高三理科数学夯实基础练习题(1)

高三数学夯实基础练习题（1）
（时间：45分钟，满分：94分）
一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分
1．设集合}23|{<<-∈=m m M Z ，}31|{≤≤-∈=m n N Z ，则N M 等于
A ．}1,0{
B ．}1,0,1{-
C ．}2,1,0{
D ．}2,1,0,1{- 2．函数2x y =（x ∈R ）的反函数为
A.2log y x =（0x >）
B.2log y x =（1x >）
C.log 2x y =（0x >）
D.log 2x y =（1x >）
3．已知向量O A
和向量O C 对应的复数分别为34i +和2i -，则向量A C 对应的复
数为
A ．53i +
B ．15i +
C ．15i --
D ．53i -- 4．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的斜边长为2，那么这个几何体的体积为
A ．1
B ．2
1 C ．31
D ．6
1
5． 如图1所示的算法流程图中（注：“1A =”也可写成“:1A =”或“1←A ”,
均表示赋值语句），第3个输出的数是 A ．1 B. 32
C.
52
D.2
6．设函数ax x
x f m
+=)(的导数为12)(+='x x f ，则数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧)(1n f （*N ∈n ）
的前n 项和是 A ．
1
+n n B ．1
2++n n C ．
1
-n n D ．
n
n 1+
8．已知点1F 、2F 分别是椭圆
12
22
2=+
b
y a
x 的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A 、B 两
点，若△2ABF 为正三角形，则该椭圆的离心率e 是 A ．
2
1 B ．
2
2 C ．
3
1 D ．
3
3
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．
正视图
俯视图
侧视图
第4题图
（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答
9．已知0t >，若()021d 6t
x x -=⎰，则t = ．
10．某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师的工资收入情况，若
按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师 人．
11．6
1⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-x x 的展开式中的常数项是 （用数字作答）．
12．函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图所示，则
ω= ，ϕ= ．
13.不等式组20,20,220,x y x y x y -+≥⎧⎪
++≥⎨⎪--≤⎩
所确定的平面区域记为D .若点(),x y 是区域D
上的点，则2x y +的最大值是
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题．
14．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系中，曲线1C ：3cos =θρ与2C ：θ=ρcos 4（其中0≥ρ，
2
0π<
θ≤）交点的极坐标为 ．
15．（几何证明选讲选做题）如图，从圆O 外一点P 作圆O
的割线PAB 、PCD ，AB 是圆O 的直径，若4=PA ， 5=PC ，3=CD ，则=∠CBD ．
三、解答题：本大题共2个小题，每小题12分，共24分，解答应写出文字说明，证明过程
或演算步骤)
16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝4sin 2(x ＋π
4
)＋43sin 2x －(1＋23)，x ∈R .
(1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称中心； (2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤
π4，π2上的值域．
17．(本小题满分12分)如图所示，四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，P A 与平面ABCD 所成的角为60°，在四边形ABCD 中，∠D ＝∠DAB ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，AD ＝2.
(1)建立适当的坐标系，并写出点B ，P 的坐标； (2)求异面直线P A 与BC 所成角的余弦值；
(3)若PB 的中点为M ，求证：平面AMC ⊥平面PBC .
∙
O
D
C
B
A
P
第15题图
高三数学夯实基础练习题答卷
一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9～13题）
9、 10、 11、
12、 13、
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14、 15、
三、解答题（本大题共2小题，共24分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、（本小题12分）
17．（本小题12分）
高三数学夯实基础练习题（1）答案
二、填空题
9、3 10、 182 11、-20 12、 12
，38
π （2分，3分） 13、14
14、
15、
三、解答题
16．【解析】 依题意得f (x )＝4sin 2(x ＋π
4
)＋43sin 2x －(1＋23)
＝2[1－cos(2x ＋π2)]－23cos2x －1＝4sin(2x －π
3
)＋1.
(1)函数f (x )的最小正周期是T ＝2π
2
＝π.
由sin(2x －π3)＝0得2x －π3＝k π，∴x ＝k π2＋π
6
，
∴函数f (x )的图象的对称中心是(k π2＋π
6
，1)(其中k ∈Z )．
(2)当x ∈[π4，π2]时，2x －π3∈[π6，2π
3]，
sin(2x －π3)∈[12，1]，4sin(2x －π
3
)＋1∈[3,5]，
故函数f (x )在区间[π4，π
2
]上的值域是[3,5]．
17．【解析】 (1)如图所示，以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D －xyz .
∵∠D ＝∠DAB ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，AD ＝2， ∴A (2,0,0)，C (0,1,0)，B (2,4,0)，
由PD ⊥平面ABCD ，得∠P AD 为P A 与平面ABCD 所成的角， ∴∠P AD ＝60°.
在Rt △P AD 中，由AD ＝2，得PD ＝23， ∴P (0,0,23)．
(2)∵＝(2,0，－23)，＝(－2，－3,0)，
∴cos<，>＝2×(－2)＋0×(－3)＋(－23)×0413
＝－13
13，
所以P A 与BC 所成角的余弦值为13
13
(3)证明：∵M 为PB 的中点，∴点M 的坐标为(1,2，3)， ∴ ＝(－1,2，3)， ＝(1,1，3)， ＝(2,4，－23)， ∵·＝(－1)×2＋2×4＋3×(－23)＝0，·＝1×2＋1×4＋3×(－23)＝0， ∴ ⊥ ， ⊥ ，∴PB ⊥平面AMC ∵PB ⊂平面PBC
∴平面AMC ⊥平面PBC .
)
6,32(π
︒30。