江苏省2020版高考数学一轮复习第六章平面向量与复数第34课平面向量的平行与垂直课件苏教版
高考数学一轮复习第六章 平面向量与复数答案
第六章 平面向量与复数 第29讲 平面向量的概念与线性运算链教材·夯基固本 激活思维 1.ABD【解析】对于A ，因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故A 不正确；对于B ，由|a |＝|b |只能判断两向量长度相等，并不能判断方向，故B 不正确；对于C ，因为|a |＝|b |，且a 与b 同向，由两向量相等的条件可得a ＝b ，故C 正确；对于D ，若向量a 与向量b 中有一个是零向量，则其方向不确定，故D 不正确．故选ABD.2. ACD 【解析】 对于A ，AB→＋BC →＋CA →＝AC →＋CA →＝0，故A 正确；对于B ，OA →＋OC→＋BO →＋CO →＝(CO →＋OA →)＋(BO →＋OC →)＝CA →＋BC →＝CA →－CB →＝BA→，故B 错误；对于C ，AB →－AC →＋BD →－CD →＝CB →＋BC →＝0，故C 正确；对于D ，NQ →＋QP→＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝0，故D 正确．故选ACD. 3. C 【解析】 OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB→.故选C.4.B【解析】由于c 与d 反向共线，则存在实数k ，使得c ＝k d (k ＜0)，于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]，整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.因为k ＜0，所以λ＜0，故λ＝－12.5. 12 【解析】 如图，DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＋λ2＝23－16＝12.(第5题)知识聚焦3. b ＝λa4. 12(OA →＋OB →)研题型·融会贯通 分类解析【答案】 BC 【解析】 A 错误，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．B 正确，因为AB→＝DC→，所以|AB→|＝|DC→|且AB→∥DC→.又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形．反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB→∥DC→且|AB→|＝|DC→|，因此AB→＝DC→.C 正确，因为a ＝b ，所以a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，所以b ，c 的长度相等且方向相同，所以a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .D 错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件．故选BC.【答案】 CD 【解析】因为向量AB→与BA →互为相反向量，所以它们的长度相等，所以A 正确；由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，所以B 正确；由共线向量定义知C 错误；因为零向量不能看作是有向线段，所以D 错误．故选CD.(1) 【答案】 A【解析】 在平行四边形ABCD 中，若CE →＝4ED →，则CE →＝45CD →，则BE→＝BC →＋CE →＝AD →＋45CD →＝－45AB →＋AD →.(2) 【答案】 B【解析】 因为DE →＝AE →－AD →＝23AC →－AB →－BD →＝23AC →－AB →－12BC →＝23AC →－AB →－12(AC →－AB →)＝－12AB →＋16AC →，又DE →＝x AB →＋y AC →，所以x ＝－12，y ＝16，所以x ＋y ＝－12＋16＝－13.(1) 【答案】 C【解析】 在△CEF 中，EF →＝EC →＋CF →.因为E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为CF→＝2FB →，所以CF →＝23CB →，所以EF →＝EC →＋CF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD→，故选C.(2) 【答案】 C【解析】 如图，BP→＝BD →＋DP →＝BD →－PD →，AB→＝AD →＋DB →＝－BD →＋2PD →， AC→＝AD →＋DC →＝BD →＋2PD →， 则BP →＝λAB →＋μAC →＝(μ－λ)BD →＋(2λ＋2μ)PD →， 所以⎩⎪⎨⎪⎧μ－λ＝1，2λ＋2μ＝－1，则λ＋μ＝－12.(变式(2))(1) 【答案】 AD 【解析】(1)若e 1与e 2不共线，a 与b 共线，可得λa ＝b (λ∈R )，即2λ＝k ，－λ＝1，解得k ＝－2，所以A 正确，B 错误．若e 1与e 2共线，则e 1＝m e 2(m∈R )，a ＝2e 1－e 2＝(2m －1)e 2，b ＝k e 1＋e 2＝(km ＋1)e 2，可得a 与b 共线，所以C 错误，D 正确．(2) 【答案】 43【解析】 由题知AC →＝AB →＋BC →＝3e 1－2e 2，因为A ，C ，D 三点共线，所以AC →与CD →共线，从而存在实数λ，使得AC→＝λCD →，即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)．由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk ，解得k ＝43.【解答】(1)AE→＝AB→＋BE→＝2e 1＋e 2＋(－e 1＋λe 2)＝e 1＋(1＋λ)e 2，因为A ，E ，C 三点共线，所以存在实数k ，使得AE→＝k EC →，即e 1＋(1＋λ)e 2＝k (－2e 1＋e 2)， 得(1＋2k )e 1＋(1＋λ－k )e 2＝0.因为e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2k ＝0，1＋λ－k ＝0，解得k ＝－12，λ＝－32.(2) 因为A ，B ，C ，D 四点按顺时针顺序构成平行四边形，所以AD →＝BC →.设A (x ，y )，则AD→＝(2－x,4－y )，因为BC →＝BE →＋EC →＝－3e 1－12e 2＝(6,3)＋(1，－1)＝(7,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＝7，4－y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝2，所以点A 的坐标为(－5,2)． 课堂评价 1. C 2. ACD 3. BCD【解析】 分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA→是相反向量的共有18个，故A 错误；由|OA→－OB →|＝10，即|BA→|＝10，知格点B 共有3个，故B 正确；因为存在格点B ，C ，使得四边形OBAC 是以OA 为对角线的平行四边形，故存在格点B ，C ，使得OA→＝OB →＋OC →；不妨设O (0,0)，则A (1,2)，设B (x 0，y 0)，由OA→·OB →＝1，即x 0＋2y 0＝1，格点B (x 0，y 0)在一次函数y ＝－12x ＋12上，该直线正好经过图中4个格点，故选项D 正确．4. 13【解析】 设线段BC 的中点为M ，则OB→＋OC →＝2OM →.因为2AO →＝OB →＋OC →，所以AO →＝OM →，则AO →＝12AM →＝14(AB →＋AC →)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋1t AD →＝14AB →＋14t AD →.由B ，O ，D 三点共线，得14＋14t ＝1，解得t ＝13.5.54【解析】 如图，取AB 的中点F ，连接CF ，则四边形AFCD 是平行四边形，所以CF∥AD ，且CF ＝AD .因为AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12(FC →－FB →)＝AB →＋12⎝⎛⎭⎪⎪⎫AD →－12AB →＝34AB →＋12AD →，所以λ＝34，μ＝12，所以λ＋μ＝54.(第5题)第30讲 平面向量的基本定理及坐标表示链教材·夯基固本 激活思维1. A 【解析】 由题意知PQ →＝PB →＋BQ →＝23AB →＋13BC →＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB→＋13AC →＝13a ＋13b .故选A. 2. B【解析】 －3a －2b ＝－3(3，－1)－2(－1,2)＝(－9,3)＋(2，－4)＝(－7，－1)．故选B. 3.D【解析】由a∥b ，知1×m ＝2×(－2)，解得m ＝－4，即b ＝(－2，－4)，所以|b |＝(－2)2＋(－4)2＝25，故选D.4.C【解析】以A 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设AD ＝2，则B (4,0)，D (0,2)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，23，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2，23，AB →＝(4,0)，AD →＝(0,2)，所以BF →＝－12AB →＋13AD →.(第4题)知识聚焦1. a ＝λ1e 1＋λ2e 22. (1) (x 1－x 2，y 1－y 2) (λx 1，λy 1) (2) ②(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)23. x 1y 2＝x 2y 1 研题型·融会贯通分类解析【解答】 (1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →，所以OC→＝2OA →－OB →＝2a －b ， DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2) 由题意，设EC→＝x DC →，因为EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b ，所以(2－λ)a －b ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2a －53b . 因为a 与b 不共线，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝2x ，－1＝－53x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35，λ＝45.【题组·高频强化】1. A 【解析】 依题意得AE→＝AB →＋BE →，AE →＝AD →＋DC →＋CE →，所以2AE →＝AB →＋AD →＋DC →＝AB →＋AD →＋12AB →＝32AB →＋AD →，所以AE →＝34AB →＋12AD →.2.A【解析】由OC→＝2OP→，AB→＝2AC →，知C 是AB 的中点，P 是OC 的中点，所以OC →＝12(OA →＋OB →)，则OP →＝14(OA→＋OB →)．又OM →＝38OB →，ON →＝n OA →，所以MN →＝ON →－OM →＝n OA →－38OB →，MP→＝OP →－OM→＝14(OA→＋OB→)－38OB→＝14OA→－18OB →.又M ，P ，N 三点共线，所以存在实数λ，使得MN →＝λMP →成立，即n OA →－38OB→＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14OA →－18OB →.又OA →，OB →不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧n ＝14λ，－38＝－18λ，解得n ＝34.3. B 【解析】 如图，设AH →＝λAF →，DH →＝μDE →，又DH →＝DA →＋AH →＝－b ＋λAF →＝－b ＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b ＋12a ，DH→＝μDE→＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －12b ，所以μ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －12b ＝－b ＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b ＋12a .由于a ，b 不共线，因此由平面向量的基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧μ＝12λ，－12μ＝－1＋λ，解得λ＝45，μ＝25，故AH →＝λAF →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b ＋12a ＝25a ＋45b .(第3题)4. 【解答】 设BC →＝x ，CD →＝y ，则BK →＝12x ，DL →＝－12y .由AB→＋BK →＝AK →，AD →＋DL →＝AL →，得⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋12x ＝e1，①x －12y ＝e2，②①＋②×(－2)，得12x －2x ＝e 1－2e 2，所以x ＝－23(e 1－2e 2)＝－23e 1＋43e 2，即BC →＝－23e 1＋43e 2.同理可得y ＝CD →＝－43e 1＋23e 2.【解答】(1)假设存在常数t 使得OA→＋tOB→＝OC →，则(3t －1,4t ＋2)＝(2,1)，即⎩⎪⎨⎪⎧3t －1＝2，4t ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝1，t ＝－14，因此，不存在实数t ，使得OA →＋t OB →＝OC →.(2) 设点D (x ，y )，由题意得AB→＝2DC→，即(4,2)＝2(2－x,1－y )，可得⎩⎪⎨⎪⎧2×(2－x )＝4，2×(1－y )＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，因此点D 的坐标为(0,0)．(3) 设点E 的坐标为(a ，b )，BC→＝(－1，－3)，AE →＝(a ＋1，b －2)，由⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪AE →＝1，AE→·BC →＝1，可得⎩⎨⎧(a ＋1)2＋(b －2)2＝1，－(a ＋1)－3(b －2)＝1，整理得⎩⎨⎧(a ＋1)2＋(b －2)2＝1，a ＋3b －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝75，因此，点E 的坐标为(－2,2)或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－15，75.【解答】 (1) AB→＝(－4,2)，AC →＝(2，－3)，由AB →＋AC →＝(－2，－1)，得⎪⎪⎪⎪AB →＋AC →＝5， 由AB→－AC →＝(－6,5)，得|AB →－AC →|＝61. 故以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长分别为5，61. (2) 假设存在实数t 满足条件．因为OB →＝(－5,4)，由向量AC →－t OB →与向量OB →垂直，得(AC →－t OB →)·OB →＝0， 又因为AC→－t OB →＝(2，－3)－t (－5,4)＝(2＋5t ，－3－4t )， 所以(2＋5t )×(－5)＋(－3－4t )×4＝0，解得t ＝－2241.所以存在t ＝－2241，使得向量AC→－t OB →与向量OB →垂直．【解答】(1)因为a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，所以k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．又因为k a －b 与a ＋2b 共线，所以2(k －2)－(－1)×5＝0，所以k ＝－12.(2)由题知AB→＝2a ＋3b ＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，BC→＝a ＋m b ＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )．因为A ，B ，C 三点共线，所以AB→∥BC →，所以8m －3(2m ＋1)＝0，所以m ＝32.(1) 【答案】 C (2) 【答案】 C 【解析】由题意知a －λb ＝(1＋λ，1－3λ)，因为(a －λb )∥c ，所以2(1－3λ)＝1＋λ，解得λ＝17.课堂评价 1.CD【解析】对于A 选项，若a 与b 的夹角为钝角，则a ·b <0且a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧a ·b ＝k －2<0，－k ≠2，解得k <2且k ≠－2，A 选项中的命题正确；对于B 选项，|a |＝k2＋4≥4＝2，当且仅当k ＝0时，等号成立，B 选项中的命题正确；对于C 选项，|b |＝2，与b 共线的单位向量为±b |b|，即与b 共线的单位向量为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，－22或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22，22，C 选项中的命题错误； 对于D 选项，因为|a |＝2|b |＝22，即k2＋4＝22，解得k ＝±2，D 选项中的命题错误．2. B3. D 【解析】 因为AB→＋AC →＝2AD →，所以D 是BC 的中点．又因为AE →＋DE →＝0，所以E 是AD 的中点，所以BE →＝BA →＋AE →＝－AB →＋12AD →＝－AB →＋12×12(AB→＋AC →)＝－34AB →＋14AC →，因此x ＝－34，y ＝14，即x ＝－3y .故选D.4. A5. A 【解析】 因为DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB→－34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58，故选A. 第31讲 平面向量数量积的应用链教材·夯基固本 激活思维 1.ABD【解析】对于A 选项，设a 与b 的夹角为θ，则a ·b ＝|a|·|b |cosθ＝|a |·|b |，则cos θ＝1，所以θ＝0，则a 与b 同向，所以a ∥b ，A 选项正确；对于B 选项，由于a ，b ，c 是三个非零向量，且a ∥b ，b∥c ，则存在非零实数λ，μ，使得a ＝λb ，b ＝μc ，所以a ＝λb ＝λ(μc )＝(λμ)c ，所以a∥c ，B 选项正确；对于C 选项，若a ·c ＝b ·c ，则a ·c －b ·c ＝(a －b )·c ＝0，即(a －b )⊥c ，所以a 与b 在c 方向上的投影相等，C 选项错误；对于D 选项，在等式|a ＋b|＝|a －b|两边平方得a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2，整理得a ·b ＝0，则a ⊥b ，D 选项正确．2. D 【解析】 依题意得a 2＝2，a ·b ＝2×2×cos 45°＝2，则|3a ＋b |＝(3a ＋b )2＝9a2＋6a ·b ＋b2＝18＋12＋4＝34. 3.D【解析】因为a ＋b ＝(x －3，－3)，(a ＋b )⊥a ，所以－3(x －3)＋1×(－3)＝0，解得x ＝2.设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a||b|＝－22，又θ∈[0，π]，所以θ＝3π4.4. B 【解析】 因为△ABC 是边长为1的等边三角形，且BD ＝2DC ，所以BD →＝23BC →，所以AB →·AD →＝AB →·(AB →＋BD →)＝AB →2＋23AB →·BC →＝1＋23×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝23.故选B.5. A【解析】 如图，AN →·MN →＝(AB →＋BN →)·⎝⎛⎭⎪⎪⎫12DC →＋13CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋23BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12AB →－13BC →＝12AB →2－29BC →2＝12×2－29×3＝13.(第5题)知识聚焦1. [0，π] 3. (3) －|a ||b | (5) |a ||b | 5. (1) x 1x 2＋y 1y 2 (2) x 1x 2＋y 1y 2＝0 (3) x21＋y21 (4) x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 24【解析】 (1) 因为a －λb 与b 垂直，所以(a －λb )·b ＝0， 所以a ·b －λb 2＝0，所以1×2×cos π4－4λ＝0，所以λ＝24.(2) 【答案】 A 【解析】因为|a |＝3|b |，cos 〈a ，b 〉＝13，所以a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝9|b |2－|b |2＝8|b |2＝16，所以|b |＝2.【解案】 (1) a ·b ＝|a||b |cos 120°＝3×4×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝－6.(2) |a ＋b |＝(a ＋b )2＝a2＋2a ·b ＋b2＝13. (3) 因为(2a －b )⊥(a ＋k b )，所以(2a －b )·(a ＋k b )＝0， 即2a 2＋2k a ·b －a ·b －k b 2＝0，18－6(2k －1)－16k ＝24－28k ＝0，解得k ＝67.(1) 【答案】 π3【解析】 因为向量a ，b 的夹角是2π3，a 是单位向量，|b |＝2，所以a ·b ＝|a |·|b |cos 2π3＝1×2×cos 2π3＝－1.因为c ＝2a ＋b ，所以|c |＝(2a ＋b )2＝4a2＋4a ·b ＋b2＝4－4＋4＝2，所以c ·b ＝(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2＝－2＋4＝2.设向量c 与b 的夹角为θ，其中θ∈[0，π]， 则cos θ＝c ·b|c|·|b|＝22×2＝12，得θ＝π3.(2) 【答案】 23 【解析】因为|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为60°，所以a ·b ＝|a |·|b |cos60°＝1，则|a ＋2b |＝4＋4＋4＝23.(1) 【答案】 C 【解析】由|a ＋b |＝|a －b |，得a ·b ＝0，由|a ＋b |＝2|a |，得|b |＝3|a |.设a ＋b 与a 的夹角为θ(θ∈[0，π])，则cos θ＝(a ＋b )·a |a ＋b |·|a |＝12，所以θ＝π3.(2) 【答案】 6 【解析】由题意知，向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝3，所以(3a －2b )2＝9a 2－12a ·b ＋4b 2＝9×22－12×2×3cos 60°＋4×32＝36，所以|3a －2b |＝6.【解答】 (1) 因为DB →＝2AD →，所以AD →＝13AB →，所以CD →＝AD →－AC →＝13AB→－AC →，因为AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝60°，所以AB →·AC →＝⎪⎪⎪⎪AB →·⎪⎪⎪⎪AC →cos60°＝2×3×12＝3.所以CD →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13AB →－AC →2＝19AB →2－23AB →·AC →＋AC →2＝19×22－23×3＋32＝679，故CD ＝673.(2) 因为CE →＝2EB →，所以BE →＝13BC →，所以DE →＝DB →＋BE →＝23AB →＋13BC →＝23AB →＋13(AC→－AB →)＝13AB →＋13AC →，所以AB →·DE →＝AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13AB →＋13AC →＝13AB →2＋13AB →·AC →＝13×22＋13×3＝73.【题组·高频强化】1. D 【解析】 由已知得AM →＝12(AB →＋AC →)，BC →＝AC →－AB →，所以AM →·BC →＝12(AB→＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(AC →2－AB →2)＝72.2. B 【解析】 由AD →＝2DC →，得BD →＝23BC →＋13BA →，CA →＝BA →－BC →，所以BD →·CA→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23BC →＋13BA →·(BA →－BC →)＝－6. 3. B 【解析】 根据题意，AB ＝3，BD ＝2AD ，则AD ＝1.在△ADC 中，又AC ＝2，∠BAC ＝60°，则DC 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos ∠BAC ＝3，即DC ＝3，则CD ⊥AB ，BE →·AB →＝(BD →＋DE →)·AB →＝BD →·AB →＋DE →·AB →＝BD →·AB →＝－23AB →2＝－6.4.A【解析】 以BD 的中点O 为坐标原点，以BD 所在的直线为x 轴，以CA 所在的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B (－1，0)，C (0，－3)，所以直线BC 的方程为y ＝－3x －3.设点M (x ，－3x －3)(－1≤x ≤0)，则OM →＝(x ，－3x －3)，CM→＝(x ，－3x )，所以OM →·CM →＝x 2＋3x 2＋3x ＝4x 2＋3x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋382－916，当x ＝－38时，OM →·CM →取到最小值－916.(第4题)课堂评价 1. A【解析】根据题意，|a －b |＝3＋2＝5，则(a －b )2＝a 2＋b 2－2a·b ＝5－2a·b ＝5，得a·b ＝0，所以(2a －b )2＝4a 2＋b 2－4a·b ＝4＋4＝8，则|2a －b |＝22，故选A.2. B3.D【解析】 因为向量a ＝(1，k )，|b |＝2，a 与b 的夹角为5π6，所以a ·b ＝|a |·|b |cos5π6＝－3·1＋k2.又(a ＋b )⊥a ，所以(a ＋b )·a ＝a 2＋a·b ＝1＋k 2－3·1＋k2＝0，所以1＋k2·(1＋k2－3)＝0，由1＋k2＞0，解得k ＝±2.4.22【解析】 因为AE→＝AB →＋BE →＝AB →＋λBC →，BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋λCD →，所以AE →·BF →＝(AB →＋λBC →)·(BC →＋λCD →)＝AB →·BC →＋λAB →·CD →＋λBC →2＋λ2BC →·CD →＝|AB→||BC→|cos 120°－λAB→2＋λBC→2＋λ2|BC→||CD→|cos60°＝2λ2－2＝－1，解得λ＝±22.因为点E ，F 分别在边BC ，DC 上，所以λ>0，所以λ＝22.5. 13【解析】如图，以B 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，BC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则B (0,0)，A (1,0)，C (0，2)，所以AC→＝(－1,2)．因为D 为BC 的中点，所以D (0,1)，因为AE →＝2EC →，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，43，所以DE→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，13，所以DE →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，13·(－1,2)＝－13＋23＝13.(第5题) 第32讲 复 数链教材·夯基固本 激活思维1. B 【解析】 由z ＝1＋i ，得z －＝1－i ，则z z －－z －1＝2－(1＋i)－1＝－i.故选B.2. D 【解析】 由已知得(1＋i )3(1－i )2＝(1＋i )2(1＋i )(1－i )2＝2i (1＋i )－2i ＝－1－i.故选D.3.D【解析】由题意可得z 2＝(1＋i)2＝2i ，则z 2－2z ＝2i －2(1＋i)＝－2，故|z 2－2z |＝|－2|＝2.4. D5.B【解析】因为z 1，z 2在复平面内的对应点关于实轴对称，所以z 2＝1－i ，所以z 1z 2＝(1＋i)·(1－i)＝2.故选B.知识聚焦1. (1) a b (2) a ＝c 且b ＝d 3. (3) a2＋b2研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 C (2) 【答案】 C【解析】 由z (1＋i )i 32－i ＝1－i ，得z ＝(1－i )(2－i )(1＋i )i 3＝1－3i －i (1＋i )＝1－3i 1－i ＝(1－3i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2－i ，所以z －＝2＋i ，所以复数z －的虚部为1.(3) 【答案】 C【解析】 由题意得z ＝－3i 1＋3i＝－3i (1－3i )(1＋3i )(1－3i )＝－3－3i4＝－34－34i ，所以z －＝－34＋34i ，所以|z －|＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－342＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫342＝32. (1) 【答案】 3 (2) 【答案】 A 【解析】i(x ＋y i)＝－y ＋x i ，5i 2－i＝5i (2＋i )5＝－1＋2i ，根据两复数相等的充要条件得x ＝2，y ＝1，即x ＋y i ＝2＋i ，其共轭复数为x －y i ＝2－i.(1) 【答案】 D【解析】因为z －＝1－i 1＋i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＝－2i 2＝－i ，所以z ＝i.(2) 【答案】 D(1) 【答案】 C 【解析】由题得1＋i (1＋i )(1－i )＝1＋i 2＝12＋12i ＝a ＋b i ，所以a ＝12，b ＝12，所以a b＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1212＝22.(2) 【答案】 A 【解析】因为z ·i 3＋2i＝1－i ，所以z ·i ＝(1－i)·(3＋2i)＝5－i ，所以z ＝－1－5i ，所以z ＋3＝2－5i ，所以|z ＋3|＝29.(1) 【答案】 B【解析】z ＝(3m －2)＋(m －1)i ，由题知3m －2＜0且m －1＜0，解得m ＜23.故选B.(2) 【答案】 4【解析】 若复数z 满足条件|z |＝1，则z 所对应的点的轨迹是单位圆．因为|z ＋22＋i|表示单位圆上的动点到定点(－22，－1)的距离，所以|z ＋22＋i|的最大值是4.【答案】 C 【解析】由已知条件，可设z ＝x ＋y i(x ，y∈R )．因为|z －i|＝1，所以|x ＋y i －i|＝1，所以x 2＋(y －1)2＝1.故选C.课堂评价1. C 【解析】 由题知z ＝－i (a ＋i )－i·2i ＝1－ai2，所以a ＝－1.2. A 【解析】 由题知z ＝4i1＋i ＝4i (1－i )1－i 2＝2＋2i ，对应的点为(2,2)，在第一象限．3. B 【解析】 由题得z －＝i(1－i)＝1＋i ，所以z ＝1－i ，所以|z |＝12＋(－1)2＝2，故选B.4.BC【解析】复数不能比较大小，故A 错误；若a 2－4＋(a ＋2)i 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a2－4＝0，a ＋2≠0，解得a ＝2，故B 正确；z ＝(1＋i)2(1＋2i)＝－4＋2i ，所以z－＝－4－2i ，为第三象限内的点，故C 正确；z ＝1＋i 2＋i＝(1＋i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝3＋i 5，其虚部为15，故D 错误．故选BC.5. 5【解析】 由题意可得z ＝1＋3i 1＋i ＝(1＋3i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4＋2i 2＝2＋i ，所以z 2＝3＋4i ，所以|z 2|＝9＋16＝5.。
高考数学一轮复习第六章平面向量解三角形复数6.3平面向量的数量积与平面向量的应用人教A版
-2e1·e2-8������22. e1,e2 为单位向量,且
e1
与
e2
的夹角为π3,
所以 b1·b2=3-2×12-8=3-1-8=-6.
-15-
考点1
考点2
考点3
考点 2 平面向量的模及应用
例 2(1)在平面内,定点 A,B,C,D 满足|������������|=|������������|=|������������|,������������ ·������������ =
-13-
考点1
考点2
考点3
对点训练 1(1)已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形,点 D,E 分别
是边 AB,BC 的中点,连接 DE 并延长到点 F,使得 DE=2EF,则������������ ·������������
的值为( B )
A.-58
B.18
C.14
D.181
(2)已知 a=(1,2),2a-b=(3,1),则 a·b=( D )
+
3 4
=
18,应选
B.
(2)因为a=(1,2),2a-b=(3,1),
所以b=2a-(3,1)=2(1,2)-(3,1)=(-1,3).
所以a·b=(1,2)·(-1,3)=-1+2×3=5.
(3)b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,则 b1·b2=(e1-2e2)·(3e1+4e2)
=3������12 因为
6.向量在三角函数中的应用 对于向量与三角函数结合的题目,其解题思路是用向量运算进行 转化,化归为三角函数问题或三角恒等变形等问题或解三角形问题.
7.向量在解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用,主要是以向量的数量积给出一种条件, 通过向量转化,进而利用直线和圆锥曲线的位置关系等相关知识来 解答.
(新课改)2020版高考数学一轮复习 平面向量、复数第一节平面向量的概念及线性运算讲义(含解析)
第一节 平面向量的概念及线性运算突破点一 平面向量的有关概念[基本知识] 名称 定义备注向量 既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量，平面向量可自由平移 零向量 长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量 非零向量a 的单位向量为±a |a|平行向量 方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量0与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( ) (2)若a 与b 不相等，则a 与b 一定不可能都是零向量．( ) 答案：(1)× (2)√ 二、填空题1．如果对于任意的向量a ，均有a ∥b ，则b 为________． 答案：零向量2．若e 是a 的单位向量，则a 与e 的方向________． 解析：∵e ＝a|a |，∴e 与a 的方向相同． 答案：相同3．△ABC 中，点D ，E ，F 分别为BC ，CA ，AB 的中点，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为端点的有向线段所表示的向量中，与EF ―→共线的向量有________个．答案：7个[典例感悟]1．(2018·海淀期末)下列说法正确的是( )A ．方向相同的向量叫做相等向量B ．共线向量是在同一条直线上的向量C ．零向量的长度等于0D ．AB ―→∥CD ―→就是AB ―→所在的直线平行于CD ―→所在的直线解析：选C 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A 不正确；方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，但共线向量不一定在同一条直线上，故B 不正确；显然C 正确；当AB ―→∥CD ―→时，AB ―→所在的直线与CD ―→所在的直线可能重合，故D 不正确．2．(2019·辽宁实验中学月考)有下列命题： ①若|a|＝|b|，则a ＝b ；②若|AB ―→|＝|DC ―→|，则四边形ABCD 是平行四边形； ③若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中，假命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 对于①，|a |＝|b |，a ，b 的方向不确定，则a ，b 不一定相等，所以①错误；对于②，若|AB ―→|＝|DC ―→|，则AB ―→，DC ―→的方向不一定相同，所以四边形ABCD 不一定是平行四边形，②错误；对于③，若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ，③正确；对于④，若a ∥b ，b ∥c ，则b ＝0时，a ∥c 不一定成立，所以④错误．综上，假命题的是①②④，共3个，故选C.3．(2019·赣州崇义中学模拟)向量AB ―→与CD ―→共线是A ，B ，C ，D 四点共线的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由A ，B ，C ，D 四点共线，得向量AB ―→与CD ―→共线，反之不成立，可能AB ∥CD ，所以向量AB ―→与CD ―→共线是A ，B ，C ，D 四点共线的必要不充分条件，故选B.[方法技巧]关于平面向量的3个易错提醒(1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小； (2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征； (3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上．突破点二 平面向量的线性运算[基本知识]1．向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何意义)运算律 加法求两个向量和的运算交换律：a ＋b ＝b ＋a ； 结合律： (a ＋b)＋c ＝a ＋(b ＋c )减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算a －b ＝a ＋(－b)数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa 与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μ a)＝(λ μ)a ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b)＝λa ＋λb向量b 与a(a ≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa. 3．向量的中线公式及三角形的重心 (1)向量的中线公式：若P 为线段AB 的中点，O 为平面内一点，则OP ―→＝12(OA ―→＋OB ―→)．(2)三角形的重心：已知平面内不共线的三点A ，B ，C ，PG ―→＝13(PA ―→＋PB ―→＋PC ―→)⇔G 是△ABC 的重心．特别地，PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝0⇔P 为△ABC 的重心．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)a ∥b 是a ＝λb(λ∈R)的充要条件．( )(2)△ABC 中，D 是BC 的中点，则AD ―→＝12(AC ―→＋AB ―→)．( )答案：(1)× (2)√ 二、填空题1．在如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP ―→＋OQ ―→＝________.答案：FO ―→2．化简：(AB ―→－CD ―→)－(AC ―→－BD ―→)＝________.解析：(AB ―→－CD ―→)－(AC ―→－BD ―→)＝AB ―→－CD ―→－AC ―→＋BD ―→＝(AB ―→－AC ―→)＋(DC ―→－DB ―→)＝CB ―→＋BC ―→＝0.答案：03．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为________．答案：－12[全析考法]考法一 平面向量的线性运算应用平面向量的加法、减法和数乘运算的法则即可．(1)加法的三角形法则要求“首尾相接”，加法的平行四边形法则要求“起点相同”； (2)减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向“被减向量”； (3)数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算． [例1] (1)(2019·湖北咸宁联考)如图，在△ABC 中，点M 为AC 的中点，点N 在AB 上，AN ―→＝3NB ―→，点P 在MN 上，MP ―→＝2PN ―→，那么AP ―→＝( )A.23AB ―→－16AC ―→B.13AB ―→－12AC ―→C.13AB ―→－16AC ―→ D.12AB ―→＋16AC ―→ (2)如图，在直角梯形ABCD 中，DC ―→＝14AB ―→，BE ―→＝2EC ―→，且AE―→＝r AB ―→＋s AD ―→，则2r ＋3s ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] (1)AP ―→＝AM ―→＋MP ―→＝AM ―→＋23MN ―→＝AM ―→＋23(AN ―→－AM ―→)＝13AM ―→＋23AN ―→＝16AC ―→＋12AB ―→.故选D.(2)根据图形，由题意可得AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋23BC ―→＝AB ―→＋23(BA ―→＋AD ―→＋DC ―→)＝13AB ―→＋23(AD ―→＋DC ―→)＝13AB ―→＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→＋14AB ―→＝12AB ―→＋23AD ―→.因为AE ―→＝r AB ―→＋s AD ―→，所以r ＝12，s ＝23，则2r ＋3s ＝1＋2＝3.[答案] (1)D (2)C [方法技巧]1．平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式． (3)比较、观察可知所求．考法二 平面向量共线定理的应用求解向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．(3)直线的向量式参数方程：A ，P ，B 三点共线⇔OP ―→＝(1－t )·OA ―→＋t OB ―→(O 为平面内任一点，t ∈R)．[例2] (1)(2019·南昌莲塘一中质检)已知a ，b 是不共线的向量，AB ―→＝λa ＋b ，AC ―→＝a ＋μb(λ，μ∈R)，若A ，B ，C 三点共线，则λ，μ的关系一定成立的是( )A ．λμ＝1B ．λμ＝－1C ．λ－μ＝－1D ．λ＋μ＝2(2)(2019·郑州模拟)设e 1与e 2是两个不共线向量，AB ―→＝3e 1＋2e 2，CB ―→＝k e 1＋e 2，CD ―→＝3e 1－2k e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为________．[解析] (1)∵AB ―→与AC ―→有公共点A ，∴若A ，B ，C 三点共线，则存在一个实数t 使AB―→＝t AC ―→，即λa ＋b ＝t a ＋μt b ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，μt ＝1，消去参数t 得λμ＝1；反之，当λμ＝1时，AB ―→＝1μa ＋b ，此时存在实数1μ使AB ―→＝1μAC ―→，故AB ―→和AC ―→共线．∵AB ―→与AC ―→有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线．故选A.(2)由题意，A ，B ，D 三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB ―→＝λBD ―→. 又AB ―→＝3e 1＋2e 2，CB ―→＝k e 1＋e 2，CD ―→＝3e 1－2ke 2， 所以BD ―→＝CD ―→－CB ―→＝3e 1－2ke 2－(ke 1＋e 2) ＝(3－k )e 1－(2k ＋1)e 2，所以3e 1＋2e 2＝λ(3－k )e 1－λ(2k ＋1)e 2， 又e 1与e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝λ3－k ，2＝－λ2k ＋1，解得k ＝－94.[答案] (1)A (2)－94[方法技巧] 平面向量共线定理的3个应用 证明向量共线 对于非零向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线 证明三点共线 若存在实数λ，使AB ―→＝λAC ―→，AB ―→与AC ―→有公共点A ，则A ，B ，C 三点共线 求参数的值利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值1.[考法一]在等腰梯形ABCD 中，AB ―→＝－2CD ―→，M 为BC 的中点，则AM ―→＝( ) A.12AB ―→＋12AD ―→ B.34AB ―→＋12AD ―→C.34AB ―→＋14AD ―→ D.12AB ―→＋34AD ―→ 解析：选B 因为AB ―→＝－2CD ―→，所以AB ―→＝2DC ―→.又M 是BC 的中点，所以AM ―→＝12(AB―→＋AC ―→)＝12(AB ―→＋AD ―→＋DC ―→)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ―→＋AD ―→＋12 AB ―→ ＝34AB ―→＋12AD ―→，故选B.2.[考法一]在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO ―→＝λAB ―→＋μBC ―→，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ等于( )A ．1 B.12 C.13D.23解析：选D 由题意易得AD ―→＝AB ―→＋BD ―→＝AB ―→＋13BC ―→，则2AO ―→＝AB ―→＋13BC ―→，即AO ―→＝12AB ―→＋16BC ―→.故λ＋μ＝12＋16＝23.3.[考法二]设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3(a －b)，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线．解：(1)证明：∵AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3(a －b)， ∴BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝2a ＋8b ＋3(a －b)＝5(a ＋b)＝5AB ―→， ∴AB ―→，BD ―→共线，又它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵ka ＋b 与a ＋kb 共线，∴存在实数λ，使ka ＋b ＝λ(a ＋kb)，即(k －λ)a ＝(λk －1)b. 又a ，b 是两个不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0.∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.。
(新人教A版)2020版高考数学大一轮复习第六章平面向量与复数第1节平面向量的概念及线性运算课件理
选项 A 中 a 与 b 的方向相同；选项 B 中 a 与 b 共线，方向相同或相反；选项 C 中 a
与 b 的方向相反；选项 D 中 a 与 b 互相垂直.
(2)①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同. ②正确.∵A→B＝D→C，∴|A→B|＝|D→C|且A→B∥D→C，又 A，B，C，D 是不共线的四点，∴四边 形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则|A→B|＝|D→C|，A→B∥D→C 且A→B，D→C方向相同，因此A→B＝D→C. ③正确.∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相 同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c. ④不正确.当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是 a＝b的充要条件，而是必要不充分条件. 综上所述，正确命题的序号是②③. 答案 (1)C (2)A
[微点提醒] 1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点
的向量，即A→1A2＋A→2A3＋A→3A4＋…＋An－1An＝A→1An，特别地， 一个封闭图形，首尾连接 而成的向量和为零向量. 2.若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内任一点，则O→P＝12(O→A＋O→B).
规律方法 对于向量的有关概念应注意以下几点： (1)平行向量就是共线向量，二者是等价的，它们均与起点无关；非零向量的平行具 有传递性；相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量；相等向量具有 传递性. (2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负数，可以 比较大小. (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图 象的平移混为一谈. (4)非零向量 a 与|aa|的关系：|aa|是与 a 同方向的单位向量.
2020年高考数学大一轮复习第六章平面向量与复数35平面向量的平行与垂直课件文
λa＋b与a＋2b平行，2则实数λ＝________.
【解析】因为向量 λa＋b 与 a＋2b 平行，所以 λa＋b＝k(a
＋2b)，则λ1＝＝k2，k， 所以 λ＝21.
向量的垂直问题
• sinα例)，2 b＝((c2o0s1β6，·盐si城nβ中)(0学<)α已<知β<向π量)．a＝(cosα， • (1) 求证：a＋b与a－b互相垂直； • 【解答】(1) 因为(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－
• 所以c·d＝[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb) • ＝－ka2＋t(t2－3)b2＋[t－k(t2－3)]a·b＝0. • 又a所2＝以|ca·d|2＝＝－44，k＋bt23－＝3|tb＝|20＝，所1，以ak·＝b＝f(t)0＝，t3－4 3t(t≠0)．
知识梳理
1. 向量的夹角 已知两个非零向量 a 与 b，记O→A＝a，O→B＝b，则__∠__A_O__B_ 叫作向量 a 与 b 的夹角，夹角 θ 的取值范围为[0°，180°]．当 θ＝0°时，a 与 b 同向；当 θ＝180°时，a 与 b 反向；当 θ＝90° 时，则称向量 a 与 b__垂__直_____．
• 4. (必修4P97复习题改编)已知向量a＝(－3,4)，向量
b∥a，且|b|＝1，那－么35，b45＝或__35_，__－__45__________________.
【解析】设 b＝(x，y)，由题意得 4x＋3y＝0， x2＋y2＝
1，解得yx＝＝45－53，
课堂导学
向量的平行(共线)问题 例 1 设向量O→A＝(k,12)，O→B＝(4,5)，O→C＝(10，k)，
当 k 为何值时，A，B，C 三点共线？ 【思维引导】求出向量A→B与A→C，再利用共线向量基本定
2020届江苏高考数学(理)总复习讲义：平面向量的概念及其线性运算
__ry=^^ 前0肆籟• •）必过数材美名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度（或称模）平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为—I a|平行向量方向相同或相反的非零向量（又叫做共线向量）0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0向量运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算彩三角形法则平行四边形法则交换律：a + b=b + a;结合律：(a+ b) + c= a + (b + c)减法求a与b的相反向量一b的和的运算叫做a与b 的差a三角形法则a—b = a + (—b)数乘求实数入与向量a的积的运算WI= I 川a|;当X>0时，七的方向与a 的方向相同；当疋0时，扫的方向与a的方向相反;当入=0时，七=0"卩a)=(入归；(入+ 3)a = ?a+ 3 a ；幷a + b) = 2a + ?b向量a （a工0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数入使得b=总［小题体验］- > ------- > ------------------ > ---- > ------ >1 .在△ ABC 中，AB = c, AC = b，若点D 满足BD =2 DC，贝V AD = __________ ,解析：如图，因为在厶ABC中，= c,云6 = b,且点D满足-D = A2 D(?，所以-? = AB + Bt3 = y AEB + | B CC = AE B + |(A C - AI B ) = + y1 —>2 1 ■ 3AB =3 b+ 3c.2 1答案：2b+ 3c2. 下列四个命题：①若 a // b，则 a = b; ②若|a|= |b|,贝U a = b;③若|a|= |b|,贝U a// b; ④若 a = b，则|a|= |b|.其中正确命题的序号是___________ .答案：④3. _____________________________________________________________ 设向量a, b不平行，向量七+ b与a + 2b平行，则实数= _____________________________________ ,解析：因为向量七+ b与a + 2b平行，所以七+ b = k（a+ 2b）,rX= k, 1则七所以A 1.1 = 2k, 21答案：1必过易措关1. 在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.2. 在向量共线的重要条件中易忽视“a z 0 ”，否则入可能不存在，也可能有无数个.3. 要注意向量共线与三点共线的区别与联系.［小题纠偏］- > ---- > --- >1. 若菱形ABCD的边长为2,则| AB —CB + CD |= ____________ .解析：I-B —CB + Ct?|= |-AEB + BC + CD |= -1= 2.答案：22. 已知a, b是非零向量，命题p：a= b,命题q： |a + b|= |a汁|b|,则p是q的 __________ 条件（填“充分不必要”“必要不充分” “充要”或“既不充分也不必要”）.解析：若a= b,则|a + b|= |2a|= 2|a|, |a汁|b|=|a|+ |a|= 2|a|,即即p? q.若|a + b| =|a|+ |b|,由加法的运算知a与b同向共线，即a = ?b ，且X> 0，故q 冷p .所以p 是q 的充分不必要条件.答案：充分不必要-- > ------------ > 3. 已知向量i 与j 不共线，且 AB = i + m j , AD = n i + j .若A , B , D 三点共线，则实数m ，n 应该满足的条件是 _________ .(填序号)①m + n = 1;② m + n =— 1 :③ mn = 1 :④ mn =— 1.解析： 由 A , B , D 共线可设 AB = AA D ，于是有 i + m j = “n i + j )=入 n + 1 .又 i , j答案：③考点一平面向量的有关概念 基础送分型考点［题组练透］ 1. 给出下列六个命题：① 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；② 若 |a |= |b |,则 a = b ;③ 若瓦="00，贝U A , B , C , D 四点构成平行四边形;④ 在平行四边形 ABCD 中，一定有^AB =1D C ;⑤ 若 m = n , n = p ，贝U m = p ;⑥ 若 a // b , b // c ,贝U a // c .其中错误的命题是 ________ .(填序号)解析：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等，但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；|a |= |b |,由于a 与b 方向不确定，所以 a , b 不一定相等，故② > > 不正确；AB = DC ，可能有A , B , C , D 在一条直线上的情况，故③不正确；零向量与任 一向量平行，故当 a / b , b / c 时，若b = 0，则a 与c 不一定平行，故⑥不正确.答案：①②③⑥2. 给出以下命题：① 对于实数 p 和向量a , b ，恒有p(a — b )= p a — p b ;② 对于实数 p , q 和向量 a ，恒有(p — q)a = p a — q a ;③ 若 p a = p b (p € R ),贝U a = b ;不共线，因此r n 1,匕m , 即有mn = 1.自主练透④若p a= q a(p, q€ R, a丰0),贝U p= q.其中正确的命题是 ________ .(填序号)解析：根据实数与向量乘积的定义及其运算律，可知①②④正确；当p= 0时，p a= p b=0,而不一定有a= b，故③不正确.答案：①②④［谨记通法］有关平面向量概念的6个注意点(1) 相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2) 共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3) 向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的移动混淆.a a a⑷非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量，一是与a反方向的|a | |a | |a|位向量.(5) 两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小.(6) 两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件.考点二向量的线性运算基础送分型考点一一自主练透［题组练透］CD AE 1 ---- > -- > - >1 .如图，在△ ABC 中，DA = EB = 2，若DE =入CA +^CB，贝y 入 +(1= _____--- > 2 -----> —> 1 ---------- >解析：由题意，DA = 3CA , AE = 3 AB ,—> —> —> 2 —> 1 —> 2—> 1 —> —> 1 —> 1 —>••• DE = DA + AE = 3CA + 3 AB = 3 CA + 3( CB —CA) = - CA + 3 CB .又-? = ACA + ^CB ,入=1= 3,答案：22. (2019苏州调研股M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形所在平面内的任意一点，则"OA + OE3 +1O C + 66 = ___________________ O M .解析：因为M是平行四边形ABCD对角线AC, BD的交点，所以1O A + C)C =-- B ---- B ----- B --- B ---- B ---- B --- B ------ BOB + OD = 2OM，所以OA + OB + OC + OD = 4OM .答案：4ABCD 2O M ,-- B -- B3. (2019海门中学检测)在等腰梯形ABCD中，AB = —2 CD , M为BC的中点,________ (用瓦B,瓦D表示).-- B --- B解析：因为AB =- 2CD ,所以瓦= 21D C .又M是BC的中点,--- B 1 --- B ----- B所以AM = 2( AB + AC)1(~AB + A D 十-?)3—> 1 —>=~AB +-AD .4 23 -- B 1 ---- B答案：TAB + LAD4 2［谨记通法］1. 平面向量的线性运算技巧(1) 不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解.(2) 含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解.2. 利用平面向量的线性运算求参数的一般思路(1) 没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置.(2) 利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式.(3) 比较、观察可知所求.考点三共线向量定理的应用重点保分型考点一一师生共研［典例引领］设两个非零向量a与b不共线，--- B -- B --- B(1)若AB = a + b, BC = 2a + 8b, CD = 3(a—b),求证：A, B, D三点共线；⑵试确定实数k,使k a+ b和a+ k b同向.解：(1)证明：因为 -B =a + b, BC = 2a + 8 b, CD = 3a —3b , 则AM+ ~MD +1~AB2--- B----- B ---- B --- B所以BD = BC + CD = 2a + 8b + 3a—3b= 5(a+ b) = 5 AB .所以瓦, 1B D共线，又因为它们有公共点B,所以A, B, D三点共线.(2)因为k a + b与a + k b同向，所以存在实数4 A>0)，使k a + b= 4a+ k b),即k a+ b = ?a+ 4 b■所以(k —4a= ( 4 k 1)b.因为a, b 是不共线的两个非零向量,k- = 0, 解得*k = 1, 或*k =—1,入k 1 = x= 1/=—又因为Q0,所以k = 1. ［由题悟法］共线向量定理的3个应用⑴证明向量共线：对于向量a, b,若存在实数人使a= ?b,则a与b共线.-- > ---- >（2）证明三点共线：若存在实数人使AB = AAC，贝V A, B, C三点共线.（3）求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程（组）求参数的值.［提醒］证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点.［即时应用］1. （2018南京第十三中学测试）如图，在△ ABC中，/ A = 60°___________________ > 1 ---- > ------ >/ A的平分线交BC于点D，若AB = 4,且AD = ”AC +入AB （入€ R）,则AD的长为_________ .解析：因为B, D , C三点共线，所以1+ X= 1,解得X=3如图，4 4过点D分别作AC, AB的平行线交AB, AC于点M , N，则A NT =-忌,4—> 3 > -- > > —> —> > 9AM = 4AB，由AB = 4,得AN = AM = 3,又因为AM + AN = AD，所以（AM + AN ）2=|乔|2，所以AD2= 27, AD = 3 3.答案：3 32. （2019天一中学检测）如图，在△ ABC中，D为BC的四等分点，且靠近B点，E , F分别为AC, AD的三等分点，且分别靠近A, D两点，设AB = a, A C = b.⑴试用a, b表示BC , AD , BE ;⑵证明：B, E , F三点共线.-- > ------ >解：（1）在厶ABC 中，T AB = a, AC = b,—> —> > > 1 > 1 3 1 > > —> —> 1A D = AB +BD = AB + 4 BC = a+ 彳甘a ）=承+ 沪BE= BA + A E=- A B+3=b —a,- > 1⑵证明：••• BE =- a + 3b ,"B ? = — + — = - —B + 3-AJ D = - a + 3 4a +1 b =- 1 a + |b =勺-a +3b ), ••"B ? = 2-B E , --- > ---- >• BF 与BE 共线，且有公共点 B ,• B , E , F 三点共线.一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1.在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与BD 交于点0,若AB + AD = AAO ，贝V 入 解析：根据向量加法的运算法则可知，AB + AD = "AC = 2"A0，故 匸2.答案：2 --- C2. （2019海门中学检测）在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，A , B , C 三点满足OC --------------------------- C 则兽I A B | 解析：因为 OC = -OA +1 OB ,所以 AC = OC — OA =- - OA + - OB = ~( OB — OA ), 3 3 3 3 3' '--- B所以A C = 3 —A g ，所以竺=I ABI—B B--- B 3.（2018 •东期末）在平行四边形 ABCD 中，E 为线段BC 的中点，若AB =入AE + ^AD , 贝U ?d-尸 _______ . 解析：-- — -- — 1 ---- — 由已知，得AE = AB + ^AD , 所以 AB = AE - 1AD , 1 所以入=1,尸一 2 ---— ---- —又AB =入AE +=3"0A + 3—0B ，1 3. CZI 0 □ 1=1■VAC1 2—> 1 —>4. （2018扬州模拟）在厶ABC 中，N 是AC 边上一点且 AN = ? NC , P 是BN 上一点, 1 答案：1=-3CB ,得& = _QA + ；AC = C O A — 3-C B = OA — 3(CO — +C O B ),-- > ---- >则 c 一 2 a + 2b . 又c = m a + n b ，所以 3 n = 2'所以 m — n = — 2.答案：—2 解析：依题意，设 a + b = m c , b + c = n a ，则有(a + b )— (b + c )= m c — n a ,即卩 a — c = m c —n a .又 a 与 c 不共线，于是有 m =— 1, n =— 1, a + b =— c , a + b + c = 0.答案：0—保咼考，全练题型做到咼考达标1.已知△ ABC 和点M 满足M A + MB + MC = 0若存在实数 m,使得AB + A C = mA lvT 若矗=mA B +9怎，则实数m 的值是--- B 1 ---- B --- B --- B 1 ---- B解析：如图，因为 AN = -NC , P 是BN 上一点•所以 AN = 3 AC , 乔 =m ^AB +2AAC = mAB + ，因为B , P , N 三点共线，所以 m9 3a2 1+ 3=1，则 m =补5. （2019张家港模拟）如图所示，向量 6B , "O B , OB 的终点A , B ,6. （2018 •阴高级中学测试 ）已知向量a , b , c 中任意两个都不共线，但 a + b 与c 共线，且b + c 与a 共线，则向量成立，则 m =--- B --- B -- B -- B -- B 「C 在一条直线上，且 AC = — 3 CB ，设 OA = a , OB = b , OC = c ,若 c =解析：由向量 6B , "O B , "O B 的终点A , B , C 在一条直线上，且 a + b + c =m a + n b ,贝U m — n =解析：由M X + MB +MC = 0得点 M 是厶ABC 的重心，可知A 雨=3( —AB + ^AC ),即N33 -- > ---- >+ AC = 3AM ，贝U m = 3.答案：32.(2019江阴期中)若a,b 不共线，且a + m b 与2a — b 共线，则实数m 的值为 _____________ . 解析：■/ a + m b 与2a — b 共线，•••存在实数 k ,使得 a + m b = k(2a — b ) = 2k a — k b , 又a , b 不共线， • 1 = 2k , m =— k ,1解得m =— ?. 答案：—23•下列四个结论：①3 + 1B C + "C A = 0 ； ②-3 +MI B + "B o + 0IM = 0;-- > ---- > ---- > -- > --------- > --- > --- > --- > ③ AB — AC + BD — CD = 0;④ N Q + Q P + MN — MP = 0, 其中一定正确的结论个数是 __________ .解析：①-B + 1B C + "CA =^AC +"C A = 0，①正确； ②-B + MB + "Bo + 0M ="A B + M 0 + 0)M = "A B ，②错;③-B — "3 + "3 —"3 = "3 + "BD + 1D C = "CB +1B C = 0，③正确 :④-Q +"Q P + ――3 —I M P = "? + "B = 0,④正确.故正确的结论个数为 3. 答案：3-- D ---- D ----- D ---- D4. (2018南汇中学检测)已知△ ABC 中，点D 在BC 边上，且CD = 2DB , CD = rAB + s A C ，贝U r + s= _______ .解析：如图，因为C [p= 2"D B ，所以C 3= 3"C B .3--- D --- D ---- D又因为CB = AB — AC ,--- D 2 ----- D 2 ---- D所以 CD = 2AB — 2 AC.又 C p = rA B + s AC ，所以 r = 2, s =—三所以 r + s = 0.3 3答案：05. （2018海安中学检测）如图，已知 AB 是圆O 的直径，点 C , D 是 半圆弧的两个三等分点， 瓦B = a , ^AC = b ,则入6 = _________ （用a , b 表------------------------------------------------------------------ > 1 ------ > 1解析：连结CD ，由点C , D 是半圆弧的三等分点，得 CD // AB 且CD = -AB = 2 a ,所以 AD = AC + CD = b + 2a .2答案：1 a + b6. （2019常州调研）已知矩形 ABCD 的两条对角线交于点 O ,点E 为线段AO 的中点,若D — =m AB + n AD ，贝U m + n 的值为)=2 D —6 + 4 D —6 = — 2AD + + AB - AD = 2 4 2 4 4- — ---- — --- — 又 DE = m AB + nAD ,答案：—2-- — -- — ----- — |AB — AC |,则 |AM |= __________ .解析： -- D --- D --- D --- D --- D --- D由 |AB + AC |= | AB — AC |可知，AB 丄 AC ,则AM 为Rt △ ABC 斜边BC 上的中线,因此，| A 6 | = 2 B —6 |= 2. 答案：28. (2019启东期中)在厶ABC 中，D 为边AB 上一点，M ABC 内一点，且满足 AD3 -- — ―— —— 3 --- — r ” AMD =3 AB , AM = AD + 3BC ，则 = _________ .45 S ^ ABC解析：如图，I AD = 3 AB , AM = AD + 3"B (C , A M = AD + Di vt,4 5解析：如图所示，因为点E 为线段AO 的中点,所以m =1, 4n = — 3 4,7 .设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线 BC 外,—2 BC =16,-- — -- —3 3二AD = AB, DM = BC,且DM // BC ,4 5.AMD _ 3X3 _____ 9S A ABC 4 5 20.答案:9 209.如图所示，在△ OAB中，点C是以点A为对称中心的点B 的对称点，点D是把6盲分成2 : 1的一个三等分点，DC交OA于点E，设OA _ a, OB⑴用a和b表示向量0C , DC⑵若oE _ XO A，求实数入的值. 解：⑴依题意，A是BC的中点，所以 2 OA = _O1B + 0C ,即 & _2°)A - OB _ 2a —b,B B B B 2 B 2 5DC _ OC —OD _ OC —-OB _ 2a—b—— b_ 2a—b.3 3 3------ B -------------- B⑵若OE _入OA ,则-1 =_O B B—"OC _ 扫一(2a —b)_ (12)a+ b.所以存在实数人使0? _ k"D c.即（入—2）a+ b_ k 2a—5b ,因为a, b是不共线的两个非零向量, :—2_ 2k,所以1_ —£3k,解得35,10 .设e i , e2是两个不共线的向量，已知A B _ 2e 1—8e2, C B _ e 1 + 3e2, C D _ 2e 1 —e 2.(1) 求证：A, B, D三点共线；(2) 若-? _ 3e1 —k e 2，且B, D, F三点共线，求k的值.解：(1)证明：由已知得BD _ CD —CB _ (2e1 —e2)—(e1 + 3e2)= e1 —4e2,因为瓦B = 2e i —8e2,-- B ------ B所以AB = 2BD .又因为AB与BD有公共点B, 所以A, B, D三点共线.⑵由(1)可知BD = e i —4e2,因为BF = 3e i —k e2,且B, D, F三点共线,所以"B?=-(入€ R),即3e i —k e2= ^e i — 4 ?e2,X= 3,—k=—4 入解得k = i2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校i. (20i9汇龙中学检测)如图所示，A, B, C是圆0上的三点，CO的延长线与线段AB交于圆内一点。
2020年江苏省高中数学一轮复习南方凤凰台基础版课件第六章第34课平面向量的平行与垂直
第六章 平面向量与复数
已知O→A＝(2,5)，O→B＝(3,1)，O→C＝(6,3)．在线段 OC 上是否存在点 M， 使得 MA⊥MB？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】设O→M＝tO→C，t∈[0,1]，则O→M＝(6t,3t)，即 M(6t,3t)，则M→A＝O→A－O→M＝ (2－6t,5－3t)，M→B＝O→B－O→M＝(3－6t,1－3t)．若 MA⊥MB，则M→A·M→B＝(2－6t)(3－ 6t)＋(5－3t)(1－3t)＝0，即 45t2－48t＋11＝0，解得 t＝13或 t＝1115，所以存在满足题意 的点 M，且点 M 的坐标为(2,1)或252，151.
1 则实数 m 的值为____4____．
【解析】由题知 a－b＝(1,2)，ma＋b＝(2m＋1，m－1)．因为(a－b)⊥(ma＋b)， 所以(a－b)·(ma＋b)＝1×(2m＋1)＋2×(m－1)＝4m－1＝0，故 m＝14.
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第六章 平面向量与复数
(ka＋b)，则实数 k＝___5_____.
【解析】由(－2a＋b)⊥(ka＋b)，得(7，－4)·(1－3k，k－2)＝0，即 7(1－3k)－
4(k－2)＝0，所以 k＝35.
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第六章 平面向量与复数
知识梳理 1. 向量的夹角 已知两个非零向量 a 与 b，记O→A＝a，O→B＝b，则__θ_＝__∠__A_O__B_叫作向量 a 与 b 的 夹角，夹角 θ 的取值范围为__[_0_，__π_]_．当 θ＝0°时，a 与 b 同向；当 θ＝180°时，a 与 b 反向；当 θ＝90°时，则称向量 a 与 b ____垂__直_____. 2. (1) 两个向量平行的充要条件：设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0，则 a∥b ⇔____x_1y_2_－__x_2y_1_＝__0___. (2) 两个非零向量垂直的充要条件：设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔ ____x_1_x_2＋__y_1_y_2＝__0____________.
2020高考江苏数学(文)大一轮复习(文科提高版)复习练习：第六章 平面向量与复数含答案
第六章 平面向量与复数, 第32课 向量的概念与线性运算激活思维1. (必修4P 67练习4改编)化简：AB →＋CD →＋DA →＋BC →＝________．2. (必修4P 62习题5改编)判断下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a|＝|b |，则a ＝b ；③若|a|>|b|，则a>b ；④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中正确的个数是________．3. (必修4P 57习题2改编)对于非零向量a ，b ，“a ∥b ”是“a ＋b ＝0”成立的________条件．(第4题)4. (必修4P 60例1改编)如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝________． 5. (必修4P 68习题10改编)在△ABC 中，若|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|，则△ABC 的形状是________．知识梳理1. 向量的有关概念向量：既有大小又有方向的量叫作向量．向量的大小叫向量的________(或模)． 2. 几个特殊的向量(1) 零向量：____________，记作____，其方向是任意的． (2) 单位向量：________________________．(3) 平行向量：________________________，平行向量又称为共线向量，规定0与任一向量共线．(4) 相等向量：________________________． (5) 相反向量：________________________． 3. 向量的加法(1) 运用平行四边形法则时，将两个已知向量平移到公共起点，和向量是____________的对角线所对应的向量．(2) 运用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以____________为起点，即由第一个向量的起点指向____________的向量为和向量．4. 向量的减法将两个已知向量平移到公共起点，差向量是________的终点指向________的终点的向量．注意方向指向被减向量．5. 向量的数乘实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：(1) |λa |＝________．(2) 当λ>0时，λa 的方向与a 的方向________； 当λ<0时，λa 的方向与a 的方向________； 当λ＝0时，λa ＝______．注：向量的加法、减法、数乘统称为向量的线性运算． 6. 两个向量共线定理向量b 与非零向量a 共线⇔有且只有一个实数λ，使得b ＝λa .课堂导学向量的线性运算如图，在平行四边形ABCD 中，M 是BC 的中点，N 是对角线AC 上的点，且AN →＝3NC →，设AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 分别表示AM →，MN →.(例1)(2018·全国卷Ⅰ改编)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，若以向量AB →与AC →为基底，则EB →＝________．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x)AC →，则x 的取值范围是________．如图，G 是△OAB 的重心，P ，Q 分别是边OA ，OB 上的动点，且P ，G ，Q 三点共线．(1) 设PG →＝λPQ →，试将OG →用λ，OP →，OQ →表示出来； (2) 设OP →＝xOA →，OQ →＝yOB →，求证：1x ＋1y为定值．(例2)如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ→＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m＝________．(变式)向量的平行和共线问题已知非零向量a 和b 不共线．(1) 若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2) 若k a ＋b 和a ＋k b 共线，求实数k 的值．已知e 1，e 2是夹角为23π的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a ·b ＝0，则k的值为________．已知点C 在△OAB 的边AB 所在的直线上，OC →＝mOA →＋nOB →，求证：m ＋n ＝1.课堂评价1. 下列命题中为真命题的是________．(填序号)①对任意的两个向量a ，b ，向量a －b 与b －a 是相反向量； ②在△ABC 中，AB →＋BC →－AC →＝0；③在四边形ABCD 中，(AB →＋BC →)－(CD →＋DA →)＝0； ④在△ABC 中，AB →－AC →＝BC →.2. 已知在△ABC 中，点D ，E 分别为AC ，AB 上的点，且DA ＝2CD ，EB ＝2AE ，若BC →＝a ，CA →＝b ，则以a ，b 为基底表示DE →＝________．3. 已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列各式：①AD →＝－12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0.其中正确的是________．(填序号)4. 已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，且a ＋b 与c 共线，b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝________．5. 如图，在△OCB 中，已知A 是BC 的中点，D 是OB 上一点，且OD →＝2DB →，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1) 用a 和b 分别表示向量OC →，DC →； (2) 若OE →＝λOA →，求实数λ的值．(第5题), 第33课 平面向量的基本定理及坐标运算激活思维1. (必修4P 76习题4改编)如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ∈R ，则下列说法中正确的有________．(填序号)①若λ，μ满足λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0；②对于平面α内任意一个向量a ，使得a ＝λe 1＋μe 2成立的实数λ，μ有无数对；③线性组合λe 1＋μe 2可以表示平面α内的所有向量；④当λ，μ取不同的值时，向量λe 1＋μe 2可能表示同一向量．2. (必修4P 82习题6改编)在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，Q 是AC 的中点，若PA →＝(4，3)，PQ →＝(1，5)，则BC →＝________．3. (必修4P 87习题1改编)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(3，1)，那么|2a ＋3b |＝________．4. (必修4P 73习题6改编)已知点A(1，－3)和向量a ＝(3，4)，若AB →＝2a ，则点B 的坐标为__________．5. (必修4P 79练习4改编)已知平行四边形ABCD 的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，那么顶点D 的坐标为________．知识梳理1. 平面向量的基本定理e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使得______________________，其中不共线的向量e 1，e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．2. 平面向量的坐标形式在平面直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底．对平面内任意一个向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝__________(向量的分量表示)，记作a ＝(x ，y )(向量的坐标表示)，其中x 叫作a 的横坐标，y 叫作a 的纵坐标．3. 平面向量的坐标运算(1) 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝________，a －b ＝____________，λa ＝____________．(2) 若A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，那么AB →的坐标为____________．课堂导学_平面向量基本定理的应用问题提出：平面向量的基本定理是研究向量的基础，也是高考常考的知识点，如何运用平面向量基本定理解决有关问题是向量复习的重点．(典型示例)● 典型示例如图，在△ABC 中，D ，E 分别为边AB ，BC 上的点，且AD ∶DB ＝BE ∶EC ＝2∶1，且AE 与CD 交于点P.已知存在实数λ和μ使AP →＝λAE →，PD →＝μCD →，AB →＝a ，BC →＝b .(1) 求λ和μ的值； (2) 试用向量a ，b 表示BP →.【思维导图】【规范解答】(1) 因为AB →＝a ，BC →＝b ，所以AE →＝a ＋23b ，DC →＝13a ＋b ，所以AP →＝λAE →＝λ⎝⎛⎭⎫a ＋23b ，DP →＝μDC →＝μ⎝⎛⎭⎫13a ＋b . 又AP →＝AD →＋DP →＝23AB →＋DP →，所以23a ＋μ⎝⎛⎭⎫13a ＋b ＝λ⎝⎛⎭⎫a ＋23b ， 所以⎩⎨⎧λ＝23＋13μ，μ＝23λ， 解得⎩⎨⎧λ＝67，μ＝47.(2) 由题图知BP →＝BA →＋AP →＝－a ＋67⎝⎛⎭⎫a ＋23b ＝－17a ＋47b . ● 总结归纳(1) 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算；(2) 特别注意基底的不唯一性：只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a 都可被这个平面的一组基底e 1，e 2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．● 题组强化1. 在△ABC 中，BD →＝2DC →，若AD →＝λ1AB →＋λ2AC →，则λ1λ2的值为________．2. (2017·连云港三校联考)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝________．3. 如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，BG →＝2GO →，设CD →∥AG →，若AD →＝15AB →＋λAC→(λ∈R )，则λ的值为________．(第3题)4. 如图，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，则xy x ＋y＝________．(第4题)5. 若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足AM →＝34AB →＋14AC →.(1) 求△ABM 与△ABC 的面积之比；(2) 若点N 为AB 的中点，AM 与CN 交于点O ，设BO →＝xBM →＋yBN →，求x ，y 的值．平面向量的坐标运算已知点A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b .(1) 求3a ＋b －3c ；(2) 求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n 的值； (3) 求点M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．已知AB →＝(4，3)，AD →＝(－3，－1)，点A (－1，－2)． (1) 求线段BD 的中点M 的坐标；(2) 若点P (2，y )满足PB →＝λBD →(λ∈R )，求λ与y 的值．, __利用平面向量的坐标表示解综合问题)在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，P 为矩形内一点，且AP ＝52，AP →＝λAB →＋μAD (λ，μ∈R )，求5λ＋3μ的最大值．(2018·南京学情调研)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，BM →＝λBC →.若AM →·BC →＝－173，则实数λ的值为________．如图，给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.点C 在以O 为圆心的AB︵上移动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．(变式2)课堂评价1. 如图，在平行四边形ABCD 中，M 为线段DC 的中点，AM 交BD 于点Q ，若AQ →＝λAD →＋μAC →，则λ＋μ＝________．(第1题)2. 设D ，E 分别为△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC.若DE →＝λ1AB →＋λ2AC ，则λ1＋λ2的值为________．3. 如图，在△ABC 中，D ，E 分别为边BC ，AC 的中点，F 为边AB 上的点，且AB →＝3AF →，若AD →＝xAF →＋yAE →，x ，y ∈R ，则x ＋y 的值为________．(第3题)4. 已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(5，－3)，OC →＝(4－m ，m ＋2)，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 应满足条件________．5. 在平面直角坐标系中，给定△ABC ，M 为BC 的中点，点N 满足AN →＝2NC →，点P 满足AP →＝λAM →，BP →＝μBN →.(1) 求λ与μ的值；(2) 若A ，B ，C 三点的坐标分别为(2，－2)，(5，2)，(－3，0)，求点P 的坐标．, 第34课 平面向量的平行与垂直激活思维1. (必修4P 82习题8改编)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(2，λ)．若a ∥b ，则实数λ＝__________．2. (必修4P 81练习2改编)已知向量a ＝(5，12)，b ＝(sin α，cos α)，若a ∥b ，则tan α＝________．3. (必修4P 99本章测试改编)设x ∈R ，向量a ＝(x ，1)，b ＝(3，－2)，若a ⊥b ，则x ＝________．4. (必修4P 97复习题改编)已知向量a ＝(－3，4)，向量b ∥a ，且|b |＝1，那么b ＝________．5. (必修4P 97复习题10改编)已知向量a ＝(－3，1)，b ＝(1，－2)，若(－2a ＋b )⊥(k a ＋b )，则实数k ＝________．知识梳理1. 向量的夹角已知两个非零向量a 与b ，记OA →＝a ，OB →＝b ，则________叫作向量a 与b 的夹角，夹角θ的取值范围为________．当θ＝0°时，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向；当θ＝90°时，则称向量a 与b ________．2. (1) 两个向量平行的充要条件：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，b ≠0，则a ∥b ⇔______________．(2) 两个非零向量垂直的充要条件：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔____________________．课堂导学向量的平行(共线)问题平面内给定三个向量a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1)． (1) 求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2) 若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k 的值．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)，若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________．向量的垂直问题已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1) 计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |； (2) 当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )?(2018·北京卷)设向量a ＝(1，0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b )，则m ＝________．已知向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32.(1) 求证：a ⊥b ；(2) 若存在不同时为零的实数k 和t ，使c ＝a ＋(t 2－3)b ，d ＝－k a ＋t b ，且c ⊥d ，试求函数关系式k ＝f (t )．与向量平行、垂直有关的综合问题已知向量a ＝(sin α，－2)，b ＝(1，cos α)，其中α∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1) 问：向量a ，b 能平行吗？请说明理由； (2) 若a ⊥b ，求sin α和cos α的值； (3) 在(2)的条件下，若cos β＝1010，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求α＋β的值．(2018·苏州暑假测试)在平面直角坐标系中，设向量m ＝(3cos A ，sin A )，n ＝(cos B ，－3sin B )，其中A ，B 为△ABC 的两个内角．(1) 若m ⊥n ，求证：C 为直角； (2) 若m ∥n ，求证：B 为锐角．课堂评价1. (2017·南京学情调研)设向量a ＝(1，－4)，b ＝(－1，x )，c ＝a ＋3b .若a ∥c ，则实数x 的值是________．2. 已知向量a ＝(1，2)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，－2)，若(a －2b )⊥c ，则实数k ＝________．3. 已知向量a ＝(2x －1，－1)，b ＝(2，x ＋1)，a ⊥b ，则实数x ＝________．4. (2017·新海中学)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝________．5. (2018·姜堰、泗洪联合调研)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，3，b ＝(1，4cos α)，α∈(0，π)． (1) 若a ⊥b ，求tan α的值； (2) 若a ∥b ，求α的值．, 第35课 平面向量的数量积激活思维1. (必修4P 81习题2改编)已知向量a 与向量b 的夹角为30°，|a |＝2，|b |＝3，那么向量a 和向量b 的数量积a ·b ＝________．2. (必修4P 88练习4改编)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )．若a ·b ＝1，则实数x ＝________．3. (必修4P 89习题2改编)已知向量a ，b 的夹角为120°，||a ＝1，||b ＝3，那么||5a －b ＝________．4. (必修4P 88练习4改编)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，4)，且a·b ＝10，则|a －b |＝________．5. (必修4P 81习题13改编)若|a |＝2，|b |＝4，且(a ＋b )⊥a ，则a 与b 的夹角为__________．知识梳理1. 两个向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b ＝|a ||b |cos θ，其中|b |·cos θ称为______________．规定：零向量与任一向量的数量积为0.2. 两个向量的数量积的性质设a 与b 是非零向量，θ是a 与b 的夹角．(1) 若a 与b 同向，则a ·b ＝|a ||b |；若a 与b 反向，则a ·b ＝________．特别地，a ·a ＝|a |2. (2) a ·b ＝0 ⇔________． (3) cos θ＝________． 3. 数量积的运算律 (1) 交换律：a ·b ＝b ·a .(2) 数乘结合律：(λa )·b ＝a ·(λb )． (3) 分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . 4. 向量数量积的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝________，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．5. 求向量模的公式设a ＝(x ，y )，则|a |2＝a 2＝a ·a ＝x 2＋y 2或|a |＝________． 6. 两点间距离公式设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AB →|＝________． 7. 向量的夹角公式设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ≠0，b ≠0，a 与b 夹角为θ，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 228. 向量垂直设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔________．课堂导学利用向量的数量积求向量的模(2018·南京、盐城、连云港二模)如图，在△ABC 中，已知边BC 的四等分点依次为D ，E ，F.若AB →·AC →＝2，AD →·AF →＝5，则AE 的长为________．(例1)(2018·苏州暑假测试)已知平面向量a ＝(2，1)，a ·b ＝10，若|a ＋b |＝52，则|b |的值是________．在平行四边形ABCD 中，AC →·AD →＝AC →·BD →＝3，则线段AC 的长为________．_利用向量的数量积求向量的夹角(1) (2017·扬州中学)若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为________．(2) 若两个向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．(1) (2017·苏北四市期末)已知非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |，则a 与2a －b 夹角的余弦值为________．(2) 已知a ＝(1，2)，b ＝(1，1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，那么实数λ的取值范围是________．向量数量积的综合应用问题提出：向量的数量积是高考中的C 级要求．江苏高考对平面向量的考查侧重基本概念与基本计算的考查．重点是向量的数量积运算，要关注解题过程中数形结合思想的运用．● 典型示例如图，半径为2的扇形的圆心角为120°，M ，N 分别为线段OP ，OQ 的中点，A 为PQ ︵上任意一点，则AM →·AN →的取值范围是________．(典型示例)【思维导图】【答案】⎣⎡⎦⎤32，52(典型示例(1))【规范解答】方法一：如图(1)，以点O 为坐标原点，OQ 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则M ⎝⎛⎭⎫－12，32，N(1，0)，由题意可设点A(2cos θ，2sin θ)，其中0≤θ≤2π3，所以AM →＝⎝⎛⎭⎫－12－2cos θ，32－2sin θ，AN →＝(1－2cos θ，－2sin θ)，所以AM →·AN →＝⎝⎛⎭⎫－12－2cos θ(1－2cos θ)＋⎝⎛⎭⎫32－2sin θ(－2sin θ) ＝72－cos θ－3sin θ＝72－2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3，其中0≤θ≤2π3. 因为0≤θ≤2π3，所以－π3≤θ－π3≤π3，所以12≤cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3≤1，－2≤－2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3≤－1，32≤72－2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3≤52，即AM →·AN →的取值范围是⎣⎡⎦⎤32，52.(典型示例(2))方法二：如图(2)，连接OA ，设∠AOQ ＝α，则∠AOP ＝2π3－α，其中0≤α≤2π3，AM →·AN →＝(OM →－OA →)·(ON →－OA →)＝OM →·ON →－OA →·OM →－OA →·ON →＋OA →2＝1×1×cos2π3－2cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α－2cos α＋4＝72－2cos α－2⎝⎛⎭⎫cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α ＝72－cos α－3sin α＝72－2cos ⎝⎛⎭⎫α－π3，其中0≤α≤2π3. 因为0≤α≤2π3，所以－π3≤α－π3≤π3，所以12≤cos ⎝⎛⎭⎫α－π3≤1，－2≤－2cos ⎝⎛⎭⎫α－π3≤－1， 32≤72－2cos ⎝⎛⎭⎫α－π3≤52，即AM →·AN →的取值范围是⎣⎡⎦⎤32，52. 【精要点评】对于求平面向量数量积的问题，常规思路一是通过建立平面直角坐标系求解，思路二是利用平面向量内的同一组基底来求解．一般地，对于特殊的图形往往通过前者求解．● 总结归纳解决此类问题的步骤如下：(1) 选择适当的两向量作为基底(基底一般选择长度已知的向量、互相垂直的向量、夹角已知的向量)→利用平面向量基本定理把题中所有向量用基底表示→用向量的数量积公式；(2) 建立平面直角坐标系(图形为矩形、直角三角形、等腰三角形、圆等优先考虑建系)→写出所有点的坐标→代入数量积的坐标公式求解．● 题组强化1. (2017·宿迁中学)已知在△ABC 中，|BC →|＝10，AB →·AC →＝－16，D 为边BC 的中点，则|AD →|＝________．2. 已知O 是△ABC 的外心，AB ＝6，AC ＝10，若AO →＝xAB →＋yAC →，且2x ＋10y ＝5，则cos ∠BAC ＝________．3. (2017·南京三模)在凸四边形ABCD 中， BD ＝2，且AC →·BD →＝0，(AB →＋DC →)·(BC →＋AD →)＝5，则四边形ABCD 的面积为________．4. (2018·南通、泰州一调)如图，已知矩形ABCD 的边AB ＝2，AD ＝1.点P ，Q 分别在边BC ，CD 上，且∠PAQ ＝45°，则AP →·AQ → 的最小值为________．(第4题)5. (2018·常州期末)在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝7，BC ＝3，P 为△ABC 内一点(含边界)，若满足BP →＝14BA →＋λBC →(λ∈R )，则BA →·BP →的取值范围为________．课堂评价1. 若a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为60°，则a ·(a ＋b )＝________．2. 已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，则a 与b 的夹角为________．3. 如图，已知在等边三角形ABC 中，AB ＝3，BD ＝1，则AD →·AB →＝________．(第3题)4. 已知点A ，B ，C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝________．5. 已知向量OA →＝(λcos α，λsin α)(λ≠0)，OB →＝(－sin β，cos β)，其中O 为坐标原点． (1) 若α－β＝π6，λ＝1，求向量OA →与OB →的夹角；(2) 若|BA →|≥2|OB →|对任意的实数α，β都成立，求实数λ的取值范围．, 第36课 复 数激活思维1. (选修22P 110练习1改编)复数⎝⎛⎭⎫1＋i 1－i 2＝________．2. (选修22P 105习题2改编)已知复数z ＝(m 2＋m)＋(m 2－2m －3)i (m ∈R )是一个纯虚数，那么m ＝________．3. (选修22P 108练习5改编)在复平面内，若复数z 满足(z －2)i ＝4＋i ，则复数z 的模为________．4. (选修22P 109练习1改编)复数z ＝3－i3＋i 在复平面内对应的点所在的象限为第________象限．5. (选修22P 110习题1改编)设复数z 满足z(2＋3i )＝6－4i ，则z 的模为________．知识梳理1. 复数的概念形如z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )的数叫作复数，其中a 称为实部，b 称为虚部．当________时，z 为虚数，当________且________时，z 为纯虚数．2. 两个复数相等的充要条件a ＋b i ＝c ＋d i (a ，b ，c ，d ∈R )⇔____________． 3. 复数的四则运算设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i (a ，b ，c ，d ∈R )． (1) 复数的加减法：z 1±z 2＝____________． (2) 复数的乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝__．(3) 复数的除法：若z 2≠0，则z 1÷z 2＝____________________________________． 4. 复数模的几何意义(1) z ＝a ＋b i ⇔点Z(a ，b)⇔向量OZ →； (2) |z|＝a 2＋b 2＝|OZ →|.课堂导学复数的概念及四则运算法则(1) 复数1－2＋i ＋11－2i的虚部是________．(2) 若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为________．(1) (2018·南通、泰州一调)已知复数z＝1＋4i1－i，其中i为虚数单位，则复数z的实部为________．(2) (2017·常州期末)已知x＞0，若(x－i)2是纯虚数，其中i为虚数单位，则x＝________．(3) (2018·南京学情调研)若(a＋b i)(3－4i)＝25(a，b∈R，i为虚数单位)，则a＋b的值为________．已知复数z满足|z|＝1＋3i－z，求（1＋i）2（3＋4i）22z的值．已知复数z＝3＋b i(b∈R)，且(1＋3i)z为纯虚数．(1) 求复数z；(2) 若ω＝z2＋i，求复数ω的模|ω|.,__复数的几何意义)设z∈C，若z2为纯虚数，求z在复平面上对应的点的轨迹方程．(1) 求满足|z－1|＝2的复数z对应的点的轨迹．(2) 求满足等式|z－i|＋|z＋i|＝3的复数z对应的点的轨迹．课堂评价1. (2017·南京、盐城一模)设复数z满足z(1＋i)＝2，其中i为虚数单位，则z的虚部为________．2. (2018·南京、盐城一模)设复数z＝a＋i(a∈R，i为虚数单位)，若(1＋i)·z为纯虚数，则a的值为________．3. (2018·苏北四市期末)已知复数z＝2＋i2－i(i为虚数单位)，则z的模为________．4. 已知z＝2＋i，其中i为虚数单位，则|z2＋z|＝________．5. 若复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1(3－i)＝z2(1＋3i)，|z1|＝2，则z1＝________．用坐标法解决向量问题在△ABC 中，若BC →·BA →＋2AC →·AB →＝CA →·CB →，则sin A sin C的值为________．【思维引导】解与向量数量积有关的问题，通常有两种思路，第一种思路用定义展开，第二种思路是坐标法，把向量用坐标来表示，通过向量数量积的坐标运算，最终转化为三角形的边角关系，然后借助于正弦、余弦定理来求解．(2017·南京学情调研)在△ABC 中，已知AB ＝3，BC ＝2，D 在边AB 上，AD →＝13AB →.若DB →·DC →＝3，则边AC 的长是________．如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝90°，D 是BC 的中点，若向量AM →＝14AB→＋mAC →，且AM →的终点M 在△ACD 的内部(不含边界)，则AM →·BM →的取值范围是________．(例2)【思维引导】 根据题设条件，本题采用向量的坐标法运算比较简单，因此，首先建立平面直角坐标系．由AM →＝14AB →＋mAC →可得到点M 的坐标，进而由点M 在△ACD 的内部，得到点M 的坐标所满足的条件，根据此条件就可得到AM →·BM →的取值范围．(2017·常州期末)在△ABC中，∠C＝π4，O是△ABC的外心，若OC→＝mOA→＋nOB→(m，n∈R)，则m＋n的取值范围是________．向量的应用，往往与求模、夹角、面积等有关，如果把几何图形放在适当的坐标系中，给有关向量赋予具体的坐标，则可将问题转化为向量的坐标运算，从而使问题简化．这样可以避免复杂的逻辑推理，降低思维难度，提高解题的速度和准度．需要注意的是，平面直角坐标系建立是否合适将会直接影响到运算的繁简程度．1. 如图，在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC →＝λAM →＋μBD →，则λ＋μ＝________．(第1题)2. 在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EC →·EM →的取值范围是________．3. 如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD →(m ，n 均为正实数)，则1m ＋1n的最小值为________．(第3题)4. (2018·兴化楚水实验学校、黄桥中学、口岸中学三校联考)在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AE →·BF →＝1，则AB →·AF →的值为________．5. 已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2.设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，若BQ →·CP →＝－32，则实数λ＝________．6. 如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点E 为AB 的中点．以A 为圆心，AE 为半径，作弧交AD 于点F.若P 为劣弧EF ︵上的动点，则PC →·PD →的最小值为________．(第6题)7. (2017·扬州期末)已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足AQ →＝23AP →＋13AC →，求|BQ →|的最小值．8. 如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AB ＝2CD ，M 为CD 的中点，N 为线段BC 上一点(不包括端点)，若AC →＝λAM →＋μAN →，求1λ＋3μ的最小值．(第8题)高考总复习一轮复习导学案数学文科学生用书详解详析第一章集合与常用逻辑用语第1课集合的概念与运算激活思维1. {1，2}【解析】因为x2－3x＋2＝0，所以x＝1或x＝2.故集合为{1，2}．2. 7【解析】因为A＝{x|0≤x＜3且x∈N}＝{0，1，2}，所以真子集有7个．3. {0，1}【解析】由题意知A∩B＝{0，1}．4. [4，＋∞)【解析】在数轴上画出集合A，B，根据图象可知a∈[4，＋∞)．5. 3【解析】因为全集U＝A∪B＝{3，4，5，7，8，9}，A∩B＝{4，7，9}，所以∁U(A∩B)＝{3，5，8}，所以∁U(A∩B)中的元素共有3个．知识梳理1.(1) 确定的不同的集合元素(2) 确定性互异性无序性(3) 列举法描述法Venn图法(4) N N*N＋Z QR C2. (1) ∈∉(2) ⊆〓＝3. (1) 交集A∩B{x|x∈A且x∈B}(2) 并集A∪B{x|x∈A或x∈B}(3) 补集∁S A {x|x∈S且x∉A}课堂导学例1【思维引导】由分析数字1是集合B中的某个元素入手．【答案】1【解析】由题意可得1∈B，又a2＋3≥3，故a＝1，此时B＝{1，4}，符合题意．【精要点评】关于集合交集、并集、补集的基本运算是江苏高考中常见的考查题型，属于简单问题的处理．集合的基本运算中还可能涉及到元素与集合、集合与集合之间的基本运算等知识点．高频考点·题组强化1. {1，8}【解答】因为A＝{0，1，2，8}，B＝{－1，1，6，8}，所以A∩B＝{1，8}．2. {－3，－2，2}【解答】因为A＝{x|(x＋3)(x－2)＝0}＝{－3，2}，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2，2}，所以A∪B＝{－3，－2，2}．3. {1，3，5}【解析】由A∩B＝{3}，得a＋2＝3，所以a＝1，所以A∪B＝{1，3，5}．4. {－1}【解析】因为A＝{－1，1}，所以A∩B＝{－1}．5.{x|－1≤x≤2}【解答】解不等式x2－x－2>0，得x<－1或x>2，所以∁R A＝{x|－1≤x≤2}．例2【思维引导】认清集合元素的属性(是点集)，根据x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z判断出集合A中的元素是圆x2＋y2＝3及其内部的整数点．【答案】9【解析】由题知集合A中的元素是圆x2＋y2＝3及其内部的整数点，有(0，1)，(0，－1)，(1，0)，(－1，0)，(1，1)，(1，－1)，(－1，1)，(－1，－1)，(0，0)，共9个．【精要点评】与集合中元素有关问题的求解策略：(1) 确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集；(2) 看这些元素满足什么限制条件；(3) 根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．变式 【答案】(1) 9 (2) －32【解析】(1) 集合B 中元素有(1，1)，(1，2)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，4)，(4，1)，(4，2)，(4，4)，共9个．(2) 由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝－32.当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意； 当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，故m ＝－32.例3 【思维引导】(1) 对于B ⊆A ，一定要分B ＝∅和B ≠∅两种情况进行讨论．(2) “不存在元素x 使得x ∈A 与x ∈B 同时成立”表示A ∩B ＝∅.【解答】(1) ①当m ＋1＞2m －1，即m ＜2时，B ＝∅，满足B ⊆A ； ②当m ＋1≤2m －1，即m ≥2 时，要使B ⊆A 成立，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3. 综上，实数m 的取值范围为{m|m ≤3}．(2) 因为x ∈R ，且A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，不存在元素x 使得x ∈A 与x ∈B 同时成立，即A ∩B ＝∅.①若B ＝∅，即m ＋1＞2m －1，得m ＜2，此时满足条件；②若B ≠∅，则需满足的条件有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1<－2，解得m ＞4.综上，实数m 的取值范围为{m |m <2或m >4}．【精要点评】(1) 空集是任何集合的子集，因此，当 B ⊆A 时需考虑 B ＝∅的情形；(2) 当A ∩B ＝∅时也需考虑B ＝∅的情形，当集合B 不是空集时，要保证B ⊆A ，可以利用数轴，这样既直观又简洁；(3) 虽然本题的难度不大，但都需要分两种情况进行讨论，在(1)中解不等式组时需求交集，而最终结果又都要求两种讨论结果的并集，因此，本题综合性还是很强的．变式1 【答案】(－∞，－1] 【解析】因为B ⊆(A ∩B)，所以B ⊆A.①当B ＝∅时，满足B ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，即a ≤－32.②当B ≠∅时，要使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a<a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1.由①②可知，实数a 的取值范围为(－∞，－1]．变式2 【解答】(1) 由x 2－4x －5≤0，得－1≤x ≤5，所以A ＝[－1，5]． 由2x －6≥0，得x ≥3，所以B ＝[3，＋∞)，所以M ＝[3，5]． (2) 因为M ∩C ＝M ，所以M ⊆C ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤3，7－a ≥5，a －1≤7－a ，解得a ≤2.故实数a 的取值范围为(－∞，2]．课堂评价 1. {－2，0，3} 2. {－1，0}3. [－2，2] 【解析】由已知可得∁U A ＝[－2，2]．4. {1，3} 【解析】因为A ∩B ＝{1}，所以1∈B ，所以1是方程x 2－4x ＋m ＝0的根，所以1－4＋m ＝0，m ＝3，方程为x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，所以B ＝{1，3}．5. (－∞，1] 【解析】当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A.当m>0时，因为A ＝{x|－1<x<3}．当B ⊆A 时，在数轴上标出两集合，如图，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m<m ，解得0<m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]．(第5题)第2课 四种命题和充要条件激活思维1. 若ab ≠0，则a ≠0 【解析】命题的条件是p ：a ＝0，结论是q ：ab ＝0.由命题的四种形式，可知命题“若p ，则q ”的逆否命题是“若非q ，则非p ”，显然非q ：ab ≠0，非p ：a ≠0，所以该命题的逆否命题是“若ab ≠0，则a ≠0”．2. 2 【解析】原命题为真，所以逆否命题为真；逆命题为“若x 2>0，则x<0”为假命题，所以否命题为假．3. (1) 真 (2) 假4. 必要不充分5. m ＝－2 【解析】若函数f(x)＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称，则m ＝－2；反之也成立．所以函数f(x)＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是m ＝－2.知识梳理1. 若非p 则非q 若q 则p 若非q 则非p 逆否命题 否命题2. 充分 必要 非充分 非必要3. (1) 充分不必要 (2) 必要不充分 (3) 充要 (4) 既不充分也不必要4. 充分性 必要性 课堂导学例1 【思维引导】原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假． 【答案】①③【解析】①显然正确；②原命题的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，故②不正确；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确；④若a ＋b 是偶数，则整数a ，b 都是偶数或都是奇数，故④不正确．【精要点评】对命题真假的判断，真命题要加以论证；假命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式．在判断命题真假的过程中，要注意简单命题与复合命题之间的真假关系，要注意四种命题之间的真假关系，原命题等价于逆否命题，但原命题与逆命题、否命题都不等价．因此，四种命题中真命题的个数只能是0，2或4.判断命题真假的2种方法：(1) 直接判断：判断一个命题是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．(2) 间接判断(等价转化)：由于原命题与其逆否命题为等价命题，如果原命题的真假不易直接判断，那么可以利用这种等价性间接地判断命题的真假．例2 【思维引导】明确角θ的范围，判断充分性；由三角函数的值的范围确定角的范围，注意三角函数的周期性，判断必要性．【答案】充分不必要【解析】当⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12时，0<θ<π6，即0<sin θ<12，故充分性成立；由sin θ<12可取θ＝0，但此时不满足条件⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12，故必要性不成立． 【精要点评】在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个是条件，哪个是结论；其次，要从两个方面，即“充分性”与“必要性”分别考查．判定时，对于有关范围的问题也可以从集合观点看，如p ，q 对应的范围为集合A ，B ，若A ⊂B ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；若A ＝B ，则p ，q 互为充要条件．变式 【答案】充要【解析】当A ＝60°时，可以推得cos A ＝12；当cos A ＝12时，由于A ∈(0°，180°)，也可以推得A ＝60°，故“A ＝60°”是“cos A ＝12”的充要条件．即“A ≠60°”是“cos A ≠12”的充要条件．例3 【思维引导】求a 的取值范围使它成为M ∩P 的不同条件，可借助集合的观点，根据要求，求出成立时a 的取值范围．【解答】(1) 由M ∩P ＝{x|5<x ≤8}，得－3≤a ≤5，因此M ∩P ＝{x|5<x ≤8}的充要条件是－3≤a ≤5.(2) 在集合{a|－3≤a ≤5}中取一个值即可，如取a ＝0，此时必有M ∩P ＝{x|5<x ≤8}； 反之，M ∩P ＝{x|5<x ≤8}未必有a ＝0，故a ＝0是所求的一个充分不必要条件． (3) 即求一个集合Q ，使{a|－3≤a ≤5}是集合Q 的一个真子集．如果是{a|a ≤5}，那么未必有M ∩P ＝{x|5<x ≤8}，但是M ∩P ＝{x|5<x ≤8}时，必有a ≤5，故a ≤5是所求的一个必要不充分条件．【精要点评】解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．变式1 【答案】[4，＋∞)【解析】由题意知A ＝{x|x ＜4}，且A ⊆B ，所以a ≥4.变式2 【解答】因为y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，所以y min ＝716，y max ＝2，所以y ∈⎣⎡⎦⎤716，2，所以A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，所以集合B ＝{x|x ≥1－m 2}． 因为p 是q 的充分不必要条件，所以A B ，所以1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34. 所以实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 例4 【思维引导】证明充分性，由“ac ＜0”推出“方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个正根和一个负根”，证明必要性是由“方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个正根和一个负根”推出“ac ＜0”，主要根据判别式、一元二次方程的根与系数的关系进行论证．【解答】设原方程的两根分别为x 1，x 2. ①充分性：由ac<0，得a ，c 异号， 所以Δ＝b 2－4ac>0，且x 1x 2＝ca<0，故方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正一负两个实数根． 所以ac<0是原方程有一正一负两个实数根的充分条件．②必要性：若方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个正根和一个负根，不妨设x 1>0，x 2<0，则x 1x 2<0，即ca<0，所以a ，c 异号，即ac<0， 故ac<0是原方程有一正一负两个实数根的必要条件． 综上，ac<0是原方程有一正一负两个实数根的充要条件．【精要点评】充要条件的证明应注意：(1) 一般地，条件已知，证明结论成立是充分性，结论已知，推出条件成立是必要性．(2) 有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论．课堂评价1. 若tan α≠1，则α≠π4 【解析】命题的条件是p ：α＝π4，结论是q ：tan α＝1.由命题的四种形式，可知命题“若p ，则q ”的逆否命题是“若非q ，则非p ”，显然非q ：tan α≠1，非p ：α≠π4，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．2. 充要 【解析】当a ＝0时，f(x)＝x 3，所以函数f(x)是奇函数．当函数f(x)＝x 3＋ax 2(x ∈R )为奇函数时，f (－x )＝－x 3＋ax 2＝－f (x )＝－x 3－ax 2，所以2ax 2＝0恒成立，所以a ＝0.所以“a ＝0” 是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R )为奇函数”的充要条件．3. 充分不必要 【解析】由x 3>8，得x>2.由|x|>2，得x>2或x<－2，故x 3>8是|x|>2的充分不必要条件．4. (0，3) 【解析】令M ＝{x|a ≤x ≤a ＋1}，N ＝{x|x 2－4x<0}＝{x|0<x<4}．因为p 是q 的充分不必要条件，所以MN ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a>0，a ＋1<4，解得0<a<3.5. 【解答】当x>0时，y ＝x 1＋x ＝1－11＋x ，易知y ＝x 1＋x 在(0，＋∞)上单调递增．又y ＝x 1＋|x|是奇函数，所以y ＝x 1＋|x|在(－∞，＋∞)上单调递增，从而f(x)＝x 1＋|x|＋e x 在(－∞，＋∞)上单调递增．先证充分性：因为x 1＋x 2>0，所以x 1>－x 2，又f(x)＝x1＋|x|＋e x 在(－∞，＋∞)上为单调增函数，所以f(x 1)>f(－x 2)，同理，f(x 2)>f(－x 1)，故f(x 1)＋f(x 2)>f(－x 1)＋f(－x 2)．充分性证毕．再证必要性：记g(x)＝f(x)－f(－x)，由f(x)＝x1＋|x|＋e x 在(－∞，＋∞)上单调递增，可知f(－x)在(－∞，＋∞)上单调递减，所以g(x)＝f(x)－f(－x)在(－∞，＋∞)上单调递增．由f(x 1)＋f(x 2)>f(－x 1)＋f(－x 2)，可得f(x 1)－f(－x 1)>f(－x 2)－f(x 2)，即g(x 1)>g(－x 2)，所以x 1>－x 2，x 1＋x 2>0.必要性证。
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3. 若向量 a＝(1，cosθ)与向量 b＝(－1,2cosθ)垂直，则 sin52π＋2θ＝____0____. 【解析】因为 a⊥b，所以－1＋2cos2θ＝0，即 cos2θ＝12，则 sin52π＋2θ＝cos2θ ＝2cos2θ－1＝2×12－1＝0. 4. 若平面向量 a＝(1，－2)，b＝(2，m)，且 a∥b，则 3a＋2b＝_(7_，__－__1_4_)___.
【解析】因为 a∥b，所以 m＋4＝0，所以 m＝－4，所以 b＝(2，－4)，所以 3a＋2b＝(7，－14)．
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向量的平行(共线)问题 已知向量 a＝(1，λ)，b＝(2,1)，若向量 2a＋b 与 c＝(8,6)共线，则|a|＝ _____2___.
【解析】因为 2a＋b＝(4,2λ＋1)与 c＝(8,6)共线，所以 24＝16λ＋8，解得 λ＝1， 所以 a＝(1，λ)＝(1,1)，所以|a|＝ 2.
知识梳理 1. 向量的夹角 已知两个非零向量 a 与 b，记O→A＝a，O→B＝b，则__θ_＝__∠__A_O__B_叫作向量 a 与 b 的 夹角，夹角 θ 的取值范围为__[_0_，__π_]_．当 θ＝0°时，a 与 b 同向；当 θ＝180°时，a 与 b 反向；当 θ＝90°时，则称向量 a 与 b ____垂__直_____. 2. (1) 两个向量平行的充要条件：设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0，则 a∥b ⇔____x_1y_2_－__x_2y_1_＝__0___. (2) 两个非零向量垂直的充要条件：设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔ ____x_1_x_2＋__y_1_y_2＝__0____________.
与向量平行(垂直)有关的综合问题 已知向量 a＝(sinx，cosx)，b＝(3，－1)．若 a∥b，求 2sin2x－3cos2x 的值．
【解答】由题知 a＝(sinx，cosx)，b＝(3，－1)． 因为 a∥b，所以 sinx＝－3cosx. 又 sin2x＋cos2x＝1， 所以 sin2x＝190，cos2x＝110， 所以 2sin2x－3cos2x＝2×190－3×110＝32.
第六章 平面向量与复数
第34课 平面向量的平行与垂直
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1. (必修 4P75 习题 5 改编)已知向量 a＝(3,1)，b＝(2，λ)．若 a∥b，则实数 λ＝___3___.
【解析】由题意知 3λ＝2，所以 λ＝23.
(2) 若 m∥n，求证：B 为锐角． 【解答】 因为 m∥n，所以 3cosA·(－ 3sinB)－sinAcosB＝0，即 sinAcosB＋ 3cosAsinB＝0. 因为 A，B 是三角形的内角，所以 cosAcosB≠0，
所以 tanA＝－3tanB，则 A，B 中恰有一个是钝角， 所以π2<A＋B<π， 所以 tan(A＋B)＝1t－anAta＋nAttaannBB＝－31t＋an3Bta＋n2tBanB＝1－＋23ttaannB2B<0， 所以 tanB>0，故 B 为锐角．
(2018·苏州暑假测试)在平面直角坐标系中，设向量 m＝( 3cosA，sinA)，n ＝(cosB，－ 3sinB)，其中 A，B 为△ABC 的两个内角．
(1) 若 m⊥n，求证：C 为直角； 【解答】 由题知 m·n＝ 3(cosAcosB－sinAsinB)＝ 3cos(A＋B)． 因为 m⊥n，所以 m·n＝0，即 cos(A＋B)＝0. 又 0<A＋B<π，且函数 y＝cosx 在(0，π)上是单调减函数，所以 A＋B＝π2，故 C 为直角．
已知O→A＝(2,5)，O→B＝(3,1)，O→C＝(6,3)．在线段 OC 上是否存在点 M， 使得 MA⊥MB？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】设O→M＝tO→C，t∈[0,1]，则O→M＝(6t,3t)，即 M(6t,3t)，则M→A＝O→A－O→M＝ (2－6t,5－3t)，M→B＝O→B－O→M＝(3－6t,1－3t)．若 MA⊥MB，则M→A·M→B＝(2－6t)(3－ 6t)＋(5－3t)(1－3t)＝0，即 45t2－48t＋11＝0，解得 t＝13或 t＝1115，所以存在满足题意 的点 M，且点 M 的坐标为(2,1)或252，151.
或yx＝＝35－，45.
5. (必修 4P87 习题 10 改编)已知向量 a＝(－3,1)，b＝(1，－2)．若(－2a＋b)⊥ 3
(ka＋b)，则实数 k＝___5_____.
【解析】由(－2a＋b)⊥(ka＋b)，得(7，－4)·(1－3k，k－2)＝0，即 7(1－3k)－
4(k－2)＝0，所以 k＝35.
已知向量 a＝(1,1)，b＝(－1,2)，若(a－b)∥(2a＋tb)，则 t＝___－__2___.
【解析】因为 a－b＝(2，－1)，2a＋tb＝(2－t,2＋2t)， 且(a－b)∥(2a＋tb)，所以 2(2＋2t)＝－(2－t)，所以 t＝－2.
向量的垂直问题 (2017·无锡期末)已知向量 a＝(2,1)，b＝(1，－1)，若 a－b 与 ma＋b 垂直，
课堂评价 1. 已知向量 a＝(x，－4)，b＝(1，－x)，若向量 a 与 b 同向，则 x＝____2____. 【解析】由向量 a 与 b 共线，得－x2＝－4，所以 x＝±2.又向量 a 与 b 同向，所 以 x＝2. 2. (2017·南京学情调研)设向量 a＝(1，－4)，b＝(－1，x)，c＝a＋3b.若 a∥c，则 实数 x 的值是____4____． 【解析】因为 a＝(1，－4)，b＝(－1，x)，c＝a＋3b＝(－2，－4＋3x)．又 a∥c， 所以－4＋3x－8＝0，解得 x＝4.
1 则实数 m 的值为____4____．
【解析】由题知 a－b＝(1,2)，ma＋b＝(2m＋1，m－1)．因为(a－b)⊥(ma＋b)， 所以(a－b)·(ma＋b)＝1×(2m＋1)＋2×(m－1)＝4m－1＝0，故 m＝14.
已知向量 a＝(1,2)，b＝(x，－2)，且 a⊥(a－b)，那么实数 x＝____9____. 【解析】 由 a⊥(a－b)，得 a·(a－b)＝0，即 a2＝a·b，把 a＝(1,2)，b＝(x，－2)， 代入 a2＝a·b，得 5＝x－4，所以 x＝9.
4. (必修 4P75 练习 1 改编)已知向量 a＝(－3,4)，向量 b∥a，|b|＝1，那么 b＝ _－__35_，__45__或__35_，__－__45__.
【解析】设 b＝(x，y)，由题意得 4x＋3y＝0，且 x2＋y2＝1，
解得yx＝＝45－35，
2. (b＝(sin α，cos α)，且 a∥b， 5
那么 tan α＝____1_2___.
3. (必修 4P81 习题 12 改编)已知向量 a＝(6,2)，b＝(3，k)．若 a⊥b，那么实数 k ＝____－__9__.
【解析】因为 a⊥b，所以 18＋2k＝0，所以 k＝－9.