《古典概型》学案1(人教B版必修3)

古典概型
☆学习目标：1.通过实例，理解古典概型及其概率计算公式；
2.会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．☻知识情境：
1. 随机事件的概念
（1）必然事件：每一次试验的事件，叫必然事件；
（2）不可能事件：任何一次试验的事件，叫不可能事件；
（3）随机事件：随机试验的每一种或随机现象的每一种叫的随机事件,简称为事件.
2.事件的关系
①如果A ⋂B为不可能事件(A ⋂B=∅), 那么称事件A与事件B互斥.
其含意是:事件A与事件B在任何一次实验中同时发生.
②如果A ⋂B为不可能事件,且A ⋃B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件.
其含意是:事件A与事件在任何一次实验中发生.
☻知识生成：我们来考察两个试验：试验①掷一枚质地均匀的硬币; 试验②掷一枚质地均匀
的骰子.在试验①中, 结果只有个, 即 ,它们都是随机事件, 即相等;
试验②中, 结果只有个, 即 , 它们都是随机事件, 即相等;
我们把这类事件称为基本事件(elementary event)
1. 基本事件的概念:一个事件如果事件，就称作基本事件.
基本事件的两个特点: 10.任何两个基本事件是的；
20.任何一个事件(除不可能事件)都可以.
例如(1)试验②中,随机事件“出现偶数点”可表示为基本事件的和.
a b c d中, 任意取出两个不同字母的这一试验中，
(2)从字母,,,
所有的基本事件是：,共有个基本事件.
2. 古典概型的定义
古典概型有两个特征：
10.试验中所有可能出现的基本事件；
20.各基本事件的出现是，即它们发生的概率相同．
将具有这两个特征的概率称为古典概型(classical models of probability).
注：在“等可能性”概念的基础上，很多实际问题符合或近似符合都这两个条件，即, 都可以作为古典概型来看待．
3. 古典概型的概率公式, 设一试验有n个等可能的基本事件，而事件A恰包含其中的m个
基本事件，则事件A的概率P(A)定义为：
.
例如 在试验②中,基本事件只有 个,且都是随机事件,即各基本事件的出现是 的,
又随机事件A =“出现偶数点”包含有 基本事件.所以()P A =
=.
☆案例探究：
例1 掷两枚均匀硬币，求出现两个正面的概率．
分析: 所有的基本事件是： , 这里 个基本事件是等可能发生的，故属古典概型．
所以, ．
例2一次投掷两颗骰子，求出现的点数之和为奇数的概率．
解法1 设 = “出现点数之和为奇数”，
用 记“第一颗骰子出现 点，第二颗骰子出现
点”，6,...2,1,=j i ． 显然出现的n =个基本事件组成等概样本空间，
其中 包含的基本事件个数为m =
= ， 故()P A =
． 解法2若把一次试验的所有可能结果取为： ，
则它们组成 样本空间. 基本事件总数n =
,包含的基本事件个数m =,
故()P A =． 解法3 若把一次试验的所有可能结果取为： ，也组成 样本空间，
基本事件总数n = ,包含的基本事件个数m =,故()P A =．
特别提示:①找出的基本事件组构成的样本空间，必须是等概的．
如：解法2中倘若解为：(两个奇)，(一奇一偶)，(两个偶)当作基本事件组成样本空间，
②本例又告诉我们，同一问题可取不同的样本空间解答．
例3 从含有两件正品12,a a 和一件次品1b 的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，
连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。

解：
例4 现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：
（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率．
特别提示:①注意放回抽样与不放回抽样的区别.
②关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作
是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，
否则会导致错误．
参考答案:
1. 随机事件的概念
（1）必然事件：每一次试验都一定出现的事件，叫必然事件；
（2）不可能事件：任何一次试验都不可能出现的事件，叫不可能事件；
（3）随机事件：随机试验每一种结果或随机现象的每一种表现叫的随机事件,简称为事件.
1. 基本事件的概念:一个事件如果不能再被分解为两个或两个以上事件，就称作基本事件.
基本事件的两个特点:
10.任何两个基本事件是互斥的；
20.任何一个事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
古典概型有两个特征：
10.试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
20.各基本事件的出现是等可能的，即它们发生的概率相同．
例1 掷两枚均匀硬币，求出现两个正面的概率．
分析: 所有的基本事件是：甲正乙正，甲正乙反，甲反乙正，甲反乙反, 这里个基本事件是等可能发生的，故属古典概型．
所以, n=4, m=1, P=1/ 4 ．
例2一次投掷两颗骰子，求出现的点数之和为奇数的概率．
解法1设=“出现点数之和为奇数”，
用记“第一颗骰子出现点，第二颗骰子出现点”，6
j
i．
,=
2,1
,...
n=36个基本事件组成等概样本空间，
显然出现的
其中包含的基本事件个数为m==，
故。

解法2若把一次试验的所有可能结果取为：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），则它们组成等概样本空间. 基本事件总数n=,包含的基本事件个数m=,
故()P A =． ，故 。

解法3 若把一次试验的所有可能结果取为：{点数和为奇数}，{点数和为偶数}，也组成等概
样本空间，基本事件总数n = ,包含的基本事件个数m =,故()P A =．
所含基本事件数为1，故 。

例3解：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6
个，即（a 1，a 2）和，（a 1，b 2），（a 2，a 1），（a 2，b 1），（b 1，a 1），（b 2，a 2）。

其中小括号 内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产用A 表示“取出
的两种中，恰好有一件次品”这一事件，则A=[(a 1，b 1），（a 2，b 1），（b 1，a 1），（b 1，a 2）] 事件A 由4个基本事件组成，因而，P （A ）=64=32
例4分析：（1）为返回抽样；（2）为不返回抽样．
解：（1）有放回地抽取3次，按抽取顺序（x,y,z ）记录结果，则x,y,z 都有10种可能，
所以试验结果有10×10×10=103
种；设事件A 为“连续3次都取正品”， 则包含的基本事件共有8×8×8=83
种，因此，P(A)= 33
108=0.512． （2）解法1：可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录（x,y,z ），
则x 有10种可能，y 有9种可能，z 有8种可能，
所以试验的所有结果为10×9×8=720种．
设事件B 为“3件都是正品”，则事件B 包含的基本事件总数为8×7×6=336,
所以P(B)= 720336
≈0.467．
解法2：可以看作不放回3次无顺序抽样，先按抽取顺序（x,y,z ）记录结果，
则x 有10种可能，y 有9种可能，z 有8种可能，
但（x,y,z ），（x,z,y ），（y,x,z ），（y,z,x ），（z,x,y ），（z,y,x ），是相同的，
所以试验的所有结果有10×9×8÷6=120，
按同样的方法，事件B 包含的基本事件个数为8×7×6÷6=56，
因此P(B)= 12056≈0.467．。