初中数学竞赛 初中数学中考 专题14 平行线分线段成比例

直接应用定理，需观察分解图形． Q
A B
D
PS
C
R
【例 4】梯形 ABCD 中，AD//BC，AB＝DC．
（1）如图 1，如果 P，E，F 分别是 BC，AC，BD 的中点，求证：AB＝PE＋PF；
（2）如图 2，如果 P 是 BC 上的任意一点（中点除外），PE∥AB，PF∥DC，那么 AB＝PE＋PF 这
专题 14 平行线分线段成比例
阅读与思考
平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一，是研究比例线段及相似形的最基本、最 重要的理论．
运用平行线分线段成比例定理解题的关键是寻找题中的平行线．若无平行线，需作平行线，而作平 行线要考虑好过哪一个点作平行线，一般是由成比例的两条线段启发而得．此外，还要熟悉并善于从复 杂的图形中分解出如下的基本图形：
个结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．
（上海市闵行区中考试题）
A
D
A
D
FE
FE
B
P
C
图1
B
P
C
图2
解题思路：（1）不难证明；对于（2），先假设结论成立，从平行线出发证明 AB＝PE＋PF，即要证
明 PE ＋ PF ＝1，将线段和差问题的证明转化为与成比例线段相关问题的证明． AB AB
（3）如图 3，点 M，N 分别在边 AB，AC 上，且 P1，P2，…，P2009 是边 BC 的 2010 等分点，则∠
MP1N＋∠MP2N＋…＋∠MP2009N＝＿＿＿＿．
（济南市中考试题）
A
M
N
A
M
N
A MN
B
P
C
B
C
P1
P2
B
P1 P2
C P2009
图1
图2
图3
解题思路：本题涉及的考点有三角形中位线定理、平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质．
D
GN
MB
【例 6】已知：△ABC 是任意三角形．
（1）如图 1，点 M，P，N 分别是边 AB，BC，CA 的中点，求证：∠MPN＝∠A；
（2）如图 2，点 M，N 分别在边 AB，AC 上，且 AM ＝ 1 ， AN ＝ 1 ，点 P1，P2 是 AB 3 AC 3
边 BC 的三等分点，你认为∠MP1N＋∠MP2N＝∠A 是否正确？请说明你的理由；
9．（1）阅读下列材料，补全证明过程．
已知，如图，矩形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，OE⊥BC 于 E，连结 DE 交 OC 于点 F，作 FG
⊥BC 于 G．求证：点 G 是线段 BC 的一个三等分点．
（2）请你依照上面的画法，在原图上画出 BC 的一个四等分点．（要求：保留画图痕迹，不写画法及
当 BF 平分 AE 时，则 a 的值为（ ） b
A． 5 1 2
B． 5 2 2
C． 5 1 2
D． 5 2 2
6．如图，△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，F 是 AD 上的一点，且 AF︰FD＝1︰5，连结 CF 并延
长交 AB 于 E，则 AE︰EB 等于（ ）
A．1︰10
B．1︰9
（杭州市中考试题）
4．如图，ABCD 是正方形，E，F 是 AB，BC 的中点，连结 EC 交 DB，交 DF 于 G，H，则 EG︰
GH︰HC＝＿＿＿＿．
（重庆市中考试题）
5．如图，在正△ABC 的边 BC，CA 上分别有点 E，F，且满足 BE＝CF＝ a ，EC＝FA＝ b（ a ＞ b ），
C．1︰8
D．1︰7
A E
F A Q
A
E
F
B
D
C
B
P
C
B
D
C
第6题，BP＝4，AB＝8，则 PC 等于（ ）
A．4
B．8
C．12
D．16
8．如图，EF∥BC，FD∥AB，BD＝ 3 BC，则 BE︰EA 等于（ ） 5
A．3︰5
B．2︰5
C．2︰3
D．3︰2
证明过程）
（山西中考试题）
A
D
A
D
O
D
C
E
F
O
F
G
B
EG
C
A
E
B
B
C
第9题
第 10 题
第 11 题
10．如图，已知在□ABCD 中，E 为 AB 边的中点，AF＝ 1 FD，FE 与 AC 相交于 G． 2
求证：AG＝ 1 AC． 5
11．如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，EF 经过梯形对角线的交点 O，且 EF∥AD． （1）求证：OE＝OF； （2）求 OE ＋ OE 的值；
A
M
G
H
B
D
E
C
【例 3】如图，□ABCD 中，P 为对角线 BD 上一点，过点 P 作一直线分别交 BA，BC 的延长线于 Q， R，交 CD，AD 于 S，T．
求证：PQ•PT＝PR•PS． （吉林省中考试题）
解题思路：要证 PQ•PT＝PR•PS，需证 PQ ＝ PR ，由于 PQ，PT，PR，PS 在同一直线上，故不能 PS PT
能力训练
A级
1．设 K＝ a b c ＝ a b c ＝ a b c ，则 K＝＿＿＿＿．
c
b
a
（镇江市中考试题）
2．如图，AD∥EF∥BC，AD＝15，BC＝21，2AE＝EB，则 EF＝＿＿＿＿．
A
D
E
F
A N
D
A
D
EG H
A F
G
B
CB
MC
B
F
C
B
EC
第2题
第3题
第4题
第5题
3．如图，在△ABC 中，AM 与 BN 相交于 D，BM＝3MC，AD＝DM，则 BD︰DN＝＿＿＿＿．
例题与求解
【例 1】如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝ a ，BC＝ b ，E，F 分别是 AD，BC 的中点，且 AF 交 BE 于 P，CE 交 DF 于 Q，则 PQ 的长为＿＿＿＿．
（上海市竞赛试题） 解题思路：建立含 PQ 的比例式，为此，应首先判断 PQ 与 AD（或 BC）的位置关系，关键是从复 杂的图形中分解出基本图形，并能在多个成比例线段中建立联系．
AED
P
Q
B
F
C
【例 2】如图，在△ABC 中，D，E 是 BC 的三等分点，M 是 AC 的中点，BM 交 AD，AE 于 G，H，
则 BG︰GH：HM 等于（ ）
A．3︰2︰1
B．4︰2︰1
C．5︰4︰3
D．5︰3︰2
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
解题思路：因题设条件没有平行线，故须过 M 作 BC 的平行线，构造基本图形．
【例 5】如图，已知 AB∥CD，AD∥CE，F，G 分别是 AC 和 FD 的中点，过 G 的直线依次交 AB，
AD，CD，CE 于点 M，N，P，Q．
求证：MN＋PQ＝2PN．
解题思路：考虑延长 BA，EC 构造平行四边形，再利用平行线设法构造有关的比例式．
（浙江省竞赛试题）
E Q
C F A
P