现代控制理论

倒立摆系统模型： 状态：x = [ y
& & y θ θ ]T
⎡ 0⎤ ⎡0 1 0 0 ⎤ ⎢ 1⎥ ⎢0 0 − 1 0 ⎥ ⎥ x + ⎢ ⎥u & x = Ax + Bu = ⎢ ⎢ 0⎥ ⎢0 0 0 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 11 0⎦ ⎣− 1⎦ ⎣ y = Cx = [1 0 0 0] x
小车的位移是可以直接测量的。 设计的状态观测器，可以得到整个状态的估计。也得 到了小车位移的估计。 问题：对所有状态分量都估计是否必要？ 计算量？精度？ 降阶观测器！
降阶观测器设计 考虑单输出系统
& x = Ax + Bu y = Cx
假定矩阵C具有形式[1 0]，将系统状态x分 划成两部分：
⎡xa ⎤ x=⎢ ⎥ ⎣ xb ⎦
可得响应曲线
1 0.5 x1 x2 0 -0.5 15 10 x3 5 0 -5 0 -1 e2 -2 -3 0 2 4 6 8 e1 0 2 4 6 8
0.5 0 -0.5 -1 -1.5 1.5 1 0.5 0 0 2 4 6 8
0
2
4 t(sec)
6
8
0
2
4 t(sec)
6
8
总结：全阶观测器VS降阶观测器：
+( Bb − LB a )u
引进记号：
x b − Ly = x b − Lx a = w ~ − Ly = ~ − Lx = w ~ xb xb a ˆ A − LA = A
bb ab
ˆ ˆ AL + Aba − LAaa = B ˆ B − LB = F
b a
则降阶观测器模型是
~ ˆ~ ˆ & ˆ w = Aw + By + Fu
第1步：对象的一个状态空间实现为
0 ⎤ ⎡0 1 ⎡ 0 ⎤ 1 ⎥ x + ⎢ 10 ⎥ u x = ⎢0 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 −24 −10 ⎥ ⎢ −80 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ y = [1 0 0] x
检验能控、能观性
10 −80 ⎤ ⎡ 0 Γ( A, B ) = ⎡ B AB A2 B ⎤ = ⎢ 10 −80 560 ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ −80 560 −3680 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ C ⎤ ⎡1 0 0 ⎤ Γ（A, C）= ⎢ CA ⎥ = ⎢0 1 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 2 ⎢CA ⎥ ⎢0 0 1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ rank (Γ( A, B )) = 3, rank (Γ（A, C） = 3 )
其中，
要配置的闭环极点为
λ1,2 = −2 ± j 2 3, λ3 = −6
则可得状态反馈增益矩阵
K = [90 29 4]
若只有系统的输出是可以直接测量的，则需 要设计一个降阶观测器。 降阶观测器是2阶的，要求的极点是
μ1 = −10, μ2 = −10
进行分块：
⎡ x1 ⎤ ⎡ xa ⎤ ⎢ ⎥ x = ⎢ ⎥ = ⎢ x2 ⎥ , ⎣ xb ⎦ ⎢ x ⎥ ⎣ 3⎦
L = [ −1 6.25] '
进一步得到控制器的传递函数
1.0212s 2 +11.1237s +25.11 Gs = s 2 +5.996s +2.1295
显然控制器是稳定控制器，令初始条件
⎡ x(0) ⎤ ⎢ e(0) ⎥ = [1 0 0 1 0] ' ⎣ ⎦
基于模型
⎡ x ⎤ ⎡ A − BK ⎢e ⎥ = ⎢ 0 ⎣ ⎦ ⎣ ⎤ ⎡ x⎤ Abb − LAab ⎥ ⎢ e ⎥ ⎦⎣ ⎦ BK b
所以系统能控、能观
第2步：由于只有系统的输出y也就是状态变 量x1可测量，则我们可以通过设计一个基于 降阶观测器的输出反馈控制器来使得系统渐 近稳定。 为此，首先选择一组闭环极点
λ1,2 = −1 ± j 2, λ3 = −5
因为降阶观测器为2阶的，故有两个观测器 极。选择极点为
μ1 = μ2 = −10
~ = w + Ly xb ~
由于
~ = ⎡ x a ⎤ = ⎡ y ⎤ = ⎡ y ⎤ = ⎡0 ⎤ w + ⎡ 1 ⎤ y ~ x ⎢ ~ ⎥ ⎢~ ⎥ ⎢ ~ ⎢ L⎥ x b ⎦ ⎣ x b ⎦ ⎣ w + Ly ⎥ ⎢ I ⎥ ⎣ ⎦ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣
基于状态估计值的反馈控制器是
u = − K~ x ⎛ ⎡0 ⎤ ~ ⎡ 1 ⎤ ⎞ = −[K a K b ]⎜ ⎢ ⎥ w + ⎢ ⎥ y ⎟ ⎜ I ⎟ ⎣ ⎦ ⎣ L⎦ ⎠ ⎝ ~ = − K b w − ( K a + K b L) y
则有
e = xb − xb = ( Abb − LAab )( xb − xb ) + L[ Aab xb − ( xa − Aaa xa − Ba u )] = ( Abb − LAab )e
基于观测器的反馈控制器设计
⎡ xa ⎤ ⎡ xa ⎤ x = Ax − BKx = Ax − BK ⎢ ⎥ = Ax − BK ⎢ xb ⎦ xb − e⎥ ⎣ ⎣ ⎦ ⎛ ⎡0⎤ ⎞ ⎡0⎤ = Ax − BK ⎜ x − ⎢ ⎥ ⎟ = Ax − BKx + B [ Ka Kb ] ⎢ ⎥ ⎣e ⎦ ⎝ ⎣e ⎦ ⎠ = ( A − BK ) x + BKbe
结合误差方程可得：
⎡ x ⎤ ⎡ A − BK ⎢e ⎥ = ⎢ 0 ⎣ ⎦ ⎣ ⎤ ⎡ x⎤ Abb − LAab ⎥ ⎢ e ⎥ ⎦⎣ ⎦ BK b
闭环增广系统的特征多项式为：
⎛ ⎡ A − BK det ⎜ λ I − ⎢ ⎣ 0 ⎝ ⎤⎞ ⎥ ⎟ = det ( λ I − A + BK ) det ( λ I − Abb + LAab ) Abb − LAab ⎦ ⎠ BK b
第3步：借助Matlab软件求L和K
• • • • • • • • • • • • • • • %计算状态反馈增益矩阵 A=[0 1 0;0 0 1;0 -24 -10]; B=[0;10;-80]; C=[1 0 0]; J=[-1+j*2 -1-j*2 -5]; K=acker(A,B,J) %计算观测器增益矩阵 Aaa=0; Aab=[1 0]; Aba=[0 0]'; Abb=[0 1;-24 -10]; Ba=0; Bb=[10;80]; V=[-10 -10]; L=acker(Abb',Aab',V)
1. 基于观测器的控制器设计的必须条件：系统可 观、 可控。 2. 不存在可直接测量状态变量，采用全阶观测器 存在 部分可直接测量状态时，采用降阶观测器。 3. 当输出量存在不可忽略噪声，最好采用全阶观测 器，因为它有一定滤波的作用。 4. 基于降阶控制器设计必须要验证控制器是否稳定， 若不稳定，需要重新调整观测器、控制器希望极 点。 5. 出现降阶控制器不稳定情形，首先调整观测器极 点，使之向右方移动。
其中 x a 是一个标量，对应的恰好是系统的 输出，xb 是状态向量中不能直接测量的 部分。
对状态空间模型进行类似分划：
& ⎡ x a ⎤ ⎡ Aaa Aab ⎤ ⎡ x a ⎤ ⎡ B a ⎤ ⎢x ⎥ = ⎢ A ⎥ ⎢ x ⎥ + ⎢ B ⎥u ⎣ & b ⎦ ⎣ ba Abb ⎦ ⎣ b ⎦ ⎣ b ⎦ ⎡xa ⎤ y = [1 0] ⎢ ⎥ ⎣ xb ⎦
由此可得：
& x a = Aaa x a + Aab xb + Ba u
& x a − Aaa x a − Ba u = Aab xb
& x b = Aba x a + Abb xb + Bb u
= Abb xb + ( Aba xa + Bbu )
可以考虑新的状态空间模型：
& x b = Abb x b + ( Aba x a + Bb u )
闭环极点由状态反馈配置的闭环极点和降阶观测 器的极点组成。 求解降阶观测器的Matlab命令：
L=(acker(Abb’,Aab’,V))’ L=(place(Abb’,Aab’,V))’
例：考虑系统
⎧ x = Ax + Bu ⎨ ⎩ y = Cx
1 0⎤ ⎡0 ⎡0⎤ A=⎢ 0 0 1 ⎥ , B = ⎢0 ⎥ , C = [1 0 0] ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −6 −11 −6 ⎥ ⎢1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
~ ~ & ˆ ˆ ˆ ˆ w = ( A − FK b ) w + [ B − F ( K a + K b L)] y ~ u = − K w − ( K + K L) y
b a b
u
B
∫∑
A
x
C
y
ˆ F
ˆ C
-K
~ w
∫
ˆ A
ˆ B
~ x
ˆ D
基于状态观测器的反馈控制器
误差模型：
⎧ xb = Abb xb + Aba xa + Bbu ⎨ ⎩ xb = ( Abb − LAab ) xb + Aba xa + Bbu + L( xa − Aaa xa − Ba u )
⎡ x2 ⎤ u = −516 y − [ 29 4] ⎢ ⎥ ⎣ x3 ⎦
例6.3.2 考虑负反馈调节器系统，其中装置的传递
函数为
• 解： （1） 导出系统的状态空间模型
G(s) =
10( s + 2) s ( s + 4)( s + 6)
（2）选择希望的闭环极点进行极点配置， 同时选择希望的观测器极点。 （3）确定状态反馈K和观测器增益矩阵L （4）利用（3）步得到的增益矩阵K和L，构造出基于观 测器的输出反馈控制器，若控制器是稳定的，则检 验闭环控制系统对初始条件的响应，如响应不满 意，这调整闭环极点和观测器极点的位置，直到获 得满意的响应为止。