高考数学三角函数与平面向量复习精选

高考数学三角函数与平面向量复习三角函数、平面向量是高中数学两个有机结合的部分，它们既是高考必考内容又是十分有用的解题工具. 学好这部分内容，除了要较好的把握知识体系之外，更要把握有关题型、易错点.一、三角函数问题 1．三角函数的图像和性质 （1）具体要求：①了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化； ②借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；③借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（2π±α，π±α的正弦、余弦、正切），能画出y=sinx ，y=cosx ，y=tanx 图像，了解三角函数的周期性；④借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在（-2π,2π）上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与轴交点等）；⑤理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x+cos 2x=1，x xcos sin =tanx.⑥结合具体实例，了解y=Asin(ωx+ϕ)的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=Asin(ωx+ϕ)的图像，观察参数A ，ω，ϕ对函数图像变化的影响；⑦会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. (2)题型示例：这里的问题主要是三角函数的图像和性质及其应用，与向量进行综合命题是近年来的发展趋势.例1.已知函数f (x)= Asin(ωx+ϕ)( A >0,ω>0,∣ϕ∣<2π)的图像在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x 0,2),( x 0+3π,-2).（1）求f (x)的解析式；（2）用五点作图法画出函数f (x)在长度为一个闭区间上的简图； （3）写出函数f (x)的单调区间；（4）写出f (x)>3的角x 的集合；（5）函数f (x)的图像经过怎样的变换可以得到函数y=sinx 的图像.解：（1）依题意可知A=2，ωπ2=2·4=8，ω=4π，于是得f (x)= 2sin(4πx+ϕ)又x=0时f (0)= 2sin ϕ=1，sin ϕ=21，且∣ϕ∣<2π，∴ϕ=6π. f (x)= 2sin(4πx+6π)（2）列表如下：4πx+6π2ππ23π 2πx -3234310316322y2-2（3）函数f (x)的单调增区间是[-38+8k ，34+8k]（k∈Z ），减区间是[34+8k ，316+8k]（k∈Z ）.（4）f (x)>3的角x 的集合是{x∣31+8k ＜x ＜2+8k , k∈Z }.（5）把函数f (x)的图像上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的21；再把所得函数的图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的π4；再把所得的函数图像向右平移6π个单位即得函数y=sinx 的图像.点评：本题重点考查相关的基础知识和基本方法，考查阅读理解及语言表达能力.狠抓双基的学习是永恒的话题.例2．（2006·湖北·理）设函数()f x = a·(b +c )，其中向量a=(sinx ，-cosx)，b=(sinx ，-3cosx)，c =(-cosx ，sinx)，x ∈R .（Ⅰ）、求函数()f x 的最大值和最小正周期；（Ⅱ）、将函数()f x 的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d .解：(Ⅰ)由题意得，f(x)＝a·(b +c ) =(sinx,－cosx )·(sinx －cosx,sinx －3cosx)＝sin 2x －2sinxcosx+3cos 2x ＝2+cos2x －sin2x ＝2+2sin(2x+43π).所以，f(x)的最大值为2+2，最小正周期是22π＝π.（Ⅱ）由sin(2x+43π)＝0得2x+43π＝k.π，即x ＝832ππ-k , k ∈Z ， 于是d ＝（832ππ-k ，－2），∣d ∣,4)832(2+-=ππk k ∈Z .因为k 为整数，要使∣d ∣最小，则只有k ＝1，此时d ＝（―8π，―2）即为所求.点评：本题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力. 在这里我们也可以看到，所谓的高考试题，实际上更加注重对双基的考查，提醒我们平时学习要注重基础，注重对所学知识的融会贯通.2三角恒等变换 (1)具体要求①经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；②能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；③能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）.(2)题型示例：这部分的问题主要是化简、求值、证明等问题.例3.（2005•福建）已知-2π<x<0，sinx+cosx=51.(1)求sinx-cosx 的值；(2)求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值.解：（1）由sinx+cosx=51得sinxcosx=-2512，∴（sinx-cosx ）2=1-2sinxcosx=2549.又-2π<x<0，故sinx ＜0，cosx ＞0，sinx-cosx=-57.(2) 由sinx+cosx=51，sinx-cosx=-57得sinx=-53，cosx=54，tanx=-43，∴x x x tan 1sin 22sin 2-+=-17524.点评：此题考查了同角三角函数关系式的运用、三角函数的化简、变形能力，考查了方程的思想.注意到sinx+cosx ，sinx-cosx ，sinxcosx 之间的关系，这在化简求值中应用的频率上很高的.例4（2006重庆理）已知βα,⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππ,43，sin(βα+)=－,53 sin ,13124=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πβ则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα=_______ . 解：由βα,⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππ,43得βα+∈（23π，2π），又sin(βα+)=－,53故cos(βα+)=54. 由β⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππ,43得β-4π∈（2π，43π），又sin ,13124=⎪⎭⎫⎝⎛-πβ故cos(β-4π)=-135. 于是，cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα=cos[(βα+)-(β-4π)]= cos(βα+)cos(β-4π)+sin(βα+)sin(β-4π)=-6556.点评：本题考查三角变换及三角运算能力.三角变换包括三角函数、三角式的变换和角变换，这里主要是角的变换.灵活地进行角的变换是灵活地进行三角变形的基础.3.解三角形 （1）具体要求①通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；②能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. （2）题型示例：利用三角知识解决三角形中的三角函数问题，包括解三角形，三角形形状的判定，应用问题等.要注意的是三角形中的边角关系、正余弦定理的灵活运用.例5．（2006江西文）在锐角ABC △中，角AB C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知sin 3A =，（1）求22tan sin 22B C A++的值；（2）若2a =，ABC S =△b 的值．解：（1）因为锐角△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，sin 3A =，所以cosA ＝13，则22222B Csin B C A A 2tan sin sin B C 222cos 21cos B C 11cos A 171cos A 1cos B C 21cosA 33＋＋＋＝＋＋－（＋）＋＝＋（－）＝＋＝＋（＋）－.（2）因为S ABC ∆=2，又S ABC ∆=21bcsinA=21bc ·322，则bc ＝3将a ＝2，cosA ＝13，c ＝3b 代入余弦定理：222a b c 2bccos A ＝＋－中得42b 6b 90－＋＝解得b.点评：本题主要考查三角形中的三角函数问题，灵活运用诱导公式、同角三角函数的关系式、二倍角公式、三角形面积公式、余弦定理等进行三角变换、计算的能力.例6.（2006上海文·理）如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30o，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到1o）？解：连接BC ，由余弦定理得BC 2=202+102－2×20×10COS120°=700. 于是,BC=107.∵710120sin 20sin ︒=ACB , ∴sin ∠ACB=73， ∵∠ACB<90° ， ∴∠ACB=41°，∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B 处救援.点评：本题主要考查学生的数学应用意识、实际问题化归为数学问题以及分析问题解决问题的能力.题不在难，在于适用.二、平面向量问题 （1）具体要求①了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；②掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；③了解向量的线性运算性质及其几何意义，了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算，理解用坐标表示的平面向量共线的条件；⑤理解平面向量数量积的含义及其物理意义，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；⑥体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力. （2）题型示例：例7．（2006全国2理）已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2＜θ＜π2．（Ⅰ）若a ⊥b ，求θ； （Ⅱ）求｜a ＋b ｜的最大值．解：（1）a ⊥b ⇒ a ·b =0 ⇒sin cos 0θθ+=4πθ⇒=-．（2）∣a +b ∣=∣（sinθ+1，cosθ+1）∣=()()221cos 1sin +++θθ=1cos 2cos 1sin 2sin 22+++++θθθθ =3)cos (sin 2++θθ=3)4sin(22++πθ．当sin()4πθ+=1时∣a +b ∣有最大值，此时4πθ=，1=．点评：本题主要考查向量垂直转化为数量积为0、特殊角的三角函数值、三角函数的基本关系以及三角函数的有界性、已知向量的坐标表示求模等，难度中等，计算量不大．三、易错问题分析例8．函数()f x =x x xx cos sin 1cos sin ++的值域为 ．解：∵()f x =x x x x cos sin 1cos sin ++=x x x x cos sin 1]1)cos [(sin 212++-+=21[（sinx+cosx ）-1] =21[2sin(x+4π)-1]又sin(x+4π)∈[-1，1] ∴sin(x+4π)=1时()f x m ax =21(2-1)；sin(x+4π)=-1时()f x min =-21(2+1) ．∴函数()f x 的值域为[-21(2+1)，21(2-1)] ．简析略解：此解法看似正确，实际上忽视了函数的定义域，从而导致错误．事实上，在化简函数解析式的过程中要注意1+sinx+cos x≠0，即sin(x+4π)≠-22，因此()f x ≠-1，函数()f x 的值域应为[-21(2+1)，-1）∪（-1，21(2-1)] ．例9．若2sin 2x+sin 2y=3sinx ，则sin 2x+sin 2y 的取值范围是 ．解：由已知得sin 2y= 3sinx-2sin 2x ＞0，从而得0＜sinx ＜23，于是sin 2x+sin 2y= -sin 2x+3sinx= -(sinx-23)2+49∈（0，49）， ∴sin 2x+sin 2y 的取值范围是（0，49）.简析略解：上述解法看似考虑了变量sinx 的取值范围，好象天衣无缝，实际上仍然没有准确的求出变量sinx 的范围.事实上，0＜sin 2y= 3sinx-2sin 2x≤1，因此，0＜sinx ≤21或sinx=1.∴sin 2x+sin 2y 的取值范围是[0，45]∪{2}.例10．已知向量p ，q 满足∣p ∣=3，∣q ∣=3， p 与q 的夹角为900，若p +t q 与t p +q 的夹角为锐角，则实数t 的取值范围是 .解：若p +t q 与t p +q 的夹角为锐角，则（p +t q ）·（t p +q ）＞0，即 t p 2+t q 2+(1+t 2) p ·q =3t+9t=12t ＞0，t ＞0即为所求.简析略解：由p +t q 与t p +q 的夹角为锐角 （p +t q ）·（t p +q ）＞0是正确的，但是当（p +t q ）·（t p +q ）＞0时却得不到p +t q 与t p +q 的夹角为锐角！因为此时也可能有p +t q 与t p +q 的夹角为00，因此要在前面所求得的范围内去掉使p +t q 与t p +q 的夹角为00的t 值.事实上，当p +t q 与t p +q 的夹角为00时，可设p +t q =s(t p +q )，则得 st=1，且t=s.解得t=s=1. 实数t 的取值范围是t ＞0且t≠1.。