【潍坊三模】潍坊市2018届高三第三次高考模拟考试理科数学(含答案)(2018.05)

， ， ，
的分布列为：
所以
20．（1）设 ，
则 且 ，
由 为矩形，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ .
（2）设 ，
∵ 与圆 相切，
∴ ，得 ①
∵ 与 距离 ②
∵ ，
∴ 或 ，
又 位于 两侧，∴ ，③
联立 消去 整理得 ，
由 得 ④
由①③④得 .
21．解：（1） ，
令 ，即 ，
①当 时，即 时， 恒成立，即 ，
（2）（i）根据题意，这200位拟购买新能源汽车的消费者对补贴金额的心里预期值 的平均值 ，样本方差 及中位数的估计值分别为：
，
中位数的估计值为 .
（ii）根据给定的频数表可知，任意抽取1名拟购买新能源汽车的消费者，对补贴金额的心理预期值不低于3万元的概率为 ，
由题意可知 ， 的所有可能取值为0,1,2,3
①当 ，不等式转化为 ，
解得 ，所以此时 ，
②当 时，不等式转化为 ，
解得 ，所以此时 ，
③当 时，不等式转化为 ，
解得 ，所以此时 ，
综上 或 .
（2）证明：因为 ，
所以要证 ，只需证
即证 ，
即证
即证
即证
因为 ，所以 ，所以 成立，
所以原不等式成立.
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
选项
C
C
C
D
B
B
B
A
D
B
C
A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14． 15． 16．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
∴ 平面 ，
∴ 两两垂直பைடு நூலகம்
以点 为坐标原点，分别以 为 轴建立空间直角坐标系，如图
则 ，
， ，
设 是平面 的一个法向量，
则 ∴ ，∴ ，
∴
是平面 的一个法向量，
∴ ，
∴二面角 的余弦值为 .
19.解：（1）易知 ，
，
，
则 关于 的线性回归方程为 ，
当 时， ，即2018年5月份当地该品牌新能源汽车的销量约为2万辆.
17．解：（1）由已知1， ， 成等差数列得 ①
当 时， ，∴ ，
当 时， ②
①─②得 ，
∴ ，
∴数列 是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴ .
（2）由 得 ，
∴
.
18.解：（1）∵ 是等腰梯形，
∴ ，∴ ，
又 ，∴ ，∴ ，
∴ ，又
∴ 平面
∵ 平面 ，
∴平面 平面 .
（2）由（1）知 ，平面 平面 ,平面 平面 ，四边形 为正方形，∴ ，
因此 ，
即 ②
当且仅当 时的号成立，
由①②两式等号不同时成立，
因此 .
22．解：（1）设 上任意一点的极坐标为 ，则 在 上，
∴ ，
化简得 的极坐标方程： .
（2） 的直角坐标方程为 ，
将直线 的参数方程代入 的直角坐标方程得 ，
化简得 ， ，
，
，∴
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，满足 ，∴ .
23．解：将（1）将 代入不等式整理得
此时 在 单调递增，无极值点，
②当 时，即 或 ，
若 ，设方程 的两根为 ，且 ，
由韦达定理 ，故 ，
此时 单调递增，
单调递减，
单调递增，
故 分别为 的极大值点和极小值点，
因此 时， 有两个极值点；
若 ，设方程 的两根为 ，且 ，
由韦达定理 ，故 ，
此时 无极值点，
综上：当 时， 有两个极值点，当 时， 无极值点.
（2）（i） 等价于 ，
即 ，
因此 ，
设 ， ，
当 时， ，即 ， 单调递减
时， ，即 ， 单调递增
因此 为 的极小值点，即 ，故 .
（ii）由（i）知 时， ，即 ，
因此
故 ①
当且仅当 时等号成立，
下证： ，
事实上，设 ，
，
令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
故 为 的极小值点，