2015年高考模拟试卷(3)

2015年高考模拟试卷(3)第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．1．已知集合{}2|20M x x x =-≥,{}|1N x x =≤，则R C M N （）= . 2．如果1a bi -+与-b i +互为共轭复数（,a b ∈R ，i 为虚数单位），则||a bi += ．3．如右图，该程序运行后输出的结果为 .4．在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点，1AC =．若sin B ＝13，则AM ＝________.5．某单位有,,A B C 三部门，其人数比例为3∶4∶5，现欲用分层抽样方法抽调n 名志愿者支援西部大开发 ．若在A 部门恰好选出了6名志愿者，那么n ＝________． 6．函数()2sin()(0,f x x ωϕω=+>且||)2πϕ<的部分图像如图所示,则(0)f 的值为 .7．连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是a ，b ，则函数2()f x ax bx =-在1x =处取得最 值的概率是 .8．在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，已知12128,2,1,2a a b b =-=-==，那么满足n n a b =的n 的所有取值构成的集合是 .9．已知如图所示的多面体EF ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，四边形BDEF 是 矩形，ED ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝3π.若BF ＝BD ＝2，则多面体的体积 ． 10．如果关于x 的方程23ax x +=有两个实数解，那么实数a 的值是 ． 11．设()()2,0,1,0.x a x f x x a x x⎧-⎪=⎨++>⎪⎩… 若()0f 是()f x 的最小值，则实数a 的取值范围为 . 12．已知椭圆2221(3x y a a +=>的中心、右焦点、右顶点依次为,,,O F G直线2x =x 轴交于H 点，则FG OH取得最大值时a 的值为 .13．在四边形ABCD 中，2AB =，AD BC =，BA BC BABC+3BD BD，则四边形ABCD 的面积是 ．14．()f x 是定义在R 上的奇函数，若当0x ≥时，[)[)12log (1),0,1()13,1,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩ ，则关于x 的函数()()(10)F x f x a a =+-<<的所有零点之和为 （用a 表示）FEDCBA二、解答题：本大题共6小题，共90分.15．（本小题满分14分）如图，在xoy 平面上，点(1,0)A ，点B 在单位圆上，AOB θ∠=（0θπ<<）（1）若点34(,)55B -，求tan()4πθ+的值；（2）若OA OB OC +=，1813OB OC ⋅=，求cos()3πθ-.16．（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中,PAC ⊥平面平面ABCD ,ABC ∆是边长为4的正三角形,AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点,又120ADC ∠=,点N 在线段PB 上,且13PN NB =. (1)求证：PA BD ⊥； (2)求证：//MN 平面PDC .CBP17.（本小题满分14分）2014年8月以“分享青春，共筑未来”为口号的青奥会在江苏南京举行，为此某商店经销一种青奥会纪念徽章，每枚徽章的成本为30元，并且每卖出一枚徽章需向相关部门上缴a 元（a 为常数，25a ≤≤），设每枚徽章的售价为x 元（3541x ≤≤）.根据市场调查，日销售量与x e （e 为自然对数的底数）成反比例.已知当每枚徽章的售价为40元时，日销售量为10枚. （1）求该商店的日利润()L x 与每枚徽章的售价x 的函数关系式；（2）当每枚徽章的售价为多少元时，该商店的日利润()L x 最大？并求出()L x 的最大值.18．(本小题满分16分) 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点)． （1）若A 是椭圆E 的上顶点，12,F F 分别是左右焦点，直线12,AF AF 分别交椭圆于,B C ，直线BO 交AC 于D ，求证:3:5ABD ABC S S ∆∆=；（2）若12,A A 分别是椭圆E 的左右顶点，动点M 满足212MA A A ⊥，且1MA 交椭圆E 于点P ．求证：OP OM ⋅为定值.19.（本小题满分16分）已知函数21()ln 2f x ax x =+，()g x bx =-，设()()()h x f x g x =-.（1）若()f x 在x =处取得极值，且(1)(1)2f g '=--，求函数h (x )的单调区间； （2）若0a =时函数h (x )有两个不同的零点x 1,x 2.①求b 的取值范围；②求证：1221x x e >.20.（本小题满分16分）若数列{}n C 1n c +，②存在常数(M M 与n 无关），使n c M ≤.则称数列{}n c 是“和谐数列”.（1）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且442,30a S ==，求证：数列{}n S 是“和谐数列”；（2）设{}n a 是各项为正数，公比为q 的等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，求证：数列{}n S 是“和谐数列”的充要条件为01q <<.第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ．若AB = 2 BC ， 求证：A C ∠=∠．B ．（选修４－２：矩阵与变换）已知矩阵21a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中,a b 均为实数，若点(3,1)A -在矩阵M 的变换作用下得到点(3,5)B ，求矩阵M 的特征值.C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线1325: 45x t C y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）和曲线22:sin 2cos C ρθθ=相交于A B、两点，求AB 中点的直角坐标．D ．（选修４－５：不等式选讲）已知实数a ，b ，c ，d 满足3a b c d +++=，22222365a b c d +++=，求a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22．（本小题满分10分）甲、乙、丙三位同学商量高考后外出旅游，甲提议去古都西安，乙提议去海上花园厦门，丙表示随意．最终，三人商定以抛硬币的方式决定结果．规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上，则甲得一分、乙得零分；若反面朝上，则乙得一分、甲得零分，先得4分者获胜．三人均执行胜者的提议．若记所需抛掷硬币的次数为X ． （1）求6X =的概率；（2）求X 的分布列和数学期望．23．（本小题满分10分）在数学上，常用符号来表示算式，如记0ni i a =∑=0123n a a a a a +++++，其中i N ∈，n N +∈. （1）若0a ，1a ，2a ，…，n a 成等差数列，且00a =，求证：()0n ii n i a C ==∑12n n a -⋅；（2）若22201221(1)nknn k x a a x a x a x =+=+++∑，20n n i i b a ==∑，记11[(1)]ni in i n i d b C ==+-∑，且不等式(1)n n t d b ⋅-≤恒成立，求实数t 的取值范围.2015年高考模拟试卷(3)参考答案第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1．(]0,1； 2； 3．1027； 由流程图，b 和a 的值依次为1,1;3,2;10,3;1027,4，结束循环. 45．24；6．7112； 8．{}3,5 ；【解析】 由已知得，1614,2n n n a n b -=-=，令n n a b =，可得16142n n --=，解得3n =或5，所以满足n n a b =的n 的所有取值构成的集合是{}3,5.9【解析】如图，连接AC ，AC ∩BD ＝O .因为四边形ABCD 是菱形，所以，AC ⊥BD ，又因为ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以，ED ⊥AC .因为，ED ，BD ⊂平面BDEF ，且ED ∩BD ＝D ，所以，AC ⊥平面BDEF ，所以，AO 为四棱锥A -BDEF 的高．又因为，四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝3π，所以，△ABD 为等边三角形．又因为，BF ＝BD ＝2，所以，AD ＝2，AO＝S 四边形BDEF ＝4，所以，V 四棱锥A -BDEF10．4 ； 11．[]0,2； 12．2；13．【解析】 设BA a BA=，BC b BC=，BD c BD=，则|a |=|b |=|c |=1，a +b ，所以，得cos<a ,b >=12,又由AD BC =，所以，可得图形为有一个3π角的菱形，所以，其面积22S =⨯=. 14．112a⎛⎫- ⎪⎝⎭；【解析】 根据对称性，作出R 上的函数图象，由()()F x f x a =+，所以，零点就是()f x 与()0,1y a =-∈交点的横坐标，共有5个交点，根据对称性，函数()f x 的图象与()0,1y a =-∈的交点在()2,4之间的交点关于3x =对称，所以，126x x +=，在()()5,43,2----之间的两个交点关于3x =-对称，所以，346x x +=-，设(]1,0x ∈-，则[)0,1x -∈，所以，12()log (1)()f x x f x -=-+=-，即12()log (1)f x x =--+，由()0f x a +=，所以，12log (1)0x a --++=，即5112a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以，12345112ax x x x x ⎛⎫++++=- ⎪⎝⎭.二、解答题15. （1）由于34(,)55B -，AOB θ∠=，所以3cos 5θ=-，4sin 5θ= ，所以4tan 3θ=-， 所以1tan 1tan()41tan 7πθθθ++==-- ；（2）由于(1,0)OA =,(cos ,sin )OB θθ=,OFEDCBA所以(1cos ,sin )OC OA OB θθ=+=+,22218cos (1cos )sin cos cos sin 13OC OB θθθθθθ⋅=⨯++=++=. 所以5cos 13θ=，所以12sin 13θ=，所以cos()coscos sinsin 333πππθθθ-=+=16．（1）因为ABC ∆是正三角形,M 是AC 中点, 所以BM AC ⊥,即BD AC ⊥, 又PAC ABCD ⊥平面平面,,PACABCD AC =平面平面BD ⊂平面ABCD ,,BD AC ⊥所以BD ⊥平面PAC . 又PA ⊂平面PAC ,所以.PA BD ⊥. (2)在正三角形ABC 中,BM =在ACD 中，因为M 为AC 中点, DM AC ⊥，所以AD CD =, 因为120ADC ∠=,所以60ADM ∠=.所以, DM =,所以:3:1BM MD =,所以::BN NP BM MD =,所以//MN PD . 又MN ⊄平面PDC ,PD ⊂平面PDC ,所 以//MN 平面PDC . 17. （1）设日销售量为x k e ，则4010k e=， 所以4010k e =，则日销售量为4010x e e 枚.每枚徽章的售价为x 元时，每枚徽章的利润为(30)x a --元，则日利润40401030()(30)10(3541)x xe x aL x x a e x e e --=--=≤≤.（2）4031()10(3541)xa xL x e x e +-'=≤≤. ①当24a ≤≤时，333135a ≤+≤，而3541x ≤≤， 所以()0,()L x L x '≤在[]35,41上单调递减，则当35x =时，()L x 取得最大值为510(5)a e -. ②当45a <≤时，353136a <+≤，令()0L x '=，得31x a =+， 当[]35,31x a ∈+时，()0,()L x L x '>在[]35,31a +上单调递增； 当(]31,41x a ∈+时，()0,()L x L x '<在(]31,41a +上单调递减.CBP所以当31x a =+时，()L x 取得最大值为910a e -.综上，当24a ≤≤时，每枚徽章的售价为35元时，该商店的日利润()L x 最大,5max ()10(5)L x a e =-; 当45a <≤时，每枚徽章的售价为（31a +）元时，该商店的日利润()L x 最大，9max ()10a L x e -= . 18. （1）易得22211,ab c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩且222c a b =-，解得224 2 a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，所以,椭圆E 的方程为22142x y +=；所以，12(A F F ，所以，直线:AB y x =:AC y x =- 将y x =230x +=，所以(B，同理可得C ， 所以直线BO 为14y x =，联立12y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，得交点D ，所以，88,53AD AC ==，即:3:5AD AC =所以，:3:5ABDABCSS=；（2）设0(2 )M y ，，11( )P x y ，， 易得直线1MA 的方程为0042y yy x =+， 代入椭圆22142x y +=,得()2222000140822y y y x x +++-=， 由()201204828y x y --=+得，()20120288y x y --=+，从而012088y y y =+， 所以()()2220000022220000284888 (2 )48888y y y y OP OM y y y y y ----⎛⎫⋅=⋅=+= ⎪++++⎝⎭，，.19. (1)因为1()f x ax x'=+，所以(1)1f a '=+, 由(1)(1)2f g '=--可得a =b-3. 又因为()f x在x =处取得极值，所以0f '=， 所以a = -2,b =1 . 所以2()ln h x x x x =-++，其定义域为（0，+∞）2121(21)(1)()21=x x x x h x x x x x-++-+-'=-++=令()0h x '=得121,12x x =-=，当x ∈（0,1）时，()>0h x '，当x ∈（1,+∞）()<0h x '，所以函数h (x )在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+∞）上单调减. （2）当0a =时，()ln h x x bx =+，其定义域为（0，+∞）. ①由()0h x =得ln -x b x =，记ln ()x x x ϕ=-，则2ln 1()x x xϕ-'=, 所以ln ()xx xϕ=-在(0,)e 单调减，在(,)e +∞单调增， 所以当x e =时ln ()x x x ϕ=-取得最小值1e-. 又(1)0ϕ=，所以(0,1)x ∈时()0x ϕ>，而(1,)x ∈+∞时()0x ϕ<,所以b 的取值范围是（1e -，0）.②由题意得1122ln 0,ln 0x bx x bx +=+=,所以12122121ln ()0,ln ln ()0x x b x x x x b x x ++=-+-=, 所以12122121ln ln ln x x x x x x x x +=--，不妨设x 1<x 2,要证212x x e > , 只需要证12122121ln (ln ln )2x x x x x x x x +=->-. 即证2121212()ln ln x x x x x x -->+，设21(1)xt t x =>,则2(1)4()ln ln 211t F t t t t t -=-=+-++, 所以22214(1)()0(1)(1)t F t t t t t -'=-=>++, 所以函数()F t 在（1，+∞）上单调增，而(1)0F =， 所以()0F t >即2(1)ln 1t t t ->+,所以212x x e > .20. （1）设公比为q ，则3411414161(1)21a a q a a q q s q ⎧==⎧⎪⎪⇒⎨⎨-==⎪⎪⎩-⎩, 所以51322n n s -=-.(32=532(22n n --+4223222n -≤+214411)322n n S +--=-=.且513232.2n n S -=-<即存在常数32,所以，数列{}n S 是“和谐数列” . （2）充分性设等比数列{}n a 的公比q ，且0 1.q << 则1111(1)1111n n n a q a a q aS q q q q-==-<----. 令11a M q=-，则.n S M < 因为222222112()(1)(1)()(1)11n n n n n n n a aS S q q q q q q q ++++=--=--+--21222122111()(12)()(1)11n n n n a aq q q S q q++++<-+=-=-- 所以{}n S 是“和谐数列” 必要性等比数列{}n a 各项为正，且n S 是“和谐数列”. 因为0.n a > 所以，0.q > 下面用反证法证明，1q <（1）当1,q =则1,n S na =因为10,a >所以，不存在M ，使1na M <对1n N -∈恒成立; 当1q >，则111(1)111n n n a q a aS q q q q -==---- 所以，对于给定的正数M ，若11,11n a aq M q q ->--C因为，1q >，所以，11log (1).q q n M a ->+ 即当11log (1)q q n M a ->+时，有n S M >. 所以，不存在常数M ，使.n S M ≤ 所以，0 1.q <<综上,数列{}n S 是“和谐数列”的充要条件为其公比为01q <<.第Ⅱ卷（附加题，共40分）21. A. 连结OD ，BD ，因为AB 是圆O 的直径，所以902ADB AB OB ∠==o ，． 由AB = 2 BC ， 所以，AB OC =，因为DC 是圆O 的切线，所以90CDO ∠=o ． 于是△ADB ≅△CDO ， 所以，AD DC =所以，A C ∠=∠.B ．由条件可知233115a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以233,315a b ⨯-=⎧⎨-=⎩， 则3,2a b ==． 矩阵的特征多项式为223()(2)(1)(2)(3)3421f λλλλλλλ--==-----=---- 令()0f λ=,得两个特征值分别为121,4λλ=-=． C. 将1C 化为直角坐标方程为4380x y --= 将2C 化为直角坐标方程为22y x =将直线方程代入22y x =可得22380y y --=解之可得1232y y +=，124y y =-，所以，2212124128y y x x ++== 所以，中点坐标为341,416⎛⎫⎪⎝⎭D. 由柯西不等式，得()2222111(236)()b c d b c d ++++++≥，即()2222236b c d b c d ++++≥． 由条件，得()2253a a --≥，解得12a ≤≤==时等号成立，代入111,,36b c d ===时，max 2a =；211,,33b c d ===时，min 1a =，所以a 的取值范围是[1,2]． 22. （1）抛掷硬币正面向上、反面向上的概率都为12，()323511156222216P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）X 的分布列为:所以，1155934567.84161616EX =⨯+⨯+⨯+⨯=23. （1）设等差数列的通项公式为0n a a nd =+，其中d 为公差则()0nii n i a C ==∑12012n n n n n a a C a C a C ++++01120()(2)n nn n n n n n a C C C d C C nC =++++++因为11k k n n kC nC --=所以122n n n n C C nC ++011111()n n n n n C C C ----=+++所以()0nii n i a C ==∑1022n n a nd -⋅+⋅=12n n a -⋅.注：第（1）问也可以用倒序相加法证明. （2）令1x =，则223202(14)22222421n nnn i i a =-=++++==⋅--∑令1x =-，则20[(1)]0ni i i a =-=∑，所以20nn i i b a ==∑1(242)412n n =⋅-=-根据已知条件可知，012233(41)(41)(41)(1)(41)n n nn nn n n n d C C C C C =--+---++--01223301234[(4)(4)(4)(4)][(1)]1n n n nn n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C =+-+-+-++---+-+++-+(14)(11)1(3)n n n=---+=-+，所以(3)1n n d =-+将41n n b =-、(3)1n n d =-+代入不等式(1)n n t d b ⋅-≤得，(3)41n n t ⋅-≤-当n为偶数时，41()()33n nt≤-，所以22415()()333t≤-=；当n为奇数，41[()()]33n nt≥--，所以1141[()()]133t≥--=-；综上所述，所以实数t的取值范围是5 [1,]3 -.。