第四章 振动
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大学物理——第4章-振动和波
A sin1 + A sin2 2 tan = 1 A cos1 + A cos2 1 2
合成初相 与计时起始时刻有关.
v A 2
ω
v A
2
O
x2
1
v A 1
x1
xx
分振动初相差2 1与计时起始时刻无关,但它对合成振幅 是相长还是相消合成起决定作用.
20
讨 论
2 A = A2 + A2 + 2A A2 cos(2 1) 1 1
F = kx
3
l0
k
m
A
F = kx = ma
k 令ω = m
2
A x = Acos(ωt +)
o
x
积分常数,根据初始条件确定
a = ω2 x
dx = ω2 x dt 2
2
dx υ = = Aω sin( ωt +) dt
dx 2 a = 2 = Aω cos(ωt +) dt
4
2
x = Acos(ωt +)
15
π
例 4-3 有两个完全相同的弹簧振子 A 和 B,并排的放在光滑 的水平面上,测得它们的周期都是 2s ,现将两个物体从平衡 位置向右拉开 5cm,然后先释放 A 振子,经过 0.5s 后,再释 放 B 振子,如图所示,如以 B 释放的瞬时作为时间的起点, (1)分别写出两个物体的振动方程; (2)它们的相位差是多少?分别画出它们的 x—t 图.
5cm
O
x
16
解: (1)振动方程←初始条件
x0 = 0.05m, υ0 = 0 , T = 2s
2π ω= = π rad/s T
2 υ0 2 A = x0 + 2 = 0.05m ω υ0 对B振子: tan B = = 0 B = 0 x0ω
合成初相 与计时起始时刻有关.
v A 2
ω
v A
2
O
x2
1
v A 1
x1
xx
分振动初相差2 1与计时起始时刻无关,但它对合成振幅 是相长还是相消合成起决定作用.
20
讨 论
2 A = A2 + A2 + 2A A2 cos(2 1) 1 1
F = kx
3
l0
k
m
A
F = kx = ma
k 令ω = m
2
A x = Acos(ωt +)
o
x
积分常数,根据初始条件确定
a = ω2 x
dx = ω2 x dt 2
2
dx υ = = Aω sin( ωt +) dt
dx 2 a = 2 = Aω cos(ωt +) dt
4
2
x = Acos(ωt +)
15
π
例 4-3 有两个完全相同的弹簧振子 A 和 B,并排的放在光滑 的水平面上,测得它们的周期都是 2s ,现将两个物体从平衡 位置向右拉开 5cm,然后先释放 A 振子,经过 0.5s 后,再释 放 B 振子,如图所示,如以 B 释放的瞬时作为时间的起点, (1)分别写出两个物体的振动方程; (2)它们的相位差是多少?分别画出它们的 x—t 图.
5cm
O
x
16
解: (1)振动方程←初始条件
x0 = 0.05m, υ0 = 0 , T = 2s
2π ω= = π rad/s T
2 υ0 2 A = x0 + 2 = 0.05m ω υ0 对B振子: tan B = = 0 B = 0 x0ω
第4章 振动系统的运动微分方程
(d)
分析杆 AB ，列写 AB 的运动微分方程，如图（c）
m2 &x&C = − X A
(e)
m2 &y&C = −YA − m2 g
(f)
1 12
m2l 2ϕ&&
=
X
A
l 2
cosϕ
+ YA
l 2
sin ϕ
(g)
运动学方程
xC
=
xA
+
l 2
sin
ϕ
,
x&C
=
x& A
+
l ϕ& cosϕ 2
yC
=
−
l cosϕ , 2
y& C
=
l ϕ& sinϕ 2
&x&C
=
&x&A
−
l ϕ& 2 2
sin ϕ
+
l ϕ&& cosϕ 2
(h)
&y&C
=
l ϕ&& sin ϕ 2
+
l ϕ& 2 2
cos ϕ
(i)
上述 9 个方程包含 &x&A ,ε , &x&C , &y&C ,ϕ&&, X A ,YA , F, N 等 9 个未知量，由上述 9 个方程消去
解：系统具有两个自由度，选图示 AB 与铅垂线的夹角ϕ 及圆轮中心 A 的位移 xA 为广
义坐标。
分析圆轮 A ，受力图如图（b）所示。列写圆轮 A 的运动微分方程：
第四章 振动学基础§4.2简谐振动的图示法.讲解
cos(t) x 1
A2
t π 或 5π
33
由旋转矢量图可知 t π
3
v A sint
A
o A Ax
2
0.26m s1
（负号表示速度沿 Ox轴负方向）
2019/6/11
重庆邮电大学理学院
17
（3）如果物体在 x 0.05m 处时速度不等于零，而是具有 向右的初速度 v0 0.30m s，1 求其运动方程.
A
aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
由图看出：速度超前位移 π 加速度超前速度 2
位移与加速度 Δ π 称两振动反相
若 0 称两振动同相
8、 在谐振动的合成中，用旋转矢量非常方便。
总之20，19/6旋/11 转矢量法在大学物重庆理邮电，大电学理路学院分析，等学科中有广泛15应用
例4.2.4 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度
22
重庆邮电大学理学院
418
例4.2.5、一作简谐振动的物体，其振动曲
x/m
线如图所示。试写出该振动的表达式。
解：振动方程为 x Acos(t )
0.01
由振动曲线可知，振幅为 A 0.02 m
t = 0 时，
x0
A 2
0.01m
O
1
t/s
且其初始速度 v0 0
0.02
y
作旋转矢量图，如右图。
)
2
0 a v
(t )
2
v Asin(t )
x an r 2 A2
a
an
i
(t ) an i cos
微振动
通过吸收外力源能量来补充。
单位时间从外力源吸收的能量I=克服阻力
在单位时间内做的功。即
一个周期(
)内能量的平均值：
——吸收对频率的依赖关系(色散)
I ：平均能量吸收率
当共振时 ( 0) ：
f2 4m
I
达到极大值
I max
——共振吸收
当 时，I 降到最大值的一半。 若用S表示与 I 类似的某一物理量，它依赖与外来 频率 。设S在 0时达到共振，则
二、阻尼振动
实际的振动：存在阻尼。 阻尼的作用：使机械运动的能量耗散，转化为热能，使 机械运动停止(无外力时)。 此时： 1.对振动系统，不再是保守系，不能引入势能函数；
2.不能肯定运动物体的状态只是该瞬时它的坐标和速度
的函数(因为此时要考虑介质本身的运动，介质和物 体内部的热状态)。
力学中的运动方程不存在(因为前面已假定，只要同
例：电磁场中坡印廷矢量
，不是
三、受迫振动
设：振子受到一个随时间变化的外场力 则： 在平衡位置附近展开 ： 的作用
(确定平衡位置时，不考虑外场) 上式中， 只是t的函数，对方程无贡献，略去。
令
，则
由拉格朗日方程，得到运动方程：
因
令
——关于X的一阶微分方程
由F(t)=0得到与上式对应的齐次方程：
再通过变易系数法解得非齐次方程的解：
2 / 4 S ( ) S0 ( 0 )2 2 / 4
——布雷特－维格纳分布
i2max4fim??i??0???i若用s表示与频率?类似的某一物理量它依赖与外来时达到共振则0???24???????
第四章 微振动
微振动：很常见的一种物理现象 定义：振动是指系统对平衡位形(势能有极小值的位 形)的某种周期性偏离。
单位时间从外力源吸收的能量I=克服阻力
在单位时间内做的功。即
一个周期(
)内能量的平均值：
——吸收对频率的依赖关系(色散)
I ：平均能量吸收率
当共振时 ( 0) ：
f2 4m
I
达到极大值
I max
——共振吸收
当 时，I 降到最大值的一半。 若用S表示与 I 类似的某一物理量，它依赖与外来 频率 。设S在 0时达到共振，则
二、阻尼振动
实际的振动：存在阻尼。 阻尼的作用：使机械运动的能量耗散，转化为热能，使 机械运动停止(无外力时)。 此时： 1.对振动系统，不再是保守系，不能引入势能函数；
2.不能肯定运动物体的状态只是该瞬时它的坐标和速度
的函数(因为此时要考虑介质本身的运动，介质和物 体内部的热状态)。
力学中的运动方程不存在(因为前面已假定，只要同
例：电磁场中坡印廷矢量
，不是
三、受迫振动
设：振子受到一个随时间变化的外场力 则： 在平衡位置附近展开 ： 的作用
(确定平衡位置时，不考虑外场) 上式中， 只是t的函数，对方程无贡献，略去。
令
，则
由拉格朗日方程，得到运动方程：
因
令
——关于X的一阶微分方程
由F(t)=0得到与上式对应的齐次方程：
再通过变易系数法解得非齐次方程的解：
2 / 4 S ( ) S0 ( 0 )2 2 / 4
——布雷特－维格纳分布
i2max4fim??i??0???i若用s表示与频率?类似的某一物理量它依赖与外来时达到共振则0???24???????
第四章 微振动
微振动：很常见的一种物理现象 定义：振动是指系统对平衡位形(势能有极小值的位 形)的某种周期性偏离。
第四章振动和波动_1机械振动
A＝
x02
v0
2
求A，然后由
x0=Acos v0=-Aωsin 两者的共同部分求 。
［例1］：一弹簧振子系统，弹簧的劲度系数为k=0.72N/m， 物体的质量为m=20g。今将物体从平衡位置沿桌面向右拉长 到0.04m处释放，求振动方程。
解：要确定弹簧振子系统的振动方程，只要确定A、ω和即可。
由题可知，k=0.72N/m，m=20g=0.02kg，x0=0.04m，v0＝0， 代入公式可得
＝ k 0.72 6rad s1
m 0.02
A
x02
v02
2
0.042
02 62
0.04m
又因为x0为正，初速度v0＝0，可得
0
因而简谐振动的方程为：
x 0.04cos(6t) (m)
一、简谐运动 1、弹簧振子
2、弹簧振子运 动的定性分析
B→O：弹性力向右，加速度向右，加速；
O→C：
向左，
向左，减速；
C→O：
向左，
向左，加速；
O→B：
向右，
向右，减速。
物体在B、C之间来回往复运动
3、物体作简谐运动的条件
物 体 的 惯 性 ——阻止系统停留在平衡位置 作用在物体上的弹性力——驱使系统回复到平衡位置
v dx Asin( t )
dt
a
d2x dt 2
2 Acos(
t
)
说明：
• 物体在简谐运动时，其位移、速度、加速度都是周期性
变化的
• 简谐运动不仅是周期性的，而且是有界的，只有正弦函 数、余弦函数或它们的组合才具有这种性质，这里我们采
第四章(第2,3节) 两自由度系统的振动
1 cos 3
k t 2 cos m3
5k t 2m
x2
1 3
cos1t
1 3
cos2t
1 cos 3
k t 1cos m3
5k t 2m
▲若初始条件符合第一阶固有振型，则运动是按固有频
率▲若1的初简始谐条振件动符，合不第出二现阶频固率有振2的型振，动则；运动是按固有频
▲率若2的给简出谐的振任动意，初不始出条现件，1的则振运动动；将为两种固有振型的
1) 1)
C2 sin(2t 2 ) C2r2 sin(2t
2
)
x1 x2
C11 cos(1t C1r11 cos(1t
1) 1)
C22 cos(2t 2 ) C2r22 cos(2t
2
)
式中四个常数C1, C2和1, 2，由上面的四个(4方.3程-1)
0 C11 cos1 C22 cos2
0 C11 cos1 0.5C22 cos2
4.3 任意初始条件的自由振动
例题：求解初始条件的响应（例4.3-1）
求得
C1=1/3，C2=2/3，1=2= 90
代入方程(4.1-17)，得
x1
1 3
cos1t
2 3
cos2t
于是得到两个固有频率为
1
g, l
2
g l
2
k m
a2 l2
4.3 任意初始条件的自由振动
例题：求解固有频率、固有振型和初始条件的响应（例4.3-2）
系统的固有振型可以由下面方程求出
i2
ml 2
振动讲义
2）简谐运动的动力学描述
d2x dt 2
2x
3）简谐运动的运动学描述 x Acos(t )
（在无外驱动力的情况下） v A sin(t )
➢ 简谐运动的特征 a 2 x
弹簧振子 k m 单摆 g l
（由振动系统本身物理性质决定）
第四章 振动
§4.1 简谐振动
医学物理学 （第七版）
0同步 x
π 反相
x
超前
为其它
落后
x
o
o
o
t
t
t
§4.1 简谐振动
4、常数 A 和 的确定
x Acos(t )
v A sin(t )
医学物理学 （第七版）
初始条件 t 0 x x0 v v0
x0 A cos v0 Asin
A
x02
v02
2
tan v0 x0
对给定振动系统，周期由系统本身性质决定， 振幅和初相由初始条件决定.
讨论
A1 cos1 A2 cos2
（1）相位差 2 1 2k π (k 0 ，1，L )
同相
A A1 A2
振动加强
（2）相位差 2 1 (2k 1) π (k 0 ，1，L )
反相 A A1 A2
振动减弱
（3）一般情况 A1 A2 A A1 A2
第四章 振动
§4.3 简谐振动的合成
医学物理学 （第七版）
x
(2
A1
cos2π
2
1
2
t
)
cos2π
2
1
2
t
振幅部分
合振动频率
振动频率 (1 2 ) 2
振幅
A
2 A1
普通物理A(1) 课程指导 第4章《振动》
N
2
cost
N 1
2
2
14
7. 分别敲击某待测音叉和标准音叉，使它们同时发音，听到时强时弱 的拍音．若测得在20 s内拍的次数为180次，标准音叉的频率为300 Hz， 则待测音叉的频率为______________．
拍频: 单位时间内强弱变化的次数 2 1 ( 2 1)
设1 300 Hz 则有： 2 1 9，或者1 2 9 2 309 Hz，或者 2 291Hz
0.08
O
-0.04
1
x1 t (s)
2 x2
x1
0.08 c os (t
2
),
x2
0.04 c os (t
) 2
A2
0
x
A
A1
10
6. N个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅相等，初相分别为0, , 2, ..., 依次差一个恒量 ，求合振动的振幅。
x1 Acost x2 Acos(t ) x3 Acos(t 2)
4
1. 一质点作简谐振动，周期为T．当它由平衡位置向x轴正方向运 动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时 间为
(A) T /12． (B) T /8． (C) T /6． (D) T /4．
旋转矢量法
[C ]
首先画出二分之一最大位移处旋转矢量图，
然后，再画最大位移处旋转矢量图。
设所求的时间为t，则有
(1) 质点的振动方程； (2) 质点在A点处的速率．
AB
x
解： 3
4
4
t = 0时， x 5cm Acos
A 5 5 2 cm
cos(3 / 4)
∴ 振动方程
x 5 2 102 cos(t 3) (SI) 44
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切向运动：
O
mg
d g 0 2 R dt
2
2
dt
令：
g R
2
d 2 0 2 dt
是简谐运动。
（3）简谐运动的速度：
dx v A sin( t ) vm cos( t ) dt 2
（4）简谐运动的加速度：
dv 2 a A cos( t ) am cos( t ) dt
am A 称为加速度幅。
2
加速度与位移反相位。
d 2x k x 2 m dt
d x k x 2 dt
ห้องสมุดไป่ตู้
2
令
k m
d x 2 x0 2 dt
2
运动方程
x A cos(t )
积分常数，根据初始条件确定
简谐运动： 物体的运动遵从余弦（或正弦）规律。
简谐运动的三项基本特征：
F kx 2 d x 2 x 2 dt x A cost
m T 2 k 2
k m
结论：弹簧振子的振动频率和周期仅与振子本身的性 质（k 和 m）有关，而与其它因素无关。
由振动系统本身的固有属性所决定的频率和周 期称为固有频率和固有周期。 （3）（ t + ) ：振动的“相位 ”。
：振动的“初相位 ”。
（4）振幅A、初相位 的确定
由初始条件求解振幅和初相位： 设 t = 0时，振动位移：x = x0 振动速度：v = v0
x A cos ( t )
v A sin ( t )
xo A cos
vo A sin
xo A cos
x
2 o
2 2
vo
A sin
2 2
v
2 o 2
A (sin cos ) A
x0
2
A
v0
2
vo tg xo
x0 0, v0 0 : 在第I象限 x0 0, v0 0 : 在第II象限 x0 0, v0 0 : 在第III象限 x0 0, v0 0 : 在第IV象限
拍皮球时，球的运 动 是否是简谐振 动?
单 摆
P116例4－2证明单摆小角度的摆动为谐振动.
解: 小球受力如图,
取摆角θ向右为正. 重力矩与θ相反.
由转动定律,有
d mgl sin J ml 2 d t 2
2 2
θ
即
d g sin 0 2 d t l
θ很小时,有
2 ω ωA A
x, v, a
x
A
O
a
v
O
A
t
T
比较：
a A cost
2
x A cost
a x
2
即
d x 2 x 2 dt
2
结论：作简谐运动的质点，其加速度与位移恒 成正比，而方向相反。
4-1-2 描述简谐运动的物理量
x A cost
x2 x1 同相
t
（1）当
两振动步调相同，称同相。
x A1 同时达到正的最大，同时达到负的 A2 o
最大，同时越过平衡位置并且方向 相同。
（2）当 (2k 1) .....(k 0,1,2....)
两振动步调相反，称反相。 一个达到正的最大，另一个达到负的最大， 同时越过平衡位置但方向相反。
(1)弹簧振子的运动 弹簧振子： 一根轻弹簧和一个刚体构成的一个 振动系统。
根据胡可定律：
（a） 在弹性限度内，弹性力F 和位移x 成正比。 （b） 弹性力F 和位移x 恒反向，始终指向平衡位置。
F kx
（k为劲度系数）
F o x x
回复力： 始终指向平衡位置的作用力 (2)简谐运动方程 由牛顿第二定律： F m 得:
（1）A ：振幅 ，（最大位移，x =±A ）
2 2 （2） ：角频率 ， （圆频率） T
频率 ：单位时间内完成全振动的次数。 周期 T：完成一次全振动所经历的时间。
1 T 或 T 2 1
2
弹簧振子的频率:
弹簧振子的周期:
1 ν 2 2
x A1 A2 o x1 x2 反相 t
（3）当
k .....(k 0,1,2....)
称之为不同相，此时就有超前落后之分
0
Q超前于P或P落后于Q P 超前于Q或Q 落后于P 同相位
2 1
0 0
x o
A1 A2
振
x1
x
x2
Q比振 P超前
t
o
A1 A2
x1
（5）两个物体做简谐运动位相差 P: x1 A1 cos ( 1t 1 ) Q: 位相差：Δ 当
2
x2 A2 cos ( 2t 2 )
1
(1t 2 ) (2t 1 ) ，同频率 2 1
2k .....(k 0,1,2....)
机械振动： 物体在一定的位置附近作来回往复的运动。 振动：任何一个物理量在某个确定的数值附近作 周期性的变化。 波动：振动状态在空间的传播。 任何复杂的振动都可 以看作是由若干个简 单而又基本振动的合 成。这种简单而又基 本的振动形式称为简 谐运动。
§4-1 简谐运动
4-1-1 简谐运动的基本特征
sin
即
即单摆小角度摆动为谐振动. ω g l T 2π l g θ=θAcos(ωt+φ0)
d g 0 2 d t l
2
小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅振动
mg sin ma t 2 d at R R 2 dt 因为θ 很小，所以 sin d 2 mg mR 2
x2
P落后
t
Q 比 P 较早达到正最大。
振 Q比振
P 比 Q 较早达到正最大。
x A cost
dx v A sin( t ) vm cos( t ) dt 2
vm A
称为速度幅。 速度相位比位移相位超前/2。
dv 2 a A cos( t ) am cos( t ) dt
O
mg
d g 0 2 R dt
2
2
dt
令：
g R
2
d 2 0 2 dt
是简谐运动。
（3）简谐运动的速度：
dx v A sin( t ) vm cos( t ) dt 2
（4）简谐运动的加速度：
dv 2 a A cos( t ) am cos( t ) dt
am A 称为加速度幅。
2
加速度与位移反相位。
d 2x k x 2 m dt
d x k x 2 dt
ห้องสมุดไป่ตู้
2
令
k m
d x 2 x0 2 dt
2
运动方程
x A cos(t )
积分常数，根据初始条件确定
简谐运动： 物体的运动遵从余弦（或正弦）规律。
简谐运动的三项基本特征：
F kx 2 d x 2 x 2 dt x A cost
m T 2 k 2
k m
结论：弹簧振子的振动频率和周期仅与振子本身的性 质（k 和 m）有关，而与其它因素无关。
由振动系统本身的固有属性所决定的频率和周 期称为固有频率和固有周期。 （3）（ t + ) ：振动的“相位 ”。
：振动的“初相位 ”。
（4）振幅A、初相位 的确定
由初始条件求解振幅和初相位： 设 t = 0时，振动位移：x = x0 振动速度：v = v0
x A cos ( t )
v A sin ( t )
xo A cos
vo A sin
xo A cos
x
2 o
2 2
vo
A sin
2 2
v
2 o 2
A (sin cos ) A
x0
2
A
v0
2
vo tg xo
x0 0, v0 0 : 在第I象限 x0 0, v0 0 : 在第II象限 x0 0, v0 0 : 在第III象限 x0 0, v0 0 : 在第IV象限
拍皮球时，球的运 动 是否是简谐振 动?
单 摆
P116例4－2证明单摆小角度的摆动为谐振动.
解: 小球受力如图,
取摆角θ向右为正. 重力矩与θ相反.
由转动定律,有
d mgl sin J ml 2 d t 2
2 2
θ
即
d g sin 0 2 d t l
θ很小时,有
2 ω ωA A
x, v, a
x
A
O
a
v
O
A
t
T
比较：
a A cost
2
x A cost
a x
2
即
d x 2 x 2 dt
2
结论：作简谐运动的质点，其加速度与位移恒 成正比，而方向相反。
4-1-2 描述简谐运动的物理量
x A cost
x2 x1 同相
t
（1）当
两振动步调相同，称同相。
x A1 同时达到正的最大，同时达到负的 A2 o
最大，同时越过平衡位置并且方向 相同。
（2）当 (2k 1) .....(k 0,1,2....)
两振动步调相反，称反相。 一个达到正的最大，另一个达到负的最大， 同时越过平衡位置但方向相反。
(1)弹簧振子的运动 弹簧振子： 一根轻弹簧和一个刚体构成的一个 振动系统。
根据胡可定律：
（a） 在弹性限度内，弹性力F 和位移x 成正比。 （b） 弹性力F 和位移x 恒反向，始终指向平衡位置。
F kx
（k为劲度系数）
F o x x
回复力： 始终指向平衡位置的作用力 (2)简谐运动方程 由牛顿第二定律： F m 得:
（1）A ：振幅 ，（最大位移，x =±A ）
2 2 （2） ：角频率 ， （圆频率） T
频率 ：单位时间内完成全振动的次数。 周期 T：完成一次全振动所经历的时间。
1 T 或 T 2 1
2
弹簧振子的频率:
弹簧振子的周期:
1 ν 2 2
x A1 A2 o x1 x2 反相 t
（3）当
k .....(k 0,1,2....)
称之为不同相，此时就有超前落后之分
0
Q超前于P或P落后于Q P 超前于Q或Q 落后于P 同相位
2 1
0 0
x o
A1 A2
振
x1
x
x2
Q比振 P超前
t
o
A1 A2
x1
（5）两个物体做简谐运动位相差 P: x1 A1 cos ( 1t 1 ) Q: 位相差：Δ 当
2
x2 A2 cos ( 2t 2 )
1
(1t 2 ) (2t 1 ) ，同频率 2 1
2k .....(k 0,1,2....)
机械振动： 物体在一定的位置附近作来回往复的运动。 振动：任何一个物理量在某个确定的数值附近作 周期性的变化。 波动：振动状态在空间的传播。 任何复杂的振动都可 以看作是由若干个简 单而又基本振动的合 成。这种简单而又基 本的振动形式称为简 谐运动。
§4-1 简谐运动
4-1-1 简谐运动的基本特征
sin
即
即单摆小角度摆动为谐振动. ω g l T 2π l g θ=θAcos(ωt+φ0)
d g 0 2 d t l
2
小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅振动
mg sin ma t 2 d at R R 2 dt 因为θ 很小，所以 sin d 2 mg mR 2
x2
P落后
t
Q 比 P 较早达到正最大。
振 Q比振
P 比 Q 较早达到正最大。
x A cost
dx v A sin( t ) vm cos( t ) dt 2
vm A
称为速度幅。 速度相位比位移相位超前/2。
dv 2 a A cos( t ) am cos( t ) dt