最新人教版初中九年级数学上册22.1 二次函数的图象与性质复习2重点习题
人教版九年级数学上册二次函数的图象和性质复习同步练习题
22.1 二次函数的图象和性质1．抛物线y=－3x 2上两点A （x ，－27），B （2，y ），则x= ，y= ．2．抛物线y=－4x 2－4的开口向 ，当x= 时，y 有最 值，y = ． 3．当m= 时，y=（m －1）xmm +2－3m 是关于x 的二次函数．4．当m= 时，抛物线y=（m ＋1）x mm +2＋9开口向下，对称轴是 ．在对称轴左侧，y 随x 的增大而 ；在对称轴右侧，y 随x 的增大而 ． 5．抛物线y=3x 2与直线y=kx ＋3的交点为（2，b ），则k= ，b= ．6．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表达式为．7．在同一坐标系中，图象与y=2x 2的图象关于x 轴对称的是（ ）A ．y=21x 2B ．y=－21x 2C ．y=－2x 2D ．y=－x 28．抛物线，y=4 x 2，y=－2x 2的图象，开口最大的是（ ）A ．y=41x 2B ．y=4x 2C ．y=－2x 2D ．无法确定9．对于抛物线y=31x 2和y=－31x 2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（ ）A ．两条抛物线关于x 轴对称B ．两条抛物线关于原点对称C ．两条抛物线关于y 轴对称D ．两条抛物线的交点为原点10．二次函数y=ax 2与一次函数y=ax ＋a 在同一坐标系中的图象大致为（ ）错误!未找到引用源。
11．已知函数y=ax 2的图象与直线y=－x ＋4在第一象限内的交点和它与直线y=x 在第一 象限内的交点相同，则a 的值为（ ）A ．4 B ．2 C ．21D ．4112．求符合下列条件的抛物线y=ax 2的表达式：（1）y=ax 2经过（1，2）； （2）y=ax 2与y=21x 2的开口大小相等，开口方向相反；（3）y=ax 2与直线y=21x ＋3交于点（2，m ）．13已知错误!未找到引用源。
是二次函数，且当错误!未找到引用源。
人教版 九年级数学 上册22.1 二次函数的图象性质 课后训练(含答案)
人教版九年级数学22.1 二次函数的图象性质课后训练一、选择题1. 下列对二次函数y＝x2－x的图象的描述，正确的是()A．开口向下B．对称轴是y轴C．经过原点D．在对称轴右侧部分是下降的2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的函数解析式为y＝－2(x－h)2＋k，则下列结论正确的是()A．h>0，k>0 B．h<0，k>0C．h<0，k<0 D．h>0，k<03. 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若商品的售价为x元/件，则可售出(350－10x)件，那么出售该商品所赚钱数y(元)与售价x(元/件)之间的函数解析式为()A．y＝－10x2－560x＋7350 B．y＝－10x2＋560x－7350C．y＝－10x2＋350x D．y＝－10x2＋350x－73504. 如图，抛物线的函数解析式是()A．y＝x2－x＋2B．y＝x2＋x＋2C．y＝－x2－x＋2D．y＝－x2＋x＋25. 抛物线y＝x2－2x＋m2＋2(m是常数)的顶点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6. 已知抛物线y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是(－1，－2)，则b与c的值分别为() A．－1，－2 B．4，－2C．－4，0 D．4，07. 如果抛物线的顶点坐标是(3，－1)，与y轴的交点坐标是(0，－4)，那么这条抛物线的解析式是()A．y＝－13x2－2x－4B．y＝－13x2＋2x－4C．y＝－13(x＋3)2－1D．y＝－x2＋6x－128. 二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是()二、填空题9. 【2018·淮安】将二次函数y＝x2－1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式是__________．10. 已知二次函数y＝(x－m)2－1，当x＜1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是________．11. 已知抛物线y=ax2+4ax+4a+1(a≠0)过点A(m，3)，B(n，3)两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2+a+1的最小值是.12. 函数y＝－4x2－3的图象开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________；当x________0时，y随x的增大而减小，当x________时，y有最________值，是________，这个函数的图象是由y＝－4x2的图象向________平移________个单位长度得到的．13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2(a＞0)与y＝a(x－2)2交于点B，抛物线y＝a(x－2)2交y轴于点E，过点B作x轴的平行线与两条抛物线分别交于D，C两点．若A是x轴上两条抛物线顶点之间的一点，连接AD，AC，EC，ED，则四边形ACED的面积为________．(用含a的代数式表示)14. 已知点(x1，－7)和点(x2，－7)(x1≠x2)均在抛物线y＝ax2上，则当x＝x1＋x2时，y的值是________．15. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2如图所示．已知点A的坐标为(1，1)，过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……依次进行下去，则点A2019的坐标为________．三、解答题16. 已知二次函数y＝－2x2，y＝－2(x－2)2，y＝－2(x－2)2＋2，请回答下列问题：(1)写出抛物线y＝－2(x－2)2＋2的顶点坐标、开口方向和对称轴；(2)将抛物线y＝－2x2分别通过怎样的平移可以得到抛物线y＝－2(x－2)2和y＝－2(x－2)2＋2?(3)如果要得到抛物线y＝－2(x－2020)2－2021，应将y＝－2(x－2)2怎样平移？17. 画出函数y＝－x2的图象，并回答问题．解：(1)列表(请完成下面的填空)：x …－2－1－0.500.512…y …－0.250－0.25－1－4…(2)描点、连线；(3)由函数图象可以看出，当x＜0时，y随着x的增大而________．(填“增大”或“减小”)18. 如图，已知二次函数y＝x2＋ax＋3的图象经过点P(－2，3)．(1)求a的值和图象的顶点坐标．(2)点Q(m，n)在该二次函数的图象上：①当m＝2时，求n的值；②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．人教版九年级数学22.1 二次函数的图象性质课后训练-答案一、选择题1. 【答案】C[解析] (1)∵二次函数y＝x2－x的二次项系数为1＞0，∴图象开口向上，可见A选项错误；(2)∵对称轴为直线x＝－b2a＝12，可见B选项错误；(3)∵原点(0，0)满足二次函数解析式y＝x2－x，∴抛物线经过原点，可见C选项正确；(4)∵抛物线的开口向上，∴图象在对称轴右侧部分是上升的，可见D选项错误．综上所述，选C.2. 【答案】A[解析] ∵抛物线y＝－2(x－h)2＋k的顶点坐标为(h，k)，由图象可知，抛物线的顶点在第一象限，∴h＞0，k>0.3. 【答案】B4. 【答案】D[解析] 先设出函数解析式，然后把(0，2)，(－1，0)，(2，0)分别代入函数解析式，列出方程组，求出各系数即可．5. 【答案】A[解析] 二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(－b2a，4ac－b24a)．∵－b2a＝－－22＝1＞0，4ac－b24a＝4（m2＋2）－44＝m2＋1＞0，故此抛物线的顶点在第一象限．故选A.6. 【答案】D7. 【答案】B[解析] 设这条抛物线的解析式是y＝a(x－3)2－1. ∵抛物线与y轴的交点坐标是(0，－4)，∴－4＝9a－1，解得a＝－1 3，∴y＝－13(x－3)2－1，即y＝－13x2＋2x－4.故选B.8. 【答案】D[解析] 由一次函数y＝ax＋a可知，其图象与x轴交于点(－1，0)，排除A，B；当a＞0时，二次函数y＝ax2的图象开口向上，一次函数y＝ax＋a的图象经过第一、二、三象限；当a ＜0时，二次函数y ＝ax 2的图象开口向下，一次函数y ＝ax ＋a 的图象经过第二、三、四象限．排除C.二、填空题9. 【答案】y ＝x 2＋2 [解析] 二次函数y ＝x 2－1的图象向上平移3个单位长度，平移后的纵坐标增加3，即y ＝x 2－1＋3＝x 2＋2.10. 【答案】m≥1[解析] 抛物线的对称轴为直线x ＝m.∵a ＝1＞0， ∴抛物线开口向上，∴当x ＜m 时，y 的值随x 值的增大而减小， 而x ＜1时，y 的值随x 值的增大而减小， ∴m≥1.11. 【答案】[解析]∵抛物线y=ax 2+4ax +4a +1(a ≠0)过点A (m ，3)，B (n ，3)两点，∴=-=-2.∵线段AB 的长不大于4，∴4a +1≥3，∴a ≥， ∴a 2+a +1的最小值为:2++1=.12. 【答案】下y 轴 (0，－3) ＞ ＝0 大 －3 下 313. 【答案】8a[解析] ∵抛物线y ＝ax 2(a ＞0)与y ＝a(x －2)2交于点B ，∴BD ＝BC ＝2， ∴DC ＝4.∵y ＝a(x －2)2＝ax 2－4ax ＋4a ， ∴E(0，4a)，∴S 四边形ACED ＝S △ACD ＋S △CDE ＝12DC·OE ＝12×4×4a ＝8a.14. 【答案】0 [解析]依题意可知已知两点关于y 轴对称，∴x 1与x 2互为相反数，即x 1＋x 2＝0.当x ＝0时，y ＝a·02＝0.15. 【答案】(－1010，10102)[解析] 由点A 的坐标可得直线OA 的解析式为y＝x.由AA 1∥x 轴可得A 1(－1，1)，又因为A 1A 2∥OA ，可得直线A 1A 2的解析式为y ＝x ＋2，进而得其与抛物线的交点A 2的坐标为(2，4)，依次类推得A 3(－2，4)，A 4(3，9)，A 5(－3，9)，…，A 2019(－2019＋12，10102)，即A 2019(－1010，10102)． 三、解答题16. 【答案】解：(1)抛物线y ＝－2(x －2)2＋2的顶点坐标为(2，2)，开口向下，对称轴为直线x ＝2.(2)y ＝－2x 2的顶点坐标为(0，0)，y ＝－2(x －2)2的顶点坐标为(2，0)，y ＝－2(x －2)2＋2的顶点坐标为(2，2)，所以抛物线y ＝－2x 2向右平移2个单位长度得到抛物线y ＝－2(x －2)2，抛物线y ＝－2x 2向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线y ＝－2(x －2)2＋2(平移方法不唯一)． (3)∵抛物线y ＝－2(x －2020)2－2021的顶点坐标为(2020，－2021)，∴应将y ＝－2(x －2)2向右平移2018个单位长度，再向下平移2021个单位长度(平移方法不唯一)．17. 【答案】解：(1)－4 －1 (2)如图：(3)增大18. 【答案】解：(1)把点P(－2，3)代入y ＝x 2＋ax ＋3中， 得a ＝2，∴y ＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2， ∴图象的顶点坐标为(－1，2)． (2)①当m ＝2时，n ＝11. ②点Q 到y 轴的距离小于2，∴|m|＜2，∴－2＜m＜2，∴2≤n＜11.。
22. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质
解析式是( C )
A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2
C．y＝x2＋1
D．y＝x2＋3
10．(202X·德州)在同一坐标系中，一次函数y＝ax＋2与二次函数y＝x2＋ a的图象可能是( C )
11．若抛物线y＝ax2＋c与抛物线y＝－4x2＋3关于x轴对称，则a＝__4__， c＝_－__3_．
15．已知抛物线y＝－x2＋4交x轴于A，B两点，顶点是C. (1)求△ABC的面积； (2)在抛物线y＝－x2＋4上是否存在点Q，使∠AQB＝90°，若存在，要求出 点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)S△ABC＝12×4×4＝8 (2)存在．设 Q(m，－m2＋4)，连接 OQ，易知 OQ＝12AB＝2，∴m2＋(4－m2)2＝4，解得 m＝±2，m＝± 3. 但 m＝±2 时，点 Q 在 x 轴上，不合题意，∴点 Q 坐标为( 3，1)或(－
练习2：抛物线y＝－ 1 x2－3的顶点坐标是___(_0_，__－__3_)_____，对称轴 2
是__y_轴_____．
知识点1：二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
1．已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法中正 确的是( D )
A．若y1＝y2，则x1＝x2 B．若x1＝－x2，则y1＝－y2 C．若0＜x1＜x2，则y1＞y2 D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2
练 习 1 ： 将 抛 物 线 y ＝ x2 向 上 平 移 两 个 单 位 后 的 函 数 解 析 式 为 _______________．
y＝x2＋2
2 ． 对 于 抛 物 线 y ＝ ax2 ＋ k ， 当 a ＞ 0 时 ， 开 口 _向__上____ ， 对 称 轴 是 ___y_轴___，顶点为__(_0_，__k_)__；当x＞0时，y随x的增大而_增__大_____；当x ＜0时，y随x的增大而__减__小____．当a＜0时，开口_向__下_____，对称轴是 __y_轴___，顶点为___(_0_，__k_)__；当x＞0时，y随x的增大而___减__小___；当x ＜0时，y随x2个单位得到抛物线y＝－3x2＋2，则a ＝____－，3c＝____4．
人教版九年级上册数学：22.1 二次函数复习题 含答案
22.1 二次函数复习题（一）、学习反馈一、选择题：１.在圆的面积公式 S ＝πr 2 中，s 与 r 的关系是（ ）A 、一次函数关系B 、正比例函数关系C 、反比例函数关系D 、二次函数关系２.已知函数 y ＝(m ＋2)22 m x 是二次函数，则 m 等于（ ） A 、±2 B 、2 C 、－2 D 、± ３.已知 y ＝ax 2＋bx ＋ c 的图像如图所示，则 a 、b 、c 满足（ ）A 、a ＜0，b ＜0，c ＜0B 、a ＞0，b ＜0，c ＞0C 、a ＜0，b ＞0，c ＞0D 、a ＜0，b ＜0，c ＞0４.苹果熟了，从树上落下所经过的路程 s 与下落时间 t 满足S ＝gt 2（g ＝9.8），则 s 与 t 的函数图像大致是（ ）A B C D５.抛物线 y ＝－x 2 不具有的性质是（ ）A 、开口向下B 、对称轴是 y 轴C 、与 y 轴不相交D 、最高点是原点６.抛物线 y ＝x 2－4x ＋c 的顶点在 x 轴，则 c 的值是（ ）A 、0B 、4C 、－4D 、2二、填空题：１.抛物线 y ＝－x 2＋1 的开口向_________。
２.抛物线 y ＝2x 2 的对称轴是_________。
３.函数 y ＝2 (x －1)2 图象的顶点坐标为_________。
４.将抛物线 y ＝2x 2 向下平移 2 个单位，所得的抛物线的解析式为__________________。
５.函数 y ＝x 2＋bx ＋3 的图象经过点(－1, 0)，则 b ＝_________。
６.二次函数 y ＝(x －1)2＋2，当 x ＝_________时，y 有最小值。
212s t O s t O s t O stO xyO 三题图７.函数 y ＝(x －1)2＋3，当 x_________时，函数值 y 随 x 的增大而增大。
８.将 y ＝x 2－2x ＋3 化成 y ＝a (x －h)2＋k 的形式，则 y ＝_________。
人教版 九年级上册数学 22.1 二次函数的图象和性质(含答案)
人教版九年级数学22.1 二次函数的图象和性质一、选择题（本大题共10道小题）1. 已知点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y＝－(x＋1)2＋2上，则下列结论正确的是()A．2>y1>y2B．2>y2>y1C．y1>y2>2 D．y2>y1>22. 抛物线与x轴交于点(－1，0)和(3，0)，与y轴交于点(0，－3)，则此抛物线的解析式为()A．y＝x2＋2x＋3 B．y＝x2－2x－3C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2＋2x－33. 某人画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象时，列出下表(计算没有错误)：根据此表判断：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x1满足下列关系式中的() A．3.2<x1<3.3 B．3.3<x1<3.4 C．3.4<x1<3.5 D．3.1<x1<3.24. 2019·丹东如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(－2，0)，对称轴为直线x＝1.有以下结论：①abc＞0；②8a＋c＞0；③若A(x1，m)，B(x2，m)是抛物线上的两点，当x＝x1＋x2时，y＝c；④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x 轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的取值范围为a≥1；⑤若方程a(x＋2)(4－x)＝－2的两根为x1，x2，且x1＜x2，则－2≤x1＜x2＜4.其中结论正确的有()A．2个B．3个C．4个D．5个5. 矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为(2，1)，一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数解析式为y＝x2，再次平移这张透明纸，使这个点与点C重合，则此时抛物线的函数解析式变为()A．y＝x2＋8x＋14 B．y＝x2－8x＋14C．y＝x2＋4x＋3 D．y＝x2－4x＋36. 2019·资阳如图是函数y＝x2－2x－3(0≤x≤4)的图象，直线l∥x轴且过点(0，m)，将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线l下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是()A．m≥1 B．m≤0C．0≤m≤1 D．m≥1或m≤07. 二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是()8. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1.有下列结论：①abc＜0；②3a＋c＞0；③(a＋c)2－b2＜0；④a＋b≤m(am＋b)(m为实数)．其中正确结论的个数为()A．1 B．2 C．3 D．49. (2019•岳阳)对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1<1<x2，则c的取值范围是A．c<-3 B．c<-2C．c<14D．c<110. 如图，边长为2的等边△ABC和边长为1的等边△A′B′C′，它们的边B′C′，BC位于同一条直线l上，开始时，点C′与B重合，△ABC固定不动，然后把△A′B′C′自左向右沿直线l平移，移出△ABC外(点B′与C重合)停止，设△A′B′C′平移的距离为x，两个三角形重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象是()二、填空题（本大题共8道小题）11. 若物体运动的路程s (m)与时间t (s)之间的关系式为s ＝5t 2＋2t ，则当物体运动时间为4 s 时，该物体所经过的路程为________．12. 【2018·淮安】将二次函数y ＝x 2－1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式是__________．13. (2019•武汉)抛物线2y ax bx c =++经过点(3,0)A -、(4,0)B 两点，则关于x 的一元二次方程2(1)a x c b bx -+=-的解是__________．14. 已知函数y ＝ax 2＋c 的图象与函数y ＝－3x 2－2的图象关于x 轴对称，则a ＝________，c ＝________．15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2(a ＞0)与y ＝a (x －2)2交于点B ，抛物线y ＝a (x －2)2交y 轴于点E ，过点B 作x 轴的平行线与两条抛物线分别交于D ，C 两点．若A 是x 轴上两条抛物线顶点之间的一点，连接AD ，AC ，EC ，ED ，则四边形ACED 的面积为________．(用含a 的代数式表示)16. (2019•天水)二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，若42Ma b =+，N a b =-．则M 、N 的大小关系为M __________N ．(填“>”、“=”或“<”)17. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，a≠0)与x 轴交于A ，B 两点，顶点为P(m ，n)．给出下列结论：①2a ＋c ＜0；②若(－32，y 1)，(－12，y 2)，(12，y 3)在抛物线上，则y 1＞y 2＞y 3；③若关于x 的方程ax 2＋bx ＋k ＝0有实数解，则k ＞c －n ；④当n ＝－1a 时，△ABP 为等腰直角三角形．其中正确的结论是________．(填序号)18. 如图，平行于x 轴的直线AC 与函数y 1＝x 2(x ≥0)，y 2＝13x 2(x ≥0)的图象分别交于B ，C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1的图象于点D ，直线DE ∥AC 交y 2的图象于点E ，则DEAB ＝________．三、解答题（本大题共4道小题）19. 已知抛物线的顶点坐标是(2，3)，并且经过点(0，－1)，求它的解析式．20. 如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．(1)求这条抛物线对应的函数解析式；(2)求直线AB对应的函数解析式．21. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，若关于x的方程|ax2＋bx＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，求k的取值范围．22. 如图，对称轴为直线x＝2的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为(－1，0)．(1)求此抛物线的解析式；(2)直接写出B、C两点的坐标；(3)求过O，B，C三点的圆的面积．(结果用含π的代数式表示)注：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(－b2a，4ac－b24a)人教版九年级数学22.1 二次函数的图象和性质-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】A[解析] 根据题意，可得抛物线开口向下，对称轴为直线x＝－1，∴在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．∵－1＜1＜2，∴2＞y1＞y2，故选A.2. 【答案】B[解析] 由抛物线与x轴交于点(－1，0)和(3，0)，设此抛物线的解析式为y ＝a(x＋1)(x－3)．又因为抛物线与y轴交于点(0，－3)，把x＝0，y＝－3代入y＝a(x＋1)(x－3)，得－3＝a(0＋1)(0－3)，即－3a＝－3，解得a＝1，故此抛物线的解析式为y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3.故选B.3. 【答案】B[解析] 从表格中的数据看，当3.2≤x≤3.5时，y随x的增大而增大，且x＝3.3时，y＝－0.17<0，x＝3.4时，y＝0.08>0，故y＝0一定在3.3<x<3.4这个范围内取得，∴方程的根也在此范围内．故选B.4. 【答案】A5. 【答案】A[解析] 因为矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，所以矩形ABCD关于坐标原点成中心对称．因为A，C是矩形对角线上的两个点，所以点A，C关于原点对称，所以点C的坐标为(－2，－1)，所以抛物线向左平移了4个单位长度，向下平移了2个单位长度，所以平移后抛物线的函数解析式为y＝(x＋4)2－2＝x2＋8x＋14.故选A.6. 【答案】C7. 【答案】D[解析] 由一次函数y＝ax＋a可知，其图象与x轴交于点(－1，0)，排除A，B；当a＞0时，二次函数y＝ax2的图象开口向上，一次函数y＝ax＋a的图象经过第一、二、三象限；当a＜0时，二次函数y＝ax2的图象开口向下，一次函数y＝ax＋a的图象经过第二、三、四象限．排除C.8. 【答案】C[解析] ①∵抛物线开口向上，∴a＞0. ∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴b＜0.∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c<0，∴abc>0，所以①错误．②当x＝－1时，y＞0，∴a－b＋c＞0.∵－b2a＝1，∴b＝－2a.把b＝－2a代入a－b＋c＞0中，得3a＋c＞0，所以②正确．③当x＝1时，y＜0，∴a＋b＋c＜0.当x＝－1时，y>0，∴a－b＋c>0，∴(a＋b＋c)(a－b＋c)<0，即(a＋c)2－b2＜0，所以③正确．④∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴x＝1时，函数的最小值为a＋b＋c，∴a＋b＋c≤am2＋bm＋c(m为实数)，即a＋b≤m(am＋b)，所以④正确．故选C.9. 【答案】B【解析】由题意知二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，所以x1、x2是方程x2+2x+c=x的两个不相等的实数根，整理，得：x2+x+c=0，所以∆=1–4c>0，又x2+x+c=0的两个不相等实数根为x1、x2，x1<1<x2，所以函数y=x2+x+c=0在x=1时，函数值小于0，即1+1+c<0，综上则140 110cc->⎧⎨++<⎩，解得c<-2，故选B．10. 【答案】B【解析】由题意知：在△A′B′C′移动的过程中，阴影部分总为等边三角形．当0＜x≤1时，边长为x，此时y＝12x×32x＝34x2；当1＜x≤2时，重合部分为边长为1的等边三角形，此时y＝12×1×32＝34；当2＜x≤3时，边长为3－x，此时y＝12(3－x)×32(3－x)．综上，这个分段函数的图象左边为开口向上的抛物线的一部分，中间为直线的一部分，右边为开口向上抛物线的一部分，且最高点为34.故选B.二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】88 m[解析] 把t＝4代入函数解析式，得s＝5×16＋2×4＝88.故填88 m.12. 【答案】y＝x2＋2[解析] 二次函数y＝x2－1的图象向上平移3个单位长度，平移后的纵坐标增加3，即y＝x2－1＋3＝x2＋2.13. 【答案】12x =-，25x =【解析】依题意，得：9301640a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩， 解得：12b a c a=-⎧⎨=-⎩， 所以，关于x 的一元二次方程a(x-1)2+c=b-bx 为：2(1)12a x a a ax --=-+， 即：2(1)121x x --=-+，化为：23100x x --=，解得：12x =-，25x =，故答案为：12x =-，25x =．14. 【答案】3 215. 【答案】8a [解析] ∵抛物线y ＝ax 2(a ＞0)与y ＝a(x －2)2交于点B ， ∴BD ＝BC ＝2，∴DC ＝4.∵y ＝a(x －2)2＝ax 2－4ax ＋4a ，∴E(0，4a)，∴S 四边形ACED ＝S △ACD ＋S △CDE ＝12DC·OE ＝12×4×4a ＝8a.16. 【答案】<【解析】当1x =-时，0y a b c =-+>，当2x =时，420y a b c =++<，()42M N a b a b -=+--()420a b c a b c =++--+<，即M N <，故答案为：<．17. 【答案】②④ [解析] (1)当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＞0.由x ＝－b 2a ＜12和a ＞0可得－b ＜a.∴0＜a －b ＋c ＜a ＋a ＋c ＝2a ＋c ，即2a ＋c ＞0，①错误；(2)结合图象易知②正确；(3)方程ax 2＋bx ＋k ＝0有实数解，即ax 2＋bx ＋c ＝c －k 有实数解．∵y ＝ax 2＋bx ＋c≥n ，∴c －k≥n ，即k≤c －n ，③错误；(4)设抛物线的解析式为y ＝－1n (x －m)2＋n(n ＜0)．令y ＝0，得－1n(x －m)2＋n ＝0. ∴n 2－(x －m)2＝0，∴(n －x ＋m)(n ＋x －m)＝0.∴x 1＝m ＋n ，x 2＝m －n.AB ＝|x 1－x 2|＝－2n.设对称轴交x 轴于点H ，则AH ＝BH ＝PH ＝－n ，∴△ABP 为等腰直角三角形，④正确．18. 【答案】3－3 [解析] 设点A 的坐标为(0，b)，则B(b ，b)，C(3b ，b)，D(3b ，3b)，E(3 b ，3b)．所以AB ＝b ，DE ＝3 b －3b ＝(3－3) b.所以DE AB ＝（3－3）b b＝3－ 3. 三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】解：根据题意，设抛物线的解析式为y ＝a(x －2)2＋3.∵抛物线经过点(0，－1)，∴－1＝a(0－2)2＋3，解得a ＝－1，∴y ＝－(x －2)2＋3.20. 【答案】解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋2ax ＋1与x 轴仅有一个交点，∴b 2－4ac ＝(2a)2－4a ＝0，解得a ＝1，a ＝0(舍去)，∴抛物线的解析式：y ＝x 2＋2x ＋1.(3分)(2)设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，∵抛物线解析式y ＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2，∴A(－1，0)，(4分)过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，如解图，∵OC ⊥x 轴，∴OC ∥BD ，∵C 是AB 中点，∴O 是AD 中点，∴AO ＝OD ＝1，(6分)∴点B 的横坐标为1，把x ＝1代入抛物线中，得y ＝(x ＋1)2＝(1＋1)2＝4，∴B 的坐标为(1，4)．(7分)把点A(－1，0) ，B(1，4)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧0＝－k ＋b 4＝k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝2b ＝2， ∴直线AB 的解析式为： y ＝2x ＋2.(8分)21. 【答案】[解析] 先根据题意画出y ＝|ax 2＋bx ＋c|的图象，即可得出|ax 2＋bx ＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根时k 的取值范围．解：根据题意，得y ＝|ax 2＋bx ＋c|的图象如图所示．由图象易知，若|ax 2＋bx ＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，则k ＞3. 22. 【答案】解：(1)由抛物线经过点A(－1，0)，且对称轴为直线x ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧－b 2＝21－b ＋c ＝0，(2分) 解得⎩⎨⎧b ＝－4c ＝－5，(3分)解图∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x －5.(4分)(利用抛物线对称性先求出点B 的坐标，再求出解析式也可)(2)B(5，0)，C(0，－5)．(6分)(3)如解图，连接BC ，易知△OBC 是直角三角形，∴过O ，B ，C 三点的圆的直径是线段BC 的长度，(8分) 由勾股定理得BC ＝52＋52＝52，∴所以所求圆的面积是π×(522)2＝252π.(10分)。
人教版 九年级数学上册 第22章复习测试题带答案
人教版 九年级数学上册 第22章复习测试题带答案22.1 二次函数的图象和性质一、选择题1. 对于二次函数y ＝－(x －1)2＋2的图象与性质，下列说法正确的是( ) A. 对称轴是直线x ＝1，最小值是2 B. 对称轴是直线x ＝1，最大值是2 C. 对称轴是直线x ＝－1，最小值是2 D. 对称轴是直线x ＝－1，最大值是22. 二次函数y ＝x 2－2x ＋4化为y ＝a (x －h )2＋k 的形式，下列正确的是( ) A. y ＝(x －1)2＋2 B. y ＝(x －1)2＋3 C. y ＝(x －2)2＋2 D. y ＝(x －2)2＋43. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，下列结论：①b <0；②c >0；③a ＋c <b ；④b 2－4ac >0，其中正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 已知二次函数y ＝ax 2－bx －2(a ≠0)的图象的顶点在第四象限，且过点(－1，0)，当a －b 为整数时，ab 的值为( ) A. 34或1 B. 14或1 C. 34或12 D. 14或345. (2019•雅安)在平面直角坐标系中，对于二次函数22()1y x =-+，下列说法中错误的是A ．y 的最小值为1B ．图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线2x =C ．当2x <时，y 的值随x 值的增大而增大，当2x ≥时，y 的值随x 值的增大而减小D ．它的图象可以由2y x 的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到6. 海滨广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管喷出的水的最大高度为3米，此时喷水的水平距离为12米．在如图所示的平面直角坐标系中，这支喷泉喷出的水在空中划出的曲线满足的函数解析式是( )A ．y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3B ．y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋1C ．y ＝－8⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3D ．y ＝－8⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋37. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数且a ≠0)的图象如图所示，则一次函数y ＝ax ＋b 与反比例函数y ＝cx 的图象可能是( )8. 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (b ＞a ＞0)与x 轴最多有一个交点．现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y 轴左侧；②关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＋2＝0无实数根；③a －b ＋c ≥0；④a ＋b ＋cb －a的最小值为3.其中，正确结论的个数为( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个9. (2019•泸州)已知二次函数(1)(1)37y x a x a a =---+-+(其中x 是自变量)的图象与x 轴没有公共点，且当1x <-时，y 随x 的增大而减小，则实数a 的取值范围是 A ．2a < B ．1a >- C ．12a -<≤D ．12a -≤<10. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A ＝90°，BC ＝4，点P 是△ABC 边上一动点，沿B →A →C 的路径移动．过点P 作PD ⊥BC 于点D ，设BD ＝x ，△BDP 的面积为y ，则下列能大致反映y 与x 函数关系的图象是( )二、填空题11.抛物线y ＝－8x 2的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________；当x ＞0时，y 随x 的增大而________，当x ＜0时，y 随x 的增大而________．12. 如图为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，在下列说法中：①ac<0；②方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根是x 1＝－1，x 2＝3；③a ＋b ＋c>0；④当x>1时，y 随着x 的增大而增大．正确的说法有________．(请写出所有正确说法的序号)13. (2019•襄阳)如图，若被击打的小球飞行高度h (单位：m)与飞行时间t (单位：s)之间具有的关系为2205h t t =-，则小球从飞出到落地所用的时间为__________s ．14. (2019•徐州)已知二次函数的图象经过点(2,2)P ，顶点为(0,0)O 将该图象向右平移，当它再次经过点P 时，所得抛物线的函数表达式为__________．15. 如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与y轴交于点C，点D(0，1)，点P在抛物线上，且△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为________．16. 已知点(x1，－7)和点(x2，－7)(x1≠x2)均在抛物线y＝ax2上，则当x＝x1＋x2时，y的值是________．17. 如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)和B(3，2)，不等式x2＋bx＋c＞x＋m的解集为____________．三、解答题18. 如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点A(1，0)，C(0，－3)．(1)求此二次函数的解析式；(2)设抛物线与x轴的另一交点为B，在抛物线上存在一点P，使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．19. 2018·南京已知二次函数y＝2(x－1)(x－m－3)(m为常数)．(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；(2)当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？20. 已知二次函数y＝ax2－2ax＋c(a>0)的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D，且CP∶PD＝2∶3.(1)求A、B两点的坐标；(2)若tan∠PDB＝54，求这个二次函数的关系式．21. 在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝(x＋a)(x－a－1)，其中a≠0.(1)若函数y1的图象经过点(1，－2)，求函数y1的表达式；(2)若一次函数y2＝ax＋b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b 满足的关系式；(3)已知点P(x0，m)和Q(1，n)在函数y1的图象上．若m<n，求x0的取值范围．22. 如图，已知抛物线经过A(－3，0)，B(0，3)两点，且其对称轴为直线x＝－1.(1)求此抛物线的解析式；(2)若P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A，B)，求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．人教版九年级22.1 二次函数的图象和性质培优训练-答案一、选择题1. 【答案】B 【解析】由二次函数y ＝－(x －1)2＋2可知，对称轴为直线x ＝1排除C ，D ，函数开口向下，有最大值，最大值为当x ＝1时y ＝2，故排除A 选B .2. 【答案】B 【解析】将二次函数的一般式经过配方转化成顶点式，可以加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式．y ＝x 2－2x ＋4＝x 2－2x ＋1＋3＝(x －1)2＋3.3. 【答案】C 【解析】∵图象开口向下，∴a ＜0，∵对称轴在y 轴右侧，∴a ，b 异号，∴b ＞0，故①错误；∵图象与y 轴交于x 轴上方，∴c ＞0，故②正确；当x ＝－1时，a －b ＋c <0，则a ＋c <b ，故③正确；图象与x 轴有两个交点，则b 2－4ac ＞0，故④正确．4. 【答案】A 【解析】由二次函数过点(－1，0)可得a ＋b ＝2，把x ＝1代入y ＝ax 2－bx －2得y ＝a －b －2，即a －b ＝2＋y.由a ＋b ＝2和a －b ＝2＋y 得a ＝2＋12y ，由题意得a ＞0，b ＞0，所以2＋12y ＞0，解得y ＞－4，又由顶点在第四象限，可得y ＝－3或－2或－1.当y ＝－3时，可得a ＝12，b ＝32，则ab ＝34；当y ＝－2时，可得a ＝1，b ＝1，则ab ＝1；当y ＝－1时，可得a ＝32，b ＝12，则ab ＝34，综上ab 的值为34或1.5. 【答案】C【解析】二次函数22()1y x =-+，10a =>，∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线2x =，顶点为(2,1)，当2x =时，y 有最小值1，当2x >时，y 的值随x 值的增大而增大，当2x <时，y 的值随x 值的增大而减小；故选项A 、B 的说法正确，C 的说法错误； 根据平移的规律，2yx 的图象向右平移2个单位长度得到2(2)y x =-，再向上平移1个单位长度得到22()1y x =-+， 故选项D 的说法正确， 故选C ．6. 【答案】C7. 【答案】C【解析】抛物线开口向上，所以a ＞0，对称轴在y 轴右侧，所以a 、b 异号，所以b ＜0，抛物线与y 轴交于负半轴，所以c ＜0，所以直线y ＝ax ＋b过第一、三、四象限，反比例函数y ＝cx 位于第二、四象限，故答案为C.8. 【答案】D 【解析】 序号 逐项分析 正误① ∵b >a >0，∴对称轴－b2a <0，即对称轴在y 轴左侧√ ② ∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴最多有一个交点，且抛物线开口向上，∴y ＝ax 2＋bx ＋c ≥0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＋2＝0即ax 2＋bx ＋c ＝－2无实数根√③ 由②得y ＝ax 2＋bx ＋c ≥0，∴当x ＝－1时，a －b ＋c ≥0 √④∵当x ＝－2时，y ＝4a －2b ＋c ≥0，∴a ＋b ＋c ≥3b －3a ，a ＋b ＋c ≥3(b －a )，∵b ＞a ，∴a ＋b ＋cb －a≥3 √9. 【答案】D【解析】(1)(1)37y x a x a a =---+-+22236x ax a a =-+-+， ∵抛物线与x 轴没有公共点，∴22(2)4(36)0a a a ∆=---+<，解得2a <， ∵抛物线的对称轴为直线22ax a -=-=，抛物线开口向上， 而当1x <-时，y 随x 的增大而减小， ∴1a ≥-，∴实数a 的取值范围是12a -≤<， 故选D ．10. 【答案】B【解析】∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠A ＝90°，∠B ＝∠C ＝45°.(1)当0≤x ≤2时，点P 在AB 边上，△BDP 是等腰直角三角形，∴PD ＝BD ＝x ，y ＝12x 2 (0≤x ≤2)，其图象是抛物线的一部分； (2)当2＜x ≤4时，点P 在AC 边上，△CDP 是等腰直角三角形，∴PD ＝CD ＝4－x ，∴y ＝12BD ·PD ＝12x (4－x ) (2＜x ≤4)，其图象也是抛物线的一部分．综上所述，两段图象均是抛物线的一部分，因此选项B 的图象能大致反映y 与x 之间的函数关系．二、填空题11. 【答案】下 y 轴 (0，0) 减小 增大12. 【答案】①②④【解析】由于二次函数开口向上，且与y 轴的交点在负半轴上，∴a ＞0，c ＜0，∴ac ＜0，即①正确；又由于二次函数与x 轴交点的横坐标为－1，3.∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根是x 1＝－1，x 2＝3即②正确；当x ＝1时，二次函数上的点在第四象限，即a ＋b ＋c ＜0即③错误；由于(－1，0)，(3，0)两点关于二次函数的对称轴为轴对称，∴此二次函数的对称轴方程为：x ＝1，因为二次函数开口向上，所以当x ＞1时y 随x 的增大而增大，即④正确. 故①②④正确．13. 【答案】4【解析】依题意，令0h =得： ∴20205t t =-， 得：(205)0t t -=， 解得：0t =(舍去)或4t =，∴即小球从飞出到落地所用的时间为4s ， 故答案为：4．14. 【答案】21(4)2y x =- 【解析】设原来的抛物线解析式为：2y ax =(0)a ≠， 把(2,2)P 代入，得24a =， 解得12a =， 故原来的抛物线解析式是：212y x =， 设平移后的抛物线解析式为：21()2y x b =-， 把(2,2)P 代入，得212(2)2b =-，解得0b =(舍去)或4b =， 所以平移后抛物线的解析式是：21(4)2y x =-， 故答案为：21(4)2y x =-．15. 【答案】(1＋2，2)或(1－2，2) 【解析】抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与y 轴交于点C ，则点C 坐标是(0，3)，∵点D(0，1)，点P 在抛物线上，且△PCD 是以CD 为底的等腰三角形，∴易得点P 的纵坐标是2，当y ＝2时，∴－x 2＋2x＋3＝2，则x 2－2x －1＝0，解得方程的两根是x ＝2±222＝1±2，∴点P 的坐标是(1＋2，2)或(1－2，2)．16. 【答案】0 [解析]依题意可知已知两点关于y 轴对称，∴x 1与x 2互为相反数，即x 1＋x 2＝0.当x ＝0时，y ＝a·02＝0.17. 【答案】x<1或x>3 【解析】∵直线y ＝x ＋m 和抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 都经过点A(1，0)和B(3，2)，∴根据图象可知，不等式x 2＋bx ＋c ＞x ＋m 的解集为x ＜1或x ＞3.三、解答题18. 【答案】解：(1)∵二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象过点A(1，0)，C(0，－3)，∴⎩⎨⎧1＋b ＋c ＝0，c ＝－3，解得⎩⎨⎧b ＝2，c ＝－3.∴此二次函数的解析式为y ＝x 2＋2x －3. (2)∵当y ＝0时，x 2＋2x －3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝1，∴B(－3，0)，∴AB ＝4. 设点P 的坐标为(m ，n)． ∵△ABP 的面积为10， ∴12AB·|n|＝10，解得n ＝±5. 当n ＝5时，m 2＋2m －3＝5，解得m ＝－4或m ＝2，∴P(－4，5)或P(2，5)； 当n ＝－5时，m 2＋2m －3＝－5，此方程无解．故点P 的坐标为(－4，5)或(2，5)．19. 【答案】解：(1)证明：当y ＝0时，2(x －1)(x －m －3)＝0， 解得x 1＝1，x 2＝m ＋3.当m ＋3＝1，即m ＝－2时，方程有两个相等的实数根； 当m ＋3≠1，即m ≠－2时，方程有两个不相等的实数根． 综上，不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点． (2)当x ＝0时，y ＝2(x －1)(x －m －3)＝2m ＋6， ∴该函数的图象与y 轴交点的纵坐标为2m ＋6，∴当2m ＋6＞0，即m ＞－3时，该函数的图象与y 轴的交点在x 轴的上方．20. 【答案】解：(1)y ＝ax 2－2ax ＋c＝a(x 2－2x)＋c ＝a(x －1)2＋c －a ∴P 点坐标为(1，c －a)．(2分)如图，过点C 作CE ⊥PQ ，垂足为E ，延长CE 交BD 于点F ，则CF ⊥BD. ∵P(1，c －a)， ∴CE ＝OQ ＝1. ∵PQ ∥BD ，∴△CEP ∽△CFD ， ∴CP CD ＝CE CF .又∵CP ∶PD ＝2∶3， ∴CE CF ＝CP CD ＝22＋3＝25，∴CF ＝2.5，(4分) ∴OB ＝CF ＝2.5，∴BQ ＝OB －OQ ＝1.5， ∴AQ ＝BQ ＝1.5，∴OA ＝AQ －OQ ＝1.5－1＝0.5， ∴A(－0.5，0)，B(2.5，0)．(5分)(2)∵tan ∠PDB ＝54，∴CFDF＝5 4，∴DF＝45CF＝45×2.5＝2，(6分)∵△CFD∽△CEP，∴PEDF＝CE CF，∴PE＝DF·CECF＝2×12.5＝0.8.∵P(1，c－a)，C(0，c)，∴PE＝PQ－OC＝c－(c－a)＝a，∴a＝0.8，(8分)∴y＝0.8x2－1.6x＋c.把A(－0.5，0)代入得：0.8×(－0.5)2－1.6×(－0.5)＋c＝0，解得c＝－1.(9分)∴这个二次函数的关系式为：y＝0.8x2－1.6x－1.(10分)21. 【答案】【思维教练】由图象过点(1，－2)，将其带入y1的函数表达式中，解方程即可；(2)由y1＝(x＋a)(x－a－1)可得出y1过x轴上的两点的坐标，然后分两种情况讨论即可；(3)先求出y1＝(x＋a)(x－a－1)的对称轴，根据开口向上的二次函数，离对称轴越近，函数值越小即可得解．解：(1)∵函数y1＝(x＋a)(x－a－1)图象经过点(1，－2)，∴把x＝1，y＝－2代入y1＝(x＋a)(x－a－1)得，－2＝(1＋a)(－a)，(2分)化简得，a2＋a－2＝0，解得，a1＝－2，a2＝1，∴y1＝x2＋x－2；(4分)(2)函数y1＝(x＋a)(x－a－1)图象在x轴的交点为(－a，0)，(a＋1，0)，①当函数y2＝ax＋b的图象经过点(－a，0)时，把x＝－a，y＝0代入y2＝ax＋b中，得a2＝b；(6分)②当函数y2＝ax＋b的图象经过点(a＋1，0)时，把x＝a＋1，y＝0代入y2＝ax＋b中，得a2＋a＝－b；(8分)(3)∵抛物线y1＝(x＋a)(x－a－1)的对称轴是直线x＝－a＋a＋12＝12，m<n，∵二次项系数为1，∴抛物线的开口向上，∴抛物线上的点离对称轴的距离越大，它的纵坐标也越大，∵m<n，∴点Q离对称轴x＝12的距离比P离对称轴x＝12的距离大，(10分)∴|x0－12|<1－12，∴0<x0<1.(12分) 22. 【答案】解：(1)设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c. 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋c ＝0，c ＝3，－b2a ＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝3. 所以抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3.(2)易知直线AB 的表达式为y ＝x ＋3，设P(m ，－m 2－2m ＋3)，过点P 作PC ∥y 轴交AB 于点C ，则C(m ，m ＋3)，PC ＝(－m 2－2m ＋3)－(m ＋3)＝－m 2－3m ， 所以S △PAB ＝12×(－m 2－3m)×3＝－32(m 2＋3m)＝－32(m ＋32)2＋278， 所以当m ＝－32时，S △PAB 有最大值278，此时点P 的坐标为(－32，154)．22.2 二次函数与一元一次方程一、选择题（本大题共10道小题）1. 抛物线y ＝－x 2＋4x －4与坐标轴的交点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．32. 根据下列表格中的数值，判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b 为常数)根的情况是( )A.B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．无实数根3. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解是( )A．x1＝－3，x2＝1 B．x1＝3，x2＝1C．x＝－3 D．x＝－24. 从地面竖直向上抛出一个小球，小球的上升高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的关系式为h＝24t－4t2，那么小球从抛出至回落到地面所需的时间是()A．6 s B．4 s C．3 s D．2 s5. 若A(－1，0)为抛物线y＝－3(x－1)2＋c上一点，则当y≥0时，x的取值范围是()A．－1＜x＜3 B．x＜－1或x＞3C．－1≤x≤3 D．x≤－1或x≥36. 函数y＝ax2＋2ax＋m(a＜0)的图象过点(2，0)，则使函数值y＜0成立的x的取值范围是()A．x＜－4或x＞2 B．－4＜x＜2C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜27. 若二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象经过点(－1，0)，则方程ax2－2ax＋c＝0的解为()A. x1＝－3，x2＝－1B. x1＝1，x2＝3C. x1＝－1，x2＝3D. x1＝－3，x2＝18. 根据下列表格中的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根x的取值范围是()A.1.23＜x＜1.24 B．1.24＜x＜1.25C．1.25＜x＜1.26 D．1＜x＜1.239. 如图，抛物线y ＝12x 2－7x ＋452与x 轴交于点A ，B ，把抛物线在x 轴及其下方的部分记作C 1，将C 1向左平移得到C 2，C 2与x 轴交于点B ，D ，若直线y ＝12x ＋m 与C 1，C 2共有3个不同的交点，则m 的取值范围是( )A ．－458＜m ＜－52B ．－298＜m ＜－12C ．－298＜m ＜－52D ．－458＜m ＜－1210. 已知二次函数y ＝－x 2＋x ＋6及一次函数y ＝－x ＋m ，将该二次函数在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数图象(如图)，当直线y ＝－x ＋m 与新图象有4个交点时，m 的取值范围是( )A ．－254<m<3 B ．－254<m<2 C ．－2＜m ＜3D ．－6＜m ＜－2二、填空题（本大题共7道小题）11. 飞机着陆后滑行的距离y (单位：m)关于滑行时间t (单位：s)的函数解析式是y ＝60t －32t 2，在飞机着陆滑行中，最后2 s 滑行的距离是________m.12. 如图，已知抛物线y ＝x 2＋2x －3与x 轴的两个交点分别是A ，B (点A 在点B的左侧)．(1)点A 的坐标为__________，点B 的坐标为________； (2)利用函数图象，求得当y <5时x 的取值范围为________．13. 已知二次函数y＝kx2－6x－9的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为____________．14. 设A，B，C三点分别是抛物线y＝x2－4x－5与y轴的交点以及与x轴的两个交点，则△ABC的面积是________．15. 如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点分别为A(－2，4)，B(1，1)，则方程ax2＝bx＋c的解是____________．16. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①b＞0；②a－b ＋c＝0；③一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；④当x ＜－1或x＞3时，y＞0.上述结论中正确的是________．(填上所有正确结论的序号)17. 已知实数x，y满足x2＋3x＋y－3＝0，则x＋y的最大值为________．三、解答题（本大题共4道小题）18. 已知二次函数y＝x2＋mx＋n的图象经过点P(－3，1)，对称轴是直线x＝－1.(1)求m，n的值；(2)当x取何值时，y随x的增大而减小？19. 已知二次函数y＝－x2＋2x＋m.(1)如果二次函数的图象与x轴有两个公共点，求m的取值范围；(2)如图，二次函数的图象过点A(3，0)，与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标；(3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．20. 某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2－2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；(3)观察函数图象，写出两条函数的性质；(4)进一步探究函数图象发现：①函数图象与x轴有________个交点，所以对应的方程x2－2|x|＝0有________个实数根；②方程x2－2|x|＝2有________个实数根；③关于x的方程x2－2|x|＝a有4个实数根时，a的取值范围是________．21. 利用图象解一元二次方程x2－2x－1＝0时，我们采用的一种方法是在直角坐标系中画出抛物线y＝x2和直线y＝2x＋1，两图象交点的横坐标就是该方程的解．(1)请你再给出一种利用图象求方程x2－2x－1＝0的解的方法；(2)已知函数y＝x3的图象(如图)，求方程x3－x－2＝0的解(精确到0.1)．人教版九年级数学22.2 二次函数与一元一次方程同步训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C[解析] 当x＝0时，y＝－x2＋4x－4＝－4，则抛物线与y轴的交点坐标为(0，－4)；当y＝0时，－x2＋4x－4＝0，解得x1＝x2＝2，则抛物线与x轴的交点坐标为(2，0)，所以抛物线与坐标轴有2个交点．故选 C.2. 【答案】A【解析】当x＝2时，方程ax2＋bx＋c＝0，因此方程有一个实数根为2.当x 由－1增大到0时，ax 2＋bx ＋c 的值由－3增大到2，因此可以推断当x 在－1与0之间取某一值时，必有ax 2＋bx ＋c ＝0，说明方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有一个根在－1与0之间．3. 【答案】A[解析] ∵抛物线与x 轴的一个交点的坐标是(1，0)，对称轴是直线x ＝－1，∴抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是(－3，0)．故一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解是x 1＝－3，x 2＝1.故选A.4. 【答案】A5. 【答案】C6. 【答案】A[解析] 抛物线的对称轴是直线x ＝－2a2a ＝－1，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标是(－4，0)．∵a ＜0，∴抛物线开口向下，∴使y ＜0成立的x 的取值范围是x ＜－4或x ＞2.故选A.7. 【答案】C【解析】∵图象过点(－1，0)，∴将点(－1，0)代入方程得a ＋2a＋c ＝0，即3a ＋c ＝0.当x ＝3时，将(3，0)代入方程也得到3a ＋c ＝0成立，当x ＝－3时，将(－3，0)代入方程也得到15a ＋c ＝0(与3a ＋c ＝0不相符)，∴方程的两个根为x 1＝－1，x 2＝3.8. 【答案】B9. 【答案】C【解析】 如图．∵抛物线y ＝12x 2－7x ＋452与x 轴交于点A ，B ，∴B (5，0)，A (9，0)．∴抛物线C 1向左平移4个单位长度得到C 2，∴平移后抛物线的解析式为y ＝12(x －3)2－2.当直线y ＝12x ＋m 过点B 时，有2个交点， ∴0＝52＋m ，解得m ＝－52；当直线y ＝12x ＋m 与抛物线C 2只有一个公共点时，令12x ＋m ＝12(x －3)2－2，∴x 2－7x ＋5－2m ＝ 0，∴Δ＝49－20＋8m ＝0，∴m ＝－298，此时直线的解析式为y ＝12x －298，它与x 轴的交点为(294，0)，在点A 左侧，∴此时直线与C 1，C 2有2个交点，如图所示．∴当直线y ＝12x ＋m 与C 1，C 2共有3个不同的交点时，－298＜m ＜－52.10. 【答案】D【解析】 如图，当y ＝0时，－x 2＋x ＋6＝0，解得x 1＝－2，x 2＝3，则A (－2，0)，B (3，0)．将该二次函数在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方的部分图象的解析式为y ＝(x ＋2)(x －3)，即y ＝x 2－x －6(－2≤x ≤3)．当直线y ＝－x ＋m 经过点A (－2，0)时，2＋m ＝0，解得m ＝－2；当直线y ＝－x ＋m 与抛物线y ＝x 2－x －6有唯一公共点时，方程x 2－x －6＝－x ＋m 有两个相等的实数根，解得m ＝－6.所以当直线y ＝－x ＋m 与新图象有4个交点时，m 的取值范围为－6＜m ＜－2.二、填空题（本大题共7道小题）11. 【答案】6 【解析】 当y 取得最大值时，飞机停下来， 则y ＝60t －32t 2＝－32(t －20)2＋600，此时t ＝20，飞机着陆后滑行600米停下来， 因此t 的取值范围是0≤t ≤20. 当t ＝18时，y ＝594， 所以600－594＝6(米)． 故答案是：6.12. 【答案】(1)(－3，0)(1，0) (2)－4<x <2【解析】(1)当x2＋2x－3＝0时，解得x1＝－3，x2＝1，∴A(－3，0)，B(1，0)．(2)当y＝5时，x2＋2x－3＝5，x2＋2x－8＝0，解得x1＝－4，x2＝2.由函数图象可得，当－4<x<2时，y<5.13. 【答案】k＞－1且k≠014. 【答案】15[解析] 当x＝0时，y＝－5，∴点A的坐标为(0，－5)；当y＝0时，x2－4x－5＝0，解得x1＝－1，x2＝5，不妨设点B在点C的左侧，∴点B的坐标为(－1，0)，点C的坐标为(5，0)，则BC＝6，∴△ABC的面积为12×6×5＝15.15. 【答案】x1＝－2，x2＝1[解析] 方程ax2＝bx＋c的解即抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c交点的横坐标．∵交点是A(－2，4)，B(1，1)，∴方程ax2＝bx＋c的解是x1＝－2，x2＝1.16. 【答案】②③④[解析] 由图可知，抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(3，0)，∴b＝－2a，抛物线与x轴的另一个交点坐标为(－1，0)．①∵a＞0，∴b＜0，∴①错误；②当x＝－1时，y＝0，∴a－b＋c＝0，∴②正确；③一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0的解是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝－1的交点的横坐标，由图象可知函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝－1有两个不同的交点，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，∴③正确；④由图象可知，y＞0时，x＜－1或x＞3，∴④正确．17. 【答案】4[解析] x＋y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，∴当x＝－1时，x＋y有最大值，最大值是4.三、解答题（本大题共4道小题）18. 【答案】解：(1)∵二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象经过点P (－3，1)，对称轴是直线x ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝9－3m ＋n ，－m 2＝－1，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝－2. (2)由(1)知二次函数的解析式为y ＝x 2＋2x －2.∵a ＝1＞0，∴抛物线的开口向上，∴当x ≤－1时，y 随x 的增大而减小．19. 【答案】解：(1)∵二次函数的图象与x 轴有两个公共点，∴Δ＝b 2－4ac ＝22＋4m ＞0，∴m ＞－1.(2)∵二次函数的图象过点A(3，0)，∴0＝－9＋6＋m ，∴m ＝3，∴二次函数的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.令x ＝0，则y ＝3，∴B(0，3)．设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，∴⎩⎨⎧3k ＋b ＝0，b ＝3，解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝3，∴直线AB 的解析式为y ＝－x ＋3.∵抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3的对称轴为直线x ＝1，∴把x ＝1代入y ＝－x ＋3，得y ＝2，∴P(1，2)．(3)根据函数图象可知：使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围是x ＜0或x ＞3.20. 【答案】解：(1)m ＝0.(2分)(2)如解图所示：(4分)(3)①函数图象有两个最低点，坐标分别是(－1，－1)以及(1，－1)．②函数图象是轴对称图形，对称轴是直线x＝0(y轴)．(6分)③从图象信息直接看出：当x＜－1或0＜x＜1时，函数值随自变量的增大而减小；当－1＜x＜0或x＞1时，函数值随自变量的增大而增大．④在x＜－2或x＞2时，函数值大于0，在－2＜x＜0或0＜x＜2时，函数值小于0等．(答案不唯一，合理即可)(4)①3，3；②2; ③－1＜a＜0.(10分)【解法提示】①观察图象可知函数图象与x轴有3个交点，∴方程x2－2|x|＝0有3个不相等的实数根；②把抛物线y＝x2－2|x|向下平移2个单位，得抛物线y＝x2－2||x－2，则抛物线y＝x2－2|x|－2与x轴只有2个交点，∴方程x2－2|x|－2＝0有2个不相等的实数根；③把抛物线y＝x2－2|x|向上平移0＜h＜1时，抛物线与x轴有4个交点，∴抛物线解析式y＝x2－2|x|－a中，0＜－a＜1，∴－1＜a＜0.21. 【答案】解：(1)答案不唯一，如在直角坐标系中画出抛物线y＝x2－1和直线y＝2x，其交点的横坐标就是方程的解．(2)在图中画出直线y＝x＋2，与函数y＝x3的图象交于点B，得点B的横坐标x≈1.5，∴方程的解为x≈1.5.22.3【实际问题与二次函数】一．选择题1．一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式：h＝﹣6（t﹣2）2+7，则小球距离地面的最大高度是（）A．2米B．5米C．6米D．7米2．正方形的边长为3，如果边长增加x，那么面积增加y，则y与x之间的函数表达式是（）A．y＝3x B．y＝（3+x）2C．y＝9+6x D．y＝x2+6x3．对于二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3，下列说法中正确的是（）A．当x＝﹣2时，y的最大值是﹣3B．当x＝2时，y的最小值是﹣3C．当x＝2时，y的最大值是﹣3D．当x＝﹣2时，y的最小值是﹣34．一台机器原价50万元，如果每年的折旧率是x，两年后这台机器的价格为y万元，则y 与x的函数关系式为（）A．y＝50（1﹣x）2B．y＝50（1﹣2x）C．y＝50﹣x2D．y＝50（1+x）2 5．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下、顶点坐标为（2，﹣3），则此函数有（）A．最小值2B．最小值﹣3C．最大值2D．最大值﹣36．若抛物线y＝x2﹣2x+m的最低点的纵坐标为n，则m﹣n的值是（）A．﹣1B．0C．1D．27．已知二次函数y＝a（x﹣1）2+b（a≠0）有最大值，则a，b的大小比较为（）A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．不能确定8．二次函数y＝﹣x2+6x﹣7，当x取值为t≤x≤t+2时，y＝﹣（t﹣3）2+2，则t的取值最大值范围是（）A．t＝0B．0≤t≤3C．t≥3D．以上都不对9．已知二次函数y＝a（x﹣1）2+b（a≠0）有最大值2，则a、b的大小比较为（）A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．不能确定10．用一段20米长的铁丝在平地上围成一个长方形，求长方形的面积y（平方米）和长方形的一边的长x（米）的关系式为（）A．y＝﹣x2+20x B．y＝x2﹣20x C．y＝﹣x2+10x D．y＝x2﹣10x 二．填空题11．已知x2﹣3x+y﹣5＝0，则y﹣x的最大值为．12．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为min．13．如图，有一个矩形苗圃园、其中一边靠墙（墙长为15m），另外三边用长为16m的篱笆围成，则这个苗圃园面积的最大值为．14．某工厂今年一月份生产防疫护目镜的产量是20万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为x，那么第一季度防疫护目镜的产量y（万件）与x之间的关系应表示为．15．如图，P是抛物线y＝x2﹣x﹣4在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为．三．解答题16．龙眼是同安的特产，远销国内外．现有一个龙眼销售点在经销时发现：如果每箱龙眼盈利10元，每天可售出50箱．若每箱龙眼涨价1元，日销售量将减少2箱．若该销售点单纯从经济角度考虑，每箱龙眼应涨价多少元才能获利最高？17．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系y＝﹣0.1x2+2.6x+43（0≤x≤30）．y值越大，表示接受能力越强．（1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？（2）某同学思考10分钟后提出概念，他的接受能力是多少？18．某超市销售一种水果，进价为每箱40元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱72元，每月可销售60箱．经市场调查发现：若这种水果的售价每降低2元，则每月的销量将增加10箱，设每箱水果降价x元（x为偶数），每月的销量为y箱．（1）写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围．（2）若该超市在销售过程中每月需支出其他费用500元，则如何定价才能使每月销售水果的利润最大？最大利润是多少元？19．用长12m的一根铁丝围成长方形．（1）如果长方形的面积为5m2，那么此时长方形的较长的边是多少？（2）能否围成面积是10m2的长方形？为什么？（3）能围成的长方形的最大面积是多少？20．生产商对在甲、乙两地生产并销售的某产品进行研究后发现如下规律：每年年产量为x （吨）时所需的全部费用y（万元）与x满足关系式y＝x2+5x+90，投人市场后当年能全部售10出，且在甲、乙两地每吨的售价P甲P乙（万元）均与x满足一次函数关系．（注：年利润＝年销售额﹣全部费用）（1）当在甲地生产并销售x吨时，满足P甲＝﹣x+14，求在甲地生成并销售20吨时利润为多少万元；（2）当在乙地生产并销售x吨时，P乙＝﹣x+15，求在乙地当年的最大年利润应为多少万元？参考答案一．选择题1．解：∵h＝﹣6（t﹣2）2+7，∴a＝﹣6＜0，∴抛物线的开口向下，函数由最大值，∴t＝2时，h最大＝7．故选：D．2．解：∵新正方形的边长为x+3，原正方形的边长为3，∴新正方形的面积为（x+3）2，原正方形的面积为9，∴y＝（x+3）2﹣9＝x2+6x，故选：D．3．解：对于二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3，由于﹣1＜0，所以，当x＝2时，y取得最大值，最大值为﹣3，故选：C．4．解：二年后的价格是为：50×（1﹣x）×（1﹣x）＝50（1﹣x）2，则函数解析式是：y＝50（1﹣x）2．故选：A．5．解：因为抛物线开口向下和其顶点坐标为（2，﹣3），所以该抛物线有最大值是﹣3．故选：D．6．解：∵y＝x2﹣2x+m，∴＝＝n，即m﹣1＝n，∴m﹣n＝1．故选：C．7．解：∵y＝a（x﹣1）2+b有最大值，∴抛物线开口向下a＜0，b＝，∴a＜b．故选：B．8．解：∵y＝﹣x2+6x﹣7＝﹣（x﹣3）2+2，当t≤3≤t+2时，即1≤t≤3时，函数为增函数，y max＝f（3）＝2，与y max＝﹣（t﹣3）2+2矛盾．当3≥t+2时，即t≤1时，y max＝f（t+2）＝﹣（t﹣1）2+2，与y max＝﹣（t﹣3）2+2矛盾．当3≤t，即t≥3时，y max＝f（t）＝﹣（t﹣3）2+2与题设相等，故t的取值范围t≥3，故选：C．9．解：∵二次函数y＝a（x﹣1）2+b（a≠0）有最大值2，∴a＜0，b＝2，则a、b的大小比较为：a＜b．故选：B．10．解：∵长方形一边的长度为x米，周长为20米，∴长方形的另外一边的长度为（10﹣x）米，则长方形的面积y＝x（10﹣x）＝﹣x2+10x，故选：C．二．填空题11．解：∵x2﹣3x+y﹣5＝0，∴y＝﹣x2+3x+5，∴y﹣x＝﹣x2+2x+5＝﹣（x﹣1）2+6，∴y﹣x的最大值为6，故答案为6．12．解：根据题意：y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，当x＝﹣＝3.75时，y取得最大值，则最佳加工时间为3.75min．故答案为：3.75．13．解：设垂直于墙面的长为xm，则平行于墙面的长为（16﹣2x）m，由题意可知：y＝x（16﹣2x）＝﹣2（x﹣4）2+32，且x＜8，∵墙长为15m，∴16﹣2x≤15，∴0.5≤x＜8，∴当x＝4时，y取得最大值，最大值为32m2；故答案为：32m2．14．解：y与x之间的关系应表示为：y＝20+20（x+1）+20（x+1）2．故答案为：y＝20+20（x+1）+20（x+1）2．15．解：设P（x，x2﹣x﹣4），四边形OAPB周长＝2PA+2OA＝﹣2（x2﹣x﹣4）+2x＝﹣2x2+4x+8＝﹣2（x﹣1）2+10，当x＝1时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为10．故答案为10．三．解答题16．解：设每箱龙眼应涨价x元，总利润为y，根据题意可得：y＝（10+x）（50﹣2x）＝﹣2x2+30x+500＝﹣2（x﹣）2+612.5，答：每箱龙眼应涨价元才能获利最高．17．解：（1）∵y＝﹣0.1（x2﹣26x+169）+16.9+43＝﹣0.1（x﹣13）2+59.9∴对称轴是：直线x＝13即当（0≤x≤13）提出概念至（13分）之间，学生的接受能力逐步增强；（2）当x＝10时，y＝﹣0.1×102+2.6×10+43＝59．18．解：（1）根据题意知y＝60+5x，（0≤x≤32，且x为偶数）；（2）设每月销售水果的利润为w，则w＝（72﹣x﹣40）（5x+60）﹣500＝﹣5x2+100x+1420＝﹣5（x﹣10）2+1920，当x＝10时，w取得最大值，最大值为1920元，答：当售价为62元时，每月销售水果的利润最大，最大利润是1920元．19．解：设长方形的宽为xm，则长为（12﹣2x）m，即为（6﹣x）m，则6﹣x≥x，得0＜x≤3，（1）根据题意，得x（6﹣x）＝5，即x2﹣6x+5＝0，x1＝5，x2＝1（舍去），∴此时长方形较长的边为5m．（2）当面积为10m2时，x（6﹣x）＝10，即x2﹣6x+10＝0，此时b2﹣4ac＝36﹣40＝﹣4＜0，故此方程无实数根．所以这样的长方形不存在．（3）设围成的长方形面积为k，则有x（6﹣x）＝k．即x2﹣6x+k＝0，要使该方程有解，必须（﹣6）2﹣4k≥0，即k≤9，∴最大的k只能是9，即最大的面积为9m2，此时x＝3m，6﹣x＝3m，这时所围成的图形是正方形．20．解：（1）甲地当年的年销售额为（﹣x+14）•x＝（﹣x2+14x）万元；w＝（﹣x2+14x）﹣（x2+5x+90）＝﹣x2+9x﹣90．甲＝﹣×202+9×20﹣90＝30，当x＝20时，w甲所以在甲地生成并销售20吨时利润为30万元；（2）在乙地区生产并销售时，年利润：w＝﹣x2+15x﹣（x2+5x+90）乙＝﹣x2+10x﹣90＝﹣（x﹣25）2+35．∴当x＝25时，w有最大值35万元，乙∴在乙地当年的最大年利润应为35万元．。
部编数学九年级上册专题22.1二次函数的图象和性质(基础)(解析版)含答案
专题22.1 二次函数的图象和性质目录二次函数的定义 (1)二次函数求参数 (3)二次函数一般式................................................................................................................................42y ax =性质.....................................................................................................................................42y ax =图像开口.............................................................................................................................62y ax =图像问题.............................................................................................................................7()2y a x h k =-+顶点坐标...........................................................................................................9()2y a x h k =-+性质.................................................................................................................10()2y a x h k =-+图像平移 (13)二次函数一般式配凑顶点式 (14)二次函数图像问题 (15)二次函数比较大小 (19)二次函数性质综合..........................................................................................................................21二次函数的定义【例1】下列函数中，属于二次函数的是( )A ．23y x =-B ．22(1)y x x =+-C ．2(1)y x x =+D ．22y x =-【解答】解：A ．不含有x 的二次项，所以A 不符合题意；B ．化简后21y x =+，不含有x 的二次项，所以B 不符合题意；C ．符合题意；D ．22y x -=-，不含有x 的二次项，所以D 选项不符合题意．一般的，形如y =ax 2+bx +c (a 、b 、c 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数。
人教版数学九年级上册_22.1《二次函数的图像和性质》测试题(含答案及解析)
二次函数的图像和性质测试题时间：90分钟总分：100题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.若二次函数y=x2−6x+9的图象经过A(−1,y1)，B(1,y2)，C(3+√3,y3)三点.则关于y1，y2，y3大小关系正确的是()A. y1>y2>y3B. y1>y3>y2C. y2>y1>y3D. y3>y1>y22.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，有下面四个结论：①abc>0；②a−b+c>0；③2a+3b>0；④c−4b>0其中，正确的结论是()A. ①②B. ①②③C. ①②④D. ①③④3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：①b<0，c>0；②a+b+c<0；③方程的两根之和大于0；④a−b+c<0，其中正确的个数是()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4.在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2−bx的图象可能是()A. B.C. D.5.将抛物线y=−3x2平移，得到抛物线y=−3(x−1)2−2，下列平移方式中，正确的是()A. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位C. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位6.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c−m=0有两个不相等的实数根，下列结论：①b2−4ac<0；②abc>0；③a−b+c<0；④m>−2，其中，正确的个数有()A. 1B. 2C. 3D. 47.若抛物线y=x2−2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为()A. y=(x−2)2+3B. y=(x−2)2+5C. y=x2−1D. y=x2+48.二次函数y=2x2−3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是()A. 抛物线开口向下B. 抛物线经过点(2,3)C. 抛物线的对称轴是直线x=1D. 抛物线与x轴有两个交点9.在二次函数y=−x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而减少，则x的取值范围是()A. x<1B. x>1C. x<−1D. x>−110.直线y=52x−2与抛物线y=x2−12x的交点个数是()A. 0个B. 1个C. 2个D. 互相重合的两个二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11.已知抛物线y=x2−(k+2)x+9的顶点在坐标轴上，则k的值为______．12.二次函数y=−x2+2x+2图象的顶点坐标是______．13.函数y=x2+mx−4，当x<2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是______ ．14.抛物线y=ax2+bx+c经过点A(−5,4)，且对称轴是直线x=−2，则a+b+c=______ ．15.二次函数y=−2(x−1)2+5的图象的对称轴为______ ，顶点坐标为______ ．16.如图，若抛物线y=ax2+bx+c上的P(4,0)，Q两点关于它的对称轴x=1对称，则Q点的坐标为______ ．17.如图，抛物线C1：y=12x2经过平移得到抛物线C2：y=12x2+2x，抛物线C2的对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是______ ．18.已知(−3,y1)，(4,y2)，(−1,y3)是二次函数y=x2−4x上的点，则y1，y2，y3从小到大用“<”排列是______．19.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴是直线x=−1，点B的坐标为(1,0).下面的四个结论：①AB=4；②b2−4ac>0；③ab<0；④a−b+c<0，其中正确的结论是______ (填写序号)．20.如图，抛物线y=ax2+bx+c过点(−1,0)，且对称轴为直线x=1，有下列结论：①abc<0；②10a+3b+c>0；③抛物线经过点(4,y1)与点(−3,y2)，则y1>y2；④无论a，b，c取,0)；⑤am2+bm+何值，抛物线都经过同一个点(−caa≥0，其中所有正确的结论是______ ．三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）21.已知：二次函数图象的顶点坐标是(3,5)，且抛物线经过点A(1,3)．(1)求此抛物线的表达式；(2)如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点，且抛物线与y轴的交点是C点，求△ABC的面积．22.已知二次函数y=(m−2)x2+(m+3)x+m+2的图象过点(0,5)．(1)求m的值，并写出二次函数的解析式；(2)求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴．23.已知函数y=−x2+(m−1)x+m(m为常数)．(1)该函数的图象与x轴公共点的个数是______．A.0B.1C.2D.1或2(2)求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=(x+1)2的图象上．(3)当−2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．24.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(−1,0)和点C(0,3)，对称轴为直线x=1．(1)求该二次函数的关系式和顶点坐标；(2)结合图象，解答下列问题：①当−1<x<2时，求函数y的取值范围．②当y<3时，求x的取值范围．四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）25.如图，已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)和点B(3,0)，与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点．(1)求此抛物线的解析式；(2)直接写出点C和点D的坐标；(3)若点P在第一象限内的抛物线上，且S△ABP=4S△COE，求P点坐标．注：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(−b2a ,4ac−b24a)(m2+1)=0有实数根．26.已知关于x的一元二次方程x2−(m+1)x+12(1)求m的值；(m2+1)的图象关于x轴的对称图形，然后将所作图(2)先作y=x2−(m+1)x+12形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；(3)在(2)的条件下，当直线y=2x+n(n≥m)与变化后的图象有公共点时，求n2−4n的最大值和最小值．答案和解析【答案】 1. A 2. C 3. B 4. C 5. D6. B7. C8. D 9. B 10. C11. 4，−8，−2 12. (1,3) 13. m ≤−4 14. 415. x =1；(1,5) 16. (−2,0) 17. 418. y 2<y 3<y 1 19. ①②④ 20. ②④⑤21. 解：(1)设抛物线的解析式为y =a(x −3)2+5， 将A(1,3)代入上式得3=a(1−3)2+5，解得a =−12， ∴抛物线的解析式为y =−12(x −3)2+5， (2)∵A(1,3)抛物线对称轴为：直线x =3 ∴B(5,3)，令x =0，y =−12(x −3)2+5=12，则C(0,12)， △ABC 的面积=12×(5−1)×(3−12)=5．22. 解：(1)把(0,5)代入y =(m −2)x 2+(m +3)x +m +2得m +2=5， 解得m =3所以二次函数解析式为y =x 2+6x +5； (2)因为y =x 2+6x +5=(x +3)2−4，所以此二次函数图象的顶点坐标为(−3,−4)，对称轴为直线x =−3． 23. D24. 解：(1)根据题意得{a −b +c =0c =3−b2a =1，解得{a =−1b =2c =3， 所以二次函数关系式为y =−x 2+2x +3，因为y =−(x −1)2+4，所以抛物线的顶点坐标为(1,4)；(2)①当x =−1时，y =0；x =2时，y =3； 而抛物线的顶点坐标为(1,4)，且开口向下， 所以当−1<x <2时，0<y ≤4；②当y =3时，−x 2+2x +3=3，解得x =0或2， 所以当y <3时，x <0或x >2．25. 解：(1)由点A(−1,0)和点B(3,0)得{−9+3b +c =0−1−b+c=0，解得：{b=2，(2)令x =0，则y =3， ∴C(0,3)，∵y =−x 2+2x +3=−(x −1)2+4， ∴D(1,4)；(3)设P(x,y)(x >0,y >0)，S △COE =12×1×3=32，S △ABP =12×4y =2y ，∵S △ABP =4S △COE ，∴2y =4×32， ∴y =3，∴−x 2+2x +3=3，解得：x 1=0(不合题意，舍去)，x 2=2， ∴P(2,3)．26. 解：(1)对于一元二次方程x 2−(m +1)x +12(m 2+1)=0，△=(m +1)2−2(m 2+1)=−m 2+2m −1=−(m −1)2， ∵方程有实数根， ∴−(m −1)2≥0， ∴m =1．(2)由(1)可知y =x 2−2x +1=(x −1)2， 图象如图所示：平移后的解析式为y =−(x +2)2+2=−x 2−4x −2．(3)由{y =2x +n y =−x 2−4x −2消去y 得到x 2+6x +n +2=0， 由题意∆≥0，∴36−4n −8≥0， ∴n ≤7，∵n ≥m ，m =1， ∴1≤n ≤7， 令，∴n =2时，y′的值最小，最小值为−4， n =7时，y′的值最大，最大值为21， ∴n 2−4n 的最大值为21，最小值为−4．1. 解：二次函数对称轴为直线x=−−62×1=3，3−(−1)=4，3−1=2，3+√3−3=√3，∵4>2>√3，∴y1>y2>y3．故选A．先求出二次函数的对称轴，再求出点A、B、C到对称轴的距离，然后根据二次函数增减性判断即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性以及增减性，确定出各点到对称轴的距离的大小是解题的关键．2. 解：∵抛物线开口向上，∴a>0；∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴x=−b2a>0，∴b<0；∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c<0，∴abc>0，所以①正确；∵x=−1时，y>0，∴a−b+c>0，所以②正确；∵x=−b2a =13，∴2a+3b=0，所以③错误；∵x=2时，y>0，∴4a+2b+c>0，把2a=−3b代入得−6b+2b+c>0，∴c−4b>0，所以④正确．故选：C．根据抛物线开口方向得到a>0；根据对称轴得到x=−b2a>0，则b<0；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c<0，则abc>0，可判断①正确；当自变量为−1时对应的函数图象在x轴上方，则a−b+c>0，可判断②正确；根据抛物线对称轴方程得到x=−b2a =13，则2a+3b=0，可判断③错误；当自变量为2时对应的函数图象在x轴上方，则4a+2b+c>0，把2a=−3b代入可对④进行判断．本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物线，当a>0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=--b2a；抛物线与y轴的交点坐标为(0,c)．3. 解：∵抛物线开口向下，∴a<0，∵抛物线对称轴x>0，且抛物线与y轴交于正半轴，∴b>0，c>0，故①错误；>0，即x1+x2>0，故③正确；由对称轴x>0，可知x1+x22由可知抛物线与x轴的左侧交点的横坐标的取值范围为：−1<x<0，∴当x=−1时，y=a−b+c<0，故④正确．故选：B．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．本题主要考查二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号与抛物线开口方向、对称轴、与x轴、y轴的交点是关键．4. 解：A、对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a>0，b>0；而对于抛物线>0，应在y轴的右侧，故不合题意，图形错误；y=ax2−bx来说，对称轴x=b2aB、对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a<0，b>0；而对于抛物线y=ax2−bx<0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误；来说，对称轴x=b2aC、对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a>0，b>0；而对于抛物线y=ax2−bx>0，应在y轴的右侧，故符合题意；来说，图象开口向上，对称轴x=b2aD、对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a>0，b>0；而对于抛物线y=ax2−bx 来说，图象开口向下，a<0，故不合题意，图形错误；故选：C．首先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解决问题．此主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题；解题的方法是首先根据其中一次函数图象确定a、b的符号，进而判断另一个函数的图象是否符合题意；解题的关键是灵活运用一次函数、二次函数图象的性质来分析、判断、解答．5. 解：∵y=−3x2的顶点坐标为(0,0)，y=−3(x−1)2−2的顶点坐标为(1,−2)，∴将抛物线y=−3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线y=−3(x−1)2−2．故选：D．找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．6. 解：如图所示：图象与x轴有两个交点，则b2−4ac>0，故①错误；∵图象开口向上，∴a>0，∵对称轴在y轴右侧，∴a，b异号，∴b<0，∵图象与y轴交于x轴下方，∴c<0，∴abc>0，故②正确；当x=−1时，a−b+c>0，故此选项错误；∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标纵坐标为：−2，故二次函数y=ax2+bx+c向上平移小于2个单位，则平移后解析式y=ax2+bx+c−m与x轴有两个交点，此时关于x的一元二次方程ax2+bx+c−m=0有两个不相等的实数根，故④正确．故选：B．直接利用抛物线与x轴交点个数以及抛物线与方程之间的关系、函数图象与各系数之间关系分析得出答案．此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确把握二次函数与方程之间的关系是解题关键．7. 解：将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，这个相当于把抛物线向左平移有关单位，再向下平移3个单位，∵y=(x−1)2+2，∴原抛物线图象的解析式应变为y=(x−1+1)2+2−3=x2−1，故答案为C．思想判定出抛物线的平移规律，根据左加右减，上加下减的规律即可解决问题．本题考查二次函数图象的平移，解题的关键是理解坐标系的平移和抛物线的平移是反方向的，记住左加右减，上加下减的规律，属于中考常考题型．8. 解：A、a=2，则抛物线y=2x2−3的开口向上，所以A选项错误；B、当x=2时，y=2×4−3=5，则抛物线不经过点(2,3)，所以B选项错误；C、抛物线的对称轴为直线x=0，所以C选项错误；D、当y=0时，2x2−3=0，此方程有两个不相等的实数解，所以D选项正确．故选D．根据二次函数的性质对A、C进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对B进行判断；利用方程2x2−3=0解的情况对D进行判断．本题考查了二次函数的性质：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，它的顶点坐标是(−b2a ,4ac−b24a)，对称轴为直线x=−b2a，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象具有如下性质：当a>0时，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向上，x<−b2a时，y随x的增大而减小；x>−b2a时，y随x的增大而增大；当a<0时，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向下，x<−b2a 时，y随x的增大而增大；x>−b2a时，y随x的增大而减小．9. 解：y=−x2+2x+1=−(x−1)2+2，抛物线的对称轴为直线x=1，∵a=−1<0，∴当x>1时，y随x的增大而减少．故选B．先配方得到抛物线的对称轴为直线x=1，然后根据二次函数的性质求解．本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是(−b2a ,4ac−b24a)，对称轴直线x=−b2a，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象具有如下性质：当a>0时，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向上，x<−b2a时，y随x的增大而减小；x>−b2a 时，y随x的增大而增大；x=−b2a时，y取得最小值4ac−b24a，对称即顶点是抛物线的最低点；当a<0时，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向下，x<−b2a 时，y随x的增大而增大；x>−b2a时，y随x的增大而减小；x=−b2a时，y取得最大值4ac−b24a，即顶点是抛物线的最高点．10. 解：直线y=52x−2与抛物线y=x2−12x的交点求法是：令52x−2=x2−12x，∴x2−3x+2=0，∴x1=1，x2=2，∴直线y=52x−2与抛物线y=x2−12x的个数是2个．故选C．根据直线与二次函数交点的求法得出一元二次方程的解，即可得出交点个数．此题主要考查了一元二次方程的性质，根据题意得出一元二次方程的解的个数是解决问题的关键．11. 解：当抛物线y=x2−(k+2)x+9的顶点在x轴上时，△=0，即△=(k+2)2−4×9=0，解得k=4或k=−8；当抛物线y=x2−(k+2)x+9的顶点在y轴上时，x=−b2a =k+22=0，解得k=−2．故答案为：4，−8，−2．由于抛物线的顶点在坐标轴上，故应分在x轴上与y轴上两种情况进行讨论．本题考查的是二次函数的性质，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．12. 解：∵y=−x2+2x+2=−(x2−2x+1)+3=−(x−1)2+3，故顶点的坐标是(1,3).故填空答案：(1,3)．此题既可以利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式求得顶点坐标，也可以利用配方法求出其顶点的坐标．求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．13. 解：∵x<2时，y随x的增大而减小，∴−m2×1≥2，∴m≤−4．故答案为：m≤−4．根据二次函数的性质，二次函数的顶点的横坐标不小于2列式计算即可得解．本题考查了二次函数的性质，熟记性质，根据顶点的横坐标列出不等式是解题的关键．14. 解：∵对称轴方程为x=−2，∴−b2a=−2，整理可得b=4a，∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(−5,4)，∴4=25a−5b+c，把b=4a代入可得，4=25a−20a+c，解得c=4−5a，∴抛物线解析式为y=ax2+4ax+4−5a，当x=1时，则有a+b+c=a+4a+4−5a=4，故答案为：4．把A点坐标代入抛物线解析式结合对称轴方程可用a分别表示出b和c，则可用a表示出抛物线解析式，再令x=1代入可求得y的值，即a+b+c的值．本题主要考查二次函数的解析式，分别用a表示出b和c，得出抛物线解析式是解题的关键．15. 解：∵y=−2(x−1)2+5，∴抛物线顶点坐标为(1,5)，对称轴为x=1，故答案为：x=1，(1,5)．由抛物线解析式可求得其顶点坐标及对称轴．本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x−ℎ)2+k中，对称轴为x=ℎ，顶点坐标为(ℎ,k)．16. 解：∵抛物线y=ax2+bx+c上的P(4,0)，Q两点关于它的对称轴x=1对称，∴P，Q两点到对称轴x=1的距离相等，∴Q点的坐标为：(−2,0)．故答案为：(−2,0)．直接利用二次函数的对称性得出Q点坐标即可．此题主要考查了二次函数的性质，正确利用函数对称性得出答案是解题关键．17. 解：抛物线C1：y=12x2的顶点坐标为(0,0)，∵y=12x2+2x=12(x+2)2−2，∴平移后抛物线的顶点坐标为(−2,2)，对称轴为直线x=−2，当x=−2时，y=12×(−2)2=2，∴平移后阴影部分的面积等于如图三角形的面积为：12×(2+2)×2=4，故答案为：4．确定出抛物线y=12x2+2x的顶点坐标，然后求出抛物线的对称轴与原抛物线的交点坐标，从而判断出阴影部分的面积等于三角形的面积，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．本题考查了二次函数图象与几何变换，确定出与阴影部分面积相等的三角形是解题的关键．18. 解：y1=(−3)2+4×3=21，y2=42−4×4=0，y3=(−1)2+4×1=5，∴y2<y3<y1，故答案为：y2<y3<y1，可分别求出y1、y2、y3的值后，再进行比较大小．本题考查二次函数图象上的点的特征，解题的关键是求出各点的函数值，本题属于基础题型．19. 解：∵抛物线对称轴是直线x=−1，点B的坐标为(1,0)，∴A(−3,0)，∴AB=4，故选项①正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2−4ac>0，故选项②正确；∵抛物线开口向上，∴a>0，∵抛物线对称轴在y轴左侧，∴a，b同号，∴ab>0，故选项③错误；当x=−1时，y=a−b+c此时最小，为负数，故选项④正确；故答案为：①②④．利用二次函数对称性以及结合b2−4ac的符号与x轴交点个数关系，再利用数形结合分别分析得出答案．此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确判断a−b+c的符号是解题关键．20. 解：由图象可知，抛物线开口向上，则a>0，顶点在y轴右侧，则b<0，抛物线与y轴交于负半轴，则c<0，∴abc>0，故①错误；∵抛物线y=ax2+bx+c过点(−1,0)，且对称轴为直线x=1，∴抛物线y=ax2+bx+c过点(3,0)，∴当x=3时，y=9a+3b+c=0，∵a>0，∴10a+3b+c>0，故②正确；∵对称轴为x=1，且开口向上，∴离对称轴水平距离越大，函数值越大，∴y1<y2，故③错误；当x=−ca 时，y=a⋅(−ca)2+b⋅(−ca)+c=c2−bc+aca=c(a−b+c)a，∵当x=−1时，y=a−b+c=0，∴当x=−ca 时，y=a⋅(−ca)2+b⋅(−ca)+c=0，即无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点(−ca,0)，故④正确；x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，x=1对应的函数值为y=a+b+c，又∵x=1时函数取得最小值，∴am2+bm+c≥a+b+c，即am2+bm≥a+b，∵b=−2a，∴am2+bm+a≥0，故⑤正确；故答案为：②④⑤．由开口方向、对称轴及抛物线与y轴交点位置可判断①；由x=3时的函数值及a>0可判断②；由抛物线的增减性可判断③；由当x=−ca 时，y=a⋅(−ca)2+b⋅(−ca)+c=c(a−b+c)a且a−b+c=0可判断④；由x=1时函数y取得最小值及b=−2a可判断⑤．本题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．21. (1)设顶点式y=a(x−3)2+5，然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物线的解析式；(2)利用抛物线的对称性得到B(5,3)，再确定出C点坐标，然后根据三角形面积公式求解．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．22. (1)把已知点的坐标代入y =(m −2)x 2+(m +3)x +m +2可求出m 的值，从而得到抛物线解析式；(2)把(1)中的解析式配成顶点式，从而得到二次函数图象的顶点坐标和对称轴．本题考查了在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解.也考查了二次函数的性质．23. 解：(1)∵函数y =−x 2+(m −1)x +m(m 为常数)，∴△=(m −1)2+4m =(m +1)2≥0，则该函数图象与x 轴的公共点的个数是1或2，故选D ；(2)y =−x 2+(m −1)x +m =−(x −m−12)2+(m+1)24， 把x =m−12代入y =(x +1)2得：y =(m−12+1)2=(m+1)24， 则不论m 为何值，该函数的图象的顶点都在函数y =(x +1)2的图象上；(3)设函数z =(m+1)24，当m =−1时，z 有最小值为0；当m <−1时，z 随m 的增大而减小；当m >−1时，z 随m 的增大而增大，当m =−2时，z =14；当m =3时，z =4，则当−2≤m ≤3时，该函数图象的顶点坐标的取值范围是0≤z ≤4．(1)表示出根的判别式，判断其正负即可得到结果；(2)将二次函数解析式配方变形后，判断其顶点坐标是否在已知函数图象即可；(3)根据m 的范围确定出顶点纵坐标范围即可．此题考查了抛物线与x 轴的交点，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．24. (1)把A 点和C 点坐标代入y =ax 2+bx +c 得到两个方程，再加上对称轴方程即可得到三元方程组，然后解方程组求出a 、b 、c 即可得到抛物线解析式，再把解析式配成顶点式即可得到顶点坐标；(2)①先分别计算出x 为−1和2时的函数值，然后根据二次函数的性质写出对应的函数值的范围；②先计算出函数值为3所对应的自变量的值，然后根据二次函数的性质写出y <3时，x 的取值范围．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解.也考查了二次函数的性质．25. (1)将A 、B 的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数b 、c 的值，进而可得到抛物线的对称轴方程；(2)令x =0，可得C 点坐标，将函数解析式配方即得抛物线的顶点C 的坐标；(3)设P(x,y)(x >0,y >0)，根据题意列出方程即可求得y ，即得D 点坐标．此题主要考查了二次函数解析式的确定、抛物线的顶点坐标求法，图形面积的求法等知识，根据S△ABP=4S△COE列出方程是解决问题的关键．26. (1)由题意△≥0，列出不等式，解不等式即可；(2)画出翻折.平移后的图象，根据顶点坐标即可写出函数的解析式；(3)首先确定n的取值范围，利用二次函数的性质即可解决问题；本题考查抛物线与x轴的交点、待定系数法、翻折变换、平移变换、二次函数的最值问题等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．。
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22.1 二次函数的图象与性质
一、填空题:
1.已知函数y=(k+2)2
4
k
k x
+-是关于x 的二次函数,则k=________.
2.已知正方形的周长是acm,面积为Scm 2,则S 与a 之间的函数关系式为_____.
3.填表:
4.在边长为4m 的正方形中间挖去一个长为xm 的小正方形, 剩下的四方框形的面积为y,则y 与x 间的函数关系式为_________
5.用一根长为8m 的木条,做一个长方形的窗框,若宽为xm,则该窗户的面积y(m2)与x(m)之间的函数关系式为________.
二、选择题:
6.下列结论正确的是( )
A.二次函数中两个变量的值是非零实数;
B.二次函数中变量x 的值是所有实数;
C.形如y=ax 2+bx+c 的函数叫二次函数;
D.二次函数y=ax 2+bx+c 中a,b,c 的值均不能为零
7.下列函数中,不是二次函数的是( )
A.y=1-x 2
B.y=2(x-1)2+4;
C.y=1
2(x-1)(x+4) D.y=(x-2)2-x 2
8.在半径为4cm 的圆中, 挖去一个半径为xcm 的圆面, 剩下一个圆环的面积为ycm 2,则y 与x 的函数关系式为( )
A.y=πx 2-4
B.y=π(2-x)2;
C.y=-(x 2+4)
D.y=-πx 2+16π
9.若y=(2-m)2
2
m
x
-是二次函数,则m 等于( )
A.±2
B.2
C.-2
D.不能确定 三、解答题
10.分别说出下列函数的名称：
(1)y=2x-1 (2)y=-3x 2, (3)y= x 2
(4)y=3x-x 2 (5)y=x
11、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)d=2
1n 2
-2
3n , (2)y=1-x 2, (3)y=-x(x-3)
12、 二次函数y=ax 2+c 中，当x=3时，y=26 ;当x=2时，y=11 ;则当x=5时， y= ＿＿ .
13、已知一个直角三角形的两条直角边的和为10cm 。
（1）求这个直角三角形的面积S 与其中一条直角边长x 之间的函数关系式和自变量x 的取值范围；
（2）求当x=5cm 时直角三角形的面积。
14、函数y=ax 2+bx+c (a 、b 、c 是常数)，问当a 、b 、c 满足什么条件时， （1）它是二次函数？ （2）它是一次函数？ （3）它是正比例函数？
15、若(
)
m
m x m m y -+=22
是二次函数，求m 的值。
16、一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s （米）与时间t （秒）的数据如下表：
1
写出用t 表示s 的函数关系式。
17、已知y与x2成正比例,并且当x=1时,y=2,求函数y与x的函数关系式,并求当x=-3时,y的值.当y=8时,求x的值.
18、富根老伯想利用一边长为a米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平面图是一排大小相等的长方形。
如果设猪舍的宽AB为x米，则猪舍的总面积S（米2）与x有怎样的函数关系？请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32米2，应该如何安排猪舍的长B C和宽AB的长度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？
答案：一、填空
1.2或-3
2.S=
1
16a2 3.
11
,4,2,8
44
±±
4.y=16-x2
5.y=-x2+4x
二、选择6.B 7.D 8.D 9.C
三、解答题
10⑴一次函数；⑵二次函数；⑶反比例函数；⑷二次函数；⑸正比例函数
11、⑴21，-23
⑵-1，1 ⑶-1，3
12、74
13、⑴S=21x(10-x),0＜x ＜10；⑵S=225
cm 2
14、⑴当a ≠0时；⑵当a=0且b ≠0时；⑶当a=0，c=0，b ≠0时。
15、m=2 16、s=2x2
17、y=2x2;y=18;x=±2
18、⑴s=-4x2+24x ⑵当AB=2时BC=16；当AB=4时BC=8。