07【数学】2.3《等差数列的前n项和(2)》课件(新人教A版必修5)

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人教版高中数学必修5(A版) 等差数列的前n项和 PPT课件

10 9 S10 10 500 50 7250 (万元 ) 2
答：从2001到2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250元。
等差数列的前 n 项和公式：
n（a1 an ) Sn 2 n（n 1) S n na1 d 2
问题：1.两个公式中共有几个量？
若一个数列的前 n项和为Sn pn2 qn, 其中p, q为常数，且p 0, 那么这个数列一定是等差数列吗？
若一个数列的前 n项和为Sn pn2 qn r (r 0), 其中p, q 为常数，且 p 0, 那么这个数列一定是等差数列吗？
小结：
1.知识点小结：1）等差数列的前
例1：2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校
校通”工程的通知》，某市计划从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于 “校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？解：由题可知，从2001年起各年投入的资金构成等差数列，设为{an }，则 a1 500, d 50 则到2010年，投入的资金总额为
16
等差数列的前 n 项和公式：
n（n 1) S n na1 d 2
d 2 d n (a1 )n 2 2
当
d 0 时， Sn 是 n的二
次函数形式，且常数项为 0
例2：已知一个等差数列{an }前10项的和是310，前20项的和是
解：由题意知代入公式得
1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？

高中数学必修五课件：2.3-2《等差数列的前n项和》(人教A版必修5)

3 11
n
n
7
2
3 7 11
∴当n=7时,Sn取最大值49.
5
等差数列的前n项的最值问题
例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值.
解法3 由S3=S11得 d=－2
∴ an=13+(n-1) ×(-2)=－2n+15
由
aann1
0
0
S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( B)
A.63 B.45 C.36 D.27
例2.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且
a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=A( )
A.85 B.145 C.110 D.90
12
等差数列{an}前n项和的性质的应用
例3.一个等差数列的前10项的和为100, 前100项的和为10,则它的前110项的和为－110 .
例8.设等差数列的前n项和为Sn,已知
a3=12,S12>0,S13<0. (1)求公差d的取值范围;
(2)指出数列{Sn}中数值最大的项,并说明
理由.
a1+2d=12
解:(1)由已知得 12a1+6×11d>0
13a1+13×6d<0
24 d 3 7
15
(2)
∵
Sn

na1

1 2

1)
(2)
n2 14n (n 7)2 49
∴当n=7时,Sn取最大值49.
4

等差数列的前n项和公式(2)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

3
即 S3m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210.
(2)由等差数列前
5
n 项和的性质,得
5
=
9( 1 + 9 )
2
9( 1 + 9 )
=
9
9
=
7×9
9+3
=
21
.
4
练习巩固
方法技巧利用等差数列前n项和的性质简化计算
(1)在解决等差数列问题时,先利用已知条件求出a1,d,再求所求,是基本解法
一、等差数列前n项和的函数特征
等差数列
的前n项
和公式转
移到二次
函数的过
程
等差数列
的前n项
①当A=0,B=0(即d=0,a1=0)时,Sn=0是关于n的常函数,{an}是各项
和公式与
为0的常数列.
二次函数
②当A=0,B≠0(即d=0,a1≠0)时,Sn=Bn是关于n的正比例函数,{an}为
的关系
各项非零的常数列.
2
2
(3)
课堂小结
课堂小结
等差数列 {an} 的通项公式
an dn (a1 d ).
等差数列 {an} 的前 n 项和公式
d 2
d
S n n (a1 ) n.
2
2
函
数
思
想
的和S3m为
.
解 (1)(方法1)在等差数列中,
∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,
∴30,70,S3m-100成等差数列.
∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210.
(方法
2 3
22
2)在等差数列中, ,

高中数学 2.3 等差数列的前n项和第2课时课件新人教A版必修5

时，Sn 最大．这是因为：当an>0时，Sn>Sn－1 ，即递增；当an<0时，
Sn<Sn－1，即递减．类似地，当a1<0，d>0时，则n为使an≤0成立的最大自然数时， Sn最小．
A．2 C．4 B．3 D．5
)
解析：∵S奇＝a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝15，S偶＝a2＋a4＋a6＋a8 ＋a10＝30，S偶－S奇＝5d＝15，∴d＝3. 答案：B
3．等差数列{an}的前n项和为Sn ，若S2 ＝2，S4＝10，则S6等
于(
)
A．12 C．24 B．18 D．42
解析：∵等差数列{an}的前n项和为Sn ，∴有S2 ，S4 －S2 ，S6 －S4成等差数列，∴2(S4－S2)＝S2＋(S6－S4)．整理得S6＝3S4－3S2 ＝3×10－3×2＝24. 答案：C
以及数形结合，从而使问题得解；(2)通项公式法：求使an≥0(或
an≤0)成立的最大n即可．这是因为：当an<0时，Sn<Sn－1，即单调递减．
一般地，等差数列{an}中，若a1>0，且Sp＝Sq(p≠q)，则①当 p＋q p＋q为偶数时，则n＝ 2 时，Sn最大；②当p＋q为奇数时， p＋q－1 p＋q＋1 则n＝ 2 或n＝ 2 时，Sn最大．
[例1] 若Sn表示等差数列的前n项和， ________.
S4 1 S8 ＝，则＝ S8 3 S16
[分析]
S4 可以设出首项a1与公差d，代入条件，进一 S8
S8 步求的值． S16 但是，我们注意到序号为4、8、16，可以考虑用性质来解．
S4 1 [解] ∵S ＝3，故设S4＝x，则S8＝3x. 8 由于S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列，且S4＝ x，S8－S4＝3x－x＝2x， ∴新数列公差为x. ∴S12－S8＝3x，S16－S12＝4x， ∴S12＝3x＋S8＝3x＋3x＝6x，而S16＝S12＋4x＝6x＋4x＝ 10x. S8 3x 3 ∴S ＝10x＝10.

高中数学人教A版必修5《等差数列》PPT课件

本节课主要学习：
一个定义： an-an-1=d（d是常数，n≥2， n∈N*）一个公式：an=a1+（n-1）d 一种思想：方程思想一个概念： A=a+b/2
方法二
由递推公式：an－an－1=d （d是常数，n≥2，n∈N*）
可得:
a2-a1=d
a3-a2=d a4-a3=d
……
an-an-1=d
列。这也是判断，证明一个数列是等差数列的一种方法。等差中项法
高中数学人教A版必修5《等差数列》P PT课件
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5.证明数列为等差数列的方法： (1)定义法： an an1 d (n 2) (2)等差中项法：2an an1 an1(n 2)
解法一
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证明： 1 , 1 , 1 成等差数列 abc
2 11 b ac
bcba bcabac2
ac
a
c
(a b c)(1 1) 2 ac
(a b c) 2 2 b
2(a c) 2b 2 bb
4
4 an1
(n
1)记bn
1 an 2
（1）求证：数列bn 是等差数列；
（2）求数列an 的通项公式
构造法
解：（2）由（1）知，b n
1 2
(n 1)
1 2
n 2
bn
1 an 2
an
1 bn
2
2 n
2
求数列通项公式的方法：
（1）公式法；
（2）累加法；an1 an f (n)
（3）累乘法；an1 f (n)

【课件】第1课时等差数列的前n项和公式说课课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

人教A版普通高中教科书数学选择性必修第二册第四章《数列》第二单元《等差数列》
第3课时等差数列的前n项和
等差数列的前n项和
一、教材内容分析---（一）教材地位和作用
新人教版A版选择性必修第二册教材第四章第二单元
一、教材内容分析---（一）教材地位和作用
概念，通项公式，性质承上
等差数列前n项和
二、教学目标分析---（一）课程标准
课程目标： 1.探索并掌握等差数列的前n项和公式；
2.理解等差数列通项公式与前n项和公式的关系。
二、教学目标分析---（二）学情分析
已有知识：函数的研究路径、等差数列的定义、通项公式及其性质
探究方法：经历了研究函数的一般路径
能力水平：学生已经具备一定的抽象、推理、类比等能力
三、教学分析---(三)教学思路
环节四：归纳小结，形成结构小结归纳不仅是对知识的简单回顾，还要发挥学生的主体地位，应该让学生和教师共同完成。对此，我设计了三个问题：（1）推导等差数列前n项和公式时，用了哪些方法？（2）等差数列的前n项和公式有几种形式？分别具有什么几何意义？它们与平均数、等差数列的通项公式又分别有什么关系？（3）你能画出本节课的知识结构图吗？
一、教材内容分析---（一）教材地位和作用
一、教材内容分析---（二）育人价值
数学史问题情境归纳、猜想、
证明
抽象问题,形成数学模型
数学抽象、逻辑推理、数学运算核心素养
通过创设数学史小故事问题情境，学生通过归纳，猜想，证明，经历数学抽象，建立数学模型，发展其数学抽样，逻辑推理，数学运算的核心素养。
环节二：探索求和规律，演绎“推”公式
等差数列的前项和n公式：
如果等差数列{an}的首项a1，公差为d ，那么该等差数列的前n

等差数列的前n项和公式课件(第二课时)-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

若 a1＞0，d＜0，则 Sn 必有最_大___值，其 n 可用不等式组aann≥＋1≤0，0 来确定；若 a1＜0，d＞0，则 Sn 必有最_小___值，其 n 可用不等式组aann≤＋1≥0，0 来确定．
(2) 二次函数法
在等差数列{an}中，由于 Sn＝na1＋n(n2－1) d＝d2 n2＋a1－d2 n，则可用求二次函数最值的方法来求前 n 项和 Sn 的最值，其中，n 的值可由 n∈N*及二次函数图
Sn
13n
1 2
n(n
1) (2)
n2 14n
(n 7)2 49
故当n=7时, Sn取最大值49.
解法2: 由S3=S11, 得d=－2<0 则Sn的图象如下图所示
Sn
3 7 11 n
∴图象的对称轴为 n 3 11 7 2
故当n=7时, Sn取最大值49.
1.已知等差数列{an}中, a1=13且S3=S11, 求n取何值时, Sn取最大值.
解法3: 由S3=S11, 得d=－2<0
∴an=13+(n-1) ×(-2)=－2n+15
由
an an1
0
0
,
得
n n
15 2 13 2
故当n=7时, Sn取最大值49.
解法4: 由S3=S11, 得
a4+a5+a6+……+a11=0
而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8
∵n N*,∴1 n 30. ∴集合M的元素是由1至59共30个奇数组成.
∴这些元素的和为30(1 59) 900. 2
课本P24
*5.已知数列{an }的通项公式为an

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补充例题. 求集合 M m | m 7n, n N 且m 100 的元素个数，并求这些元素的和。
解：由 7 n 100
100 2 n 得, 14 7 7
∴正整数共有14个即 M 中共有14个元素即：7，14，21，…，98 是 a1 7 为首项 a14 98 的等差数列 14 (7 98) 735 ∴ Sn 2 答：略
代入①得：
②
则
所以有
（ n n 1 ） 2 S n a1n d 3n n 2
a1 4
d 6
例3. 已知数列 an 的前项和 2 为 sn n 1 2 n , 求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?
n
例4．己知等差数列 5,
例2. 己知一个等差数列｛an｝前10项的和是310,前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗?
a1 an 解：由题意知 S10 10 310 2 得 a1 a10 62；
a1 a20 S20 20 1220 2
①
所以
a1 a20 122； ②-①，得 10 d 60
2 4 4 , 3 ,… 7 7
பைடு நூலகம்
的前n项和为Sn, 求使得Sn最大的序号n的值.
2 4 解:由题意知,等差数列5, 4 , 3 , …的公差 7 7
5 n 为 7,所以sn= 2
[2×5+(n-1)(
7 5n 5n 2 14
5 7
)]
15 2 1125 n- 2 ) + 56
=
=

5 ( 14
二
兴宁市第一中学温展平
复习回顾
等差数列前n项和公式
n(a1 an ) Sn 2
n(n 1) S n na1 d 2
公式的推证用的是倒序相加法在两个求和公式中,各有五个元素,只要知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另两个元素.
例1. 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”的工程通知》.某市据此提出了实施 “校校通”小学工程校园网.据测算,2001年该市用于 “ 校校通”的总目标:从2001年起用10年的时间,在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加 50万元.那么从2001年起的未来10年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少?
作业布置
P52~53. 习题2.3 A组第4题或B组第2题