基于Burg算法的AR模型功率谱估计简介

基于Burg 算法的AR 模型功率谱估计简介
摘要：在对随机信号的分析中，功率谱估计是一类重要的参数研究，功率谱估计的方法分为经典谱法和参数模型方法。

参数模型方法是利用型号的先验知识，确定信号的模型，然后估计出模型的参数，以实现对信号的功率谱估计。

根据wold 定理,AR 模型是比较常用的模型，根据Burg 算法等多种方法可以确定其参数。

关键词：功率谱估计；AR 模型；Burg 算法
随机信号的功率谱反映它的频率成分以及各成分的相对强弱, 能从频域上揭示信号的节律, 是随机信号的重要特征。

因此, 用数字信号处理手段来估计随机信号的功率谱也是统计信号处理的基本手段之一。

在信号处理的许多应用中, 常常需要进行谱估计的测量。

例如, 在雷达系统中, 为了得到目标速度的信息需要进行谱测量; 在声纳系统中, 为了寻找水面舰艇或潜艇也要对混有噪声的信号进行分析。

总之, 在许多应用领域中, 例如, 雷达、声纳、通讯声学、语言等领域, 都需要对信号的基本参数进行分析和估计, 以得到有用的信息, 其中, 谱分析就是一类最重要的参数研究。

1 功率谱估计简介
一个宽平稳随机过程的功率谱是其自相关序列的傅里叶变换，因此功率谱估计就等效于自相关估计。

对于自相关各态遍历的过程，应有：
)()()(121lim *k r n x k n x N N x N N n =⎭
⎬⎫⎩⎨⎧++∞→∑-= 如果所有的)(n x 都是已知的，理论上功率谱估计就很简单了，只需要对其自相关序列取傅里叶变换就可以了。

但是，这种方法有两个个很大的问题：一是不是所有的信号都是平稳信号，而且有用的数据量可能只有很少的一部分；二是数据中通常都会有噪声或群其它干扰信号。

因此，谱估计就是用有限个含有噪声的观测值来估计)(jw x e P 。

谱估计的方法一般分为两类。

第一类称为经典方法或参数方法，它首先由给定的数据估
计自相关序列)(k r x ，然后对估计出的)(ˆk r
x 进行傅里叶变换获得功率谱估计。

第二类称为非经典法，或参数模型法，是基于信号的一个随机模型来估计功率谱。

非参数谱估计的缺陷是其频率分辨率低，估计的方差特性不好, 而且估计值沿频率轴的起伏甚烈，数据越长, 这一现象越严重。

为了改善谱分辨率，研究学者对基于模型的参数方法进行了大量研究。

参数方法的第一步是对信号选择一个合适的模型，这种选择可能是基于有关信号如何产生的先验知识，也可能是多次试验后获得的结果。

通常采用的模型包括AR 、MA 、ARMA 模型和谐波模型（噪声中含有复指数）。

一旦模型选择好后，下一步就是计算模型的参数。

最后将计算得到的参数带
入模型中就可以获得估计功率谱。

2 AR 谱估计
2.1 简介
AR 模型叫做自回归模型, 信号由本身的若干次过去值和激励时的现实值线性组合产生, 由于传递函数中只有极点, 没有零点, 所以又叫作全极点模型。

MA 模型叫做移动平均模型, 信号由现时的激励和若干次过去值线性组合产生, 由于传递函数中只有零点, 没有极点, 所以又叫作全零点模型。

ARMA 模型叫做自回归移动平均模型, 它是前两种模型的结合, 因为它既有极点又有零点, 所以也叫做极零点模型。

根据wold 定理, 即任何ARMA 过程, 或者任何 MA 过程都能用无限的 AR 过程表示。

如果在三种模型中选择了一个错误的模型, 我们仍然可以通过一个很高的阶数获得一个合理的逼近。

因此, MA 、ARMA 模型可以用一个足够高阶的AR 模型来近似。

AR 谱估计是最常用的时间序列建模方法, 这是因为 AR 参数的精确估计值可以用一组线性方程的方法求得, 而对于 ARMA 或MA 过程参数的精确计算, 则需要解一组高阶非线性方程,。

正是由于这个缘故, 有关有理式传递函数的许多研究工作都喜欢采用 AR 模型作近似研究。

一个AR 过程)(n x 可以表示为单位方差白噪声的驱动的全极点滤波器的输出，p 阶AR 过程的功率谱是：
()jw x e P =21
2
)(1)0(∑=-+p k ikw
p e k a b
因此，若)0(b 和)(k a p 可以由数据进行估计，则功率谱估计可以写成如下形式;
显然，()
jw AR e P ˆ的精确程度决定于模型参数能多准确地被估计，且更重要的是取决于选择的AR 模型是否与数据产生的方式相一致。

确定AR 模型系数的方法有很多，每种方法会得出不同的的参数，但是最终实现的方式是完全相同，利用的是同一个估计形式。

常用的估计方法有：Lenvinson-Durbin 方法、Burg 方法、无约束最小二乘法等等。

2.2 Burg 算法AR 模型参数估计
这里主要对Burg 算法进行介绍。

这种方法通常称为最大熵法（MEM ）。

Burg 通过最大化观测序列的熵，得到这种方法，定义为：
1
4a f ln(())a a f f P f df -⎰
式中观测数据序列假定为带宽a f f ≤的静态高斯过程，()P f 是一个实的正函数，最大化式
1
4a f ln(())a a f f P f df -⎰，并受限于自相关采样的约束过程，即：
m r =2()a
s a f j fmT f P f e df π-⎰
这个优化结果可以用来计算最小二乘估计，它涉及观测数据前向和后向预测的MSE 之和。

计算中，预测系数必须满足Lenvinson-Durbin 递推关系，并且可直接计算而无需首先计算自相关系数。

这种方法的优点就是对未知数据不需要做任何假设，估计精度较高。

其缺点是在分析噪声中的正弦信号时，会引起谱线分裂，且谱峰的位置和正弦信号的相位有很大的关系。

Burg 算法是使前向预测误差和后向预测误差均方误差之和最小来求取Km 的，它不对已知数据段之外的数据做认为假设。

计算m 阶预测误差的递推表示公式如下：
x(n)
(n)(n)(n)
1)-(n (n)1)
-(n (n)(n)0f 0f 1-m m 1-b m 1-m f 1-m m e e e e ==+=+=e k e e k e b b m b m f
求取反射系数的公式如下： }1)]-(n [(n)]{[1)]-(n (n)[2-2
b 1-m 2f 1-m b
1-m f 1-m m e e e e +=E E k 对于平稳随机过程，可以用时间平均代替集合平均，因此上式可写成：
[][][][]{}p ,2,1,1)-(n (n)1)-(n (n)2-1-21-21-1-m n 1-1-，⋯=+=∑∑==m N m n b
m f m N b m f m m e e e e k
这样便可求得AR 模型的反射系数。

将m 阶AR 模型的反射系数和m-1阶AR 模型的系数代入到Levinson 关系式中，可以求得AR 模型其他的p-1个参数。

Levinson 关系式如下：
1-m 1,2,i i),-(m (i)(i)1
-m 1-m m ，⋯=+=a k a a m m 阶AR 模型的第m+1个参数G ，2m G ρ=其中m ρ是预测误差功率，可由递推公式
m ρ=21(1)m m
K ρ--求得。

易知为进行该式的递推，必须知道0阶AR 模型误差功率0ρ，
20()(0)x E X n R ρ⎡⎤==⎣⎦
可知该式由给定序列易于求得。

完成上述过程，即最终求得了表征该随机信号的AR 模型的p+1个参数 。

然后根据
2
2()()jw jw x w S e H e σ 即可求得该随机信号的功率谱密度。

3 实验仿真分析
假定信号序列为两个正弦信号与白噪声的叠加，其功率谱估计的matlab 仿真结果如图1和图2。

图1 基于matlab 的Burg 算法功率谱估计仿真（p=130）
图2 基于matlab 的Burg 算法功率谱估计仿真（p=300）
从图中我们可以清晰的看到Burg 算法求解AR 模型的过程是非常稳定的，而且具有很高的分辨率。

当然对于Burg 算法来说，P 即阶数的选择是至关重要的。

在多次实验中发现，当
P介于50和80之间时，得到的频谱图是较优越的，P在130左右时频谱图是最优越的，这也符合了经验定理，对于512点的频谱图分析，P应介于130和250之间。

而当P的阶数过小的时候，会无法分辨出离的较近的两个频谱，P过大频谱图会出现过多伪峰，导致分辨率严重下降。

参考文献：
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