【数学】高一数学期末复习练习：不等式复习2

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高一不等式知识点+例题+练习含答案

1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a > b a －b ＝0⇔a ＝ ba －b <0⇔a < b(a ，b ∈R )；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a > b ab ＝1⇔a ＝ ba b <1⇔a < b(a ∈R ，b >0)．2．不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性 a >b ⇔b <a ⇔ 传递性 a >b ，b >c ⇒a >c ⇒ 可加性 a >b ⇔a ＋c >b ＋c ⇔可乘性⎭⎬⎫a >bc >0⇒ac >bc 注意c 的符号⎭⎬⎫a >bc <0⇒ac <bc同向可加性 ⎭⎬⎫a >bc >d ⇒a ＋c >b ＋d ⇒同向同正可乘性⎭⎬⎫a >b >0c >d >0⇒ac >bd ⇒可乘方性a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1)a ，b 同为正数可开方性a >b >0⇒n a >nb (n ∈N ，n ≥2)3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1b .②a <0b >0,0<c <d ⇒a c >bd.④0<a <x b >0，m >0，则①b a b －m a －m (b －m >0)． ②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m (b －m >0)．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)a >b ⇔ac 2>bc 2.( × ) (2)1a >1b ⇔a b ，c >d ⇒ac >bd .( × ) (4)若1a <1b <0，则|a |>|b |.( × )(5)若a 3>b 3且ab <0，则1a >1b.( √ )1．若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ，②a ＋x >b ＋y ，③ax >by ，④x －b >y －a ，⑤a y >bx 这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________．答案 ②④解析令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2，符合题设条件x >y ，a >b .∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5，∴a －x ＝b －y .因此①不恒成立．又∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by .因此③也不恒成立．又∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，∴a y ＝bx.因此⑤不恒成立．由不等式的性质可推出②④恒成立．2．(教材改编)下列四个结论，正确的是________． ①a >b ，c <d ⇒a －c >b －d ； ②a >b >0，c <d <0⇒ac >bd ； ③a >b >0⇒3a >3b ； ④a >b >0⇒1a 2>1b 2.答案 ①③3．若a ，b ∈R ，若a ＋|b |<0，则下列不等式中正确的是____________． ①a －b >0 ②a 3＋b 3>0 ③a 2－b 2<0 ④a ＋b <0 答案 ④解析由a ＋|b |<0知，a <0，且|a |>|b |，当b ≥0时，a ＋b <0成立，当b <0时，a ＋b <0成立，∴a ＋b <0成立．4．已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b1＋b ，则M ，N 的大小关系是________．答案 M >N解析 ∵0<a <1b ，∴1＋a >0,1＋b >0,1－ab >0，∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b 1＋b ＝2－2ab(1＋a )(1＋b )>0.5．(教材改编)若0<a 1且2a <1，∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a ＝－2⎝⎛⎭⎫a －122＋12<12. 即a <2ab <12，又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12，a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝(2b －1)(b －1)，又2b －1>0，b －1<0，∴a 2＋b 2－b <0， ∴a 2＋b 2a (2)c 0，∴b >a ，∴c ≥b >a .(2)方法一易知a ，b ，c 都是正数， b a ＝3ln 44ln 3＝log 8164<1，所以a >b ；b c ＝5ln 44ln 5＝log 6251 024>1，所以b >c .即c e 时，函数f (x )单调递减．因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)，即c <b <a .思维升华比较大小的常用方法 (1)作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．(1)已知x ∈R ，m ＝(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)，n ＝(x ＋12)(x 2＋x ＋1)，则m ，n 的大小关系为________________________________________________________________________． (2)若a ＝1816，b ＝1618，则a 与b 的大小关系为________________________________________________________________________．答案 (1)m >n (2)a <b 解析 (1)m ＝(x ＋1)(x 2＋x2＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x －x2＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)－x2(x ＋1)，n ＝(x ＋12)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1－12)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)－12(x 2＋x ＋1)，∴m －n ＝(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)－(x ＋12)(x 2＋x ＋1)＝12(x 2＋x ＋1)－12x (x ＋1) ＝12>0. 则有x ∈R 时，m >n 恒成立． (2)a b ＝18161618＝(1816)161162 ＝(98)16(12)16＝(982)16， ∵982∈(0,1)，∴(982)16<1， ∵1816>0,1618>0， ∴1816<1618.即a ac ②c (b －a )<0 ③cb 2<ab 2 ④ac (a －c )>0 答案 ①解析由c 0. 由b >c 得ab >ac 一定成立．思维升华解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．若a >0>b >－a ，c <d <0，则下列结论：①ad >bc ；②a d ＋bc<0；③a －c >b －d ；④a (d－c )>b (d －c )中成立的个数是________．答案 3解析方法一 ∵a >0>b ，c <d <0， ∴ad <0，bc >0，∴ad <bc ，故①错误． ∵a >0>b >－a ，∴a >－b >0， ∵c <d <0，∴－c >－d >0， ∴a (－c )>(－b )(－d )，∴ac ＋bd <0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd <0，故②正确． ∵c <d ，∴－c >－d ，∵a >b ，∴a ＋(－c )>b ＋(－d )， a －c >b －d ，故③正确．∵a >b ，d －c >0，∴a (d －c )>b (d －c )，故④正确．方法二取特殊值．题型三不等式性质的应用例3 已知a >b >0，给出下列四个不等式：①a 2>b 2；②2a >2b －1；③a －b >a －b ；④a 3＋b 3>2a 2b . 其中一定成立的不等式为__________．答案 ①②③解析方法一由a >b >0可得a 2>b 2，①成立；由a >b >0可得a >b －1，而函数f (x )＝2x 在R 上是增函数， ∴f (a )>f (b －1)，即2a >2b －1，②成立； ∵a >b >0，∴a >b ， ∴(a －b )2－(a －b )2＝2ab －2b ＝2b (a －b )>0， ∴a －b >a －b ，③成立；若a ＝3，b ＝2，则a 3＋b 3＝35,2a 2b ＝36， a 3＋b 3<2a 2b ，④不成立．方法二令a ＝3，b ＝2，可以得到①a 2>b 2，②2a >2b －1，③a －b >a －b 均成立，而④a 3＋b 3>2a 2b 不成立．思维升华 (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．(1)若a 1b②a 2<ab ③|b ||a |<|b |＋1|a |＋1④a n >b n (2)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >cb ；②ac log a (b －c )．其中所有正确结论的序号是________．答案 (1)③ (2)①②③解析 (1)(特值法)取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知①，②，④均不正确； ③中，|b ||a |<|b |＋1|a |＋1⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |， ∵a b >1知1a <1b ，又c <0，∴c a >cb ，知①正确；构造函数y ＝x c ，∵c <0，∴y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数，又a >b >1，∴a c b >1，c <0，∴a －c >b －c >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，知③正确．7．不等式变形中扩大变量范围致误典例设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________．易错分析解题中多次使用同向不等式的可加性，先求出a ，b 的范围，再求f (－2)＝4a －2b 的范围，导致变量范围扩大．解析方法一设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1) (m 、n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，即5≤f (－2)≤10.方法二由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，得⎩⎨⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)].∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.方法三由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分，当f (－2)＝4a －2b 过点A (32，12)时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10， ∴5≤f (－2)≤10. 答案 [5,10]温馨提醒 (1)此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围．(2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围．[方法与技巧]1．用同向不等式求差的范围．⎩⎨⎧a <x 0，a >b⇒1a <1b ；⎩⎨⎧ab >0，a 1b . 3．比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一．比差法的主要步骤：作差—变形—判断正负．在所给不等式完全是积、商、幂的形式时，可考虑比商． 4．求某些代数式的范围可考虑采用整体代入的方法． [失误与防范]1．a >b ⇒ac >bc 或a b ⇒1a <1b 或a 1b ，当ab ≤0时不成立．3．a >b ⇒a n >b n 对于正数a 、b 才成立． 4.ab>1⇔a >b ，对于正数a 、b 才成立． 5．注意不等式性质中“⇒”与“⇔”的区别，如：a >b ，b >c ⇒a >c ，其中a >c 不能推出⎩⎨⎧a >b ，b >c .6．比商法比较大小时，要注意两式的符号．A 组专项基础训练(时间：40分钟)1．若x >y >z >1，则xyz ，xy ，yz ，zx 从大到小依次排列为______________．答案 xyz >xy >zx >yz解析取特殊值法，由x >y >z >1，可取x ＝4，y ＝3，z ＝2，分别代入得xyz ＝26，xy ＝23，yz ＝6，zx ＝2 2. 故xyz >xy >zx >yz .2．设a >2，A ＝a ＋1＋a ，B ＝a ＋2＋a －2，则A ，B 的大小关系是________________________________________________________________________．答案 A >B解析 A 2＝2a ＋1＋2a 2＋a ，B 2＝2a ＋a 2－4，显然A 2>B 2，即A >B .3．若a 1a②1a >1b ③|a |>|b | ④a 2>b 2答案 ①解析取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b >1a不成立，故①不成立，②③④都成立． 4．设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的____________条件．答案充分不必要解析由(a －b )·a 2<0⇒a ≠0且a <b ，∴充分性成立；由a <b ⇒a －b <0，当0＝a N解析 M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0，∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0.∴M >N .7．设a >b >c >0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小关系是________．(用“>”连接)答案 z >y >x解析方法一 y 2－x 2＝2c (a －b )>0，∴y >x .同理，z >y ，∴z >y >x .方法二令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝18，y ＝20，z ＝26，故z >y >x .8．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b>0； ②若ab >0，c a －d b>0，则bc －ad >0； ③若bc －ad >0，c a －d b>0，则ab >0. 其中正确的命题是________．答案 ①②③解析 ∵ab >0，bc －ad >0，∴c a －d b ＝bc －ad ab>0，∴①正确； ∵ab >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴bc －ad >0，∴②正确；∵bc －ad >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴ab >0，∴③正确．故①②③都正确．9．设x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小．解 (x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )＝(x －y )[(x 2＋y 2)－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y )．∵x <y <0，∴xy >0，x －y <0，∴－2xy (x －y )>0，∴(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )．10．甲乙两人同时从宿舍到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步；如果两人步行、跑步速度均相同，则谁先到教室？解设路程为s ，跑步速度为v 1，步行速度为v 2，t 甲＝s 2v 1＋s 2v 2＝s (v 1＋v 2)2v 1v 2， s ＝t 乙2·v 1＋t 乙2·v 2⇒t 乙＝2s v 1＋v 2， ∴t 甲t 乙＝(v 1＋v 2)24v 1v 2≥(2v 1v 2)24v 1v 2＝1. ∴t 甲≥t 乙，当且仅当v 1＝v 2时“＝”成立．由实际情况知v 1>v 2，∴t 甲>t 乙．∴乙先到教室．B 组专项能力提升(时间：20分钟)11．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是________．①若a >b ，则ac 2>bc 2；②若a c >b c，则a >b ； ③若a 3>b 3且ab <0，则1a >1b； ④若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b. 答案 ③解析当c ＝0时，可知①不正确；当c <0时，可知②不正确；对于③，由a 3>b 3且ab <0知a >0且b <0，所以1a >1b成立，③正确；当a <0且b <0时，可知④不正确．12．若存在实数x ＝x 0，使得不等式ax >a －1不成立，则实数a 的取值范围是__________．答案 (－∞，0)∪(0，＋∞)解析不妨将命题否定，转化为：若对任意的x ，有ax >a －1恒成立，则a (x －1)>－1.当x >1时有a >－1x －1，则a ≥0；当x <1时有a <－1x －1，则a ≤0；当x ＝1时，则a ∈R .因此对任意的x ，a ＝0，再对a 的取值进行否定，可得实数a 的取值范围为a ≠0.13．设[x ]表示不超过x 的最大整数，x ，y 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3[x ]＋13，y ＝4[x －3]＋5，如果x 不是整数，那么x ＋y 的取值范围是__________．答案 (93,94)解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3[x ]＋13，y ＝4[x －3]＋5化为：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3[x ]＋13，y ＝4[x ]－12＋5，解得[x ]＝20，y ＝73.∵x 不是整数，∴20<x <21.∴93<x ＋y <94.14．已知－12<a <0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a ，D ＝11－a，则A ，B ，C ，D 的大小关系是________．(用“>”连接)答案 C >A >B >D解析－12<a <0，不妨取a ＝－14，这时A ＝1716，B ＝1516，C ＝43，D ＝45. 由此猜测：C >A >B >D .C －A ＝11＋a－(1＋a 2) ＝－a (a 2＋a ＋1)1＋a＝－a [(a ＋12)2＋34]1＋a. ∵1＋a >0，－a >0，(a ＋12)2＋34>0，∴C >A . ∵A －B ＝(1＋a 2)－(1－a 2)＝2a 2>0，∴A >B .B －D ＝1－a 2－11－a ＝a (a 2－a －1)1－a＝a [(a －12)2－54]1－a .∵－12<a <0，∴1－a >0. 又∵(a －12)2－54<(－12－12)2－54<0， ∴B >D .综上所述，C >A >B >D .15．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元/人，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1) ＝14x ＋34nx ， y 2＝45nx .所以y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx ＝14x －120nx ＝14x (1－n 5)．当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费同等优惠；当单位去的人数多于5人时，甲车队收费更优惠；当单位去的人数少于5人时，乙车队收费更优惠．。

高一数学期末复习练习：不等式复习2

不等式求最值[定理]如果a,b ∈R ，那么a 2+b 2 ≥2ab （当且仅当a=b 时，取“=” ）[定理]如果a,b 2a b +≤ (当且仅当a=b 时，取“=”) 1. 二元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和“积式”转化为“和式”的放缩功能。

2. 创设应用均值不等式的条件、合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的成因在于使等号能够成立。

3. “和定积最大，积定和最小，”即2个正数的和为定值，则可求其积的最大值2()2a b ab +≤；积为定值，则可求其和的最小值a b +≥ 应用此结论求值要注意三个条件：⑴各项或因式非负；⑵和或积为定值；一正二定三相等⑶等号能不能取到。

必要时要作适当的变形，以满足上述前提。

例1、若x<0，则2 + 3x + 4x 的最大值是（）(A) 2 + 4 3 (B) 2±4 3 (C) 2－4 3 (D) 以上都不对例2、已知x ，y 都是正数，且112=+y x ，求x+y 的最小值。

例3、已知a>b>0，则a 2 +16b (a －b ) 的最小值是_________。

巩固练习1．设a 、b 为实数，且a ＋b ＝3，则b a 22+的最小值为（）A ．6B ．24C ．22D ．82．若x ＞4，则函数x x y －＋＝－41 （）A ．有最大值—6B ．有最小值6C ．有最大值—2D ．有最小值23．已知y =f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )=x +x4,当x ∈［－3,－1］时，记f (x )的最大值为m ，最小值为n ，则m －n 等于（）A.2B.1C.3D.23 4、已知0a b <<，且1a b +=，则下列四个数中最小的是（）A 、22a b +B 、2abC 、aD 、12 5、已知实数x ，y 满足x +y －1=0，则x 2+y 2的最小值为（） A ．21 B ．2 C ．2 D ．22 6．设实数x, y 满足x + y=4, 则22222++-+y x y x 的最小值为（） A ． 2 B ．4 C ．22 D ．87．不等式)310)(31(<<-=x x x y 的最大值是（） A ．2434 B ．121 C ．641 D ．721 8、下列函数中，y 的最小值是4的是（）A 、4y x x =+B 、4sin (0)sin y x x xπ=+<< C 、343x x y -=+ D 、lg 4log 10x y x =+9、已知1,a b P >>=1(lg lg )2Q a b =+、lg 2a b R +=则（） A 、R P Q <b ，a ·b=1则ba b a -+22的最小值是 . 13、若直角三角形周长为2，则它的最大面积为。

高中数学不等式复习2篇

高中数学不等式复习高中数学不等式复习第一篇：基础不等式不等式是数学中比较两个数值大小关系的一种表示方式。

学习不等式对于高中数学来说非常重要，因为它在解决实际问题和证明数学定理中起着重要的作用。

在这篇文章中，我们将回顾一些基础不等式，包括一元一次不等式、一元二次不等式和绝对值不等式。

一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次方程。

与一元一次方程类似，我们通过将不等号两边进行加减乘除等操作来求解不等式。

当我们对不等号两边进行乘除操作时，需要考虑乘除的符号，以保持不等式的方向不变。

例如，当我们对不等式两边都乘以一个负数时，不等号的方向会发生反转。

求解一元一次不等式的方法与求解一元一次方程的方法相似，但需要特别注意不等号的改变。

一元二次不等式是指含有一个未知数的二次方程，它的一般形式可以表示为ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0，其中a、b 和c为实数，a≠0。

解一元二次不等式的方法可以通过图像法和代数法来求解。

通过图像法，我们可以将二次函数的图像绘制出来，然后通过观察图像来确定不等式的解集。

通过代数法，我们可以将二次不等式转化为一元二次方程进行求解。

绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式。

绝对值不等式的解集可以通过解绝对值不等式的两个条件来得到。

对于|a|>b，当a>b或a<-b时，不等式成立。

对于|a|<b，当-a<b<a时，不等式成立。

解绝对值不等式的关键在于确定两个条件，并在数轴上表示出来。

这些基础不等式在高中数学的学习中非常常见，而且在解决实际问题中也起着重要的作用。

掌握这些不等式的求解方法，可以帮助我们更好地理解数学概念，并解决与不等式相关的实际问题。

第二篇：高级不等式在高中数学中，除了基础不等式外，还有一些更加复杂的不等式需要我们学习和掌握。

这些高级不等式包括二元不等式、三角不等式、柯西-施瓦茨不等式和特殊不等式等。

二元不等式是指含有两个未知数的不等式，一般形式可以表示为f(x,y)>0或f(x,y)<0，其中f(x,y)为一个关于x和y的函数。

高一数学期末复习练习不等式复习2.doc

不等式求最值[定理]如果a,b ∈R ，那么a 2+b 2 ≥2ab （当且仅当a=b 时，取“=” ）[定理]如果a,b 2a b+≤ (当且仅当a=b 时，取“=”)1. 二元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和“积式”转化为“和式”的放缩功能。

2. 创设应用均值不等式的条件、合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的成因在于使等号能够成立。

3. “和定积最大，积定和最小，”即2个正数的和为定值，则可求其积的最大值2()2a b ab +≤；积为定值，则可求其和的最小值a b +≥应用此结论求值要注意三个条件： ⑴各项或因式非负；⑵和或积为定值；一正二定三相等 ⑶等号能不能取到。

必要时要作适当的变形，以满足上述前提。

例1、若x<0，则2 + 3x + 4x 的最大值是（） (A) 2 + 4 3 (B) 2±4 3 (C) 2－4 3 (D) 以上都不对例2、已知x ，y 都是正数，且112=+yx ，求x+y 的最小值。

例3、已知a>b>0，则a 2 + 16b (a －b )的最小值是_________。

巩固练习 1．设a 、b为实数，且a ＋b ＝3，则b a 22+的最小值为（）A ．6B ．24C ．22D ．82．若x ＞4，则函数xx y －＋＝－41（）A ．有最大值—6B ．有最小值6C ．有最大值—2D ．有最小值23．已知y =f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )=x +x4,当x ∈［－3,－1］时，记f (x )的最大值为m ，最小值为n ，则m －n 等于（）A.2B.1C.3D.234、已知0a b <<，且1a b +=，则下列四个数中最小的是（）A 、22a b +B 、2abC 、aD 、125、已知实数x ，y满足x +y －1=0，则x 2+y 2的最小值为（）A ．21 B ．2 C ．2 D ．226．设实数x, y 满足x + y=4, 则22222++-+y x y x 的最小值为（）A ．2B ．4C ．22D ．87．不等式)310)(31(<<-=x x x y 的最大值是（）A ．2434B ．121C ．641D ．7218、下列函数中，y 的最小值是4的是（） A 、4y x x =+B 、4sin (0)sin y x x xπ=+<< C 、343x x y -=+ D 、lg 4log 10x y x =+9、已知1,a b P >>=1(lg lg )2Q a b =+、lg 2a bR +=则（） A 、R P Q <b ，a ·b=1则b a b a -+22的最小值是 .13、若直角三角形周长为2，则它的最大面积为。

高一数学不等式部分经典习题及答案

ab ；⑥若a<b<0,贝贝—>—；cdab3.不等式一．不等式的性质：1■同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若a>b，c>d,则a+c>b+d(若a>b,c<d，则a-c>b-d)，但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若a>b>0,c>d>0,则ac>bd(若a>b>0,0<c<d,则a>—)；3•左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若a>b>0，则a n>—或%疮>n b;4.若ab>0,a>b,则1<1；若ab<0,a>b,则1>1。

如abab(1) 对于实数a,b,c中，给岀下列命题：①若a>b,则ac2>bc2；②若ac2>bc2,则a>b；③若a<b<0,贝Ua2>ab>b2；④若a<b<0,贝』<—；⑦若c>a>b>0,贝卩a>b；⑧若a>b丄>,则a>0,b<0oc一ac一bab其中正确的命题是(答：②③⑥⑦⑧);(2) __________________________________________________ 已知-1<x+y<1,1<x一y<3，则3x一y的取值围是(答：1<3x-y<7)；c(3) 已知a>b>c，且a+b+c=0,则_的取值围是二.不等式大小比较的常用方法：1.作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得岀结果2•作商(常用于分数指数幂的代数式)；3•分析法;4. 平方法；答：5. 分子(或分母)有理化；6. 利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法；8．图象法。

高一不等式知识点+例题+练习

科教学设计不等式一．考试内容：不等式.不等式的基本性质.不等式的证明.不等式的解法.含绝对值的不等式.二．考试要求：(1)理解不等式的性质及其证明.(2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用.(3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式. (4)掌握简单不等式的解法.(5)理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │【注意】不等式在数学的各个分支中都有广泛的应用，同时还是继续学习高等数学的基础.纵观历年试题，涉及不等式内容的考题大致可分为以下几类：①不等式的证明； ②解不等式；③取值范围的问题；④应用题.三．基础知识: 1.常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b+≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>（4）柯西不等式22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈（5）b a b a b a +≤+≤-.2.极值定理已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2；（2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s . 推广已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+ （1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大；当||y x -最小时,||y x +最小.（2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小；当||y x -最小时, ||xy 最大.3.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间. 121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<；121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.4.含有绝对值的不等式当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.5.指数不等式与对数不等式(1)当1a >时,()()()()f x g x aa f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x aa f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩四．基本方法和数学思想1.掌握不等式性质，注意使用条件；2.掌握几类不等式（一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式）的解法，尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法，零点分区间法； 3.掌握用均值不等式求最值的方法：在使用a+b ≥ab 2(a>0,b>0)时要符合“一正二定三相等”；注意均值不等式的一些变形，如2222)2(;)2(2b a ab b a b a +≤+≥+；4.不等式的证明方法.在其他知识的应用. 如数列中不等式的证明方法.构造函数证明不等式的思想和方法.五．高考题回顾1.（福建卷）下列结论正确的是 ( B )A ．当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且B ．21,0≥+>xx x 时当C ．xx x 1,2+≥时当的最小值为2 D ．当xx x 1,20-≤<时无最大值 2. （辽宁卷）在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则( C )A ．11<<-aB ．20<<aC ．2321<<-a D ．2123<<-a 3. (全国卷Ⅰ) 设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是（）（A ）)0,(-∞ （B ）),0(+∞（C ）)3log ,(a -∞ （D ）),3(log +∞a4. (重庆卷)不等式组⎩⎨⎧>-<-1)1(log 2|2|22x x 的解集为 ( )(A) (0,3) (B) (3,2)；(C) (3,4)；(D) (2,4)5. （04年辽宁卷.2）对于01a <<，给出下列四个不等① 1log (1)log (1)a a a a+<+ ②1log (1)log (1)a a a a+>+③111aaaa++< ④111aaaa++>其中成立的是（）.A ．①与③B ．①与④C ．②与③D ．②与④6. （04年全国卷一.文理12）2222221,2,2,a b b c c a +=+=+=则ab bc ca ++的最小值为（）.A 12B ．12 C ． 12- D ．127.若x,y 是正数,则2211()()22x y y x+++的最小值为( ) A.3 B.72 C. 4 D. 928. 04年湖南卷.理7）设a ＞0, b ＞0，则以下不等式中不恒成立．．．．的是（）. A. 11()()a b a b++≥4 B. 33a b +≥22abC. 222a b ++≥22a b +D.9.(江西卷）已知实数a 、b 满足等式,)31()21(b a =下列五个关系式： ①0<b <a②a <b <0 ③0<a <b ④b <a <0 ⑤a =b其中不可能成立的关系式有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10.解关于x 的不等式20x ax a -<- 11.已知函数x x x f -+=)1ln()(，x x x g ln )(=.（Ⅰ）求函数)(x f 的最大值；（Ⅱ）设b a <<0，证明2ln )()2(2)()(0a b ba gb g a g -<+-+<.能力测试题(本卷共150分，考试时间120分钟)一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中正确的是( )A ．a ＞b ⇒ac 2＞bc 2B ．a ＞b ⇒a 2＞b 2C ．a ＞b ⇒a 3＞b 3D ．a 2＞b 2⇒a ＞b2．设M ＝2a (a －2)＋3，N ＝(a －1)(a －3)，a ∈R ，则有( ) A ．M ＞N B ．M ≥N C ．M ＜N D ．M ≤N3．当|x |≤1时，函数y ＝ax ＋2a ＋1的值有正也有负，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥－13B ．a ≤－1C ．－1<a <－13D ．－1≤a ≤－134．二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为{x |－1<x <13}，则ab 的值为( )A ．－6B ．6C ．－5D ．55．已知全集U ＝R ，且A ＝{x ||x －1|＞2}，B ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}，则(∁U A )∩B 等于( )A ．[－1,4)B ．(2,3)C ．(2,3]D ．(－1,4)6．函数y ＝3xx 2＋x ＋1(x ＜0)的值域是( )A ．(－1,0)B ．[－3,0)C ．[－3,1]D ．(－∞，0)7．当x ≥0时，不等式(5－a )x 2－6x ＋a ＋5>0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(－4,4)C ．[10，＋∞)D ．(1,10]8．若0＜α＜β＜π4，sin α＋cos α＝a ，sin β＋cos β＝b ，则( )A ．a ＜bB ．a ＞bC ．ab ＜1D ．ab ＞29．(x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)＜0表示的平面区域为( )10．若a >0，b >0，则不等式－b <1x<a 等价于( )A ．－1b <x <0或0<x <1aB ．－1a <x <1bC ．x <－1a 或x >1bD ．x <－1b 或x >1a11．对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－2，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．[－2,2]D ．[0，＋∞)12.函数y ＝f (x )的图象是以原点为圆心、1为半径的两段圆弧，如图所示．则不等式f (x )>f (－x )＋x 的解集为( )A.⎣⎡⎭⎫－1，－255∪(0,1] B ．[－1,0)∪⎝⎛⎭⎫0，255C.⎣⎡⎭⎫－1，－255∪⎝⎛⎭⎫0，255D.⎣⎡⎭⎫－1，－255∪⎝⎛⎦⎤255，1二、填空题(本大题共4小题，把答案填在题中横线上)13．设点P (x ，y )在函数y ＝4－2x 的图象上运动，则9x ＋3y 的最小值为________．14．已知不等式axx －1＜1的解集为{x |x ＜1或x ＞2}，则a ＝________.15．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则u ＝y x －xy 的取值范围是________．16．已知点A (53，5)，过点A 的直线l ：x ＝my ＋n (n >0)，若可行域⎩⎪⎨⎪⎧x ≤my ＋n x －3y ≥0y ≥0的外接圆的直径为20，则实数n 的值是________．三、解答题(本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．已知a >0，b >0，且a ≠b ，比较a 2b ＋b 2a与a ＋b 的大小．18．求z ＝3x －2y 的最大值和最小值，式中的x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧4x －5y ＋21≥0，x －3y ＋7≤0，2x ＋y －7≤0.19．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(0，12]成立，求a 的取值范围．20．某化工厂生产甲、乙两种肥料，生产1车皮甲种肥料能获得利润10000元，需要的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料能获得利润5000元，需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存有磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种肥料．问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？21．整改校园内一块长为15 m ，宽为11 m 的长方形草地(如图A)，将长减少1 m ，宽增加1 m(如图B)．问草地面积是增加了还是减少了？假设长减少x m ，宽增加x m(x >0)，试研究以下问题：x 取什么值时，草地面积减少？ x 取什么值时，草地面积增加？22．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )满足：对任意实数x ，都有f (x )≥x ，且当x ∈(1,3)时，有f (x )≤18(x ＋2)2成立．(1)证明：f (2)＝2；(2)若f (－2)＝0，求f (x )的表达式；(3)设g (x )＝f (x )－m 2x ，x ∈[0，＋∞)，若g (x )图象上的点都位于直线y ＝14的上方，求实数m 的取值范围．。

2022-2023学年高中数学北师大版高一上期末总复习：不等式(附答案解析)

2022-2023学年高中数学北师大版高一上期末总复习：不等式一．选择题（共12小题）1．（2021•重庆模拟）已知0a >，0b >，122a b+=，则2a b +的最小值为( ) A ．9B ．5C ．92D ．522．（2020春•昌吉市期中）若0a >，0b >，23a b +=，则36a b+的最小值为( ) A ．5B ．6C ．8D ．93．（2021秋•驻马店期中）“0x ”是“111x +”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2021•松原模拟）下列函数中，y 的最小值为2的是( ) A ．1y x x=+B ．1y x lnx =--C ．1x y e x =+-D ．1cos (0)cos 2y x x x π=+<< 5．（2021秋•西城区校级月考）不等式22310x x -+>的解集为( ) A ．1(2，1)B ．(-∞，1)(12⋃，)+∞C ．RD ．∅6．（2021秋•张家港市期中）若一元二次不等式220kx x k -+<的解集为{|}x x m ≠，则m k +的值为( ) A ．1-B ．0C ．2-D ．27．（2021•涪城区校级开学）设0m n +>，则关于x 的不等式()()0m x n x -+>的解集是()A ．{|x x n <-或}x m >B ．{|}x n x m -<<C ．{|x x m <-或}x n >D ．{|}x m x n -<<8．（2021•江阴市开学）已知1x >，则221x x +-的最小值是( )A ．2B ．2C ．D ．29．（2021春•威宁县期末）已知0x >，0y >，且2x y +=，则下列结论中正确的是( )A ．22x y+有最小值4 B ．xy 有最小值1C ．22x y +有最大值4D 有最大值410．（2021•浙江模拟）若0x <，则4x x+的最大值为( ) A ．8-B ．6-C ．4-D ．2-11．（2021秋•会宁县校级期中）已知{}21|0|23x ax bx c x x ⎧⎫++>=-<<⎨⎬⎩⎭，则关于x 的不等式20cx ax b +->的解集为( ) A ．5|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．1|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．{|2x x <-或1}3x > D ．{|1x x <-或5}2x >12．（2021春•广东期末）已知正实数x ，y 满足434x y +=，则112132x y +++的最小值为( )A ．38+B ．12+C ．12D ．12二．填空题（共7小题） 13．（2021•河西区二模）函数(5)(2)(1)1x x y x x ++=>-+的最小值为．14．（2021•天津一模）设0a >，0b >，且251ab b +=，则a b +的最小值为． 15．（2020秋•汕头校级期末）当1x >时，求821x x +-的最小值为． 16．（2020秋•门头沟区校级期中）不等式2560x x +->的解集是．17．（2020秋•扬州期末）若存在实数x ，使得不等式20x ax a -+<成立，则实数a 的取值范围为．18．（2021秋•新罗区校级期中）已知不等式20kx x k -+<有解，则实数k 的取值范围为． 19．（2021春•舟山期末）若正数a ，b 满足2a b ab ++=，则3111a b +--的最小值是，此时b = ．2022-2023学年高中数学北师大版高一上期末总复习：不等式参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2021•重庆模拟）已知0a >，0b >，122a b+=，则2a b +的最小值为( ) A ．9 B ．5 C ．92D ．52【答案】C【考点】基本不等式及其应用【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算【分析】由已知利用乘1法，结合基本不等式即可直接求解．【解答】解：1222()(2)149a b a b a b b a++=+++，所以922a b +．故选：C ．【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，乘1法的应用是求解问题的关键，属于基础题．2．（2020春•昌吉市期中）若0a >，0b >，23a b +=，则36a b+的最小值为( ) A ．5B ．6C ．8D ．9【考点】7F ：基本不等式及其应用【专题】11：计算题；35：转化思想；4M ：构造法；5T ：不等式；65：数学运算【分析】把36a b +看成36()1a b+⨯的形式，把“1”换成1(2)3a b +，整理后积为定值，然后用基本不等式求最小值．【解答】解：36136()(2)3a b a b a b+=++ 166(312)3b a a b =+++ 16(15)93b a a b⨯+= 等号成立的条件为66b aa b=，即1a b ==时取等所以36a b+的最小值为9．故选：D ．【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，解决本题的关键是“1”的代换，是基础题3．（2021秋•驻马店期中）“0x ”是“111x +”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件；其他不等式的解法【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；逻辑推理【分析】先求出分式不等式的解集，然后结合充分必要条件与集合的包含关系的转化进行判断．【解答】解：由111x +，得1101x -+，解不等式得0x 或1x <-，所以0x ”是“111x +”的充分不必要条件．故选：A ．【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，充分必要条件的判断，属于基础题． 4．（2021•松原模拟）下列函数中，y 的最小值为2的是( ) A ．1y x x=+B ．1y x lnx =--C ．1x y e x =+-D ．1cos (0)cos 2y x x x π=+<< 【答案】C【考点】基本不等式及其应用【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；逻辑推理【分析】结合基本不等式的应用条件及基本不等式分别检验各选项即可判断．【解答】解：对于A 选项，当0x >时，12y x x=+，当且仅当1x x =，即1x =时，等号成立；当0x <时，11[()()]2y x x x x =+=--+--，当且仅当1x x-=-，即1x =-时，等号成立，故A 错误；对于B 选项，1y x lnx =--，111x y x x-'=-=，当1x >时，0y '>；当01x <<，0y '<，所以当1x >，函数1y x lnx =--单调递增；当01x <<时，()1f x x lnx =--单调递减，所以当1x =，函数取得最小值为0，故B 错误；对于C 选项，1x y e x =+-，1x y e '=-，当0x >时，0y '>；当0x <，0y '<，所以当0x >，函数1x y e x =+-单调递增；当0x <，函数1x y e x =+-单调递减，即当0x =取得最小值为2，故C 正确；对于D 选项，因为02x π<<，所以0cos 1x <<，又1cos 2cos 2cos y x x s x =+⋅，当且仅当1cos cos x x=，即cos 1x =时，等号成立，但cos 1x ≠，故D 错误，故选：C ．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解函数的最值，注意应用条件的检验，属于基础题．5．（2021秋•西城区校级月考）不等式22310x x -+>的解集为( ) A ．1(2，1)B ．(-∞，1)(12⋃，)+∞C ．RD ．∅【答案】B【考点】一元二次不等式及其应用【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算【分析】利用二次不等式的解法，求解不等式22310x x -+>的解集即可．【解答】解：不等式22310x x -+>，即(1)(21)0x x -->，解得：1x >或12x <，不等式的解集为：(-∞，1)(12⋃，)+∞．故选：B ．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．6．（2021秋•张家港市期中）若一元二次不等式220kx x k -+<的解集为{|}x x m ≠，则m k +的值为( ) A ．1- B ．0 C ．2- D ．2【答案】C【考点】一元二次不等式及其应用【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算【分析】由不等式与方程的关系转化为2044022k k m k ⎧⎪<⎪-=⎨⎪⎪=⎩，从而解得．【解答】解：不等式220kx x k -+<的解集为{|}x x m ≠， ∴2044022k k m k ⎧⎪<⎪-=⎨⎪⎪=⎩，解得，1k =-，1m =-，故2m k +=-，故选：C ．【点评】本题考查了二次不等式与方程的关系应用，属于基础题．7．（2021•涪城区校级开学）设0m n +>，则关于x 的不等式()()0m x n x -+>的解集是()A ．{|x x n <-或}x m >B ．{|}x n x m -<<C ．{|x x m <-或}x n >D ．{|}x m x n -<<【答案】B【考点】一元二次不等式及其应用【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算【分析】将不等式进行等价转化为()()0x m x n -+<，然后求出不等式的解集．【解答】解：原不等式可化为()()0x m x n -+<，由0m n +>，可知m n >-，所以原不等式的解集为{|}x n x m -<<．故选：B ．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了运算能力，属于基础题．8．（2021•江阴市开学）已知1x >，则221x x +-的最小值是( )A ．2B ．2C ．D ．2【答案】A【考点】基本不等式及其应用【专题】计算题；转化思想；整体思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算【分析】化简222222312111x x x x x x x x +-++==-++---，结合1x >，利用基本不等式求最值即可．【解答】解：1x >，10x ∴->．∴22222211x x x x x x +-++=-- 2212(1)31x x x x -++-+=- 2(1)2(1)31x x x -+-+=- 3122321x x =-+++-，（当且仅当311x x -=-，即1x =时，等号成立）．故选：A ．【点评】本题考查了基本不等式的应用，同时考查了化简运算能力及整体思想与转化思想，属于中档题．9．（2021春•威宁县期末）已知0x >，0y >，且2x y +=，则下列结论中正确的是( ) A ．22x y+有最小值4 B ．xy 有最小值1C ．22x y +有最大值4D 有最大值4【答案】A【考点】基本不等式及其应用【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式；数学运算【分析】根据条件可得出22122()()2x y x y x y +=++，然后根据基本不等式即可求出224x y+，然后即可判断选项A 正确；根据2x y +=可得出1xy 从而判断B 错误；根据基本不等式即可求出224x y +，从而判断选项C 2xy 即可判断选项D 错误．【解答】解：0x >，0y >，且2x y +=，∴22x y xy =+，当且仅当1x y ==时取等号，1xy ∴，xy ∴有最大值1，选项B 错误；22122122()()(4)2422x y x y x y x y x y y x y x+=++=++=++，当且仅当1x y ==时取等号， ∴22x y+有最小值4，选项A 正确；222224x y x y +⋅=，当且仅当1x y ==时取等号，22x y ∴+有最小值4，选项C 错误；2xy ==，∴2，选项D 错误．故选：A ．【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了计算能力，属于基础题． 10．（2021•浙江模拟）若0x <，则4x x+的最大值为( ) A ．8- B ．6- C ．4- D ．2-【答案】C【考点】基本不等式及其应用【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算【分析】由44[()()]x x x x+=--+-，然后结合基本不等式即可直接求解．【解答】解：因为0x <，则0x ->，则44[()()]2(4x x x x x +=--+----，当且仅当4x x-=-，即2x =-时取等号，此时取得最大值4-．故选：C ．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题中要注意对应用条件的检验，属于基础题．11．（2021秋•会宁县校级期中）已知{}21|0|23x ax bx c x x ⎧⎫++>=-<<⎨⎬⎩⎭，则关于x 的不等式20cx ax b +->的解集为( ) A ．5|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．1|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．{|2x x <-或1}3x > D ．{|1x x <-或5}2x >【答案】D【考点】一元二次不等式及其应用；其他不等式的解法【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；逻辑推理【分析】利用一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间的关系，结合根与系数的关系，表示出b ，c ，再利用一元二次不等式的解法求解不等式即可．【解答】解：由题意可知，13-和2为方程20ax bx c ++=的两个根，且0a <，则123123b a ca ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得52,33b ac a =-=-，且0a <，所以不等式20cx ax b +->，即225033ax ax b -++>即22350x x -->，解得1x <-或52x >，所以不等式的解集为{|1x x <-或5}2x >．故选：D ．【点评】本题考查了一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间关系的理解与应用，一元二次不等式的解法的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题． 12．（2021春•广东期末）已知正实数x ，y 满足434x y +=，则112132x y +++的最小值为( )A．38+B．12+C．12D．12【答案】A【考点】基本不等式及其应用【专题】计算题；转化思想；整体思想；转化法；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算【分析】将434x y +=变形为含21x +和32y +的等式，即2(21)(32)8x y +++=，再将式子换元，由基本不等式换“1”法求解即可．【解答】解：由正实数x ，y 满足434x y +=，可得2(21)(32)8x y +++=，令21a x =+，32b y =+，可得28a b +=，所求1111111121()(2)(21)(32132888a b a b x y a b a b b a +=+=+⨯+⨯=⨯+++⨯+++，即111(38a b +⨯+，即113284a b ++，当且仅当2a bb a=时取等号，所以答案为38+，故选：A ．【点评】本题考查基了利用基本不等式求最值，考查了推理论证和运算求解能力，属于基础题．二．填空题（共7小题） 13．（2021•河西区二模）函数(5)(2)(1)1x x y x x ++=>-+的最小值为 9 ．【答案】9．【考点】基本不等式及其应用【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算【分析】利用换元法，然后结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为1x >-，设1t x =+，则0t >， (5)(2)(1)(4)4452591x x t t y t t x t t t++++===++⋅+=+，当且仅当4t t=，即2t =时取等号，此时取得最小值9．故答案为：9．【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，属于基础题． 14．（2021•天津一模）设0a >，0b >，且251ab b +=，则a b +的最小值为 45．【答案】45．【考点】基本不等式及其应用【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算【分析】由已知先用b 表示a ，然后代入到所求式子后，利用基本不等式即可求解．【解答】解：因为0a >，0b >，且251ab b +=，所以215b a b-=，因为0a >，所以01b <<，214141442555555b b b a b b b b ++==+⋅=，当且仅当1455b b =，即12b =，310a =时取等号，则a b +的最小值45．故答案为：45．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑．15．（2020秋•汕头校级期末）当1x >时，求821x x +-的最小值为 10 ．【答案】10．【考点】基本不等式及其应用【专题】计算题；方程思想；定义法；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算【分析】将821x x +-转化为积为定值的形式后即可利用基本不等式进行求解．【解答】解：当1x >时，8822(1)222(1)21011x x x x x +=-++-=--，当且仅当182(1)1x x x >⎧⎪⎨-=⎪-⎩，即3x =时等号成立，所以821x x +-的最小值为10．故答案为：10．【点评】本题主要考查基本不等式的运用，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．16．（2020秋•门头沟区校级期中）不等式2560x x +->的解集是 (-∞，6)(1-⋃，)+∞ ．【答案】(-∞，6)(1-⋃，)+∞．【考点】一元二次不等式及其应用【专题】转化思想；定义法；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可．【解答】解：不等式2560x x +->可变形为(6)(1)0x x +->，解得6x <-或1x >，所以不等式2560x x +->的解集是(-∞，6)(1-⋃，)+∞．故答案为：(-∞，6)(1-⋃，)+∞．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了运算能力，属于基础题．17．（2020秋•扬州期末）若存在实数x ，使得不等式20x ax a -+<成立，则实数a 的取值范围为 (-∞，0)(4⋃，)+∞ ．【答案】(-∞，0)(4⋃，)+∞．【考点】一元二次不等式及其应用【专题】转化思想；判别式法；转化法；不等式的解法及应用；数学运算【分析】解法1、根据题意利用判别式0>，即可求出a 的取值范围．解法2、讨论10x ->和10x -=、10x -<时，不等式转化为a 与21x x -的关系，构造函数2()1x f x x =-，求出()f x 的最值即可得出a 的取值范围．【解答】解：解法1、存在实数x ，使得不等式20x ax a -+<成立，所以△2()40a a =-->，解得0a <或4a >，所以实数a 的取值范围是(-∞，0)(4⋃，)+∞．解法2、不等式20x ax a -+<可化为2(1)x a x <-，当10x ->，即1x >时，不等式化为21x a x >-；设2()1x f x x =-，其中1x >；所以22(1)2(1)11()(1)22(1)24111x x x f x x x x x x -+-+===-++-=---，当且仅当2x =时取等号；所以实数4a >；当10x -=，即1x =时，不等式化为10<，显然不成立；当10x -<，即1x <时，不等式化为21x a x <-；设2()1x f x x =-，其中1x <；所以22(1)2(1)11()(1)22(20111x x x f x x x x x x -+-+===-++--=---，当且仅当0x =时取等号；所以实数0a <；综上知，实数a 的取值范围是(-∞，0)(4⋃，)+∞．故答案为：(-∞，0)(4⋃，)+∞．【点评】本题考查了使不等式成立问题，也考查了运算求解能力与转化思想，是基础题．18．（2021秋•新罗区校级期中）已知不等式20kx x k -+<有解，则实数k 的取值范围为1(,)2-∞ ．【答案】1(,)2-∞．【考点】一元二次不等式及其应用【专题】计算题；分类讨论；分类法；不等式的解法及应用；数学运算【分析】依据不等式的次数及对应二次函数的开口方向分3种情况讨论即可．【解答】解：①当0k =时，原不等式可化为0x -<，有解；②当0k <时，原不等式恒有解；③当0k >时，若原不等式有解，则△2140k =->，解得，102k <<，综上所述，实数k 的取值范围为1(,)2-∞，故答案为：1(,)2-∞．【点评】本题考查了二次不等式的解的个数问题，利用了分类讨论的思想，属于中档题．19．（2021春•舟山期末）若正数a ，b 满足2a b ab ++=，则3111a b +--的最小值是 2 ，此时b = ．【答案】2；2．【考点】基本不等式及其应用【专题】计算题；转化思想；整体思想；转化法；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算【分析】先由2a b ab ++=求出21b a b +=-，再根据基本不等式求解即可．【解答】解：2a b ab++=，2b ab a∴+=-，∴21bab+=-，∴3131311(1)2(1)2(2)(1)11111111b bb b ba b b b bb b+=+=+=-+-++----------即31211a b+--，当且仅当111bb-=-，即2b=时取等号，故答案为：2；2．【点评】本题考查基本不等式的应用，难点在于对式子2a b ab++=的转化，属于中等题．。

高中数学必修第一册《一元二次函数、方程和不等式》期末复习专项训练(学生版+解析版)

高中数学必修第一册《一元二次函数、方程和不等式》期末复习专项训练一、单选题l. (2022·四川绵阳·高一期末〉下列结论正确的是（〉A.若的b，则。

c>bc c.若。

＞b，则。

＋c>b+cl I B.若α＞b，则－〉－a D D.着。

＞b，则。

2> b22.(2022·辽宁·新民市第一高级中学高一期末〉已知α＜b<O，则（〉A.a2 <abB.ab<b2C.a1 <b1D.a2 >b i3.(2022·陕西汉中·高一期末〉若关于工的不等式，咐2+2x+m>O的解集是R，则m的取值范围是（〉A.(I, +oo)B.(0, I〕C.( -J, I)D.(J, +oo)4.(2022·广东珠海高一期末〉不等式。

＋l)(x+3)<0的解集是（〉A.RB.②c.｛对－3<x<-I} D.{xi x<-3，或x>-l}5. (2022·四川甘孜·高一期末〉若不等式似2+bx-2<0的解集为｛xl-2<x<I｝，则。

÷b=( )A.-2B.OC.ID.26. (2022·湖北黄石·商一期末〉若关于X的不等式x2-ax’＋7＞。

在（2,7）上有实数解，则α的取值范围是（〉A.（唱，8)B.（叫8] c.（叫2./7) D.（斗）7.(2022·新疆乌市一中高一期末〉已知y=(x-m)(x-n)+2022(n> m），且α，β（α〈别是方程y=O的两实数根，则α，β，111,n的大小关系是（〉A.α＜m<n＜βC.m＜α〈β＜nB.m＜α＜n＜βD.α＜m＜β＜n8.(2022·浙江·杭州四中高一期末〉已失11函数y＝κ－4+...2....(x>-1），当x=a时，y取得最小值b，则。

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解不等式一．典型例题：例1：解下列不等式（1）162->--x x （2）21212≤-+<-x x （3）()()()0211>--+x x x （4）0)2)(1)(2(2≤++-x x x（5）127313222≤+-+-x x x x例2：解下列关于x 的不等式（1）0112>+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x a a x （2）())(01412R m x x m ∈≤+-+例3：已知不等式02>++c bx ax 的解集为()βα,且βα<<0求不等式02>++a bx cx 的解集。

例4：方程()0342=-+-a x ax 的两个根都在区间()1,0内，求实数a 的取值范围。

二．巩固练习1．不等式042≤-+-x x 的解集是（）A ．RB ．空集C. {|x R x x ∈>,0}D. {|x Rx x ∈<,0}2．已知集合M={|x 02832≤--x x }，N={|x 062>--x x }，则N M 为（） A ．{|x 24-<≤-x 或73≤<x } B ．{|x 24-≤<-x 或73<≤x }C ．{|x 2-≤x 或3>x }D ．{|x 2-<x 或3>x }3．不等式()032<-+x x x 的解集为（） A ． {|x 0<x 或3>x }B ．{|x 02<<-x 或3>x }C ．{|x 2-<x 或0>x }D. {|x 2-<x 或30<<x }4. 函数()()34log 122-+-=x x x f 的定义域为（）A. ()3,1B.())(∞+∞-,31,C.()()3,22,1D.[]3,15. 已知方程()()02172=-+-+m x m x 的两个根都是正实数，则实数m 的取值范围（） A ．(][)+∞∞-,2711, B.(]11,2 C. (]11,2(]27,17 D. []17,11 6. 不等式3112x x-≥-的解集是（）A ．324x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭B ．324x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．324x x x ⎧⎫≤>⎨⎬⎩⎭或D ．{}2x x <7. 已知集合2{|6160},{|()(2)0}M x x x N x x k x k =+->=---≤，M N φ⋂≠,则k 的取值范围是（） A ．80k k <->或 B.82k k <->或 C.80k -≤≤ D.80k k ≤-≥或 8．不等式20ax bx c ++>的解是0x αβ<<<，则不等式20cx bx a -+>的解为（）A ．1x α<<β1B ．－β1x <<—α1 C ．－α1x <<－β1 D ． β1x <<α19．函数11022-++-=x x x y 的定义域 .10 . 已知mm --=432sin α有意义，则实数m 的取值范围 11. 若不等式x x mx mx 424222+<-+对任意实数x 均成立，则实数m 的取值范围 .12. 不等式0)(322>++-a x a a x 的解集为{|x 2a x <或ax >}则实数a 的取值范围 .13.下面4个关于不等式的命题：(1)若031>++x x ，则1-<x 或3->x ; (2)若012<+-x x ，则不等式的解集为空集；(3)任意R x ∈，恒有012222<+-x x (4) 若0652≤+-x x ，则32<<x 。

其中正确的命题是 . 14．解关于x 的不等式：(1)()()045422>+--x x x (2) 05622>-+a ax x15.若关于x 的不等式2282002(1)94x x mx m x m -+<++++的解为一切实数，求实数m 的取值范围16.方程042)2(2)1(2=++-++t x t x t 的两个根，一个大于3，另一个小于3，求实数t 的取值范围。

不等关系与一元二次不等式测试题A 组一．填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1. 2x 2－3x －2≥0的解集是。

1. {x|x ≥2或x ≤－12}。

提示：方程2x 3－3x －2＝0的根是：x 1＝－12，x 2＝2，故不等式解集为{x|x ≥2或x ≤－12}。

2.已知a ＜0,-1＜b ＜0，则a 、ab 、ab 2的大小关系是。

2.ab ＞ab 2＞a.提示：特殊值.a=-1,b=-12,ab=12,ab 2=-12.故ab ＞ab 2＞a. 3.不等式-x 2+2x-3>0的解集为。

3. {x/-1<x<3}。

提示：原不等式转化为： x 2-2x+3<0,解得{x/-1<x<3}。

4.不等式301x x -<+的解集为。

4.{}13x x -<<。

提示：由301x x -<+⇔（x-3）(x+1)<0，得{}13P x x =-<<．5. x 2－(m ＋3)x ＋m 2＋3＝0有两个不等的实数根，求实数m 的取值范围是 .5.∅。

提示：Δ=(m ＋3)2－4(m 2＋3)＝m 2＋6m ＋9－4m 2－12＞0 即－3m 2＋6m －3＞0，∴m 2－2m ＋1＜0，(m －1)2＜0，无解。

6.有48支铅笔，在甲组里每人分配3支，则有多余；若每人分配4支，则不够分配；乙组里，若每人分配4支，则有多余；若每人分配5支，则不够分配.设甲组为x 人乙组y 人，则x 、y 满足不等式组 .6.⎩⎪⎨⎪⎧3x ＜48＜4x 4y ＜48＜5y 。

提示：由题意可得：3x ＜48，3x ＞48，4y ＜48，5y ＞48. ∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＜48＜4x 4y ＜48＜5y 。

7.设二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为{x |－1<x <13}，则a = ，b = 。

7.a ＝－3，b ＝－2。

提示：∵－1，13是方程ax 2＋bx ＋1＝0的两根，∴－b a ＝－1＋13，∴b a ＝23，又－1·13＝1a，∴a ＝－3，b ＝－2。

8.不等式（a-2）x 2+2(a-2)x-4＜0,对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是。

8. -2＜a≤2.提示：∵ 可推知-2＜a ＜2,另a=2时，原式化为-4＜0，恒成立，∴-2＜a≤2.二．解答题(本大题共4小题，共54分)9. 解不等式－1<x 2+2x-1≤2。

解原不等式可化为22211,212,x x x x ⎧+->-⎪⎨+-≤⎪⎩即2220,230,x x x x ⎧+>⎪⎨+-≤⎪⎩⇔(2)0,(3)(1)0,x x x x +>⎧⎨+-≤⎩⇔20,3 1.x x <->⎧⎨-≤≤⎩或x图1如图1，结合数轴，可得原不等式得解集为{x/-3≤x<-2或0<x ≤1}。

10．若函数f(x)=268kx kx k -++的定义域为R ，求实数k 的取值范围。

10．∵函数f(x)的定义域为R,∴ 268kx kx k -++≥0的解集为R 。

∴ g(x)= 268kx kx k -++函数的图像全在轴上方或与轴相切且开口向上。

当k=0时，g(x)=8,显然满足；当k ≠0时，函数g(x)的图像是抛物线，要使抛物线全在x 轴上方或与x 轴相切且开口向上，必须且只需：20,364(8)0,k k k k >⎧⎨∆=-+≤⎩解得0<k ≤1。

综上，k 的取值范围是[0,1]。

11.假设某市2004年新建住房400万m 2，其中有250万m 2是中低价房．预计在今后的若干年后，该市每年新建住房面积平均比上年增长8%．另外，每年新建住房中，中底价房的面积均比上一年增加50万m 2．那么，到哪一年底该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万m 2？11.设中低价房面积形成数列{}n a ，则{}n a 是等差数列，,22525502)1(2502n n n n n S n +=⨯-+= 令,4750225252≥+n n 即.10,,019092≥∴≥-+n n n n 是正整数而故到2013年底该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万m 2。

12．解关于x 的不等式：)(02R a ax ax ∈<--. 解:原不等式可化为:0))((2<--a x a x ,讨论如下:(i)当2a a <即0<a 或1>a 时,解集是}|{2a x a x <<.(ii)当a a <2即10<<a 时, 解集是}|{2a x a x <<.(iii)当a a =2即0=a 或1=a 时,不等式的解集是空集Φ. 备选题1.已知a ＞b ＞0，c ＜0，则c a 与cb 的大小关系是________.1.c a >c b.提示：利用不等式的性质可得。

2. 2x 2－x ＋1＜0的解集是。

2.∅。

提示：△=12-2×4=-7<0,故解集为空集。

3. x 2＋(2－a)x －2a≥0【解】方程x 2＋(2－a)x －2a ＝0 的解为x 1＝a x 2＝－2函数y ＝x 2＋(2－a)x －2a 的图像开口向上，所以(1)当a ＞－2时，原不等式解集{x|x≤－2或x≥a}； (2)当a ＜－2时，原不等式解集{x|x≤a 或x≥－2}； (3)当a ＝－2时，原不等式解集为R . B 组一．填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1.若不等式(x －3)(x ＋a )≥0的解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞)，则（x-3）(x+a)≤0的解集为 .1.－2≤x ≤3。

提示：由题意知a ＝2，（x-3）(x+a)≤0的解集为－2≤x ≤3。

2.已知x ＝1是不等式k 2x －6kx ＋8≥0(k ≠0)的解，则k 的取值范围是 . 2.{k |k ＜0或0＜k ≤2或k ≥4}.提示：由题意得k 2－6k ＋8≥0，∴k ≤2或k ≥4 又k ≠0，∴k ＜0或0＜k ≤2或k ≥4.3.不等式201xx -+≤的解集是。