[K12配套]2018年秋八年级数学上册第14章勾股定理本章中考演练练习新版华东师大版
【K12教育学习资料】[学习]2018年秋八年级数学上册 第14章 勾股定理检测题 (新版)华东师大
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第14章检测题(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．(广西中考)下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是( D )A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．1，2， 32．对于命题“如果a＞b＞0，那么a2＞b2.”用反证法证明，应假设( D )A．a2＞b2 B．a2＜b2 C．a2≥b2 D．a2≤b23．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD且EF∥BC交AC于M，若CM＝5，则CE2＋CF2等于( B )A．75 B．100 C．120 D．125,第3题图) ,第4题图),第6题图)4．(大连中考) 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝5，则BC的长为( D )A.3－1B.3＋1C.5－1D.5＋15．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，下列说法错误的是( D )A．若∠A－∠B＝∠C，则△ABC为直角三角形B．若∠C＝90°，则c2－a2＝b2C．若(a＋b)(a－b)＝c2，则△ABC是直角三角形D．若a2∶b2∶c2＝3∶4∶5，则△ABC是直角三角形6．如图，一架长25分米的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底部距墙角 E 7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯子的底部将平移( D )A．9分米 B．15分米 C．5分米 D．8分米7．直角三角形中，斜边长为2 cm，周长为(2＋10) cm，则它的面积为( A )A．1.5 cm2 B．2 cm2 C．3 cm2 D．6 cm28．(河北中考)如图是甲、乙两张不同的长方形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则( A )A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以C．甲不可以、乙可以 D．甲可以、乙不可以,第8题图) ,第9题图) ,第10题图)9．如图，已知长方形ABCD 中，AB ＝3 cm ，AD ＝9 cm ，将此长方形折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为( A )A ．6 cm 2B ．8 cm 2C ．10 cm 2D ．12 cm 210．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 距点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是( B )A ．521B ．25C ．105＋5D ．35二、填空题(每小题3分，共24分)11．若直角三角形的两直角边长为a ，b ，且满足a 2－6a ＋9＋|b －4|＝0，则该直角三角形的斜边长为__5__．12．用反证法证明命题“一个三角形的三个内角中，至多有一个钝角”的第一步应假设__一个三角形的三个内角中，至少有两个钝角__．13．(2017·长春)如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图②，其中四边形ABCD 和四边形EFGH 都是正方形，△ABF ，△BCG ，△CDH ，△DAE 是四个全等的直角三角形．若EF ＝2，DE ＝8，则AB 的长为__10__．14．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝6，分别以边AC ，BC 为直径向三角形外作两个半圆，则这两个半圆的面积的和为__92π__．(结果保留π),第13题图) ,第14题图),第15题图) ,第16题图)15．(2017·烟台)如图，O 为数轴原点，A ，B 两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连结OC ，以O 为圆心，CO 长为半径画弧交数轴于点M ，则点M 对应的实数为．16．如图，Rt △ABC 的两直角边分别为1，2，以Rt △ABC 的斜边AC 为一直角边，另一直角边为1画第二个△ACD；再以△ACD 的斜边AD 为一直角边，另一直角边长为1画第三个△ADE；依此类推，第n 个直角三角形的斜边长是．17．等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为．18．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，P是AB边上一动点，则PC＋PD的最小值是．三、解答题(共66分)19．(7分)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC.证明：假设PB＝PC，又∵AB＝AC，AP＝AP，∴△ABP≌△ACP，∴∠APB＝∠APC，这与已知∠APB≠∠APC相矛盾，∴假设不成立，即PB≠PC20．(7分)如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，求∠DAB 的度数．解：135°21．(8分)有人说：如果Rt△ABC的三边是a，b，c(c＞a，c＞b)，那么以an，bn，cn(n 是大于1的正整数)为三边的三角形也是直角三角形．(1)这个说法是否正确？请说明理由；(2)写出上述命题的逆命题，并判断逆命题是真命题还是假命题．解：(1)正确，理由略(2)逆命题：如果以an，bn，cn(n是大于1的正整数)为三边的三角形是直角三角形，那么以a，b，c为三边的三角形也是直角三角形；真命题22．(7分)如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？(假设绳子是直的，结果保留根号)解：在Rt △ABC 中，∵∠CAB ＝90°，BC ＝13米，AC ＝5米，∴AB ＝132－52＝12(米)，∵此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D 的位置，∴CD ＝13－0.5×10＝8(米)，∴AD ＝CD 2－AC 2＝64－25＝39(米)，∴BD ＝AB －AD ＝12－39(米)，答：船向岸边移动了(12－39)米23．(7分)如图，在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C 处需要爆破，已知点C 与公路上的停靠站A 的距离为300米，与公路上的另一停靠站B 的距离为400米，且CA⊥CB，为了安全起见，爆破点C 周围半径260米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB 段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，由勾股定理得AB ＝500米，由S △ABC ＝12AB·CD ＝12AC×BC ，得CD ＝240米＜260米，∴公路AB 段有危险，需要暂时封锁24．(8分)如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD＝90°，D 为AB边上一点，求证：AD 2＋DB 2＝DE 2.证明：易证△ACE≌△BCD ，∴AE ＝DB ，∠CAE ＝∠B ，∴∠DAE ＝∠CAD ＋∠CAE ＝∠CAD＋∠B ＝90°，∴AE 2＋AD 2＝DE 2，即DB 2＋AD 2＝DE 225．(10分)在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13，求△ABC 的面积．作AD⊥BC于D ，设BD ＝x ，用含x 的代数式表示CD →根据勾股定理，利用AD 作为“桥梁”，建立方程模型求出x →利用勾股定理求出AD 的长，再计算三角形面积某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路：(1)请你按照他们的解题思路过程完成解答过程；(2)填空：在△DEF 中，DE ＝15，EF ＝13，DF ＝4，则△DEF 的面积是__24__．解：(1)在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13，设BD ＝x ，则CD ＝14－x ，由勾股定理得：AD 2＝AB 2－BD 2＝152－x 2，AD 2＝AC 2－CD 2＝132－(14－x )2，故152－x 2＝132－(14－x )2，解得：x ＝9，∴AD ＝12.∴S △ABC ＝12BC·AD ＝12×14×12＝84(2)如图，在△DEF 中，DE ＝15，EF ＝13，DF ＝4，设GD ＝x ，则GE ＝15－x ，由勾股定理得：FG 2＝DF 2－GD 2＝42－x 2，FG 2＝EF 2－EG 2＝132－(15－x )2.故42－x 2＝132－(15－x )2，解得：x ＝2.4.∴FG ＝3.2.∴S △DEF ＝12DE·FG ＝12×15×3.2＝24.故答案为：2426．(12分)如图，我渔政船从广州起程开赴南海执行维权护渔、渔政管理的任务，渔政船位于南海的O 处执行任务，一艘外国渔船从点O 正东方向25海里的A 处，以20海里/时的速度沿AB 方向航行，随即我渔政船对其实行雷达跟踪监控．(1)已知渔政船到AB 的距离OD 长为7海里，那么外国渔船从A 点行驶到D 点经过多长时间？(2)若在A ，D 之间的点C 处，渔政船测控系统显示两船间的距离与外国渔船所行驶的路程相等，此时C ，D 两处相距多远？(3)如果渔政船周围8海里的圆形区域内为危禁区域，那么外国渔船会在我渔政船禁区内行驶多长时间？解：(1)AD ＝OA 2－OD 2＝24海里，外国渔船从A 点行驶到D 点经过的时间为24÷20＝1.2(小时) (2)设CD ＝x 海里，则OC ＝AC ＝(24－x )海里，由x 2＋72＝(24－x )2，解得x ＝52748，∴C ，D 两处相距52748海里 (3)在AB 上取E ，F 两点，使OE ＝OF ＝8海里，E 点为外国渔船进入禁区地点，F 点为外国渔船驶离禁区地点，由三线合一得DE ＝DF ，∵DE ＝OE 2－OD 2＝15(海里)，∴EF ＝215海里，所以外国渔船会在我渔政船禁区内行驶21520＝1510(小时)。
华师大八年级数学上第14章《勾股定理》2018年秋检测卷(含答案)
第14章检测卷时间：120分钟满分：120分一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列四组长度的线段中，可以组成直角三角形的是()A．4，5，6 B．3，4，5 C．2，3，4 D．1，2，32．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝5，则边AC的长为()A、61或11B、61C、11 D．以上都是不对3．若△ABC三边的长a，b，c满足(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，则△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形4．如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E、若OD＝12cm，PO＝13cm，则PE的长为()A．8cm B．6cm C．5cm D．2cm5．用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设()A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c；C．a⊥b D．a与b相交6．把一个边长为1的正方形按如图所示方式放在数轴上，以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A，则点A对应的数是()A．1 B、 2 C、 3 D．27．如图所示是医院、公园和超市的平面示意图，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300m，公园到医院的距离为400m、若公园到超市的距离为500m，则公园在医院的()A．北偏东75°的方向上B．北偏东65°的方向上C ．北偏东55°的方向上D ．无法确定8．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x 尺，则可列方程为( )A ．x 2－6＝(10－x )2B ．x 2－62＝(10－x )2C ．x 2＋6＝(10－x )2D ．x 2＋62＝(10－x )29．如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD ⊥AC 于点D ，则BD 的长为( )A 、45B 、85C 、165D 、24510．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝12，BC ＝5、分别以AB ，AC ，BC 为边在AB 的同侧作正方形ABDE ，ACFG ，BCIH ，四块阴影部分的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4等于( )A ．90B ．60C ．169D ．144二、填空题(每小题3分，共24分)11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°、若a ＝5，b ＝12，则c ＝________．12．某养殖场有一个长2米、宽1、5米的长方形栅栏，现在要在对角的顶点间加固一条木板，则木板的长应取________米．13．若3，4，a 和5，b ，13是两组勾股数，则a ＋b 的值是________．14．如图，在长方形纸片ABCD 中，AB ＝8cm ，把长方形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F 、若AF ＝254cm ，则AD 的长为________cm 、15．如图，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若阴影部分的面积为92，则斜边AB 的长为________．16．已知x ，y 为直角三角形的两边的长，满足(x －2)2＋|y －3|＝0，则第三边的长为________________．17．如图是一种饮料的包装盒，其长、宽、高分别为4cm ，3cm ，12cm ，现有一长为16cm 的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外部分的长度h 的取值范围为____________．18．如图，在等腰Rt △OAA 1中，∠OAA 1＝90°，OA ＝1，以OA 1为直角边作等腰Rt △OA 1A 2，以OA 2为直角边作等腰Rt △OA 2A 3，……则OA n 的长度为________．三、解答题(共66分)19．(6分)如图，正方形网格中有△ABC ，若小方格边长为1，请你根据所学的知识，判断△ABC 是什么三角形，并说明理由．20．(8分)如图，星期天小明去钓鱼，鱼钩A 在离水面BD 1、3米处，在距离鱼线1、2米处D点的水下0、8米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0、2米/秒的速度向鱼饵游去，那么这条鱼至少几秒后才可能到达鱼饵处？21、(10分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，将△ABC沿直线DE折叠，使A与B重合，连接BE，则BE的长是多少？22．(10分)如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2－AE2＝AC2、(1)判断△ABC的形状，并证明你的结论；(2)若DE＝3，BD＝4，求AE的长．23．(10分)有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD＝80cm，高AB＝60cm，水深AE＝40cm、在水面上紧贴内壁G处有一块面包屑，G在水面线EF上，且EG＝60cm，一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑．(1)该蚂蚁应该沿怎样的路线爬行才能使路程最短呢？请你画出它爬行的路线，并用箭头标注；(2)求蚂蚁爬行的最短路线长．24．(10分)定义：若三角形三个内角的度数分别是x°，y°和z°，满足x2＋y2＝z2，则称这个三角形为勾股三角形．(1)根据上述定义，判断“直角三角形是勾股三角形”是真命题还是假命题，并说明理由；(2)已知一勾股三角形三个内角从小到大依次为x°，y°和z°，且xy＝2160，求x＋y的值．25．(12分)图甲是任意一个直角三角形ABC，它的两条直角边的长分别为a，b，斜边长为c、如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a＋b的正方形内．(1)图乙、图丙中①②③都是正方形．由图可知：①是以________为边长的正方形，②是以________为边长的正方形，③是以________为边长的正方形；(2)图乙中①的面积为________，②的面积为________，图丙中③的面积为________；(3)图乙中①②面积之和为__________；(4)图乙中①②的面积之和与图丙中正方形③的面积有什么关系？为什么？由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？参考答案与解析1．B 2、C 3、D 4、C 5、D 6、B 7、B 8、D 9、C10．A 解析：如图，过D 作DN ⊥BF 于N ，连接DI 、易知S 2＝S Rt △DOI ，S △BOC ＝S △MND ，∴S 2＋S 4＝S Rt △ABC 、可证明Rt △AGE ≌Rt △ACB ，Rt △DNB ≌Rt △BHD ，∴S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝S 1＋S 3＋(S 2＋S 4)＝S Rt △ABC ＋S Rt △ABC ＋S Rt △ABC ＝12×12×5×3＝90、故选A 、11．13 12、2、5 13、17 14、615．3 解析：在Rt △ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2，S阴影＝S △AHC ＋S △BFC ＋S △AEB ＝12AH 2＋12BF 2＋12BE 2＝12·AC 22＋12·BC 22＋12·AB 22＝14(AC 2＋BC 2＋AB 2)＝12AB 2＝92、所以AB ＝3(负值舍去)．16、13或5 17、3cm≤h ≤4cm 18、2n19．解：△ABC 是直角三角形．(2分)理由如下：∵AC 2＝22＋42＝20，AB 2＝12＋22＝5，BC 2＝32＋42＝25，∴AB 2＋AC 2＝BC 2，(5分)∴△ABC 是直角三角形．(6分)20．解：如图，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，连接AC 、(1分)∵AB ＝1、3米，CD ＝0、8米，∴AE ＝0、5米．∵BD ＝1、2米，∴CE ＝1、2米．(3分)在Rt △ACE 中，∠AEC ＝90°，根据勾股定理，得AC 2＝CE 2＋AE 2，∴AC ＝CE 2＋AE 2＝ 1.22＋0.52＝1、3(米)，1、3÷0、2＝6、5(秒)．(7分)答：这条鱼至少6、5秒后才可能到达鱼饵处．(8分)21．解：由折叠可知AE ＝BE 、(2分)设BE ＝AE ＝x cm ，则CE ＝AC －AE ＝(8－x )cm 、(4分)在Rt △BCE 中，BC 2＋CE 2＝BE 2，∴42＋(8－x )2＝x 2，(7分)∴x ＝5，即BE ＝5cm 、(10分)22．解：(1)△ABC 是直角三角形．(1分)证明如下：连接CE 、∵D 是BC 的中点，DE ⊥BC ，∴CE ＝BE 、∵BE 2－AE 2＝AC 2，∴CE 2－AE 2＝AC 2，∴AE 2＋AC 2＝CE 2，∴△ACE 是直角三角形，∠A ＝90°，∴△ABC 是直角三角形．(4分)(2)∵DE ⊥BC ，∴∠BDE ＝90°、在Rt △BDE 中，DE ＝3，BD ＝4，∴BE 2＝DE 2＋BD 2＝25，∴CE ＝BE ＝5、(6分)由(1)可知∠A ＝90°，∴AC 2＝CE 2－AE 2＝25－AE 2、∵D 是BC 的中点，∴BC ＝2BD ＝8、(8分)在Rt △ABC 中，AB ＝5＋AE ，由勾股定理得BC 2－BA 2＝AC 2，∴64－(5＋AE )2＝25－AE 2，∴AE ＝75、(10分)23．解：(1)如图，作点A 关于BC 的对称点A ′，连接A ′G 交BC 于点Q ，连接AQ ，蚂蚁沿着A →Q →G 的路线爬行时，路程最短．(5分)(2)∵在Rt △A ′EG 中，A ′E ＝2AB －AE ＝80cm ，EG ＝60cm ，∴由勾股定理得A ′G ＝100cm ，(8分)∴最短路线长为AQ ＋QG ＝A ′Q ＋QG ＝100cm 、(10分)24．(1)解：“直角三角形是勾股三角形”是假命题．(1分)理由如下：设直角三角形的三个内角分别为x °，y °和z °，其中x ＋y ＝90，z ＝90，∴(x ＋y )2＝8100＝z 2，∴x 2＋y 2＋2xy ＝z 2、若直角三角形是勾股三角形，则x 2＋y 2＝z 2，∴xy ＝0，这与题意不符，∴“直角三角形是勾股三角形”是假命题．(5分)(2)解：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝180，xy ＝2160，x 2＋y 2＝z 2，解得x ＋y ＝102、(10分)25．解：(1)a b c (3分) (2)a 2 b 2 c 2(6分) (3)a 2＋b 2(7分)(4)S ①＋S ②＝S ③、(8分)理由如下：由图乙和图丙可知大正方形的边长为a ＋b ，则面积为(a ＋b )2，图乙中把大正方形的面积分为了四部分，分别是：边长为a 的正方形，边长为b 的正方形，还有两个长为a 、宽为b 的长方形，(10分)根据面积相等得(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ，由图丙可得(a ＋b )2＝c 2＋4×12ab 、所以a 2＋b 2＝c 2，所以S ①＋S ②＝S ③、(12分)。
华师大版八年级数学上册《第14章勾股定理》章节测试含答案(4套).doc
第14章勾股定理一、选择题（共2小题〉1.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（）A. 5B. 6C. 7D. 252.如图，在AABC 中，ZC二90° , AC=2,点 D 在BC±, ZADC二2ZB, AD=,则BC 的长为（）A. - 1B. +1C. - 1D. +1点E是AD的中点，且AE=1, BE的垂直平分线MN恰好过点C.则3.如图，矩形纸片ABCD中,矩形的一边AB的长度为（）A. 1B.C.D. 24. AABC中，AB二AC二5, BC二8,点P是BC边上的动点，过点P作PD丄AB于点D, PE丄AC于点E,则PD+PE的长是（）A. 4. 8B. 4. 8 或 3. 8C. 3. 8 D・ 55. 如图，在RtAABC中，ZBAC二90° , ZABC的平分线BD交AC于点D, DE是BC的垂直平分线，点E是垂足.已知DC二8, AD二4,则图中长为4 的线段有（）A. 4条B. 3条C. 2条D・1条6.如图，在四边形ABCD中，AD〃BC, DE±BC,垂足为点E,连接AC交DE于点F,点G为AF 的中点，ZACD 二2ZACB.若DG二3, ECh ,则DE 的长为（）A. 2B.C. 2D.7. 在边长为正整数的AABC中，AB二AC,且AB边上的中线CD将AABC的周长分为仁2的两部分，贝OAABC面积的最小值为（）A. B・C・ D.8. 如图，AABC中，BC二AC, D、E两点分别在BC与AC上，AD丄BC, BE丄AC, AD与BE相交于F 点.若AD二4, CD二3,则关于ZFBD、ZFCD、ZFCE的大小关系，下列何者正确？（）A. ZFBD>ZFCDB. ZFBDVZFCDC. ZFCE>ZFCDD. ZFCEVZFCD9.如图，在RtAABC中，ZACB二90°，点D是AB的中点，且CD二，如果RtAABC的面积为1,则它的周长为（）10.如图，AABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD丄AC于点D.则BD的长为（）A. B. C. D.二、填空题（共15小题〉门.如图，在AABC中，AB二BC二4, A0二BO, P是射线C0上的一个动点，ZA0C二60°,则当Z\PAB 为直角三角形时，AP的长为・12. 在AABC 中，AB=13cm, AC二20cm, BC 边上的高为12cm,则Z\ABC 的面积为 _____ cml13. 如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E,取BE的中点F,连接DF, DF二4.设AB二x, AD=y,贝lj x?+ （y-4）'的值为 .14. 正方形ABCD的边长是4,点P是AD边的中点，点E是正方形边上的一点.若APBE是等腰三角形，则腰长为—・15. 如图，在一张长为7cm,宽为5cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为4cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为・16.如图，AABC中，CD丄AB于D, E是AC的中点.若AD二6, DE二5,则CD的长等于17. 等腰Z\ABC 中，AB二AC二10c叫BC=12cm,则BC 边上的高是cm.18. 已知直角三角形的两边的长分别是3和4,则第三边长为_・19. 如图，在等腰AABC中，AB=AC, BC边上的高AD二6cm,腰AB上的高CE二8cm,则Z\ABC的周长等于___ cm.20.如图，四边形ABCD 中，AB〃DC, ZB二90°,连接AC, ZDAC=ZBAC.若BC二4c叫AD二5c叫则AB 二cm.21.如图，点D在AABC的边BC上,ZC+ZBAD=ZDAC, tan Z BAD二AD 二,CD=13,则线段AC的长为22.如图，RtAABC 中，ZABC二90。
初中数学秋八年级数学上册 第14章 勾股定理检测题 (新版).docx
xx学校xx 学年xx学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）试题1:下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是( )A．3，4，5 B．6，8，10 C.，2， D．5，12，13试题2:若正整数a，b，c是一组勾股数，则下列各组数一定还是勾股数的是( )A．a＋2，b＋2，c＋2 B．a2，b2，c2C．3a，3b，3c D．a－2，b－2，c－2试题3:对于命题“如果a＞b＞0，那么a2＞b2”，用反证法证明，应假设( )A．a2＞b2 B．a2＜b2 C．a2≥b2 D．a2≤b2试题4:正方形的对角线长为2，则其面积为( )A．2 B．2 C．4 D.试题5:在下列条件中：①在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3；②三角形三边长分别为32，42，52；③在△ABC中，三边a，b，c满足(a＋b)(a－b)＝c2；④三角形三边长分别为m－1，2m，m＋1(m为大于1的整数)，能确定△ABC是直角三角形的条件有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个试题6:已知a，b，c为△ABC三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，则它的形状为( )A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形试题7:如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是( )A．48 B．60 C．76 D．80试题8:如图，有一张直角三角形的纸片，两直角边AB＝4 cm，BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点C与点A重合，得到折痕DE，则BE的长为( )A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．8 cm试题9:如图是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么(a＋b)2的值为( )A．169 B．144 C．100 D．25试题10:如图，AB＝AC＝4，P是BC上异于B，C的一点，则AP2＋BP·PC的值是( )A．16 B．20 C．25 D．30试题11:在Rt△ABC中，斜边AB＝2，则AB2＋BC2＋CA2＝_试题12:．若直角三角形的两直角边长为a，b，且满足＋|b－4|＝0，则该直角三角形的斜边长为__试题13:如图阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为__ __．试题14:设x1，x2，x3都是正数，且x1＋x2＋x3＝1，那么这三个数中至少有一个大于或等于.用反证法证明这一结论的第一步是__试题15:如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面积的和是10 cm2，则其中最大的正方形的边长为____cm.试题16:如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则正方形的边长是____．试题17:如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OA A1＝90°，OA＝1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，……则OA6的长度是___．试题18:如图，圆柱形容器高为18 cm，底面周长为24 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为____cm.点拨：如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B＝＝＝20(cm) 试题19:某消防部队进行消防演练．在模拟现场，有一建筑物发生了火灾，消防车到达后，发现离建筑物的水平距离最近为12米，如图，即AD＝BC＝12米，此时建筑物中距地面12.8米高的P处有一被困人员需要救援．已知消防云梯车的车身高AB是3.8米，为此消防车的云梯至少应伸长多少米？试题20:证明命题“△ABC中，若∠A＞∠B＋∠C，则∠A＞90°”．试题21:如图，在长方形ABCD中，AB＝24，AD＝50，E是AD上一点，且AE∶ED＝9∶16.(1)求BE，CE的长；(2)△BEC是否为直角三角形？为什么？试题22:观察下表：列举猜想3，4，5 32＝4＋55，12，13 52＝12＋137，24，25 72＝24＋25……13，b，c132＝b＋c请你结合该表格及相关知识，求出b，c的值，并验证13，b，c是否是勾股数？试题23:如图，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm.点B离点C 5 cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，至少需要爬行多少厘米？试题24:勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图①或图②摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图①证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2＋b2＝c2.证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则D F＝EC＝b－a.∵S四边形ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝b2＋ab，又∵S四边形ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝c2＋a(b－a)，∴b2＋ab＝c2＋a(b－a)，∴a2＋b2＝c2.请参照上述证法，利用图②完成下面的证明：将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2＋b2＝c2.试题25:如图，等腰△ABC的底边长为8 cm，腰长为5 cm，一动点P在底边上从B向C以0.25 cm/s的速度移动，请你探究：当P 运动多少秒时，P点与顶点A的连线PA与腰垂直？试题1答案:C试题2答案:C试题3答案:D试题4答案:C试题5答案:B试题6答案:D试题7答案:C试题8答案:A试题9答案:D试题10答案:A试题11答案:_8__．试题12答案:5__．试题13答案:64_cm2试题14答案:假设x1，x2，x3都小于__．试题15答案:试题16答案:试题17答案:_8试题18答案:20试题19答案:解：15米试题20答案:解：假设∠A≤90°，∵∠A＞∠B＋∠C，∴∠B＋∠C＜90°，则∠A＋∠B＋∠C＜180°，这与三角形的内角和是180°相矛盾，∴假设不成立，即∠A＞90°试题21答案:解：(1)BE＝30，CE＝40(2)∵BE2＋CE2＝BC2，∴△BEC是直角三角形试题22答案:解：132＝b＋c，而c＝b＋1，∴132＝2b＋1，∴b＝84，∴c＝85，∵132＋842＝7225，852＝7225，即132＋842＝852，∴13，84，85是勾股数试题23答案:解：把长方体的右面展开与前面在同一个平面内，最短路径AB＝＝25(cm)，即至少需要爬行25 cm试题24答案:解：连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b－a，∵S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABE＋S△ADE＝ab＋b2＋ab，又∵S五边形ACBED ＝S△ACB＋S△ABD＋S△BDE＝ab＋c2＋a(b－a)，∴ab＋b2＋ab＝ab＋c2＋a(b－a)，∴a2＋b2＝c2试题25答案:解：设BP＝x cm，过点A作AD⊥BC于点D，则BD＝CD＝4 cm，由勾股定理，得AD＝3 cm，当PA⊥AC时，在Rt△APD中，AP2＝(4－x)2＋32，在Rt△APC中，AP2＋AC2＝PC2，即(4－x)2＋32＋52＝(8－x)2，解得x＝，即BP＝ cm，P点移动的时间为÷0.25＝7(s)；当PA⊥AB时，AP2＝(x－4)2＋32，在Rt△APB中，AP2＋AB2＝BP2，即(x－4)2＋32＋52＝x2，解得x＝，即BP＝cm，P点移动的时间为÷0.25＝25(s)，∴当P点运动7 s或25 s时，PA与腰垂直。
【配套K12】[学习]2018年秋八年级数学上册 第14章 勾股定理 14.1 勾股定理 2 直角三
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[14.1 2.直角三角形的判定]一、选择题1．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是( )A．∠A是直角 B．∠B是直角C．∠C是直角 D．不是直角三角形2．下列给出的四组数中，是勾股数的一组是( )A．3，4，6 B．15，8，17C．21，16，18 D．9，12，173．2017·福建平和第四中学期中下列四组数中可以构成直角三角形的边长的有( )(1)9，12，15；(2)7，24，25；(3)9，16，25；(4)3a，4a，5a(a＞0)．A．4组 B．3组 C．2组 D．1组4．已知三角形两边的长为3和5，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长应该为( )A．4 B.34C．4或34 D．85．若△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足等式(a＋b)2－c2＝2ab，则此三角形是( )A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等边三角形6．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是( )A．∠A＋∠B＝∠CB．∠A∶∠B∶∠C＝1∶3∶2C．(b＋c)(b－c)＝a2D．a＝3＋k，b＝4＋k，c＝5＋k(k＞0)7．如图K－39－1，小正方形组成的网格中的△ABC的顶点都在格点上，若小正方形的边长均为1，则△ABC的形状为( )图K－39－1A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上答案都不对8．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40 m/min，甲客轮15 min到达点A，乙客轮航行20 min到达点B，若A，B两点的直线距离为1000 m．甲客轮沿北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是( )A．南偏东60° B．南偏西30°C．北偏西30° D．南偏西60°二、填空题9．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边长．若a2＝b2－c2，则△ABC 是________三角形，________是直角．10．三边长各为9，12，15的三角形，其面积为________．11．有五根木棍，它们的长分别为3，4，5，12，13，取其中三根搭成直角三角形，其取法有________种．12．△ABC的两边长分别为5，12，另一边长c为奇数，a＋b＋c是3的倍数，则c应为________，此三角形为________三角形．三、解答题13．已知a，b，c是△ABC的三边长，且a＋b＋c＝60 cm，a∶b∶c＝3∶4∶5，求△ABC 的面积．14．如图K－39－2，已知在四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝17，BC＝8，CD＝12，DA＝9.(1)求AC 的长；(2)求四边形ABCD 的面积．图K －39－215．阅读下列题目的解题过程：已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，且满足a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断△ABC 的形状． 解：∵a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，①∴c 2(a 2－b 2)＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2)，②∴c 2＝a 2＋b 2，③∴△ABC 是直角三角形．(1)上述解题过程从哪一步开始出现错误？请写出该步的序号：________；(2)错误的原因为________________________________________________________________________；(3)本题正确的结论为______________________(并说明理由)．16．如图K －39－3，已知正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 的中点，F 为AD 上的一点，且AF ＝14AD ，试判断△EFC 的形状．并说明理由．图K －39－317．如图K －39－4所示的一块地，∠ADC ＝90°，AD ＝12 m ，CD ＝9 m ，AB ＝39 m ，BC ＝36 m ，求这块地的面积S .K－39－4动点探究如图K－39－5所示，在△ABC中，AB∶BC∶AC＝3∶4∶5，且周长为36 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒1 cm的速度移动；点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒2 cm 的速度移动，如果同时出发，当经过3秒时，△PBQ的面积为多少？图K－39－5详解详析【课时作业】[课堂达标]1．C 2.B3．[解析] B 在所给的4组数中，分别以(1)(2)(4)中的3个数为边长可以组成直角三角形．4．[解析] C 长为5的边可能是直角边，也可能是斜边．5．[解析] B (a ＋b)2－c 2＝a 2＋b 2＋2ab －c 2＝2ab ，所以a 2＋b 2＝c 2，所以这个三角形是直角三角形．6．D7．[解析] B 由勾股定理，得AC 2＝22＋32＝13，AB 2＝42＋62＝52，BC 2＝12＋82＝65，则AC 2＋AB 2＝BC 2，∴△ABC 为直角三角形．8．A9．[答案] 直角 ∠B[解析] 由a 2＝b 2－c 2，得a 2 ＋c 2＝b 2，可知∠B ＝90°.10．54 11.212．[导学号：90702314][答案] 13 直角[解析] 由三角形的三边关系可知7<c<17，又因为c 为奇数，所以c ＝9，11，13，15.因为a ＋b ＋c 是3的倍数，只有c ＝13符合条件．13．解：∵a＋b ＋c ＝60 cm ，a ∶b ∶c ＝3∶4∶5，∴a ＝15 cm ，b ＝20 cm ，c ＝25 cm .∵152＋202＝252，∴△ABC 是直角三角形，∴△ABC 的面积为12×15×20＝150(cm 2)．14．解：(1)∵∠ACB＝90°，∴AC 2＝AB 2－BC 2＝172－82＝225，∴AC ＝15.(2)∵AD 2＋CD 2＝92＋122＝225＝AC 2，∴∠D ＝90°，∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝12×8×15＋12×12×9＝114. 15．[解析] 这类阅读题在展现问题全貌的同时，在关键处留下疑点，让大家认真思考，以补充欠缺的部分，这相当于提示了整体思路，而让学生在整体理解的基础上解题．解：(1)③ (2)没有考虑到有可能a 2－b 2＝0(3)△ABC 是等腰三角形或直角三角形．理由如下：∵a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，∴c 2(a 2－b 2)＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2)，∴c 2(a 2－b 2)－(a 2＋b 2)(a 2－b 2)＝0，即(a 2－b 2)[c 2－(a 2＋b 2)]＝0，∴a 2－b 2＝0或c 2＝a 2＋b 2，即△ABC 是等腰三角形或直角三角形．16．解：△EFC 是直角三角形．理由如下：∵E 为AB 的中点，AB ＝4，∴BE ＝2，∴CE 2＝BE 2＋BC 2＝22＋42＝20.同理可求得EF 2＝AE 2＋AF 2＝22＋12＝5，CF 2＝DF 2＋CD 2＝32＋42＝25.∵CE 2＋EF 2＝CF 2，∴△EFC 是直角三角形．17．解：连结AC.∵∠ADC＝90°，∴在Rt △ADC 中，根据勾股定理，得AC ＝CD 2＋AD 2＝92＋122＝15.又∵AC 2＋BC 2＝152＋362＝1521，AB 2＝392＝1521，即AC 2＋BC 2＝AB 2， ∴△ABC 是直角三角形，∴这块地的面积S ＝S △ABC －S △ADC ＝12AC·BC－12AD·CD＝12×15×36－12×12×9＝216(m 2)． 故这块地的面积S 为216 m 2.[素养提升][导学号：90702316]解：设AB 为3x cm ，BC 为4x cm ，AC 为5x cm .∵△ABC 的周长为36 cm ，即AB ＋BC ＋AC ＝36 cm ，∴3x ＋4x ＋5x ＝36，解得x ＝3，∴AB ＝9 cm ，BC ＝12 cm ，AC ＝15 cm ，∴AB 2＋BC 2＝AC 2，∴△ABC 是直角三角形．当经过3秒时，BP ＝9－3×1＝6(cm )，BQ ＝2×3＝6(cm )，∴S △PBQ ＝12BP·BQ＝12×6×6＝18(cm 2)． 故当经过3秒时，△PBQ 的面积为18 cm 2.。
[配套K12]八年级数学上册 第14章 勾股定理 14.1 勾股定理 14.1.1 直角三角形的三边关系 第2课时 勾股定理的
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第2课时勾股定理的验证及简单应用课前知识管理对于勾股定理的探索，可以采用测量、计算、•观察和动手操作的方法来验证其正确性．课本主要运用拼图的方法，利用两种方法表示同一个图形的面积来验证勾股定理．如图1，是由4个完全相同的直角三角形拼成的，得到一个边长为（a+b）的大正方形和以斜边c为边长的小正方形，有（a+b）2=4×12ab+c2，整理可得a2+b2=c2．对于图2，有S正方形EFGH=c2=（b-a）2+4×12ab，即c2=a2+b2．名师导学互动典例精析：知识点1：用拼图法验证勾股定理例1、请判断一下，下列图形中，哪些可以用来验证勾股定理.【解题思路】①大正方形的面积等于四个直角三角形面积加中间小正方形面积；②中间正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形面积；③推导不出.【解】①②可以验证勾股定理.【方法归纳】勾股定理的验证，主要通过拼接图形的面积来实现.对应练习：请结合以下图形，验证勾股定理.知识点2：方程的思想例2、如图，在△ABC中，AB=15，BC=14， CA=13，求BC边上的高AD．【解题思路】【解】设DC=x ，则BD=14－x ，在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，由勾股定理可得：（14－2)x +2222215,13AD x AD =+=，两式相减得：22(14)56x x --=，解得：5x =．在Rt△ACD 由勾股定理得：AD=12．【方法归纳】由于勾股定理反映了直角三角形三边的数量关系，所以在应用勾股定理解决问题时，要考虑应用定理列方程来求解．对应练习：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ） A 2cm B 3cm C 4cm D 5cm知识点3：数形结合的数学思想例3、某市气象台测得一热带风暴中心从A 城正西方向300km 处，以每小时26km 的速度向北偏东60°方向移动，距风暴中心200km 的范围内为受影响区域.试问A 城是否受这次风暴的影响？如果受影响，请求出遭受风暴影响的时间；如果没有受影响，请说明理由. 【解题思路】【解】构造数学模型，如图所示，设O 为风暴中心，OC 为风暴中心移动方向，AD ⊥OC.在Rt △OAD 中，∠AOD=30°，OA=300km ，所以AD=150km<200km ，即A 城受到这次风暴的影响. 如图，设AB=AC=200km ，在Rt △ABD 中，应用勾股定理，得)(7501502002222km AD AB BD =-=-=，所以，A 城遭受风暴影响的时间2.10267502≈⨯=（小时）. 【方法归纳】勾股定理本身就是数形结合的定理，它的验证和应用，都体现了数形结合的思想．知识点4：分类讨论的数学思想例4、在ABC ∆中，15,20,AB AC ==BC 边上的高12,AD =则BC 的长为 .【解题思路】三角形中某边上的高既可在三角形内部，也可在三角形的外部，故此题应分为两种情况来考虑.当BC 边上的高AD 在ABC ∆的内部时，如图，由勾股定理，得22222151281,BD AB AD =-=-=得9,BD =222222012CD AC AD =-=-=256，得16,CD =则25BC BD CD =+=；当BC 上的高AD 在ABC ∆的外部时，如图，同样由勾股定理可求得16,CD =9BD =，这时，1697,BC CD BD =-=-=故BC 的长为25或7. 【解】25或7.【方法归纳】当元素之间的位置关系没有限制时，要对可能的情形分类进行讨论. 对应练习：已知直角三角形的两边长分别为5，12，求第三边的长.知识点5：整体思想例5、如图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形.已知大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的短直角边是 a ,较长直角边是 b ,则2)(b a +的值为( )A. 13B. 19C. 25D. 169【解题思路】由勾股定理222a b c +=可得到两个变形：()222a b ab c +-=和()222a b ab c -+=.通过这两个变形，我们可以从,,,,,a b c a b a b ab +-中任意两个出发，求出其他各个量.仔细观察图形，不难得到：c =，1a b -=，利用()222a b ab c -+=，可求得212ab =，故2)(b a +=22c ab +=13+12=25.【解】选C.【方法归纳】利用整体思想可避免繁琐的运算，达到快速求值的目的.对应练习：如图，ABC △的周长为32，且AB AC AD BC =⊥，于D ，ACD △的周长为24，那么AD 的长为 ．知识点6：转化思想例6、如图，高速公路的同一侧有A 、B 两个奥运村，它们到高速公路所在的直线MN 的垂直距离分别为1AA =2km ，1BB =4km ，811=B A km ，要在高速公路上A 、B 之间设一个出口P ，使A 、B 两个奥运村到P 的距离之和最短，则这个最短距离 是 .B ′B 1A 1PEBANM【解题思路】过B 作关于MN 的对称点B ′，连接AB ′交11B A 于点P.因1PB 垂直平分BB ′，所以PB=PB ′，则AP+PB=AP+ PB ′=AB ′，由“两点之间，线段最短”易知，P 点为到A 、B 距离之和最短的点.【解】过点A 作AE 垂直于BB ′于E ，则AE=11B A =8km ，B ′E=1AA +1BB =6km ，由勾股定理，得AB ′=22E B AE '+=10km ，即AP+PB=AP+ PB ′=AB ′=10km ，故最短出口P 到A 、B 两个奥运村距离和为10km.【方法归纳】本题可转化为“在直线l 同侧有两点A 、B ，试在l 上找一点P ，使PA+PB 最小，利用对称作图即可.对应练习：为了向建国六十周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级（3）班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长20cm BC =，宽16c m AB =的矩形纸片ABCD ，②将纸片沿着直线AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的F 处，…… 请你根据①②步骤解答下列问题：（1）找出图中∠FEC 的余角；（2）计算EC 的长.知识点7：化立体为平面例7、有一根70 cm 的木棒，要放在长、宽、高分别是50 cm 、40 cm 、30 cm 的木箱中，能放进去吗？【解题思路】在实际生活中，往往工程设计方案比较多，应用所学的知识进行计算方可解决，而此题正是需要我们大胆实践和创新，用我们学过的勾股定理和丰富的空间想像力来解决.我们可注意到木棒虽比木箱的各边都长，按各边的大小放不进去，但木箱是立体图形，可以利用空间的最长长度.如AC ′.【解】由下图可得，AA ′=30 cm ，A ′B ′=50 cm ，B ′C ′=40 cm.△A ′B ′C ′，△AA ′C ′都为直角三角形.由勾股定理，得A ′C ′2=A ′B ′2+B ′C ′2.在Rt △AA ′C ′中.AC ′最长，则AC ′2=AA ′2+A ′B ′2+B ′C ′2=302+402+502=5000＞702. 故70 cm 的棒能放入长、宽、高分别为50 cm ，40 cm ，30 cm 的大箱中.【方法归纳】本题源于生活实际，较有趣味性，能够较好地增强学生的应用意识和实践能力，同时还考查了空间观念. 求解立体几何图形的一些问题时，通常是通过平面展开图，将其转化为平面图形的问题，然后求解.对应练习：制一个底面周长为a 、高为b 的圆柱形花架，需用沿圆柱侧面绕织一周的竹条若干根，如图中的121B C A ，212B C A …则每一根这样的竹条的长度最少是_________.易错警示1、注意勾股定理的使用前提是直角三角形例8 如图，在ABC △中，10AB =，16BC =，BC 边上的中线6AD =，试说明AB AC =．错解：因AD 是BC 边上的中线，所以12CD BC =又6AD =,∴在△ADC 中，由勾股定理，得AC =10=．而10AB =，故AB AC =．错因分析：由于受题目、结论及图形的影响，不少同学在没有进行推证说明，就先行认为ADC △是直角三角形，忽视了运用勾股定理的前提，犯了循环论证的错误．正解：因为AD 是BC 边上的中线，所以182BD CD BC ===．又10AB =，6AD =, 且有2226810+=，即222AD BD AB +=，则AD B △是直角三角形，即AD BC ⊥．所以，在Rt ADC △中，由勾股定理，AC ==10=．从而AB AC =．2、注意分清直角边和斜边例9 在ABC △中，已知90B ∠=,A ∠，B ∠，C ∠的对边分别是a ，b ，c ，且6a =，8b =，求c 的长．错解：由已知，ABC △为直角三角形．则由勾股定理，得222a b c +=,即10c ==． 错解分析：错解未抓住题目实质，受勾股定理的表达式：222a b c +=的影响而误认为c 是斜边，其实，由90B ∠=,知b 才是斜边（如图）．因此，我们在运用勾股定理时，首先要正确识别哪个角是直角，从而确定哪条边是斜边，然后准确写出勾股定理表达式进行解题．正解：90B ∠=,则在Rt ABC △中，由勾股定理，得c =2268-=3、注意分类讨论例10 已知三角形的两边长为3和4，如果这个三角形是直角三角形．求第三边的长． 错解：设第三边的长为x ，则由勾股定理得22234x =+，解得5x =．错解分析：题中没有明确指出直角边和斜边，应分类讨论，而上述解法中误以为所求的第三边即为斜边．因此漏解，值得注意．正解：设第三边的长为x ．（1）当x 为斜边时，由勾股定理，得22234x =+，解得5x =．（2）当x 为直角边时，由勾股定理，得22243x =+．解得x =7．所以，第三边的长为5或7．课堂练习评测1、如果直角三角形的三条边2，4，a ，那么a 的取值可以有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个2、如图，∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°， AB=BC=CD=1，OA=2，则OD 2=____________.3、如图，设火柴盒ABCD 的两边之长为a 与b ，对角线长为c ，推倒后的火柴盒是AB ′C ′D ′，试利用该图验证勾股定理的正确性．4、（1）求下列直角三角形未知边的长．（如图所示）（2）求下列图中未知数x，y，z的值．5、如图所示，为了求出位于湖两岸的两点A、B之间的距离，•一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形，通过测量，得到AC长160•米，•BC•长128米，问从点A穿过湖到点B有多远？6、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形G的边长为7cm，求正方形A，B，C，D的面积．G 7cmFEDCB A7、小红家住在18层的高楼上，一天，她与妈妈去买竹竿．（如图所示）如果电梯的长、宽、高分别是1.5米、1.5米、2.2米，那么，•能放入电梯内的竹竿的最大长度约是多少米？你能估计出小红买的竹竿至少是多少米吗？.课后作业练习一、判断题（2×2=4分）1．△ABC的两边AB=5，AC=12，则BC=13．（）2．△ABC中，a=6，b=8，则c=10．（）二、填空题（3×7=21分）3．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：1：2，AB2=50，则BC=_______．4．在Rt△ABC中，∠C=90°，a：b=3：4，c=15cm，则a=________cm．5．在Rt△ABC中，a=3，b=4，则c=______．6．一艘轮船以16海里/时的速度离开A港向东南方向航行，•另一艘轮船同时以12海里/时的速度离开A港向西南方向航行，经过1.5小时后它们相距_______海里．7．在△ABC中，∠C=90°，若AC=6，CB=8，则AB上的高为_______．8．在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D．（1）若AC=61，CD=11，则AD=______．（2）若CB=113，CD=15，则BD=________．9．等边△ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为_______．三、选择题（5×5=25分）10．若等腰△ABC的腰长AB=2，顶角∠BAC=120°，以BC为边的正方形面积为（）．A．3 B．12 C．2716. 43D11．已知等腰三角形斜边上中线为5cm，则以直角边为边的正方形面积为（）．A．10cm2 B．15cm2 C．50cm2 D．25cm212．等腰三角形底边上的高为8，腰长为10，则三角形的面积为（）．A．56 B．48 C．40 D．3213．一个长方形的长是宽的2倍，其对角线的长是5cm，则长方形的长是（）．A．2.5cm B．14．如图所示，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使点C•与点A重合，则折痕EF的长为（）．A．3.74 B．3.75 C．3.76 D．3.77四、解答题．（8×5=40分）15的点．16．如图（a～c）所示，求下列直角三角形中未知边的长．17．如图所示，长2.5m的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙角1.5m，•求梯子的顶端与地面的距离h．18．如图所示，小方格的面积为1，找出图中以格点为端点且长度为5的线段．19．如图所示，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠DBC=90°，AD=4，AB=3，BC=12，•求正方形DCEF的面积．五、探索题（10分）20．做8个全等的直角三角形（2条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ），再做3•条边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成2个正方形（如图所示）.你能利用这2个图形验证勾股定理吗？写出你的验证过程．14.1.2对应练习参考答案 1.提示：借助梯形面积推导. 答案：因为 S梯形=()2)(21)(21b a b a b a +=++，S 梯形=222121221c ab c ab +=+⨯；所以2221)(21c ab b a +=+；整理，得 222c b a =+.2.答案：B3.答案：13或1194.答案：8.5.答案：解：（1）∠CFE 、∠BAF ；（2）设EC =x cm. 由题意得则EF =DE =（16－x ）cm ，AF=AD =20cm. 在Rt △ABF 中，BF =22AB AF -=12（cm ），FC =BC －BF =20－12=8（cm ）.在Rt △EFC 中，EF 2=FC 2+EC 2，（16－x ）2=82+x 2，x =6，∴EC 的长为6cm .6.解析：由于竹条需要绕织一周，所以可以把圆柱侧面沿11B A 展开，得到一个长和宽分别为b a ,的矩形，如图所示.连接11B A ，此时对角线11B A 的长度就是竹条的最短长度.由勾股定理得22211b a B A +=，所以11B A =22b a +.课后作业参考答案： 1、B 2、73、点拨：可看成火柴盒ABCD 绕A 点旋转90°后得到△AB ′C ′D ′，有∠CAC ′=•90°，△ACC ′为等腰直角三角形，运用不同的方法求出该三角形的面积即可．4、略.5、由于构建了Rt△ABC，因此，利用勾股定理，可以求出（米）．6、此题揭示了三个正方形的面积关系与直角三角形三边的联系，即S E+S F=S G．同理S A+S B=S E，S C+S D=S F所以S A+S B+S C+S D=S G=49cm27、能放入电梯内的竹竿的最大长度约为3米，小红买的竹竿至少为3．1米．参考答案：一、1．× 2．×二、3．5 4．9 5．5 6．30 7．4．8 8．（1）60 （2）112 9．12cm2三、10．B 11．C 12．B 13．C 14．B四、15．提示：用勾股定理 16．•略 17．提示：利用勾股定理18．动手题19. 在Rt△ABD中，由勾股定理得BD=5，同理CD=13，S正方形DCEF=CD2=169．五、20．能.。
2018年秋八年级数学上册 第14章 勾股定理本章总结提升练习 (新版)华东师大版
勾股定理本章总结提升问题1 勾股定理直角三角形三边的长有什么特殊的关系？例1 已知一个直角三角形的两条边长分别为5，13，则第三条边长为________．【归纳总结】当题目中已知直角三角形的两条不相等的边长，并且未表明直角边和斜边时，一定要分类讨论，防止漏解．若题目中已知直角三角形的两条相等的边长，则这两条边一定是直角边．问题2 用拼图证明勾股定理勾股定理的证明方法有哪些？赵爽证明勾股定理运用了什么思想方法？例 2 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图14－T－1①或②摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理．下面是小聪利用图①证明勾股定理的过程：① ②图14－T －1将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，其中∠DAB ＝90°，求证：a 2＋b 2＝c 2. 证明：连结DB ，DC ，过点D 作BC 边上的高DF ，DF ＝EC ＝b －a . ∵S 四边形ADCB ＝S △ACD ＋S △ABC ＝12b 2＋12ab ，S 四边形ADCB ＝S △ADB ＋S △DCB ＝12c 2＋12a (b －a )，∴12b 2＋12ab ＝12c 2＋12a (b －a )． ∴a 2＋b 2＝c 2.请参照上述证法，利用图②完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中∠DAB ＝90°. 求证：a 2＋b 2＝c 2.【归纳总结】 把图形进行“割”或“补”，这两种方法体现的是同一种思想——化归思想．问题3 勾股定理的应用勾股定理有哪些应用？运用勾股定理解决实际问题的关键是什么？例3 如图14－T －2所示，一架2.5米长的梯子AB 斜靠在一堵竖直的墙AO 上，这时梯脚B 到墙底端O 的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙垂直下滑0.4米，那么梯脚将外移多少米？图14－T－2问题4 勾股定理与方程思想的综合运用已知一个三角形的三边长，怎样判断它是不是直角三角形？你判断的依据是什么？证明勾股定理的逆定理运用了什么方法？例4 如图14－T－3，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的路程相等，则这棵树有多高？图14－T－3【归纳总结】利用勾股定理建立方程是解决此类问题的关键．例5 如图14－T－4是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高均分别为5 dm、3 dm 和1 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，点A有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从点A出发，沿着台阶上表面爬到点B的最短路程是______dm.图14－T－4【归纳总结】将立体图形展开为平面图形，构造直角三角形，利用勾股定理求线段的长度．例6 如图14－T－5所示，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，求这只蚂蚁要爬行的最短路程．图14－T－5【归纳总结】确定立体图形表面上两点之间的最短路程问题，解题思路是将立体图形展开，转化为平面图形，并借助勾股定理解决．当长方体的长、宽、高不同时，不同表面上两点之间的距离分三种情况讨论，展开方式不同，两点间的距离也可能不同．例7 如图14－T－6，在四边形ABCD中，已知AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠B＝90°，试求∠DAB的度数．图14－T－6详解详析【整合提升】 例1 12或194例2 证明：证法一：连结BD ，过点B 作DE 边上的高BF ，则BF ＝b －a.∵S 五边形ACBED ＝S △ACB ＋S △ABE ＋S △AED ＝12ab ＋12b 2＋12ab ，S 五边形ACBED ＝S △ACB ＋S △ABD ＋S △BDE ＝12ab ＋12c 2＋12a(b －a)，∴12ab ＋12b 2＋12ab ＝12ab ＋12c 2＋12a(b －a)， ∴a 2＋b 2＝c 2.证法二：连结BD ，过点B 作DE 边上的高BF ，则BF ＝b －a. ∵S 五边形ACBED ＝S 梯形ACBE ＋S △AED ＝12b(a ＋b)＋12ab ，S 五边形ACBED ＝S △ACB ＋S △ABD ＋S △BDE ＝12ab ＋12c 2＋12a(b －a)，∴12b(a ＋b)＋12ab ＝12ab ＋12c 2＋12a(b －a)． ∴a 2＋b 2＝c 2.例3 [解析] 如图，AB ＝CD ＝2.5米，BO ＝0.7米，由勾股定理求得AO ＝2.4米．因此，OC ＝2.4－0.4＝2(米)．再由勾股定理求出OD 的长度，则可求出BD 的长度，即梯脚外移的距离．解：如图，在Rt △OAB 中，AO＝AB2－OB2＝ 2.52－0.72＝2.4(米)，OC＝2.4－0.4＝2(米)．在Rt△COD中，OD＝CD2－OC2＝ 2.52－22＝1.5(米)，∴BD＝OD－OB＝1.5－0.7＝0.8(米)．即梯脚将外移0.8米．例4解：设BD＝x米，则AD＝(10＋x)米，CD＝(30－x)米．根据题意，得(30－x)2－(10＋x)2＝202，解得x＝5.即树的高度是10＋5＝15(米)．例5[答案] 13[解析] 将台阶上表面展开，如图，因为AC＝3×3＋1×3＝12，BC＝5，所以AB2＝AC2＋BC2＝169，所以AB＝13dm，所以蚂蚁爬行的最短路程为13 dm.例6[解析] 沿长方体表面从点A爬到点B，考虑路线最短的问题有三种途径：(1)从右侧面和前面走；(2)从右侧面和上底面走；(3)从后侧面和上底面走．解：沿长方体的表面从点A爬到点B的走法有三种：(1)沿右侧面和前面走时，如图①所示，由勾股定理，得AB＝152＋202＝625＝25，即路线长l1＝25.(2)沿右侧面和上底面走时，如图②所示，由勾股定理，得AB＝（20＋5）2＋102＝725，即路线长l2＝725.(3)沿后侧面和上底面走时，如图③所示，由勾股定理，得AB＝52＋302＝925，即路线长l3＝925.因为l1＜l2＜l3，故这只蚂蚁要爬行的最短路程为25.例7解：如图，连结AC.在Rt△ABC中，∠B＝90°，且AB＝BC，所以∠BAC＝45°.由AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，设AB＝BC＝2x，CD＝3x，DA＝x.因为∠B＝90°，所以AC2＝AB2＋BC2＝8x2，所以AC2＋AD2＝8x2＋x2＝9x2＝CD2，故∠DAC＝90°，所以∠DAB＝∠BAC＋∠DAC＝135°.。
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勾股定理本章中考演练一、选择题1．2016·台州如图14－Y－1，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是( )A. 3B. 5C. 6D.7图14－Y－12．2017·绍兴如图14－Y－2，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为( )图14－Y －2A ．0.7米B ．1.5米C ．2.2米D ．2.4米3．2016·株洲如图14－Y －3，以直角三角形三边a ，b ，c 为边向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S 1＋S 2＝S 3的图形个数是( )图14－Y －3A ．1B ．2C ．3D ．44．2016·东营在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝40，BC 边上的高AD ＝6，则另一边BC 等于( ) A ．10 B ．8C ．6或10D ．8或105．2016·杭州已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m 和n (m ＜n )，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则( )A ．m 2＋2mn ＋n 2＝0 B ．m 2－2mn ＋n 2＝0 C ．m 2＋2mn －n 2＝0 D ．m 2－2mn －n 2＝06．2016·青海如图14－Y －4，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2……按照此规律继续下去，则S 9的值为( )图14－Y －4A ．(12)6B ．(12)7C ．(12)8D ．(12)9二、填空题7．2016·哈尔滨在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，P为边BC的三等分点，连结AP，则AP的长为________．图14－Y－58．2015·庆阳在底面直径为2 cm，高为3 cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图14－Y－5所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为________cm.(结果保留π)9．2017·庆阳如图14－Y－6，一张三角形纸片ABC，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，现将纸片折叠，使点A与点B重合，那么折痕长等于________ cm.图14－Y－610．2016·江西如图14－Y－7是一张长方形纸片ABCD，已知AB＝8，AD＝7，E为AB 上一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片(△AEP)，使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是________．图14－Y－7三、解答题11．2016·益阳如图14－Y－8，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．作AD⊥BC于点D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD的长→根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x→利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积图14－Y－812．2015·柳州如图14－Y－9，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD ＝5.(1)求DB的长；(2)在△ABC中，求BC边上高．图14－Y－913．2016·绍兴如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形．(1)若固定三根木条AB，BC，AD不动，AB＝AD＝2 cm，BC＝5 cm，量得第四根木条CD ＝5 cm，判断此时∠B与∠D是否相等，并说明理由．(2)若固定两根木条AB，BC不动，AB＝2 cm，BC＝5 cm，量得木条CD＝5 cm，∠B＝90°，写出木条AD的长度可能取得的一个值(写出一个即可)．(3)若固定一根木条AB不动，AB＝2 cm，量得木条CD＝5 cm，如果木条AD，BC的长度不变，当点D移到BA的延长线上时，点C也在BA的延长线上；当点C移到AB的延长线上时，点A，C，D能构成周长为30 cm的三角形，求出木条AD，BC的长度．详解详析 本章中考演练1．B2．[解析] C 如图，在Rt △ACB 中，∵∠ACB ＝90°，BC ＝0.7米，AC ＝2.4米， ∴AB 2＝0.72＋2.42＝6.25.在Rt △A ′BD 中，∵∠A ′DB ＝90°，A ′D ＝2米，BD 2＋A ′D 2＝A ′B 2＝AB 2， ∴BD 2＋22＝6.25， ∴BD 2＝2.25. ∵BD ＞0， ∴BD ＝1.5米，∴CD ＝BC ＋BD ＝0.7＋1.5＝2.2(米)．3．[解析] D 根据直角三角形三边a ，b ，c ，应用勾股定理，可得a 2＋b 2＝c 2. (1)中S 1＝34a 2，S 2＝34b 2，S 3＝34c 2， ∵a 2＋b 2＝c 2，∴34a 2＋34b 2＝34c 2， ∴S 1＋S 2＝S 3.(2)中S 1＝π8a 2，S 2＝π8b 2，S 3＝π8c 2，∵a 2＋b 2＝c 2，∴π8a 2＋π8b 2＝π8c 2， ∴S 1＋S 2＝S 3.(3)中S 1＝14a 2，S 2＝14b 2，S 3＝14c 2，∵a 2＋b 2＝c 2， ∴14a 2＋14b 2＝14c 2， ∴S 1＋S 2＝S 3.(4)中S 1＝a 2，S 2＝b 2，S 3＝c 2， ∵a 2＋b 2＝c 2， ∴S 1＋S 2＝S 3.综上，可得面积关系满足S 1＋S 2＝S 3的图形有4个．故选D. 4．[解析] C 根据已知有两种符合题意的图形，如图所示．如图①所示，AB ＝10，AC ＝40，AD ＝6， 在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，根据勾股定理，得BD ＝AB 2－AD 2＝8，CD ＝AC 2－AD 2＝2，此时BC ＝BD ＋CD ＝8＋2＝10；如图②所示，AB ＝10，AC ＝40，AD ＝6， 在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，根据勾股定理，得BD ＝AB 2－AD 2＝8，CD ＝AC 2－AD 2＝2，此时BC ＝BD －CD ＝8－2＝6.综上所述，BC 的长为6或10.故选C.5．[解析] C 如图，m 2＋m 2＝(n －m )2，2m 2＝n 2－2mn ＋m 2，即m 2＋2mn －n 2＝0.故选C.6．[解析] A 在图中标上字母E ，如图所示．∵正方形ABCD 的边长为2，△CDE 为等腰直角三角形， ∴DE 2＋CE 2＝CD 2，DE ＝CE ， ∴S 2＋S 2＝S 1.观察，发现规律：S 1＝22＝4，S 2＝12S 1＝2，S 3＝12S 2＝1，S 4＝12S 3＝12，…，∴S n ＝(12)n －3.当n ＝9时，S 9＝(12)9－3＝(12)6，故选A.7．[答案] 13或10[解析] 如图①，∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3，P 为边BC 的三等分点， ∴PB ＝13BC ＝1，∴CP ＝2，∴根据勾股定理得AP ＝AC 2＋PC 2＝32＋22＝13；如图②，∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3， ∴PC ＝13BC ＝1，∴AP ＝AC 2＋PC 2＝32＋12＝10. 综上所述，AP 的长为13或10. 8.9π2＋9 9．[答案] 154[解析] 在Rt △ABC 中，因为AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm ，根据勾股定理，得AB ＝10 cm.设折痕与AB ，AC 分别交于点D ，E ，设CE ＝x cm ，由折叠的性质，得BD ＝AD ＝5 cm ，BE ＝AE ＝(8－x )cm.在Rt △BCE 中，根据勾股定理，得62＋x 2＝(8－x )2，解得x ＝74，则AE ＝AC －CE＝254.在Rt △ADE 中，DE ＝AE 2－AD 2＝154. 故答案为154.10．[答案] 50或80或5 [解析] 如图所示，分情况讨论：①当AP ＝AE ＝5时， ∵∠BAD ＝90°，∴△AEP 是等腰直角三角形， ∴底边PE ＝50； ②当PE ＝AE ＝5时，∵BE ＝AB －AE ＝8－5＝3，∠B ＝90°， ∴PB ＝PE 2－BE 2＝4，∴底边AP ＝AB 2＋PB 2＝82＋42＝80； ③当PA ＝PE 时，底边AE ＝5.综上所述，等腰三角形AEP 的底边长为50或80或5.11．解：设BD ＝x ，∴CD ＝14－x . 由勾股定理，得AD 2＝AB 2－BD 2＝152－x 2，AD 2＝AC 2－CD 2＝132－(14－x )2，∴152－x 2＝132－(14－x )2， 解得x ＝9， ∴AD ＝12，∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×14×12＝84.12．解：(1)∵DB ⊥BC ，BC ＝4，CD ＝5， ∴DB ＝52－42＝3.(2)如图，延长BD ，过点A 作AE ⊥BD 交BD 的延长线于点E .∵DB ⊥BC ，AE ⊥BE ， ∴∠DBC ＝∠E ＝90°. ∵D 为AC 边的中点， ∴AD ＝CD .在△DBC 和△DEA 中，∠DBC ＝∠E ，∠BDC ＝∠EDA ，CD ＝AD ， ∴△DBC ≌△DEA ，∴BC ＝EA ＝4. 设BC 边上的高为x ，则S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12DB ·EA ＋12DB ·BC ＝12BC ·x ，即12×3×4＋12×3×4＝12×4×x ， 解得x ＝6，即BC 边上的高为6.13．解：(1)相等．理由：如图，连结AC，在△ACD和△ACB中，∵AC＝AC，AD＝AB，CD＝CB，∴△ACD≌△ACB，∴∠B＝∠D.(2)∵AB＝2 cm，BC＝5 cm，且∠B＝90°，∴AC＝AB2＋BC2＝22＋52＝29(cm)，根据三角形三边关系可知29－5＜AD＜29＋5，∴AD的长可以为5 cm(答案合理即可)．(3)设AD＝x cm，BC＝y cm，当点C在点D右侧时，由已知得x＋2＝y＋5，x＋(y＋2)＋5＝30，解得x＝13，y＝10，当点C在点D左侧时，由已知得y＝x＋5＋2，x＋(y＋2)＋5＝30，解得x＝8，y＝15，此时AC＝17 cm，CD＝5 cm，AD＝8 cm，5＋8＜17，∴不合题意．综上，AD＝13 cm，BC＝10 cm.。