(完整版)带电粒子在匀强磁场中的运动(12道经典例题)
高考物理带电粒子在磁场中的运动题20套(带答案)含解析
高考物理带电粒子在磁场中的运动题20套(带答案)含解析一、带电粒子在磁场中的运动专项训练1．如图所示，xOy 平面处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B ，方向垂直纸面向外．点3,0P L ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭处有一粒子源，可向各个方向发射速率不同、电荷量为q 、质量为m 的带负电粒子．不考虑粒子的重力．（1）若粒子1经过第一、二、三象限后，恰好沿x 轴正向通过点Q （0，-L ），求其速率v 1；（2）若撤去第一象限的磁场，在其中加沿y 轴正向的匀强电场，粒子2经过第一、二、三象限后，也以速率v 1沿x 轴正向通过点Q ，求匀强电场的电场强度E 以及粒子2的发射速率v 2；（3）若在xOy 平面内加沿y 轴正向的匀强电场E o ，粒子3以速率v 3沿y 轴正向发射，求在运动过程中其最小速率v.某同学查阅资料后，得到一种处理相关问题的思路：带电粒子在正交的匀强磁场和匀强电场中运动，若所受洛伦兹力与电场力不平衡而做复杂的曲线运动时，可将带电粒子的初速度进行分解，将带电粒子的运动等效为沿某一方向的匀速直线运动和沿某一时针方向的匀速圆周运动的合运动． 请尝试用该思路求解． 【答案】（1）23BLq m （2221BLq32230B E E v B +⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【详解】（1）粒子1在一、二、三做匀速圆周运动，则2111v qv B m r =由几何憨可知：()2221133r L r L ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭得到：123BLqv m=（2）粒子2在第一象限中类斜劈运动，有：133L v t=，212qE h t m = 在第二、三象限中原圆周运动，由几何关系：12L h r +=，得到289qLB E m=又22212v v Eh =+，得到：2221BLqv =（3）如图所示，将3v 分解成水平向右和v '和斜向的v ''，则0qv B qE '=，即0E v B'= 而'223v v v ''=+ 所以，运动过程中粒子的最小速率为v v v =''-'即：22003E E v v B B ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭2．欧洲大型强子对撞机是现在世界上最大、能量最高的粒子加速器，是一种将质子加速对撞的高能物理设备，其原理可简化如下：两束横截面积极小，长度为l -0质子束以初速度v 0同时从左、右两侧入口射入加速电场，出来后经过相同的一段距离射入垂直纸面的圆形匀强磁场区域并被偏转，最后两质子束发生相碰。
(word完整版)带电粒子在磁场中运动—经典例题
1专题 带电粒子在磁场中运动【达标指要】1．掌握洛仑兹力的大小和方向的确定,带电粒子在匀强磁场中圆周运动及其规律 2．掌握带电粒子在有界匀强磁场强度中的运动特点【名题精析】例1．如图11—3—1所示，真空室内有匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B ＝0.60T ，磁场内有一块平行感光板ab ，板面与磁场方向平行，在距ab 的距离l ＝16cm 处，有一个点状的α粒子发射源S ，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是v ＝3。
0×106m/s ．已知α粒子的电量与质量之比q/m＝5.0×107C/kg ，现只考虑在纸平面中运动的α粒子，求ab 上被α粒子打中的区域长度．分析与解：洛伦兹力是α粒子作圆运动的向心力；计算出圆半径后，确定圆心的位置就成为解题的关键，α粒子轨迹与ab相切，以及α粒子离S 最远的距离为2r 是判定最远点的条件．如图11—3-2．α粒子带正电，用左手定则判定α粒子在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，用r 表示轨道半径,有Bqv ＝m r v 2，解得67310m 0.10m 5.0100.6()v r q Bm⨯===⨯⨯，可见2r >l 〉r ． 因向不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S ，由此可知，某一圆轨迹在图中N 左侧与ab 相切,则此切点P 1就是α粒子能打中的左侧最远点，为定出P 1的位置,可作平行与ab 的直线cd ,cd 到ab 的距离为r ＝0。
10m ．以S 为圆心,r 为半径，作弧交cd 于Q 点，过Q 作ab 的垂线，它与ab 的交点即为P 1．由图中几何关系得：221)(r l r NP --=． 再考虑N 的右侧,任何α粒子在运动中离S 的距离不可能超过2r ,以2r 为半径，S 为圆心作圆，交ab 于N 右侧的P 2点，P 2即为α粒子在右侧能达到的最远点．由几何关系得：2224l r NP -=．所求长度为：P 1P 2=NP 1+NP 2=0。
带电粒子在磁场中运动解题方法及经典例题
带电粒子在磁场中运动一、不计重力的带电粒子在匀强磁场中的运动1. 匀速直线运动：若带电粒子的速度方向与匀强磁场的方向平行，则粒子做匀速直线 运动.2. 匀速圆周运动：若带电粒子的速度方向与匀强磁场的方向垂直，则粒子做匀速圆周 运动. 质量为m 、电荷量为q 的带电粒子以初速度 v 垂直进入匀强磁场 B 中做匀速圆周运动, 其角速度为3,轨道半径为R ,运动的周期为T ,推导半径和周期公式：推导过程：运动时间t=3•对于带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的问题，应注意把握以下几点. （1）粒子圆轨迹的圆心的确定的常规方法① 若已知粒子在圆周运动中的两个具体位置及通过某一位置时的速度方向，可在已知的速度方向的位置作速度的垂线， 同时作两位置连线的中垂线， 两垂线的交点为圆轨迹的圆心， 如图4— 2所示.② 若已知做圆周运动的粒子通过某两个具体位置的速度方向， 可在两位置上分别作两速度的垂线，两垂线的交点为圆轨迹的圆心，如图 4—3所示.③ 若已知做圆周运动的粒子通过某一具体位置的速度方向及圆轨迹的半径 R ,可在该位 置上作速度的垂线，垂线上距该位置 R 处的点为圆轨迹的圆心（利用左手定则判断圆心在已 知位置的哪一侧），如图4 — 4所示.x 正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中, 匀强磁场的磁感应强度 B 和射出点的坐标。
（坐标为（o , , 3a ））例2、电子自静止开始经 M 、N 板间（两板间的电压为 U ）的电场加速后从 A 点垂直 于磁场边界射入宽度为 d 的匀强磁场中，电子离开磁场时的位置 P 偏离入射方向的距离为 L , 如图2所示，求：例1、一个质量为 m 电荷量为q 的带电粒子从x 轴上的P （ a , 0）点以速度v ,沿与并恰好垂直于y 轴射出第一象限。
求 图4— 2图4 — 3 图4— 4(1)正确画出电子由静止开始直至离开磁场时的轨迹图;(2)匀强磁场的磁感应强度.(已知电子的质量为m，电量2L 2mU⑵利用速度的垂线与角的平分线的交点找圆心当带电粒子通过圆形磁场区后又通过无场区，如果只知道射入和射出时的速度的方向和射入时的位置，而不知道射出点的位置，应当利用角的平分线和半径的交点确定圆心。
带电粒子在匀强磁场中地运动典型例题精解
带电粒子在匀强磁场中的运动题型一洛伦兹力大小的计算与方向判断1.如图所示，一个带正电的小球沿光滑的水平绝缘桌面向右运动，速度的方向垂直于一个水平方向的匀强磁场，小球飞离桌子边缘落到地板上．设其飞行时间为t1，水平射程为s1，落地速率为v1．撤去磁场，其余条件不变时，小球飞行时间为t2，水平射程为s2，落地速率为v2，则（）A.t1.＞t2B.S1>S2C. S1<S2D. V1>V22.摆长为L的单摆在匀强磁场中摆动，摆动平面与磁场方向垂直，如图所示，球在最高点A时，摆线与竖直角度为且摆动中摆线始终绷紧，若摆球带正电，电量为q，质量为m，磁感应强度为B，当球从最高处摆到最低处时，摆线上的拉力F多大?题型二带电粒子在有界磁场中的运动问题3.带电粒子的质量m=1.7×10-27kg，电荷量q=1.6×10-19C，以速度v=3.2×106m/s沿着垂直于磁场方向又垂直磁场边界的方向进入匀强磁场，磁场的磁感应强度为B=0.17T，磁场宽度为L=10cm，求：（不计重力）．（1）带电粒子离开磁场时的偏转角多大？（2）带电粒子在磁场中运动的时间是多少？（3）带电粒子在离开磁场时偏离入射方向的距离d多大？4.如图1，圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，现有一电荷量为q，质量为m的正离子从a点沿圆形区域的直径入射，设正离子射出磁场区域方向与入射方向的夹角为，求此离子在磁场区域内飞行的时间。
题型三“对称法”在带电粒子圆周运动中的应用5.如图所示，在x轴上方存在着垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，一个不计重力的带电粒子从坐标原点O处以速度v进入磁场，粒子进人磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴正方向成120°角，若粒子穿过y轴正半轴后在磁场中到x轴的最大距离为a，则该粒子的比荷和所带电荷的正负是（）6.如右图所示，在某空间实验室中，有两个靠在一起的等大的圆柱形区域，分别存在着等大反向的匀强磁场，磁感应强度B＝0．10 T，磁场区域半径r＝ m，左侧区圆心为O1，磁场向里，右侧区圆心为O2，磁场向外．两区域切点为 C．今有质量m＝3．2×10－26 kg．带电荷量q＝1．6×10－19 C的某种离子，从左侧区边缘的A点以速度v＝106 m/s正对O1的方向垂直磁场射入，它将穿越C点后再从右侧区穿出．求：（1）该离子通过两磁场区域所用的时间．（2）离子离开右侧区域的出射点偏离最初入射方向的侧移距离为多大？（侧移距离指垂直初速度方向上移动的距离）题型四复杂轨迹的圆周运动问题如图所示，在x＜0与x＞0的区域中，存在磁感应强度大小分别为B1与B2的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，且B1＞B2。
带电粒子在匀强磁场中地运动典型例题精解
带电粒子在匀强磁场中的运动题型一洛伦兹力大小的计算与方向判断1.如图所示，一个带正电的小球沿光滑的水平绝缘桌面向右运动，速度的方向垂直于一个水平方向的匀强磁场，小球飞离桌子边缘落到地板上．设其飞行时间为t1，水平射程为s1，落地速率为v1．撤去磁场，其余条件不变时，小球飞行时间为t2，水平射程为s2，落地速率为v2，则（）A.t1.＞t2B.S1>S2C. S1<S2D. V1>V22.摆长为L的单摆在匀强磁场中摆动，摆动平面与磁场方向垂直，如图所示，球在最高点A时，摆线与竖直角度为且摆动中摆线始终绷紧，若摆球带正电，电量为q，质量为m，磁感应强度为B，当球从最高处摆到最低处时，摆线上的拉力F多大?题型二带电粒子在有界磁场中的运动问题3.带电粒子的质量m=1.7×10-27kg，电荷量q=1.6×10-19C，以速度v=3.2×106m/s沿着垂直于磁场方向又垂直磁场边界的方向进入匀强磁场，磁场的磁感应强度为B=0.17T，磁场宽度为L=10cm，求：（不计重力）．（1）带电粒子离开磁场时的偏转角多大？（2）带电粒子在磁场中运动的时间是多少？（3）带电粒子在离开磁场时偏离入射方向的距离d多大？4.如图1，圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，现有一电荷量为q，质量为m的正离子从a点沿圆形区域的直径入射，设正离子射出磁场区域方向与入射方向的夹角为，求此离子在磁场区域内飞行的时间。
题型三“对称法”在带电粒子圆周运动中的应用5.如图所示，在x轴上方存在着垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，一个不计重力的带电粒子从坐标原点O处以速度v进入磁场，粒子进人磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴正方向成120°角，若粒子穿过y轴正半轴后在磁场中到x轴的最大距离为a，则该粒子的比荷和所带电荷的正负是（）6.如右图所示，在某空间实验室中，有两个靠在一起的等大的圆柱形区域，分别存在着等大反向的匀强磁场，磁感应强度B＝0．10 T，磁场区域半径r＝ m，左侧区圆心为O1，磁场向里，右侧区圆心为O2，磁场向外．两区域切点为 C．今有质量m＝3．2×10－26 kg．带电荷量q＝1．6×10－19 C的某种离子，从左侧区边缘的A点以速度v＝106 m/s正对O1的方向垂直磁场射入，它将穿越C点后再从右侧区穿出．求：（1）该离子通过两磁场区域所用的时间．（2）离子离开右侧区域的出射点偏离最初入射方向的侧移距离为多大？（侧移距离指垂直初速度方向上移动的距离）题型四复杂轨迹的圆周运动问题如图所示，在x＜0与x＞0的区域中，存在磁感应强度大小分别为B1与B2的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，且B1＞B2。
带电粒子在匀强磁场中的运动练习题及答案解析
带电粒子在匀强磁场中的运动练习题及答案解析(总5页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除带电粒子在匀强磁场中的运动1．电子在匀强磁场中做匀速圆周运动．下列说法正确的是()A．速率越大，周期越大 B．速率越小，周期越大C．速度方向与磁场方向平行 D．速度方向与磁场方向垂直解析：由带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动T＝2πmqB可知T与v无关，故A、B错；当v与B平行时，粒子不受洛伦兹力作用，故粒子不可能做圆周运动，只有v⊥B时，粒子才受到与v和B都垂直的洛伦兹力，故C错、D 对．2．1998年发射的“月球勘探者号”空间探测器，运用最新科技手段对月球进行近距离勘探，在研究月球磁场分布方面取得了新的成果．月球上的磁场极其微弱，探测器通过测量电子在月球磁场中的轨迹来推算磁场强弱的分布，图中是探测器通过月球A、B、C、D四个位置时，电子运动的轨迹照片．设电子速率相同，且与磁场方向垂直，其中磁场最强的位置是()解析：选A.由粒子轨道半径公式r＝mvqB可知，磁场越强的地方，电子运动的轨道半径越小．3. 如图，a和b带电荷量相同，以相同动能从A点射入匀强磁场，做圆周运动的半径r a＝2r b，则(重力不计)() A．两粒子都带正电，质量比m a/m b＝4 B．两粒子都带负电，质量比m a/m b＝4C．两粒子都带正电，质量比m a/m b＝1/4 D．两粒子都带负电，质量比m a/m b＝1/4解析：选B.由于q a＝q b、E k a＝E k b，动能E k＝12mv2和粒子旋转半径r＝mvqB，可得m＝r2q2B22E k，可见m与半径r的平方成正比，故m a∶m b＝4∶1，再根据左手定则判知粒子应带负电，故B正确．4．下图是质谱议的工作原理示意图．带电粒子被加速电场加速后，进入速度选择器．速度选择器内相互正交的匀强磁场和匀强电场的强度分别为B和E.平板S上有可让粒子通过的狭缝P和记录粒子位置的胶片A1A2.平板S下方有强度为B0的匀强磁场．下列表述正确的是() X k b 1 . c o mA．质谱仪是分析同位素的重要工具 B．速度选择器中的磁场方向垂直纸面向外C．能通过狭缝P的带电粒子的速率等于E/B D．粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P，粒子的荷质比越小解析：选ABC.因同位素原子的化学性质完全相同，无法用化学方法进行分析，故质谱仪就成为同位素分析的重要工具，A正确．在速度选择器中，带电粒子所受电场力和洛伦兹力在粒子沿直线运动时应等大反向，结合左手定则可知B正确．再由qE＝qvB有v＝E/B，C正确．在匀强磁场B0中R＝mvqB，所以qm＝vBR，D错误．5. 如下左图所示，在x轴上方有匀强电场，场强为E，在x轴下方有匀强磁场，磁感应强度为B，方向如图所示．在x轴上有一点M，离O点距离为L，现有一带电荷量为＋q、质量为m的粒子，从静止开始释放后能经过M 点，如果此粒子放在y轴上，其坐标应满足什么关系(重力不计)左图右图解析：由于此粒子从静止开始释放，又不计重力，要能经过M点，其起始位置只能在匀强电场区域，其过程如下：先在电场中由y轴向下做加速运动，进入匀强磁场中运动半个圆周再进入电场做减速运动，速度为零后又回头进入磁场，其轨迹如上右图所示(没有画出电场和磁场方向)，故有：L＝2nR(n＝1,2,3，…)①又因在电场中，粒子进入磁场时的速度为v，则有：qE·y＝12mv2②在磁场中，又有：Bqv＝mv2R③由①②③得y＝B 2qL 28n 2mE (n ＝1,2,3……)．练习题一、选择题1．一个带电粒子以初速度v 0垂直于电场方向向右射入匀强电场区域，穿出电场后接着又进入匀强磁场区域．设电场和磁场区域有明确的分界线，且分界线与电场强度方向平行，如图中的虚线所示．在下图所示的几种情况中，可能出现的是( )解析：选、C 选项中粒子在电场中向下偏转，所以粒子带正电，再进入磁场后，A 图中粒子应逆时针转，正确；C图中粒子应顺时针转，错误．同理可以判断B 错、D 对．2．如图所示，一电子以与磁场方向垂直的速度v 从P 处沿PQ 方向进入长为d 、宽为h 的匀强磁场区域，从N 处离开磁场，若电子质量为m ，带电荷量为e ，磁感应强度为B ，则( )A ．电子在磁场中运动的时间t ＝d /vB ．电子在磁场中运动的时间t ＝h /vC ．洛伦兹力对电子做的功为BevhD ．电子在N 处的速度大小也是v解析：洛伦兹力不做功，所以电子在N 处速度大小也为v ，D 正确、C 错，电子在磁场中的运动时间t ＝弧长v ≠d v≠h v ，A 、B 均错．3. 在图中，水平导线中有电流I 通过，导线正下方的电子初速度的方向与电流I 的方向相同，则电子将( )A ．沿路径a 运动，轨迹是圆B ．沿路径a 运动，轨迹半径越来越大C ．沿路径a 运动，轨迹半径越来越小D ．沿路径b 运动，轨迹半径越来越小解析：选B.电流下方的磁场方向垂直纸面向外，且越向下B 越小，由左手定则知电子沿a 路径运动，由r ＝mv qB 知，轨迹半径越来越大．4. 一个带电粒子沿垂直于磁场的方向射入一匀强磁场．粒子的一段径迹如图所示．径迹上的每一小段都可近似看成圆弧．由于带电粒子使沿途的空气电离，粒子的能量逐渐减小(带电量不变)．从图中情况可以确定( )A ．粒子从a 到b ，带正电B ．粒子从a 到b ，带负电C ．粒子从b 到a ，带正电D ．粒子从b 到a ，带负电解析：选C.垂直于磁场方向射入匀强磁场的带电粒子受洛伦兹力作用，使粒子做匀速圆周运动，半径R ＝mv /qB .由于带电粒子使沿途的空气电离，粒子的能量减小，磁感应强度B 、带电荷量不变．又据E k ＝12mv 2知，v 在减小，故R减小，可判定粒子从b 向a 运动；另据左手定则，可判定粒子带正电，C 选项正确．5．如图是某离子速度选择器的原理示意图，在一半径R ＝10 cm 的圆柱形筒内有B ＝1×10－4 T 的匀强磁场，方向平行于轴线．在圆柱形筒上某一直径两端开有小孔a 、b 分别作为入射孔和出射孔．现有一束比荷为q m ＝2×1011 C/kg 的正离子，以不同角度α入射，最后有不同速度的离子束射出．其中入射角α＝30°，且不经碰撞而直接从出射孔射出的离子的速度v 大小是( )A ．4×105 m/sB ．2×105 m/sC ．4×106 m/sD ．2×106 m/s答案：C6. 如下左图所示，有界匀强磁场边界线SP ∥MN ，速率不同的同种带电粒子从S 点沿SP 方向同时射入磁场．其中穿过a 点的粒子速度v 1与MN 垂直；穿过b 点的粒子速度v 2与MN 成60°角，设二粒子从S 到a 、b 所需时间分别为t 1和t 2，则t 1∶t 2为(重力不计)( )A ．1∶3B ．4∶3C ．1∶1D ．3∶2解析：选D.如上右图所示，可求出从a 点射出的粒子对应的圆心角为90°.从b 点射出的粒子对应的圆心角为60°.由t ＝α2π T ，可得：t 1∶t 2＝90°∶60°＝3∶2，故D 正确．7. 目前世界上正研究的一种新型发电机叫磁流体发电机，如图表示它的发电原理：将一束等离子体(即高温下电离的气体，含有大量带正电和带负电的微粒，而从整体来说呈中性)沿图所示方向喷射入磁场，磁场中有两块金属板A 、B ，这时金属板上就聚集了电荷．在磁极配置如图中所示的情况下，下列说法正确的是( )A ．A 板带正电B ．有电流从b 经用电器流向aC ．金属板A 、B 间的电场方向向下D ．等离子体发生偏转的原因是离子所受洛伦兹力大于所受静电力解析：选BD.等离子体射入磁场后，由左手定则知正离子受到向下的洛伦兹力向B 板偏转，故B 板带正电，B 板电势高，电流方向从b 流向a ，电场的方向由B 板指向A 板，A 、C 错，B 对；当Bvq ＞Eq 时离子发生偏转，故D 对．8．带正电粒子(不计重力)以水平向右的初速度v 0，先通过匀强电场E ，后通过匀强磁场B ，如图甲所示，电场和磁场对该粒子做功为W 1.若把该电场和磁场正交叠加，如图乙所示，再让该带电粒子仍以水平向右的初速度v 0(v 0＜E B )穿过叠加场区，在这个过程中电场和磁场对粒子做功为W 2，则( )A ．W 1＜W 2B ．W 1＝W 2C ．W 1＞W 2D ．无法判断解析：选C.电场力做的功W ＝Eqy ，其中y 为粒子沿电场方向偏转的位移，因图乙中洛伦兹力方向向上，故图乙中粒子向下偏转的位移y 较小，W 1＞W 2，故C 正确．9． MN 板两侧都是磁感强度为B 的匀强磁场，方向如图所示，带电粒子从a 位置以垂直磁场方向的速度开始运动，依次通过小孔b 、c 、d ，已知ab ＝bc ＝cd ，粒子从a 运动到d 的时间为t ，则粒子的比荷为( )解析：粒子从a 运动到d 依次经过小孔b 、c 、d ，经历的时间t 为3个T 2，由t ＝3×T 2和T ＝2πm Bq .可得：q m ＝3πtB ，A对．二、计算题10．回旋加速器D 形盒中央为质子流，D 形盒的交流电压为U ，静止质子经电场加速后，进入D 形盒，其最大轨道半径为R ，磁场的磁感应强度为B ，质子质量为m .求：(1)质子最初进入D 形盒的动能多大(2)质子经回旋加速器最后得到的动能多大(3)交流电源的频率是什么解析：(1)粒子在电场中加速，由动能定理得：eU ＝E k －0，解得E k ＝eU .(2)粒子在回旋加速器的磁场中绕行的最大半径为R ，由牛顿第二定律得：evB ＝m v 2R ① 质子的最大动能：E km ＝12mv 2② 解①②式得：E km ＝e 2B 2R 22m .(3)f ＝1T ＝eB 2πm .11．质量为m 、电荷量为q 的带负电粒子自静止开始释放，经M 、N 板间的电场加速后，从A 点垂直于磁场边界射入宽度为d 的匀强磁场中，该粒子离开磁场时的位置P 偏离入射方向的距离为L ，如图所示．已知M 、N 两板间的电压为U ，粒子的重力不计．求：匀强磁场的磁感应强度B .解析：作粒子经电场和磁场中的轨迹图，如图所示．设粒子在M 、N 两板间经电场加速后获得的速度为v ，由动能定理得：qU ＝12mv 2①粒子进入磁场后做匀速圆周运动，设其半径为r ，则：qvB ＝m v 2r ②由几何关系得：r 2＝(r －L )2＋d 2③联立求解①②③式得：磁感应强度B ＝2L L 2＋d 22mU q . 12. 如图所示，有界匀强磁场的磁感应强度B ＝2×10－3T ；磁场右边是宽度L ＝ m 、场强E ＝40 V/m 、方向向左的匀强电场．一带电粒子电荷量q ＝－×10－19 C ，质量m ＝×10－27 kg ，以v ＝4×104 m/s 的速度沿OO ′垂直射入磁场，在磁场中偏转后进入右侧的电场，最后从电场右边界射出．(不计重力)求：(1)大致画出带电粒子的运动轨迹；带电粒子在磁场中运动的轨道半径；(3)带电粒子飞出电场时的动能E k .解析：(1)轨迹如图(2)带电粒子在磁场中运动时，由牛顿运动定律，有qvB ＝m v 2RR ＝mv qB ＝错误! m ＝ m(3)E k ＝EqL ＋12mv 2＝40××10－19× J ＋12××10－27×(4×104)2 J ＝×10－18 J.。
(完整版)带电粒子在匀强磁场中的运动专题
带电粒子在匀强磁场中的运动专题一、带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的程序解题法——三步法1．画轨迹：即画出轨迹，确定圆心，用几何方法求半径。
2．找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系，在磁场中运动的时间与周期相联系。
3．用规律：即用牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式、半径公式。
例题1、如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v从A点沿直径AOB方向射入磁场，经过Δt时间从C点射出磁场，OC与OB成60°角。
现将带电粒子的速度变为v/3，仍从A点沿原方向射入磁场，不计重力，则粒子在磁场中的运动时间变为( )A.12Δt B．2Δt C.13Δt D．3Δt例题2、如图，虚线OL与y轴的夹角θ＝60°，在此角范围内有垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。
一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子从左侧平行于x轴射入磁场，入射点为M。
粒子在磁场中运动的轨道半径为R，粒子离开磁场后的运动轨迹与x轴交于P点(图中未画出)，且OP＝R。
不计重力。
求M点到O点的距离和粒子在磁场中运动的时间。
二、带电粒子在磁场中运动的多解问题1．带电粒子电性不确定形成多解受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度的条件下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。
如图甲所示，带电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a，如带负电，其轨迹为b。
2．磁场方向不确定形成多解有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解。
如图乙所示，带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，如B垂直纸面向里，其轨迹为a，如B垂直纸面向外，其轨迹为b。
3．临界状态不唯一形成多解带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，如图甲所示，于是形成了多解。
带电粒子在匀强磁场中的运动(12道经典例题)
方法概述3：
带电粒子垂直进入圆形区域的匀强磁场中，只受洛伦兹
力作用的运动轨迹有以下规律：
1、沿半径方向入射的粒子一定沿另一半径方向射出.
证明：如图所示，连接OO′和OB.
因为AO=BO，OO′为两三角形的公共边，AO′=BO′
所以△AOO′≌△BOO′
所以O′B⊥OB
即OB为 AB 的切线，
电荷射出的方向得证.
三、双边界问题
例3.如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，其磁感应强度为B， MM′和NN′是它的两条边界线.现有质量为m、电荷量为q的带
负电粒子沿图示方向垂直磁场方向射入，要使粒子不能从边 界NN′射出，则粒子入射速率v的最大值是（ ）
A. qBd m
B. 2+ 2 qBd
m
C. qBd 2m
解：(1)由左手定则可知物块带负电荷． (2)当物块离开斜面时，物块对斜面压力为0，受力如
图所示，则：qvB－mgcos30°＝0，解得v＝3.46 m/s. (3)由动能定理得：mgsin30°·L＝ mv2，解得物块
在斜面上滑行的最大距离L＝1.2 m.
七、带电体在洛伦兹力作用下的直线运动
例9.如图所示，匀强电场方向水平向右，匀强磁场方向垂直 于纸面向里，一质量为m、带电荷量为q的微粒以速度v与磁 场方向垂直，与电场成45°角射入复合场中，恰能做匀速 直线运动，求电场强度E和磁感应强度B的大小．
分析：本题已知轨迹上两点的速度方向即轨迹的切线方
向，就可以确定圆心的位置，再由此解出半径.
解：因为速度方向改变30°，因此此段轨迹所对应的圆
心角为30°，如图所示，由几何关系可得：
半径 R=2dBiblioteka 再由半径公式 R = mv
带电粒子在匀强磁场中的运动(含各种情况)
回旋加速器
回旋加速器是一种利用磁场和电场控制带电粒子运动轨迹的装置，常用于高能物理 实验和核物理研究。
在回旋加速器中，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，通过改变电场强度使粒子不 断加速，最终获得高能粒子束。
回旋加速器在高能物理实验中用于研究基本粒子的性质和相互作用，对于深入理解 物质的基本结构和性质具有重要意义。
带电粒子在磁场中的偏转角度和偏转量
总结词
带电粒子在匀强磁场中的偏转角度和偏 转量取决于粒子的速度、质量和磁感应 强度。
VS
详细描述
带电粒子在匀强磁场中的偏转角度和偏转 量可以通过洛伦兹力公式和牛顿第二定律 计算得出。具体计算需要考虑粒子的速度 、质量和磁感应强度等因素。
04 带电粒子在匀强磁场中的 能量问题
1 2 3
匀速圆周运动
当带电粒子以一定的速度进入匀强磁场时，会受 到洛伦兹力的作用，使粒子做匀速圆周运动。
螺旋线运动
当带电粒子的速度方向与磁感应强度平行时，不 受洛伦兹力作用，粒子将沿磁感应强度方向做等 距螺旋线运动。
匀速直线运动
当带电粒子的速度方向与磁感应强度平行且大小 相等时，不受洛伦兹力作用，粒子将沿磁感应强 度方向做匀速直线运动。
详细描述
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期T和频率f由公式T=2πm/qB和f=qB/2πm决定，其中m为粒 子的质量，q为粒子的电荷量，B为磁感应强度。这两个公式描述了粒子运动的周期和频率与各个物理量 之间的关系。
03 带电粒子在匀强磁场中的 偏转问题
垂直射入情况
总结词
当带电粒子以垂直方向射入匀强磁场 时，将做匀速圆周运动。
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线运动，从而实现带电粒子的加速。
物理带电粒子在无边界匀强磁场中运动题20套(带答案)及解析
一、带电粒子在无边界匀强磁场中运动1专项训练1．如图所示，有一磁感强度39.110B T -=⨯的匀强磁场，C 、D 为垂直于磁场方向的同一平面内的两点，它们之间的距离l =0.1m ，今有一电子在此磁场中运动，它经过C 点的速度v 的方向和磁场垂直，且与CD 之间的夹角θ=30°。
（电子的质量319.110kg m -=⨯，电量191.610C q -=⨯）(1)电子在C 点时所受的磁场力的方向如何？(2)若此电子在运动后来又经过D 点，则它的速度应是多大？ (3)电子从C 点到D 点所用的时间是多少？【答案】（1）见解析；（2）81.610m/s ⨯；（3）106.510s t -=⨯。
【解析】 【分析】 【详解】(1) 电子以垂直磁场方向的速度在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据左手定则可判断电子在C 点所受磁场力的方向如图所示，垂直于速度方向。
(2)电子在洛伦兹力作用下作匀速圆周运动，夹角θ=30°为弦切角，圆弧CD 所对的圆心角为60°，即∠DOC =60°，△CDO 为等边三角形，由此可知轨道半径R =l由牛顿第二定律可得2mv evB R= 代入数值解得81.610m/s eBlv m==⨯ (3)将R =l 和eBl v m =代入周期公式2RT vπ=中得2mT eBπ=设电子从C 点到D 点所用时间为t ，由于电子做匀速圆周运动，所以1326t T ==ππ 由上两式得163m t T eBπ== 代入数据得106.510s t -=⨯2．如图所示，两个边长均为l 的正方形区域ABCD 和EFGH 内有竖直向上的匀强电场，DH 上方有足够长的竖直向下的匀强电场．一带正电的粒子，质量为m ，电荷量为q ，以速度v 从B 点沿BC 方向射入匀强电场，已知三个区域内的场强大小相等，且，今在CDHE 区域内加上合适的垂直纸面向里的匀强磁场，粒子经过该磁场后恰能从DH 的中点竖直向上射入电场，粒子的重力不计，求：(1)所加磁场的宽度DH ； (2)所加磁场的磁感应强度大小；(3)粒子从B 点射入到从EFGH 区域电场射出所经历的总时间． 【答案】(1) (2)(3)【解析】(1)粒子在ABCD 区域电场中做类平抛运动，射出该电场时沿电场方向偏转距离为d由Eq＝ma得a＝由l＝vt得t＝故d＝at2＝l粒子射出ABCD区域电场时沿场强方向速度为v y＝at＝v速度偏向角为tanθ＝＝1解得θ＝粒子从DH中点竖直向上射入电场，由几何关系知得得(2)射入磁场的速度大小为v′＝v由洛伦兹力提供向心力qv′B＝m解得B＝(3)粒子在左侧电场中偏转的运动时间t1＝粒子在磁场中向上偏转运动时间t2＝T其中T＝在上方电场中运动减速到零的时间为t3＝粒子运动轨迹如图所示，根据对称性可知粒子运动总时间为t ＝2(t 1＋t 2＋t 3) 得或t ＝点睛：本题考查了粒子在电场与磁场中的运动，粒子运动过程复杂，分析清楚粒子运动过程、作出粒子运动轨迹是解题的前提，作出粒子运动轨迹后，应用类平抛运动规律与牛顿第二定律可以解题，解题时注意几何知识的应用．3．“太空粒子探测器”是由加速、偏转和收集三部分组成，其原理可简化如下：如图1所示，辐射状的加速电场区域边界为两个同心平行半圆弧面，圆心为O ，外圆弧面AB 的电势为2L()o ϕ>，内圆弧面CD 的电势为φ，足够长的收集板MN 平行边界ACDB ，ACDB 与MN 板的距离为L ．假设太空中漂浮着质量为m ，电量为q 的带正电粒子，它们能均匀地吸附到AB 圆弧面上，并被加速电场从静止开始加速，不计粒子间的相互作用和其它星球对粒子的影响，不考虑过边界ACDB 的粒子再次返回．（1）求粒子到达O 点时速度的大小；（2）如图2所示，在PQ （与ACDB 重合且足够长）和收集板MN 之间区域加一个匀强磁场，方向垂直纸面向内，则发现均匀吸附到AB 圆弧面的粒子经O 点进入磁场后最多有23能打到MN 板上，求所加磁感应强度的大小；（3）如图3所示，在PQ （与ACDB 重合且足够长）和收集板MN 之间区域加一个垂直MN 的匀强电场，电场强度的方向如图所示，大小4E Lφ=，若从AB 圆弧面收集到的某粒子经O 点进入电场后到达收集板MN 离O 点最远，求该粒子到达O 点的速度的方向和它在PQ 与MN 间运动的时间． 【答案】（1）2q v mϕ=2）12m B L q ϕ=3）060α∴= ；22m L q ϕ【解析】 【分析】 【详解】试题分析：解：（1）带电粒子在电场中加速时，电场力做功，得：2102qU mv =-2U ϕϕϕ=-=2q v mϕ=(2）从AB 圆弧面收集到的粒子有23能打到MN 板上，则上端刚好能打到MN 上的粒子与MN 相切，则入射的方向与OA 之间的夹角是60︒，在磁场中运动的轨迹如图甲，轨迹圆心角060θ=．根据几何关系，粒子圆周运动的半径：2R L =由洛伦兹力提供向心力得：2v qBv m R=联合解得：12m B L qϕ=（3）如图粒子在电场中运动的轨迹与MN 相切时，切点到O 点的距离最远， 这是一个类平抛运动的逆过程． 建立如图坐标.212qE L t m=222mL mt L qE q ϕ==x Eq v t m ===若速度与x 轴方向的夹角为α角 cos xv v α=1cos 2α=060α∴=4．在磁感应强度为B 的匀强磁场中，一个静止的放射性原子核发生了一次α衰变．放射出α粒子（42He ）在与磁场垂直的平面内做圆周运动，其轨道半径为R ．以m 、q 分别表示α粒子的质量和电荷量．（1）放射性原子核用 A Z X 表示，新核的元素符号用Y 表示，写出该α衰变的核反应方程．（2）α粒子的圆周运动可以等效成一个环形电流，求圆周运动的周期和环形电流大小． （3）设该衰变过程释放的核能都转为为α粒子和新核的动能，新核的质量为M ，求衰变过程的质量亏损△m ．【答案】（1）放射性原子核用 A Z X 表示，新核的元素符号用Y 表示，则该α衰变的核反应方程为4422AA Z Z X Y H --→+ ；（2）α粒子的圆周运动可以等效成一个环形电流，则圆周运动的周期为 2m Bq π ，环形电流大小为 22Bq mπ ；（3）设该衰变过程释放的核能都转为为α粒子和新核的动能，新核的质量为M ，则衰变过程的质量亏损△m 为损2211()()2BqR m M c + ． 【解析】（1）根据核反应中质量数与电荷数守恒可知，该α衰变的核反应方程为4422X Y He A A ZZ --→+（2）设α粒子在磁场中做圆周运动的速度大小为v ，由洛伦兹力提供向心力有2v qvB m R=根据圆周运动的参量关系有2πRT v=得α粒子在磁场中运动的周期2πmT qB=根据电流强度定义式，可得环形电流大小为22πq q BI T m==（3）由2v qvB m R =，得qBR v m=设衰变后新核Y 的速度大小为v ′，核反应前后系统动量守恒，有Mv ′–mv =0可得mv qBR vM M='=根据爱因斯坦质能方程和能量守恒定律有2221122mc Mv mv'∆=+解得22()()2M m qBRmmMc+∆=说明：若利用44AM m-=解答，亦可．【名师点睛】（1）无论哪种核反应方程，都必须遵循质量数、电荷数守恒．（2）α衰变的生成物是两种带电荷量不同的“带电粒子”，反应前后系统动量守恒，因此反应后的两产物向相反方向运动，在匀强磁场中，受洛伦兹力作用将各自做匀速圆周运动，且两轨迹圆相外切，应用洛伦兹力计算公式和向心力公式即可求解运动周期，根据电流强度的定义式可求解电流大小．（3）核反应中释放的核能应利用爱因斯坦质能方程求解，在结合动量守恒定律与能量守恒定律即可解得质量亏损．5．如图所示，水平放置的两块长直平行金属板a、b相距为d，a、b间加有电压， b板下方空间存在着方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B．一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子(不计重力)，从贴近a板的左端以v0的初速度水平射入匀强电场，刚好从狭缝P处穿过b板进入匀强磁场，最后粒子打到b板的Q处(图中未画出)被吸收．已知P到b板左端的距离为2d，求：（1）进入磁场时速度的大小和方向；（2）P、Q之间的距离；（3）粒子从进入板间到打到b板Q处的时间．【答案】（102,45v（2）02mvBq（3）22d mv Bqπ+【解析】【分析】【详解】（1）粒子在两板间做类平抛运动，则：v0t=2d12yv t=d，所以，v0=v yv p =22002yv v v +=，0tan y v v θ=＝1，θ＝45°（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，圆心为O ，半径为r ，如图；2p p mv Bqv R=，得：p mv R Bq=左手定则，判断出粒子轨迹，022PQ mv x R Bq==（3）在电场中的时间102d t v = 磁场中的周期2mT qBπ=2142m t T qBπ== ，则12022d mt t t v qBπ=+=+ 【点睛】此题关键是搞清粒子的运动特点：在电场中做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，画出粒子的运动轨迹图即可解答.6．如图所示，在磁感应强度为B 、方向垂直纸面向里的匀强磁场中有一粒子源，粒子源从O 点在纸面内均匀的向各个方向同时发射速率为v 、比荷为k 的带正电的粒子， PQ 是在纸面内垂直磁场放置的厚度不计的挡板，挡板的P 端与O 点的连线与挡板垂直，距离为vkB，且粒子打在挡板上会被吸收．不计带电粒子的重力与粒子间的相互作用，磁场分布足够大，求:（1）为使最多的粒子打在挡板上，则挡板至少多长；（2）若挡板足够长，则打在挡板上的粒子在磁场中运动的最长时间差是多少； （3）若挡板足够长，则打在挡板上的粒子占所有粒子的比率。
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【解析】如图所示，电子在磁场中沿圆弧ab运动，圆心
为C，半径为R.以v表示电子进入磁场时的速度，m、e分别表
示电子的质量和电荷量，则：
eU = 1 mv2，evB = m v2
又有
2
tan θ 2
Hale Waihona Puke =r RR
由以上各式解得：B
=
1 r
2mU tan θ e2
.
【答案】 1 2mU tan θ
re 2
解析：两偏转轨迹的圆心都在射入速度的垂直线上，可 假设它们的半径为某一长度，从而画出两偏转轨迹，如图所 示.
由 半此径可R =知m它v 相们等的；运射动出时速间度分方别向为都t1 与= (边2π 界-B2qθ成)mθ、角t2；= 射2Bθqm出；点轨与迹O
Bq
点距离相等，为：d=2R·sin θ.故选项B、C、D正确.
二、半径的确定和计算
利用平面几何的关系，求出该圆的可能半径（或圆心角）， 并注意以下两个重要的几何特点：
１．粒子速度的偏向角φ等与圆心角α，并等于AB弦与切线 的夹角θ（弦切角）的２倍．即φ=α=2θ=ωt
２．相对的弦切角θ 相等，与相邻的 弦切角θ'互补，
即θ＋ θ'＝１８０°
O' φ(偏向角）
三、双边界问题
例3.如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，其磁感应强度为B， MM′和NN′是它的两条边界线.现有质量为m、电荷量为q的带
负电粒子沿图示方向垂直磁场方向射入，要使粒子不能从边 界NN′射出，则粒子入射速率v的最大值是（ ）
A. qBd m
B. 2+ 2 qBd
m
C. qBd 2m
D. 2 - 2 qBd
【答案】 2deB πd
v
3v
【点评】由速度方向的改变确定圆心角的大小是解本题
的第一个关键点，通过解直角三角形求出半径R是解本题的
第二个关键点.
二、单边界问题
例2.如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场的边界上，有两 个电荷量绝对值相同、质量相同的正负粒子（不计重力）， 从O点以相同的速度先后射入磁场中，入射方向与边界成θ 角，则正负粒子在磁场中（ ） A.运动时间相同 B.运动轨迹的半径相同 C.重新回到边界时的速度相同 D.重新回到边界时与O点的距离相等
m
【解析】如图所示，由半径公式可知，当粒子的运动轨
迹与NN′相切时，粒子入射速率v最大.
设此时轨迹半径为R，则有：
R+Rcos 45°=d，解得： R = 2 - 2 d
将上式代入
R=
mBqv，得：v =
2-
2 qBd m
.
【答案】D 【点评】解决这类问题的关键在于画出与另一边界相切 的粒子轨迹，以及确定轨迹的圆心位置和轨迹的半径大小.
一、圆心的确定
1.已知入射方向和出射方向,可以通过入射点和出射点分别作 垂直与入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆 弧轨道的圆心
O
v
M
P
v0
2.已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入 射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两 条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心．
O
M P
v
【点评】解答本题的关键是作出轨迹的示意图，利用几
何知识及三角函数求出半径.
易犯的错误有：①认为轨迹半径就是磁场的半径.
②不能画出轨迹的示意图.
③不能作出四边形CaOb，找不到电子束偏转角度θ与轨
迹半径的关系.
例5.③在不真能空作中出半四径边r 形=3C×a1O0b-2m，的找圆不形到区电域子内束有偏一转匀角强度磁θ与场轨， 迹磁粒射半场入子径例的磁以的5v磁场0关=感，图1系×应已5.51强知-016度该1m甲B粒/s在=的子0真.初2的空T速比，中度荷方q半从=向径1磁如1场0图8边C所/k界g示上，的，m一的a不点个圆计沿带形粒直正区子径电域重a的内b力. 有（一1）匀求强粒磁子场在，磁磁场场中的做磁匀感速应m圆强周度运B=动0.的2 半T，径方. 向如图55-11 甲 场（子大所边？2的）示界方若， 上向要一的应使个a如点粒带何沿子正（直飞电用径离的va0磁粒b与射场子O入a时以的磁有v夹0场最=角1，大×θ已表的1知0示偏6该）转m粒/？角s子的最，的初大其比速偏入度转射从角时磁多粒
方法概述1：
带电粒子垂直射入单边界的匀强磁场中，可分两类模型 分析：一为同方向射入的不同粒子；二为同种粒子以相同的 速率沿不同方向射入.无论哪类模型，都遵守以下规律：
（1）轨迹的圆心在入射方向的垂直线上，常可通过此垂线 的交点确定圆心的位置.
（2）粒子射出方向与边界的夹角等于射入方向与边界的夹 角.
v
Ａ
θ θＢ αθ
‘v
三、运动时间的确定
利用偏转角（即圆心角α）与弦切角的关系，或
者利用四边形的内角和为360°，计算出圆心角α的
大小,由公式
t T
360
可求出粒子在磁场中运动的时间.
一、带电粒子做匀速圆周运动的圆心、半径及运动时间的确定
例1.如图所示，一束电子（电荷量为e）以速度v垂直射入磁感 应强度为B、宽度为d的匀强磁场中.穿过磁场时速度方向与电 子原来射入方向的夹角是30°，则电子的质量为 ，穿过磁 场的时间是 .
2.与另一边界相切轨迹的半径
R= d 1 cosθ
四、带电粒子穿过圆形区域磁场问题 例4.在电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术来 实现的.电子束经过电压为U的加速电场后，进入一圆形匀强 磁场区，如图所示.磁场方向垂直于圆面，磁场区的中心为O， 半径为r.当不加磁场时，电子束将通过O点而打到屏幕的中心 M点.为了让电子束射到屏幕边缘P点处需要加磁场，使电子 束偏转一已知角度θ，此时磁场的磁感应强度B应为多少？
3.5 带电粒子在匀强磁场中的运动
温故知新
判断下图中带电粒子（电量q，重力不计）所受洛 伦兹力的大小和方向：
-
v
B
图1
1、匀速直线运动
2、匀速圆周运动
3）粒子运动方向与磁场有一夹 角（大于0°小于90°）轨迹为 螺线
F × × × B× ×
×××××
×××××
×
× +×
×
v
×
×××××
图2
图3
带电粒子做圆周运动的分析方法
方法概述2：
1.与另一边界相切时轨迹的作图步骤： （1）作入射方向的延长线与MN交于B点. （2）过入射点作入射方向的垂线.
（3）分别作∠ABN和∠ABM的角
平分线，两角平分线与入射方向的
垂线的交点为O1和O2. （4）O1、O2分别为正负电荷临界 偏转轨迹的圆心，通过圆心和入射
点可作出两临界轨迹，如图所示.
分析：本题已知轨迹上两点的速度方向即轨迹的切线方
向，就可以确定圆心的位置，再由此解出半径.
解：因为速度方向改变30°，因此此段轨迹所对应的圆心
角为30°，如图所示，由几何关系可得：
半径 R=2d
再由半径公式 R = mv
eB
可以求出电子的质量
m = 2deB
穿过磁场的时间
t=
θ
T
=
πd v
.
2π 3v