【精品】2016-2017年四川省眉山市高二上学期数学期末试卷(文科)与答案

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2016-2017学年高二上学期期末考试数学文试卷 Word版含答案

2016-2017学年高二上学期期末考试数学文试卷试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9. 命题“x ∃∈R ，使得2250x x ++=”的否定是______________________.10. 如果直线032=-+y ax 与20x y -=垂直，那么a 等于_______.11. 已知双曲线2213y x -=，则双曲线的离心率为______；渐近线方程为_____________ .12. 一个直三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积为_________.13. 如图，在四边形ABCD 中，1AD DC CB ===， AB =，对角线AC 将ACD △沿AC 所在直线翻折，当AD BC ⊥时，线段BD 的长度为______.ABCD正（主）视图侧（左）视图14. 学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程.你需要测量的数据是_________________________（所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为___________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，E 是PA 的中点. (Ⅰ)求证：//PC 平面BDE ； (Ⅱ)证明：BD CE ⊥.16．（本小题满分13分）已知圆C 经过)1,1(),3,1(-B A 两点，且圆心在直线x y =上. (Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅱ)设直线l 经过点)2,2(-，且与圆C 相交所得弦长为32，求直线l 的方程.17．（本小题满分13分）如图，在平面ABCD 中，⊥AB 平面ADE ，CD ⊥平面ADE ，ADE △是等边三角形，22AD DC AB ===，,F G 分别为,AD DE 的中点. (Ⅰ)求证: EF ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)求四棱锥E ABCD -的体积；(Ⅲ)判断直线AG 与平面BCE 的位置关系，并加以证明.A BCDPE EDAB CGF18．（本小题满分13分）过椭圆2212x y +=右焦点F 的直线l 与椭圆交于两点,C D ，与直线2=x 交于点E .(Ⅰ)若直线l 的斜率为2，求||CD ；(Ⅱ)设O 为坐标原点，若:1:3ODE OCE S S ∆∆=，求直线l 的方程． 19．（本小题满分14分）如图,在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，1AA =,M N 分别为BC 和1AA 的中点，P 为侧棱1BB 上的动点.(Ⅰ)求证:平面APM ⊥平面11BBC C ；(Ⅱ)若P 为线段1BB 的中点，求证://CN 平面AMP ； (Ⅲ)试判断直线1BC 与PA 能否垂直. 若能垂直，求出PB 的值；若不能垂直，请说明理由.20．（本小题满分14分）已知抛物线22y x =，两点(1,0)M ，(3,0)N . （Ⅰ）求点M 到抛物线准线的距离；（Ⅱ）过点M 的直线l 交抛物线于两点,A B ，若抛物线上存在一点R ，使得,,,A B N R 四点构成平行四边形，求直线l 的斜率.NA MPCBA 1 C 1B 1北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷高二数学（文科）参考答案及评分标准2017.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A ；2.D ；3. C ；4. C ；5. D ；6. A ；7. B ；8. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 对任意x ∈R ,都有0522≠++x x ； 10. 1； 11. 2；y =； 12. 4；14. 碗底的直径m ，碗口的直径n ，碗的高度h ；2224n my x h-=.注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）解: (Ⅰ)连结AC 交BD 于O ，连结OE ，因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为AC 中点. 又因为E 是PA 的中点，所以//PC OE ， ………3分因为PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以//PC 平面BDE . ……………6分 (Ⅱ)因为四边形ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥. ……8分因为PA ⊥底面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥. ……………10分又因为AC PA A =I ，所以BD ⊥平面PAC ， ……………12分又CE ⊂平面PAC ，所以BD CE ⊥. ……………13分16.（本小题满分13分）ABCDPE O解：(Ⅰ)设圆C 的圆心坐标为),(a a ，依题意，有2222)1()1()3()1(-++=-+-a a a a ， ……………2分即22451a a a -+=+,解得1=a ， ……………4分所以222(11)(31)4r =-+-=， ……………5分所以圆C 的方程为4)1()1(22=-+-y x . ……………6分 (Ⅱ)依题意，圆C 的圆心到直线l 的距离为1. ……………8分所以直线2x =符合题意. ……………9分当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为)2(2-=+x k y ，即022=---k y kx ，则11|3|2=++k k ， ……………11分解得43k =-， ……………12分所以直线l 的方程为)2(342--=+x y ，即0234=-+y x ， ……………13分综上，直线l 的方程为2x = 或0234=-+y x .17.（本小题满分13分）(Ⅰ)证明：因为F 为等边ADE △的边AD 的中点，所以 EF AD ⊥. ……………2分因为⊥AB 平面ADE ，⊂AB 平面ABCD 所以平面ADE ⊥平面ABCD . ……………4分所以EF ⊥平面ABCD . ……………5分 (Ⅱ)解：因为⊥AB 平面ADE ，CD ⊥平面ADE ，所以//AB CD ，90ADC ∠=，四边形ABCD 是直角梯形， ……………7分又22AD DC AB ===，所以1(21)232ABCD S =⋅+⋅=梯形，……………8分又EF =所以13E ABCDABCD V S EF -=⋅=……………9分 (Ⅲ)结论: 直线//AG 平面BCE .证明: 取CE 的中点H ，连结,GH BH ，因为G 是DE 的中点，所以//GH DC ，且 GH =12DC . ……………11分 DABCGFHE所以//GH AB ，且1GH AB ==，所以四边形ABHG 为平行四边形，//AG BH ， ……………12分又⊄AG 平面BCE ，⊂BH 平面BCE .所以//AG 平面BCE . ……………13分18.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由已知，1=c ，)0,1(F ，直线l 的方程为22-=x y . ……………1分设11(,)C x y ，22(,)D x y ，联立⎩⎨⎧-==+222222x y y x ，消y 得291660x x -+=， ……………3分91621=+x x ，9621=x x ， ……………4分所以||CD = ……………5分9==. ……………6分 (Ⅱ)依题意，设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)1(-=x k y ，联立⎩⎨⎧-==+kkx y y x 2222，消y 得0)22(4)212222=-+-+k x k x k （， ……………7分2221214k k x x +=+……①， 22212122k k x x +-=……②……………8分因为:1:3ODE OCE S S =△△，所以 :1:3DE CE =， 3CE DE =，所以 1223(2)x x -=-，整理得 2134x x -=……③ ……………10分由①③得 212121k x k -=+，2223121k x k +=+， ……………11分代入②，解得1±=k ， ……………12分所以直线l 的方程为1y x =-或1y x =-+. ……………13分19.（本小题满分14分）(Ⅰ)证明：由已知，M 为BC 中点，且AB AC =，所以AM BC ⊥. ……………1分又因为11//BB AA ，且1AA⊥底面ABC ，所以1BB ⊥底面ABC .NA MPCBA 1 C 1B 1 Q所以1BB AM ⊥， ……………3分所以AM ⊥平面11BBC C .所以平面AMP ⊥平面11BBC C .……………5分 (Ⅱ)证明：连结BN ，交AP 于Q ，连结MQ ,NP .因为,N P 分别为11,AA BB 中点，所以//AN BP ，且AN BP =.所以四边形ANPB 为平行四边形， ……………7分Q 为BN 中点，所以MQ 为CBN △的中位线，所以//CN MQ . ……………8分又CN ⊄平面AMP ，MQ ⊂平面AMP ，所以//CN 平面AMP . ……………9分 (Ⅲ) 解：假设直线1BC 与直线PA 能够垂直，又因为1BC AM ⊥，所以⊥1BC 平面APM ，所以1BC PM ⊥. ……………10分设PB x =，x ∈.当1BC PM ⊥时，11BPM BC B ∠=∠，所以Rt PBM △∽11Rt B C B △，所以111C B PB MB BB =. ……………12分因为111MB C B BB ===，解得3x =. ……………13分因此直线1BC 与直线PA 不可能垂直. ……………14分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知，抛物线22y x =的准线方程为12x =-. ……………2分所以，点M 到抛物线准线的距离为131()22--=. ……………4分（Ⅱ）设直线:(1)l y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2(1),2y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(22)0k x k x k -++=， ……………5分所以212222k x x k++=，121x x =. ……………6分 ①,N R 在直线AB 异侧，,,,A B N R 四点构成平行四边形，则,AB NR 互相平分. 所以，12R N x x x x +=+，12R N y y y y +=+，所以，22223R k x k +=+，222R k x k-=. 12122(2)R y y y k x x k=+=+-=. ……………8分将(,)R R x y 代入抛物线方程，得22R R y x =，即222422k k k -=⨯，解得0k =，不符合题意. ……………10分 ②若,N R 在直线AB 同侧，,,,A B N R 四点构成平行四边形，则,AR BN 互相平分. 所以，12R N x x x x +=+，12R N y y y y +=+，所以，213R x x x =-+，21R y y y =-. ……………12分代入抛物线方程，得22121()2(3)y y x x -=-+，又2112y x =，2222y x =，所以2222121()2(3)22y y y y -=-+，注意到212y y =-=-，解得211y =，11y =±. ……………13分当11y =时，112x =，2k =-；当11y =-时，112x =，2k =.所以2k =±. ……………14分。

【全国市级联考word】四川省眉山市2016-2017学年高二上学期期末考试文数试题

眉山市高中2018届第三学期期末教学质量检测数学试卷卷（理工类）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知双曲线22212x y a -=的一条渐近线过点)，则此双曲线的一个交点坐标是（）A ．B ．(2,0)C ．D ．2.命题:P “若a b <，则a c b c +<+”，则命题P 的原题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是（）A ．0B ．2C ．3D ．43.设a R ∈，则“2a =-”是“直线1:210l ax y +-=与直线2:(1)40l x a y +++=平行”，则的（） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4.抛物线22(0)y px p =>的准线被圆22230x y x ++-=所截得的线段长为4，则p = （） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 5.下列否定不正确的是（）A ．“2,0x R x ∀∈>”的否定是“200,0x R x ∃∈≤” B ．“200,0x R x ∃∈<”的否定“2,0x R x ∀∈<”C ．“000,sin cos 1R θθθ∃∈+<”的否定是“,sin cos 1R θθθ∀∈+≥”D ．“,sin 1R θθ∀∈≤”的否定是“00,sin 1R θθ∃∈>” 6.执行如下图所示的程序框图，则输出的i 值为（）A ．3B ．4C ．5D ．67.已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且12PF PF ⊥，若12PF F ∆的面积为9，则b = A ．3 B ．6 C．．8.已知圆C 的圆心在x 上，且经过(5,2),(1,4)A B -两点，则圆C 的方程是（）A ．22(2)17x y ++= B ．22(2)13x y -+=C ．22(1)20x y -+=D ．22(1)40x y ++=9.已知m 是两个正数2,8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率为 A10. 一个圆形纸片，圆心为,O F 为圆内的一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于P ，则P 的轨迹是（） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆11.,x y 满足约束条件2022020x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若z y a x =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（）A ．12或1- B ．2或12C ．2或1-D ．2或112.抛物线2:2(0)C y px p =>的准线为l ，焦点为F ，圆M 的圆心在x 轴的正半轴上，圆M 与y 轴相切，过原点O 作倾斜角为3π的直线m ，交直线l 于点A ，交圆M 于不同的两点,O B ，且2A O B O ==，若P 为抛物线C 上的动点，则PM PF ⋅的最小值为 A ．2- B ．2 C ．3 D ．74第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.抛物线24y x =的准线方程为．14.利用秦九韶算法公式01,(1,2,3,)nk k n kv a k n v v a --=⎧=⎨=+⎩，计算多项式()24321f x x x x =-++，当2x =时的函数值，则3v = ．15.过点P 的直线l 与圆221x y +=有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是．16.已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆与双曲线的离心率的倒数着的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）已知圆228x y +=内有一点0(1,2)P -，AB 为过点0P 且倾斜角为α的弦．（1）当34πα=时，求AB 的长；（2）当先AB 被点0P 平分时，写出直线AB 的方程． 18. （本小题满分12分）设命题:p x R ∃∈，使2220x a x a ++-=；命题:q不等式220ax -+>，任意x R ∈恒成立，若p⌝为真，且p 或q 为真，求a 的取值范围． 19. （本小题满分12分）已知直线l 过点(2,3)P ，且被两条平行直线12:3470,:3480l x y l x y +-=++=截得的线段的长为d ．（1）求d 的最小值；（2）当直线l 与x 轴平行，试求d 的值．20. （本小题满分12分）如图：Rt ABC ∆中，90,2,2CAB AB AC ∠===，曲线E 过C 点，动点P 在E 上运动，且保持PA PB +的值不变．（1）建立适当的坐标系，求曲线E 的标准方程；（2）过B 点且倾斜角为120的直线l 交曲线E 于,M N 两点，求MN 的长度．21. （本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线22y x =相交于,A B 两点．（1）求证：“如果直线l 过点(3,0)T ，那么3OA OB ⋅=”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． 22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程如图，DP x ⊥轴，点M 在DP 的延长线上，且2DM DP =，当点P 在圆221x y +=上运动时．（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过点(0,)T t 作圆221x y +=的切线l 交曲线C 零点,A B ，求AOB ∆面积S 的最大值和相应的点T 的坐标．试卷答案一、选择题1-5:CDABB 6-10:BACDA 11、C 12：B二、填空题13. 116y =-14.24 15. ]30[π， 16.三、解答题17、解：⑴.当34απ=时，直线AB 的方程为：2(1)10y x x y -=-+⇒+-= 设圆心到直线AB 的距离为d，则d =∴||AB ==………………………… 5分⑵.当弦AB 被点P 0平分时 OP 0⊥AB ∵02OP K =- ∴12AB K =故直线AB 的方程为：12(1)2y x -=+ 即250x y -+= ……………10分18、由命题p ：0≥∆得2a ≤-或1a ≥， ……………………………………4分对于命题q ：因时0222>+-ax ax 恒成立，所以或a =0,∴04a ≤< ……………………………………………6分由题意知p 为假命题，q 为真命题．……………………………………………8分∴ 104012<≤⇒⎩⎨⎧<≤<<-a a a ，∴a 的取值范围为[) 1,0 …………………………12分19、解（1）因为3×2＋4×3－7>0,3×2＋4×3＋8>0，所以P 在两条平行直线l 1，l 2外．过P 作直线l ，使l ⊥l 1，则l ⊥l 2，设垂足分别为G ，H ，则|GH |就是所求d 最小值．由两平行线间距离公式，得d 最小值为|GH |＝|8－(－7)|32＋42＝3. ………………6分（2）当直线l 与x 轴平行时，l 的方程为y ＝3;设直线l 与直线l 1，l 2分别交于点A (x 1,3)，B (x 2,3)，则3x 1＋12－7＝0,3x 2＋12＋8＝0，所以3(x 1－x 2)＝15，即x 1－x 2＝5，所以d ＝|AB |＝|x 1－x 2|＝5. ……………12分22800a a a ⎧∆=-<⎨>⎩x R ∈20、解：（1）以AB 所在的直线为x 轴，AB 中点O 为原点建立直角坐标系. ….1分| PA |+| PB |=| CA |+| CB |=22+22)22(2+=22，动点的轨迹是以为,A B 焦点椭圆…………………………………………….4分设其长、短半轴的长分别为a 、b ，半焦距为c ，则a =2，c=1，b =1，∴曲线E 的方程为：22x +y 2=1 .……………………………………………6分（2）直线l得方程为1)y x =--且1122(,),(,)M x y N x y ………….7分由方程组221)12y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得方程271240x x -+=12127x x +=1247x x = ………………………………………………….9分12|||MN x x =-=728744)712(22=⨯-= 故728=MN …………………………………………………………..12分 21、（1）证明：当直线l 的斜率不存在时，:3l x =()A,(3,B3)6(633=-⨯+⨯=⋅…………………………………………1分设直线l 的方程为(3)y k x =-(0≠k )且11(,)A x y ，22(,)B x y由方程组2(3)2y k x y x=-⎧⎨=⎩代入化简得2222(62)90k x k x k -++=0≠k ∴ 129x x = …………………………………………. 3分由21122222y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩得21212()4y y x x = ∴126y y =- ……………………….4分1212OA OB x x y y ⋅=+963=-= ……………………………………….5分故综上所述：“如果直线l 过点T （3，0），那么→--OA →--⋅OB ＝3”是真命题….6分（2）逆命题：直线l 与抛物线2y ＝2x 相交于A 、B 两点，如果→--OA →--⋅OB ＝3，那么直线l 过点T （3，0）．此逆命题是假命题．……………………………………….8分设直线l 的方程为x ky m =+且11(,)A x y ，22(,)B x y由方程组22x ky my x=+⎧⎨=⎩代入化简得2220y ky m --=1222440y y mk m =-⎧⎨∆=+>⎩…………………………………………………………….9分由21122222y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩得 21212()4y y x x = ⇒212x x m =………………………………………………………………………10分由1212OA OB x x y y ⋅=+=22m m -+=3 解方程2230m m --=得3,1m m ==-即直线方程为3x ky =+或1x ky =-…………………………………………….11分所以直线l 过点（3，0）或(1,0)-故此逆命题是假命题……………………………………………………………….12分说明：若有学生用特值法举出一条直线经过(1,0)-且满足→--OA →--⋅OB ＝3说明逆命题是假命题，也给6分. 22、解:（1）设点M 的坐标为()y x ,，点P 的坐标为()00,y x ，则0x x =，02y y =，所以x x =0，20yy =， ………………………….. 1分因为()00,y x P 在圆122=+y x 上，所以12020=+y x …………………2分将①代入②，得点M 的轨迹方程C 的方程为1422=+y x ． ……………4分（2）由题意知，1||≥t ．当1=t 时，切线l 的方程为1=y ，点A 、B 的坐标分别为),1,23(),1,23(-此时3||=AB ，当1-=t 时，同理可得3||=AB ； …………………6分当1>t 时，设切线l 的方程为,m kx y +=R k ∈由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,14,22y x t kx y 得042)4(222=-+++t ktx x k ……………………………………………3分设A 、B 两点的坐标分别为),(),,(2211y x y x ，则由③得：222122144,42kt x x k kt x x +-=+-=+．………………………………………8分又由l 与圆122=+y x 相切，得,11||2=+k t 即.122+=k t ………9分所以212212)()(||y y x x AB -+-=]4)4(4)4(4)[1(222222k t k t k k +--++=2.3||342+=t t因为,2||3||343||34||2≤+=+=t t t t AB 且当3±=t 时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2，依题意，圆心O 到直线AB 的距离为圆122=+y x 的半径，所以AOB ∆面积1121≤⨯=AB S ，当且仅当3±=t 时，A O B ∆面积S 的最大值为1，相应的T 的坐标为()3,0-或者()3,0．……………………………………………….12分。

【数学】四川省眉山市2016-2017学年高二下学期期末考试(文)

参考答案一、选择题二、填空题13、143 14. 4230x y --= 15. 1.64 16. 1 三、解答题17.解：（1）由频率分布表得：ba 3520.005.05==,解得a=20，b=0.35，………………3分平均分550.05650.2750.35850.25950.1577.5x -=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ............. 6分（注：计算平均分，列式正确，结果错误扣2分）（2）按成绩分层抽样抽取20人时，优秀生应抽取20×0.4=8人． ............................ 10分 18.解：（1）由题意可知2n =，基本事件的总数为12，事件A 所包含的基本事件个数为4∴事件A 发生的概率()41123P A == ………………………………………………5分（2）由题意得0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩ ，…………………………………………………………6分事件22:4B x y +>恒成立……………………………………………………………8分有几何概型知()4144P B ππ-==- ………………………………………………12分（注：几何概型未画图扣2分） 19. 解：（Ⅰ）由数据可得：1(1234567)47x =++++++=， 2分1(28303541495662)437y =++++++=，………………………………………4分 137271=∑=i i i y x ，140271=∑=i i x ， ……………………………………………………6分6112-14012041372ˆ2211=-=--=∑∑==x n x yx n y x bi ni i i ni ，所以196443ˆˆ=⨯-=-=x b y a 故y 关于x 的线性回归方程为196ˆ+=x y……………………………………………8分（Ⅱ）（ⅰ）当车流量为8万辆时，即x=8时，67196ˆ=+=x y．故车流量为8万辆时，PM2.5的浓度为67微克/立方米．……………………………10分（ⅱ）根据题意信息得：6x+19≤100，即x≤13.5，故要使该市某日空气质量为优或为良，则应控制当天车流量在13万辆以内．……12分 20解：（I ）由以上统计数据填写下面 2×2 列联表，如下；………………………………………………………………………………………………3分根据公式计算635.698.930201337)2710310(50))()()((2)(22>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=++++-=d b c a d a b a bc ad n K ，所以有99%的把握认为年龄45岁为分界点对使用微信交流的态度有差异；………7分（Ⅱ）基本事件的总数为25，记事件A ：选出的2人中至少有一人赞成使用微信交流则A -：选出的2人均不赞成使用微信交流，事件A -包含的基本事件个数为12.()131.25P A P A -⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭………………………………………………………………12分21. 解：（Ⅰ）2()x f x e ax =-，()'()2x g x f x e ax ==-，'()2xg x e a =-，……1分当0a ≤时，'()0g x >恒成立，()g x 无极值；………………………………………2分当0a >时，'()0g x =，即ln(2)x a =，由'()0g x >，得ln(2)x a >；由'()0g x <，得ln(2)x a <，所以当ln(2)x a =时，有极小值22ln(2)a a a -. ……………………………………4分（Ⅱ）因为'()2xf x e ax =-，所以，要证'()f x 21x ax -+≥，只需证1xe x +≥.令()1x k x e x =--，则'()1xk x e =-，且'()0k x >，得0x >；'()0k x <，得0x <， ∴()k x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增,∴()(0)0k x k ≥=，即1xe x ≥+恒成立,∴对任意实数x R ∈，都有'()f x 21x ax -+≥恒成立. ……………………………7分（Ⅲ）令2()1xh x e ax x =---，则'()12xh x e ax =--，注意到(0)'(0)0h h ==，由（Ⅱ）知1x e x ≥+恒成立，故'()2(12)h x x ax a x ≥-=-，……………………8分 ①当12a ≤时，120a -≥，'()0h x ≥，于是当0x ≥时，()(0)0h x h ≥=，即()1f x x ≥+成立. …………………………9分 ②当12a >时，由1x e x >+（0x ≠）可得1x e x ->-（0x ≠）. '()12(1)(1)(2)x x x x x h x e a e e e e a --<-+-=--，故当(0,ln(2))x a ∈时，'()0h x <，于是当(0,ln(2))x a ∈时，()(0)0h x h <=，()1f x x ≥+不成立. ………………11分综上，a 的取值范围为1(,]2-∞．………………………………………………………12分 22.解：（1）当4a =时，2()42ln f x x x x =+-，(0,)x ∈+∞，21821(41)(21)()82x x x x f x x x x x+--+'=+-==．…………………………………………1分由(0,)x ∈+∞，令()0f x '=，得14x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化如下表：故函数()f x 在1(0,)4单调递减，在1(,)4+∞单调递增，…………………………………2分()f x 有极小值13()=+ln 444f ，无极大值．………………………………………………3分（2）解法一：21221()22ax x f x ax x x+-'=+-=，令()0f x '=，得22210ax x +-=，设2()221h x ax x =+-．则()f x '在(0,1)有唯一的零点0x 等价于()h x 在(0,1)有唯一的零点0x 当0a =时，方程的解为12x =，满足题意；……………………………………………4分当0a >时，由函数()h x 图象的对称轴102x a=-<，函数()h x 在(0,1)上单调递增，且(0)1h =-，(1)210h a =+>，所以满足题意；………………………………………5分当0a <，0∆=时，12a =-，此时方程的解为1x =，不符合题意；当0a <，0∆≠时，由(0)1h =-，只需(1)210h a =+>，得102a -<<．…………………………………………………6分综上，12a >-．…………………………………………………………………………7分（说明：0∆=未讨论扣1分）解法二： 21221()22ax x f x ax x x+-'=+-=，令()0f x '=，由22210ax x +-=，得2112a xx =-．…………………………………4分设1m x=，则(1,)m ∈+∞，22111(1)222a m m m =-=--，……………………………5分问题转化为直线y a =与函数211()(1)22h m m =--的图象在(1,)+∞恰有一个交点问题．又当(1,)m ∈+∞时，()h m 单调递增，………6分故直线y a =与函数()h m 的图象恰有一个交点，当且仅当12a >-．……………7分（3）设1t x =-，则(0,1)t ∈，2()(1)23ln p t g t at t t =-=+--，……………………………………………………8分21221()22at t p t at t t +-'=+-=，由1(,0)2a ∈-，故由（2）可知，方程22210at t +-=在(0,1)内有唯一的解0x ，且当0(0,)t x ∈时，()0p t '<，()p t 单调递减；0(,1)t x ∈时，()0p t '>，()p t 单调递增．…………………………………………10分又(1)=10p a -<，所以0()0p x <．取32e (0,1)a t -+=∈，则326432326432(e )=e 2e 3ln e e 2e 332a a a a a a p a a a -+-+-+-+-+-++--=+-+-6432(e 2)2e 0a a a -+-+=-+>，从而当0(0,)t x ∈时，()p t 必存在唯一的零点1t ，且100t x <<，即1001x x <-<，得1(0,1)x ∈，且011x x +>，从而函数()g x 在(0,1)内有唯一的零点1x ，满足011x x +>．……………………12分。

2016-2017学年四川省眉山市高二(上)期末数学试卷(文科)含解析

2016-2017学年四川省眉山市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知双曲线﹣=1的一条渐近线过点（，1），则此双曲线的一个焦点坐标是（）A．（）B．（2，0） C．（）D．（）2．命题P：“若a＜b，则a+c＜b+c”，则命题P的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是（）A．0 B．2 C．3 D．43．设a∈R，则“a=﹣2”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．抛物线y2=2px（p＞o）的准线被圆x2+y2+2x﹣3=0所截得的线段长为4，则p=（）A．1 B．2 C．4 D．85．下列否定不正确的是（）A．“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x0∈R，x02≤0”B．“∃x0∈R，x02＜0”的否定是“∀x∈R，x2＜0”C．“∃θ0∈R，sinθ0+cosθ0＜1”的否定是“∀θ∈R，sinθ+cosθ≥1”D．“∀θ∈R，sinθ≤1”的否定是∃θ0∈R，sinθ0＞16．执行如图所示的程序框图，则输出的i值为（）A．3 B．4 C．5 D．67．已知F1、F2是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥．若△PF 1F2的面积为9，则b=（）A．3 B．6 C．3 D．28．已知圆C的圆心在x轴上，且经过A（5，2），B（﹣1，4）两点，则圆C的方程是（）A．（x+2）2+y2=17 B．（x﹣2）2+y2=13 C．（x﹣1）2+y2=20 D．（x+1）2+y2=40 9．已知m是两个正数2，8的等比中项，则圆锥曲线x+=1的离心率为（）A．或B．C．D．或10．如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆11．x，y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．2或C．2或﹣1 D．2或112．抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，圆M的圆心在x轴的正半轴上，圆M与y轴相切，过原点O作倾斜角为的直线m，交直线l于点A，交圆M于不同的两点O、B，且|AO|=|BO|=2，若P为抛物线C上的动点，则的最小值为（）A．﹣2 B．2 C．D．3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．抛物线y=4x2的准线方程为．14．利用秦九韶算法公式，（k=1，2，3，…，n）．计算多项式f（x）=3x4﹣x2+2x+1，当x=2时的函数值；则v3=．15．过点P（，1）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是．16．已知F1、F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知圆x2+y2=8内有一点P0（﹣1，2），AB为过点P0且倾斜角为α的弦．（1）当α=时，求AB的长；（2）当弦AB被点P0平分时，写出直线AB的方程．18．（12分）设命题p：∃x∈R，使x2+2ax+2﹣a=0；命题p：不等式ax2﹣ax+2＞0对任意x∈R恒成立．若￢p为真，且p或q为真，求a的取值范围．19．（12分）已知直线l过点P（2，3），且被两条平行直线l1：3x+4y﹣7=0，l2：3x+4y+8=0截得的线段长为d．（1）求d的最小值；（2）当直线l与x轴平行，试求d的值．20．（12分）如图：Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变．（1）建立适当的坐标系，求曲线E的标准方程；（2）过B点且倾斜角为120°的直线l交曲线E于M，N两点，求|MN|的长度．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点．（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．22．（12分）如图，DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且|DM|=2|DP|．当点P 在圆x2+y2=1上运动时．（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点T（0，t）作圆x2+y2=1的切线交曲线C于A，B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标．2016-2017学年四川省眉山市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知双曲线﹣=1的一条渐近线过点（，1），则此双曲线的一个焦点坐标是（）A．（）B．（2，0） C．（）D．（）【分析】根据双曲线渐近线过点（，1），建立方程求出a的值，结合a，b，c 的关系求出c的值即可得到结论．【解答】解：不妨设a＞0，则双曲线的渐近线方程为y=±x，∵渐近线过点（，1），∴点（，1）在y=x，上，代入得1=×=，得a=2，则c2=a2+2=4+2=6，即c=，则双曲线的焦点坐标为（±，0），故选：C．【点评】本题主要考查双曲线焦点坐标的求解，根据双曲线的渐近线求出a的值是解决本题的关键．2．命题P：“若a＜b，则a+c＜b+c”，则命题P的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是（）A．0 B．2 C．3 D．4【分析】分别判断原命题和逆命题的真假，进而根据互为逆否的两个命题真假性相同，得到答案．【解答】解：根据不等式的基本性质，可得原命题：“若a＜b，则a+c＜b+c”为真命题，故其逆否命题也为真命题；其逆命题：“若a+c＜b+c，则a＜b”为真命题，故其否命题也为真命题；故选：D【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了不等式的基本性质，四种命题，难度基础．3．（2015•郴州模拟）设a∈R，则“a=﹣2”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据直线平行的条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当a=﹣2时，两直线方程分别为l1：﹣2x+2y﹣1=0与直线l2：x﹣y+4=0满足，两直线平行，充分性成立．当a=1时，满足直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0平行，∴必要性不成立，∴“a=﹣2”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用直线平行的条件是解决本题的关键．4．（2016•益阳模拟）抛物线y2=2px（p＞o）的准线被圆x2+y2+2x﹣3=0所截得的线段长为4，则p=（）A．1 B．2 C．4 D．8【分析】圆x2+y2+2x﹣3=0化为（x+1）2+y2=4，得圆心C（﹣1，0），半径r=2，抛物线y2=2px（p＞0）的准线被圆x2+y2+2x﹣3=0所截得的线段长为4，可得圆心在准线上，即可得出p．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣3=0化为（x+1）2+y2=4，得圆心C（﹣1，0），半径r=2由抛物线y2=2px（p＞0）得准线l方程为x=﹣．∵抛物线y2=2px（p＞0）的准线被圆x2+y2+2x﹣3=0所截得的线段长为4，∴圆心在准线上，∴=1∴p=2．故选：B．【点评】熟练掌握圆的标准方程、抛物线的性质、配方法、勾股定理等是解题的关键．5．下列否定不正确的是（）A．“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x0∈R，x02≤0”B．“∃x0∈R，x02＜0”的否定是“∀x∈R，x2＜0”C．“∃θ0∈R，sinθ0+cosθ0＜1”的否定是“∀θ∈R，sinθ+cosθ≥1”D．“∀θ∈R，sinθ≤1”的否定是∃θ0∈R，sinθ0＞1【分析】根据全称命题和特称命题否定的方法，写出各个命题的否定，可得结论．【解答】解：“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x0∈R，x02≤0”，故A正确；“∃x0∈R，x02＜0”的否定是“∀x∈R，x2≥0”，故B错误；“∃θ0∈R，sinθ0+cosθ0＜1”的否定是“∀θ∈R，sinθ+cosθ≥1”，故C正确；“∀θ∈R，sinθ≤1”的否定是∃θ0∈R，sinθ0＞1，故D正确；故选：B【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了全称命题，特称命题的否定，难度中档．6．（2016•重庆校级模拟）执行如图所示的程序框图，则输出的i值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的m，i的值，当m=0时满足条件m=0，退出循环，输出i的值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得m=1，i=1，m=1×（2﹣1）+1=2，i=2，不满足条件m=0，m=2×（2﹣2）+1=1，i=3，不满足条件m=0，m=1×（2﹣3）+1=0，i=4，满足条件m=0，退出循环，输出i的值为4．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的m，i 的值是解题的关键，属于基础题．7．已知F1、F2是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥．若△PF 1F2的面积为9，则b=（）A．3 B．6 C．3 D．2【分析】由题意画出图形，利用⊥及△PF 1F2的面积为9列式求得|PF1||PF2|=18．再由勾股定理及椭圆定义即可求得b．【解答】解：如图，∵⊥，∴△PF 1F2为直角三角形，又△PF1F2的面积为9，∴，得|PF1||PF2|=18．在Rt△PF1F2中，由勾股定理得：，∴，即2（a2﹣c2）=|PF1||PF2|=18，得b2=a2﹣c2=9，∴b=3．故选：A．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆定义及余弦定理在解焦点三角形问题中的应用，是中档题．8．已知圆C的圆心在x轴上，且经过A（5，2），B（﹣1，4）两点，则圆C的方程是（）A．（x+2）2+y2=17 B．（x﹣2）2+y2=13 C．（x﹣1）2+y2=20 D．（x+1）2+y2=40【分析】设圆心为M（a，0），由|MA|=|MB|求得a的值，可得圆心坐标以及半径的值，从而求得圆的方程．【解答】解：∵圆C的圆心在x轴上，设圆心为M（a，0），由圆过点A（5，2），B（﹣1，4），由|MA|=|MB|可得MA2=MB2，即（a﹣5）2+4=（a+1）2+16，求得a=1，可得圆心为M（1，0），半径为|MA|=，故圆的方程为（x﹣1）2+y2=20，故选C．【点评】本题主要考查求圆的标准方程，求出圆心的坐标，是解题的关键，属于基础题．9．（2013•休宁县校级模拟）已知m是两个正数2，8的等比中项，则圆锥曲线x+=1的离心率为（）A．或B．C．D．或【分析】先根据等比中项的定义，求出m的值，再分类讨论，当m=4时，圆锥曲线为椭圆，当m=﹣4时，圆锥曲线为双曲线，最后根据离心率的定义求出即可【解答】解：∵m是两个正数2，8的等比中项，∴m2=2×8=16，即m=4或m=﹣4，当m=4时，圆锥曲线x+=1为椭圆，∴a=2，b=1，c=，∴e==，当m=﹣4时，圆锥曲线x﹣=1为双曲线，∴a=1，b=2，c=，∴e==，故选：D【点评】本题主要考查了等比中项和圆锥曲线的离心率的问题，属于基础题10．（2014•丽水校级模拟）如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD 与OM交于点P，则点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆【分析】根据CD是线段MF的垂直平分线．可推断出|MP|=|PF|，进而可知|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=|MO|结果为定值，进而根据椭圆的定义推断出点P的轨迹．【解答】解：由题意知，CD是线段MF的垂直平分线．∴|MP|=|PF|，∴|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=|MO|（定值），又显然|MO|＞|FO|，∴根据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆．故选A【点评】本题主要考查了椭圆的定义的应用．考查了学生对椭圆基础知识的理解和应用．11．x，y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．2或C．2或﹣1 D．2或1【分析】由题意作出已知条件的平面区域，将z=y﹣ax化为y=ax+z，z相当于直线y=ax+z的纵截距，由几何意义可得．【解答】解：由题意作出约束条件，平面区域，将z=y﹣ax化为y=ax+z，z相当于直线y=ax+z的纵截距，由题意可得，y=ax+z与y=2x+2或与y=2﹣x平行，故a=2或﹣1；故选：C．【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，注意目标函数的几何意义是解题的关键之一，属于中档题．12．抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，圆M的圆心在x轴的正半轴上，圆M与y轴相切，过原点O作倾斜角为的直线m，交直线l于点A，交圆M于不同的两点O、B，且|AO|=|BO|=2，若P为抛物线C上的动点，则的最小值为（）A．﹣2 B．2 C．D．3【分析】求出p的值，从而求出抛物线方程，求出圆心和半径可求出⊙M的方程，表示出，然后根据点在抛物线上将y消去，求关于x 的二次函数的最小值即可；【解答】解：因为=OA•cos=2×=1，即p=2，所以抛物线C的方程为y2=4x，设⊙M的半径为r，则=2，所以⊙M的方程为（x﹣2）2+y2=4设P（x，y）（x≥0），则=x2﹣3x+2+y2=x2+x+2，所以当x=0时，有最小值为2故选：B【点评】本题主要考查了圆的方程和抛物线方程，以及向量数量积的最值，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（2015•固原校级模拟）抛物线y=4x2的准线方程为．【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而求得p，再根据抛物线性质得出准线方程．【解答】解：整理抛物线方程得x2=y，∴p=∵抛物线方程开口向上，∴准线方程是y=﹣故答案为：．【点评】本题主要考查抛物线的标准方程和简单性质．属基础题．14．利用秦九韶算法公式，（k=1，2，3，…，n）．计算多项式f（x）=3x4﹣x2+2x+1，当x=2时的函数值；则v3=24．【分析】利用“秦九韶算法”可知：f（x）=3x4﹣x2+2x+1=（（（3x﹣1）x+0）x+2）x+1，即可得出．【解答】解：由“秦九韶算法”可知：f（x）=3x4﹣x2+2x+1=（（（3x﹣1）x+0）x+2）x+1，在求当x=2时的值的过程中，v0=3，v1=3×2﹣1=5，v2=5×2=10，v3=12×2=24，故答案为：24．【点评】本题考查了“秦九韶算法”的应用，属于基础题．15．过点P（，1）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是[0，] ．【分析】根据直线的斜率分两种情况，直线l的斜率不存在时求出直线l的方程，即可判断出答案；直线l的斜率存在时，由点斜式设出直线l的方程，根据直线和圆有公共点的条件：圆心到直线的距离小于或等于半径，列出不等式求出斜率k的范围，可得倾斜角的范围．【解答】解：①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程是x=，此时直线l与圆相离，没有公共点，不满足题意；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣1=k（x﹣），即kx﹣y﹣k+1=0，∵直线l和圆有公共点，∴圆心到直线的距离小于或等于半径，则≤1，解得0≤k≤，∴直线l的倾斜角的取值范围是[0，]，故答案为[0，]．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线的点斜式方程，点到直线的距离公式等，考查转化思想，分类讨论思想，以及化简能力．16．已知F1、F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为．【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．【解答】解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2∵∠F1PF2=，则∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2…②，在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2…③，，由柯西不等式得（1+）（）=（）2故答案为：【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．属于难题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知圆x2+y2=8内有一点P0（﹣1，2），AB为过点P0且倾斜角为α的弦．（1）当α=时，求AB的长；（2）当弦AB被点P0平分时，写出直线AB的方程．【分析】（1）当α=时，求出直线AB的方程，圆心到直线AB的距离，即可求AB的长；（2）当弦AB被点P0平分时，OP0⊥AB，求出直线AB的斜率，即可写出直线AB 的方程．【解答】解：（1）当时，直线AB的方程为：y﹣2=﹣（x+1）⇒x+y﹣1=0，设圆心到直线AB的距离为d，则，∴…，（2）当弦AB被点P0平分时，OP0⊥AB，∵，∴，故直线AB的方程为：即x﹣2y+5=0…（10分）【点评】本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．18．（12分）设命题p：∃x∈R，使x2+2ax+2﹣a=0；命题p：不等式ax2﹣ax+2＞0对任意x∈R恒成立．若￢p为真，且p或q为真，求a的取值范围．【分析】先求出命题p，q成立的等价条件，利用若¬p为真，且p或q为真，即可求a的取值范围．【解答】解：若：∃x∈R，使x2+2ax+2﹣a=0成立，则△≥0，即△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，得a≤﹣2或a≥1，即p：a≤﹣2或a≥1，若x∈R，恒成立，当a=0时，2＞0恒成立，满足条件．当a≠0，要使不等式恒成立，则，解得0＜a＜4，综上0≤a＜4．即q：0≤a＜4．若¬p为真，则p为假，又p或q为真，∴q为真，，∴a的取值范围为[0，1）．【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用p，q成立的等价条件是解决本题的关键．19．（12分）已知直线l过点P（2，3），且被两条平行直线l1：3x+4y﹣7=0，l2：3x+4y+8=0截得的线段长为d．（1）求d的最小值；（2）当直线l与x轴平行，试求d的值．【分析】（1）由两平行线间的距离计算可得；（2）可得直线l的方程为y=3，分别可得与两直线的交点，可得d值．【解答】解：（1）当直线l与两平行线垂直时d最小，此时d即为两平行线间的距离，∴d==3（2）当直线l与x轴平行时，直线l的方程为y=3，把y=3代入l1：3x+4y﹣7=0可得x=，把y=3代入l2：3x+4y+8=0可得x=，∴d=|﹣（）|=5．【点评】本题考查直线的一般式方程与平行关系，涉及距离公式，属基础题．20．（12分）如图：Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变．（1）建立适当的坐标系，求曲线E的标准方程；（2）过B点且倾斜角为120°的直线l交曲线E于M，N两点，求|MN|的长度．【分析】（1）由题意可知：|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=2，动点的轨迹是以为A，B焦点椭圆，即2a=2，a=，2c=2，b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆的方程；（2）直线l得方程为y=﹣（x﹣1），代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得|MN|的长度．【解答】解：（1）以AB、OD所在的直线分别为x轴、y轴，O为原点建立直角坐标系…．（1分）∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=+=2，动点的轨迹是以为A，B焦点椭圆…．（4分）设其长、短半轴的长分别为a、b，半焦距为c，则a=，c=1，b=1，∴曲线E的方程为：+y2=1．…（6分）（2）直线l得方程为y=﹣（x﹣1）且M（x1，y1），N（x2，y2）…．（7分）由方程组，得方程7x2﹣12x+4=0x1+x2=，x1•x2=…（9分）==，故…..（12分）【点评】本题考查椭圆的定义及标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理及弦长公式，考查计算能力，属于中档题．21．（12分）（2006•上海）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点．（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．【分析】（1）设出A，B两点的坐标根据向量的点乘运算求证即可，（2）把（1）中题设和结论变换位置然后设出A，B两点的坐标根据向量运算求证即可．【解答】解：（1）设过点T（3，0）的直线l交抛物线y2=2x于点A（x1，y1）、B （x2，y2）．当直线l的钭率不存在时，直线l的方程为x=3，此时，直线l与抛物线相交于点A（3，）、B（3，﹣）．∴=3；当直线l的钭率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣3），其中k≠0，由得ky2﹣2y﹣6k=0⇒y1y2=﹣6又∵，∴，综上所述，命题“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；（2）逆命题是：设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点，如果=3，那么该直线过点T（3，0）．该命题是假命题．例如：取抛物线上的点A（2，2），B（，1），此时=3，直线AB的方程为：，而T（3，0）不在直线AB上；说明：由抛物线y2=2x上的点A（x1，y1）、B（x2，y2）满足=3，可得y1y2=﹣6，或y1y2=2，如果y1y2=﹣6，可证得直线AB过点（3，0）；如果y1y2=2，可证得直线AB过点（﹣1，0），而不过点（3，0）．【点评】本题考查了真假命题的证明，但要知道向量点乘运算的知识．22．（12分）（2014•漳州四模）如图，DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且|DM|=2|DP|．当点P在圆x2+y2=1上运动时．（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点T（0，t）作圆x2+y2=1的切线交曲线C于A，B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标．【分析】（I）设出M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），由题意DP⊥x 轴，点M在DP的延长线上，且|DM|=2|DP|，找出x0与x的关系及y0与y的关系，记作①，根据P在圆上，将P的坐标代入圆的方程，记作②，将①代入②，即可得到点M的轨迹方程；（Ⅱ）由过点T（0，t）作圆x2+y2=1的切线l交曲线C于A，B两点，得到|t|大于等于圆的半径1，分两种情况考虑：（i）当t=1时，确定出切线l为x=1，将x=1代入M得轨迹方程中，求出A和B的坐标，确定出此时|AB|的长，当t=﹣1时，同理得到|AB|的长；（ii）当|t|大于1时，设切线l方程为y=kx+t，将切线l 的方程与圆方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，设A和B的坐标，利用根与系数的关系表示出两点横坐标之和与之积，再由切线l与圆相切，得到圆心到切线的距离d=r，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后得到k与t 的关系式，然后利用两点间的距离公式表示出|AB|，将表示出的两根之和与两根之积，以及k与t的关系式代入，得到关于t的关系，利用基本不等式变形，得到|AB|的最大值，以及此时t的取值，而三角形AOB的面积等于AB与半径r 乘积的一半来求，表示出三角形AOB的面积，将|AB|的最大值代入求出三角形AOB面积的最大值，以及此时T的坐标即可．【解答】（本小题满分13分）解：（I）设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），则x=x0，y=2y0，所以x0=x，y0=，①因为P（x0，y0）在圆x2+y2=1上，所以x02+y02=1②，将①代入②，得点M的轨迹方程C的方程为x2+=1；…（Ⅱ）由题意知，|t|≥1，（i）当t=1时，切线l的方程为y=1，点A、B的坐标分别为（﹣，1），（，1），此时|AB|=，当t=﹣1时，同理可得|AB|=；（ii）当|t|＞1时，设切线l的方程为y=kx+t，k∈R，由，得（4+k2）x2+2ktx+t2﹣4=0③，设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由③得：x1+x2=﹣，x1x2=，又直线l与圆x2+y2=1相切，得=1，即t2=k2+1，∴|AB|===，又|AB|==≤2，且当t=±时，|AB|=2，综上，|AB|的最大值为2，依题意，圆心O到直线AB的距离为圆x2+y2=1的半径，∴△AOB面积S=|AB|×1≤1，当且仅当t=±时，△AOB面积S的最大值为1，相应的T的坐标为（0，﹣）或（0，）．…（13分）【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，以及动点的轨迹方程，涉及的知识有：直线与圆的交点，一元二次方程根与系数的关系，两点间的距离公式，点到直线的距离公式，基本不等式的运用，以及直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径的性质，利用了转化及分类讨论的思想，是一道综合性较强的试题．第21页（共21页）。

{高中试卷}四川省眉山市高二上学期期末教学质量检测数学(文)试题(解析版)[仅供参考]

20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：四川省眉山市20XX-20XX 学年高二上学期期末教学质量检测数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设定点F 1（-2，0），F 2（2，0），平面内满足|PF 1|+|PF 2|=4的动点P 的轨迹是（）A. 椭圆B. 线段C. 双曲线D. 不存在2. 已知平面α和直线l ，则α内至少有一条直线与l （）A. 平行B. 相交C. 垂直D. 异面3. 已知抛物线E ：y 2=4x ，焦点为F ，若过F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，A 、B 到抛物线准线的距离分别为3、7，则AB 长为（）A. 3B. 4C. 7D. 104. 已知直线3x +4y -3=0与直线6x +my +14=0平行，则它们之间的距离是（）A. 1710B. 175C. 8D. 25. 若圆C 1：x 2+y 2=1与圆C 2：x 2+y 2-6x -8y +n =0内切，则n =（）A. 21B. 9C. 19D. −116. “a =1”是“直线l 1：ax +2y -8=0与直线l 2：x +（a +1）y +4=0平行”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而充分不条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线过点（4，3），且其右焦点为F 2（5，0），则双曲线的方程为（）A. x24−y 23=1B. x 216−y 29=1C. x 29−y 216=1D. x 23−y 24=1 8. 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A. 若m ⊂α，n ⊂β，m ⊥n ，则α⊥βB. 若m ⊂α，n ⊂β，α//β，则m//nC. 若m ，n 是异面直线，m ⊂α，m//β，n ⊂β，n//α，则α//βD. 若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n9. 某企业生产甲、乙两种产品均需要A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）10万元12万元13万元14万元10. 已知圆C ：x 2+y 2=1，则圆上到直线l ：3x +4y -12=0距离为3的点有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 4个11. 已知椭圆C ：x 24+y 23=1，其左右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆上一动点，则满足∠F 1PF 2为45°的点P 有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 4个12.已知A（-2，0），B（0，2），实数k是常数，M，N是圆x2+y2+kx=0上两个不同点，P是圆x2+y2+kx=0上的动点，如果M，N关于直线x-y-1=0对称，则△PAB面积的最大值是（）A. 3−√2B. 4C. 6D. 3+√2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.命题“∀x∈[0，+∞），x2+x≥0”的否定是______．14.若x，y满足约束条件{x−y+2≥0x−2y≤0x+2y−4≤0，则z=x-y的最大值为______．15.如图，F1，F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点，以F1F2为直径的圆O与椭圆交于点A，B，C，D，若AB所在直线垂直平分线段OF2，则椭圆的离心率为______．16.如图，点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线B1C上运动，则下列四个命题：①AP∥面A1C1D②A1P⊥BC1③平面PD1B⊥平面A1C1D④三棱锥A1-DPC1的体积不变其中正确的命题序号是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知△ABC的三个顶点分别为A（-4，0），B（0，2），C（2，-2），求：（1）AB边上的高所在直线的方程；（2）△ABC的外接圆的方程．18.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，各条棱长均为2，M，N分别为CC1，AB的中点．求证：（1）CN∥平面AB1M；（2）平面AB1M⊥平面A1B1BA．19.已知圆C：x2+y2-8x+12=0，直线l：x+ay+2a=0．（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|=2√2时，求直线l的方程．20.如图，在三棱锥P-ABC中，AC⊥BC，AP⊥BP，AP⊥CP，BC=6，BP=10，D是AB的中点，△PDB是等边三角形．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）若M是PB的中点，求三棱锥M-BCD的体积．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的短轴长为2√3，离心率为12，直线l：y=k（x-1）与椭圆C交于不同的两点M，N，A为椭圆C的左顶点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）当△AMN的面积为18√27时，求1的方程．22.已知抛物线的顶点为原点，关于y轴对称，且过点N（-1，12）．（1）求抛物线的方程；（2）已知C（0，-2），若直线y=kx+2与抛物线交于A，B两点，记直线CA，CB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2+k2为定值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：定点F1（-2，0）、F2（2，0），则满足|PF1|+|PF2|=4=|F1F2|的动点P的轨迹为线段F1F2，故选：B．利用已知条件判断轨迹方程，推出结果即可．本题考查轨迹方程的求法，考查转化思想以及计算能力．2.【答案】C【解析】解：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，平面α为面AC，①若直线l为直线AB，则直线AD⊥AB；②若直线l为直线A1B1，则直线AD⊥A1B1；③若直线l为直线AC1，直线BD⊥AC1；故选：C．根据平面α和直线l，则直线l在平面α内，或与平面α平行，或平面α相交，可以把这直线和平面放在长方体中进行研究，即可得到答案．此题是个基础题．考查学生对直线和平面位置关系的理解，在空间图形中，只有平行具有传递性，在解决立体几何问题时，把图形放入长方体是常用的解题方法，体现了数形结合的思想．3.【答案】D【解析】解：抛物线E：y2=4x，焦点为F（1，0），过F的直线l交抛物线于A、B两点，A、B 到抛物线准线的距离分别为3、7，则AB=3+7=10．故选：D．利用抛物线的定义，转化求解AB的距离即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．4.【答案】D【解析】解：∵直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行，∴=≠，∴m=8，故直线6x+my+14=0 即3x+4y+7=0，故两平行直线间的距离为=2，故选：D．根据两平行直线的斜率相等，在纵轴上的截距不相等，求出m，利用两平行直线间的距离公式求出两平行直线间的距离．本题考查两直线平行的性质，两平行直线间的距离公式的应用．5.【答案】D【解析】解：根据题意，圆C2：x2+y2-6x-8y+n=0，其标准方程为（x-3）2+（y-4）2=25-n，其圆心为（3，4），半径r=，若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2-6x-8y+n=0内切，则有=-1，解可得n=-11；故选：D．根据题意，分析圆C2的圆心与半径，由圆与圆的位置关系可得=-1，解可得n的值，即可得答案．本题考查圆与圆的位置关系，注意分析圆C2的圆心半径．6.【答案】C【解析】解：若直线l1：ax+2y-8=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行，则a（a+1）-2=0，即a2+a-2=0，解得a=1或a=-2，当a=-2时，直线l1方程为-2x+2y-8=0，即x-y+4=0，直线l2：x-y+4=0，此时两直线重合，则a≠-2，故“a=1”是“直线l1：ax+2y-8=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的充要条件，故选：C．根据直线平行的条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线平行的等价条件是解决本题的关键．7.【答案】B【解析】解：双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（4，3），可得，其右焦点为F2（5，0），可得a2+b2=25，可得a=4，b=3，所以双曲线的方程为：．故选：B．利用已知条件列出方程组，求出a，b即可得到双曲线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，是基本知识的考查．8.【答案】C【解析】解：A如图可否定A；B如图可否定B；D如图可否定D，故选：C．通过图示容易否定A，B，D，故选C．此题考查了线面位置关系，难度较小．9.【答案】D【解析】解：设该企业生产甲产品x吨，乙产品y吨，利润为z万元，则约束条件为，且x，y≥0，目标函数z=3x+4y，作出不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+4y，得y=-x+，平移直线y=-x+，由图象知当直线y=-x+经过点A时，y=-x+的截距最大，此时z最大，由得，即A（2，2），此时z=3×2+4×2=6+8=14（万元），即该企业生产甲产品2吨，乙产品2吨，利润为14万元，故选：D．设该企业生产甲产品x吨，乙产品y吨，利润为z万元，根据条件求出约束条件和目标函数，利用线性规划的知识进行求解即可．本题主要考查线性规划的应用问题，求出约束条件和目标函数，作出对应区域，利用目标函数的几何意义结合数形结合是解决本题的关键．10.【答案】C【解析】解：根据题意，圆C：x2+y2=1，圆心为（0，0），半径r=1，则圆心C（0，0）到直线l：3x+4y-12=0距离d==，圆的半径为1，有1+＞3，即r+d＞3，则圆上到直线l：3x+4y-12=0距离为3的点有2个；故选：C．根据题意，分析圆C的圆心与半径，求出圆心到直线的距离，分析可得r+d＞3，据此分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，注意分析圆心到直线的距离，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：根据题意，椭圆C：=1中，a=2，b=，则c==1，则F1（-1，0），F2（1，0），设M的椭圆的上焦点，其坐标为（0，），在△MF1F2中，|MF1|=|MF2|=a=2，|F1F2|=2c=2，则∠F1MF2=60°，P为椭圆上任意一点，则∠F1PF2≤∠F1MF2=60°，则满足∠F1PF2为45°的点P有4个；故选：D．根据题意，由椭圆的标准方程分析可得a、b的值，计算可得c 的值，设M的椭圆的上焦点，求出M的坐标，据此分析可得△MF1F2中，。

四川省眉山市高中2015-2016学年高二下学期期末教学质量检测数学文试题扫描版含答案

眉山市高中2017届第四学期期末教学质量检测数学（文科）参考答案 2016．07二、填空题13.2e - 14.32180x y --= 15.16 16. ①②④三、解答题（17题10分，其余各题各12分）17、解：（1）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>> ┈┈┈┈1分根据题意知{2222a ba b ==+，解得224,1a b ==， ┈┈┈┈3分故椭圆C 的方程为1422=+y x . ┈┈┈┈5分（2）由（1）知椭圆C 的方程为1422=+y x .由题知，直线l 的方程为3-=x y . ┈┈┈┈6分由2214y x x y =-+=⎧⎪⎨⎪⎩得083852=+-x x . ┈┈┈┈8分设1122( ) ( )P x y Q x y ，，，，则.5858453824)(1158,53822122122121=⨯-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-++=∴==+x x x x PQ x x xx ┈┈10分18、解（1）错误！未找到引用源。

时错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

┈┈┈┈ 1分错误！未找到引用源。

┈┈┈┈ 3分∴切线方程为:错误！未找到引用源。

即错误！未找到引用源。

┈┈┈┈ 5分（2）错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

即x=1或x=2 ┈┈┈┈ 6分当x 变化时，错误！未找到引用源。

的变化情况如下表：∴错误！未找到引用源。

时错误！未找到引用源。

取极小值错误！未找到引用源。

┈┈┈┈ 10分∵方程错误！未找到引用源。

有三个不等实根 ∴错误！未找到引用源。

）> 0且错误！未找到引用源。

）< 0 ∴错误！未找到引用源。

∴a 的取值范围是错误！未找到引用源。

┈┈┈┈12分 19、解（1）：将A 的坐标代入l 方程得：左边=3(2m +1)+(m +1)= 7m +4 =右边所以直线l 过定点A （3,1） ┈┈┈┈3分，┈┈┈┈6分20、解：（1）因为x=5时，y=11，所以.2a ,，11102a=∴=+ ┈┈┈┈4分（2）由（1）知，该商品每日的销售量26)-x （103-x 2y +=┈┈┈┈5分所以商场每日销售该商品所获得的利润222()(3)10(6)210(3)(6),(36)3'()30(4)(6)f x x x x x x x f x x x ⎡⎤=-+-=+--<<⎢⎥-⎣⎦∴=-- ┈┈┈7分于是，当x 变化时，'所以，当x=4时，函数f （x ）取得最大值42，所以，当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大为42元。

眉山市高中2017届第三学期期末教学质量检测数学理文(有答案)

高二数学（理科）答案第1页共4页眉山市高中2017届第三学期期末教学质量检测数学（理科）参考答案 2016．0113、62 14、22 15、94 16、4 三、解答题17、解：⑴由()()3,2,1,2-C B 知线段BC 的中点()2,0D ， ……………………….1分又()0,3-A ,由截距式方程知AD 所在的直线方程为123=+-y x ，即0632=+-y x ………………………………………………………………….4分⑵设ABC ∆的外接圆的方程为022=++++F Ey Dx y x ，则…………….5分⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=+++=++-01332052093F E D F E D F D , ……………………………………………………….7分解之可得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-==73971278F E D …………………………………………………………..9分故ABC ∆的外接圆的一般方程为07397127822=--++y x y x …………10分 18、解：⑴①：35②：0.300.............2分⑵第3、4、5组每组各抽取3名，2名，1名学生进入第二轮面试 ………….4分 ⑶设第4组抽出的两名同学为21,a a ，第一组和第三组的4名同学为4321,,,b b b b 记第4组至少有一名学生被考官A 面试为事件B 则第4组没有学生被考官A 面试为事件B …………………………………………6分从6名学生中抽取2名学生有如下15中结果：{}21,a a ，{}11,b a ，{}21,b a ，{}31,b a ，{}41,b a ，{}12,b a ，{}22,b a ，{}32,b a ，{}42,b a ，{}21,b b ，{}31,b b ，{}41,b b ，{}32,b b ，{}42,b b ，{}43,b b ……….8分高二数学（理科）答案第2页共4页第4组没有学生被考官A 面试有如下6种结果：{}21,b b ，{}31,b b ，{}41,b b ，{}32,b b ，{}42,b b ，{}43,b b ………………………………………………………………10分故()52156==B P ,()()531=-=B P B P 即第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率53………………………12分 19、⑴证明：连结C B 1交1BC 于E ，连结DE …………………………….1分在三棱柱111C B A ABC -中易知E 是1BC 的中点D 为AC 的中点∴1//AB DE …………………………………………….3分⊂DE 面1BDC ,⊄1AB 面1BDC∴//1AB 平面1BDC …………………………………….5分法二：取11C A 的中点F ，证明面//1FA B 面D BC 1⑵ ⊥1AA 底面ABC ,11//CC AA∴⊥1CC 底面ABC∴⊥1CC AC⊥BC AC∴⊥AC 平面11B BCC …………………………………………………….9分 ∴1AB 在面11B BCC 的射影为C B 1∴C AB 1∠为直线1AB 与平面11B BCC 所成角…………………………10分而2,1332221==+=AC C B在1ACB Rt ∆中，13132tan 11==∠C B AC C AB …………………………12分 20、解： ]1,1[-∈∀m ，38222≤+≤m∴3352≥--a a ……………………………………………………………2分 6≥∴a 或1-≤a即6:≥a p 或1-≤a ………………………………………………………4分0x ∃，使不等式02020<++ax x∴082>-=∆a …………………………………………………………..6分 ∴22>a 或22-<a 即22:>a q 或22-<a ……………………………………………….7分 “q p ∨”为真“q p ∧”为假∴q p ,一真一假当p 真q 假时，⎩⎨⎧≤≤--≤≥222216a a a 或即122-≤≤-a ………………9分 E当p 假q 真时，⎩⎨⎧>-<<<-222261a a a 或即622<<a ……………….11分综上，a 的取值范围为[]()6,221,22 -- …………………………12分 21、⑴证明：四边形ABCD 为矩形∴AB AD ⊥………………………………………………………………..1分平面⊥ABEF 平面ABCD ，平面 ABEF 平面AB ABCD =，⊂AD 平面ABCD ∴⊥AD 平面ABEF ……………………………………………………..3分又⊂BF 平面ABEF∴BF AD ⊥………………………………………………………………..4分⑵由⑵知⊥AD 平面ABEF ，又090=∠BAF 以A 为坐标原点，AF AD AB ,,所在直线分别为z y x ,,轴建立如图所示空间直角坐标系xyz A -，则()()()()0,2,1,1,0,0,0,2,0,0,0,1C F D B ……….5分设()10<≤=λλFD FP ,则()λλ-1,2,0P ……6分 ()()λλ-==1,2,0,0,2,1AP AC ，设面APC 的一个法向量为()z y x m ,,=由()⎩⎨⎧=-+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0120200z y y x m AC m AP λλ，令12,2,1-=-==λλz x y 即⎪⎭⎫⎝⎛--=12,1,2λλm ………………………………………………………….8分又面APD 的一个法向量为()0,0,1=AB …………………………………….9分由()361452,cos 22=-+==><λλAB m 得31=λ或1-=λ（舍去）….11分 ⎪⎭⎫⎝⎛-=31,32,0FP 35=……………………………………………..12分22、解：⑴设()y x C ,，圆C 与圆M 关于直线02=++y x 的对称，则点()2,2--M 与点()y x C ,关于直线02=++y x 的对称⎪⎩⎪⎨⎧=+-+-=++022222122y x x y ⇒⎩⎨⎧==00y x ，即()0,0C …………………………….1分 1==CP r…………………………………………………………………….2分xyz故圆C 的方程的方程为122=+y x ……………………………………………….3分 ⑵设()y x Q ,，则122=+y x ，()y x CQ ,=，()2,2++=y x MQ ……….4分()()()()21122222222-+++=+++=+++=⋅y x y x y x y y x x MQ CQ ….5分记()1,1D --，()22121222-=--≥-=⋅DC DQ MQ CQ ，故()221min-=⋅MQCQ …………………………………………………………6分法二：设1222222++=+++=y x y x y x z ，点Q 为圆C 上的一个动点，则直线0122=-++z y x 与圆122=+y x 有公共点2212211221+≤≤-⇒≤-z z ，故()221min-=⋅MQCQ⑶由题意知直线PA 与直线PB 的斜率存在，且互为相反数…………………….7分设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2222:,2222:x k y PB x k y PA 由 ⎪⎩⎪⎨⎧=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1222222y x x k y 得()()()01121121222=--+-++k x k k x k 则()211222k k k x A +-=+，即2211222k k k x A +--⋅= ………………………9分同理可得：2211222kk k x B +-+⋅= ……………………………………………10分故()OPAB A B A B A B A B A B AB k x x x x k k x x x k x k x x y y k ==-+-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=122222∴直线OP 和AB 一定平行………………………………………………………..12分眉山市高中2017届第三学期期末教学质量检测数学（文科）参考答案 2016．01一、选择题二、填空题13、62 14、122=+y x 15、9416、4 三、简答题17、解：⑴由()()3,2,1,2-C B 知线段BC 的中点()2,0D ， ……………………….1分又()0,3-A ,由截距式方程知AD 所在的直线方程为123=+-yx ，即0632=+-y x ………………………………………………………………….4分⑵设ABC ∆的外接圆的方程为022=++++F Ey Dx y x ，则…………….5分⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=+++=++-01332052093F E D F E D F D , ……………………………………………………….7分解之可得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-==73971278F E D …………………………………………………………..9分故ABC ∆的外接圆的一般方程为07397127822=--++y x y x …………10分 18、解：⑴①：35②：0.300.............2分⑵第3、4、5组每组各抽取3名，2名，1名学生进入第二轮面试 ………….4分 ⑶设第4组抽出的两名同学为21,a a ，第一组和第三组的4名同学为4321,,,b b b b 记第4组至少有一名学生被考官A 面试为事件B 则第4组没有学生被考官A 面试为事件B …………………………………………6分从6名学生中抽取2名学生有如下15中结果：{}21,a a ，{}11,b a ，{}21,b a ，{}31,b a ，{}41,b a ，{}12,b a ，{}22,b a ，{}32,b a ，{}42,b a ，{}21,b b ，{}31,b b ，{}41,b b ，{}32,b b ，{}42,b b ，{}43,b b ………………………………………………………………………….8分第4组没有学生被考官A 面试有如下6种结果：{}21,b b ，{}31,b b ，{}41,b b ，{}32,b b ，{}42,b b ，{}43,b b ………………………………………………………………10分故()52156==B P ,()()531=-=B P B P 即第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率53………………………12分 19、⑴证明：连结C B 1交1BC 于E ，连结DE …………………………….1分在三棱柱111C B A ABC -中易知E 是1BC 的中点D 为AC 的中点∴1//AB DE …………………………………………….3分⊂DE 面1BDC ,⊄1AB 面1BDC∴//1AB 平面1BDC …………………………………….5分法二：取11C A 的中点F ，证明面//1FA B 面D BC 1 ⑵ ⊥1AA 底面ABC ,11//CC AA ∴⊥1CC 底面ABC ∴⊥1CC AC ⊥BC AC∴⊥AC 平面11B BCC …………………………………………………….9分 ∴1AB 在面11B BCC 的射影为C B 1∴C AB 1∠为直线1AB 与平面11B BCC 所成角…………………………10分而2,1332221==+=AC C B在1ACB Rt ∆中，13132tan 11==∠C B AC C AB …………………………12分 20、解： ]1,1[-∈∀m ，38222≤+≤m∴3352≥--a a …………………………………………………………2分6≥∴a 或1-≤a即6:≥a p 或1-≤a ……………………………………………………4分0x ∃，使不等式02020<++ax x ∴082>-=∆a ………………………………………………………..6分 ∴22>a 或22-<a即22:>a q 或22-<a …………………………………………….8分 “q p ∧”为真∴q p ,均为真E由⎩⎨⎧>-<-≤≥222216a a a a 或或即22-<a 或6≥a ………………………………11分综上，a 的取值范围为()[)+∞-∞-,622, …………………………………12分 21、⑴证明：四边形ABCD 为矩形∴AB AD ⊥………………………………………………………………..2分平面⊥ABEF 平面ABCD ，平面 ABEF 平面AB ABCD =，⊂AD 平面ABCD ∴⊥AD 平面ABEF ……………………………………………………..4分又⊂BF 平面ABEF∴BF AD ⊥………………………………………………………………..5分 ⑵取AD 的中点G ，连结PG090=∠BAF ∴AB AF ⊥又平面⊥ABEF 平面ABCD ，平面 ABEF 平面AB ABCD =，⊂AF 平面ABEF ∴⊥AF 平面ABCD而G P ,分别为AD DF ,的中点 AF PG //∴∴⊥PG 平面ABCD ………………………….8分 PCD A ACD P V V --=PCD A PCD ACD d S PG S -∆∆⋅=⋅∴3131 55225121211221=⨯⨯⨯⨯⨯=⋅=∴∆∆-PCD ACD PCD A S PG S d 而//AB 面PCD ，故552==--PCD A PCD B d d ………………………..12分法二：亦可过点A 作DF AH ⊥于H ，AH 即为所求.22、解：⑴设()y x C ,，圆C 与圆M 关于直线02=++y x 的对称，则点()2,2--M 与点()y x C ,关于直线02=++y x 的对称⎪⎩⎪⎨⎧=+-+-=++022222122y x x y ⇒⎩⎨⎧==00y x ，即()0,0C ………………………….1分 1==CP r ………………………………………………………………….2分故圆C 的方程的方程为122=+y x ……………………………………….3分⑵若l 截圆C 所得弦长为3，由垂径定理可知圆心()0,0C 到直线l 的距离G212312=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=d ……………………………………………………….4分当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为21=x ，此时l 截圆C 所得弦长显然为3…..5分当直线l 的斜率存在时，设其方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2121x k y 即021=-+-k y kx则211212=+-=k kd ，解之可得0=k ，此时l 的方程为21=y故所求直线l 的方程为021=-y 或021=-x …………………………………….7分 ⑶设()y x Q ,，则122=+y x ，()y x CQ ,=，()2,2++=y x MQ ………….8分()()()()21122222222-+++=+++=+++=⋅y x y x y x y y x x MQ CQ ……….10分记()1,1D --，()22121222-=--≥-=⋅DC DQ MQ CQ ，故()221min-=⋅MQCQ …………………………………………………………12分法二：设1222222++=+++=y x y x y x z ，点Q 为圆C 上的一个动点，则直线0122=-++z y x 与圆122=+y x 有公共点2212211221+≤≤-⇒≤-z z ，故()221min-=⋅MQCQ。

四川省眉山中学2016-2017学年高二上学期期中数学试卷(文科) 含解析

2016—2017学年四川省眉山中学高二（上）期中数学试卷(文科）一、选择题(每题5分，共60分）1．直线y=1的倾斜角是（）A．45° B．90° C．0°D．180°2．圆（x+2)2+(y﹣1）2=1的圆心坐标是（）A．（2,1）B．(2，﹣1）C．(﹣2，1）D．（﹣2，﹣1）3．已知椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1(﹣4,0），则m=（）A．2 B．3 C．4 D．94．圆x2+2x+y2﹣3=0的圆心到直线y=x+3的距离是（)A．1 B．2 C．D．25．若圆x2+y2﹣6x+6y+14=0关于直线l:ax+4y﹣6=0对称,则直线l的斜率是( ）A．6 B．C．D．6．已知直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k)y+1=0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3=0平行，则k的值是( ) A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或27．若直线ax+by=1与圆x2+y2=1有两个公共点，则点P（a,b)与圆的位置关系是（）A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上皆有可能8．若变量x，y满足约束条件,则的最小值是（)A．0 B．1 C．﹣1 D．39．已知定点P（﹣2，0）和直线l：（1+3λ)x+（1+2λ)y﹣（2+5λ）=0,λ∈R，则点P到直线l的距离d的最大值为( ）A．2 B． C． D．210．已知圆M：x2+y2﹣2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2，则圆M与圆N:(x ﹣1）2+（y﹣1）2=1的位置关系是( ）A．内切 B．相交 C．外切 D．相离11．两圆x2+y2+2ax+a2﹣4=0和x2+y2﹣4by﹣1+4b2=0恰有三条公切线,若a∈R，b∈R,且ab≠0，则的最小值为( )A．B．C．1 D．312．若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为，则直线l的倾斜角的取值范围是( )A．B．C．D．二、填空题(每题5分，共20分)13．若椭圆+=1上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离是．14．圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0和圆C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣2=0公共弦所在直线方程是．15．若曲线y=1+与直线kx﹣y﹣2k+4=0有两个公共点，则实数k的取值范围是．16．已知二次函数f（x）=x2+mx+n（m，n∈R）的两个零点分别在（0，1）与（1，2）内,则（m+1)2+（n﹣2)2的取值范围是．三、解答题（共70分）17．直线l过点P（﹣2,1）．(1）若直线l与直线x+2y=1平行，求直线l的方程；（2）若直线l与直线x+2y=1垂直，求直线l的方程．18．写出适合下列条件的椭圆的标准方程，（1）a=6，c=3且焦点在x轴上；（2)两个焦点坐标分别是F1（0，﹣2)，F2（0，2）且过点A（3,2）．19．已知圆C：（x﹣3)2+（y﹣4）2=4，直线l过定点A(1，0）．（1）若l与圆C相切，求l的方程;（2）若l与圆C相交于P、Q两点，若｜PQ|=2，求此时直线l的方程．20．某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表:产品A(件）产品B（件）研制成本、搭载费用之和(万元) 20 30 计划最大资金额300万元产品重量（千克）10 5 最大搭载重量110千克预计收益（万元) 80 60试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少? 21．已知矩形ABCD的对角线交于点P（2，0)，边AB所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，点（﹣1，1）在边AD所在的直线上，（1）求矩形ABCD的外接圆的方程;（2）已知直线l：(1﹣2k）x+（1+k）y﹣5+4k=0（k∈R）,求证：直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交,并求出相交的弦长最短时的直线l的方程．22．如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4)．(1）设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且｜BC|=｜OA｜，求直线l的方程；(3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得+=,求实数t的取值范围．2016—2017学年四川省眉山中学高二（上）期中数学试卷（文科)参考答案与试题解析一、选择题(每题5分，共60分)1．直线y=1的倾斜角是（)A．45° B．90° C．0°D．180°【考点】直线的倾斜角．【分析】因为对于平行于x轴的直线，规定其倾斜角为0．【解答】解:直线y=1，图象是平行于x轴的直线，∴倾斜角为0°．故选：C．2．圆（x+2）2+（y﹣1）2=1的圆心坐标是（)A．(2，1）B．(2,﹣1） C．(﹣2，1) D．（﹣2,﹣1）【考点】圆的标准方程．【分析】直接利用圆的标准方程写出圆的圆心坐标即可．【解答】解：圆（x+2)2+（y﹣1)2=1的圆心坐标是：（﹣2,1)．故选：C．3．已知椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1(﹣4，0)，则m=（）A．2 B．3 C．4 D．9【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆+=1（m＞0 )的左焦点为F1（﹣4,0)，可得25﹣m2=16，即可求出m．【解答】解：∵椭圆+=1(m＞0 ）的左焦点为F1(﹣4，0）,∴25﹣m2=16，∵m＞0，∴m=3,故选：B．4．圆x2+2x+y2﹣3=0的圆心到直线y=x+3的距离是（）A．1 B．2 C．D．2【考点】点到直线的距离公式．【分析】圆x2+2x+y2﹣3=0配方为：（x+1）2+y2=4,可得圆心C(﹣1，0）．再利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解:圆x2+2x+y2﹣3=0配方为：（x+1)2+y2=4,可得圆心C(﹣1，0)．∴圆心到直线y=x+3的距离d==．故选：C．5．若圆x2+y2﹣6x+6y+14=0关于直线l：ax+4y﹣6=0对称，则直线l的斜率是（)A．6 B．C．D．【考点】关于点、直线对称的圆的方程．【分析】由题意可知直线通过圆的圆心,求出圆心坐标代入直线方程，即可得到a的值，然后求出直线的斜率．【解答】解：圆x2+y2﹣6x+6y+14=0关于直线l:ax+4y﹣6=0对称,则直线通过圆心(3，﹣3），故,故选D6．已知直线l1：(k﹣3)x+（4﹣k）y+1=0与l2：2(k﹣3）x﹣2y+3=0平行，则k的值是( ) A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或2【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】当k﹣3=0时，求出两直线的方程，检验是否平行；当k﹣3≠0时，由一次项系数之比相等且不等于常数项之比,求出k的值．【解答】解：由两直线平行得，当k﹣3=0时，两直线的方程分别为 y=﹣1 和 y=，显然两直线平行．当k﹣3≠0时，由=≠，可得 k=5．综上，k的值是 3或5,故选 C．7．若直线ax+by=1与圆x2+y2=1有两个公共点,则点P(a，b）与圆的位置关系是( ）A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上皆有可能【考点】点与圆的位置关系．【分析】由于直线ax+by=1与圆x2+y2=1有两个公共点,可得圆心（0,0）到直线ax+by=1的距离d＜r．利用点到直线的距离公式和点与圆的位置关系判定即可得出．【解答】解：∵直线ax+by=1与圆x2+y2=1有两个公共点，∴圆心（0,0）到直线ax+by=1的距离d＜r．∴，化为．∴点P（a,b）在圆的外部．故选:B．8．若变量x，y满足约束条件，则的最小值是（）A．0 B．1 C．﹣1 D．3【考点】简单线性规划．【分析】首先画出可行域，利用的几何意义是过区域内的点与定点（0，﹣1）连接的直线的斜率解答即可．【解答】解：画出的可行域如图：目标函数的几何意义是过区域内的点与定点（0，﹣1）连接的直线中，斜率最小值，由其几何意义得到与（1，0）连接的直线斜率最小，所以最小值为;故选B．9．已知定点P（﹣2，0)和直线l：(1+3λ）x+（1+2λ)y﹣（2+5λ）=0，λ∈R，则点P到直线l的距离d的最大值为（）A．2B． C． D．2【考点】点到直线的距离公式．【分析】直线l：（1+3λ）x+（1+2λ）y﹣(2+5λ)=0,化为：x+y﹣2+λ（3x+2y﹣5）=0，令,可得直线l经过定点Q（1,1)，可得点P到直线l的距离d的最大值为|PQ|．【解答】解：直线l：（1+3λ)x+（1+2λ）y﹣（2+5λ)=0，化为:x+y﹣2+λ（3x+2y﹣5）=0，令，解得x=y=1．因此直线l经过定点Q（1，1），∴点P到直线l的距离d的最大值为｜PQ|==．故选：B．10．已知圆M:x2+y2﹣2ay=0（a＞0)截直线x+y=0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的位置关系是（)A．内切 B．相交 C．外切 D．相离【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据直线与圆相交的弦长公式,求出a的值，结合两圆的位置关系进行判断即可．【解答】解:圆的标准方程为M:x2+（y﹣a）2=a2 （a＞0),则圆心为(0，a），半径R=a，圆心到直线x+y=0的距离d=，∵圆M：x2+y2﹣2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2,∴2=2=2=2，即=,即a2=4，a=2，则圆心为M（0，2)，半径R=2,圆N:（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的圆心为N（1，1），半径r=1，则MN==,∵R+r=3，R﹣r=1，∴R﹣r＜MN＜R+r,即两个圆相交．故选：B11．两圆x2+y2+2ax+a2﹣4=0和x2+y2﹣4by﹣1+4b2=0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R,且ab≠0，则的最小值为( )A．B．C．1 D．3【考点】圆与圆的位置关系及其判定；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】由题意可得两圆相外切，根据两圆的标准方程求出圆心和半径，由=3，得到=1，=+=++，使用基本不等式求得的最小值．【解答】解：由题意可得两圆相外切，两圆的标准方程分别为（x+a）2+y2=4,x2+（y﹣2b)2=1，圆心分别为（﹣a,0），（0,2b)，半径分别为 2和1，故有=3，∴a2+4b2=9, ∴=1，∴=+=++≥+2=1，当且仅当=时，等号成立，故选 C．12．若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为，则直线l的倾斜角的取值范围是( ）A．B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系；直线与圆相交的性质．【分析】先求出圆心和半径,比较半径和；要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为,则圆心到直线的距离应小于等于，用圆心到直线的距离公式，可求得结果．【解答】解:圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0整理为，∴圆心坐标为(2，2），半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线l:ax+by=0的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于，∴,∴，∴，,∴，直线l的倾斜角的取值范围是，故选B．二、填空题(每题5分，共20分)13．若椭圆+=1上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离是4 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的定义|PF1|+｜PF2｜=2a，已知|PF1｜=6，进而可求｜PF2｜【解答】解：由椭圆的定义知|PF1|+|PF2｜=2a=10，｜PF1|=6，故｜PF2｜=4．故答案为414．圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0和圆C2:x2+y2﹣4x﹣4y﹣2=0公共弦所在直线方程是x+2y﹣1=0 ．【考点】两圆的公切线条数及方程的确定．【分析】两圆方程相减，得圆C1和圆C2公共弦所在直线方程．【解答】解：∵圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0和圆C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣2=0相交，∴两圆方程相减,得圆C1和圆C2公共弦所在直线方程为：6x+12y﹣6=0，即x+2y﹣1=0．故答案为：x+2y﹣1=0．15．若曲线y=1+与直线kx﹣y﹣2k+4=0有两个公共点，则实数k的取值范围是＜k≤．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】先将曲线进行化简得到一个圆心是（0，1）的上半圆,直线y=k(x﹣2）+4表示过定点（2，4）的直线,利用直线与圆的位置关系可以求实数k的取值范围．【解答】解：因为y=1+,所以x2+（y﹣1）2=4,此时表示为圆心M(0，1)，半径r=2的圆．因为x∈，y=1+≥1，所以表示为圆的上部分．直线y=k（x﹣2）+4表示过定点P（2,4）的直线，当直线与圆相切时，有圆心到直线kx﹣y+4﹣2k=0的距离d==2，解得k=．当直线经过点B（﹣2，1）时，直线PB的斜率为k=．所以要使直线与曲线有两个不同的公共点,则必有＜k≤．即实数k的取值范围是＜k≤．故答案为＜k≤．16．已知二次函数f（x)=x2+mx+n（m，n∈R）的两个零点分别在（0，1)与（1,2)内,则（m+1）2+（n﹣2)2的取值范围是．【考点】函数零点的判定定理；简单线性规划；一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】由二次方程根的分布可得m，n所满足的不等式组，再由（m+1）2+（n﹣2）2的几何意义,由线性规划的知识可求解．【解答】解：由题意知，二次函数的图象与x轴的交点分别在区间（0，1)和（1，2)内，如图由图象可得:,此不等式组所表示的平面区域为下图：设，则Z的几何意义即为点E（﹣1，2）到区域内点的连线段的距离，过点E作直线m+n+1=0的垂线,如图,可得Z得最小值为点E到该直线的距离，即，又|EC|=2，｜EB｜=,∵A（﹣3，2），∴｜EA｜=2，故Z的最大值为．∴Z的范围为，∴（m+1）2+（n﹣2）2的范围为：．故答案为：．三、解答题(共70分）17．直线l过点P（﹣2，1)．(1）若直线l与直线x+2y=1平行,求直线l的方程；（2）若直线l与直线x+2y=1垂直，求直线l的方程．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】（1)若直线l与与直线x+2y=1平行，所以可将直线设为x+2y=c，再将点P（﹣2，1）代入求出c值，可得答案；(2)若直线l与直线x+2y=1垂直,所以可将直线设为2x﹣y=m，再将点P（﹣2，1)代入求出m 值，可得答案．【解答】解：（1）因为与直线x+2y=1平行，所以可将直线设为x+2y=c，再将点P(﹣2,1）代入解得c=0，即所求直线方程是x+2y=0；(2）因为与直线x+2y=1垂直，所以可将直线设为2x﹣y=m，再将点P(﹣2,1）代入，解得m=﹣5，即得直线方程2x﹣y=﹣5．18．写出适合下列条件的椭圆的标准方程，（1)a=6，c=3且焦点在x轴上；(2)两个焦点坐标分别是F1（0，﹣2），F2（0，2)且过点A（3，2）．【考点】椭圆的标准方程．【分析】（1)由题意，b=3，可得椭圆的标准方程;（2）利用椭圆的定义求出a，从而可得b,即可求出椭圆的标准方程．【解答】解：（1）由题意，b=3，∴椭圆的标准方程是=1；（2)∵椭圆两个焦点坐标分别是F1（0，﹣2）,F2（0,2）且过点A（3,2），∴2a=｜AF1|+|AF2|=5+3=8．∴a=4,∴b==2,∴椭圆的标准方程是=1．19．已知圆C：(x﹣3）2+（y﹣4）2=4，直线l过定点A（1，0)．（1)若l与圆C相切，求l的方程；（2）若l与圆C相交于P、Q两点,若|PQ|=2,求此时直线l的方程．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】（1）分直线的斜率存在和不存在两种情况,分别根据直线和圆相切的性质求得直线的方程，综合可得结论．（2）用点斜式设出直线的方程，利用条件以及点到直线的距离公式，弦长公式求出斜率的值，可得直线的方程．【解答】解:（1）若直线l的斜率不存在，则直线l：x=1，符合题意．若直线l斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣1),即kx﹣y﹣k=0．由题意知,圆心（3,4)到已知直线l的距离等于半径2，即： =2，解之得k=,此时直线的方程为3x﹣4y﹣3=0．综上可得,所求直线l的方程是x=1或3x﹣4y﹣3=0．（2）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为kx﹣y﹣k=0，因为｜PQ|=2=2=2，求得弦心距d=，即=2，求得 k=1或k=7，所求直线l方程为x﹣y﹣1=0或7x﹣y﹣7=0．20．某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验,计划搭载新产品A、B，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排,通过调查，有关数据如表：产品A（件) 产品B（件）研制成本、搭载费用之和(万元）20 30 计划最大资金额300万元产品重量(千克）10 5 最大搭载重量110千克预计收益（万元）80 60试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大,最大收益是多少？【考点】简单线性规划的应用．【分析】我们可以设搭载的产品中A有x件,产品B有y件，我们不难得到关于x，y的不等式组，即约束条件和目标函数，然后根据线行规划的方法不难得到结论．【解答】解：设搭载产品Ax件，产品By件,预计总收益z=80x+60y．则，作出可行域，如图．作出直线l0：4x+3y=0并平移，由图象得，当直线经过M点时z能取得最大值,，解得，即M（9，4)．所以z max=80×9+60×4=960（万元）．答：搭载产品A9件，产品B4件,可使得总预计收益最大，为960万元．21．已知矩形ABCD的对角线交于点P(2，0）,边AB所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，点（﹣1，1）在边AD所在的直线上,（1)求矩形ABCD的外接圆的方程；(2）已知直线l:(1﹣2k）x+（1+k）y﹣5+4k=0(k∈R）,求证：直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l的方程．【考点】圆方程的综合应用；圆的标准方程；直线与圆相交的性质．【分析】（1）由l AB：x﹣3y﹣6=0且AD⊥AB,点(﹣1，1)在边AD所在的直线上,得到AD所在直线的方程是:y﹣1=﹣3（x+1）即3x+y+2=0，求出交点的坐标，得到结果．(2）根据所给的直线的方程看出直线是一个过定点的直线，判断出定点在圆的内部，证明出直线与圆一定有交点，设PQ与l的夹角为θ，则d=|PQ|sinθ=，得到当θ=90°时，d最大，|MN|最短，再写出直线的方程．【解答】解:(1）由l AB:x﹣3y﹣6=0且AD⊥AB,点（﹣1，1）在边AD所在的直线上∴AD所在直线的方程是：y﹣1=﹣3（x+1）即3x+y+2=0由得A(0，﹣2)…∴∴矩形ABCD的外接圆的方程是：(x﹣2）2+y2=8…（2）直线l的方程可化为：k（﹣2x+y+4）+x+y﹣5=0l可看作是过直线﹣2x+y+4=0和x+y﹣5=0的交点(3,2）的直线系，即l恒过定点Q（3，2)由于(3﹣2)2+22=5＜8知点在圆内，∴直线与圆恒有交点，设PQ与l的夹角为θ,则d=｜PQ|sinθ=当θ=90°时,d最大,｜MN|最短，此时l的斜率为PQ斜率的负倒数﹣,∴l：y﹣2=﹣（x﹣3）即x+2y﹣7=022．如图，在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2,4）．（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且|BC｜=|OA|，求直线l的方程；（3）设点T（t，0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得+=,求实数t的取值范围．【考点】向量在几何中的应用．【分析】（1)设N（6，n），则圆N为：（x﹣6)2+(y﹣n）2=n2，n＞0,从而得到｜7﹣n|=|n｜+5，由此能求出圆N的标准方程．（2）由题意得OA=2，k OA=2，设l：y=2x+b,则圆心M到直线l的距离：d=，由此能求出直线l的方程．（3）任意t∈,欲使=﹣=,此时，|｜≤10，只需要作直线TA的平行线,使圆心到直线的距离为，由此能求出实数t的取值范围．【解答】解：(1)∵N在直线x=6上,∴设N（6,n),∵圆N与x轴相切，∴圆N为:(x﹣6）2+（y﹣n）2=n2，n＞0，又圆N与圆M外切，圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0,即圆M：（（x﹣6）2+(x﹣7）2=25，∴|7﹣n｜=｜n｜+5，解得n=1,∴圆N的标准方程为(x﹣6）2+（y﹣1）2=1．（2)由题意得OA=2,k OA=2,设l：y=2x+b，则圆心M到直线l的距离:d=，则|BC|=2，BC=2,即2=2，解得b=5或b=﹣15，∴直线l的方程为：y=2x+5或y=2x﹣15．（3）+=，即=﹣=，又||≤10，即≤10，解得t∈,对于任意t∈，欲使=﹣=，此时，｜|≤10，只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为，必然与圆交于P、Q两点，此时｜|=||，即=，因此实数t的取值范围为t∈．2016年12月11日。

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2016-2017学年四川省眉山市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知双曲线﹣=1的一条渐近线过点（，1），则此双曲线的一个焦点坐标是（）A．（）B．（2，0）C．（）D．（）2．（5分）命题P：“若a＜b，则a+c＜b+c”，则命题P的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是（）A．0B．2C．3D．43．（5分）设a∈R，则“a=﹣2”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）抛物线y2=2px（p＞o）的准线被圆x2+y2+2x﹣3=0所截得的线段长为4，则p=（）A．1B．2C．4D．85．（5分）下列否定不正确的是（）A．“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x0∈R，x02≤0”B．“∃x0∈R，x02＜0”的否定是“∀x∈R，x2＜0”C．“∃θ0∈R，sinθ0+cosθ0＜1”的否定是“∀θ∈R，sinθ+cosθ≥1”D．“∀θ∈R，sinθ≤1”的否定是∃θ0∈R，sinθ0＞16．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的i值为（）A．3B．4C．5D．67．（5分）已知F1、F2是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C 上的一点，且⊥．若△PF 1F2的面积为9，则b=（）A．3B．6C．3D．28．（5分）已知圆C的圆心在x轴上，且经过A（5，2），B（﹣1，4）两点，则圆C的方程是（）A．（x+2）2+y2=17B．（x﹣2）2+y2=13C．（x﹣1）2+y2=20D．（x+1）2+y2=409．（5分）已知m是两个正数2，8的等比中项，则圆锥曲线x+=1的离心率是（）A．或B．C．D．或10．（5分）如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆11．（5分）x，y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1B．2或C．2或﹣1D．2或1 12．（5分）抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，圆M的圆心在x 轴的正半轴上，圆M与y轴相切，过原点O作倾斜角为的直线m，交直线l于点A，交圆M于不同的两点O、B，且|AO|=|BO|=2，若P为抛物线C 上的动点，则的最小值为（）A．﹣2B．2C．D．3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）抛物线y=4x2的准线方程为．14．（5分）利用秦九韶算法公式，（k=1，2，3，…，n）．计算多项式f（x）=3x4﹣x2+2x+1，当x=2时的函数值；则v3=．15．（5分）过点P（，1）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是．16．（5分）已知F1、F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知圆x2+y2=8内有一点P0（﹣1，2），AB为过点P0且倾斜角为α的弦．（1）当α=时，求AB的长；（2）当弦AB被点P0平分时，写出直线AB的方程．18．（12分）设命题p：∃x∈R，使x2+2ax+2﹣a=0；命题p：不等式ax2﹣ax+2＞0对任意x∈R恒成立．若￢p为真，且p或q为真，求a的取值范围．19．（12分）已知直线l过点P（2，3），且被两条平行直线l1：3x+4y﹣7=0，l2：3x+4y+8=0截得的线段长为d．（1）求d的最小值；（2）当直线l与x轴平行，试求d的值．20．（12分）如图：Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变．（1）建立适当的坐标系，求曲线E的标准方程；（2）过B点且倾斜角为120°的直线l交曲线E于M，N两点，求|MN|的长度．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点．（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．22．（12分）如图，DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且|DM|=2|DP|．当点P 在圆x2+y2=1上运动时．（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点T（0，t）作圆x2+y2=1的切线交曲线C于A，B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标．2016-2017学年四川省眉山市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知双曲线﹣=1的一条渐近线过点（，1），则此双曲线的一个焦点坐标是（）A．（）B．（2，0）C．（）D．（）【解答】解：不妨设a＞0，则双曲线的渐近线方程为y=±x，∵渐近线过点（，1），∴点（，1）在y=x，上，代入得1=×=，得a=2，则c2=a2+2=4+2=6，即c=，则双曲线的焦点坐标为（±，0），故选：C．2．（5分）命题P：“若a＜b，则a+c＜b+c”，则命题P的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是（）A．0B．2C．3D．4【解答】解：根据不等式的基本性质，可得原命题：“若a＜b，则a+c＜b+c”为真命题，故其逆否命题也为真命题；其逆命题：“若a+c＜b+c，则a＜b”为真命题，故其否命题也为真命题；故选：D．3．（5分）设a∈R，则“a=﹣2”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当a=﹣2时，两直线方程分别为l1：﹣2x+2y﹣1=0与直线l2：x﹣y+4=0满足，两直线平行，充分性成立．当a=1时，满足直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0平行，∴必要性不成立，∴“a=﹣2”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的充分不必要条件，故选：A．4．（5分）抛物线y2=2px（p＞o）的准线被圆x2+y2+2x﹣3=0所截得的线段长为4，则p=（）A．1B．2C．4D．8【解答】解：圆x2+y2+2x﹣3=0化为（x+1）2+y2=4，得圆心C（﹣1，0），半径r=2由抛物线y2=2px（p＞0）得准线l方程为x=﹣．∵抛物线y2=2px（p＞0）的准线被圆x2+y2+2x﹣3=0所截得的线段长为4，∴圆心在准线上，∴=1∴p=2．故选：B．5．（5分）下列否定不正确的是（）A．“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x0∈R，x02≤0”B．“∃x0∈R，x02＜0”的否定是“∀x∈R，x2＜0”C．“∃θ0∈R，sinθ0+cosθ0＜1”的否定是“∀θ∈R，sinθ+cosθ≥1”D．“∀θ∈R，sinθ≤1”的否定是∃θ0∈R，sinθ0＞1【解答】解：“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x0∈R，x02≤0”，故A正确；“∃x0∈R，x02＜0”的否定是“∀x∈R，x2≥0”，故B错误；“∃θ0∈R，si nθ0+cosθ0＜1”的否定是“∀θ∈R，sinθ+cosθ≥1”，故C正确；“∀θ∈R，sinθ≤1”的否定是∃θ0∈R，sinθ0＞1，故D正确；故选：B．6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的i值为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：模拟执行程序框图，可得m=1，i=1，m=1×（2﹣1）+1=2，i=2，不满足条件m=0，m=2×（2﹣2）+1=1，i=3，不满足条件m=0，m=1×（2﹣3）+1=0，i=4，满足条件m=0，退出循环，输出i的值为4．故选：B．7．（5分）已知F1、F2是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C 上的一点，且⊥．若△PF 1F2的面积为9，则b=（）A．3B．6C．3D．2【解答】解：如图，∵⊥，∴△PF 1F2为直角三角形，又△PF1F2的面积为9，∴，得|PF1||PF2|=18．在Rt△PF1F2中，由勾股定理得：，∴，即2（a2﹣c2）=|PF1||PF2|=18，得b2=a2﹣c2=9，∴b=3．故选：A．8．（5分）已知圆C的圆心在x轴上，且经过A（5，2），B（﹣1，4）两点，则圆C的方程是（）A．（x+2）2+y2=17B．（x﹣2）2+y2=13C．（x﹣1）2+y2=20D．（x+1）2+y2=40【解答】解：∵圆C的圆心在x轴上，设圆心为M（a，0），由圆过点A（5，2），B（﹣1，4），由|MA|=|MB|可得MA2=MB2，即（a﹣5）2+4=（a+1）2+16，求得a=1，可得圆心为M（1，0），半径为|MA|=，故圆的方程为（x﹣1）2+y2=20，故选：C．9．（5分）已知m是两个正数2，8的等比中项，则圆锥曲线x+=1的离心率是（）A．或B．C．D．或【解答】解：∵m是两个正数2，8的等比中项，∴m2=2×8=16，即m=4或m=﹣4，当m=4时，圆锥曲线x+=1为椭圆，∴a=2，b=1，c=，∴e==，当m=﹣4时，圆锥曲线x﹣=1为双曲线，∴a=1，b=2，c=，∴e==，故选：D．10．（5分）如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆【解答】解：由题意知，CD是线段MF的垂直平分线．∴|MP|=|PF|，∴|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=|MO|（定值），又显然|MO|＞|FO|，∴根据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆．故选：A．11．（5分）x，y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1B．2或C．2或﹣1D．2或1【解答】解：由题意作出约束条件，平面区域，将z=y﹣ax化为y=ax+z，z相当于直线y=ax+z的纵截距，由题意可得，y=ax+z与y=2x+2或与y=2﹣x平行，故a=2或﹣1；故选：C．12．（5分）抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，圆M的圆心在x 轴的正半轴上，圆M与y轴相切，过原点O作倾斜角为的直线m，交直线l于点A，交圆M于不同的两点O、B，且|AO|=|BO|=2，若P为抛物线C 上的动点，则的最小值为（）A．﹣2B．2C．D．3【解答】解：因为=OA•cos=2×=1，即p=2，所以抛物线C的方程为y2=4x，设⊙M的半径为r，则=2，所以⊙M的方程为（x﹣2）2+y2=4设P（x，y）（x≥0），则=x2﹣3x+2+y2=x2+x+2，所以当x=0时，有最小值为2故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）抛物线y=4x2的准线方程为．【解答】解：整理抛物线方程得x2=y，∴p=∵抛物线方程开口向上，∴准线方程是y=﹣故答案为：．14．（5分）利用秦九韶算法公式，（k=1，2，3，…，n）．计算多项式f（x）=3x4﹣x2+2x+1，当x=2时的函数值；则v3=24．【解答】解：由“秦九韶算法”可知：f（x）=3x4﹣x2+2x+1=（（（3x﹣1）x+0）x+2）x+1，在求当x=2时的值的过程中，v0=3，v1=3×2﹣1=5，v2=5×2=10，v3=12×2=24，故答案为：24．15．（5分）过点P（，1）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是[0，] ．【解答】解：①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程是x=，此时直线l与圆相离，没有公共点，不满足题意；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣1=k（x﹣），即kx﹣y﹣k+1=0，∵直线l和圆有公共点，∴圆心到直线的距离小于或等于半径，则≤1，解得0≤k≤，∴直线l的倾斜角的取值范围是[0，]，故答案为[0，]．16．（5分）已知F1、F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为．【解答】解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2∵∠F1PF2=，则∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2…②，在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2…③，，由柯西不等式得（1+）（）=（）2故答案为：三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知圆x2+y2=8内有一点P0（﹣1，2），AB为过点P0且倾斜角为α的弦．（1）当α=时，求AB的长；（2）当弦AB被点P0平分时，写出直线AB的方程．【解答】解：（1）当时，直线AB的方程为：y﹣2=﹣（x+1）⇒x+y﹣1=0，设圆心到直线AB的距离为d，则，∴…（5分），（2）当弦AB被点P0平分时，OP0⊥AB，∵，∴，故直线AB的方程为：即x﹣2y+5=0…（10分）18．（12分）设命题p：∃x∈R，使x2+2ax+2﹣a=0；命题p：不等式ax2﹣ax+2＞0对任意x∈R恒成立．若￢p为真，且p或q为真，求a的取值范围．【解答】解：若：∃x∈R，使x2+2ax+2﹣a=0成立，则△≥0，即△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，得a≤﹣2或a≥1，即p：a≤﹣2或a≥1，若x∈R，恒成立，当a=0时，2＞0恒成立，满足条件．当a≠0，要使不等式恒成立，则，解得0＜a＜4，综上0≤a＜4．即q：0≤a＜4．若¬p为真，则p为假，又p或q为真，∴q为真，，∴a的取值范围为[0，1）．19．（12分）已知直线l过点P（2，3），且被两条平行直线l1：3x+4y﹣7=0，l2：3x+4y+8=0截得的线段长为d．（1）求d的最小值；（2）当直线l与x轴平行，试求d的值．【解答】解：（1）当直线l与两平行线垂直时d最小，此时d即为两平行线间的距离，∴d==3（2）当直线l与x轴平行时，直线l的方程为y=3，把y=3代入l1：3x+4y﹣7=0可得x=，把y=3代入l2：3x+4y+8=0可得x=，∴d=|﹣（）|=5．20．（12分）如图：Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变．（1）建立适当的坐标系，求曲线E的标准方程；（2）过B点且倾斜角为120°的直线l交曲线E于M，N两点，求|MN|的长度．【解答】解：（1）以AB、OD所在的直线分别为x轴、y轴，O为原点建立直角坐标系…．（1分）∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=+=2，动点的轨迹是以为A，B焦点椭圆…．（4分）设其长、短半轴的长分别为a、b，半焦距为c，则a=，c=1，b=1，∴曲线E的方程为：+y2=1．…（6分）（2）直线l得方程为y=﹣（x﹣1）且M（x1，y1），N（x2，y2）…．（7分）由方程组，得方程7x2﹣12x+4=0x1+x2=，x1•x2=…（9分）==，故…..（12分）21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点．（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．【解答】解：（1）设过点T（3，0）的直线l交抛物线y2=2x于点A（x1，y1）、B （x2，y2）．当直线l的钭率不存在时，直线l的方程为x=3，此时，直线l与抛物线相交于点A（3，）、B（3，﹣）．∴=3；当直线l的钭率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣3），其中k≠0，由得ky2﹣2y﹣6k=0⇒y1y2=﹣6又∵，∴，综上所述，命题“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；（2）逆命题是：设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点，如果=3，那么该直线过点T（3，0）．该命题是假命题．例如：取抛物线上的点A（2，2），B（，1），此时=3，直线AB的方程为：，而T（3，0）不在直线AB上；说明：由抛物线y2=2x上的点A（x1，y1）、B（x2，y2）满足=3，可得y1y2=﹣6，或y1y2=2，如果y1y2=﹣6，可证得直线AB过点（3，0）；如果y1y2=2，可证得直线AB过点（﹣1，0），而不过点（3，0）．22．（12分）如图，DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且|DM|=2|DP|．当点P 在圆x2+y2=1上运动时．（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点T（0，t）作圆x2+y2=1的切线交曲线C于A，B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标．【解答】（本小题满分13分）解：（I）设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），则x=x0，y=2y0，所以x0=x，y0=，①因为P（x0，y0）在圆x2+y2=1上，所以x02+y02=1②，将①代入②，得点M 的轨迹方程C 的方程为x 2+=1；…（5分）（Ⅱ）由题意知，|t |≥1，（i ）当t=1时，切线l 的方程为y=1，点A 、B 的坐标分别为（﹣，1），（，1），此时|AB |=，当t=﹣1时，同理可得|AB |=；（ii ）当|t |＞1时，设切线l 的方程为y=kx +t ，k ∈R ，由，得（4+k 2）x 2+2ktx +t 2﹣4=0③，设A 、B 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），由③得：x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，又直线l 与圆x 2+y 2=1相切，得=1，即t 2=k 2+1，∴|AB |===，又|AB |==≤2，且当t=±时，|AB |=2，综上，|AB |的最大值为2，依题意，圆心O 到直线AB 的距离为圆x 2+y 2=1的半径， ∴△AOB 面积S=|AB |×1≤1，当且仅当t=±时，△AOB 面积S 的最大值为1，相应的T 的坐标为（0，﹣）或（0，）．…（13分）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+．（Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = xxx(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。