f x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程(x)f k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是14、已知函数12,0(x)21,x 0x e x f x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若关于x 的方程2(x)3(x)0(a R)f f a -+=∈有8个不等的实数根，则a 的取值范围是( )A. 1(0,)4 B. 1(,3)3 C. (1,2) D. 9(2,)415、（2014江苏）已知(x)f 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，21(x)x 22f x =-+.若函数(x)a y f =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 16、已知函数3221(x 0)(x)x 31,(x),4x 68(x 0)x f x g xx ⎧+>⎪=-+=⎨⎪---≤⎩则方程[]g (x)0(a R )f a +-=∈的解的个数不可能为（ ）17、已知函数12,0(x)21,x 0x e x f x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若关于x 的方程2(x)3(x)0(a R)f f a -+=∈有8个不等的实数根，则a 的取值范围是( )B. 1(0,)4 B. 1(,3)3C. (1,2)D. 9(2,)418、关于x 的方程222x 1)x 10k ---+=（，给出下列4个命题： ①存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根。
(完整版)复合函数单调性(讲解+练习)
课题：函数的单调性（二)复合函数单调性北京二十二中 刘青教学目标1.掌握有关复合函数单调区间的四个引理。
2.会求复合函数的单调区间。
3。
必须明确复合函数单调区间是定义域的子集.教学重点与难点1.教学重点是教会学生应用本节的引理求出所给的复合函数的单调区间。
2.教学难点是务必使学生明确复合函数的单调区间是定义域的子集.教学过程设计师：这节课我们将讲复合函数的单调区间，下面我们先复习一下复合函数的定义.生：设y=f （u)的定义域为A ，u=g （x)的值域为B ，若A ÍB,则y 关于x 函数的y=f[g(x ）］叫做函数f 与g 的复合函数,u 叫中间量。
师：很好。
下面我们再复习一下所学过的函数的单调区间。
(教师把所学过的函数均写在黑板上，中间留出写答案的地方，当学生回答得正确时，由教师将正确答案写在对应题的下边.)（教师板书，可适当略写。
）例 求下列函数的单调区间.1。
一次函数y=kx+b （k ≠0）。
解 当k ＞0时,（－∞，+∞）是这个函数的单调增区间；当k ＜0时，（－∞，+∞）是这个函数的单调减区间。
2。
反比例函数y=x k （k ≠0）。
解 当k ＞0时，（－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k ＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间.3。
二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0)。
解 当a ＞1时(－∞，－a b 2）是这个函数的单调减区间,（－a b2，+∞）是它的单调增区间；当a ＜1时(－∞，－a b 2）是这个函数的单调增区间，(－a b2,+∞）是它的单调减区间;4.指数函数y=ax （a ＞0，a ≠1）。
解 当a ＞1时，（－∞,+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.5.对数函数y=log a x （a ＞0，a ≠1）。
解 当a ＞1时，（0，+∞）是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，（0，+∞）是它的单调减区间。
补充知识：复合函数
1、复合函数的定义补充知识：复合函数（钦州二中高一数学备课组 2016 年 10 月 20 日）②已知f [g(x)]求f (x) 的常用方法有：配凑法和换元法。
配凑法：就是在f [g(x)]中把关于变量x 的表达式先凑成g(x) 整体的表达式，再直接把g(x) 换成x 而得f (x)。
换元法：就是先设g(x) =t ，从中解出x（即用t 表示x ），再把x（关于t 的式子）如果y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即y =f (u) ，u =g(x) ，那么y 关于x 的函数y =f (g(x)) 叫做函数y =f (u) （外函数）和u =g(x) （内函数）的复合函数，其中u是中间变量，自变量为x函数值为y。
例如：函数y=2x2+1是由y=2u 和u =x2+1复合而成立。
说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数y =f (g(x)) 中x 的取值范围。
⑵ x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为g(x) 的值域。
⑶ f (g(x)) 与g( f (x)) 表示不同的复合函数。
2．求有关复合函数的定义域① 已知 f (x) 的定义域为(a, b) ，求 f (g(x)) 的定义域的方法：实际上是已知中间变量的u 的取值范围，即u ∈(a,b) ，g(x) ∈(a,b) 。
通过解不等式a <g(x) <b 求得x 的范围，即为f (g(x)) 的定义域。
② 已知f (g(x)) 的定义域为(a，b)，求f (x) 的定义域的方法：实际上是已知直接变量x 的取值范围，即x ∈(a，b) 。
先利用a <x <b 求直接代入f [g(x)]中消去x 得到f (t)，最后把f (t) 中的t 直接换成x 即得f (x)。
【例题讲解】一、复合函数定义域解析式例1 ⑴若函数f (x) 的定义域是[0，1]，求f (1 - 2x) 的定义域；⑵若函数f (2x -1) 的定义域是[-1，1]，求f (x) 的定义域；⑶若函数 f (2x) 的定义域是[-1，1]，求f (log2 x) 的定义域．得g(x) 的范围，则g(x) 的范围即是f (x) 的定义域。
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.（0，0.5）
3.已知函数 f(x)=x3－3x, 求 f(f(x))=c, c∈[－2,2]的根的个数。
1 |) ，a 为常数且 a＞0. 2 1 （1）证明：函数 f（x）的图像关于直线 x 对称； 2
1 2
1 对称. 2
1 2
1 2
1 2
1 2 4a x, x , 1 2 (2)当 0 a 时，有 f (f (x)) 2 4a 2 (1 x), x 1 . 2
所以 f (f (x)) x 只有一个解 x=0，又 f (0) 0, 故 0 不是二阶周期点.
综上， a
1 4a 2 2a , 此时x 2 或x 2 2 4a 1 4a 1
4.已知函数 f (x) a(1 2 | x （2）若 x0 满足 f（f（x0） ）= x0，但 f（x0）≠x0，则 x0 称为函数 f（x）的二阶周期点，如果 f （x）有两个二阶周期点 x1，x2，试确定 a 的取值范围；
3.设 f(x)=t, 则 f(t)=c, …… 4.（1）因为 f ( x) a(1 2 | x |) ， f ( x) a(1 2 | x |) ，即 f ( x) f ( x) . 所以函数 f (x) 的图像关于直线 x
1 1 t 2 ; t 2 x 1 x 1 2 2 , 舍去 2） 2at 2a x 2ax 2a t x 2a 2a 1 t x 2a t x 2a 1 1 1 t 2 ; t 2 x 1 x 1 2 1 2 , 解得a 3） 2at x 2 2 1 2ax 2a t x 4a 2 4a 1 2 t x 2a 1 t 2 4a 1 2 1 1 t 2 ; t 2 x 1 x 1 2 1 2 , 解得a 4） 2at 2a x 2 2ax t x 2a 1 2 4a 1 2 t x 4a 2 1 t 2 4a 1 2
1 x, x , 1 2 当 a 时，有 f (f (x)) 2 1 x, x 1 . 2
所以 f (f (x)) x 有解集 x | x 都不是二阶周期点.
1 1 1 ，又当 x 时，f（x）=x，故 x |ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx 中的所有点 2 2 2
点.综上所述，所求 a 的范围为 a
另解：设 f(x)=t, 则 f(f(x))=f(t)=x,且 x≠t
1 t 2 ; 1 x 1 t 2 2 1 1） 2at x x , 舍去 2 2ax t x 0 t x t 0
1．f( x )是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令 g（ x ）=af（ x ）+b，则 下 列关于函数 g（ x ）的叙述正确的是（ ）
A．若 a<0,则函数 g（ x ）的图象关于原点对称. A．若 a<0,则函数 g（ x ）的图象关于原点对称. B．若 a=－1，－2<b<0,则方程 g（ x ）=0 有大于 2 的实根. C．若 a≠0,b=2,则方程 g（ x ）=0 有两个实根. D．若 a≥1,b<2,则方程 g（ x ）=0 有三个实根. 2. 已 知 f ( x) 是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 3 的 函 数 , 当 x [0,3) 时, f ( x) | x 2 2 x 数 a 的取值范围是
1 2 4a x, x 4a , 2a 4a 2 x, 1 x 1 , 1 4a 2 当 a 时，有 f (f (x)) 2 2a(1 2a) 4a 2x, 1 x 4a 1 , 2 4a 4a 1 4a 2 4a 2 x, x . 4a 2a 2a 2a 2a 4a 2 所以 f (f (x)) x 有四个解 0， ，又 f (0) 0, f ( ， ) , , 2 2 1 2a 1 2a 1 4a 1 2a 1 4a f( 2a 2a 4a 2 4a 2 2a 4a 2 ， ，故只有 是 f (x) 的二阶周期 ) f ( ) , 1 4a 2 1 4a 2 1 4a 2 1 4a 2 1 4a 2 1 4a 2 1 . 2