递归

递归算法
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递归算法
什么是递归 递归调用的实现原理 递归经典例题
递归定义


在定义一个过程或函数时出现调用本过 程或本函数的成分,称之为递归。 若调用自身,称之为直接递归。 若过程或函数p调用过程或函数q,而q又调 用p,称之为间接递归。
何时用到递归 以下三种情况常常用到递归方法。
1 定义是递归的 2 数据结构是递归的 3 问题的解法是递归的
int main() { int a[1000]; f(6,a,0); return 0; }
经典问题：整数划分
要求：如果对上一个题改一下要求，求解一共多少种划分方 法，如果不用上一种思路，请再尝试另一种递归解决方案
经典问题：整数划分






整数划分问题是算法中的一个经典命题之一，有关这个问题的讲述在 讲解到递归时基本都将涉及。所谓整数划分，是指把一个正整数n写成 如下形式： n=m1+m2+...+mi; （其中mi为正整数，并且1 <= mi <= n） ，则{m1,m2,...,mi}为n的一个划分。 如果{m1,m2,...,mi}中的最大值不超过m，即 max(m1,m2,...,mi)<=m，则称它属于n的一个m划分。这里我们记 n的m划分的个数为f(n,m); 例如但n=4时，他有5个划分， {4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1}; 注意4=1+3 和 4=3+1被认为是同一个划分。 该问题是求出n的所有划分个数，即f(n, n)。下面我们考虑求f(n,m) 的方法; 1.递归法：
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f (int a[], int begin, int n) if (begin==n) return 0; else return a[begin]+f(a,begin+1,n);
{
经典例题：组合问题
从n个球（不同色）中取m个（不放回），有 多少种取法
（这种题跟上次做过的乒乓球问题有点相似，假如取3个球的话， 也许有人想到三层循环嵌套，但有局限性而且效率差，如果 取球个数较大就不适合用循环了，那么怎么化成有相似性规 模较小的问题呢？） 思路：假设有一个球为红球，则在m个球里可能取到也可能没 取到，总共只有这两种情况。 int f ( int n, int m) { if (n==0) return 0; if (n<m) return 0; if (n==m) return 1; return f (n-1,m-1) + f (n-1 , m); }


递归过程在实现时，需要自己调用自己。 每一次递归调用时，需要为过程中使用的参 数、局部变量等另外分配存储空间。 层层向下递归，退出时的次序正好相反： 递归次序 n! (n-1)! (n-2)! 1! 0!=1 返回次序 因此，每层递归调用需分配的空间形成递归 工作记录，按后进先出的栈组织。
函数调用与递归实现
2 数据结构是递归的
对于递归数据结构，采用递归的方法编写算法既 方便又有效。例如，拿一个最简单的例子，求一 个不带头结点的单链表L的所有域（假设为int型） 之和递归算法如下：
int Sum (LinkList * L) {
if (L==NULL )return 0;
else return L->data+Sum(L->next); }
经典问题：整数划分
根据n和m的关系，考虑以下几种情况： (1)当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有一种划分即{1}; (2)当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n个1，{1,1,1,...,1}; (3)当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况： (a)划分中包含n的情况，只有一个即{n}； (b)划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。 因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1); (4)当n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于f(n,n); (5)但n>m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为两种情况： (a)划分中包含m的情况，即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和为n-m，因此这情况下 为f(n-m,m) (b)划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为f(n,m-1); 因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1); 综上所述： f(n, m)= 1; (n=1 or m=1) f(n,m) = f(n, n); (n<m) 1+ f(n, m-1); (n=m) f(n-m,m)+f(n,m-1); (n>m)
经典问题：整数分化问题
分析 :
把一个正整数n分成n=x+y，若使 x=n，可求出一种划分，再使x递减， 令x是划分好的数，按此方法继续对y继续进行分解，以此类推，直到 x=0（不包含 x=0）为止，这样就求出了所有划分。 在分解时应保证分解数x有序，即上一次的x要大于等于这一次的x，以避 免求出元素相同但位置不同的结果。
经典问题：求n个元素全排列
void f(int a[],int k,int n) { #include <iostream> if(k==n) using namespace std; { for(int i=0;i<n;i++) void f(int a[],int k,int n); cout<<a[i]<<' '; int main() cout<<endl; { } int a[5]={1,2,3,4,5}; for(int j=k;j<n;j++){ f(a,0,5); {int temp1=a[k];a[k]=a[j];a[j]=temp1;} f(a,k+1,n); return 0; {int temp2=a[k];a[k]=a[j];a[j]=temp2;} }
经典问题：整数分化问题
void f(int n) { //6 //5。。。f(1) //4。。。f(2) //… }
一开始最先想到的就是这一种大体递归结 构，先把第一位确定了，剩下的部分进一 步划分。 但是可以发现参数传达信息太少，只是对 某一个数字进行划分，打印出它的所有划 分，但是这个划分可能会打印多项，并且 没有返回值。 那么一般解决思路就是增加一个缓存、变 量来记录当前特征。 比如3+3, 3+2+1, 3+1+1+1 当第二个3 确定后才开始打印，前面的分解过程 （3+3）需要记录下来
递归算法解题通常有三个步骤：



1）分析问题、寻找递归：找出大规模问题 与小规模问题的关系，这样通过递归使问 题的规模逐渐变小。 2）设置边界、控制递归：找出停止条件， 即算法可解的最小规模问题。 3）设计函数、确定参数：和其它算法模块 一样设计函数体中的操作及相关参数。
递归过程与递归工作栈

} 为了不破坏初始局面，每次交换后还需换回来，用到 回溯
经典问题：整数分化问题

问题描述：
例如，对于正整数n=6，可以分划为： 6 5+1 4+2, 4+1+1 3+3, 3+2+1, 3+1+1+1 2+2+2, 2+2+1+1, 2+1+1+1+1 1+1+1+1+1+1 现在的问题是，对于给定的正整数n,编写算法打印所有划分。 用户从键盘输入 n （范围1~10） 程序输出该整数的所有划分。
1 定义是递归的
有许多数学公式、数列的定义是递归的。例如，阶乘 函数或者Fibonacci数列等，求解这类问题可以将其递归 定义直接转化为对应的递归算法。
1, 当n 0时 n! n (n 1)!, 当 n 1时
求解阶乘函数的递归算法 long Factorial ( long n ) { if ( n == 0 ) return 1; else return n*Factorial (n-1); }
3.问题的求解方法是 递归的
有些问题的解法是递归的，典型的就是汉诺塔问题。
设Hanoi (n,x,y,z)表示将n个盘片从X移动到Z上，递归的分解过程就是先 按照移动规则将（n-1）个从X移到Y，再将第n个从X移到Z，再按规则将 （n-1）个从Y移动到Z void hanoi(int n,char x,char y,char z) { if(n==1) move(1,x,z); else{ hanoi(n-1,x,z,y); move(n,x,z); hanoi(n-1,y,x,z); } }
2 数据结构是递归的
有些数据结构是递归的，例如单链表就是一种递 归数据结构，其节点类型定义如下：
typedef struct LNode
{
ElemType data; struct LNode *next; }LinkList; 该定义中，结构体LNode 的定义用到了自己本身， 即指针域next是一种指向自身类型的指针，所以 它是一种递归数据结构。
3+3, 3+2+1,3+1+1+1
经典问题：整数划分
void f (int n, int a[], int k) { if(n<=0) { for(int i=0;i<k;i++) cout<<a[k]<<' ';cout<<endl; return; //a[]装着历史上已经分解好的每个元素 } //k表示当前从数组的哪一个位置开始处理 for(int j=n;j>=0;j--) { if(k>0 && j>a[k-1])continue;//元素中后一个数字不能大于前一项 a[k]=j; f(n-j,a,k+1); } }