二元一次方程组的应用(古题赏析)精选.ppt
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二元一次方程组的应用复习ppt课件
3
他们把剩下的书全部取来,连同第一次打包剩下的书一起,刚好又打了9个包.那么
这批书共有多少本?
列二元一次方程组解决该类问题要抓住关键的词语,如和、差、 倍、几分之几、多、少、提高了、提高到等,挖掘各类问题中的基本数量关 系.
变式练习
1.某中学七年级学生外出进行社会实践活动，如果每辆车坐
45 人，那么有 15 人没车坐；如果每辆车坐 60 人，那么恰好 可以空出一辆，问共有几辆车，几名学生？
解：设小明在x后面多写了一个0，小亮在y后面多写了一个 0，由题意得
10x+y=242 x+10y=341
x=21
解这个方程组得
y=32
答：原来两个加数分别是21,32.
知识点四 应用二元一次方程组解行程问题
【例2】 甲、乙两地相距160 km,一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向
而行,4 h后相遇.相遇后,拖拉机继续前进,汽车在相遇处停留1 h后调转车头原速
解：设小颖上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，由题意的
x+y=16
x
y
4.8×— + 12×—
60
60
1880 = ———
1000
上坡时间C
x=11
A
B
解这个方程组得
y=5
答：小颖上坡用了分钟，下坡用了分钟。
知识点五 用方程组解决增收节支问题 【例1】 某工厂去年总产值比总支出多500万元,而今年计划的总产值比总支出多 950万元.已知今年计划总产值比去年增加15%,而计划总支出比去年减少10%,求今 年计划的总产值和总支出各是多少?
用二元一次方程组解决古代数学问题需要注意:(1)先将古文译为 现代文;(2)理解问题中关键的字词,分析清楚题目中的数量关系;(3)分析题意, 找出反映题目含义的两个等量关系.
他们把剩下的书全部取来,连同第一次打包剩下的书一起,刚好又打了9个包.那么
这批书共有多少本?
列二元一次方程组解决该类问题要抓住关键的词语,如和、差、 倍、几分之几、多、少、提高了、提高到等,挖掘各类问题中的基本数量关 系.
变式练习
1.某中学七年级学生外出进行社会实践活动，如果每辆车坐
45 人，那么有 15 人没车坐；如果每辆车坐 60 人，那么恰好 可以空出一辆，问共有几辆车，几名学生？
解：设小明在x后面多写了一个0，小亮在y后面多写了一个 0，由题意得
10x+y=242 x+10y=341
x=21
解这个方程组得
y=32
答：原来两个加数分别是21,32.
知识点四 应用二元一次方程组解行程问题
【例2】 甲、乙两地相距160 km,一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向
而行,4 h后相遇.相遇后,拖拉机继续前进,汽车在相遇处停留1 h后调转车头原速
解：设小颖上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，由题意的
x+y=16
x
y
4.8×— + 12×—
60
60
1880 = ———
1000
上坡时间C
x=11
A
B
解这个方程组得
y=5
答：小颖上坡用了分钟，下坡用了分钟。
知识点五 用方程组解决增收节支问题 【例1】 某工厂去年总产值比总支出多500万元,而今年计划的总产值比总支出多 950万元.已知今年计划总产值比去年增加15%,而计划总支出比去年减少10%,求今 年计划的总产值和总支出各是多少?
用二元一次方程组解决古代数学问题需要注意:(1)先将古文译为 现代文;(2)理解问题中关键的字词,分析清楚题目中的数量关系;(3)分析题意, 找出反映题目含义的两个等量关系.
二元一次方程组二元一次方程组的应用ppt
解法的注意事项
注意验证
解出方程组的解后要进行验证，确保正确性。
注意应用
在实际应用中要根据实际情况选择合适的解法。
注意单位
在求解过程中要注意单位的转换。
05
实际应用中遇到的问题与挑战
确定方程组的未知数
在实际问题中，有时难以确定需要求解的未知数。
搜集相关数据
可能无法获得足够的数据来建立方程组，或者数据的质量和精度不够。
2023
二元一次方程组的应用
引言方程组的应用案例分析解法总结与技巧实际应用中遇到的问题与挑战如何进一步拓展与应用
contents
目录Biblioteka 01引言含有两个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程。如：ax+by+c=0。
二元一次方程
由两个或多个二元一次方程组成的方程系统。如：{ax+by+c=0，dx+ey+f=0}。
总结词
投资组合问题
生产计划问题
生产计划问题是一种常见的二元一次方程组应用，通过建立方程组和求解，可以确定企业的最优生产计划。
总结词
生产计划问题通常涉及到企业的生产能力和市场需求两个主要因素。在建立方程组时，通常以这两个因素作为变量，通过引入生产数量、生产成本等参数来描述企业的生产计划。求解时，利用二元一次方程组的求解方法，如代入法、加减消元法等，求得最优生产计划方案。
加减消元法
用矩阵表示方程组，通过计算矩阵得到解。主要用于大型复杂方程组的求解。
矩阵求解法
02
方程组的应用
列方程
实际问题转化为数学问题
用数学模型描述问题
实际问题转化为方程
用二元一次方程组解决实际问题
解方程组
二元一次方程组的应用古题赏析
“买卖物品”问题
解决关于交易的价格和数量的问题。
“混合物问题”
解决关于两种或多种物体混合后的性质和比例的 问题。
二元一次方程组的加减法解法
通过将两个方程相加或相减，消除一个未知数，从而求得方程组的解。 注意：为了方便计算，请确保方程的系数对齐。
二元一次方程组的解的判断
根据方程的系数和常数项之间的关系，判断方程组的解的情况。 • 没有解的情况 • 有唯一解的情况 • 有无穷解的情况
二元一次方程组解法的推广
探讨多元一次方程组的解法，以及高斯-约旦消元法的应用。
总结
通过本次演讲，我们深入了解了二元一次方程组的应用和解法。希望这些知 识能够帮助你解决实际问题，并提升数学能力。
如何将二元一次方程组转化为图像？
将方程组转换为一元一次方程，通过绘制直线来表示解集。
图像解法与代数解法的异同
图像解法直观清晰，易于理解，而代数解法更为具体、准确。
二元一次方程组的应用场景
“两车相遇”问题
计算两辆车相遇时的时间、位置等相关信息。
“工作效率”问题
计算多个人合作完成一项工作所需的时间。
二元一次方程组的应用古 题赏析
二元一次方程组是数学中常见且重要的问题类型，本次演讲将深入探讨它的 应用场景以及各种解法。
什么是二元一次方程组？
二元一次方程组是由两个未知数的线性方程组成的集合，表达了两个未知数 之间的关系。
二元一次方程组的一般形式
一般形式为：ax + by = c，其中a、b、c为常数，且a和b不同时为0。
二元一次方程组的解法
1Байду номын сангаас
代入法
2
通过将一个方程的解代入另一个方程，
二元一次方程组的应用-PPT课件
1
合作学习
今有鸡兔同笼，上 有35头，下有94足，问 鸡兔各有多少头？
1、问题中有几个未知数？
2、问题中可以得到几个等量关系式？
3、你准备设哪几个未知数？
4、你能列出方程或方程组吗？ 2
今有鸡兔同笼，上 有35头，下有94足，问 鸡兔各有多少头？
1、鸡头+兔头=35； 2、鸡足+兔足=94。
3
解：设共有x只鸡，则共有 (35-x)只兔子。
根据题意，得
2x+4(35-x)=94。 解这个方程，得 x=23。 ∴ 35-x=35-23=12。
答：共有23只鸡，12只兔子。 4
列一元一次方程解应用题的一般步骤：
1、审题；
理解问题
2、找出一个等
量关系式；
制订计划
3、设元并列 出方程；
执行计划
4、解方程并求 出相关的量；
回顾
5、写出答案。 5
X+2y=500, 4x+3y=1001。
解这个方程组，得
X=100.4, y=199.8。 ∵纸盒的只数只能是自然数，
∴这组解不符合题意，舍去。 答：不能恰好把库存的纸板用完13。
如何理每解天“生每产天的生圆产形的铁铁片正总好数配= 每套天”生？产的长方形铁片总数的2倍
14
例2 一个工厂共42名工人，每个 每小时生产圆形铁片120片或长方 片。已知两片圆形铁片与一片长 可以组成一个圆柱形密封的铁桶 如何安排工人的生产，才能使每 铁片正好配套?
回顾
7
列二元一次方程组解应用题的 关键步骤：
设两个未知数 找出两个等量关系
式
列出两个方程
列出方程组 8
大家学习辛苦了，还是要坚持
合作学习
今有鸡兔同笼，上 有35头，下有94足，问 鸡兔各有多少头？
1、问题中有几个未知数？
2、问题中可以得到几个等量关系式？
3、你准备设哪几个未知数？
4、你能列出方程或方程组吗？ 2
今有鸡兔同笼，上 有35头，下有94足，问 鸡兔各有多少头？
1、鸡头+兔头=35； 2、鸡足+兔足=94。
3
解：设共有x只鸡，则共有 (35-x)只兔子。
根据题意，得
2x+4(35-x)=94。 解这个方程，得 x=23。 ∴ 35-x=35-23=12。
答：共有23只鸡，12只兔子。 4
列一元一次方程解应用题的一般步骤：
1、审题；
理解问题
2、找出一个等
量关系式；
制订计划
3、设元并列 出方程；
执行计划
4、解方程并求 出相关的量；
回顾
5、写出答案。 5
X+2y=500, 4x+3y=1001。
解这个方程组，得
X=100.4, y=199.8。 ∵纸盒的只数只能是自然数，
∴这组解不符合题意，舍去。 答：不能恰好把库存的纸板用完13。
如何理每解天“生每产天的生圆产形的铁铁片正总好数配= 每套天”生？产的长方形铁片总数的2倍
14
例2 一个工厂共42名工人，每个 每小时生产圆形铁片120片或长方 片。已知两片圆形铁片与一片长 可以组成一个圆柱形密封的铁桶 如何安排工人的生产，才能使每 铁片正好配套?
回顾
7
列二元一次方程组解应用题的 关键步骤：
设两个未知数 找出两个等量关系
式
列出两个方程
列出方程组 8
大家学习辛苦了，还是要坚持
二元一次方程组的应用ppt课件
பைடு நூலகம்-5-
6.3 二元一次方程组的应用
解析：四个小组每天能制造螺栓： 8+9+7+6=30（个）， 四个小组每天能制造螺母： 10+12+11+7=40（个）．
设四个小组制造螺栓 x 天，制造螺母 y 天．依据“把一个螺母和一个螺
栓配套组装成一个新型零件，以及一共制造了 7 天”列方程组，得
解得
所以 30x=120，即 7 天中这四个小组最 多可组装120 个零件．
解析：本题中的等量关系是：①七年级人数+八年级人数=2 350 人；②七 年级人数的 2 倍=八年级人数的 3 倍-550 人．
答案：解：设七、八年级学生分别有 x 人，y 人.由题意，得 解这个方程组，得
答：七、八年级学生分别有 1 300 人和 1 050 人． 易错：列方程组为 错因：七年级人数的 2 倍比八年级人数的 3 倍少 550 人，这个等量关 系找错. 满分备考：解决和差倍分问题时，要弄清楚谁是谁的几倍，或谁比谁多多 少，切记不要弄反等量关系.
汤.仔细阅读小明父母之间的对话，妈妈：“今天买这两样食材共花了 45 元， 上月买同质量的这两样食材只要 36 元.”爸爸：“报纸上说了萝卜的单价上涨 50%，排骨的单价上涨 20%.”小明听后很快计算出今天排骨的单价为 ____ 元.
解析：设上个月萝卜的单价为 x 元，排骨的单价为 y 元.由题意，得
答案：120
易错：100
错因：弄错题目中存在的等量关系或直接设 7 天 中这四个小组最多可组
装 x 个零件，从而找不到等 量关系，列不出方程组，导致出错.
-6-
6.3 二元一次方程组的应用
满分备考：应用二元一次方程组解决实际问题时，有时可以直接设所求的 量列出方程组，有时直接设所求的量找不到等量关系，则需设与所求量相关联 的量，列出方程组，解决问题.
6.3 二元一次方程组的应用
解析：四个小组每天能制造螺栓： 8+9+7+6=30（个）， 四个小组每天能制造螺母： 10+12+11+7=40（个）．
设四个小组制造螺栓 x 天，制造螺母 y 天．依据“把一个螺母和一个螺
栓配套组装成一个新型零件，以及一共制造了 7 天”列方程组，得
解得
所以 30x=120，即 7 天中这四个小组最 多可组装120 个零件．
解析：本题中的等量关系是：①七年级人数+八年级人数=2 350 人；②七 年级人数的 2 倍=八年级人数的 3 倍-550 人．
答案：解：设七、八年级学生分别有 x 人，y 人.由题意，得 解这个方程组，得
答：七、八年级学生分别有 1 300 人和 1 050 人． 易错：列方程组为 错因：七年级人数的 2 倍比八年级人数的 3 倍少 550 人，这个等量关 系找错. 满分备考：解决和差倍分问题时，要弄清楚谁是谁的几倍，或谁比谁多多 少，切记不要弄反等量关系.
汤.仔细阅读小明父母之间的对话，妈妈：“今天买这两样食材共花了 45 元， 上月买同质量的这两样食材只要 36 元.”爸爸：“报纸上说了萝卜的单价上涨 50%，排骨的单价上涨 20%.”小明听后很快计算出今天排骨的单价为 ____ 元.
解析：设上个月萝卜的单价为 x 元，排骨的单价为 y 元.由题意，得
答案：120
易错：100
错因：弄错题目中存在的等量关系或直接设 7 天 中这四个小组最多可组
装 x 个零件，从而找不到等 量关系，列不出方程组，导致出错.
-6-
6.3 二元一次方程组的应用
满分备考：应用二元一次方程组解决实际问题时，有时可以直接设所求的 量列出方程组，有时直接设所求的量找不到等量关系，则需设与所求量相关联 的量，列出方程组，解决问题.
《二元一次方程组的应用》PPT
解法二
解：设去年七年级招生 x 名，高中一年级招生y 名。 根据题意，得 x+y=500，
20%x+15%y=500×18%.
整理，得
x+y=500, 4x+3y=1800.
解得 x=300, y=200.
所以， （1+20%）x=（1+20%）×300=360， （1+15%）y=（1+15%）×200 =230.
大马说出的等量关系是什么？
我从你背上拿来一个，我的包裹数就是你的两倍！
大马驮物数+1=（小马驮物数-1）×2
试一试
解： 设大马驮物x包，小马驮物y包。
根据题意，得
x-1=y+1 x+1=2（y-1）
解这个方程组得
x=7
y=5
答：大马驮物7包，小马驮物5包。
列方程组解应用题的步骤：
• 审题 • 设未知数 • 找出两个等量关系 • 列方程组 • 解方程组
累死我了！
哼! 我从你背上拿 来1个，我的包裹数 就是你的2倍！
新知探究
你还累？这么大 的个，才比我多 驮了2个.
真的吗？
它们各驮了多少 包裹呢？
（1）大马的两句话，说出了两个等量关系，这两 个等量关系是什么？
（2）如果大马驮物x包，小马驮物y包，列出的二 元一次方程组是怎么样的？
解：大马驮物x包，小马驮物y包，根据题意，得
例2 去年秋季，某校七年级和高一年级招生总人数
为500人，计划今年秋季七年级招生人数增加20%，高中 人数增加15%，这样，今年秋季七年级和高中一年级招 生总人数将比去年增加18%，今年秋季七年级和高中一 年级各计划招生多少人？
第9讲-二元一次方程组的应用ppt课件
2．数字问题中所求的量一般是原数，解题时，一般先设原数各数位上的数字为未知数， 并求得结果，再写出这个数．
【例 1】一个两位数的十位数字与个位数字的和是 7．如果把这个两位数加上 45，那么恰好
成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数，则原来的两位数是( )
Aபைடு நூலகம்36
B．25
C．61
D．16
【答案】D
【答案】解：设粗加工蔬菜为 x 吨，精加工蔬菜为 y 吨，
根据题意得：
x y=150
x 15
y 5
=14
，解得：
x=120 y=30
．
答：粗加工蔬菜为 120 吨，精加工蔬菜为 30 吨．
【变 2】初一级学生去某处旅游，如果每辆汽车坐 45 人，那么有 15 个学生没有座位；如果 每辆汽车坐 60 人，那么空出 1 辆汽车．问一共多少名学生，多少辆汽车？
温馨提示： 方程组的解不一定符合问题的实际意义，所以一定要进行检验．
【例 2】一家公司加工蔬菜，有粗加工和精加工两种方式，如果进行粗加工，每天可加工 15 吨；如果进行精加工，每天可加工 5 吨．该公司从市场上收购蔬菜 150 吨，并用 14 天加工 完这批蔬菜．请问粗加工蔬菜和精加工蔬菜各多少吨？
【答案】解：设农场去年计划生产玉米 x 吨，小麦 y 吨，根据题意可得：
x (1
y=200 5%)x
(1
15%)
y=222
，解得：
x=80 y=120
，
则 80×(1＋5%)＝84(吨)，120×(1＋15%)＝138(吨)，
答：农场去年实际生产玉米 84 吨，小麦 138 吨．
探究四 配套问题
【变 1】有两个比 40 大的两位数，它们的差是 20，大数的 4 倍与小数的和能被 29 整除，求 原来的这两个两位数．
【例 1】一个两位数的十位数字与个位数字的和是 7．如果把这个两位数加上 45，那么恰好
成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数，则原来的两位数是( )
Aபைடு நூலகம்36
B．25
C．61
D．16
【答案】D
【答案】解：设粗加工蔬菜为 x 吨，精加工蔬菜为 y 吨，
根据题意得：
x y=150
x 15
y 5
=14
，解得：
x=120 y=30
．
答：粗加工蔬菜为 120 吨，精加工蔬菜为 30 吨．
【变 2】初一级学生去某处旅游，如果每辆汽车坐 45 人，那么有 15 个学生没有座位；如果 每辆汽车坐 60 人，那么空出 1 辆汽车．问一共多少名学生，多少辆汽车？
温馨提示： 方程组的解不一定符合问题的实际意义，所以一定要进行检验．
【例 2】一家公司加工蔬菜，有粗加工和精加工两种方式，如果进行粗加工，每天可加工 15 吨；如果进行精加工，每天可加工 5 吨．该公司从市场上收购蔬菜 150 吨，并用 14 天加工 完这批蔬菜．请问粗加工蔬菜和精加工蔬菜各多少吨？
【答案】解：设农场去年计划生产玉米 x 吨，小麦 y 吨，根据题意可得：
x (1
y=200 5%)x
(1
15%)
y=222
，解得：
x=80 y=120
，
则 80×(1＋5%)＝84(吨)，120×(1＋15%)＝138(吨)，
答：农场去年实际生产玉米 84 吨，小麦 138 吨．
探究四 配套问题
【变 1】有两个比 40 大的两位数，它们的差是 20，大数的 4 倍与小数的和能被 29 整除，求 原来的这两个两位数．
二元一次方程组的应用优秀课件PPT
解：设小李预定了x张小组赛的球票，y张淘汰赛的球票。
x + y = 10 550x +700y = 5800
小组赛票数+淘汰赛票数=10张
x + y =10
小组赛票价+淘汰赛票价=5800元
解得：
550x + 700y =5800
答：小李预定了8张小组赛的球票，2张淘汰赛的球票。
方程组解应用题
练习（2014•海南）海南五月瓜果飘香，某超市出售的“无核荔枝”
分析：（1）每个螺栓配两个螺母
分析：（2）每人每天生产螺栓14个或螺母20个
解：设应分配x人生产螺栓，y人生产螺母。
由题意可得方程：
螺栓 螺母
解得：
x=25 y=35
答：设应分配25人生产螺栓，35人生产螺母。
2、一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果1立方米木料可以做桌 面50个，或做桌腿300条。现有5立方米的木料，那么用多少立方米 木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好 配成方桌？能配多少张方桌？
一辆客车同时从内江、成都两地相向开出，经过1小时10分钟相遇
，小汽车比客车多行驶21千米．求小汽车和客车的平均速度。
内江
x
7h
成都
6
汽车
yHale Waihona Puke 客车140km解：设小汽车和客车的速度分别为 x km/h，y km/h.
7x 6
+
7 6
y
=140
7 x - 7 y =21
66
解得： x=69 y=51
汽车路程+客车路程=140千米
7 x
6
7
+
y 6
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隔壁听到人分银，不知人数不知银。只知 每人五两多六两，每人六两少五两，
问你多少人数多少银？
..........
6
古题今解
• 解：设人数x，银 y两．
•
5x + ６ =y
• ６x －5 = y
• 解之得 x=１１
•
y=６１
• 答：有１１人，银６１ 两．
..........
7
古题4
• 今有牛五、羊二、值金十两，牛二、 羊五，值金八两，牛、羊各值金几 何？”
• (1秉=16斛，１斛＝１０斗）
（荅曰：上禾一秉，九斗、四分斗之一，中禾一秉， 四斗、四分斗之一，下禾一秉，二斗、四分斗之 三。）
..........
11
九章算术（古题７）
• 今有令一人、吏五人、从者一十人，食鸡一 十；令一十人、吏一人、从者五人，食鸡八； 令五人、吏一十人、从者一人，食鸡六。问 令、吏、从者食鸡各几何？
2
• 解：设有鸡x只，兔y只，则
• x+y=35
解之得 x=23
• 2x+4y=94
y=12
• 答：共有鸡23只，兔12只。
古题 今解
• 这个古老的数学问题，用今天的方程解 决，体现了古为今用的原则，为后人理解
了数学的过去和现在，当代的著名的数学
家陈省生教授在说起“鸡兔同笼”时，曾
另有一番别有风趣的延伸：“全体鸡兔立
•
•
（荅曰：九人，鸡价七十。）
..........
15
九章算术（古题１１）
• 今有大器五、小器一容三斛；大器一、小 器五容二斛。问大、小器各容几何？
•
（荅曰：大器容二十四分斛之十三，小器容 二十四分斛之七。术曰：假令大器五斗， 小器亦五斗，盈一十斗。令之大器五斗五 升，小器二斗五升，不足二斗。）
..........
17
九章算术（古题１３）
• 今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等。交 易其一，金轻十三两。问金、银一枚各重几何？
• 9x=11y , 8x+y=10y+x-13∕16 • 古代：１斤＝１６两，１两＝２４铢 • （ 荅曰：金重二斤三两一十八铢，银重一斤十
三两六铢。术曰：假令黄金三斤，白银二斤、一 十一分斤之五，不足四十九，于右行。令之黄金 二斤，白银一斤、一十一分斤之七，多一十五于 左行。以分母各乘其行内之数，以盈不足维乘所 出率，并以为实。并盈不足为法。实如法，得黄 金重。分母乘法以除，得银重。约之得分也。）
..........
18
九章算术（古题１４）
• 今有甲乙二人持钱不知其数。甲得乙半而 钱五十，乙得甲太半而亦钱五十。问甲、 乙持钱各几何？
..........
1
古题1
• “雉（zhi)兔同笼” ：“今有雉兔同笼，上 有三十五关，下有九十四足，问雉兔各几 何？”
• 问题: “上有三十五头”指的意思是什么？ “下有九十四足”呢？
• 答：“上有三十五头”指的鸡和兔共有三 十五个头，“下有九十四足”指的是鸡和 兔共有九十四只脚。
..........
9
九章算术（古题５）
今有二马、一牛价过一万，如半马之价。一 马、二牛价不满一万，如半牛之价。问牛、 马价各几何？
•
荅（同“答”）曰：马价五千四百五十四钱、 一十一分钱之六，牛价一千八百一十八钱、 一十一分钱之二。术曰：如方程，损益之。
..........
10
九章算术（古题６）
• 今有上禾三秉(bing)，中禾二秉，下禾一秉，实三 十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三 十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二 十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？
• 题目大意是：5头牛、2只羊共价值1０
两“金”、2头牛、5只羊共价值８两
“金”、每头牛、每只羊共价值多少
“金”？
..........
8
古题今解
• 解：设一只牛x两，一只羊 y两．
•
5x + 2y =1０
•
2x + 5y =８
• 解之得 x=
•
y=
• 答：一只牛 两，一只羊 两．
..........
正，兔子提起前面的两只脚，请问现在共
有几只脚？”……
..........
3
古题2
以绳测井，若将绳三折测之，绳多五 尺，若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、 井深各几何？
意思是:
用绳子测量水井的深度，如果将绳子折成三
等分，一份绳子长比井深多5尺；如果将绳折
成四等份，一份绳子比井深多1尺，绳子、井
深各是多少尺？
• • （荅曰：羊价一百七十七，犬价一百二十一，鸡
价二十三，兔价二十九。术曰：如方程，以正负 术入之。）
..........
13
九章算术（古题９）
• 今有共买物，人出八，盈三；人出七，不 足四。问人数、物价各几何？
•
•
（荅曰：七人，物价五十三。）
Hale Waihona Puke ..........14
九章算术（古题１０）
• 今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六， 不足十六。问人数、鸡价各几何？
16
九章算术（古题１２）
• 今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五 百。今并买一顷，价钱一万。问善、恶田 各几何？
• （荅曰：善田一十二亩半，恶田八十七亩 半。术曰：假令善田二十亩，恶田八十亩， 多一千七百一十四钱、七分钱之二。令之 善田一十亩，恶田九十亩，不足五百七十 一钱、七分钱之三。）
..........
..........
4
古题今解
• 解：设绳子长x尺，井深y尺，则
•
xy5
3
x y 1 4
• 解之得 x= 48
•
y=11
• 答：绳子长为48尺，井深11尺。
..........
5
古题3
古代有一个马快，一天晚上他在野外
的一个茅屋里，听到外边来了一群人， 在分脏，在吵闹，他隐隐约约地听到几 个声音，下面有这一古诗为证：
•
•
• （荅曰：令一人食一百二十二分鸡之四十五，吏一人食一 百二十二分鸡之四十一，从者一人食一百二十二分鸡之九
十七。术曰：如方程，以正负术入之。）
..........
12
九章算术（古题８）
• 今有五羊、四犬、三鸡、二兔，直钱一千四百九 十六；四羊、二犬、六鸡、三兔直钱一千一百七 十五；三羊、一犬、七鸡、五兔，直钱九百五十 八；二羊、三犬、五鸡、一兔，直钱八百六十一。 问羊、犬、鸡、兔价各几何？
古题赏析
我们伟大祖国具有五千年的文明史， 在历史的长河中，为科学知识的创新和发展 作出了巨大的贡献，特别在数学领域有[九章 算术]、[孙子算经]等古代名著流传于世，普 及趋于民众，许多问题浅显易懂，趣味性强， 如[九章算术]下卷第三题目“雉兔同笼”等， 漂洋过海传到了日本等国，对中国古代文明 史的传播起了很大作用。
问你多少人数多少银？
..........
6
古题今解
• 解：设人数x，银 y两．
•
5x + ６ =y
• ６x －5 = y
• 解之得 x=１１
•
y=６１
• 答：有１１人，银６１ 两．
..........
7
古题4
• 今有牛五、羊二、值金十两，牛二、 羊五，值金八两，牛、羊各值金几 何？”
• (1秉=16斛，１斛＝１０斗）
（荅曰：上禾一秉，九斗、四分斗之一，中禾一秉， 四斗、四分斗之一，下禾一秉，二斗、四分斗之 三。）
..........
11
九章算术（古题７）
• 今有令一人、吏五人、从者一十人，食鸡一 十；令一十人、吏一人、从者五人，食鸡八； 令五人、吏一十人、从者一人，食鸡六。问 令、吏、从者食鸡各几何？
2
• 解：设有鸡x只，兔y只，则
• x+y=35
解之得 x=23
• 2x+4y=94
y=12
• 答：共有鸡23只，兔12只。
古题 今解
• 这个古老的数学问题，用今天的方程解 决，体现了古为今用的原则，为后人理解
了数学的过去和现在，当代的著名的数学
家陈省生教授在说起“鸡兔同笼”时，曾
另有一番别有风趣的延伸：“全体鸡兔立
•
•
（荅曰：九人，鸡价七十。）
..........
15
九章算术（古题１１）
• 今有大器五、小器一容三斛；大器一、小 器五容二斛。问大、小器各容几何？
•
（荅曰：大器容二十四分斛之十三，小器容 二十四分斛之七。术曰：假令大器五斗， 小器亦五斗，盈一十斗。令之大器五斗五 升，小器二斗五升，不足二斗。）
..........
17
九章算术（古题１３）
• 今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等。交 易其一，金轻十三两。问金、银一枚各重几何？
• 9x=11y , 8x+y=10y+x-13∕16 • 古代：１斤＝１６两，１两＝２４铢 • （ 荅曰：金重二斤三两一十八铢，银重一斤十
三两六铢。术曰：假令黄金三斤，白银二斤、一 十一分斤之五，不足四十九，于右行。令之黄金 二斤，白银一斤、一十一分斤之七，多一十五于 左行。以分母各乘其行内之数，以盈不足维乘所 出率，并以为实。并盈不足为法。实如法，得黄 金重。分母乘法以除，得银重。约之得分也。）
..........
18
九章算术（古题１４）
• 今有甲乙二人持钱不知其数。甲得乙半而 钱五十，乙得甲太半而亦钱五十。问甲、 乙持钱各几何？
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1
古题1
• “雉（zhi)兔同笼” ：“今有雉兔同笼，上 有三十五关，下有九十四足，问雉兔各几 何？”
• 问题: “上有三十五头”指的意思是什么？ “下有九十四足”呢？
• 答：“上有三十五头”指的鸡和兔共有三 十五个头，“下有九十四足”指的是鸡和 兔共有九十四只脚。
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9
九章算术（古题５）
今有二马、一牛价过一万，如半马之价。一 马、二牛价不满一万，如半牛之价。问牛、 马价各几何？
•
荅（同“答”）曰：马价五千四百五十四钱、 一十一分钱之六，牛价一千八百一十八钱、 一十一分钱之二。术曰：如方程，损益之。
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九章算术（古题６）
• 今有上禾三秉(bing)，中禾二秉，下禾一秉，实三 十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三 十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二 十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？
• 题目大意是：5头牛、2只羊共价值1０
两“金”、2头牛、5只羊共价值８两
“金”、每头牛、每只羊共价值多少
“金”？
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8
古题今解
• 解：设一只牛x两，一只羊 y两．
•
5x + 2y =1０
•
2x + 5y =８
• 解之得 x=
•
y=
• 答：一只牛 两，一只羊 两．
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正，兔子提起前面的两只脚，请问现在共
有几只脚？”……
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3
古题2
以绳测井，若将绳三折测之，绳多五 尺，若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、 井深各几何？
意思是:
用绳子测量水井的深度，如果将绳子折成三
等分，一份绳子长比井深多5尺；如果将绳折
成四等份，一份绳子比井深多1尺，绳子、井
深各是多少尺？
• • （荅曰：羊价一百七十七，犬价一百二十一，鸡
价二十三，兔价二十九。术曰：如方程，以正负 术入之。）
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九章算术（古题９）
• 今有共买物，人出八，盈三；人出七，不 足四。问人数、物价各几何？
•
•
（荅曰：七人，物价五十三。）
Hale Waihona Puke ..........14
九章算术（古题１０）
• 今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六， 不足十六。问人数、鸡价各几何？
16
九章算术（古题１２）
• 今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五 百。今并买一顷，价钱一万。问善、恶田 各几何？
• （荅曰：善田一十二亩半，恶田八十七亩 半。术曰：假令善田二十亩，恶田八十亩， 多一千七百一十四钱、七分钱之二。令之 善田一十亩，恶田九十亩，不足五百七十 一钱、七分钱之三。）
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4
古题今解
• 解：设绳子长x尺，井深y尺，则
•
xy5
3
x y 1 4
• 解之得 x= 48
•
y=11
• 答：绳子长为48尺，井深11尺。
..........
5
古题3
古代有一个马快，一天晚上他在野外
的一个茅屋里，听到外边来了一群人， 在分脏，在吵闹，他隐隐约约地听到几 个声音，下面有这一古诗为证：
•
•
• （荅曰：令一人食一百二十二分鸡之四十五，吏一人食一 百二十二分鸡之四十一，从者一人食一百二十二分鸡之九
十七。术曰：如方程，以正负术入之。）
..........
12
九章算术（古题８）
• 今有五羊、四犬、三鸡、二兔，直钱一千四百九 十六；四羊、二犬、六鸡、三兔直钱一千一百七 十五；三羊、一犬、七鸡、五兔，直钱九百五十 八；二羊、三犬、五鸡、一兔，直钱八百六十一。 问羊、犬、鸡、兔价各几何？
古题赏析
我们伟大祖国具有五千年的文明史， 在历史的长河中，为科学知识的创新和发展 作出了巨大的贡献，特别在数学领域有[九章 算术]、[孙子算经]等古代名著流传于世，普 及趋于民众，许多问题浅显易懂，趣味性强， 如[九章算术]下卷第三题目“雉兔同笼”等， 漂洋过海传到了日本等国，对中国古代文明 史的传播起了很大作用。