用“特殊值法”妙解“压轴题”
巧用“特殊值法”解题
这节课结束以后，我和学生们都很兴奋，觉得很 有收获．日本著名的教育家米山国藏曾说：“作为知 识的数学出校门不出两年可能就忘了，唯有深深铭 记在头脑中的是数学的精神、数学的思想、研究方法 等，这些随 时 随 地 发 生 作 用，使 人 们 终 身 受 益．”因 此，我认为评价一节数学课的好坏关键是看这节课 结束后，能否在数学的本质上给学生留下些有益的 东西，能否触动学生内心深处属于数学的那根弦． ２．１ 经历从平方数到勾股数的探究过程，发展学生
是一种具有创造性的方法，运用得当在遇到难题时 可能就会取得“出其不意”的效果．
参考文献： ［１］章林 海．揭 示 本 质，找 准 突 破，让 思 维 回 归 “自然”［Ｊ］．中学教研（数学），２０１７，（０５）． ［２］张正 华．特 值 法 在 高 中 数 学 中 的 特 殊 用 法 ［Ｊ］．高中数理化，２０１６，（Ｚ１）．
特殊值法的应用．这两种方法是对立统一的，在很多
试题（尤其是填空、选择题）通过常规方法解题有困
难时，特殊值法可能会起到事半功倍的效果．
通常来讲，选择、填空题具有覆盖面广、形式新
颖、内容丰富、解法灵活等特点，在考试中占有十分
重要的地位，并且选择题的解题时间分配量有限．因
此，掌握这类题的解法和技巧是十分必要的，而当某
解析：本题学生可以利用多项式乘多项式法则
展开计算，但作为填空题，计算量较大，比较耗时间，
还容易出错．观察题目特点，可以取特殊值 ｘ＝１代 入，则 ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋… ＋ａ１０ｘ１０ ＝ａ０ ＋ａ１ ＋ａ２ ＋… ＋ａ１０ ＝（１２ －１＋１）５ ＝１．
点拨：本题对条件中未知数 ｘ取特殊值不仅易
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专题11 一元一次方程特殊解的三种考法(解析版)-2024年常考压轴题攻略(7年级上册北师大版)
专题11一元一次方程特殊解的三种考法类型一、整数解问题键．10．已知关于x 的方程()43180m m x+-+=是一元一次方程．求：(1)m 的值．(2)先化简，再求值：()()22541223m m m m +---+【答案】(1)3m =-(2)710m -，31-【分析】（1）一元一次方程中，一次项指数为1，系数不为0，由此可解；（2）先去括号，合并同类项，再将m 的值代入求解．【详解】（1）解： 关于x 的方程()43180m m x +-+=是一元一次方程，∴41m +=，30m -≠，∴3m =-，3m ≠，∴3m =-；（2）解：()()22541223m m m m +---+22544426m m m m =+--+-710m =-，当3m =-时，原式()7310211031=⨯--=--=-．【点睛】本题考查一元一次方程的定义，整式的化简求值，解题的关键是根据一元一次方程中一次项指数为1求出m 的值．11．讨论方程||3|2|x k +-=的解的情况．【答案】当0k <，原方程无解；当0k =时，=1x -，或5x =-；当02k <<时，1=-x k ，或5x k =--，或1x k =--，或5x k =-；当2k =时，1x =，或7x =-，或3x =-；当2k >时，1=-x k ，或5x k =--【分析】分0k <，02k <<，2k =，2k >四种情况解析：当0k <时，原方程无解；当0k =时，原方程为|3|20x +-=，解为=1x -，或5x =-；当02k <<时，原方程为|3|2x k +=±，有四个解1=-x k ，或5x k =--，或1x k =--，或5x k =-；当2k =时，原方程为：|3|22x +=±，有三个解1x =，或7x =-，或3x =-；当2k >时，原方程为：3(2)x k +=±+，有两个解1=-x k ，或5x k =--．【详解】当0k <，原方程无解；当0k =时，原方程可化为：|3|20x +-=，解得=1x -，或5x =-；当02k <<，此时原方程可化为：|3|2x k +=±，此时原方程有四解：3(2)x k =-±±，即：1=-x k ，或5x k =--，或1x k =--，或5x k =-；当2k =时，原方程可化为：|3|22x +=±，此时原方程有三解：1x =，或7x =-，或3x =-；当2k >时，原方程有可化为：3(2)x k +=±+，此时原方程有二解：3(2)x k =-±+，即1=-x k ，或5x k =--．【点睛】本题主要考查了解绝对值方程等，解决问题的关键是熟练掌握绝对值的定义，绝对值的化简，分类讨论．。
巧借特殊值法,妙解高考真题
２０２３年８月上半月㊀学法指导㊀㊀㊀㊀巧借特殊值法,妙解高考真题◉张家港高级中学㊀黄㊀轶㊀㊀摘要:巧妙利用特殊值法,借助特殊值的选取,有时可以更加简捷地求解客观题．本文中结合２０２２年高考真题,剖析特殊值法的巧妙应用,总结特殊值法的解题技巧与规律．关键词:高考;特殊值;客观题;函数;三角;不等式㊀㊀特殊值法破解数学客观题,有其特殊的优势与美妙的体验,它是数学基础知识㊁基本技能㊁基本思想㊁基本活动经验等 四基 落实并上升到一定高度的特殊 产物 ,是特殊与一般思维的升华．特别在解决一些函数或方程㊁数列㊁三角函数或不等式等的选择题时,利用特殊值法,解题过程简洁明了,很好地提升解题速度与解题效益．下面结合２０２２年高考数学真题中一些客观题特殊值法的合理选用与巧妙应用加以剖析．１巧判函数图象例１㊀(２０２２年高考数学全国甲卷理科 ５)函数y ＝(３x －３－x)c o s x 在区间－π２,π２éëêêùûúú的图象大致为(㊀㊀)．A．㊀㊀B ．C ．D．分析:解决此类题的常用思维就是先根据函数的解析式判定函数的奇偶性,再借助特殊值的选取合理排除错误的选项．而此题两次利用函数特殊值的选取,即可将不满足函数值取值情况的图象完美地排除,实现巧妙判定函数图象的目的．解析:选取特殊值x ＝１,可得f (１)＝(３１－３－１)c o s １＞０,由此排除选项C ,D ;再选取特殊值x ＝－１,得f (－１)＝(３－１－３１) c o s (－１)＜０,由此排除选项B ．故选择答案:A ．点评:巧妙选取特殊值来判断函数或方程所对应的函数图象问题,将特殊值所对应的函数值情况与点的位置特征加以联系与对比,排除不合理的图象选项．对于单选题,在利用特殊值法巧判函数或方程所对应的函数图象问题时,经常要多次利用特殊值的巧妙选取来合理排除,直到剩下最后一个正确答案为止．２判定函数关系式例２㊀(２０２２年高考数学北京卷 ４)已知函数f (x )＝１１＋２x,则对任意实数x ,有(㊀㊀)．A．f (－x )＋f (x )＝０㊀B ．f (－x )－f (x )＝０C ．f (－x )＋f (x )＝１D．f (－x )－f (x )＝１３分析:解决此类题的常用思维就是利用题设给出的函数关系式,结合选项中对应函数关系式代入,通过指数运算与变形来转化与验证,进而得以正确判定．而此题选取特殊值加以验证即可正确判定,从而减少数学运算量,这也是一种不错的技巧方法．解析:由函数f (x )＝１１＋２x,选取特殊值x ＝０,可得f (０)＝１１＋２０＝１２,代入各选项中进行验证,选项B ,C 成立;又选取特殊值x ＝１,可得f (１)＝１１＋２１＝１３,f (－１)＝１１＋２－１＝２３,只有选项C 成立．故选择答案:C ．点评:在判定一些复杂函数关系式的成立问题时,为避免复杂的逻辑推理与繁杂的数学运算,经常借助一些特殊值的选取,代入函数关系式加以化简与求值,可以很好地优化解题过程,同时对于函数关系式的判定更加直接㊁有效．３４Copyright ©博看网. All Rights Reserved.学法指导２０２３年８月上半月㊀㊀㊀３求解相应函数值例３㊀(２０２２年高考数学新高考Ⅱ卷 ６)角α,β满足s i n (α＋β)＋c o s (α＋β)＝２２c o s (α＋π４)s i n β,则(㊀㊀)．A．t a n (α＋β)＝１B ．t a n (α＋β)＝－１C ．t a n (α－β)＝１D．t a n (α－β)＝－１分析:解决此类题的常用思维就是利用三角恒等变换公式对题设的三角函数方程加以变形与转化,进而结合化简的结果来分析与求解对应的三角函数值问题．而此题结合两次特殊值的选取,即可合理排除不满足条件的选取,简化公式变形与推理过程,优化数学运算．解析:s i n (α＋β)＋c o s (α＋β)＝２２c o s (α＋π４)s i n β．①选取特殊值β＝０,代入①式,得s i n α＋c o s α＝０,即t a n α＝－１;再将β＝０分别代入四个选项,由此可以排除选项A ,C ．选取特殊值α＝０,代入①式,可得s i n β－c o s β＝０,即t a n β＝１;再将α＝０分别代入四个选项进行验证,由此可以排除选项B ．故选择答案:D ．点评:这里很好地通过三角函数关系式中角的变化以及对应选项中的三角函数值不变的特征,利用两次特殊值的选取,结合选项中的三角函数值进行排除．借助特殊值法处理相关数学问题时,有时一次特殊值的选取不能直接达到目的,可以进行第二次特殊值的选取,直至剩下最后一个选项为止．４确定参数取值范围例４㊀(２０２２年高考数学浙江卷 ９)已知a ,b ɪR ,若对任意x ɪR ,a |x －b |＋|x －４|－|２x －５|ȡ０,则(㊀㊀)．A．a ɤ１,b ȡ３B ．a ɤ１,b ɤ３C ．a ȡ１,b ȡ３D．a ȡ１,b ɤ３分析:解决此类题的常用思维就是绝对值不等式的函数图象化处理思维㊁参数的分类讨论思维等,过程复杂,讨论繁多．而此题利用特殊值的选取,代入题设的绝对值不等式加以化简,利用含参不等式恒成立的条件确定参数的取值情况,结合各选项中的参数取值范围即可验证与确定．解析:选取特殊值x ＝４,由a |x －b |＋|x －４|－|２x －５|ȡ０,可得a |４－b |－３ȡ０．显然a ʂ０且b ʂ４,观察各选项可知,只有a ȡ１,b ɤ３符合这个结论．故选择答案:D ．点评:借助含参绝对值不等式中特殊值的选取,简化不等式,减少变量,借助不等式恒成立等相关知识确定相关参数的取值情况,再结合选项合理验证．在具体借助特殊值法确定参数取值范围的问题时,经常不能直接得到对应参数的取值范围,而是借助选项中参数不同取值范围加以验证与判断,合理排除,巧妙确定．５判断不等式成立例５㊀(２０２２年高考数学新高考Ⅱ卷 １２)(多选题)对任意x ,y ,x ２＋y ２－x y ＝１,则(㊀㊀)．A．x ＋y ɤ１B ．x ＋y ȡ－２C ．x ２＋y ２ɤ２D．x ２＋y ２ȡ１分析:解决此类题的常用思维就是不等式思维㊁配方思维或换元思维等,利用条件中的二元方程,结合基本不等式㊁完全平方公式或三角换元等方法来处理,解题过程较为繁琐．而此题利用特殊值法,根据满足二元方程条件下的特殊值的两次合理选取,即可正确排除对应的选项来达到正确判断的目的,简单快捷．解析:选取特殊值x ＝y ＝１,其满足方程x ２＋y ２－x y ＝１,则有x ＋y ＝２ɤ１不成立,故选项A 错误;再选取特殊值x ＝－y ＝３３,其满足方程x ２＋y ２－x y ＝１,则有x ２＋y ２＝２３ȡ１不成立,故选项D 错误;根据多选题 至少有两个选项是正确 的特征,故选择答案:B C ．点评:利用特殊值法破解一些数学的综合与创新问题时,有一定的 秒杀 效果,但要注意一般 可遇而不可求 ,不具有可推广性与普及性．如果一定要花大量时间去配凑特殊值,往往得不偿失．这里借助二元方程的结构特征,可以快速选取相应的特殊值来验证,综合多选题的特征,当确定其中两个选项为错误时,则另外两个选项肯定是正确答案．巧借特殊值法,可以在很大程度上简化繁杂的逻辑推理过程与复杂的数学运算过程,但也不能盲目任意选取特殊值,要吻合数学问题中特殊与一般思维之间的联系与转化,才能达到正确使用特殊值法的目的．巧妙借助特殊值法,能很好降低知识复杂层次,弱化基础知识难度,强化数学思想方法,优化数学解题过程,提升数学解题效益,节省宝贵考试时间,真正达到小题小做 小题巧做 小题快做 等良好解题效益．Z４４Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
高考解题特值法(浙江)
浙江高考“压轴小题”的“解题秘籍”------特值法1 一次让人惊喜的解题。
例1（2012年浙江理科第17题）设a R ∈，若0x >时均有2[(1)1][1)0a x x ax ----≥，则a =_________。
巧解：令1x =得到：(2)()0a a --≥，即02a ≤≤，再令2x =得到：[2(1)1](32)0a a ---≥，即2(32)0a -≤，得到32a =。
评注：这是2012年浙江数学高考理科填空题的最后一题，也就是我们说的“压轴小题”，先代了一个1x =，虽没有结果，但是参数a 范围大大缩小了，紧接着又代了一个2x =，答案竟然出来了。
这次让人惊喜的解题过程让我有了一个想法，是不是在浙江高考中还有这样的题目呢？不研究不知道，一研究吓一跳。
浙江最近几年大家普遍认为是难题的“压轴小题”，几乎都可以用特殊值来做。
笔者收集整理为下面几种典型情况，以飧读者。
2 特值法非常强大。
1.1 巧代特殊数字解决带参（包括多个参数问题）难题。
例 2 （2011年浙江理科第10题）设,,a b c 为实数，2()()()f x x a x bx c =+++，2()(1)(1)g x ax cx bx =+++，记集合{|()0,}S x f x x R ==∈，{|()0,}T x g x x R ==∈，若|S |，|T |分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能．．．的是( ) A ．|S |＝1且|T |＝0 B ．|S |＝1且|T |＝1 C ．|S |＝2且|T |＝2 D ．|S |＝2且|T |＝3 巧解：令1a b c ===时，2()(1)(1)0f x xx x =+++=所以1x =-，2()(1)(1)g x x x x =+++，所以1x =-，故B 可能。
令0,1,2a b c ===时，2()(2)0f x x x x =++=所以0x =，2()210g x x x =++=，无解，故A 可能。
特殊值法巧解数列题示例
特殊值法巧解数列题示例特殊值法在解决选择题与填空题中是比较常用的一种方法，在解题中能否灵活运用，体现了解题者的数学素养与能力.下面举例说明特殊值法(特殊数列、特殊数值)在解一些数列题中的应用.【例1】已知}{n a 是等比数列,且252,0645342=++>a a a a a a a n ，那么53a a +的值等于( )(A)5 (B)10 (C)15 (D)20【分析】取}{n a 为常数数列0>=a a n ，则由252645342=++a a a a a a 得254252=⇒=a a ，故5253==+a a a ，所以选A. 【例2】在等差数列}{n a 中,若45076543=++++a a a a a ,则=+82a a ( )(A)45 (B)75 (C)180 (D)300【分析】取}{n a 为常数数列a a n =，则由45076543=++++a a a a a 得904505=⇒=a a ,所以180282==+a a a ,所以选C.【例3】在各项均为正数的等比数列}{n a 中,若965=a a ,则=+++1032313log log log a a a ( )(A)12 (B)10 (C)8 (D)2+5log 3【分析】取}{n a 为常数数列0>=a a n ，则由965=a a 得392=⇒=a a ,所以103log 10log log log 31032313==+++a a a ,所以选B.如果解题者心中有数（具备特殊化思想），那么直接观察利用心算立即可得结果，可大大地提高解题速度，避免不必要的计算。
留心观察细事物，沙子也会变金银！【例4】等差数列}{n a 的前m 项和为30，前m 2项和为100，则它的前m 3项和为（ ）(A)130 (B)170 (C)210 (D)260【分析】取1=m 得100,30211=+=a a a ，从而求得702=a ，所以公差403070=-=d ，故11040703=+=a ，于是它的前m 3项和为2101107030321=++=++a a a ，选C.【例5】已知等差数列}{n a 的公差0≠d ,且931,,a a a 成等比数列,则1042931a a a a a a ++++的值是___________________.【分析】注意到931,,a a a 成等比数列,它们的下标1,3,9也成等比数列,所以设n a n =,则161310429311042931=++++=++++a a a a a a 为所求. 【例6】已知c b a ,,成等比数列,b x a ,,成等差数列,c y b ,,也成等差数列,则=+yc x a ___. 【分析】取c b a ==,则b x a ==,c y ==故=+yc x a 1+1=2. 从上可见,只要在解题过程中细心观察,抓住题目的主要特征,选取恰当的特殊数列或特殊数值,不但可简化解题过程,而且对磨练解题者的思维,提高观察分析问题的解题能力都有很大的作用.。
巧借特殊值，妙解客观题——2020年高考数学
３０° ３０° ｓｉｎ狀 ＋ｔａｎ狀
（ ） （ ） ６０° ６０°
６０° ６０°
Ｃ．３狀 ｓｉｎ狀 ＋ｔａｎ狀 Ｄ．６狀 ｓｉｎ狀 ＋ｔａｎ狀
分析：由于π的近似值是比较熟悉的，通过选取特
４２ Copyrigh高t©中博看网 . All Rights Reserved.
术”相似，数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数狀 充
分大时，计算单位圆的内接正６狀边形的周长和外切正
６狀 边形（各边均与圆相切的正６狀 边形）的周长，将它
们的算术平均数作为２π的近似值．按照阿尔·卡西的
方法，π的近似值的表达式是（ ）．
（ ） （ ） Ａ．３狀
３０° ３０° ｓｉｎ狀 ＋ｔａｎ狀
Ｂ．６狀
二、开放探究问题
例２ （２０２０年高考数学北京卷第１４题）若函数
犳（狓）＝ｓｉｎ（狓＋φ）＋ｃｏｓ狓 的最大值为２，则常数φ 的
一个取值为
．
分析：直接利用题目条件选取比较熟知的特殊值
φ＝
π，代 入 ２
三
角函
数关
系
式，利 用
诱
导
公式
加
以
转
化，得 到 相 应 的 三 角 函 数 解 析 式 满 足 条 件，从 而 即 为
与判断．
四、学科融合问题
例４ （２０２０年高考数学全国卷 Ⅱ 理科第１２题）０
－１周 期 序 列 在 通 信 技 术 中 有 着 重 要 应 用．若 序 列
犪１犪２…犪狀… 满足犪犻 ∈ ｛０，１｝（犻＝１，２，…），且存在正整 数犿，使得犪犻＋犿 ＝犪犻（犻＝１，２，…）成立，则称其为０－１ 周期序列，并称满足犪犻＋犿 ＝犪犻（犻＝１，２，…）的最小正整 数 犿 为这个序列的周期．对于周期为 犿 的０－１序列
特殊值法解题技巧(修正)
特殊值法解题技巧广东省和平县下车中学 刘玉燕特殊值法解题,可以绕开复杂的推理、运算,准确、快捷地得出答案。
在讲究解题速度的考试时使用能收到事半功倍的效果。
特殊值法解题的要点是: 1.在取值范围内取特殊值； 2.为使运算简便,一般所取的值应是绝对值较小的整数；3.将所取的值代入题中,通过运算、比较,得出答案。
下面常见的考试题用特殊值法来解，真是妙不可言。
一、填空题例 1. 已知点11(,)A x y ，22(,)B x y 在函数234yx x的图象上，若21330,22x x 则1y ，2y 具有的大小关系为______________分析：因为抛物线234yx x的对称轴是32x，由21330,22x x 易知A ，B 两点在抛物线对称轴的两侧，要确定1y ，2y 大小关系，通常要先把A ，B 点转移到对称轴的同一侧,再根据12,x x 的大小关系确定1y ，2y 大小关系.而若在取值范围内取12,x x 的特殊值，代入234yx x求出1y ，2y ，再比较，就很容易。
解: 21330,22x x 取213,1,x x 此时133310,22y213146, 2233344,64,y 故12y y例2．（1）若1a ，则21,,,a a a a从小到大排列为______________。
（2） 若01a ，则21,,,a a a a从小到大排列为______________。
分析：上题若用不等式的性质来解，容易造成混乱。
取特殊值后就很清晰。
解：（1）1,a 取2,a 则2112,,42aa a211224,2aaa a（2）01,a 取12a，则2111,2,.24a a a211112,.242aa aa二、选择题例 3已知一次函数(2)1y a x 的图象不经过第三象限，则化简296a a 的结果是（ ）（A ） 1 （B ） 1 （ C ）25a( D) 52a 分析：||a ，再由0,0,0a a a 确定结果。
专题06 一元二次方程特殊解的两种考法(解析版)-2024年常考压轴题攻略(9年级上册人教版)
∴ y 2 y 3 0 ，
∴ y20或y30， ∴ y 3 或 y= 2 （舍去），
∴ x1 3，x2 3 ； （2）解：∵实数 m，n 满足： m2 7m 2 0，n2 7n 2 0 ， ∴实数 m，n 是方程 x2 7x 2 0 的两个实数根， ∴ m n 7，mn 2 ，
0
令t
y x
，则 4t2
3t 1 0
因式分解得： (4t 1)(t 1) 0 ，解得 t 1 或 t 1，即 y 的值是 1 或 1
4
x
4
故答案为： 1 或 1． 4
【点睛】本题考查了利用换元法和因式分解法解一元二次方程，将已知等式进行正确变形是解题关键．
【变式训练 3】若 x y 1 x y 3 5 ，则 x y
∴ n m mn
m2 n2 mn
m n2 2mn
mn
72 2 2 2
45 ； 2
（3）解：设
2 x2
a，
y2
b，
∵
4 x4
2 x2
3,
y4
y2
3，
∴ a2 a 3，b2 b 3 ，∴ a2 a b2 b ，
∴ a2 b2 a b 0，∴ a ba b a b 0 ，
x
x 1
y
，那么原方程可化为（
）
A． y2 3y 1 0
B． y2 3 y 1 0
C． y2 y 3 0
D． y2 y 3 0 ．
【答案】A
【分析】设
x
x 1
y
，原方程中用
1 y
代替
x
1 x
，这样原方程转化为：
y
1 y
3
0
，然后把方程两边乘以
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用“特殊值法”妙解“压轴题”
作者：龚艳辉
来源：《数学教学通讯·中等教育》2014年第07期
摘要：解数学题时，如果直接解原题难以入手，不妨先考察它的某些简单特例，通过解
答特例，最终达到解决原题的目的. 这种思想方法，称为“特殊值法”. 本文探讨了“特殊值法”在“压轴题”中的运用.
关键词：特殊值法；压轴题；解题
解数学题时，如果直接解原题难以入手，不妨先考察它的某些简单特例，通过解答特例，最终达到解决原题的目的. 这种思想方法，称为“特殊值法”.
特殊值法的逻辑依据是：对于一般性成立的结论，特殊值必然成立，而当特殊值成立时一般性的结果未必成立. 虽然“特殊情形”只是“一般性结论”的必要条件，但若题目要求从若干结
论中选取一种时，特殊值法仍然不失为一种有效的方法.
基于上述考虑，特殊值法多用于解选择题.有时也可用于填空题，但需要更加慎重——必
须首先判断这是一个“一般性的结论”，即与题目所给的参数无关.运用该法能有效避免“小题大做”.
从中也可发现，特殊值法的实质是从满足题目所给条件的众多情形中选择的一种，以最少的代价换取成功. 既然如此，在符合“特殊值法”逻辑依据的前提下，也可将之运用于解答题，尤其是具有一定难度的“压轴题”，从而实现“大题小做”.
下面结合实例，探讨“特殊值法”在“压轴题”中的运用.
在压轴题中运用“特殊值法”，通常需要具备特殊的结构、特殊的数据或特殊的命题表述. 尽管“特殊值法”运用的条件限制较多，但这种“巧用”并非只是“雕虫小技”，需要敏锐的观察力，更需要严谨的逻辑判断能力. 一旦可以运用，就可以大大降低压轴题的难度，达到“四两拨千斤”的效果.
事实上，就压轴题本身而言，虽然通过一些常规的思路、通用的解法或许也能解决，但往往耗时费力. 在解题过程的某个关键环节中，有时需要打破传统“出奇制胜”，这正是压轴题之为“压轴”的含义所在. 就此而言，“特殊值法”给予我们更大的启示在于：充分挖掘解题信息，打破思维定式，寻求更优秀的解题之道，让思想充满灵气.。