中考数学二模试卷(含解析)281

2016年江苏省扬州市仪征市中考数学二模试卷一、选项题（每题2分）1．2﹣2的值是（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．2．下列电视台的台标，是中心对称图形的是（）A． B．C．D．3．如图，l1∥l2∥l3，BC=1， =3，则AB长为（）A．4 B．2 C．D．4．一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（）A．至少有1个球是黑球B．至少有1个球是白球C．至少有2个球是黑球D．至少有2个球是白球5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是（）A．sinA=B．tanA=C．cosB=D．tanB=6．如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点．作△ABC的外接圆⊙O，则的长等于（）A．πB．πC．πD．π2x2＜4时，则有（）11221A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1=y2 D．y1与y2大小无法确定8．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF．若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（）A．2 B．4 C．6 D．8二、选择题（每题3分）9．埃是表示极小长度的单位名称，是为纪念瑞典物理学家埃基特朗而定的．1埃等于一亿分之一厘米，请用科学记数法表示1埃等于______厘米．10．使有意义的x的取值范围是______．11．分解因式：（a﹣b）2﹣4b2=______．12．一副三角板叠放如图，则△AOB与△DOC的面积之比为______．定”）14．已知Rt△ABC，∠C=90°，AB=13，AC=12，以AC所在直线为轴，将此三角形旋转1周，所得圆锥的侧面积是______．15．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于D，若AC：BC=4：3，AB=10cm，则OD的长为______cm．16．点M是反比例函数y=的图象上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N，若△MON的面积S△MON=2，则k的值为______．17．已知直角坐标内，半径为2的圆心坐标为（3，﹣4），当该圆向上平移m个单位长度时，若要此圆与x轴没有交点，则m的取值范围是______．18．已知：在等边△ABC中，AB=2，D、E分别是AB，BC的中点（如图），若将△BDE绕点B逆时针旋转，得到△BD1E1．设旋转的角为α（0°＜α＜180°），记射线CE1与AD1的交点为P，点P到BC所在直线的距离的最大值为______．三、解答题19．（1）计算：4cos45°+tan60°﹣﹣（﹣1）0．（2）先化简，再求值：÷+，其中x=﹣3．21．（1）解方程：2x2﹣4x﹣1=0．（2）解方程组：．23．某教研机构为了了解在校初中生阅读数学教科书的现状，随机抽取某校部分初中学生进，并补全统计图；（2）若该校共有初中生2300名，请估计该校“不重视阅读数学教科书”的初中人数为______；（3）根据上面的统计结果，谈谈你对该校初中生阅读数学教科书的现状的看法及建议；如果要了解全省初中生阅读数学教科书的情况，你认为应该如何进行抽样？24．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BDC．（1）求证：△ABD∽△DCB；（2）若AB=12，AD=8，CD=15，求DB的长．25．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种情况是等可能的，当三辆汽车经过这个十字路口时，（1）利用画树状图的方法，求三辆车全部同向而行的概率；（2）求至少有两辆车向左转的概率；（3）由于十字路口右拐弯处是通往我市新建经济开发区的，因此交管部门的汽车行驶高峰时段对车流量做了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为，向左转和直行的频率均为，目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间分别为30秒，在绿灯亮总时间不变的条件下，为了缓解交通拥挤，请你用统计的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整．26．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的三个顶点的坐标分别是（﹣4，3），B（﹣6，0），O是原点，点M是OB边上异于O，B的一动点，过点M作MN∥AB，点P是AB边上的任意点，连接AM，PM，PN，BN．设点M（x，0）．（1）求出OA所在直线的解析式，并求出点M的坐标为（﹣1，0）时，点N的坐标；（2）若=时，求此时点N的坐标．27．如图，“和谐号”高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，小桌板的支架底端与桌面顶端的距离OA=75厘米．展开小桌板使桌面保持水平，此时CB⊥AO，∠AOB=∠ACB=37°，且支架长OB与桌面宽BC的长度之和等于OA的长度．求小桌板桌面的宽度BC．（参考数据sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）28．已知：A、B、C三点不在同一直线上．（1）若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，i）如图①，当∠A=45°，R=1时，求∠BOC的度数和BC的长；ii）如图②，当∠A为锐角时，求证：sinA=；（2）若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN（B、C均与A不重合）滑动，如图③，当∠MAN=60°，BC=2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为P，试探索在整个滑动过程中，P、A两点间的距离是否保持不变？请说明理由．29．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y=x2+bx+c经过点A（2，﹣3），且与x轴的一个交点为B（3，0）．（1）求抛物线C1的表达式；（2）D是抛物线C1与x轴的另一个交点，点E的坐标为（m，0），其中m＞0，△ADE的面积为．①求m的值；②将抛物线C1向上平移n个单位，得到抛物线C2．若当0≤x≤m时，抛物线C2与x轴只有一个公共点，结合函数的图象，求n的取值范围．30．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M为AB的中点．D是射线BC上一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED，N为ED的中点，连接AN，MN．（1）如图1，当BD=2时，AN=______，NM与AB的位置关系是______；（2）当4＜BD＜8时，①依题意补全图2；②判断（1）中NM与AB的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；（3）连接ME，在点D运动的过程中，当BD的长为何值时，ME的长最小？最小值是多少？请直接写出结果．2016年江苏省扬州市仪征市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选项题（每题2分）1．2﹣2的值是（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．【考点】负整数指数幂．【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案．【解答】解：2﹣2==，故选：D．2．下列电视台的台标，是中心对称图形的是（）A． B．C．D．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故A选项错误；B、不是中心对称图形，故B选项错误；C、不是中心对称图形，故C选项错误；D、是中心对称图形，故D选项正确．故选D．3．如图，l1∥l2∥l3，BC=1， =3，则AB长为（）A．4 B．2 C．D．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴=3，∴AC=3，∴AB=2，故选B．4．一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（）A．至少有1个球是黑球B．至少有1个球是白球C．至少有2个球是黑球D．至少有2个球是白球【考点】随机事件．【分析】由于只有2个白球，则从中任意摸出3个球中至少有1个球是黑球，于是根据必然事件的定义可判断A选项正确．【解答】解：一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，至少有1个球是黑球是必然事件；至少有1个球是白球、至少有2个球是黑球和至少有2个球是白球都是随机事件．故选A．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是（）A．sinA=B．tanA=C．cosB=D．tanB=【考点】特殊角的三角函数值；锐角三角函数的定义．【分析】根据三角函数的定义求解．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2．∴AC===，∴sinA==，tanA===，cosB==，tanB==．故选D．6．如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点．作△ABC的外接圆⊙O，则的长等于（）A．πB．πC．πD．π【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理；弧长的计算．【分析】由AB、BC、AC长可推导出△ACB为等腰直角三角形，连接OC，得出∠BOC=90°，计算出OB的长就能利用弧长公式求出的长了．【解答】解：∵每个小方格都是边长为1的正方形，∴AB= AC= BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴△ACB为等腰直角三角形，∴∠A=∠B=45°，∴连接OC，则∠COB=90°，∵OB=∴的长为： =故选：A．2x2＜4时，则有（）11221A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1=y2 D．y1与y2大小无法确定【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】由二次函数图象的对称性知，图表可以体现出二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和开口方向，然后由二次函数的单调性解答．【解答】解：根据图表知，∵当x=1和x=3时，所对应的y值都是2，∴抛物线的对称轴是直线x=2，又∵当x＞2时，y随x的增大而减小；当x＜2时，y随x的增大而增大，∴该二次函数的图象的开口方向是向下；∵当1＜x1＜2时，2＜y1＜3，当3＜x2＜4时，1＜y2＜2，∴y1＞y2，故答案是：y1＞y2．8．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF．若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】平行线分线段成比例；菱形的判定与性质；作图—基本作图．【分析】根据已知得出MN是线段AD的垂直平分线，推出AE=DE，AF=DF，求出DE∥AC，DF ∥AE，得出四边形AEDF是菱形，根据菱形的性质得出AE=DE=DF=AF，根据平行线分线段成比例定理得出=，代入求出即可．【解答】解：∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，∴AE=DE，AF=DF，∴∠EAD=∠EDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EDA=∠CAD，∴DE∥AC，同理DF∥AE，∴四边形AEDF是菱形，∴AE=DE=DF=AF，∵AF=4，∴AE=DE=DF=AF=4，∵DE∥AC，∴=，∵BD=6，AE=4，CD=3，∴=，∴BE=8，故选D．二、选择题（每题3分）9．埃是表示极小长度的单位名称，是为纪念瑞典物理学家埃基特朗而定的．1埃等于一亿分之一厘米，请用科学记数法表示1埃等于1×10﹣8厘米．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：1埃=厘米，用科学记数法表示为：1×10﹣8，故答案为：1×10﹣8．10．使有意义的x的取值范围是x≤1 ．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，即可得出x的范围．【解答】解：∵有意义，∴1﹣x≥0，解得：x≤1．故答案为：x≤1．11．分解因式：（a﹣b）2﹣4b2= （a+b）（a﹣3b）．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．【解答】解：（a﹣b）2﹣4b2=（a﹣b+2b）（a﹣b﹣2b）=（a+b）（a﹣3b）．故答案为：（a+b）（a﹣3b）．12．一副三角板叠放如图，则△AOB与△DOC的面积之比为．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】，设BC=a，求出AB、CD，由△AOB∽△COD，得=（）2即可解决问题．【解答】解：设BC=a，在Rt△ABC中，AB=BC=a，在Rt△BCD中，∵DC=BC，∴CD=a，∵∠ABC+∠BCD=180°，∴AB∥CD，∴△AOB∽△COD，∴=（）2=（）2=，故答案为．请你估计这两台机床的性能乙比较稳定定”）【考点】方差．【分析】根据平均数的计算公式先算出平均数，再根据方差公式进行计算，再比较，即可得出答案．【解答】解：甲的平均数是：（0+2+3+0+1）÷5=1.2；乙的平均数是：（1+2+1+0+2）÷5=1.2；S2甲= [（0﹣1.2）2+（2﹣1.2）2+（3﹣1.2）2+（0﹣1.2）2+（1﹣1.2）2]=1.36；S2乙= [（1﹣1.2）2+（2﹣1.2）2+（1﹣1.2）2+（0﹣1.2）2+（2﹣1.2）2]=0.56；∵S2甲=1.36，S2乙=0.56，∴S2甲＞S2乙，∴乙机床出次品的波动较小，故答案为乙．14．已知Rt△ABC，∠C=90°，AB=13，AC=12，以AC所在直线为轴，将此三角形旋转1周，所得圆锥的侧面积是65π．【考点】圆锥的计算；点、线、面、体．【分析】首先确定圆锥的母线长和圆锥的底面半径，利用侧面积计算公式直接求得圆锥的侧面积即可．【解答】解：∵∠C=90°，AB=13，AC=12，∴BC=5，以AC所在直线为轴旋转一周，所得圆锥的底面周长=10π，侧面积=×10π×13=65π，故答案为：65π．15．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于D，若AC：BC=4：3，AB=10cm，则OD的长为 4 cm．【考点】圆周角定理；勾股定理；三角形中位线定理；垂径定理．【分析】根据AB是直径可以得到△ABC是直角三角形，依据勾股定理即可求得AC的长，然后根据垂径定理证得D是BC的中点，则OD是△ABC的中位线，依据三角形的中位线定理即可求解．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵AC：BC=4：3，∴设AC=4x，则BC=3x，（4x）2+（3x）2=102，解得：x=2，则AC=8cm，BC=6cm．∵OD⊥BC于D，∴BD=CD，又∵OA=OB∴OD=AC=×8=4cm．故答案是：4．16．点M是反比例函数y=的图象上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N，若△MON的面积S△MON=2，则k的值为±4 ．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】根据△MON的面积结合反比例函数系数k的几何意义，即可得出关于k的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：∵点M是反比例函数y=的图象上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N，∴S△MON=|k|=2，解得：k=±4．故答案为：±4．17．已知直角坐标内，半径为2的圆心坐标为（3，﹣4），当该圆向上平移m个单位长度时，若要此圆与x轴没有交点，则m的取值范围是m＞6 ．【考点】直线与圆的位置关系；坐标与图形变化-平移．【分析】由平移的特点确定出平移后的圆的圆心的坐标，再由平移后圆心到x轴的距离大于2，即可；【解答】解：∵圆心坐标为（3，﹣4），当该圆向上平移m个单位长度时，∴平移后的圆心的坐标为（3，﹣4+m），∵要此圆与x轴没有交点，∴圆心到x轴的距离大于半径2，即：﹣4+m＞2，∴m＞6，故答案为：m＞6．18．已知：在等边△ABC中，AB=2，D、E分别是AB，BC的中点（如图），若将△BDE绕点B逆时针旋转，得到△BD1E1．设旋转的角为α（0°＜α＜180°），记射线CE1与AD1的交点为P，点P到BC所在直线的距离的最大值为 2 ．【考点】旋转的性质；等边三角形的性质；三角形中位线定理．【分析】由于∠APC=∠D1BE1=60°，则可判断点P、D1、B、E1共圆，于是可判断当BP⊥BC 时，点P到BC所在直线的距离的最大值，此时点E1在AB上，然后利用含30度的直角三角形三边的关系可得点P到BC所在直线的距离的最大值．【解答】解：∵∠APC=∠D1BE1=60°，∴点P、D1、B、E1共圆，∴当BP⊥BC时，点P到BC所在直线的距离的最大值，此时点E1在AB上，在Rt△PBC中，PB=AB=×2=2，∴点P到BC所在直线的距离的最大值为2．故答案为：2三、解答题19．（1）计算：4cos45°+tan60°﹣﹣（﹣1）0．（2）先化简，再求值：÷+，其中x=﹣3．【考点】分式的化简求值；实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】（1）根据特殊角的三角函数值和零指数幂的意义计算；（2）先把分母因式分解和除法运算化为乘法运算，再约分后进行同分母的加法运算，然后把x的值代入计算即可．【解答】解：（1）原式=4×+﹣2﹣1=﹣1；（2）原式=•++=，当x=﹣3时，原式==0．21．（1）解方程：2x2﹣4x﹣1=0．（2）解方程组：．【考点】解二元一次方程组；解一元二次方程-配方法．【分析】（1）方程利用配方法求出解即可；（2）方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：（1）方程整理得：x2﹣2x=，配方得：x2﹣2x+1=，即（x﹣1）2=，开方得：x﹣1=±，解得：x1=1+，x2=1﹣；（2），①﹣②×2得：7y=﹣7，即y=﹣1，把y=﹣1代入②得：x=2，则方程组的解为．23．某教研机构为了了解在校初中生阅读数学教科书的现状，随机抽取某校部分初中学生进）样本容量为150 ，表格的值为0.26 ，并补全统计图；（2）若该校共有初中生2300名，请估计该校“不重视阅读数学教科书”的初中人数为598 ；（3）根据上面的统计结果，谈谈你对该校初中生阅读数学教科书的现状的看法及建议；如果要了解全省初中生阅读数学教科书的情况，你认为应该如何进行抽样？【考点】用样本估计总体；总体、个体、样本、样本容量；统计表；条形统计图．【分析】（1）利用类别为“一般”人数与所占百分比，进而得出样本容量，进而得出a，b，c的值；（2）利用“不重视阅读数学教科书”在样本中所占比例，进而估计全校在这一类别的人数；（3）根据（1）中所求数据进而分析得出答案，再从样本抽出的随机性进而得出答案．【解答】解：（1）由题意可得出：样本容量为：57÷0.38=150（人），∴a=150×0.3=45，b=150﹣57﹣45﹣9=39，c=39÷150=0.26，故答案为150，0.26；如图所示：；（2）若该校共有初中生2300名，该校“不重视阅读数学教科书”的初中人数约为：2300×0.26=598（人）；故答案为598；（3）①根据以上所求可得出：只有30%的学生重视阅读数学教科书，有32%的学生不重视阅读数学教科书或说不清楚，可以看出大部分学生忽略了阅读数学教科书，同学们应重视阅读数学教科书，从而获取更多的数学课外知识和对相关习题、定理的深层次理解与认识．②如果要了解全省初中生阅读数学教科书的情况，应随机抽取不同的学校以及不同的年级进行抽样，进而分析．24．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BDC．（1）求证：△ABD∽△DCB；（2）若AB=12，AD=8，CD=15，求DB的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据平行线的性质，可得∠ADB与∠DBC的关系，根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得答案；（2）根据相似三角形的性质，可得答案．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．∵∠A=∠BDC，∴△ABD∽△DCB；（2）∵△ABD∽△DCB，AB=12，AD=8，CD=15，∴=，即=，解得DB=10，DB的长10．25．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种情况是等可能的，当三辆汽车经过这个十字路口时，（1）利用画树状图的方法，求三辆车全部同向而行的概率；（2）求至少有两辆车向左转的概率；（3）由于十字路口右拐弯处是通往我市新建经济开发区的，因此交管部门的汽车行驶高峰时段对车流量做了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为，向左转和直行的频率均为，目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间分别为30秒，在绿灯亮总时间不变的条件下，为了缓解交通拥挤，请你用统计的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）首先根据题意画出树状图，由树状图即可求得所有等可能的结果与三辆车全部同向而行的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案；（2）由（1）中的树状图即可求得至少有两辆车向左转的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案；（3）由汽车向右转、向左转、直行的概率分别为、、，即可求得答案．【解答】解：（1）分别用A，B，C表示向左转、直行，向右转；根据题意，画出树形图：∵共有27种等可能的结果，三辆车全部同向而行的有3种情况，∴P（三车全部同向而行）=；（2）∵至少有两辆车向左转的有7种情况，∴P（至少两辆车向左转）=；（3）∵汽车向右转、向左转、直行的概率分别为，∴在不改变各方向绿灯亮的总时间的条件下，可调整绿灯亮的时间如下：左转绿灯亮时间为90×=27（秒），直行绿灯亮时间为90×=27（秒），右转绿灯亮的时间为90×=36（秒）．26．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的三个顶点的坐标分别是（﹣4，3），B（﹣6，0），O是原点，点M是OB边上异于O，B的一动点，过点M作MN∥AB，点P是AB边上的任意点，连接AM，PM，PN，BN．设点M（x，0）．（1）求出OA所在直线的解析式，并求出点M的坐标为（﹣1，0）时，点N的坐标；（2）若=时，求此时点N的坐标．【考点】一次函数综合题．【分析】（1）由点A的坐标利用待定系数法即可得出直线OA的解析式，再由B、M的坐标以及MN∥AB即可得出，结合点A的坐标即可得出点N的坐标；（2）由MN∥AB利用平行线间距离处处相等即可得出S△PMN=S△BMN，S△ANB=S△AMB，根据=即可得出==，再结合点A的坐标即可得出点N的纵坐标，将其代入直线ON中即可求出x值，从而得出点N的坐标．【解答】解：（1）设直线OA的解析式为y=kx（k≠0），将点A（﹣4，3）代入y=kx中，得：3=﹣4k，解得：k=﹣，∴OA所在的直线的解析式为y=﹣x．∵B（﹣6，0），M（﹣1，0），∴OB=6，OM=1，又∵MN∥AB，∴，∴点N的横坐标与点A的横坐标之比为，∵A（﹣4，3），∴点N的横坐标为﹣，将x=﹣代入y=﹣x得：y=，∴点N的坐标为（﹣，）．（2）∵MN∥AB，∴S△PMN=S△BMN，S△ANB=S△AMB，∵=，∴==，∴y N=y A=2．令y=﹣x中y=2，则x=﹣，∴当=时，点N的坐标为（﹣，2）．27．如图，“和谐号”高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，小桌板的支架底端与桌面顶端的距离OA=75厘米．展开小桌板使桌面保持水平，此时CB⊥AO，∠AOB=∠ACB=37°，且支架长OB与桌面宽BC的长度之和等于OA的长度．求小桌板桌面的宽度BC．（参考数据sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）【考点】解直角三角形的应用．【分析】延长CB交AO于点D．则CD⊥OA，在Rt△OBD中根据正弦函数求得BD，根据余弦函数求得OD，在Rt△ACD中，根据正切函数求得AD，然后根据AD+OD=OA=75，列出关于x 的方程，解方程即可求得．【解答】解：延长CB交AO于点D．∴CD⊥OA，设BC=x，则OB=75﹣x，在Rt△OBD中，OD=OB•cos∠AOB，BD=OB•sin∠AOB，∴OD=（75﹣x）•cos37°=0.8（75﹣x）=60﹣0.8x，BD=（75﹣x）sin37°=0.6（75﹣x）=45﹣0.6x，在Rt△ACD中，AD=DC•tan∠ACB，∴AD=（x+45﹣0.6x）tan37°=0.75（0.4x+45）=0.3x+33.75，∵AD+OD=OA=75，∴0.3x+33.75+60﹣0.8x=75，解得x=37.5．∴BC=37.5；故小桌板桌面的宽度BC约为37.5cm．28．已知：A、B、C三点不在同一直线上．（1）若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，i）如图①，当∠A=45°，R=1时，求∠BOC的度数和BC的长；ii）如图②，当∠A为锐角时，求证：sinA=；（2）若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN（B、C均与A不重合）滑动，如图③，当∠MAN=60°，BC=2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为P，试探索在整个滑动过程中，P、A两点间的距离是否保持不变？请说明理由．【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理；解直角三角形．【分析】（1）i）根据圆周角定理得出∠BOC=2∠A=90°，再利用勾股定理得出BC的长；ii）作直径CE，则∠E=∠A，CE=2R，利用sinA=sinE=，得出即可；（2）首先证明点A、B、P、C都在⊙K上，再利用sin60°=，得出AP==（定值）．【解答】解：（1）i）∵A、B、C均在⊙O上，∴∠BOC=2∠A=2×45°=90°，∵OB=OC=1，∴BC=，注：也可延长BO或过O点作BC的垂线构造直角三角形求得BC．ii）证法一：如图②，连接EB，作直径CE，则∠E=∠A，CE=2R，∴∠EBC=90°∴sinA=sinE=，证法二：如图③．连接OB 、OC ，作OH ⊥BC 于点H ，则∠A=∠BOC=∠BOH ，BH=BC∴sinA=sin ∠BOH===，（2）如图④，连接AP ，取AP 的中点K ，连接BK 、CK ，在Rt △APC 中，CK=AP=AK=PK ， 同理得：BK=AK=PK ， ∴CK=BK=AK=PK ，∴点A 、B 、P 、C 都在⊙K 上，∴由（1）ii ）可知sin60°=∴AP==（定值），故在整个滑动过程中，P 、A 两点间的距离不变．29．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 1：y=x 2+bx+c 经过点A （2，﹣3），且与x 轴的一个交点为B （3，0）．（1）求抛物线C 1的表达式；（2）D是抛物线C1与x轴的另一个交点，点E的坐标为（m，0），其中m＞0，△ADE的面积为．①求m的值；②将抛物线C1向上平移n个单位，得到抛物线C2．若当0≤x≤m时，抛物线C2与x轴只有一个公共点，结合函数的图象，求n的取值范围．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．【分析】（1）把A点和B点坐标分别代入y=x2+bx+c得关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可；（2）①通过解方程x2﹣2x﹣3=0可得D点坐标，然后根据面积公式得到×3×（m+1）=，再解关于m的方程即可；②利用抛物线的平移变换，可设抛物线C2的解析式为y=（x﹣1）2﹣4+n，讨论：分别求出抛物线C2过点E和原点时对应的n的值，并且画出函数图象，利用函数图象可确定n的范围；当抛物线C2的顶点在x轴上，易得n=4，此时顶点满足条件，然后综合两种情况即可得到n的取值范围．【解答】解：（1）把A（2，﹣3）、B（3，0）代入y=x2+bx+c得，解得，所以抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）①当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则D（﹣1，0），∵△ADE的面积为，∴×3×（m+1）=，∴m=；②∵抛物线C1的解析式为y=（x﹣1）2﹣4，∴抛物线C2的解析式为y=（x﹣1）2﹣4+n，当抛物线C2经过点E（，0）时，（﹣1）2﹣4+n=0，解得n=，当抛物线C2经过点（0，0）时，（0﹣1）2﹣4+n=0，解得n=3，∵当0≤x≤时，抛物线C2与x轴只有一个公共点，∴由图象可得≤n＜3时，满足条件；当抛物线C2的顶点在x轴上，则n=4，此时顶点坐标为（1，4），满足条件，综上所述，n的取值范围为n=4或≤n＜3．30．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M为AB的中点．D是射线BC上一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED，N为ED的中点，连接AN，MN．（1）如图1，当BD=2时，AN= ，NM与AB的位置关系是垂直；（2）当4＜BD＜8时，①依题意补全图2；②判断（1）中NM与AB的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；（3）连接ME，在点D运动的过程中，当BD的长为何值时，ME的长最小？最小值是多少？请直接写出结果．【考点】几何变换综合题．【分析】（1）根据已知条件得到CD=2，根据勾股定理得到AD==2，根据旋转的性质得到△ADE是等腰直角三角形，求得DE=AD=2，根据直角三角形的性质得到AN=DE=，AM=AB=2，推出△ACD∽△AMN，根据相似三角形的性质即可得到结论；（2）①根据题意补全图形即可；②根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=∠B=45°，求得∠CAN+∠NAM=45°根据旋转的性质得到AD=AE，∠DAE=90°，推出△ANM△ADC，由相似三角形的性质得到∠AMN=∠ACD，即可得到结论；（3）连接ME，EB，过M作MG⊥EB于G，过A作AK⊥AB交BD的延长线于K，得到△AKB等腰直角三角形，推出△ADK≌△ABE，根据全等三角形的性质得到∠ABE=∠K=45°，证得△BMG是等腰直角三角形，求出BC=4，AB=4，MB=2，由ME≥MG，于是得到当ME=MG时，ME 的值最小，根据等量代换即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC=4，BD=2，∴CD=2，∴AD==2，∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE=AD=2，∵N为ED的中点，∴AN=DE=，∵M为AB的中点，∴AM=AB=2，∵=， ==，∴，∵∠CAB=∠DAN=45°，∴∠CAD=∠MAN，∴△ACD∽△AMN，∴∠AMN=∠C=90°，∴MN⊥AB，故答案为：，垂直；（2）①补全图形如图2所示，②（1）中NM与AB的位置关系不发生变化，理由：∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAB=∠B=45°，∴∠CAN+∠NAM=45°，∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，∴AD=AE，∠DAE=90°，∵N为ED的中点，∴，AN⊥DE，∴∠CAN+∠DAC=45°，∴∠NAM=∠DAC，在Rt△AND中，DAN=cos45°=，同理=，∴，∵∠DAC=45°﹣∠CAN=∠MAN，∴△ANM∽△ADC，∴∠AMN=∠ACD，∵D在BC的延长线上，∴∠ACD=180°﹣∠ACB=90°，∴∠AMN=90°，∴MN⊥AB；（3）连接ME，EB，过M作MG⊥EB于G，过A作AK⊥AB交BD的延长线于K，则△AKB等腰直角三角形，在△ADK与△ABE中，，∴△ADK≌△ABE，∴∠ABE=∠K=45°，∴△BMG是等腰直角三角形，∵BC=4，∴AB=4，MB=2，∴MG=2，∵∠G=90°，∴ME≥MG，∴当ME=MG时，ME的值最小，∴ME=BE=2，∴DK=BE=2，∵CK=BC=4，∴CD=2，∴BD=6，∴BD的长为6时，ME的长最小，最小值是2．。