陕西省黄陵中学2019届高三数学上学期开学考试试题重点班文20-含答案
陕西省黄陵中学(重点班)高三上学期期末考试数学(文)试题及答案
陕西省黄陵中学（重点班）高三上学期期末考试数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}21M x x =<,{}21xN x =>，则MN =（ ）A ． ∅B ． {}01x x <<C ． {}1x x <D ．{}1x x < 2. 若复数z满足)3i z i =(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为（ ）A ．i B ．i C ．D．1 3. 已知命题11:4p a >，命题:q x R ∀∈,210ax ax ++>,则p 成立是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4. 在ABC ∆中，3AB AC AB AC +=-，3AB AC ==,则CB CA ⋅=（ ） A ． 3 B ． -3 C.92 D ．92- 5. 我们可以用随机模拟的方法估计π的值，下面程序框图表示其基本步骤（函数RAND 是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数).若输出的结果为781，则由此可估计π的近似值为（） A ．3.119 B ．3.124 C. 3.132 D ．3.1516.已知偶函数()f x 在(,0]-∞上是增函数.若0.82121(log ),(log 3),(2)5a f b f c f -===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A.a b c <<B.b a c <<C.c b a <<D.c a b << 7. 《九章算术》中的 “两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”现有墙厚5尺，如下说法：①小鼠第二天穿垣半尺；②两鼠相遇需四天；③若大鼠穿垣两日卒，则小鼠至死方休.则以上说法错误的个数是（ ）个A ． 0B ．1 C. 2 D ．38. 已知函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的图象如图所示，则该函数的单调减区间是[]()Z k k k A ∈++1610,162. []()Z k k k B ∈++1614,166.[]()Z k k k C ∈++-166,162. []()Z k k k D ∈++-162,166.9. 在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为( )π4.A .(4B π π6.C .(5D π10. 执行如下图所示的程序框图，输出s 的值为（ ）A ．1 B. 12016- C. 12017- D.12018-11．若实数x ，y 满足不等式组，则2x+y 的最大值是（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2 12．已知函数f （x ）=，设方程f （x ）=x+1的根按从小到大的顺序得到数列x 1，x 2，…，x n ，那么x 10等于（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．13．已知P 是抛物线y 2=4x 上的一个动点，则P 到直线l 1：4x ﹣3y+11=0和l 2：x+1=0的距离之和的最小值是 ．14．已知数列{a n }是公比大于1的等比数列，其前n 项和为S n ，且a 1，a 3是方程x 2﹣5x+4=0的两根，则S 3= ．15.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为16.已知1F 、2F 是椭圆2222+1(0)x y a b a b=>>的两个焦点，以线段1F 2F 为斜边作等腰直角三角形12F MF ，如果线段1MF 的中点在椭圆上，则该椭圆的离心率为 三、解答题（本大题共6题，共70分） 17.（本题满分10分）在直角坐标系中，直线l 经过点)2,2(P ，倾斜角为,3πα=以该平面直角坐标系的坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，圆C 的极坐标方程为θρcos 2=. （Ⅰ）写出直线l 的参数方程与圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l 与圆C 相交于点A 、B ，求PBPA 11+的值.18．（本题满分12分）已知数列{}n a 满足111,3n n a a a +==，数列{}n b 满足123,6b b ==，且{}n n b a -为等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 和n T .19．（12分）由四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1﹣B 1CD 1后得到的几何体如图所示，四边形ABCD 为正方形，O 为AC 与BD 的交点，E 为AD 的中点，A 1E ⊥平面ABCD ， （Ⅰ）证明：A 1O ∥平面B 1CD 1；（Ⅱ）设M 是OD 的中点，证明：平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1．20．（12分）已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1+a 2=6，a 1a 2=a 3．（1）求数列{a n }通项公式；（2）{b n } 为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，已知S 2n+1=b n b n+1，求数列的前n 项和T n ．21．（12分）已知函数22()ln ,()3f x x x ax g x x bx =+=-+-（1）若函数()f x 在(1,(1))f 处的切线与直线210x y +-=垂直，求实数a 的值；（2）当0a =时，若关于x 的方程()2()xg x f x =在区间1(,2)2内有两个不相等的实根，求实数b 的取值范围（已知ln 20.69=）.22．（12分）如图，焦点在x 轴上的椭圆C ，焦距为(3,0),(3,0)A B -（1）求椭圆C 的方程;（2）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点,M N ,过D 作AM 的垂线交BN 于点E ，求BDE ∆与BDN ∆的面积之比. 答案1-5: BDACB 6--10 ABDDC 11-12 DB13． 3 ． 14. 7 15. 14π17. (Ⅰ) 直线的参数方程为：122()22x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数 圆的直角坐标方程为2220x y x +-= (Ⅱ) 把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程得PB PA 11+=418.(Ⅰ)13n na a += 13n n a -∴= 又11312b a -=-=,22633b a -=-= 2(1)1n n b a n n ∴-=+-=+ 131n n b n -∴=++(Ⅱ)021(32)(33)(34)(31)n n T n -∴=+++++++++ 213(3)3311322n nn n n n -++=+=-+- 19．【分析】（Ⅰ）取B 1D 1中点G ，连结A 1G 、CG ，推导出A 1G OC ，从而四边形OCGA 1是平行四边形，进而A 1O ∥CG ，由此能证明A 1O ∥平面B 1CD 1．（Ⅱ）推导出BD ⊥A 1E ，AO ⊥BD ，EM ⊥BD ，从而BD ⊥平面A 1EM ，再由BD ∥B 1D 1，得B 1D 1⊥平面A 1EM ，由此能证明平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1．【解答】证明：（Ⅰ）取B 1D 1中点G ，连结A 1G 、CG ， ∵四边形ABCD 为正方形，O 为AC 与BD 的交点， ∴四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1﹣B 1CD 1后，A 1G OC ，∴四边形OCGA 1是平行四边形，∴A 1O ∥CG ， ∵A 1O ⊄平面B 1CD 1，CG ⊂平面B 1CD 1， ∴A 1O ∥平面B 1CD 1．（Ⅱ）四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1﹣B 1CD 1后，BDB 1D 1， ∵M 是OD 的中点，O 为AC 与BD 的交点，E 为AD 的中点，A 1E ⊥平面ABCD ， 又BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥A 1E ，∵四边形ABCD 为正方形，O 为AC 与BD 的交点， ∴AO ⊥BD ，∵M 是OD 的中点，E 为AD 的中点，∴EM ⊥BD ，∵A1E∩EM=E，∴BD⊥平面A1EM，∵BD∥B1D1，∴B1D1⊥平面A1EM，∵B1D1⊂平面B1CD1，∴平面A1EM⊥平面B1CD1．20．【分析】（1）通过首项和公比，联立a1+a2=6、a1a2=a3，可求出a1=q=2，进而利用等比数列的通项公式可得结论；（2）利用等差数列的性质可知S2n+1=（2n+1）b n+1，结合S2n+1=b n b n+1可知b n=2n+1，进而可知=，利用错位相减法计算即得结论．【解答】解：（1）记正项等比数列{a n}的公比为q，因为a1+a2=6，a1a2=a3，所以（1+q）a1=6，q=q2a1，解得：a1=q=2，所以a n=2n；（2）因为{b n} 为各项非零的等差数列，所以S2n+1=（2n+1）b n+1，又因为S2n+1=b n b n+1，所以b n=2n+1，=，所以T n=3•+5•+…+（2n+1）•，T n=3•+5•+…+（2n﹣1）•+（2n+1）•，两式相减得：T n=3•+2（++…+）﹣（2n+1）•，即T n=3•+（+++…+）﹣（2n+1）•，即T n=3+1++++…+）﹣（2n+1）•=3+﹣（2n+1）•=5﹣．21．解：（1）()2ln f x x x x a '=++ ---------------------------------------2分 所()f x 在点(1,(1))f 处的切线斜率21ln111k a a =⨯⨯++=+ ----------------4分 由已知111,22a a +=∴=- -------------------------------------------------------------5分 （2）由()2()xg x f x =得22(3)2ln x x bx x x -+-= 因为0x >，整理得：32ln b x x x=++ ----------------------------------------------7分 设222233223(3)(1)()2ln ,()1x x x x h x x x h x x x x x x+-+-'=++∴=-+== --8分 所以当1(,1)2x ∈时，()0,()h x h x '<单调递减，当(1,2)x ∈时，()0,()h x h x '>单调递减，所以在区间1(,2)2内min ()(1)4h x h == --------------------------------------------------10分1111337()62ln 2ln 2,(2)22ln 2222222h h =++=-=+=+ 1()(2)34ln 24(0.750.69)02h h -=-=->，所以1()(2)2h h > 所以742ln 22b <<+ ------------------------------------------------------------------12分 注，结果写成4 4.88b <<也正确 22．解（1）由已知23,c c a === -----------------------------------2分222981b ac =-=-=----------------------------------------------------------3分所以椭圆方程为：2219x y +=---------------------------------------------------------4分 （2）设(,0),(,),(,)D m M m n N m n - 因为(3,0),(3,0)A B -,所以3k ,3AM DE n m k m n+==-+ 3:().:(x 3)3m nDE y x m BN y nm+∴=--=-- ---------------------------7分两个方程联立可得：()3(3)(3)33ny nym y n m n m m m -=--=--++ 22(9)(9)m y n m ny -=--，222(9)9E n m y m n-∴=-+ 22221,999m n n m +=∴=- 32991010E n y n n -∴==- --------------------------------10分 19220BDEE SBD y BD n ∴== 12BDNS BD n =910BDE BDNS S∴=所以BDE ∆与BDN ∆的面积之比为9：10. --------------------------------------------12分。
陕西省黄陵中学(普通班)高三2019届上学期开学考试数学(理)试卷(含答案)
黄陵中学2019届（普通班）高三上学期开学考试数学（理）试题一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合A={x ∈N|x 2+2x ﹣3≤0}，则集合A 的真子集个数为 （ ） A ．3B ．4C ．31D ．322.命题p ：“R x ∈∃0，02021x x <+”的否定p 为 （ ） A ．R x ∈∃0,02021x x ≥+ B ．R x ∈∃0,02021x x >+C ．R x ∈∀,x x 212≥+D ．R x ∈∀,x x 212<+ 3．若2a=5b=10，则ba11+= （ ）A ．21 B ．1 C ．23 D ．24.设f (x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈（1，2]，则⎰2)(dx x f 等于 （ ）A.34B.45C. 1D. 565．设m ，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面( )A ．若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊥αB ．若m ∥β，β⊥α，则m ⊥αC ．若 m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α，则 m ⊥αD ．若 m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α，则m ⊥α6．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A.18B.38C.58D.787．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤8，2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0，且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是A ．48B ．30C ．24D ．168．将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减 B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增 C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减 D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增9在一次歌手大奖赛上，七位评委为某歌手打出的分数如下：9.48.49.49.99.69.49.7去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为 (A) 9.4，0.484(B) 9.4，0.016(C) 9.5，0.04(D) 9.5，0.01610.若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为A.4B.3C.2D.1 11.3223ii+=- A.i B.i - C.12-13i D.12+13i12.已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0)C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ± C ．y ＝12x ± D ．y ＝±x 二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数xe x xf 2)(=在区间)1,(+a a 上存在极值点，则实数a 的取值范围为 ．14．已知0,0a b >>，方程为22420x y x y +-+=的曲线关于直线10ax by --=对称，则2a b ab+的最小值为________．15、已知函数()()2ln 1f x a x x =+-在区间()1,2内任取两个实数,,p q p q ≠且，不等式()()111f p f q p q+-+<-恒成立，则实数a 的取值范围为___________．16．若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________． 三、（40分，每题10分） 17. 已知圆O ：与轴负半轴的交点为A ，点P 在直线l ：上，过点P 作圆O 的切线，切点为T ． （1）若a ＝8，切点,求直线AP 的方程；（2）若PA=2PT ，求实数a 的取值范围． 18．已知函数． （1）当时，试求曲线在点处的切线；（2）试讨论函数的单调区间．19. 如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点，，．（1）求证：平面平面；（2）若直线和平面所成角的正弦值等于，求二面角的平面角的正弦值．20．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形， DA DP =， BA BP =.（1）求证： PA BD ⊥；（2）若DA DP ⊥， 060ABP ∠=， 2BA BP BD ===，求二面角D PC B --的正弦值.参考答案 1-4.ACBD CB 9-12.DBAC13.【答案】)0,1()2,3(-⋃--； 14．9 15、a ≤15． 16．【答案】–317【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由于,因此关键求点P 坐标，这可利用方程组求解，一是由OT ⊥PT 得，二是根据点P 在直线上，即，解得最后根据两点式求直线AP 的方程；（2）由PA ＝2PT ，可得点P 的轨迹是一个圆，因此由直线与圆有交点得，解得试题解析：（1）由题意，直线PT 切于点T ，则OT ⊥PT ，又切点T 的坐标为，所以，，故直线PT 的方程为，即.联立直线l 和PT ，解得即，所以直线AP 的斜率为，故直线AP 的方程为，即，即.（2）设，由PA ＝2PT ，可得，即，即满足PA ＝2PT的点P的轨迹是一个圆，所以问题可转化为直线与圆有公共点，所以，即，解得.18.【答案】（1）；（2）见解析【详解】（Ⅰ）当时，函数定义域为，切线为（Ⅱ）当时，函数定义域为，在上单调递增当时，恒成立，函数定义域为，又在单调递增，单调递减，单调递增当时，函数定义域为，在单调递增，单调递减，单调递增当时，设的两个根为且，由韦达定理易知两根均为正根，且，所以函数的定义域为，又对称轴，且，在单调递增，单调递减，单调递增19.【答案】（1）见解析；（2）．解析：（1）在直三棱柱中又平面，平面，∴平面 又∵平面∴平面平面. （2）由（1）可知以点为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立坐标系.设，，，，，，，直线的方向向量，平面的法向量可知∴，，设平面的法向量∴∴ 设平面的法向量∴∴记二面角的平面角为 ∴二面角的平面角的正弦值为.20．解：（1）证明：取AP 中点M ，连,DM BM ， ∵DA DP =， BA BP =∴PA DM ⊥， PA BM ⊥，∵DM BM M ⋂= ∴PA ⊥面DMB ，又∵BD ⊂面DMB ，∴PA BD ⊥ （2）∵DA DP =， BA BP =， DA DP ⊥， 060ABP ∠=∴DAP ∆是等腰三角形， ABP ∆是等边三角形，∵2AB PB BD ===，∴1DM =， 3BM =. ∴222BD MB MD =+，∴MD MB ⊥以,,MP MB MD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()1,0,0A -， ()0,3,0B ， ()1,0,0P ， ()0,0,1D从而得()1,0,1DP =-u u u v ， ()1,3,0DC AB ==u u u v u u u v ， ()1,3,0BP =-u u u v ， ()1,0,1BC AD ==u u u v u u u v设平面DPC 的法向量()1111,,n x y z =u v则11•0{ •0n DP n DC ==u v u u u vu v u u u v ，即11110{ 30x z x y -=+=，∴()13,1,3n =--u v ， 设平面PCB 的法向量()2212,,n x y z =u u v， 由22•0{ •0n BC n BP ==u u v u u u vuu v u u u v ，得22220{ 30x z x y +=-=，∴()23,1,3n =-u u v∴121212•1cos<,7n n n n n n ==>u v u u vu v u u v u v u u v 设二面角D PC B --为α，∴21243sin 1cos ,7n n α<>=-=u v u u v。
陕西省黄陵中学(普通班)高三2019届上学期开学考试数学(文)试卷(含答案)
黄陵中学2019届（普通班）高三上学期开学考试数学（文）试题一、选择题（60分）1. 已知集合{}1,0,1M =-和{}0,1,2,3N =的关系的韦恩（Venn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合是 A ．{}0B ．{}0,1C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,2,3-2. 命题“存在实数x ，使2280x x +-=”的否定是A ．对任意实数x , 都有2280x x +-=B ．不存在实数x ，使2280x x +-≠C ．对任意实数x , 都有2280x x +-≠D ．存在实数x ，使2280x x +-≠3. 若复数1i 12i 2b +=+（i 是虚数单位，b 是实数），则b = A ．2- B ．12- C ．12D ．24. 已知平面向量(1,2)AB =u u u r ，(2,)AC y =u u u r ，且0AB AC ⋅=u u u r u u u r ，则23AB AC +=u u u r u u u rA ．(8,1)B ．(8,7)C ．()8,8-D ．()16,85，函数f (x )＝log 0.5(x ＋1)＋log 0.5(x －3)的单调递减区间是( )A ．(3，＋∞)B ． (1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，－1)6，若f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．a <－3B ．a ≤－3C ．a >－3D ．a ≥－37，已知f (x )为奇函数，当x >0，f (x )＝x (1＋x )，那么x <0，f (x )等于( )图1A．－x(1－x)B．x(1－x)C．－x(1＋x) D．x(1＋x)8，执行下面的程序框图，如果输入的依次是1,2,4,8，则输出的S为()A．2 B．2 2C．4 D．69.执行右面的程序框图，若输入的,,a b k分别为1,2,3，则输出的M ( )A.203B.72C.165D.15810.已知抛物线C ：x y =2的焦点为F ,()y x A,是C 上一点，x F A 045=，则=x（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8 11.设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =（ ）A ．-5 B. 3 C ．-5或3 D. 5或-312.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是A.()2,+∞B.()1,+∞C.(),2-∞-D.(),1-∞- 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.已知向量a,b 满足a=(,1),|b|=1,且a=λb,则实数λ= .14.已知单位向量e 1,e 2的夹角为,a=2e 1-e 2,则a 在e 1上的投影是 .15.计算= .(用数字作答)16.已知平行四边形ABCD 中,∠BAD=120°,AB=1,AD=2,点P 是线段BC 上的一个动点,则·的取值范围是 .三．解答题：(本大题共4小题，请写出必要的文字说明和解答过程，共40分)17、（10分）在中，内角，，的对边分别为，，且.（1）求角的大小； （2）若，且的面积为，求.18、（10分）高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里?”这个问题时，从洛阳的高中生中，随机抽取了55人，从上海的高中生中随机抽取了45人进行答题.洛阳高中生答题情况是：选择家的占、选择朋友聚集的地方的占、选择个人空间的占.上海高中生答题情况是：选择朋友聚集的地方的占、选择家的占、选择个人空间的占. （1）请根据以上调查结果将下面列联表补充完整，并判断能否有的把握认为“恋家（在家里感到最幸福）”与城市有关：在家里最幸福 在其它场所最幸福 合计 洛阳高中生上海高中生合计（2） 从被调查的不“恋家”的上海学生中，用分层抽样的方法选出4人接受进一步调查，从被选出的4 人中随机抽取2人到洛阳交流学习，求这2人中含有在“个人空间”感到幸福的学生的概率. 附：，其中d.19．（10分）如图， ABD ∆是边长为2的正三角形， BC ⊥平面ABD , 4,,BC E F =分别为,AC DC 的中点， G 为线段AD 上的一个动点． (Ⅰ)当G 为线段AD 中点时，证明：EF⊥平面BCG；-的体积是否为定值？（若是，需求出该定值；若不是，需说明理由．）(Ⅱ)判断三棱锥E BGF20．（10分）已知，是椭圆：的左、右焦点，恰好与抛物线的焦点重合，过椭圆的左焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3．（1）求椭圆的方程；（2）已知点，过斜率为的直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值．1-4.BCCA5-8.ABBB9-12DABC13.答案:±214.答案:15.答案:16.答案:[-,2]17、【答案】(1)；(2)4.（1）由，由正弦定理得，即，所以，∴.（2）由正弦定理，可得，，所以.又，，∴，解得.18、详解：（1）由已知得，在家里最幸福在其它场所最幸福合计洛阳高中生22 33 55上海高中生9 36 45合计31 69 100∴，∴有的把握认为“恋家”与城市有关.19．解：(I)∵在CAD ∆中， ,E F 分别为,AC DC 的中点∴//EF AD . ……1分 ∵BC ⊥平面ABD AD ⊆，平面ABD ,∴BC AD ⊥,∴BC EF ⊥, 在正ABD ∆中， G 为线段AD 中点， BG AD ⊥,∴BG EF ⊥, 又∵BG CG G ⋂=, ∴EF 平面BCG . (II)三棱锥E BGF -的体积是定值.理由如下： ∵//,EF AD AD ⊄ 平面BEF ,∴//AD 平面BEF ，所以直线AD 上的点到平面BEF 的距离都相等111244E BGFG BEF D BEF E BCD A BCD C ABD V V V V V V ------=====∵ 3.ABD S =V 又BC ⊥平面ABD 且4BC =, ∴433C ABD V -=∴三棱锥E BGF -的体积为33.20．（1）解：由题意，把代入椭圆，得，因此椭圆方程为.（2）直线方程为：，代入椭圆方程，并整理得，设则有，点到直线AB的距离d令则时，的面积取得最大值为，此时．。
2019届陕西省黄陵中学高三(重点班)上学期开学考试数学(文)试题
2019届高三重点班开学考试数学试题（文）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带等。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。
一、选择题（60分）1.已知集合{}{}12|,31|≤≤-=≤≤-=x x B x x M ，则M B =（ ）A [-2,1] B.[-1,1] C.[1,3] D. [-2,3]2.若0tan >α，则A. 0sin >αB. 0cos >αC. 02sin >αD. 02cos >α3.设i i z ++=11，则=||z ( ) A. 21 B. 22 C. 23 D. 2 4.已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=a ( ) A. 2 B. 26 C. 25 D. 1 5.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x ≥时()f x 的图像如图2所示，则()2f -=A ．3-B ．2-C ． 1-D ．26. 已知变量x ，y 满足约束条件20,2,0,x y y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =+的最大值为A ． 2B ．3C ．4D ．67. 设函数()3x f x e x =-，则A ．3x e=为()f x 的极大值点B ．3x e =为()f x 的极小值点C ．ln3x =为()f x 的极大值点D ．ln3x =为()f x 的极小值点8. 已知直线0Ax y C ++=，其中,,4A C 成等比数列，且直线经过抛物线28y x =的焦点，则A C +=A ．1-B ．0C ．1D ．49，已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若f (3)＝2，则f (2 018)的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．±210，若函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( )A ．f (－4)>f (1)B ．f (－4)＝f (1)C ．f (－4)<f (1)D ．不能确定11，函数f (x )＝11＋|x |的图象是( )12，方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若变量满足约束条件则的最大值是________．14．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值14.3，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为_____．（参考数据：2588.015sin = ，1305.05.7sin = ） 15．定义“等积数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积。
陕西省黄陵中学(高新部)高三2019届上学期开学考试数学(文)试卷(含答案)
黄陵中学2019届（高新部）高三上学期开学考试数学（文）试题一，选择题，每题4分共48分1, 已知集合A ＝{x ||x |<1}，B ＝{x |2x >1}，则A ∩B ＝( ) A ．(－1,0) B ．(－1,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12D ．(0,1)2，下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是( ) A ．a >b ＋1 B ．a >b －1 C ．a 2>b 2D ．a 3>b 33，命题p ：∀x ∈[0，＋∞)，(log 32)x ≤1，则( ) A ．p 是假命题，非p ：∃x 0∈[0，＋∞)，(log 32)x 0>1 B ．p 是假命题，非p ：∀x ∈[0，＋∞)，(log 32)x ≥1 C ．p 是真命题， 非p ：∃x 0∈[0，＋∞)，(log 32) x 0>1 D ．p 是真命题，非p ：∀x ∈[0，＋∞)，(log 32)x ≥1 4，函数y ＝|x |(x －1)的定义域为( ) A ．{x |x ≥1} B ．{x |x ≥1或x ＝0} C ．{x |x ≥0}D ．{x |x ＝0}5.设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论正确的是( )A. )()(x g x f 是偶函数B. )(|)(|x g x f 是奇函数C. |)(|)(x g x f 是奇函数D. |)()(|x g x f 是奇函数6.设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EB ( )A. ADB.21 C. 21D. BC7.在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为（ ） A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱9．已知直线0Ax y C ++=，其中,,4A C 成等比数列，且直线经过抛物线28y x =的焦点，则A C +=A ．1-B ．0C ．1D ．410. 如图3所示，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等腰梯形，等腰直角三角形和长方形，则该几何体体积为A ．53B ．423C ．73 D ．10311. 对于任意两个复数1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d ∈R ），定义运算“⊗”为：12z z ac bd ⊗=+．则下列结论错误的是A ．()()1i i -⊗-=B ．()1i i i ⊗⊗=C ．()122i i ⊗+=D ．()()112i i -⊗+=12. 已知函数6(3)3,7,(),7,x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩若数列{a n }满足*()()n a f n n N =∈，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是A ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．（94，3） C ．（2，3） D ．（1，3）二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13、若满足约束条件则的最小值是___________，最大值是___________． 14、已知函数，，则________．15．已知0,0a b >>，方程为22420x y x y +-+=的曲线关于直线10ax by --=对称，则2a bab +的最小值为________． 16．若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________． 三、计算题（52分） 17．（10分）已知等差数列中，.（1）设，求证：数列是等比数列；（2）求的前项和.18．（10分）2018年3月份某市进行了高三学生的体育学业水平测试，为了考察高中学生的身体素质情况，现抽取了某校1000名（男生800名，女生200名）学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取100名进行分析，得到如下统计图表：男生测试情况： 抽样情况 病残免试 不合格 合格 良好 优秀人数5101547x女生测试情况 抽样情况 病残免试 不合格 合格 良好优秀 人数2310y2（1）现从抽取的测试等级为“优秀”的学生中随机选出两名学生，求选出的这两名学生恰好是一男一女的概率；（2）若测试等级为“良好”或“优秀”的学生为“体育达人”，其它等级的学生（含病残免试）为“非体育达人”，根据以上统计数据填写下面列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为是否为“体育达人”与性别有关？男性 女性 总计 体育达人 非体育达人 总计临界值表：()20P K k ≥ 0.100.05 0.025 0.010 0.005 0k2.7063.8415.0246.6357.879附：（ ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）19. （10分）如图，四棱台1111A B C D ABCD -中，1A A ⊥底面111,3,23,2ABCD A B A A AB AC ====，平面11A ACC ⊥平面11,C CDD M 为1C C 的中点.（1）证明：1AM D D ⊥；（2）若030ABC ∠=，且AC BC ≠，求点A 到平面11B BCC 的距离.20. （12分）椭圆上的点满足，其中A,B 是椭圆的左右焦点。
陕西省黄陵中学高三(重点班)上学期开学考试——数学文
陕西省黄陵中学2018届高三（重点班）上学期开学考试数学（文）试题一、选择题（60分1.已知集合A={x|1＜x 2＜4}，B={x|x ﹣1≥0}，则A∩B=（ ） A ．（1，2） B ．[1，2） C ．（﹣1，2）D ．[﹣1，2）2、若集合A={x|0＜x ＜2}，B={x|﹣1＜x ＜1}，则（？R A ）∩B=（ ） A ．{x|0≤x≤1}B ．{x|1≤x ＜2}C ．{x|﹣1＜x≤0}D ．{x|0≤x ＜1}3、如图所示的韦恩图中，全集U=R ，若，，则阴影部分表示的集合为（ ）．A. B. C. D.4、已知集合， 2{|320}B x x x =-+<，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D.5、已知集合，，则（ ） A ． B ． C ． D ．6、已知集合，，则( ) A. B. C. D.7、如果集合，那么（ ）A. B. C. D.8{}221,{|210}A x x B x x x ==--<、全集为，集合，则等于（ ） A. B. C. D.9、已知集合A ＝{－1， }，B ＝{x|mx －1＝0}，若A∩B ＝B ，则所有实数m 组成的集合是( ) A. {－1,2} B. {－，0,1} C. {－1,0,2} D. {－1,0， }10、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A. B. C. D. A=B=C 11、若集合，则（ ） A. B. C. D. 12、设集合，，则（ ） A. B. C. D.二、填空题（20分）13、已知集合，集合，则__________.14、若集合A={﹣4，2a ﹣1，a 2}，B={a ﹣5，1﹣a ，9}，且A∩B={9}，则a 的值是 ． 15、已知,求实数的值=______________．16、设集合三、解答题（70分，17题10分，其余试题12分） ，集合，且，则a+b=_______．三、解答题（70分，17题10分，其余试题12分）17、已知集合，，且，求实数的取值范围．18、已知集合A=，B={x|2<x<10}，C={x|x<a}，全集为实数集R. 求A ∪B ，(C R A)∩B ；(2)如果A∩C≠Φ，求a 的取值范围。
陕西省延安市黄陵中学2019届高三上学期质量数学试卷(理科)(重点班)Word版含解析
陕西省延安市黄陵中学2019届高三上学期质量数学试卷（理科）（重点班）一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分）1．集合A={﹣1，0，1，3}，集合B={x|x2﹣x﹣2≤0，x∈N}，全集U={x||x﹣1|≤4，x∈Z}，则A∩（∁UB）=（）A．{3} B．{﹣1，3} C．{﹣1，0，3} D．{﹣1，1，3}2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．5π3．下列命题中正确的个数是（）①命题“任意x∈（0，+∞），2x＞1”的否定是“任意x∉（0，+∞），2x≤1；②命题“若cosx=cosy，则x=y”的逆否命题是真命题；③若命题p为真，命题￢q为真，则命题p且q为真；④命题“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题是“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”．A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图框图，当x1=6，x2=9，p=8.5时，x3等于（）A．7 B．8 C．10 D．115．为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第1小组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是（）A．36 B．40 C．48 D．506．若复数z满足（3﹣4i）•=|4+3i|，为z的共轭复数，则z的虚部为（）A．﹣B．C．﹣i D． i7．已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），若，则的值为（）A．B． C． D．8．如果一个几何体的三视图是如图所示（单位：cm）则此几何体的表面积是（）A． B．22cm2C．D．9．“a≤0”是“函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．在△OAB中，O为坐标原点，，则当△OAB的面积达最大值时，θ=（）A．B．C．D．11．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为底面ABCD上的动点，PE⊥A1C于E，且PA=PE，则点P的轨迹是（）A．线段B．圆弧C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分12．设函数f（x）=，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（] B．（）C．（] D．（）二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的可能性0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为 ．14．设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=x+2y 的最小值为 ．15．在区间（0，1）上随机取两个数m ，n ，则关于x 的一元二次方程x 2﹣•x +m=0有实根的概率为 ．16．下列说法中，正确的有 （把所有正确的序号都填上）． ①“∃x ∈R ，使2x ＞3”的否定是“∀x ∈R ，使2x≤3”； ②函数y=sin （2x+）sin （﹣2x ）的最小正周期是π；③命题“函数f （x ）在x=x 0处有极值，则f′（x ）=0”的否命题是真命题； ④函数f （x ）=2x ﹣x 2的零点有2个．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知△ABC 的三内角A 、B 、C 所对的边的长分别为a 、b 、c ，设向量（1）求∠B ； （2）若ABC 的面积．18．已知数列{a n }是公差大于零的等差数列，数列{b n }为等比数列，且a 1=1，b 1=2，b 2﹣a 2=1，a 3+b 3=13（Ⅰ）求数列{a n }和{b n }的通项公式 （Ⅱ）设c n =a n b n ，求数列{c n }前n 项和T n ．19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，AD ∥BC ，∠BAD=90°，AC ⊥BD ，BC=1，AD=PA=2，E ，F 分别为PB ，AD 的中点．（1）证明：AC⊥EF；（2）求直线EF与平面PCD所成角的正弦值．20．已知函数f（x）=lnx﹣x﹣lna，a为常数．（1）若函数f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求a的取值范围；（2）在（1）的条件下，证明：的值随a的值增大而增大．21．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=8y的焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线x=﹣2与椭圆交于P，Q两点，A，B是椭圆上位于直线x=﹣2两侧的动点．①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；②当动点A，B满足∠APQ=∠BPQ时，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．[选修4-5：不等式选讲]22．已知函数f（x）=|x+3|，g（x）=m﹣2|x﹣11|，若2f（x）≥g（x+4）恒成立，实数m 的最大值为t（1）求实数t（2）已知实数x、y、z满足2x2+3y2+6z2=a（a＞0），且x+y+z的最大值是，求a的值．陕西省延安市黄陵中学2019届高三上学期质量（重点班）数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分）1．集合A={﹣1，0，1，3}，集合B={x|x2﹣x﹣2≤0，x∈N}，全集U={x||x﹣1|≤4，x∈Z}，B）=（）则A∩（∁UA．{3} B．{﹣1，3} C．{﹣1，0，3} D．{﹣1，1，3}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】解不等式求出集合B和全集U，结合集合的补集及交集运算的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1，3}，集合B={x|x2﹣x﹣2≤0，x∈N}={0，1，2}，全集U={x||x﹣1|≤4，x∈Z}={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}，B={﹣3，﹣2，﹣1，3，4，5}，∴∁UB）={﹣1，3}，∴A∩（∁U故选：B2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．5π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可得该几何体是由一个球和圆锥组成的组合体，及球的直径和圆锥的底面半径和高，分别代入球的体积公式和圆锥的体积公式，即可得到答案．【解答】解：由三视图可得该几何体是由一个球和圆锥组成的组合体球直径为2，则半径为1，圆锥的底面直径为4，半径为2，高为3则V==故选：A3．下列命题中正确的个数是（ ）①命题“任意x ∈（0，+∞），2x ＞1”的否定是“任意x ∉（0，+∞），2x ≤1； ②命题“若cosx=cosy ，则x=y”的逆否命题是真命题； ③若命题p 为真，命题￢q 为真，则命题p 且q 为真；④命题“若x=3，则x 2﹣2x ﹣3=0”的否命题是“若x ≠3，则x 2﹣2x ﹣3≠0”． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据含有量词的命题的否定进行判断． ②根据逆否命题的等价性进行判断． ③根据复合命题真假之间的关系进行判断． ④根据否命题的定义进行判断．【解答】解：①命题“任意x ∈（0，+∞），2x ＞1”的否定是“存在x ∈（0，+∞），2x ≤1；故①错误，②命题“若cosx=cosy ，则x=y”的为假命题，则逆否命题也是假命题；故②错误， ③若命题p 为真，命题￢q 为真，则命题q 为假命题，则命题p 且q 为假命题；故③错误， ④命题“若x=3，则x 2﹣2x ﹣3=0”的否命题是“若x ≠3，则x 2﹣2x ﹣3≠0”．故④正确， 故命题中正确的个数为1个， 故选：A4．如图框图，当x 1=6，x 2=9，p=8.5时，x 3等于（ ）A．7 B．8 C．10 D．11【考点】选择结构．的值．【分析】从程序框图中得到求p的解析式；列出方程，求出x3【解答】解：∵∴解得x=83故选B5．为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第1小组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是（）A．36 B．40 C．48 D．50【考点】频率分布直方图．【分析】设报考飞行员的人数为n，根据前3个小组的频率之比为1：2：3设出频率，再根据所有频率和为1，解之即可求出第一组频率，根据第1小组的频数为6，即可求得结论．【解答】解：设报考飞行员的人数为n，根据前3个小组的频率之比为1：2：3，可设前三小组的频率分别为x，2x，3x；由题意可知所求频率和为1，即x+2x+3x+（0.037+0.013）×5=1解得x=0.125则0.125=，解得n=48故选C．6．若复数z满足（3﹣4i）•=|4+3i|，为z的共轭复数，则z的虚部为（）A．﹣B．C．﹣i D． i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由（3﹣4i）•=|4+3i|，得，然后由复数代数形式的乘除运算以及复数求模公式化简，再由已知条件即可求出z，则z的虚部可求．【解答】解：由（3﹣4i）•=|4+3i|，得=，又∵为z的共轭复数，∴．则z的虚部为：．故选：A．7．已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），若，则的值为（）A．B． C． D．【考点】两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的运算．【分析】由A，B，C的坐标求出和，根据平面向量数量积的运算法则及同角三角函数间的基本关系化简得到sinα+cosα的和，然后利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求出sin（α+）的值．【解答】解：∵=（cosα﹣3，sinα），=（cosα，sinα﹣3）∴=（cosα﹣3）•cosα+sinα（sinα﹣3）=﹣1得cos2α+sin2α﹣3（cosα+sinα）=﹣1∴，故sin（α+）=（sinα+cosα）=×=故选B8．如果一个几何体的三视图是如图所示（单位：cm）则此几何体的表面积是（）A． B．22cm2C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，代入柱体体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，其底面是腰长为2cm的等腰直角三角形，故底面面积S=×2×2=2cm2，底面周长C=2+2+2=4+2cm，棱柱的高h=3cm，故棱柱的表面积为：2×2+3×（4+2）=，故选：A9．“a≤0”是“函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】对a分类讨论，利用二次函数的图象与单调性、充要条件即可判断出．【解答】解：当a=0时，f（x）=|x|，在区间（0，+∞）内单调递增．当a＜0时，，结合二次函数图象可知函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增．若a＞0，则函数f（x）=|（ax﹣1）x|，其图象如图它在区间（0，+∞）内有增有减，从而若函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增则a≤0．∴a≤0是”函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的充要条件．故选：C．10．在△OAB中，O为坐标原点，，则当△OAB的面积达最大值时，θ=（）A．B．C．D．【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量在几何中的应用．【分析】在边长为1的正方形中，减去要求的三角形以外的三角形的面积，把要求的结果表示为有三角函数的代数式，后面题目变为求三角函数的最值问题，逆用二倍角公式得到结果．【解答】解：在直角坐标系里△OAB的面积=1﹣==∵θ∈（0，]，∴2θ∈（0，π]∴当2θ=π时取得最大，即θ=故选D．11．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为底面ABCD上的动点，PE⊥A1C于E，且PA=PE，则点P的轨迹是（）A．线段B．圆弧C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分【考点】平面与平面之间的位置关系；轨迹方程．【分析】由PE⊥A1C于E，且PA=PE，得到点E是定点，然后根据PA=PE，得到点P位于A，E 的中垂面上，从而得到点P的轨迹．【解答】解：连接A1P，由题意知A1A⊥AP，因为PE⊥A1C，且PA=PE，所以△A1AP≌△A1EP，所以A1A=A1E，即E为定点．因为PA=PE，所以点P位于线段 AE的中垂面上，又点P在底面上，所以点P的轨迹为两平面的交线，即点P的轨迹是线段．12．设函数f （x ）=，若互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f （x 1）=f （x 2）=f（x 3），则x 1+x 2+x 3的取值范围是（ ）A ．（]B ．（） C ．（] D ．（）【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】先作出函数f （x ）=的图象，如图，不妨设x 1＜x 2＜x 3，则x 2，x 3关于直线x=3对称，得到x 2+x 3=6，且﹣＜x 1＜0；最后结合求得x 1+x 2+x 3的取值范围即可．【解答】解：函数f （x ）=的图象，如图，不妨设x 1＜x 2＜x 3，则x 2，x 3关于直线x=3对称，故x 2+x 3=6，且x 1满足﹣＜x 1＜0；则x 1+x 2+x 3的取值范围是：﹣+6＜x 1+x 2+x 3＜0+6；即x 1+x 2+x 3∈（，6）．二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的可能性0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为 16 ．【考点】分层抽样方法．【分析】由题意，二年级女学生数为2000×0.19=380人，由此可计算三件及学生数和三年级学生所占的比例，按此比例即可求出三年级抽取的学生人数． 【解答】解：由题意，二年级女学生数为2000×0.19=380人，所以三年级的学生数为；2000﹣373﹣377﹣380﹣370=500人，所占比例为所以应在三年级抽取的学生人数为 64×=16 故答案为：1614．设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=x+2y 的最小值为．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【解答】解：画出不等式组，表示的可行域，由图可知， 当直线y=﹣过A （0，）时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为．故答案为：．15．在区间（0，1）上随机取两个数m，n，则关于x的一元二次方程x2﹣•x+m=0有实根的概率为．【考点】几何概型．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（m，n）对应图形的面积，及满足条件“关于x的一元二次方程x2﹣•x+m=0有实根”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解．【解答】解：如下图所示：试验的全部结果所构成的区域为{（m，n）|0＜m＜1，0＜n＜1}（图中矩形所示）．其面积为1．构成事件“关于x的一元二次方程x2﹣•x+m=0有实根”的区域为{{（m，n）|0＜m＜1，0＜n＜1，n≥4m}（如图阴影所示）．所以所求的概率为==．故答案为：．16．下列说法中，正确的有①（把所有正确的序号都填上）．①“∃x∈R，使2x＞3”的否定是“∀x∈R，使2x≤3”；②函数y=sin（2x+）sin（﹣2x）的最小正周期是π；③命题“函数f（x）在x=x处有极值，则f′（x）=0”的否命题是真命题；④函数f（x）=2x﹣x2的零点有2个．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】写出原命题的否定，可判断①；利用诱导公式和倍角公式化简函数的解析式，进而求出周期可判断②；写出原命题的否命题，可判断③；确定函数f（x）=2x﹣x2的零点个数，可判断④．【解答】解：对于①“∃x∈R，使2x＞3“的否定是“∀x∈R，使2x≤3”，满足特称命题的否定是全称命题的形式，所以①正确；对于②，函数y=sin（2x+）sin（﹣2x）=sin（4x+），函数的最小正周期T==，所以②不正确；对于③，命题“函数f（x）在x=x0处有极值，则f'（x）=0”的否命题是：若函数f（x）在x=x0处没极值，f'（x）≠0，则显然不正确．例如f（x）=x3，x=0不是函数的极值点，但x=0时，导数为0，所以③不正确；对于④，由题意可知：要研究函数f（x）=x2﹣2x的零点个数，只需研究函数y=2x，y=x2的图象交点个数即可．画出函数y=2x，y=x2的图象，由图象可得有3个交点．所以④不正确；故正确的命题只有：①，故答案为：①三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知△ABC的三内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，设向量（1）求∠B；（2）若ABC的面积．【考点】正弦定理；平行向量与共线向量；余弦定理．【分析】（1）由题设条件中的两向量平行，直接得到a2+c2﹣b2=ac，整理成角的余弦定理变式的形式，即可得到角B的余弦值，然后求出角B．（2）根据题设条件，先用正弦定理求出角A，再由内角和定理求出角C，下用面积公式即可求得△ABC的面积．【解答】解：（1）∵∴（a﹣c）c﹣（a+b）（a﹣b）=0，∴a2+c2﹣b2=ac由余弦定理得：又∵（2）∵∴∴a＜b∴A＜B∴∴18．已知数列{an }是公差大于零的等差数列，数列{bn}为等比数列，且a1=1，b1=2，b2﹣a2=1，a 3+b3=13（Ⅰ）求数列{an }和{bn}的通项公式（Ⅱ）设cn =anbn，求数列{cn}前n项和Tn．【考点】数列的求和；等差数列的性质．【分析】（Ⅰ）设数列{an }的公差为d（d＞0），数列{bn}的公比为q，由题意列方程组求得公差和公比，代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；（Ⅱ）把数列{an }和{bn}的通项公式代入cn=anbn，然后直接利用错位相减法求数列{cn}前n项和Tn．【解答】解：（Ⅰ）设数列{an }的公差为d（d＞0），数列{bn}的公比为q，由已知得：，解得：，∵d＞0，∴d=2，q=2，∴，即；（Ⅱ）∵cn =anbn=（2n﹣1）2n，∴①，②，②﹣①得：=﹣2﹣23﹣24﹣…﹣2n+1+（2n﹣1）×2n+1==6+（2n﹣3）×2n+1．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=PA=2，E，F分别为PB，AD的中点．（1）证明：AC⊥EF；（2）求直线EF与平面PCD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设AB=t，可得相关各点的坐标，AC⊥BD，可得•=﹣t2+2+0=0，求出t，进而证明⊥，可得AC⊥EF；（2）求出平面PCD的一个法向量，利用向量的夹角公式，可得直线EF与平面PCD所成角的正弦值．【解答】解：（1）易知AB，AD，A P两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设AB=t，则相关各点的坐标为：A（0，0，0），B（t，0，0），C（t，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），F（0，1，0）．…从而=（﹣，1，﹣1），=（t，1，0），=（﹣t，2，0）．因为AC⊥BD，所以•=﹣t2+2+0=0．解得或（舍去）．…于是=（，1，﹣1），=（，1，0）．因为•=﹣1+1+0=0，所以⊥，即AC⊥EF．…（2）由（1）知， =（，1，﹣2），=（0，2，﹣2）．设=（x ，y ，z ）是平面PCD 的一个法向量，则令，则=（1，，）． …设直线EF 与平面PCD 所成角为θ，则sin θ=|cos ＜，＞|=．即直线EF 与平面PCD 所成角的正弦值为．…20．已知函数f （x ）=lnx ﹣x ﹣lna ，a 为常数．（1）若函数f （x ）有两个零点x 1，x 2，且x 1＜x 2，求a 的取值范围；（2）在（1）的条件下，证明：的值随a 的值增大而增大．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的定义域，函数的导数，判断函数的单调性，利用函数的零点个数，推出结果．（2）x 1，x 2是f （x ）的两个零点，通过lnx 1﹣x 1=lna ，lnx 2﹣x 2=lna ，则，设，，利用g （x ）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，利用函数g （x ）图象与直线y=a 都有两个交点．横坐标分别为x 1，x 2，且x 1∈（0，1），x 2∈（1，+∞），结合函数的图象，利用函数的单调性以及存在性，推出结论．【解答】解：（1）f （x ）的定义域为（0，+∞）.，由f'（x ）＞0得：0＜x ＜1；由f'（x ）＜0得：x ＞1． 故f （x ）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减．要使f （x ）有两个零点，则f （1）＞0，解得：．…（2）∵x 1，x 2是f （x ）的两个零点，∴lnx 1﹣x 1=lna ，lnx 2﹣x 2=lna ，则，．设，，所以g （x ）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，故对任意，函数g （x ）图象与直线y=a 都有两个交点．横坐标分别为x 1，x 2，且x 1∈（0，1），x 2∈（1，+∞），如下图：…任取，设a 1＜a 2，则有g （ξ1）=g （ξ2）=a 1，0＜ξ1＜1＜ξ2，g （η1）=g（η2）=a 2，0＜η1＜1＜η2，由a 1＜a 2得：g （ξ1）＜g （η1），∵g （x ）在（0，1）上递增，∴ξ1＜η1，同理得：ξ2＞η2，所以，故的值随a 的值增大而增大．…21．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x 2=8y 的焦点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线x=﹣2与椭圆交于P ，Q 两点，A ，B 是椭圆上位于直线x=﹣2两侧的动点．①若直线AB 的斜率为，求四边形APBQ 面积的最大值；②当动点A ，B 满足∠APQ=∠BPQ 时，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由． 【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设椭圆标准方程为（a ＞b ＞0），由已知得b=2，e==，由此能求出椭圆C 的标准方程．（2）①先求出|PQ|=6，设直线AB 的方程为，与联立，得x 2+mx+m 2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、椭圆弦长公式，结合已知能求出四边形APBQ 面积的最大值． ②设PA 斜率为k ，则PB 斜率为﹣k ．分别设出PA 的直线方程和PB 的直线方程，分别与椭圆联立，能求出直线AB 的斜率是为定值．【解答】解：（1）∵椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，∴设椭圆标准方程为（a＞b ＞0），∵椭圆离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x 2=8y 的焦点．焦点为，∴b=2…e==，a 2﹣b 2=c 2，∴解得a 2=16，b 2=12∴椭圆C 的标准方程．…（2）①直线 x=﹣2与椭圆交点P （﹣2，3），Q （﹣2，﹣3）或P （﹣2，﹣3），Q （﹣2，3），∴|PQ|=6，…设A （x 1，y 1 ），B （ x 2，y 2），直线AB 的方程为，与联立，得 x 2+mx+m 2﹣12=0，由△=m 2﹣4（m 2﹣12）＞0，得﹣4＜m ＜4，由韦达定理得x 1+x 2=﹣m ，，…由A ，B 两点位于直线x=﹣2两侧，得（x 1+2）（x 2+2）＜0， 即x 1x 2+2（x 1+x 2）+4＜0∴m 2﹣2m ﹣8＜0 解得﹣2＜m ＜4，…∴S=•|PQ|•|x 1﹣x 2|=•|PQ|•=3，∴当m=0时，S最大值为．…②当∠APQ=∠BPQ时直线PA，PB斜率之和为0．设PA斜率为k，则PB斜率为﹣k．当P（﹣2，3），Q（﹣2，﹣3）时，PA的直线方程为y﹣3=k（x+2）…与椭圆联立得（3+4k2）x2+8k（2k+3）x+4（2k+3）2﹣48=0∴；同理∴…y 1﹣y2=k（x1+2）+3﹣[﹣k（x2+2）+3]直线AB斜率为…当P（﹣2，﹣3），Q（﹣2，3）时，同理可得直线AB斜率为．…[选修4-5：不等式选讲]22．已知函数f（x）=|x+3|，g（x）=m﹣2|x﹣11|，若2f（x）≥g（x+4）恒成立，实数m 的最大值为t（1）求实数t（2）已知实数x、y、z满足2x2+3y2+6z2=a（a＞0），且x+y+z的最大值是，求a的值．【考点】柯西不等式在函数极值中的应用．【分析】（1）若2f（x）≥g（x+4）恒成立，可得m≤2（|x+3|+|x﹣7|），而由绝对值三角不等式可得 2（|x+3|+|x﹣7|）≥20，可得m≤20，由此求得m的最大值t．（2）由柯西不等式可得（2x2+3y2+6z2）•（）≥（x+y+z）2，即a×1≥（x+y+z）2，即x+y+z≤，再根据 x+y+z的最大值是=1，可得=1，从而求得a的值．【解答】解：（1）由题意可得g（x+4）=m﹣2|x+4﹣11|=m﹣2|x﹣7|，若2f（x）≥g（x+4）恒成立，∴2|x+3|≥m﹣2|x﹣7|，即 m≤2（|x+3|+|x﹣7|）．而由绝对值三角不等式可得 2（|x+3|+|x﹣7|）≥2|（x+3）﹣（x﹣7）|=20，∴m≤20，故m的最大值t=20．（2）∵实数x、y、z满足2x2+3y2+6z2=a（a＞0），由柯西不等式可得（2x2+3y2+6z2）•（）≥（x+y+z）2，∴a×1≥（x+y+z）2，∴x+y+z≤．再根据 x+y+z的最大值是=1，∴=1，∴a=1．。
陕西省延安市黄陵中学2019届高三上学期期末数学试卷(理科)(重点班)Word版含解析
陕西省延安市黄陵中学2019届高三上学期期末数学试卷（理科）（重点班）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={1，4}，B={y|y=log2x，x∈A}，则A∪B=（）A．{1，4} B．{0，1，4} C．{0，2} D．{0，1，2，4}2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣2y的最小值为（）A．B．﹣3 C．0 D．13．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出v的值为（）A．4 B．5 C．6 D．74．已知△ABC是钝角三角形，若AC=1，BC=2，且△ABC的面积为，则AB=（）A．B．C．D．35．设{an }是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{an}为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．已知数列 {an }，{bn}满足 bn=an+an+1，则“数列{an}为等差数列”是“数列{bn}为等差数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件7．执行如图所示的程序框图，则输出的 a=（）A．1 B．﹣1 C．﹣4 D．8．在（x﹣2）10展开式中，二项式系数的最大值为 a，含x7项的系数为b，则=（）A．B．C．D．9．设实数x，y满足约束条件，则z=x2+y2的最小值为（）A．B．10 C．8 D．510．现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为（）A．B．C．D．11．已知O为坐标原点，F是双曲线的左焦点，A，B分别为Γ的左、右顶点，P为Γ上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E，直线 BM与y轴交于点N，若|OE|=2|ON|，则Γ的离心率为（）A．3 B．2 C．D．12．已知函数f（x）=ln（e x+e﹣x）+x2，则使得f（2x）＞f（x+3）成立的x的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） C．（﹣3，3）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．向量（3，4）在向量（1，2）上的投影为 ．14．函数的最小值为 ．15．设F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，经过F 1的直线交椭圆C 于A ，B两点，若△F 2AB 是面积为的等边三角形，则椭圆C 的方程为 ．16．已知x 1，x 2是函数f （x ）=2sin2x+cos2x ﹣m 在[0，]内的两个零点，则sin （x 1+x 2）= ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．已知acosAcosB ﹣bsin 2A ﹣ccosA=2bcosB ． （1）求B ；（2）若，求a ．18．已知函数．（1）求f （x ）的最小正周期；（2）当时，f （x ）的最小值为2，求a 的值．19．在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PB=PC=PD ． （1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）若PA=2，求二面角A ﹣PD ﹣B 的余弦值．20．已知抛物线C ：x 2=2py （p ＞0），圆O ：x 2+y 2=1．（1）若抛物线C 的焦点F 在圆上，且A 为 C 和圆 O 的一个交点，求|AF|；（2）若直线l 与抛物线C 和圆O 分别相切于点M ，N ，求|MN|的最小值及相应p 的值．21．已知函数．（1）求y=f（x）的最大值；（2）当时，函数y=g（x），（x∈（0，e]）有最小值．记g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．已知C1在直角坐标系下的参数方程为，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，有曲线C2：ρ=2cosθ﹣4sinθ．（Ⅰ）将C1的方程化为普通方程，并求出C2的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C1和C2两交点之间的距离．陕西省延安市黄陵中学2019届高三上学期期末（重点班）数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={1，4}，B={y|y=log2x，x∈A}，则A∪B=（）A．{1，4} B．{0，1，4} C．{0，2} D．{0，1，2，4}【考点】并集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={1，4}，B={y|y=log2x，x∈A}={0，2}，∴A∪B={0，1，2，4}．故选：D．2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣2y的最小值为（）A．B．﹣3 C．0 D．1【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最小值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（，），由z=x﹣2y得：y=x﹣z，平移直线y=x，结合图象直线过A（，）时，z最小，z的最小值是：﹣，故选：A．3．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出v的值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的v，i的值，当i=﹣1时不满足条件i≥0，退出循环，输出v的值为6．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=2，a0=1，a1=2，a2=3，v=3，i=1满足条件i≥0，执行循环体，v=5，i=0满足条件i≥0，执行循环体，v=6，i=﹣1不满足条件i≥0，退出循环，输出v的值为6．故选：C．4．已知△ABC是钝角三角形，若AC=1，BC=2，且△ABC的面积为，则AB=（）A．B．C．D．3【考点】三角形中的几何计算．【分析】根据题意和三角形的面积公式求出sinC的值，由内角的范围、特殊角的正弦值求出角C，再分别利用余弦定理求出AB的值，并利用余弦定理验证是否符合条件．【解答】解：由题意得，钝角三角形ABC，若AC=1，BC=2，且△ABC的面积为，则×sinC=，解得sinC=，由0＜C＜π得，C=或，当C=时，由余弦定理得：AB2=AC2+BC2﹣2AC•BC•cosC=1+4﹣2×1×=3，AB=，则A是最大角，cosA=0，则A是直角，这与三角形是钝角三角形矛盾，所以C=，则AB2=AC2+BC2﹣2AC•BC•cosC=1+4+2×1×=7，则AB=，故选：B．5．设{an}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{an}为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列．【分析】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：等比数列﹣1，﹣2，﹣4，…，满足公比q=2＞1，但{an}不是递增数列，充分性不成立．若an=﹣1为递增数列，但q=＞1不成立，即必要性不成立，故“q＞1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选：D．6．已知数列 {an}，{bn}满足 bn=an+an+1，则“数列{an}为等差数列”是“数列{bn}为等差数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据等差数列的定义结合充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【解答】解：若数列{an}为等差数列，设公差为d，则当n≥2时，bn﹣bn﹣1=an+an+1﹣an﹣1﹣an=an+1﹣an+an﹣an﹣1=2d为常数，则数列{bn}为等差数列，即充分性成立，若数列{bn}为等差数列，设公差为b，则n≥2时，bn﹣bn﹣1=an+an+1﹣an﹣1﹣an=an+1﹣an﹣1=d为常数，则无法推出an ﹣an﹣1为常数，即无法判断数列{an}为等差数列，即必要性不成立，即“数列{an }为等差数列”是“数列{bn}为等差数列”充分不必要条件，故选：A7．执行如图所示的程序框图，则输出的 a=（）A．1 B．﹣1 C．﹣4 D．【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的b，a，i的值，观察a的取值规律，可得当i=40时不满足条件i＜40，退出循环，输出a的值为﹣4．【解答】解：模拟程序的运行，可得i=1，a=﹣4满足条件i＜40，执行循环体，b=﹣1，a=﹣1，i=2满足条件i＜40，执行循环体，b=﹣，a=﹣，i=3满足条件i＜40，执行循环体，b=﹣4，a=﹣4，i=4满足条件i＜40，执行循环体，b=﹣1，a=﹣1，i=5…观察规律可知，a的取值周期为3，由于40=3×13+1，可得：满足条件i＜40，执行循环体，b=﹣4，a=﹣4，i=40不满足条件i＜40，退出循环，输出a的值为﹣4．故选：C．8．在（x﹣2）10展开式中，二项式系数的最大值为 a，含x7项的系数为b，则=（）A．B．C．D．【考点】二项式定理的应用．【分析】由题意，a==252，含x7项的系数为b==﹣960，即可得出结论．【解答】解：由题意，a==252，含x7项的系数为b==﹣960，∴=﹣，故选D．9．设实数x，y满足约束条件，则z=x2+y2的最小值为（）A．B．10 C．8 D．5【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可得到结论．【解答】解：实数x，y满足约束条件的可行域为：z=x2+y2的几何意义是可行域的点到坐标原点距离的平方，显然A到原点距离的平方最小，由，可得A（3，1），则z=x2+y2的最小值为：10．故选：B．10．现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设球半径为R，正方体边长为a，由题意得当正方体体积最大时： =R2，由此能求出所得工件体积与原料体积之比的最大值．【解答】解：设球半径为R，正方体边长为a，由题意得当正方体体积最大时： =R2，∴R=，∴所得工件体积与原料体积之比的最大值为：==．故选：A．11．已知O为坐标原点，F是双曲线的左焦点，A，B分别为Γ的左、右顶点，P为Γ上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E，直线 BM与y轴交于点N，若|OE|=2|ON|，则Γ的离心率为（）A．3 B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据条件分别求出直线AE和BN的方程，求出N，E的坐标，利用|OE|=2|ON|的关系建立方程进行求解即可．【解答】解：∵PF⊥x轴，∴设M（﹣c，0），则A（﹣a，0），B（a，0），AE的斜率k=，则AE的方程为y=（x+a），令x=0，则y=，即E（0，），BN的斜率k=﹣，则AE的方程为y=﹣（x﹣a），令x=0，则y=，即N（0，），∵|OE|=2|ON|，∴2||=||，即=，则2（c﹣a）=a+c，即c=3a，则离心率e==3，故选：A12．已知函数f（x）=ln（e x+e﹣x）+x2，则使得f（2x）＞f（x+3）成立的x的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） C．（﹣3，3）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】先求出+2x，再由f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，故f（2x）＞f（x+3）等价于|2x|＞|x+3|，解之即可求出使得f（2x）＞f（x+3）成立的x 的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=ln（e x+e﹣x）+x2，∴+2x，当x=0时，f′（x）=0，f（x）取最小值，当x＞0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∵f（x）=ln（e x+e﹣x）+x2是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，∴f（2x）＞f（x+3）等价于|2x|＞|x+3|，整理，得x2﹣2x﹣3＞0，解得x＞3或x＜﹣1，∴使得f（2x）＞f（x+3）成立的x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．向量（3，4）在向量（1，2）上的投影为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据所给的两个向量的坐标，利用求一个向量在另一个向量上的投影的公式，即两个向量的数量积除以被投影的向量的模长．【解答】解：∵向量（3，4）在向量（1，2）∴（3，4）•（1，2）=3×1+4×2=11，向量（1，2）上的模为，∴向量（3，4）在向量（1，2）上的投影为=，故答案为：14．函数的最小值为 ．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】令t=（t ≥），则函数y=t+，求出导数，判断单调性，即可得到最小值．【解答】解：令t=（t ≥），则函数y=t+，导数y′=1﹣，由t 2≥2，0＜≤，即有y′＞0，函数y 在[，+∞）递增，可得t=，即x=0时，函数取得最小值，且为．故答案为：．15．设F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，经过F 1的直线交椭圆C 于A ，B两点，若△F 2AB 是面积为的等边三角形，则椭圆C 的方程为 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题设条件知列出a ，b ，c 的方程，结合三角形的面积，求出a ，b 求出椭圆的方程．【解答】解：F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，经过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若△F 2AB 是面积为的等边三角形，可得：，×=4，a 2=b 2+c 2，解得a 2=18，b 2=12，c 2=6．所求的椭圆方程为：．故答案为：．16．已知x 1，x 2是函数f （x ）=2sin2x+cos2x ﹣m 在[0，]内的两个零点，则sin （x 1+x 2）=．【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意可得m=2sin2x 1+cos2x 1=2sin2x 2+cos2x 2，运用和差化积公式和同角的基本关系式，计算即可得到所求值．【解答】解：x 1，x 2是函数f （x ）=2sin2x+cos2x ﹣m 在[0，]内的两个零点，可得m=2sin2x 1+cos2x 1=2sin2x 2+cos2x 2， 即为2（sin2x 1﹣sin2x 2）=﹣cos2x 1+cos2x 2，即有4cos （x 1+x 2）sin （x 1﹣x 2）=﹣2sin （x 2+x 1）sin （x 2﹣x 1）， 由x 1≠x 2，可得sin （x 1﹣x 2）≠0， 可得sin （x 2+x 1）=2cos （x 1+x 2）， 由sin 2（x 2+x 1）+cos 2（x 1+x 2）=1，可得sin （x 2+x 1）=±，由x 1+x 2∈[0，π]，即有sin （x 2+x 1）=．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．已知acosAcosB ﹣bsin 2A ﹣ccosA=2bcosB ． （1）求B ；（2）若，求a ．【考点】正弦定理．【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2sinBcosB=﹣sinB ，结合sinB ≠0，可求cosB=﹣，进而可求B 的值．（2）由已知及余弦定理可求c 2+ac ﹣6a 2=0，解得c=2a ，进而利用三角形面积公式可求a 的值． 【解答】（本题满分为12分）解：（1）由正弦定理得：2sinBcosB=sinAcosAcosB﹣sinBsin2A﹣sinCcosA=sinAcos（A+B）﹣sinCcosA=﹣sinAcosC﹣sinCcosA=﹣sin（A+C）=﹣sinB，∵sinB≠0，∴cosB=﹣，B=．…（2）由b2=a2+c2﹣2accosB，b=a，cosB=﹣，得：c2+ac﹣6a2=0，解得c=2a，…=acsinB=a2=2，得a=2．…由S△ABC18．已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）当时，f（x）的最小值为2，求a的值．【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）利用二倍角、辅助角公式，化简函数，即可求f（x）的最小正周期；（2）当时，2x+∈[，]，利用f（x）的最小值为2，求a的值．【解答】解：（1）函数=，…∴f（x）的最小正周期为π；（2）当时，2x+∈[，]，∴f（x）的最小值为﹣1+a+1=2，∴a=2．19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PB=PC=PD．（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）若PA=2，求二面角A﹣PD﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）连接AC，取BC中点E，连接AE，PE，推导出BC⊥AE，BC⊥PE，从而BC⊥PA．同理CD⊥PA，由此能证明PA⊥平面ABCD．（2）以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣PD﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）连接AC，则△ABC和△ACD都是正三角形．取BC中点E，连接AE，PE，因为E为BC的中点，所以在△ABC中，BC⊥AE，因为PB=PC，所以BC⊥PE，又因为PE∩AE=E，所以BC⊥平面PAE，又PA⊂平面PAE，所以BC⊥PA．同理CD⊥PA，又因为BC∩CD=C，所以PA⊥平面ABCD． (6)解：（2）如图，以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，则B（，﹣1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），=（0，2，﹣2），=（﹣，3，0），设平面PBD的法向量为=（x，y，z），则，取x=，得=（），取平面PAD的法向量=（1，0，0），则cos＜＞==，所以二面角A﹣PD﹣B的余弦值是．…20．已知抛物线C ：x 2=2py （p ＞0），圆O ：x 2+y 2=1．（1）若抛物线C 的焦点F 在圆上，且A 为 C 和圆 O 的一个交点，求|AF|；（2）若直线l 与抛物线C 和圆O 分别相切于点M ，N ，求|MN|的最小值及相应p 的值． 【考点】直线与抛物线的位置关系；圆与圆锥曲线的综合．【分析】（1）求出F （0，1），得到抛物线方程，联立圆的方程与抛物线方程，求出A 的纵坐标，然后求解|AF|．（2）设M （x 0，y 0），求出切线l ：y=（x ﹣x 0）+y 0，通过|ON|=1，求出p=且﹣1＞0，求出|MN|2的表达式，利用基本不等式求解最小值以及p 的值即可． 【解答】解：（1）由题意得F （0，1），从而有C ：x 2=4y ．解方程组，得y A =﹣2，所以|AF|=﹣1．…（2）设M （x 0，y 0），则切线l ：y=（x ﹣x 0）+y 0，整理得x 0x ﹣py ﹣py 0=0．…由|ON|=1得|py 0|==，所以p=且﹣1＞0，…所以|MN|2=|OM|2﹣1=+﹣1=2py 0+﹣1=+﹣1=4++（﹣1）≥8，当且仅当y 0=时等号成立，所以|MN|的最小值为2，此时p=．…21．已知函数．（1）求y=f（x）的最大值；（2）当时，函数y=g（x），（x∈（0，e]）有最小值．记g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出f′（x）=（x＞0），通过判断函数的单调性，求解函数的最大值即可．（2）求出g′（x）=lnx﹣ax=x（﹣a），由（1）及x∈（0，e]：通过①当a=时，②当a∈[0，），分别求解函数的单调性与最值即可．【解答】解：（1）f′（x）=（x＞0），当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以当x=e时，f（x）取得最大值f（e）=．…（2）g′（x）=lnx﹣ax=x（﹣a），由（1）及x∈（0，e]得：①当a=时，﹣a≤0，g′（x）≤0，g（x）单调递减，当x=e时，g（x）取得最小值g（e）=h（a）=﹣．…②当a∈[0，），f（1）=0≤a，f（e）=＞a，所以存在t∈[1，e），g′（t）=0且lnt=at，当x∈（0，t）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（t，e]时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）的最小值为g（t）=h（a）．…令h（a）=G（t）=﹣t，因为G′（t）=＜0，所以G（t）在[1，e）单调递减，此时G（t）∈（﹣，﹣1]．综上，h（a）∈[﹣，﹣1]．…[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．已知C 1在直角坐标系下的参数方程为，以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，有曲线C 2：ρ=2cos θ﹣4sin θ． （Ⅰ）将C 1的方程化为普通方程，并求出C 2的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C 1和C 2两交点之间的距离． 【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）利用三种方程的互化方法，即可将C 1的方程化为普通方程，并求出C 2的直角坐标方程；（Ⅱ）求出圆心（1，﹣2）到直线的距离，即可求曲线C 1和C 2两交点之间的距离．【解答】解：（Ⅰ）C 1在直角坐标系下的参数方程为，消参后得C 1为y﹣2x+1=0．由ρ=2cos θ﹣4sin θ得ρ2=2ρcos θ﹣4ρsin θ．∴x 2+y 2=2x ﹣4y ， ∴C 2的直角坐标方程为（x ﹣1）2+（y+2）2=5..…（Ⅱ）∵圆心（1，﹣2）到直线的距离．∴．…。
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陕西省黄陵中学2019届高三数学上学期开学考试试题（重点班） 文
一、选择题（60分）
1.已知集合{}
{}12|,31|≤≤-=≤≤-=x x B x x M ，则M B =（ ）
A [-2,1] B.[-1,1] C.[1,3] D. [-2,3] 2.若0tan >α，则
A. 0sin >α
B. 0cos >α
C. 02sin >α
D. 02cos >α 3.设i i
z ++=
11
，则=||z ( ) A.
21 B. 22 C. 2
3 D. 2 4.已知双曲线)0(13
222>=-a y a x 的离心率为2，则=a ( )
A. 2
B.
26 C. 2
5
D. 1 5.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x ≥时()f x 的图像如图2所示，则()2f -=
A ．3-
B ．2-
C ． 1-
D ．2
6. 已知变量x ，y 满足约束条件20,
2,0,x y y x y +-≥⎧⎪
≤⎨⎪-≤⎩
则2z x y =+的最大值为
A ． 2
B ．3
C ．4
D ．6
7. 设函数()3x
f x e x =-，则 A ．3
x e
=
为()f x 的极大值点
B ．3
x e
=
为()f x 的极小值点 C ．ln3x =为()f x 的极大值点
D ．ln3x =为()f x 的极小值点
8. 已知直线0Ax y C ++=，其中,,4A C 成等比数列，且直线经过抛物线28y x =的焦点，则A C += A ．1-
B ．0
C ．1
D ．4
9，已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若f (3)＝2，则f (2 018)的值为( ) A ．2 B ．0 C ．－2
D ．±2
10，若函数f (x )＝a |x ＋1|
(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( )
A ．f (－4)>f (1)
B ．f (－4)＝f (1)
C ．f (－4)<f (1)
D ．不能确定
11，函数f (x )＝1
1＋|x |的图象是( )
12，方程|x 2－2x |＝a 2
＋1(a >0)的解的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．若变量
满足约束条件
则的最大值是________．
14．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值14.3，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为_____．（参考数据：2588.015sin = ，1305.05.7sin = ） 15．定义“等积数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积。
已知数列是等积数列，且=2，
前21项的和为62，则这个数列的公积为______. 16．在中，角所对的边分别为
，
，
的平分线交
于点D ，
且
，则
的最小值为________.
三、解答题(本大题共4小题,共40分) 17.(本小题满分10分)
已知f(α)=cos α
+sin α
.
(1)当α为第二象限角时,化简f(α); (2)当α∈(,π)时,求f(α)的最大值. 18.(本小题满分10分)
已知向量a=(2,sin θ)与b=(1,cos θ)互相平行,其中θ∈(0,). (1)求sin θ和cos θ的值; (2)若sin(θ-ϕ)=
,0<ϕ<,求cos ϕ的值.
19如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB =2， AD =
，∠BAD =90°．
（Ⅰ）求证：AD ⊥BC ；
（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值． 20、设椭圆(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B . 已知椭圆的离心率为
，点A 的
坐标为
，且
.
（I ）求椭圆的方程； （II ）设直线l ：
与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q . 若
(O为原点) ，求k的值.
1-4. BCBD
5-8.BDDA
9-12.AACB
13．3 14．24 15．0或8. 16．9
17解:(1)当α为第二象限角时,sin α>0,cos α<0,
f(α)=cos α+sin α
=cos α+sin α
=cos α·+sin =sin α-1+1-cos α=sin(α-).
(2)当α∈(,π)时,由(1)可得f(α)=sin(α-),
那么α-∈(,),则sin(α-)∈(,1].
所以f(α)的最大值为.
18解:(1)因为向量a=(2,sin θ)与b=(1,cos θ)互相平行,
所以sin θ=2cos θ,
又sin2θ+cos2θ=1,
由θ∈(0,),则sin θ=,cos θ=.
(2)因为sin(θ-ϕ)=,0<ϕ<,
又θ∈(0,),则-<θ-ϕ<,
则cos(θ-ϕ)===,
则有cos ϕ=cos[θ-(θ-ϕ)]=cos θcos(θ-ϕ)+sin θsin(θ-ϕ) =×+×=
19【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)；(Ⅲ)．
20、【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)或。