二元一次方程组解法回顾
二元一次方程组的解法
二元一次方程组的解法一、概述二元一次方程组是由两个同时存在的一次方程组成的方程组，可形式化地表示为：a₁x + b₁y = c₁a₂x + b₂y = c₂其中，a₁、b₁、c₁、a₂、b₂、c₂为已知系数，x、y为未知数。
本文将介绍三种常见的解法：代入法、消元法和Cramer法。
二、代入法代入法是通过求解一个方程，然后将其解代入另一个方程，从而得到未知数的解。
以下为代入法的步骤：1. 选择一个方程，将其中一个未知数用另一个未知数表示，即得到一个未知数的表达式。
2. 将该表达式代入另一个方程中，得到一个只含有一个未知数的方程。
3. 解这个含有一个未知数的方程，求解得到第一个未知数的值。
4. 将求得的第一个未知数的值代入任意一个方程中，求解得到第二个未知数的值。
5. 验证解是否满足原方程组，若满足则为正确答案，否则继续调整求解过程。
三、消元法消元法是通过对方程组进行变形，使得一方程的一个未知数系数与另一个方程相应未知数系数的乘积相等，从而消除一个未知数。
以下为消元法的步骤：1. 将方程组进行适当的变形，使得两个方程中一个未知数的系数相等或者成比例。
2. 将两个方程相减或相加，得到一个只含有另一个未知数的方程。
3. 解这个只含一个未知数的方程，求得某个未知数的值。
4. 将求得的未知数值代入任意一个方程中，求解得到另一个未知数的值。
5. 验证解是否满足原方程组，若满足则为正确答案，否则继续调整求解过程。
四、Cramer法Cramer法是利用行列式的性质来求解二元一次方程组。
该方法要求方程组的系数行列式不为零。
以下为Cramer法的步骤：1. 计算原方程组系数行列式D。
2. 分别将方程组中第一个未知数的系数替换为等号右边的值，计算得到未知数x的系数行列式Dx。
3. 将方程组中第二个未知数的系数替换为等号右边的值，计算得到未知数y的系数行列式Dy。
4. 分别计算未知数x和y的值，即x = Dx / D，y = Dy / D。
二元一次方程组的解法
二元一次方程组的解法在数学学科中，解方程是一个非常重要的内容。
而二元一次方程组是解方程的一种特殊形式，它由两个二元一次方程组成。
解决二元一次方程组的问题可以帮助我们更好地理解和应用代数知识。
下面，我将为大家详细介绍二元一次方程组的解法。
一、代入法代入法是解决二元一次方程组的最常用方法之一。
它的基本思想是将一个方程的其中一个未知数表示为另一个方程中的未知数，然后代入另一个方程进行求解。
例如，我们有以下二元一次方程组：方程1：2x + y = 5方程2：3x - y = 1我们可以先将方程1中的y表示为方程2中的未知数：y = 3x - 1然后将y的值代入方程1，得到：2x + (3x - 1) = 5化简后，我们可以得到一个一元一次方程：5x - 1 = 5解这个方程，我们可以得到x的值为2。
将x的值代入方程1，我们可以求得y 的值为1。
因此，这个二元一次方程组的解为x=2，y=1。
二、消元法消元法是解决二元一次方程组的另一种常用方法。
它的基本思想是通过对方程组进行加减运算，消去其中一个未知数，然后求解另一个未知数。
例如，我们有以下二元一次方程组：方程1：2x + y = 5方程2：3x - y = 1我们可以将方程1乘以3，方程2乘以2，得到：方程1：6x + 3y = 15方程2：6x - 2y = 2然后将方程2的两倍加到方程1上，得到：9y = 17解这个一元一次方程，我们可以得到y的值为17/9。
将y的值代入方程1，我们可以求得x的值为5/3。
因此，这个二元一次方程组的解为x=5/3，y=17/9。
三、图像法图像法是解决二元一次方程组的另一种可视化方法。
它的基本思想是将方程组转化为直线的图像，通过观察直线的交点来求解方程组的解。
例如，我们有以下二元一次方程组：方程1：2x + y = 5方程2：3x - y = 1我们可以将这两个方程转化为直线的形式：方程1对应的直线为：y = -2x + 5方程2对应的直线为：y = 3x - 1我们可以在坐标系中画出这两条直线，并观察它们的交点。
二元一次方程组的解法
二元一次方程组的解法在代数学中，二元一次方程组是由两个未知数和两个方程组成的方程组。
解决这种方程组的方法有很多种，下面将介绍其中三种常见的解法。
方法一：代入法代入法是一种比较简单直观的解二元一次方程组的方法。
假设有如下二元一次方程组：{ Equation1{ Equation2首先将其中一个方程（不妨设为方程1）的其中一个未知数表示为另一个未知数的函数，然后代入另一个方程（方程2）中消去这个未知数，从而得到一个只包含一个未知数的一次方程。
例如，假设方程组为：{ 2x + 3y = 7 Equation1{ 5x - y = 1 Equation2我们可以通过将方程2中y表示为x的函数（y = 5x - 1），将其代入方程1中，得到：2x + 3(5x - 1) = 7然后将这个一次方程化简，求解得到x的值。
将x的值代入方程2中，即可得到y的值。
最终得到方程组的解。
方法二：消元法消元法是解二元一次方程组的常用方法之一。
它通过逐步消去一个未知数，将方程组化为只含有一个未知数的一次方程，然后求解得到解。
例如，假设方程组为：{ 2x + 3y = 7 Equation1{ 5x - y = 1 Equation2我们可以通过将方程1乘以5，将方程2乘以2，然后将两个方程相减，消去y的系数，得到一个只含有x的一次方程：10x + 15y = 3510x - 2y = 2--------------17y = 33通过化简这个一次方程，求解得到y的值。
将y的值代入方程1或方程2中，即可得到x的值。
最终得到方程组的解。
方法三：Cramer法则Cramer法则是一种基于行列式的解二元一次方程组的方法。
假设有如下二元一次方程组：{ Equation1{ Equation2首先计算系数矩阵A的行列式值D，然后在D中用方程组右边的常数项替换掉A的某一列，得到矩阵Dx。
同理，用方程组右边的常数项替换掉A的另一列，得到矩阵Dy。
二元一次方程组的解法(22)
3 x + 5 y = 21,① 2 x − 5 y = −11.②
5y和 −5y
互为相反数…… 互为相反数…… ( ) +(
左边
相加…… 相加……
还能怎样解 下面的二元一次 方程组? 方程组? )
)
=
+(
右边
解：根据等式的基本性质, 根据等式的基本性质, 方程① 方程② 方程①+方程②得：
第二节 二元一次方程组的解法
第二课时 用加减法解二元一次方程组
回顾（代入法） 回顾（代入法）
x + 2 y = 4 解方程组： 2 x − y = 3
用代入法解二元一次方程组的步骤： 用代入法解二元一次方程组的步骤： 第一步：变形。 第一步：变形。 第二步：代入。 第二步：代入。 第三步：解方程。 第三步：解方程。 第四步：回代。 第四步：回代。 第五步：结论。 第五步：结论。 第六步：检验。 第六步：检验。
3x + 5 y = 21,① 2 x − 5 y = − 11.②
5 x = 10.
解得： 解得：x = 2. 把 x = 2 代入①，解得： y = 3. 代入① 解得：
x = 2, 所以方程组的解为 y = 3.
例1.解下列二元一次方程组 1.解下列二元一次方程组
2 x − 5 y = 7 ,① 2 x + 3 y − 1.② =
解得： 解得： y = 3. x 代入③ 把 y. = 3代入③，得： = 2 .
x = 2, 所以方程组的解为: 所以方程组的解为 . y = 3.
把②变形得 5 y = 2x +11 可以直接代入① 可以直接代入①呀！
二元一次方程组的解法
二元一次方程组的解法二元一次方程组是指包含两个未知数和两个方程的方程组。
解二元一次方程组的常用方法有消元法、代入法和矩阵法等。
下面将分别介绍这三种方法的步骤和应用。
一、消元法消元法是解二元一次方程组常用的方法，它的基本思想是通过消去一个未知数，从而将方程组转化为只含一个未知数的一次方程，进而求解。
假设给定的二元方程组为：a₁x + b₁y = c₁（1）a₂x + b₂y = c₂（2）步骤如下：1. 通过等式的加减消去一个未知数。
选择其中一个方程，将其系数乘以另一个方程中与其同未知数的系数的相反数，然后将两个方程相加或相减，消去该未知数。
2. 获得新的一次方程，其中只含有一个未知数。
3. 解新的一次方程，求得该未知数的值。
4. 将求得的未知数值代入原方程中，求得另一个未知数的值。
5. 检查解的可行性，在原方程组中验证求得的解是否满足原方程组。
二、代入法代入法是解二元一次方程组的另一种常用方法，它的基本思想是将一个方程的一个未知数表示为另一个未知数的函数，然后将其代入另一个方程，从而将方程组转化为只含一个未知数的方程，进而求解。
假设给定的二元方程组为：a₁x + b₁y = c₁（1）a₂x + b₂y = c₂（2）步骤如下：1. 选择一个方程，将其一个未知数表示为另一个未知数的函数，例如将（1）中的 x 表示为 y 的函数：x = f(y)。
2. 将函数表达式代入另一个方程（2），得到只含有一个未知数 y的一次方程。
3. 解这个一次方程，求得 y 的值。
4. 将求得的 y 值代入第一个方程（1），求得 x 的值。
5. 检查解的可行性，在原方程组中验证求得的解是否满足原方程组。
三、矩阵法矩阵法是用矩阵运算的方法解二元一次方程组，它的基本思想是将方程组转化为矩阵方程，通过对矩阵的运算得到解。
假设给定的二元方程组为：a₁x + b₁y = c₁（1）a₂x + b₂y = c₂（2）将方程组表示为矩阵形式：⎛ a₁ b₁⎞⎛ x ⎞⎛ c₁⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝ a₂ b₂⎠ * ⎝ y ⎠ = ⎝ c₂⎠利用矩阵的逆矩阵，可以得到未知数向量的值：⎛ x ⎞⎛ a₁ b₁⎞⁻¹⎛ c₁⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝ y ⎠ = ⎝ a₂ b₂⎠⎝ c₂⎠通过计算矩阵的逆矩阵，可以求得未知数的值。
二元一次方程组解法详解
一、二元一次方程组解法总结1、二元一次方程组解法的基本思想二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程，就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少，逐一简化的思想方法，叫做消元思想.即二元一次方程组形如：ax=b（a，b为已知数）的方程.2、代入消元法由方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.3、用代入消元法解二元一次方程组的步骤（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来.（2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.（3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.（4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.4、加减消元法两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.5、加减消元法解二元一次方程组的一般步骤（1）把一个方程或者两个方程的两边乘以适当的数，使方程组的两个方程中一个未知数的系数互为相反数或相等；（2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；（3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4）把求得的未知数的值代入到原方程组中的系数比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；（5）把求出的未知数的值写成的形式.6、二元一次方程组解的情况若二元一次方程组（a1，a2，b1，b2，c1，c2均为不等于0的已知数），则（1）当时，这个方程组只有唯一解；（2）当时，这个方程组无解；（3）当时，这个方程组有无穷多个解.二、重难点知识归纳二元一次方程组的解的理解，二元一次方程组的解法，运用有关概念解决相关数学问题．三、典型例题讲解例1、（1）下列方程中是二元一次方程的有（）①②③④mn＋m=7⑤x＋y=6A．1个B．2个C．3个D．4个（2）在方程(k2－4)x2＋(2－k)x＋(k＋1)y＋3k=0中，若此方程为二元一次方程，则k的值为（）A．2B．－2C．±2D．以上都不对分析：一个方程是否是二元一次方程，必须看它是否满足或使它满足三个条件：①含有两个未知数；②未知数项的次数为1；③整式方程．解答：（1）∵方程①③不是整式方程，∴它们不是二元一次方程．∵mn的次数为2，∴方程④不是二元一次方程．∵方程②⑤满足二元一次方程的三个条件，∴方程②⑤是二元一次方程．故此题应选择B．（2）∵方程(k2－4)x2＋(2－k)x＋(k＋1)y＋3k=0是二元一次方程，∴它应满足条件：k2－4=0且2－k≠0且k＋1≠0，解得k=±2且k≠2且k≠－1．∴k=－2．例2、在方程3x－ay=0中，如果是它的一个解，那么a的值为_____．．由于方程的解必使方程左右两边的值相等，所以只需将代入方程中，解关于a的一次方程即可．解答：∵是方程3x－ay=0的一个解，∴3×3－a·2=0，例3、甲、乙两人同时解方程组乙因抄错c，解得求a、b、c的值．将正确的解代入方程组中可直接求出c的值，但不能求a、b的值．错误解有什么作用呢？方程组的解应满足每一个方程，因此正确解满足ax＋by=2，错误的解同样能满足方程ax＋by=2，那么就可以建立a、b的方程组，于是a、b、c的值均可求出．解答：都是方程①的解．又∵是方程②的解，∴c＋3=－2，∴c=－5．故a、b、c的值分别为例4、解下列方程组.（1）先将①化简为3y=4x＋5，再代入②即可消去y，从而求出x的值.（2）先将方程组进行化简，整理为标准的二元一次方程组的形式，再观察选择消去哪个未知数.解：（1）将①化简得：3y=4x＋5③把③代入②得：2x－(4x＋5)=1解得x=－3将x=－3代入③得：3y=4×(－3)＋5∴∴原方程组的解为.（2）原方程组整理为由③×3－④×4，得7b=14，∴b=2.将b=2代入③，得a=2.∴原方程组的解为.例5、已知方程组与方程组有相同的解，求a、b 的值.题设的已知条件是两个方程组有相同的解。
【数学知识点】二元一次方程详细解法步骤
【数学知识点】二元一次方程详细解法步骤
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
接下来分享二元一次方程的解法，供参考。
(1)等量代换：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数(例如y)，用另一个未知数(如x)的代数式表示出来，即将方程写成y=ax+b的形式;
(2)代入消元：将y=ax+b代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程;
(3)解这个一元一次方程，求出x的值;
(4)回代：把求得的x的值代入y=ax+b中求出y的值，从而得出方程组的解;
(5)把这个方程组的解写成x=c y=d的形式。
解一些复杂的问题，常用到换元法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化，明朗化。
该方法在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面能起到独到作用。
(1)变换系数：利用等式的基本性质，把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等;
(2)加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程;
(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值;
(4)回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任何一个方程中，求出另一个未知数的值;
(5)把这个方程组的解写成x=c y=d的形式。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
8.2(3)二元一次方程组解法总结
3X-4Y=10 ① 5X+6Y=42 ② 分析：必须设法使同一未知数的系数的绝对值相等。
（1）若消Y，两个方 程未知数Y系数的绝对 值分别为4，6。只要 使它们变成12（4，6 的最小公倍数），只 要 （2）若消X，只要使 两个方程未知数X系 数变成15（3，5的最 小公倍数），只要 ①×5，②×3得： 15X-20Y=50 15X+18Y=126
∴
x=2 y = -4
答：x 的值是2，y 的值是 -4.
x=2
8.思 考 练 习 题
x = -1， x = 2， 若 和 是方程 mx + ny = 10 的两个解， y = 2， y = -2， 求 m 、n 的值.
x =-1，
5.思
考
题
-a – 2b = 1
a = -2b - 1 ③ 由②得： 把③代入①得：
②
把b = -4/7 代入③，得： a = -2b - 1 = -2×（-4/7）-1 a = 1/7 ∴ a = 1/7
-2 + 2（-2b – 1）= 3b -2 – 4b – 2 = 3b -4b – 3b = + 2 + 2 -7b = 4 b = -4/7
把m = 3/7 代入③，得： n = 1 –2m
3 1 1 2 7 7
1 n 7 3 m 7
2x + ay = 3b 2、已知 y = 2， 是关于 x、y 的方程组 ax - by = 1 的解， 求 a 、 b 的值. 2x + ay = 3b 解： 把 x = -1，y = 2 代入方程组 ax - by = 1 得： -2 + 2a = 3b ①
把③代入①得： 3（2 + y）- 2y = 6
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① ②
接下来由同学们自行完成
3 y 1
1 y 3
16 x 3 y 1 3
2. 如果x y 32 x y 1 0，那么xy
（练习册P19 6）
。
ax by 2 3.小明在解方程组 cx 3 y 2
x 2 4.请你写出一个以 为解的二元一 y 1
次方程是：
；你能写出以它
为解的一个二元一次方程组吗？
今天有哪些收获？
加深对二元一次方程组解法的认识； 提升运用所学知识解决问题的能力； 遇到新问题时别着急，懂得转化； 认真分析题目特点，找出方法，达到事半功倍的效果。 作业：补充材料
x 2 4 (2). x 2 4
y 1 1 ① 5 y 1 3 ② 5
（练习册P18 5③）
4 x y 1 10 6 x 2 y （3） .2 x y 8 5④）
4x y 1 2x y 2 2 x y 5 3 x y 2
3 y x3 (1).用含x的代数式表示y为: ; 4 4 x y 4 (2).用含y的代数式表示x为: ; 3
3.下列方程组用什么方法求解比较简便？
3x 5 y 14 ① (1). ② x y 2
2 y 3x 10 ① (2). ② 4 x 2 y 4
龙海市凫溪中学
——郭泉成
1.什么是二元一次方程组？
含有两个未知数；未知数的最高次数是1；整式方 程组.
2.二元一次方程组有哪些解法？
代入消元法； 加减消元法；
3.代入法与加减法的基本思路是什么？
把“二元”变为“一元”.
x y 3 ① 1.解方程组： x y 7 ②
2. 已知方程 3x 4 y 12
二元一次方程组解法的选用：
如果某个方程里的某个字母的系数是1或-1时，选 用 代入法 。
如果方程组里的某个字母的系数相同、相反或成倍 数时，选用 加减法 。
1.解下列方程组：
3x 1＝2 y 1 ① (1). ② 4 y 1 3 x 5
（练习册P18 4④）
。 （练习册P19
4）
2 x 3 y k， 2.已知关于x、y方程组：3x 4 y k 11 的解满足
7x x+ 2y y= 14 方程 5 3
（练习册P21 ，求k的值。
变式2）
3.解下列方程组：
2013x 2014y 2012 ① ② 2015 x 2016 y 2014
时，得到的解是
x 1 .小英解这个方程组时，由于把c抄错而得 y 1 x 2 ，求a、b、c的值. 到的解是 y 6
（练习册P22 8）
2 x y a 4， 则 1. 已知关于x、y方程组： a， 1 +a x 2 y 3
x y 的值为 x+y