6.6 快速傅里叶变换
《快速傅里叶变换》课件
FFT的历史背景
01
1960年代，Cooley和Tukey提 出了基于“分治”思想的FFT 算法，为快速傅里叶变换的实 用化奠定了基础。
02
随后，出现了多种FFT算法的 变种和优化，如Radix-2、 Radix-4等。
03
随着计算机技术的发展，FFT 算法在硬件实现上也得到了广 泛应用，如FPGA、GPU等。
《快速傅里叶变换》ppt课件
contents
目录
• FFT简介 • FFT基本原理 • FFT实现 • FFT的应用 • FFT的优化与改进 • FFT的挑战与未来发展
01 FFT简介
FFT的定义
快速傅里叶变换（FFT）：一种高效计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换的 算法。它将复杂度为$O(N^2)$的DFT计算降低到$O(Nlog N)$，大大提高了计 算效率。
详细描述
混合基数FFT算法结合了基数-2和基数-4算法的特点，利用两者在计算过程中的 互补性，减少了计算量，提高了计算效率。同时，该算法在处理大规模数据时 ，能够保持较高的精度。
分段FFT算法
总结词
分段FFT算法将输入数据分成若干段，对每一段进行快速傅里叶变换，以降低计算复杂度和提高计算效率。
详细描述
02 FFT基本原理
离散傅里叶变换（DFT）
定义
应用
DFT是时间域信号到频域的变换，通 过计算信号中各个频率成分的幅度和 相位，可以分析信号的频谱特性。
DFT在信号处理、图像处理、频谱分 析等领域有广泛应用。
计算量
DFT的计算量随着信号长度N的增加 而呈平方关系增长，因此对于长信号 ，计算量巨大。
快速傅里叶变换的原理
快速傅里叶变换的原理快速傅里叶变换（FFT）是一种计算傅里叶变换的快速算法，它将傅里叶变换的复杂度从O(n^2)降低到O(n log n)，大大提高了计算效率。
快速傅里叶变换的原理是基于分治法和递归的思想，通过将一个长度为N的离散序列分成两个长度为N/2的子序列，然后将这些子序列分别进行快速傅里叶变换，最后再将它们合并起来，从而得到原序列的傅里叶变换结果。
快速傅里叶变换的原理可以通过以下步骤详细解释：1. 初始化：首先将输入的N个复数序列x(n)进行重排，以便使得序列中的奇数项和偶数项可以分别在计算时被独立处理。
这一步可以使用位逆序排列（bit-reversal permutation）算法来实现，将输入序列中的元素按照其二进制位反转的方法进行重新排列，使得后续计算能够高效地进行。
2. 分治处理：将N个复数序列x(n)分成两个长度为N/2的子序列，分别记为偶数项序列x_e(n)和奇数项序列x_o(n)。
分别对这两个子序列进行快速傅里叶变换，得到它们的傅里叶变换结果X_e(k)和X_o(k)。
3. 合并结果：利用蝶形算法（butterfly algorithm）将两个子序列的傅里叶变换结果X_e(k)和X_o(k)合并起来，得到原序列的傅里叶变换结果X(k)。
蝶形算法是一种迭代的方法，通过不断的蝶形运算将两个输入信号的频域信息进行合并，实现了快速的傅里叶变换。
以上三个步骤就构成了快速傅里叶变换的基本原理，通过将一个长度为N的复数序列进行分治处理，并利用蝶形算法将子序列的傅里叶变换结果合并起来，从而高效地得到原序列的傅里叶变换结果。
快速傅里叶变换的原理可以通过一个简单的例子进行解释。
假设有一个长度为8的复数序列x(n)={1, 2, 3, 4, 4, 3, 2, 1}，我们希望计算这个序列的傅里叶变换。
首先将输入序列按照位逆序排列，得到新的序列x'(n)={1, 3, 2, 4, 4, 2, 3, 1}，然后将x'(n)分成两个长度为4的子序列x_e(n)={1, 2, 4, 3}和x_o(n)={3, 4, 2, 1}。
试说明快速傅里叶变换的基本思路和原理
快速傅里叶变换的基本思路和原理一、引言快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的算法，用于计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换。
它通过将DFT计算中的复杂度从O(N^2)降低到O(N log N)，极大地提高了计算效率，成为信号处理、图像处理、通信等领域中的重要工具。
本文将介绍快速傅里叶变换的基本思路和原理，主要包括分治策略、递归实施、周期性和对称性、蝶形运算、高效算法等方面。
二、分治策略快速傅里叶变换的基本思路是将原问题分解为若干个子问题，通过对子问题的求解，逐步递归地得到原问题的解。
这种分治策略的思想来源于算法设计中的“分而治之”原则，即将一个复杂的问题分解为若干个较小的、简单的问题来处理。
在FFT中，分治策略将DFT的计算过程分为多个步骤，逐步简化问题规模，最终实现高效的计算。
三、递归实施递归是实现分治策略的一种常用方法。
在快速傅里叶变换中，递归地实施分治策略，将问题规模不断缩小，直到达到基本情况（通常是N=1或2），然后逐步推导到原问题。
递归实施使得FFT算法的代码简洁明了，易于实现和理解。
同时，递归也使得算法能够利用计算机的存储器层次结构，将计算过程中的中间结果存储起来，避免重复计算，进一步提高计算效率。
四、周期性和对称性在快速傅里叶变换中，利用了离散傅里叶变换的周期性和对称性。
周期性是指DFT的结果具有周期性，即对于输入序列x[n]，其DFT的结果X[k]具有N的周期性。
对称性是指DFT的结果具有对称性，即对于输入序列x[n]，其DFT的结果X[k]具有对称性。
这些性质在FFT算法中得到了广泛应用，它们有助于简化计算过程，提高计算效率。
例如，在蝶形运算中，利用周期性和对称性可以避免某些不必要的计算，从而减少运算量。
五、蝶形运算蝶形运算是快速傅里叶变换中的基本运算单元。
它利用离散傅里叶变换的周期性和对称性，将多个复数相加和相乘组合在一起，形成一个类似蝴蝶形状的运算流程。
蝶形运算的复杂度为O(log N)，是实现快速傅里叶变换的关键步骤之一。
快速傅里叶变换原理
计算离散傅里叶变换的一种快速算法,简称FFT。
快速傅里叶变换是1965年由J.W.库利和T.W.图基提出的。
采用这种算法能使计算机计算离散傅里叶变换所需要的乘法次数大为减少,特别是被变换的抽样点数N越多,FFT算法计算量的节省就越显著。
当用数字计算机计算信号序列x(n)的离散傅里叶变换时，它的正变换(1)反变换(IDFT)是(2)式中、x(n)和X(k)可以是实数或复数。
由上式可见,要计算一个抽样序列就需要做N次复数乘法运算及N-1次复数加法运算。
计算离散傅里叶变换的快速方法，有按时间抽取的FFT算法和按频率抽取的FFT算法。
前者是将时域信号序列按偶奇分排,后者是将频域信号序列按偶奇分排。
它们都借助于的两个特点:一是的周期性；另一是的对称性，这里符号*代表其共轭。
这样,便可以把离散傅里叶变换的计算分成若干步进行，计算效率大为提高。
时间抽取算法令信号序列的长度为N＝2M,其中M是正整数，可以将时域信号序列x(n)分解成两部分，一是偶数部分x（2n），另一是奇数部分x（2n+1），其中。
于是信号序列x(n)的离散傅里叶变换可以用两个N/2抽样点的离散傅里叶变换来表示和计算。
考虑到和离散傅里叶变换的周期性,式(1)可以写成(3)其中(4a)(4b)由此可见，式(4)是两个只含有N/2个点的离散傅里叶变换，G(k)仅包括原信号序列中的偶数点序列，H(k)则仅包括它的奇数点序列。
虽然k=0，1，2，…，N-1，但是G(k)和H(k)的周期都是N/2,它们的数值以N/2周期重复。
因为于是由式(3)和式(4)得到(5a)(5b)因此,一个抽样点数为N的信号序列x(n)的离散傅里叶变换，可以由两个N/2抽样点序列的离散傅里叶变换求出。
依此类推，这种按时间抽取算法是将输入信号序列分成越来越小的子序列进行离散傅里叶变换计算，最后合成为N点的离散傅里叶变换。
通常用图1中蝶形算法的信号流图来表示式(5)的离散傅里叶变换运算。
快速傅里叶变换
快速傅⾥叶变换快速傅⾥叶变换快速傅⾥叶变换（FFT ）是根据计算量的最⼩化原理来设计和实施离散傅⾥叶变换(DFT)计算的⽅法。
1965年，库利（T.W.Cooley ）和图基（J.W.tukey ）发表了著名的《计算机计算傅⾥叶级数的⼀种算法》论⽂。
从此掀起了快速傅⾥叶变换计算⽅法研究的热潮。
快速傅⾥叶变换（FFT ）的出现，实现了快速、⾼效的信号分析和信号处理，为离散傅⾥叶变换(DFT)的⼴泛应⽤奠定了基础。
1.1离散傅⾥叶变换(DFT)的计算设x(n)是⼀个长度为M 的有限长序列，则定义x(n)的N 点离散傅⾥叶变换为∑-===10)()]([)(N n kn NW n x n x DFT k X 其中由于计算⼀个X(k)值需要N 次复乘法和(N-1)次复数加法，因⽽计算N 个X(k)值，共需N2次复乘法和N(N-1)次复加法。
每次复乘法包括4次实数乘法和2次实数加法，每次复加法包括2次实数加法，因此计算N 点的DFT 共需要4N2次实数乘法和(2N2+2N ·(N-1))次实数加法。
当N 很⼤时，这是⼀个⾮常⼤的计算量。
1.2减少DFT 计算量的⽅法减少DFT 的计算量的主要途径是利⽤k N W 的性质和计算表达式的组合使⽤，其本质是减少DFT 计算的点数N 以便减少DFT 的计算量。
k N W 的性质：（1）对称性： (2)周期性： (3) 可约性： (4) 特殊点：选择其中⼀个证明N N j k N j N k N j N k N e e e W 222)2(22πππ--+-+==ππj k N j e e --=2k N j e π2--=k N W -=FFT 算法是基于可以将⼀个长度为N 的序列的离散傅⾥叶变换逐次分解为较短的离散傅⾥叶变换来计算这⼀基本原理的。
这⼀原理产⽣了许多不同的算法，但它们在计算速度上均取得了⼤致相当的改善。
0,1,,1k N =-()*nk nk N N W W -=()()nk N n k n N k N N NW W W ++==nk mnk N mN W W =//nk nk m N N mW W =01N W =/21N N W =-(/2)k N k N NW W +=-在这⾥讨论两类基本的FFT 算法。
快速傅里叶变换的原理及公式
快速傅里叶变换的原理及公式快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种快速计算离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）的算法。
DFT是将时域的离散信号转换为频域的频谱表示的技术，它在信号处理、图像处理、语音识别等领域有着广泛的应用。
FFT算法通过利用信号的特殊性质，提高了计算效率，使得在计算复杂度为O(NlogN)的时间内，完成了DFT的计算。
FFT的原理基于傅里叶级数展开的思想。
任何周期为T的信号，都可以用一组正弦信号和余弦信号的和来表示。
傅里叶级数展开公式如下所示：f(t) = A0 + Σ[Ak*cos(kω*t) + Bk*sin(kω*t)]其中，f(t)表示信号的时域表示，A0表示直流分量，Ak和Bk表示信号的谐波分量，ω=2π/T表示信号的角频率。
FFT算法的主要思想是将DFT的计算分解为多个较小规模的DFT计算。
假设原始信号的长度为N，当N为2的幂时，可以将信号分为两个长度为N/2的子序列。
通过对这两个子序列分别进行FFT计算，然后合并计算结果，就得到了原始信号的DFT。
FFT算法可以描述为分治法的一个典型应用。
通过将信号分为两个子序列，FFT的计算可以分为两个阶段：变址和蝶形算法。
变址阶段的目标是将原始信号重新排列成迭代结构的形式，这样方便后续的计算。
变址操作通过位逆序运算实现，即将信号的各个元素按照二进制位翻转顺序重新排列。
蝶形算法是FFT计算的核心部分。
蝶形算法通过将信号的DFT计算分解为一系列蝶形运算，每个蝶形运算只涉及到两个元素的计算。
一个蝶形运算可以表示为如下公式：Xk=Xk_0+W_N^k*Xk_1Xk+N/2=Xk_0-W_N^k*Xk_1其中，Xk和Xk+N/2表示将原始信号分为两部分计算得到的结果，Xk_0和Xk_1分别是这两部分的数据，W_N^k表示旋转因子，计算公式为W_N^k = exp(-2πi*k/N)。
快速傅里叶变换(FFT)的原理及公式
快速傅里叶变换(FFT)的原理及公式原理及公式非周期性连续时间信号x(t)的傅里叶变换可以表示为式中计算出来的是信号x(t)的连续频谱。
但是，在实际的控制系统中能够得到的是连续信号x(t)的离散采样值x(nT)。
因此需要利用离散信号x(nT)来计算信号x(t)的频谱。
有限长离散信号x(n)，n=0，1，…，N-1的DFT定义为：可以看出，DFT需要计算大约N2次乘法和N2次加法。
当N较大时，这个计算量是很大的。
利用WN的对称性和周期性，将N点DFT分解为两个N／2点的DFT，这样两个N／2点DFT总的计算量只是原来的一半，即(N／2)2+(N／2)2=N2／2，这样可以继续分解下去，将N／2再分解为N／4点DFT等。
对于N=2m点的DFT都可以分解为2点的DFT，这样其计算量可以减少为(N／2)log2N 次乘法和Nlog2N次加法。
图1为FFT与DFT-所需运算量与计算点数的关系曲线。
由图可以明显看出FFT算法的优越性。
将x(n)分解为偶数与奇数的两个序列之和，即x1(n)和x2(n)的长度都是N／2，x1(n)是偶数序列，x2(n)是奇数序列，则其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N／2点DFT。
由于X1(k)和X2(k)均以N／2为周期，且WN k+N/2=-WN k，所以X(k)又可表示为：上式的运算可以用图2表示，根据其形状称之为蝶形运算。
依此类推，经过m-1次分解，最后将N点DFT分解为N／2个两点DFT。
图3为8点FFT的分解流程。
FFT算法的原理是通过许多小的更加容易进行的变换去实现大规模的变换，降低了运算要求，提高了与运算速度。
FFT不是DFT的近似运算，它们完全是等效的。
关于FFT精度的说明：因为这个变换采用了浮点运算，因此需要足够的精度，以使在出现舍入误差时，结果中的每个组成部分的准确整数值仍是可辨认的。
为了FFT的舍入误差，应该允许增加几倍log2(log2N)位的二进制。
快速傅立叶变换算法
快速傅立叶变换算法快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，简称FFT）是一种高效的计算傅立叶变换的算法。
它是一种分治算法，通过将一个复杂度为O(n^2)的问题分解为两个复杂度为O(n/2)的子问题来降低算法的时间复杂度。
FFT在信号处理、图像处理、数字滤波等领域有广泛的应用。
傅立叶变换是一种将一个函数表示为一组基函数的线性组合的方法。
对于一个连续函数f(x)，其傅立叶变换F(k)定义如下：F(k) = ∫ f(x) * e^(-2πikx) dx其中，k为频率，e为自然对数的底。
对于离散的情况，我们可以将傅立叶变换表示为以下形式：F(k) = Σ f(n) * e^(-2πikn/N)其中，f(n)为输入序列，N为序列的长度。
离散傅立叶变换的计算复杂度为O(n^2)。
FFT通过利用傅立叶变换的对称性质以及一个重要的结论，蝴蝶运算，将O(n^2)的计算复杂度降低为O(nlogn)。
蝴蝶运算是指对序列进行分组，并对每个分组进行计算的过程。
具体而言，FFT的算法流程如下：1.输入序列f(n)（长度为N）。
2.如果N=1，返回f(1)。
3.将f(n)分成两个子序列，偶数项序列和奇数项序列。
4.分别对偶数项序列和奇数项序列进行FFT计算，得到两个子序列的FFT结果。
5.根据蝴蝶运算的原理，将两个子序列的FFT结果合并为整个序列的FFT结果。
具体的蝴蝶运算过程如下：1.输入两个长度为N/2的子序列A和B。
2.计算A和B的FFT结果，得到长度为N/2的序列A'和B'。
3.根据公式：F(k) = A'(k) + e^(-2πik/N) * B'(k)F(k+N/2) = A'(k) - e^(-2πik/N) * B'(k)计算整个序列的FFT结果F(k)和F(k+N/2)。
通过不断递归地进行上述过程，最终可以得到整个序列的FFT结果。
FFT算法的关键在于蝴蝶运算的实现。
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N 16 K 256
N 210 1024 K 1048576
反变换IDFT与DFT的运算结构相同，只是多乘一个常数 1/N，所以二者的计算量相同。 2
nk X (k ) DFT[ x(n)] x(n)WN n 0
N 1
k 0,1,
, N 1
展开成矩阵形式：
X Wx
x 0 1(N 1) W x 1 (N 1)(N 1) W x N 1 W
0(N 1)
01 X 0 W 00 W 10 11 X 1 W W (N 1)0 (N 1)1 X N 1 W W
p 如果将其变成 W N 编程较容易。
W
1
1 1
X 2
X 3
W
0 N
1 N
p的变化规律 :
W
1
X 4
X 5
2 WN
1
1
p J 2 J 0, 1, 2,
M L
x7
W
1
2 N
1 1
X 6 X 7
3 WN
,2
L 1
1
17
1
(3) 蝶形运算规律 第L级中，每个蝶形运算的两个输入数据相距B= 2L - 1个点 第L级中，不同的旋转因子数也是B= 2L - 1，相同旋转因 子的蝶形结间的距离为2L个点。
N N 2 把N点DFT分解为两组 点的DFT运算后再取 2
M
N log 2 N 次复数加。
N log 2 N FFT ，使 N 点 DFT 计算量减少到 2
次复数乘，
6
1. 算法的推导 将序列x(n) 按n的奇偶分解为两组，
x(2r ) x1 (r ) x(2r 1) x2 (r )
k=0, 1，…，N/2-1
蝶形运算
7
X (k )
N=4
N X (k ) 2 X (0) X1 (0) W40 X 2 (0) X1 (0) W40 X 2 (0)
X (2) X1 (0) W40 X 2 (0) X1 (0) W40 X 2 (0)
k=0, 1，…，N/2-1
X (k )
N / 21 r 0 2
N r 0, 1, , 1 2
N / 21 r 0 rk x ( r ) W 2 N 2
rk k x ( r ) W W 1 N N
k X1 (k ) WN X 2 (k )
N k X (k ) X 1 (k ) W N X 2 (k ) 2
J W 个蝶形。每个蝶形都要乘以因子 2L ，称其为旋转因子(单位
圆周上的点) 。
x0
x 4 x 2 x6 x1
x5
x3
1
0 WN
L=1, 2, … , M
X 0
观察图6-11不难发现，第L级共有2L - 1个不同的旋转因子。
1
X 1
W
0 N 2 N
m LN m WN WN W 6 W 2 W 9 W1
WN0 1 W
N 2 N
10 W 01 W 02 W 03 x 0 W 0 11 12 13 1 x 1 W W W W 0 21 22 23 1 x 2 W W W W 0 31 32 33 1 W W W x 3 W
相邻不同旋转因子的蝶形结间距离为1。 (4) 序列的倒序
对按时间抽取FFT的原位运 算结构，当运算完毕时，如X(k)依 照自然顺序排列，如正好顺序存 放着 X(0)，X(1)，X(2)，…，X(7)， 则输入序列 x(n)就不能按这种自 然顺序存入存储单元中，而是按 x(0)，x(4)，x(2)，x(6)， x(1)， x(5)，x(3)，x(7)的顺序存入存储 单元称为序列的倒序数，这正是 由于对x(n)做奇偶分开所产生的。
例如，N=210=1024时
DFT乘法数 N2 1048576 204.8 FFT 乘法数 ( N / 2) log2 N 5120
FFT显然要比直接法快得多。
15
3. 算法的特点 （1）原位计算 当数据输入到存储单元中以后，每一级蝶形运算的结果仍 然储存在原输入数据所占用的存储单元中，直到最后输出，中 间无需其它存储单元，这种蝶形计算输入和输出数据共占同一 存储单元的方法叫原位计算。
6.6 快速傅里叶变换（FFT）
DFT的快速算法FFT的思路
1、DFT的重要意义 解决了数字信号处理的基本问题（时频域均离散和有 限），给计算机编程提供了实用算法。使FS、FT、DFS、 DTFT都可以用计算机数值计算。 2、DFT的问题 难以实时快速，不能用于自动控制、同声传译、自动 追踪。只能用于数据的事后处理或系统模拟研究。 3、DFT计算速度提高：1965年，库利和图基总结并发展了 前人的研究成果,提出了一种快捷通用的DFT算法——快速 傅里叶变换FFT。
k 0,1,
, N 1
W
nk N
NN
n 0,1,
, N 1
3
2. 减少运算量的基本途径
nk （1）利用 WN e j 2 nk N
的特殊性，避免重复计算
N 2 N
0 N kN W 1 WN 1 WN 1 W 特殊性 N
m LN m W W 周期性 N N
1无需乘法计算
x0
x 4 x 2 x6 x1
x5
x3
1 1
X 0
X 1
W
0 N 2 N
N l 0, 1, , 1 4
(2) 将序列x2(r) 按r的奇偶分解分解成两个N/4长的子序列x5(l)和x6(l)，即
N l 0, 1, , 1 4
12
N点DFT分解成四个N/4点DFT(N=8)
13
N 82 x0
x 4 x 2 x6 x1
1
6.6.1 减少DFT运算量的基本途径 1. 有限长序列 x(n)进行一次DFT运算所需的运算量。
长度为N的有限长序列x(n)的DFT为
nk X ( k ) DFT[ x( n)] x( n)W N n 0 N 1
k 0,1,, N 1
一般，x(n)和WNnk都是复数，因此，每计算一个X(k)值，要 进行N次复数相乘，和N-1次复数相加， X(k)一共有N个点，故 完成全部DFT运算，需要 复数乘法次数：N 2 运算量与N2 成正比 复数加法次数：N(N-1)≈ N2
x1 0 x 0
x1 1 x 2
X1 0
X 1 1
X 0 x10 X 1 x12
1
原位计算的优点：可节省存储单元，降低设备成本， 还可节省寻址的时间。
16
(2) 旋转因子的变化规律 寻找旋转因子的变化规律，是编制FFT程序的关键。 如上所述，N点DIT―FFT运算流图中，每级都有N/2
5
(2) 把N点DFT分解为几个较短的DFT，可减少运算次数。
6.6.2 基2时域抽取法FFT算法 FFT算法基本上分为两大类： 时域抽取法FFT―DIT-FFT 频域抽取法FFT―DIF-FFT 设序列x(n)的长度为N， 所谓基2是指N满足N=2M，M为正整数。
和，每组再分成两半，依次分下去，直到分成两点。基于
x5
x3
3
L=1
L=2
L=3
X 0
X 1
0 WN
1
0 WN 2 WN
W
0 N
1 1
0 WN
1 WN
X 2
X 3
1
1
X 4
X 5
W
0 N
1
0 WN 2 WN
2 WN
1
1
x7
W
0 N
1 1
X 6 X 7
14
3 WN
1
1
N=8按时间抽取FFT运算流图
X 2 0 W
N=4
N 2 16
1 1
X 2
DFT X 1 W 1 4 2
X 3
1个DFT:4乘2加 8乘4加
0 2 1
1个蝶形：1乘2加 2乘4加
x1 0
x1 1
10乘8加
0 2 1
16乘16加
X1 0
X 1 1
X 1 (0) W x (0) W x (1) x1 (0) x1 (1) X 1 (1) W20 x1 (0) W21 x1 (1) x1 (0) x1 (1)
X (1) X1 (1) W41 X 2 (1) X1 (1) W41 X 2 (1)
X (3) X1 (1) W41 X 2 (1) X1 (1) W41 X 2 (1)
X 2 0 X
X 2 1
X 1 1
W41
W 0 1 W 2 1 W 4 1
WN
m
N 2
W
W 3 W 1 W 2 W 0
W1 e
j
2
j
1 1 1 1 x 0 1 j 1 j x 1 1 1 1 1 x 2 1 j 1 j x 3
1
9
x1 0 x 0
x1 1 x 2
X1 0
X 1 1
X 0
x2 0 x 1 x2 1 x 3
1
X 1
1 1
X 2
X 2 0 W40
1 W X 2 1 4