宜昌市第一中学2017年秋季学期高二年级期末考试理科数学试题
湖北省宜昌一中2017-2018学年高二上学期入学数学试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年湖北省宜昌一中高二（上）入学数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2，5}，B={2，3，5}，则（∁U A）∩B等于（）A．{2，3}B．{2，5}C．{3}D．{2，3，5}2．已知a＞b＞0，c＞d＞0，则（）A．＜B．≤C．＞D．≥3．如果cos（π+A）=﹣，那么sin（+A）的值是（）A．B．C．D．4．已知，，，若，则=（）A．（1，）B．C．D．5．在同一直角坐标系中，函数f（x）=x a（x＞0），g（x）=log a x的图象可能是（）A．B．C．D．6．若将函数y=cos 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）7．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若＜cosA，则△ABC为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形8．a，b，c是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，以下结论成立的个数是（）①a∥b，b∥c⇒a∥c②a⊥b，b⊥c⇒a∥c③α⊥β，β⊥γ⇒α∥γ④α⊥β，α∩β=a，b⊥a⇒b⊥βA．1 B．2 C．3 D．49．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A=，cos C=，a=1，则b=（）A．B．C．D．10．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．11．正项数列{a n}满足：a1=2，a2=1，且=（n≥2），则此数列的第2 016项为（）A．B．C．D．12．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在对角线BD1上，给出以下命题：①当P在BD1上运动时，恒有MN∥面APC；②若A，P，M三点共线，则=；③若=，则C1Q∥面APC；④若过点P且与正方体的十二条棱所成的角都相等的直线有m条；过点P且与直线AB1和A1C1所成的角都为60°的直线有n条，则m+n=7．其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在对应题号的横线上．13．已知函数f（x）=，若f（﹣2016）=e，则a=．14．已知cos（﹣α）=，sin（+β）=﹣，α∈（，），β∈（0，），则sin（α+β）的值为．15．已知a＞0，x，y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1，则a=．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=3，1+=，则b+c 的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）设π＜x＜π，且方程f（x）=m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围和这两个根的和．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a．b．c，且满足2bsin（C+）=a+c．（I）求角B的大小；（Ⅱ）若点M为BC中点，且AM=AC，求sin∠BAC．19．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S n=na n+a n﹣c（c是常数，n∈N*），a2=6．（Ⅰ）求c的值及数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求使得T n＞恒成立的最小的正整数n．20．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是平行四边形，（1）求证：BD∥截面PQMN；（2）若截面PQMN是正方形，求异面直线PM与BD所成的角．21．某生产旅游纪念品的工厂，拟在2010年度将进行系列促销活动．经市场调查和测算，该纪念品的年销售量x万件与年促销费用t万元之间满足3﹣x与t+1成反比例．若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件．已知工厂2010年生产纪念品的固定投资为3万元，每生产1万件纪念品另外需要投资32万元．当工厂把每件纪念品的售价定为：“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占促销费一半”之和时，则当年的产量和销量相等．（利润=收入﹣生产成本﹣促销费用）（1）求出x与t所满足的关系式；（2）请把该工厂2010年的年利润y万元表示成促销费t万元的函数；（3）试问：当2010年的促销费投入多少万元时，该工厂的年利润最大？22．已知函数f（x）=（x∈R）．（1）证明：f（x）+f（1﹣x）=；（2）若数列{a n}的通项公式为a n=f（）（m∈N*，n=1，2，3…，m），求数列{a n}的前m 项和S m；=b n2+b n，设T n=++…+，若（2）中的（3）设数列{b n}满足：b1=，b n+1S m满足对任意不小于2的正整数n，S m＜T n恒成立，试求m的最大值．2016-2017学年湖北省宜昌一中高二（上）入学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2，5}，B={2，3，5}，则（∁U A）∩B等于（）A．{2，3}B．{2，5}C．{3}D．{2，3，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】直接利用补集与交集的运算得答案．【解答】解：∵U={1，2，3，4，5}，A={1，2，5}，∴∁U A={3，4}，又B={2，3，5}，∴（∁U A）∩B={3，4}∩{2，3，5}={3}．故选：C．2．已知a＞b＞0，c＞d＞0，则（）A．＜B．≤C．＞D．≥【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【分析】利用不等式的基本性质即可判断出结论．【解答】解：∵c＞d＞0，∴，又a＞b＞0，∴，因此＞．故选：C．3．如果cos（π+A）=﹣，那么sin（+A）的值是（）A．B．C．D．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】根据题意结合诱导公式先对条件进行化简，然后对所求化简，进而可以得到答案．【解答】解：由题意可得：，根据诱导公式可得cosA=，所以=cosA=，故选B．4．已知，，，若，则=（）A．（1，）B．C．D．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】由题意可得：，进而列方程组可得答案．【解答】解：由题意可得：，所以13+3x=0，并且4+3y=0，所以x=，y=．故选D．5．在同一直角坐标系中，函数f（x）=x a（x＞0），g（x）=log a x的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】结合对数函数和幂函数的图象和性质，分当0＜a＜1时和当a＞1时两种情况，讨论函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象，比照后可得答案．【解答】解：当0＜a＜1时，函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象为：此时答案D满足要求，当a＞1时，函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象为：无满足要求的答案，综上：故选D，故选：D．6．若将函数y=cos 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据三角函数平移的性质，将函数y=cos 2x的图象向左平移个单位长度可得：y=cos[2（x+）]=cos（2x+），根据余弦函数的性质可得：对称轴方程为：2x+=kπ，（k∈Z）化简即可得到对称轴方程．【解答】解：由题意，函数y=cos 2x的图象向左平移个单位长度，可得：y=cos[2（x+）]=cos（2x+），∴对称轴方程为：2x+=kπ（k∈Z），解得：x=﹣（k∈Z），故选：C．7．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若＜cosA，则△ABC为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】由已知结合正弦定理可得sinC＜sinBcosA利用三角形的内角和及诱导公式可得，sin（A+B）＜sinBcosA整理可得sinAcosB+sinBcosA＜0从而有sinAcosB＜0结合三角形的性质可求【解答】解：∵＜cosA，由正弦定理可得，sinC＜sinBcosA∴sin（A+B）＜sinBcosA∴sinAcosB+sinBcosA＜sinBcosA∴sinAcosB＜0 又sinA＞0∴cosB＜0 即B为钝角故选：A8．a，b，c是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，以下结论成立的个数是（）①a∥b，b∥c⇒a∥c②a⊥b，b⊥c⇒a∥c③α⊥β，β⊥γ⇒α∥γ④α⊥β，α∩β=a，b⊥a⇒b⊥βA．1 B．2 C．3 D．4【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用线线，面面的位置关系，即可得出结论．【解答】解：①a∥b，b∥c，根据平行公理可得a∥c，正确；②a⊥b，b⊥c，则a∥c，a，c相交或异面，不正确；③α⊥β，β⊥γ⇒α∥γ，α，γ相交，不正确；④α⊥β，α∩β=a，b⊥a，b⊂β，则b⊥β，不正确．故选A．9．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A=，cos C=，a=1，则b=（）A．B．C．D．【考点】正弦定理．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosA，sinC的值，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sinB，进而利用正弦定理即可解得b的值．【解答】解：因为△ABC为锐角三角形，sinA=，cosC=，所以cosA=，sinC=，于是sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=．又由=，a=1，可得b==．故选：B．10．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是由底面边长为2的正方形，高为的四棱锥，据此可求出该几何体的体积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由底面边长为2的正方形，高为的四棱锥，因此该几何体的体积V==．故选：C．11．正项数列{a n}满足：a1=2，a2=1，且=（n≥2），则此数列的第2 016项为（）A．B．C．D．【考点】等比数列的性质．【分析】由=（n≥2），可知：﹣=﹣，再利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：由=（n≥2），可知：﹣=﹣，故数列为等差数列，于是=+（n﹣1）×=，所以a n=，于是a2016=，故选：D．12．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在对角线BD1上，给出以下命题：①当P在BD1上运动时，恒有MN∥面APC；②若A，P，M三点共线，则=；③若=，则C1Q∥面APC；④若过点P且与正方体的十二条棱所成的角都相等的直线有m条；过点P且与直线AB1和A1C1所成的角都为60°的直线有n条，则m+n=7．其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】棱柱的结构特征．【分析】①MN中点R，AC的中点S，设BD1与RS的交点是Q，若P与Q重合时，此时MN在平面PAC内，即可判断出正误；②若A，P，M三点共线，由D1M∥AB，由平行线的性质可得，==，即可判断出正误；③若=，由②可得：A，P，M三点共线，设对角线BD∩AC=O，可得四边形OQC1M是平行四边形，于是C1Q∥OM，即可判断出正误．④若过点P且与正方体的十二条棱所成的角都相等的直线有A1C，D1B，AC1，DB1，4条．过点P且与直线AB1和A1C1所成的角都为60°的直线有且只有2条，即可判断出正误．【解答】解：①MN中点R，AC的中点S，设BD1与RS的交点是Q，若P与Q重合时，此时MN在平面PAC内，故1错误②若A，P，M三点共线，②若A，P，M三点共线，由D1M∥AB，∴==，则=，正确；③若=，由②可得：A，P，M三点共线，设对角线BD∩AC=O，连接OM，OQ，则四边形OQC1M是平行四边形，∴C1Q∥OM，而M点在平面APC内，∴C1Q∥平面APC相交，因此正确；④若过点P且与正方体的十二条棱所成的角都相等的直线有A1C，D1B，AC1，DB1，4条．连接B1C，A1C1∥AC，由正方体的性质可得△AB1C是等边三角形，则点P取点D1，则直线AD1，CD1满足条件，∴过点P且与直线AB1和A1C1所成的角都为60°的直线有且只有2条，过P且与直线AB1和A1C1所成的角都为60°的直线有4条，则m+n=6条，因此不正确．其中正确命题为②③，其个数为2．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在对应题号的横线上．13．已知函数f（x）=，若f（﹣2016）=e，则a=1．【考点】函数的值．【分析】根据函数的解析式得到f（﹣2016）=f（1），代入表达式，求出a的值即可．【解答】解：∵f（﹣2016）=f=f（1）=ae=e，解得：a=1，故答案为：1．14．已知cos（﹣α）=，sin（+β）=﹣，α∈（，），β∈（0，），则sin（α+β）的值为．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】先求出sin（）和cos（）的值，利用﹣sin（α+β）=sin（π+α+β）=sin[（）﹣（）]，求出sin（α+β）的值．【解答】解：∵，∴﹣＜＜0，＜＜，∴sin（）=﹣，cos（）=﹣，∴sin[（）﹣（）]=sin（）cos（）﹣cos（）sin（）=（﹣）（）﹣（﹣）（﹣）=﹣=sin（π+α+β）=﹣sin（α+β），∴sin（α+β）=，故答案为．15．已知a＞0，x，y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1，则a=．【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点B时，从而得到a值即可【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=2x+y经过点B时，z最小，由得：，代入直线y=a（x﹣3）得，a=；故答案为：16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=3，1+=，则b+c的最大值为6．【考点】余弦定理．【分析】由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cosA，进而利用余弦定理，基本不等式即可得解．【解答】解：在△ABC中，∵1+=，∴整理可得：=，∴=，∴sinAcosB=2sinCcosA﹣sinBcosA，∴sinC=2sinCcosA，∴cosA=，可得：A=60°，∴由余弦定理可得：9=a2=b2+c2﹣2bccos=（b+c）2﹣3bc，即（b+c）2=9+3bc≤9+，∴解得：（b+c）2≤36，∴b+c≤6，当且仅当b=c时，（b+c）max=6．故答案为：6．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）设π＜x＜π，且方程f（x）=m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围和这两个根的和．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（2）在同一坐标系中画出y=2sin（2x+）和直线y=m（m∈R）的图象，结合正弦函数的图象的特征，数形结合求得实数m的取值范围和这两个根的和．【解答】解：（1）由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得A=2，根据==﹣，求得ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=，∴φ=，f（x）=2sin（2x+）．（2）如图所示，在同一坐标系中画出y=2sin（2x+）和直线y=m（m∈R）的图象，由图可知，当﹣2＜m＜0或＜m＜2时，直线y=m与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根．∴m的取值范围为：﹣2＜m＜0或＜m＜2；当﹣2＜m＜0时，两根和为；当＜m＜2时，两根和为．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a．b．c，且满足2bsin（C+）=a+c．（I）求角B的大小；（Ⅱ）若点M为BC中点，且AM=AC，求sin∠BAC．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）利用正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinBsinC=cosBsinC+sinC，由于sinC≠0，可得sinB=cosB+1，两边平方，利用同角三角函数基本关系式可得2cos2B+cosB﹣1=0，解得cosB，即可求得B的值．（2）设AB=c、BC=a，在△ABC、△ABM中由余弦定理求出AC、AM，由条件建立方程化简后得到a与c的关系式，代入式子求出AC，在△ABC中由正弦定理求出sin∠BAC的值．【解答】解：（I）2bsin（C+）=a+c⇒2b（sinC+cosC）=a+c⇒bsinC+bcosC=a+c⇒sinBsinC+sinBcosC=sinA+sinC=sin（B+C）+sinC=sinBcosC+cosBsinC+sinC⇒sinBsinC=cosBsinC+sinC，（sinC≠0）⇒sinB=cosB+1，⇒3sin2B=cos2B+1+2cosB，⇒2cos2B+cosB﹣1=0，⇒cosB=或﹣1（由于B∈（0，π），舍去），⇒B=（Ⅱ）设AB=c、BC=a，在△ABC中，由余弦定理得：AC2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac，在△ABM中同理可得：AM2=（）2+c2﹣2•ccosB=+c2﹣ac，因为AM=AC，所以：a2+c2﹣ac=+c2﹣ac，化简得3a=2c，代入AC2=a2+c2﹣2accosB，可得：AC2=a2+（）2﹣a•=a2，解得：AC=a，在△ABC中，由正弦定理得，解得：sin∠BAC===．19．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S n=na n+a n﹣c（c是常数，n∈N*），a2=6．（Ⅰ）求c的值及数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求使得T n＞恒成立的最小的正整数n．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（Ⅰ）由S n=na n+a n﹣c，得a1=2c，a2=3c，从而得到c=2，由此能求出c的值及数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由==，利用错位相减法得到T n=2﹣，由此能求出正整数n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为S n=na n+a n﹣c，所以当n=1时，，解得a1=2c，当n=2时，S2=a2+a2﹣c，即a1+a2=a2+a2﹣c，解得a2=3c，所以3c=6，解得c=2，则a1=4，数列{a n}的公差d=a2﹣a1=2，所以a n=a1+（n﹣1）d=2n+2．…4分（Ⅱ）因为==，…6分所以T n=+…+，①=+…+，②①﹣②得：=﹣=﹣=1﹣，所以T n=2﹣，…8分因为T n﹣T n=（2﹣）﹣（2﹣）﹣（2﹣）=＞0，+1所以数列{T n}单调递增，…10分所以T n=2﹣＞，所以n≥11．…11分故正整数n的最小值为11．…12分．20．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是平行四边形，（1）求证：BD∥截面PQMN；（2）若截面PQMN是正方形，求异面直线PM与BD所成的角．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）利用线面平行的判定定理与性质定理即可证明．（2）由（1）的证明知PN∥BD，可得∠NPM（或其补角）是异面直线PM与BD所成的角．再利用正方形的性质即可得出．【解答】（1）证明：∵截面PQMN是平行四边形，∴PN∥QM，又PN⊄平面BCD，QM⊂平面BCD⇒PN∥平面BCD．∵PN⊂平面ABD，平面ABD∩平面BCD=BD⇒PN∥BD，∵PN⊂截面PQMN，BD⊄截面PQMN，∴BD∥截面PQMN．（2）解：由（1）的证明知PN∥BD，∴∠NPM（或其补角）是异面直线PM与BD所成的角．∵截面PQMN是正方形，∴∠NPM=45°．∴异面直线PM与BD所成的角是450．21．某生产旅游纪念品的工厂，拟在2010年度将进行系列促销活动．经市场调查和测算，该纪念品的年销售量x万件与年促销费用t万元之间满足3﹣x与t+1成反比例．若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件．已知工厂2010年生产纪念品的固定投资为3万元，每生产1万件纪念品另外需要投资32万元．当工厂把每件纪念品的售价定为：“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占促销费一半”之和时，则当年的产量和销量相等．（利润=收入﹣生产成本﹣促销费用）（1）求出x与t所满足的关系式；（2）请把该工厂2010年的年利润y万元表示成促销费t万元的函数；（3）试问：当2010年的促销费投入多少万元时，该工厂的年利润最大？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据题意，3﹣x与t+1成反比例，列出关系式，然后根据当t=0时，x=1，求出k的值（2）通过x表示出年利润y，并化简，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．（3）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．【解答】解（1）设比例系数为k（k≠0）．由题知，有．…又t=0时，x=1．∴．…∴．…（2）依据题意，可知工厂生产x万件纪念品的生产成本为（3+32x）万元，促销费用为t万元，则每件纪念品的定价为：（）元/件．…于是，，进一步化简，得．…因此，工厂2010年的年利润万元．（3）由（2）知，…所以，当2010年的促销费用投入7万元时，工厂的年利润最大，最大利润为42万元．…22．已知函数f（x）=（x∈R）．（1）证明：f（x）+f（1﹣x）=；（2）若数列{a n}的通项公式为a n=f（）（m∈N*，n=1，2，3…，m），求数列{a n}的前m 项和S m；=b n2+b n，设T n=++…+，若（2）中的（3）设数列{b n}满足：b1=，b n+1S m满足对任意不小于2的正整数n，S m＜T n恒成立，试求m的最大值．【考点】数列的求和；函数恒成立问题；数列递推式．【分析】（Ⅰ）由函数表达式证明，只需要把函数表达式代入然后化解即可．（Ⅱ）由1中证明的结果代入通项公式推得，然后根据前n项和与通项的关系求得数列{a n}的前m项和S m．（Ⅲ）由数列b n满足的条件求得再用（Ⅱ）中的S m满足S m＜T n恒成立，直接代入求解．【解答】（Ⅰ）证明：∵，∴，∴．故答案为．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，∴，即．∴，，又S m =a 1+a 2++a m ﹣1+a m ①S m =a m ﹣1+a m ﹣2++a 1+a m ②①+②得，∴答案为；（Ⅲ）解：∵③∴对任意n ∈N *，b n ＞0④，∴，∴∵b n +1﹣b n =b n 2＞0，∴b n +1＞b n ．∴数列{b n }是单调递增数列．∴T n 关于n 递增， ∴当n ≥2，且n ∈N *时，T n ≥T 2．∵，∴．由题意，即，∴∴m 的最大值为6．故答案为6．2016年11月9日。
湖北省宜昌市第一中学数学高二下期末经典测试题(课后培优)
一、选择题1．已知,a b 是单位向量，且,a b 的夹角为3π，若向量c 满足22c a b -+=，则||c 的最大值为（ ）A ．2B ．23+C ．72+D ．72-2．已知关于x 的方程20ax bx c ++=，其中,,a b c 都是非零向量，且,a b 不共线，则该方程的解的情况是（ ） A ．至少有一个解 B ．至多有一个解 C ．至多有两个解 D ．可能有无数个解3．平面向量(1,2)a =，(4,2)b =，c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b的夹角，则m =（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．24．非零向量a b ，满足：a b a -=，()0a a b ⋅-=，则a b -与b 夹角的大小为 A ．135° B ．120° C ．60°D ．45°5．已知π(,π)2α∈，π1tan()47α+=，则sin cos αα+= （ ） A ．17-B ．25-C ．15-D ．156．平面直角坐标系xOy 中，点()00,P x y 在单位圆O 上，设xOP α∠=，若3,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则0x 的值为( )A B C ．D ．7．已知角x 的终边上一点的坐标为(sin 56π，cos56π)，则角x 的最小正值为( ) A ．56π B ．53πC ．116πD ．23π 8．若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ）A ．1BC ．3D ．29．设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足3,2BM MC DN NC ==，则AM NM ⋅=（ ）A ．20B ．15C ．9D ．610．已知2sin()3,且(,0)2απ∈-，则tan(2)πα-= （ ）A B ． C D ．2-11．已知是12,e e ，夹角为60︒的两个单位向量，则12a e e =+与122b e e =-的夹角是( ) A ．60︒ B ．120︒C ．30D ．90︒12．已知角6πα-的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，终边过点()5,12P -， 则7cos 12πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A ．26-B ．26-C ．26D ．2613．已知sin α=，则44sin cos αα-的值为 A ．35B ．15-C ．15D ．3514．已知向量(2,0)OB =，向量(2,2)OC =，向量(2)CA αα=，则向量OA 与向量OB 的夹角的取值范围是（ ）．A ．π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π5π,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．π5π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 15．设sin1+=43πθ（），则sin 2θ=（ ） A ．79-B ．19-C ．19D ．79二、填空题16．设向量(,1),(1,2)a x x b =+=，且a b ⊥，则x = __________． 17．函数()1sin cos 533f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为________________. 18．向量,a b 的夹角为60︒，且2,1a b ==则(2)a a b ⋅+=__________. 192cos821sin8+-的化简结果是_________.20．已知向量a ，b 满足1a =，且()2a a b b -==，则向量a 与b 的夹角是__________．21．函数1ππ()sin ()cos ()536f x x x =++-的最大值为___________. 22．在平行四边形ABCD 中，E 为线段BC 的中点，若AB AE AD λμ=+，则λμ+=__________．23．已知平面向量a 、b 满足||3a =，||2b =，a 与b 的夹角为60，若（a mb -）a ⊥，则实数m 的值是___________ . 24．若()1sin 3πα-=，且2παπ≤≤，则cos α的值为__________．25．若x 2+y 2=4,则x −y 的最大值是 三、解答题26．在ABC ∆ 中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、sin cC=， （1）求A 的大小；（2）若6a =，求b c +的取值范围.27．设函数()sin 1f x x x =+.（1）求函数()f x 的值域和函数的的单调递增区间； （2）当()135f α=，且263ππα<<时，求2sin 23πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 28．已知函数()44f x sin x asinx cosx cos x.=+⋅+(Ⅰ)当a 1=时，求()f x 的值域；(Ⅱ)若方程()f x 2=有解，求实数a 的取值范围．29．已知函数44()cos 2sin cos sin f x x x x x =--. （1）求()f x 的最小正周期； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最小值以及取得最小值是x 的值. 30．平面内有向量(1,7)OA =，(5,1)OB =，(2,1)OC =（其中O 为坐标原点），点P 是直线OC 上的一个动点. （1）若//PA PB ，求OP 的坐标；（2）当PA PB ⋅取最小值时，求cos APB ∠的值.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．B3．D4．A5．C6．C7．B8．B9．C10．A11．B12．B13．A14．D15．A二、填空题16．【解析】因为所以故答案为17．【解析】【分析】先利用两角和与差的正弦余弦公式将函数的解析式展开合并同类项后利用辅助角公式进行化简即可得出函数的最大值【详解】其中因此函数的最大值为故答案为【点睛】本题考查三角函数的最值解题的关键就18．6【解析】【分析】由题意利用向量的数量积的运算可得即可求解【详解】由题意可知向量的夹角为且则【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式准确计算是解答的关键着19．【解析】原式因为所以且所以原式20．【解析】【分析】先根据条件得再根据向量夹角公式求结果【详解】因为且所以因此【点睛】求平面向量夹角方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是几何方法从图形判断角的大小21．【解析】分析：利用诱导公式化简函数的解析式通过正弦函数的最值求解即可详解：函数故答案为点睛：本题考查诱导公式的应用三角函数的最值正弦函数的有界性考查计算能力22．【解析】分析：先根据三角形法则化为再根据分解唯一性求即得详解：因为所以因为不共线所以点睛：利用向量基本定理中唯一性可求参数：即若为不共线向量则23．3【解析】∵∴∴∴∴故答案为324．【解析】由题意得25．22【解析】【分析】由题意将原问题转化为三角函数的问题然后结合辅助角公式即可确定x-y的最大值【详解】由题意可知xy表示坐标原点为圆心2为半径的圆上的点设点的坐标为2cosθ2sinθ则x-y=2c三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．B 解析：B 【解析】不妨设(1,0)a =，13(,22b =，(,)c x y =，则2(,c a b x y -+=+，所以22(2c a b x -+=+=，即22(4x y +=，点(,)x y 在以(0,为圆心，2为半径的圆上，所以2c x =+2+．故选B ．2．B解析：B 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理可知(),c a b R λμλμ=+∈，从而将方程整理为()()20x a x b λμ+++=，由,a b 不共线可得200x x λμ⎧+=⎨+=⎩，从而可知方程组至多有一个解，从而得到结果. 【详解】由平面向量基本定理可得：(),c a b R λμλμ=+∈则方程20ax bx c ++=可变为：20ax bx a b λμ+++= 即：()()20xa xb λμ+++=,a b 不共线 200x x λμ⎧+=∴⎨+=⎩可知方程组可能无解，也可能有一个解∴方程20ax bx c ++=至多有一个解本题正确选项：B 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，关键是能够利用定理将方程进行转化，利用向量和为零和向量不共线可得方程组，从而确定方程解的个数.3．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】()()4,22,422258c m m a c m m m =++⋅=+++=+,()()44222820b c m m m ⋅=+++=+,5,2025a b ===,c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角 ,c a c bc a c b ⋅⋅=⋅⋅,=,解得2m =, 故选D. 【考点定位】向量的夹角及向量的坐标运算.4．A解析：A 【解析】 【分析】先化简()0a a b ⋅-=得2=a a b ⋅，再化简a b a -=得2b a =，最后求a b -与b 的夹角. 【详解】因为()0a a b ⋅-=，所以220=a a b a a b -⋅=∴⋅，，因为a b a -=，所以2222a a a b b =-⋅+， 整理可得22b a b =⋅， 所以有2b a =，设a b -与b 的夹角为θ，则()2cos a b b a b b a b ba bθ-⋅⋅-===-222222||a a =-， 又0180θ︒≤≤︒，所以135θ=︒， 故选A ． 【点睛】本题主要考查数量积的运算和向量夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．C解析：C 【解析】 【分析】由两角和的正切公式得出3sin cos 4αα=-，结合平方关系求出43cos ,sin 55αα=-=，即可得出sin cos αα+的值. 【详解】1tan 1tan 41tan 7πααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭3tan 4α∴=-，即3sin cos 4αα=-由平方关系得出223cos cos 14αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得：43cos ,sin 55αα=-=341sin cos 555αα+=-=-故选：C 【点睛】本题主要考查了两角和的正切公式，平方关系，属于中档题.6．C解析：C 【解析】 【分析】利用两角和差的余弦公式以及三角函数的定义进行求解即可． 【详解】3,44ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭， ,42ππαπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭， 3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，4cos 45πα⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，则0cos cos cos cos sin sin 444444x ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4355=-=， 故选C ． 【点睛】本题主要考查两角和差的三角公式的应用，结合三角函数的定义是解决本题的关键．7．B解析：B 【解析】 【分析】先根据角x 终边上点的坐标判断出角x 的终边所在象限，然后根据三角函数的定义即可求出角x 的最小正值．【详解】 因为5sin06π>，5cos 06π<，所以角x 的终边在第四象限，根据三角函数的定义，可知 53sin cos62x π==-，故角x 的最小正值为5233x πππ=-=． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查利用角的终边上一点求角，意在考查学生对三角函数定义的理解以及终边相同的角的表示，属于基础题．8．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】 构造函数，根据辅助角公式，对函数的解析式进行化简，再根据正弦函数求出其最值，即可得到答案．则可知2()sin cos sin 4F x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，F（x ）取最大值2,故|MN|的最大值为2,故选B9．C解析：C 【解析】 【分析】 根据图形得出3344AM AB BC AB AD =+=+,2233AN AD DC AD AB =+=+,AM NM ⋅ 2()AM AM AN AM AM AN =⋅-=-⋅,结合向量的数量积求解即可.【详解】因为四边形ABCD 为平行四边形,点M 、N 满足3,2BM MC DN NC ==,∴根据图形可得:3344AM AB BC AB AD =+=+, 2233AN AD DC AD AB =+=+, NM AM AN ∴=-,2()AM NM AM AM AN AM AM AN ⋅=⋅-=-⋅,22239216AM AB AB AD AD =+⋅+, 22233342AM AN AB AD AD AB ⋅=++⋅, 6,4AB AD ==， 22131239316AM NM AB AD ∴⋅=-=-=， 故选C.本题考查了平面向量的运算,数量积的运用,考查了数形结合的思想,关键是向量的分解,表示.考点：向量运算.10．A解析：A 【解析】 【分析】由三角函数的诱导公式，求得2sin3，再由三角函数的基本关系式，求得5cos α3， 最后利用三角函数的基本关系式，即可求解tan(2)πα-的值，得到答案. 【详解】由三角函数的诱导公式，可得2sin()sin 3παα-==-，因为(,0)2απ∈-，所以cos α==，又由sin tan(2)tan cos απααα-=-=-=，故选A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式的化简、求值问题，其中解答中熟练应用三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11．B解析：B 【解析】 【分析】求出||,||,a b a b ⋅，根据向量夹角公式，即可求解.【详解】22222121122||()2a a e e e e e e ==+=+⋅+ 022cos 603,||3a =+⨯=∴=22222121122||(2)44b b e e e e e e ==-=-⋅+ 054cos 603,||3b =-⨯==，1212()(2)a b e e e e ⋅=+⋅-2201122321cos602e e e e =-⋅-=--=-，设,a b 的夹角为1,cos 2||||a b a b θθ⋅==-，20,3πθπθ≤≤∴=. 故选:B, 【点睛】本题考查向量的夹角、向量的模长、向量的数量积，考查计算能力，属于中档题.12．B解析：B 【解析】分析：利用三角函数的定义求得66cos sin ππαα⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 结果，进而利用两角和的余弦函数公式即可计算得解．详解：由三角函数的定义可得512,613613cos sin ππαα⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则773cos cos cos 12661264ππππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭33=cos cos sin sin 6464ππππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭512=13213226⎛⎛⎫---⋅=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 点睛：本题考查任意角的三角函数的定义，两角和与差的余弦函数公式，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．13．A解析：A 【解析】44sin cos αα-()()2222sin cos sin cos αααα=-+22sin cos αα=-22sin 1α=-35=-，故选A.点睛：已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值．在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的，用平方差公式分解要求的算式，两个因式中一部分用同角的三角函数关系整理，另一部分把余弦变为正弦，代入题目的条件，得到结论.14．D解析：D 【解析】 不妨设(0,0)O∵(2,2)OC =，(2cos ,2sin )CA αα=． ∴(2,2)C 、(22,22sin )A cos αα++． ∴点A 在以(2,2)为圆心半径为2的圆上． ∴OA 与OB 的夹角为直线OA 的倾斜角． 设:OA l y kx = ∴22121k d r k -=≤=+．即2410k k -+≤，则[23,23]k ∈-+． 又∵π23tan12-=，523tanπ12+=． ∴OA 、OB 夹角[23,23]θ∈-+．故选D ．15．A解析：A 【解析】 试题分析：，两边平方后得，整理为，即，故选A.考点：三角函数二、填空题16．【解析】因为所以故答案为解析：23-【解析】因为a b ⊥，所以()20,210,3a b x x x ⋅=++=∴=-，故答案为23-. 17．【解析】【分析】先利用两角和与差的正弦余弦公式将函数的解析式展开合并同类项后利用辅助角公式进行化简即可得出函数的最大值【详解】其中因此函数的最大值为故答案为【点睛】本题考查三角函数的最值解题的关键就.【解析】 【分析】先利用两角和与差的正弦、余弦公式将函数()y f x =的解析式展开，合并同类项后利用辅助角公式进行化简，即可得出函数()y f x =的最大值. 【详解】()1111sin cos sin cos 533522f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()15sin cos 1010x x x ϕ++=+=+，其中5tan 10ϕ==，因此，函数()y f x =，.【点睛】本题考查三角函数的最值，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将三角函数解析式进行化简，同时也考查了三角函数的基本性质，考查计算能力和转化思想，属于中等题.18．6【解析】【分析】由题意利用向量的数量积的运算可得即可求解【详解】由题意可知向量的夹角为且则【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式准确计算是解答的关键着解析：6 【解析】 【分析】由题意，利用向量的数量积的运算，可得2(2)2a a b a a b ⋅+=+⋅，即可求解. 【详解】由题意，可知向量,a b 的夹角为060，且2,1a b ==则221(2)22cos60422162a ab a a b a a b ⋅+=+⋅=+⋅=+⨯⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.19．【解析】原式因为所以且所以原式 解析：2sin 4-【解析】原式2cos42sin4cos4==+-，因为53442ππ<<，所以cos40<，且sin4cos4<，所以原式()2cos42sin4cos42sin4=---=-．20．【解析】【分析】先根据条件得再根据向量夹角公式求结果【详解】因为且所以因此【点睛】求平面向量夹角方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是几何方法从图形判断角的大小 解析：120︒【解析】 【分析】先根据条件得a b ⋅，再根据向量夹角公式求结果. 【详解】因为1a =，且()2a a b ⋅-=，所以2-2,121,a a b a b ⋅=∴⋅=-=- 因此112πcos ,,1223a b a b a b a b⋅-===-∴=⨯⋅. 【点睛】求平面向量夹角方法：一是夹角公式cos a b a bθ⋅=⋅；二是坐标公式cos θ=；三是几何方法，从图形判断角的大小.21．【解析】分析：利用诱导公式化简函数的解析式通过正弦函数的最值求解即可详解：函数故答案为点睛：本题考查诱导公式的应用三角函数的最值正弦函数的有界性考查计算能力 解析：65【解析】分析：利用诱导公式化简函数的解析式，通过正弦函数的最值求解即可．详解：函数()1ππ1πsin cos 353656f x x x sin x cos x π⎛⎫⎛⎫=++-=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）（） 1ππ6π6533535sin x sin x sin x =+++=+≤（）（）（）． 故答案为65． 点睛：本题考查诱导公式的应用，三角函数的最值，正弦函数的有界性，考查计算能力．22．【解析】分析：先根据三角形法则化为再根据分解唯一性求即得详解：因为所以因为不共线所以点睛：利用向量基本定理中唯一性可求参数：即若为不共线向量则解析：12. 【解析】分析：先根据三角形法则化AE 为12AB AD +，再根据分解唯一性求λμ，，即得.λμ+ 详解：因为1 2AE AB AD =+，所以2AB AB AD λλμ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,因为,AB AD 不共线，所以111=1+=0=-,+=.222λλμμλμ∴， 点睛：利用向量基本定理中唯一性可求参数：即若,a b 为不共线向量，1122+y +y c x a b x a b ==，则1212y =y .x x =，23．3【解析】∵∴∴∴∴故答案为3解析：3 【解析】∵()a mb a -⊥∴()0a mb a -⋅=∴2cos ,0a m a b a b -⋅⋅〈〉= ∴932cos600m -⨯⨯⨯︒= ∴3m = 故答案为324．【解析】由题意得解析：223-【解析】由题意得()1122sin sin ,[,],cos 1.3293ππαααπα-==∈∴=--=- 25．22【解析】【分析】由题意将原问题转化为三角函数的问题然后结合辅助角公式即可确定x-y 的最大值【详解】由题意可知xy 表示坐标原点为圆心2为半径的圆上的点设点的坐标为2cosθ2sinθ则x-y=2c 解析：2√2【解析】 【分析】由题意将原问题转化为三角函数的问题，然后结合辅助角公式即可确定x −y 的最大值. 【详解】由题意可知(x,y )表示坐标原点为圆心，2为半径的圆上的点，设点的坐标为(2cosθ,2sinθ)，则x −y =2cosθ−2sinθ=−2√2sin (θ−π4)， 当sin (θ−π4)=−1时，x −y 取得最大值2√2. 【点睛】本题主要考查三角函数最值的求解，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题 26． （Ⅰ）3A π=；（Ⅱ）(6,12].【解析】试题分析：（1）在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围;（2）在三角形中，注意隐含条件（3）解决三角形问题时，根据边角关系灵活的选用定理和公式，寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；正确灵活运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值. 试题解析：（1sin sin 3cos c aC AA==， 3sin A A =∴tan 3A = ∵0A π<< ∴3A π=6分（2）由正弦定理得：6sin sin sin 3a b c A B C π====∴b B =，c C =∴b c B C +=+]sin sin()sin sin()3B A B B B ππ⎤=+--=++⎥⎦12sin()6B π=+∵5666B πππ<+<∴612sin()126B π<+≤ 即：(]6,12b c +∈12分考点：1、正弦定理的应用；2、三角函数的化简.27．（1）值域是[]1,3-，单调递增区间为52+266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，；（2）2425-.【解析】 【分析】（1）根据三角函数的关系式，即可求求函数f （x ）的值域和函数的单调递增区间． （2）根据三角函数的诱导公式即可得到结论． 【详解】（1）依题意()sin 1f x x x =+ 2sin 13x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 因为22sin 23x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，则12sin 133x π⎛⎫-≤++≤ ⎪⎝⎭. 即函数()f x 的值域是[]1,3-. 令32222k x k πππππ-+≤+≤+，Z k ∈，解得52+266k x k ππππ-+≤≤，Z k ∈， 所以函数()f x 的单调递增区间为52+266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，，Z k ∈.（2）由()132sin 135f παα⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，得4sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 因为263ππα<<，所以23ππαπ<+<时，得3cos 35πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. 所以2sin 2sin233ππαα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2sin cos 33ππαα⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 432425525-⨯⨯=-. 【点睛】三角函数求值的类型如下：（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.28．（Ⅰ）9[0,]8（Ⅱ）3a ≤-或3a ≥ 【解析】 【分析】（I ）当1a =时，利用降次公式化简()f x ，然后利用换元法将函数转化为二次函数，结合二次函数的知识求得()f x 的值域.（II ）解法一：同（I ）将函数转化为二次函数的形式.对a 分成2,22,2a a a ≥-<<≤-三类，讨论函数的()2f x =是否有解，由此求得a 的取值范围.解法二：化简()2f x -的表达式，换元后分离常数a ，再由此求得a 的取值范围. 【详解】解：（Ⅰ）当1a =时，()2111sin 2sin222f x x x =-+ 令sin2t x =，令()211122h t t t =-++，[]1,1t ∈- 则()90,8h t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 的值域为90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）法一：()211sin 2sin222af x x x =-+ 令sin2t x =，令()21122ah t t t =-++，[]1,1t ∈- ①当12a ≥，即2a ≥时，()1122a h +=≥，且()11222a h -=-≤，解得3a ≥ ②112a -<<，即22a -<<时，21228a a h ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭，无解 ③当12a ≤-，即2a ≤-时，()1122ah --=≥且()1122a h +=≤，解得3a ≤- 综上所述3a ≤-或3a ≥ 法二：()212sin 2sin21022af x x x -=-+-= 令sin2t x =，211022at t -+-=当0t =，不合题意，∴0t ≠ ∴2a t t=+，[)(]1,00,1t ∈-⋃ ∵2y t t=+在[)1,0-，(]0,1递减 ∴23t t +≤-或23t t+≥ ∴3a ≤-或3a ≥ 【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式，考查利用换元法转化函数，考查二次函数求最值，考查方程有解的问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想，属于难题.解决含有参数的方程有解问题，可以考虑分离常数法将参数分离出来，然后根据表达式的范围，求得参数的范围.29．(Ⅰ)π；(Ⅱ)答案见解析. 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式化简整理函数()f x 的表达式，由周期2T πω=．（2）先求解52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由正弦函数图像求解最值． 【详解】：()()()442222cos 2sin cos sin cos sin cos sin 2sin cos f x x x x x x x x x x x =--=+--cos2sin224x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭(1)最小正周期为π (2)由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当32,,48x x πππ+==即时 ()f x 的最小值为.()f x 取最小值时x 的集合为3.8π⎧⎫⎨⎬⎩⎭【点睛】：三角函数()y Asin φx ω=+在闭区间内[]a,b 上的最值问题的步骤： （1）换元，令t φx ω=+，其中[]12t t t ∈， （2）画出三角函数y Asint =的函数图像． （3）由图像得出最值．30．（1）481717,⎛⎫⎪⎝⎭（2）17- 【解析】 【分析】先由题意，设(2,)=OP x x ，得到(12,7)=--PA x x ，(52,1)=--PB x x ，（1）根据//PA PB ，得到(12)(1)(7)(52)0-----=x x x x ，求出x ，即可得出结果； （2）先由题意，得到25(2)8⋅=--PA PB x ，得到当2x =时，PA PB ⋅取最小值，求出(3,5)=-PA ，(1,1)=-PB ，再由向量夹角公式，即可求出结果.【详解】因为点P 是直线OC 上的一个动点，(2,1)OC =， 所以可设(2,)=OP x x ，因为(1,7)OA =，(5,1)OB =，所以(12,7)=-=--PA OA OP x x ，(52,1)=-=--PB OB OP x x ， （1）因为//PA PB ，所以(12)(1)(7)(52)0-----=x x x x ， 解得178=x ，所以1717,48⎛⎫= ⎪⎝⎭OP ； （2）因为(12,7)=--PA x x ，(52,1)=--PB x x ，所以22(12)(52)(7)(1)520125(2)8⋅=--+--=-+=--PA PB x x x x x x x ， 显然，当2x =时，PA PB ⋅取最小值， 此时(3,5)=-PA ，(1,1)=-PB ，所以cos 179⋅∠===-⋅PA PB APB PA PB.【点睛】本题主要考查由向量共线求参数的问题，以及求向量的夹角的问题，熟记向量共线的坐标表示，以及向量数量积的运算与夹角公式即可，属于常考题型.。
湖北省宜昌市第一中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题
【全国百强校】湖北省宜昌市第一中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设{}44A x x =-≤≤，{}2230B x x x =+->，集合AB =（ ）A ．(3,1)-B ．(1,3)-C ．[4,3)(1,4]--⋃D ．[4,1)(3,4]--⋃ 2．已知i 为虚数单位，则复数21i i -+对应复平面上的点在第（ ）象限． A ．一 B ．二 C ．三 D ．四 3．设x R ∈，则“12x x ->”是“101x ≤+”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．已知0.4 1.90.41.9,1 1.9,0.4a b og c ==＝，则（ ） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c a b >> 5．若将函数1()cos 22f x x =的图像向左平移6π个单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为（ ）A ．(,0)12πB ．(,0)6πC ．(,0)3πD ．(,0)2π6．函数f (x )＝21xx e -的图象大致为() A ． B ．C ．D ．7．已知函数()f x 满足()()1f x 1f x 1+=+，当[]x 0,1∈时，()f x x =，若在区间(]1,1-上方程()f x mx m 0--=有两个不同的实根，则实数m 的取值范围是( ) A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．1,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭ C ．10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦8．若角α为三角形的一个内角，并且tan 2α=-，则cos2α=（ ） A ．13 B ．35 C ．13± D ．35± 9．已知定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，满足()()()23log 72,0233,2x x f x f x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩， 则()()()()123....2018f f f f ++++=（ ）A ．2log 5B ．2log 5-C ．2-D ．010．某巨型摩天轮．其旋转半径50米，最高点距地面110米，运行一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第35分钟时他距地面大约为（ ）米．A ．75B ．85C ．100D ．11011．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割）,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ,且满足Q M N ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素,则称(,)M N 为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割(,)M N ,下列选项中,不可能成立的是（ ）A ．M 没有最大元素, N 有一个最小元素B ．M 没有最大元素, N 也没有最小元素C ．M 有一个最大元素, N 有一个最小元素D ．M 有一个最大元素, N 没有最小元素12．已知关于x 的方程为2222(3)12(3)x x x e m x e--=--（其中m R ∈），则此方程实根的个数为（ ）A ．2B ．2或3C ．3D ．3或4二、填空题13．已知角θ的终边经过()2,3-，则3cos 2πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________． 14．满足不等式组22y x y x ⎧≥⎨≤+⎩的点(,)x y 所围成的平面图形的面积为________．15．学校艺术节对同一类的,,,A B C D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品获奖情况预测如下：甲说：“A 作品获得一等奖”； 乙说：“C 作品获得一等奖”；丙说：“,B D 两项作品未获得一等奖”； 丁说：“A 或D 作品获得一等奖”. 评奖揭晓后发现这四位同学中只有两位预测正确，则获得一等奖的作品是_______. 16．对于定义域为R 的函数()f x ，若满足① (0)0f =；② 当R x ∈，且0x ≠时，都有()0xf x '>；③ 当120x x <<，且12||||x x =时，都有12()()f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”．现给出四个函数：①11,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩；②2())f x x =；③3()sin f x x x =；④24()x x f x e e x =--.则其中是“偏对称函数”的函数序号为 _______．三、解答题17．已知集合{}()1015,20;2A x R ax B x R x a ⎧⎫=∈<+≤=∈-<≤≠⎨⎬⎩⎭（1）若A B =，求实数a 的值；（2）若命题:,p x A ∈命题:q x B ∈且p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18．已知函数()sin 2cos 22sin cos 36f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x R ∈．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的对称中心和单调递增区间．19．统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数为313812800080y x x =-+(0120)x <<． （1）当64x =千米/小时时,行驶100千米耗油量多少升？（2）若油箱有22.5升油,则该型号汽车最多行驶多少千米？20．如图，已知单位圆上有四点(1,0)E ，(cos ,sin )A θθ，(cos 2,sin 2)B θθ，(cos3,sin 3)C θθ，其中03πθ<≤，分别设OAC ABC ∆∆、的面积为1S 和2S .（1）用sin cos θθ，表示1S 和2S ；（2）求12cos sin S S θθ+的最大值及取最大值时θ的值． 21．已知函数2213()(2)ln (1)124f x x x x x a x =-+-++． （1）若()f x 在(1,)+∞为增函数，求实数a 的取值范围；（2）当11a -<<时，函数()f x 在(1,)+∞的最小值为()g a ，求()g a 的值域．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为x t y m t =⎧⎨=+⎩（t 为参数，m R ∈），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22332cos ρθ=-． （1）写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知点P 是曲线2C 上一点，若点P 到曲线1C 的最小距离为m 的值． 23．已知函数()11f x x a x =+--．（1）当2a =-时，解不等式()5f x >；（2）若()3f x a x ≤+，求a 的最小值．参考答案1．C【解析】分析：由题意首先求得集合B ，然后进行交集运算即可求得最终结果.详解：求解二次不等式223x x +-可得{}13B x x x =<-或，结合交集的定义可知：A B ⋂= [)(]4,31,4--⋃.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查集合的表示方法，交集的定义及其运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．D【解析】分析：首先化简所给的复数，然后确定复数所在的象限即可.详解：由题意可得： ()()()()2121313111222i i i i i i i i ----===-++-， 则复数对应的点为13,22⎛⎫-⎪⎝⎭，该点位于第四象限， 即复数21i i-+对应复平面上的点在第四象限. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．B【解析】分析：根据不等式的解法求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．详解：当x ＞0时，由|x |﹣1＞2x 得x ﹣1＞2x ，得x ＜﹣1，此时无解，当x ≤0时，由|x |﹣1＞2x 得﹣x ﹣1＞2x ，得x ＜﹣13， 综上不等式的解为x ＜﹣13，由11x +≤0得x +1＜0得x ＜﹣1， 则“|x |﹣1＞2x”是“11x +≤0”的必要不充分条件， 故选：B ．点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒ q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒ q 与非q ⇒非p ， q ⇒ p 与非p ⇒非q ， p ⇔ q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆ B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．4．C【分析】利用指数函数、对数函数的单调性，将a ，b ，c 分别与1和0比较，得到结论.【详解】因为0.401.9 1.91,a >=＝0.40.41 1.9110,b og og =<=1.9000.40.41,01c <<=∴<<所以a c b >>故选：C【点睛】本题主要考查指数函数、对数函数的单调性的应用，还考查了转化化归的思想和理解辨析的能力，属于基础题.5．A【分析】 通过平移得到1cos(2)23y x π=+，即可求得函数的对称中心的坐标，得到答案. 【详解】 向左平移6π个单位长度后得到1cos 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则其对称中心为(),0122k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,或将选项进行逐个验证,选A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据三角函数的图象变换，以及熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6．D【分析】根据函数为非偶函数可排除两个选项，再根据特殊值(2)f 可区分剩余两个选项.【详解】因为f (－x )＝21x x e--≠f (x )知f (x )的图象不关于y 轴对称，排除选项B ，C. 又f (2)＝214e -＝－23e <0.排除A ，故选D. 【点睛】本题主要考查了函数图象的对称性及特值法区分函数图象，属于中档题.7．D【解析】【分析】首先根据题意，求得函数()f x 在相应的区间上的解析式，之后在同一个坐标系内画出函数()y f x ,y mx m ==+的图像，之后将函数的零点问题转化为对应曲线交点的个数问题，结合图形，得到结果.【详解】当(]x 1,0∈-时，(]x 10,1+∈，()()1f x 1f x 1=-+ 11x 1=-+ x x 1=-+， 在同一坐标系内画出()y f x ,y mx m ==+的图像，动直线y mx m =+过定点()1,0-，当再过()1,1时，斜率1m 2=， 由图象可知当10m 2<≤时，两图象有两个不同的交点， 从而()()g x f x mx m =--有两个不同的零点，故答案为：D.【点睛】（1）本题主要考查函数的零点问题，考查函数的图像的作法，意在考察学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是求出函数当(]x 1,0∈-时，(]x 10,1+∈，()x f x x 1=-+，其二是画出函数()y f x ,y mx m ==+的图像.8．A【解析】 分析：利用同角关系，由正切值得到正弦值与余弦值，进而利用二倍角余弦公式得到结果.详解：∵角α为三角形的一个内角，且tan α=，∴sin cos αα==∴22631cos2993cos sin ααα=-=-= 故选：A 点睛：本题考查了同角基本关系式，考查了二倍角余弦公式，考查了计算能力，属于基础题. 9．D【解析】分析：通过计算前几项，可得n=3，4，…，2018，数列以3为周期的数列，计算可得所求和．详解：定义域为R 的奇函数f （x ），可得f （﹣x ）=﹣f （x ），当x ＞0时，满足()()()237202332log x x f x f x x ⎧--≤⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩，＜，＞，可得x ＞32时，f （x ）=f （x ﹣3）， 则f （1）=﹣log 25，f （2）=f （﹣1）=﹣f （1）=log 25， f （3）=f （0）=0， f （4）=f （1）=﹣log 25，f （5）=f （2）=f （﹣1）=﹣f （1）=log 25， f （6）=f （3）=f （0）=0， f （7）=f （4）=f （1）=﹣log 25，f （8）=f （2）=f （﹣1）=﹣f （1）=log 25， …f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2020） =﹣log 25+log 25+（0﹣log 25+log 25）×672 =0， 故选：D ．点睛：归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳. 10．B 【解析】分析：设出P 与地面高度与时间t 的关系，f （t ）=Asin （ωt+φ）+B ，由题意求出三角函数中的参数A ，B ，及周期T ，利用三角函数的周期公式求出ω，通过初始位置求出φ，求出f （35）的值即可．详解：设P 与地面高度与时间t 的关系，f （t ）=Asin （ωt+φ）+B （A ＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），由题意可知：A=50，B=110﹣50=60，T=2πω=21，∴ω=221π， 即 f （t ）=50sin （221πt+φ）+60， 又因为f （0）=110﹣100=10，即sinφ=﹣1，故φ=32π， ∴f （t ）=50sin （221πt+32π）+60， ∴f （35）=50sin （221π×35+32π）+60=85．故选B ．点睛：已知函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式(1)max min max min ,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω=(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ，一般用最高点或最低点求． 11．C 【分析】由题意依次举出具体的集合,M N ，从而得到,,A B D 均可成立． 【详解】对A ，若{|0}M x Q x =∈<，{|0}N x Q x =∈；则M 没有最大元素，N 有一个最小元素0，故A 正确；对B ，若{|M x Q x =∈<，{|2}N x Q x =∈；则M 没有最大元素，N 也没有最小元素，故B 正确；对C ，M 有一个最大元素，N 有一个最小元素不可能，故C 错误；对D ，若{|0}M x Q x =∈，{|0}N x Q x =∈>；M 有一个最大元素，N 没有最小元素，故D 正确； 故选：C ． 【点睛】本题考查对集合新定义的理解，考查创新能力和创新应用意识，对推理能力的要求较高． 12．C 【解析】分析：将原问题转化为两个函数交点个数的问题，然后利用导函数研究函数的性质即可求得最终结果.详解：很明显x =()()22223123x xxe m x e--=--的根，据此可将方程变形为：2221233x x e x m e x e-=⋅--，原问题等价于考查函数y m =与函数()2221233x x e x g x e x e-=⋅--的交点的个数，令()23xx h x e-=，则()()()2223'3x e x x h x x -+=-，列表考查函数()h x 的性质如下：函数2121y x e x=-在有意义的区间内单调递增， 故()g x 的单调性与函数()h x 的单调性一致， 且函数的极值()()36132g g e e --==+ 绘制函数图像如图所示，观察可得，y m =与函数()2221233x x e x g x e x e-=⋅--恒有3个交点，即题中方程实根的个数为3. 本题选择C 选项.点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．13．13【解析】分析：根据任意角的三角函数的定义，求得sin θ的值,再结合诱导公式即可得到结果． 详解：∵角θ的终边经过点()2,3-，∴x=2-，y=3，则sin θ=y r．∴3cos sin 213πθθ⎛⎫+== ⎪⎝⎭故答案为13． 点睛：本题主要考查任意角的三角函数的定义，考查了诱导公式，考查了计算能力，属于基础题． 14．92. 【解析】分析：画出约束条件表示的可行域，利用微积分基本定理求出可行域的面积． 详解：画出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分，由题意不等式组22y x y x ⎧≥⎨≤+⎩，表示的平面图形的面积为：()2232128119222421233232x x x x dx x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-=+---+= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰． 故答案为92． 点睛：用定积分求平面图形的面积的步骤：（1）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；（2）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；（3）具体计算定积分，求出图形的面积． 15．C【解析】若A 获得一等奖,则甲、丙、丁的话是对的,与已知矛盾;若B 获得一等奖,则四人的话是错误的,与已知矛盾;若C 获得一等奖,则乙、丙的话是对的,满足题意;所以获得一等奖的作品是C . 16．①④. 【解析】分析：条件②等价于f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，条件③等价于f （x ）﹣f （﹣x ）＜0在（﹣∞，0）上恒成立，依次判断各函数是否满足条件即可得出结论．详解：由②可知当x ＞0时，f′（x ）＞0，当x ＜0时，f′（x ）＜0， ∴f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，f2（x ）=ln ﹣x ），∴f 2（x ）在R 上单调递减，不满足条件②，∴f 2（x ）不是“偏对称函数”； 又3f （2π）=3f （52π）=0，∴3f （x ）在（0，+∞）上不单调，故3f （x ）不满足条件②，∴3f （x ）不是“偏对称函数”；又f2（x ）=ln ﹣x ）∴f 2（x ）在R 上单调递减，不满足条件②，∴f 2（x ）不是“偏对称函数”；由③可知当x 1＜0时，f （x 1）＜f （﹣x 2），即f （x ）﹣f （﹣x ）＜0在（﹣∞，0）上恒成立， 对于()1f x （x ），当x ＜0时，1f （x ）﹣1f （﹣x ）=﹣x ﹣e ﹣x +1， 令h （x ）=﹣x ﹣e ﹣x +1，则h′（x ）=﹣1+e ﹣x ＞0，∴h （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，故h （x ）＜h （0）=0，满足条件③， 由基本初等函数的性质可知1f （x ）满足条件①，②， ∴1f （x ）为“偏对称函数”；对于f 4（x ），f 4′（x ）=2e 2x ﹣e x ﹣1=2（e x ﹣14）2﹣98， ∴当x ＜0时，0＜e x ＜1，∴f 4′（x ）＜2（1﹣14）2﹣98=0，当x ＞0时，e x ＞1，∴f 4′（x ）＞2（1﹣14）2﹣98=0，∴f 4（x ）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，满足条件②， 当x ＜0，令m （x ）=f 4（x ）﹣f 4（﹣x ）=e 2x ﹣e ﹣2x+e ﹣x ﹣e x ﹣2x ，则m′（x ）=2e 2x +2e﹣2x﹣e ﹣x ﹣e x ﹣2=2（e 2x +e﹣2x）﹣（e ﹣x +e x ）﹣2，令e ﹣x +e x =t ，则t ≥2，于是m′（x ）=2t 2﹣t ﹣6=2（t ﹣14）2﹣498≥2（2﹣14）2﹣498=0， ∴m （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，∴m （x ）＜m （0）=0，故f 4（x ）满足条件③， 又f 4（0）=0，即f 4（x ）满足条件①， ∴f 4（x ）为“偏对称函数”． 故答案为：①④．点睛：本题以新定义“偏对称函数”为背景，考查了函数的单调性及恒成立问题的处理方法，属于中档题. 17．(1) 2a =. (2) 2,a >或8a <-. 【解析】分析：（1）分a ＞0和a ＜0两种情况讨论是否存在满足条件的实数a 的值，综合讨论结果，可得答案；（2）若p 是q 充分不必要条件，则A ⊊B ，分类讨论，可得满足条件的a 的取值范围． 详解：(1) 当0a >时14A x x a a ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭当0a <时41A xx aa ⎧⎫=≤<-⎨⎬⎩⎭显然A B ≠故A B =时，112242a a a⎧-=-⎪⎪∴⇒=⎨⎪=⎪⎩， （2）p q A B ≠⇒⇒⊂ 01514ax ax <+≤⇒-<≤ 当0a >时， 14A x x a a ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭则1111224422a a a a⎧⎧-≥-->-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪<≤⎪⎪⎩⎩或解得2a >当0a <时，41A xx a a ⎧⎫=≤<-⎨⎬⎩⎭则412812a a a⎧>-⎪⎪⇒<-⎨⎪-≤⎪⎩ 综上p 是q 的充分不必要条件，实数a 的取值范围是2,a >或8a <-.点睛：注意区别：“命题p 是命题q 的充分不必要条件”与“命题p 的充分不必要条件是命题q ” 18．(1) T π=. (2) (,0)62k ππ-+，k Z ∈；5[,]1212k k ππππ-++，k Z ∈. 【解析】分析：（1）分别利用两角和的正弦、余弦公式及二倍角正弦公式化简函数式，然后利用用公式求周期即可；（2）根据正弦函数的图象与性质，求出函数f （x ） 的对称中心与单调增区间． 详解：（1）∵()222223366f x sin xcoscos xsincos xcos sin xsin sin x ππππ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22x sin x =+223sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．∴T π=． （2）令sin 203x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭得：62k x ππ=-+，k Z ∈ 所以对称中心为：,062k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈ 令222232k x k πππππ-+≤+≤+解得单调递增区间为：5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.点睛：函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质 (1) max min =+y A B y A B ，=-.(2)周期2π.T ω=(3)由 ()ππ2x k k Z ωϕ+=+∈求对称轴 (4)由()ππ2π2π22k x k k Z ωϕ-+≤+≤+∈求增区间;由()π3π2π2π22k x k k Z ωϕ+≤+≤+∈求减区间. 19．(1)11.95(升) ． (2) 200千米． 【解析】分析：（1）由题意可得当x=64千米/小时，要行驶100千米需要10064小时，代入函数y 的解析式，即可得到所求值；（2）设22.5升油能使该型号汽车行驶a 千米，代入函数y 的式子，可得222.5183********a x x =+-．令()218312800080h x x x =+-，求出导数和单调区间，可得h （x ）的最小值，进而得到a 的最大值．详解：(1)当64x =千米/小时时,要行驶100千米需要100256416=小时， 要耗油313256464811.951280008016⎛⎫⨯-⨯+⨯=⎪⎝⎭ (升) ．(2)设22.5升油能使该型号汽车行驶a 千米,由题意得，313822.512800080a x x x⎛⎫-+⨯= ⎪⎝⎭，所以222.518312800080a x x =+- 222.5183x -128000x 80+，设()218312800080h x x x =+-则当()h x 最小时，a 取最大值，()332218806400064000x h x x x x'-=-=令()080h x x =⇒=' 当()0,80x ∈时，()0h x '<，当()80,120x ∈时，()0h x '>故当()0,80x ∈时，函数()h x 为减函数，当()80,120x ∈时，函数()h x 为增函数，所以当80x =时， ()h x 取得最小值，此时a 取最大值为222.5200183801280008080=⨯+-所以若油箱有22.5升油,则该型号汽车最多行驶200千米．点睛：解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值，分段后在各段讨论最值的情况. 20．(1) 11sin 22S θ=，()2sin 1cos S θθ=-； (2)12cos sin S S θθ+，此时θ的值为3π.【详解】试题分析：解(1)根据三角函数的定义, 知,2,3,xOA xOB xOC θθθ∠=∠=∠= 所以xOA AOB BOC θ∠=∠=∠=, 所()11111sin 3sin 222S θθθ=⋅⋅⋅-=. 又因为12S S +=四边形OABC 的面积＝1111sin 11sin sin 22θθθ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=, 所以()21sin sin 2sin 1cos 2S θθθθ=-=-. (2)由(1)知()12sin 1cos sin cos sin cos 11cos sin cos sin 4S S θθθθπθθθθθθθ-⎛⎫+=+=-+=-+ ⎪⎝⎭. 因为03πθ<≤, 所以4412πππθ-<-≤,所以sin()sin 24124ππθ-<-≤=, 所以12cos sin S S θθ+, 此时θ的值为3π.考点：三角函数的性质点评：主要是考查了三角函数的性质以及二倍角公式的运用，属于基础题． 21．(1) 1a ≤-. (2) 7(2ln 2,)4-. 【解析】分析：（1）原问题等价于()0f x '≥在()1,+∞上恒成立，据此可得实数a 的取值范围是1a ≤-；（2）由函数的解析式二次求导可得()'f x =在()1,+∞上是增函数，则存在唯一实数()1,2m ∈，使得()'0f m =，据此可得()f x 的最小值()()221321124f m m m lnm m a m ⎛⎫=-+-++ ⎪⎝⎭构造函数()()221321124g a m m lnm m a m ⎛⎫=-+-++ ⎪⎝⎭，讨论可得其值域为722,4ln ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 详解：（1）()()()'2230223f x x lnx x a x lnx x a =-+--≥⇒-+-≥在()1,+∞上恒成立，设()()()332230x F x x lnx x F x lnx x '-=-+-⇒=+> 则()F x 在()1,+∞为增函数，()11a F ≤=-.（2）()()()32'2230''0x f x x lnx x a f x lnx x-=-+--≥⇒=+>， 可得()()'223f x x lnx x a =-+--在()1,+∞上是增函数，又()'110f a =--<，()'210f a =-+>，则存在唯一实数()1,2m ∈，使得()'0f m =即()2230m lnm m a -+--=,则有[)()()1,'0x m f x f x ∈⇒<⇒在(]1,m 上递减； [)()(),'0x m f x f x ∈+∞⇒>⇒在[),m +∞上递增；故当x m =时，()f x 有最小值()()221321124f m m m lnm m a m ⎛⎫=-+-++ ⎪⎝⎭则()f x 的最小值()()221321124g a m m lnm m a m ⎛⎫=-+-++ ⎪⎝⎭， 又()223a m lnm m =-+-，令()()()223,1,2a m m lnm m m =-+-∈，求导得()2'30a m lnm m=+->，故()a m 在()1,2m ∈上递增， 而()()11,21a a =-=，故()1,1a ∈-可等价转化为()1,2m ∈,故求()f x 的最小值()g a 的值域，可转化为：求()22152124h m m lnm m m =--++在()1,2m ∈上的值域. 易得()22152124h m m lnm m m =--++在()1,2上为减函数，则其值域为722,4ln ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．22．(1) 0x y m -+= ；2213x y +=. (2)4m =-6m =.【解析】试题分析：（1）消去参数t 得到1C 的普通方程为0x y m -+=．利用222tan x y y x ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩可以把2C 的极坐标方程化为直角坐标方程．（2）把2C的直角方程转化为参数方程，利用点到直线的距离公式算出距离为d =，利用[]0,απ∈得到22cos 6m m m πα⎛⎫-≤++≤+ ⎪⎝⎭因为直线与椭圆是相离的，所以0m +或20m ->，分类讨论就可以得到m 相应的值．解析：（1）由曲线1C 的参数方程，消去参数t t ，可得1C 1C 的普通方程为：0x y m -+=． 由曲线2C 的极坐标方程得[]22232cos 3,0,ρρθθπ-=∈， ∴曲线2C 的直角坐标方程为()221013x y y +=≤≤ ． （2）设曲线2C 上任意一点P为),sin αα ，[]0,απ∈，则点P 到曲线1C 1C 的距离为d ==．∵[]0,απ∈，∴cos 6πα⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，2cos 6πα⎛⎫⎡+∈- ⎪⎣⎝⎭，当0m <时，4m =-，即4m =-当20m ->时，24m -=，即6m =．∴4m =--6m =．点睛：一般地，如果圆锥曲线上的动点到直线的距离有最小值，那么这条直线和圆锥曲线的位置关系式相离的．23．(1) 4(,)(2,)3-∞-⋃+∞.(2) 12. 【解析】分析：（1）利用分段讨论法去掉绝对值，解a=﹣2时对应的不等式即可；（2）由f （x ）≤a|x+3|得a ≥131x x x +++-，利用绝对值三角不等式处理即可.详解：（1）当2a =-时，()13,13,1131,1x x f x x x x x -≤-⎧⎪=-+-<≤⎨⎪->⎩()5f x >的解集为：()4,2,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭（2）由()3f x a x ≤+得：113x a x x +≥-++ 由1321x x x -++≥+，得：11132x x x +≤-++ 得12a ≥（当且仅当1x ≥或3x ≤-时等号成立），故a的最小值为1 2 .点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
湖北省宜昌市第一中学2016_2017学年高二数学下学期3月阶段检测试题理
宜昌市一中2017年春季学期高二年级3月阶段检测试题理 科 数 学本试题卷共4页，共22题。
满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★一、选择题：本大题共12小题，共60分 1．已知命题:,sin 1p x R x ∀∈≥-,则p ⌝为A.00,sin 1x R x ∃∈≤-B.00,sin 1x R x ∃∈<-C.00,sin 1x R x ∀∈≤-D.00,sin 1x R x ∀∈<-2.若直线12:230,:(1)40l ax y a l x a y +++=+++=平行，则a 的值是（ ） A.1 B.-2 C.1或-2 D.-1或23．已知条件p ：12x +>，条件q ：256x x ->，则￢p 是￢q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4.已知点P 在圆074422=+--+y x y x 上，点Q 在直线上kx y =上，若PQ 的最小值为122-，则实数k =( )A ．1B ．1-C ．0D ．25．某班有34位同学，座位号记为01，02，…34，用如图的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活动的五位同学的座号．选取方法是从随机数表第一行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个志愿者的座号是（ ）A ．23B ．09C ．02D ．166.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的值为5,则判断框内应填入 （ ） A ．2?k <B ．3?k <C ．4?k <D ．5?k <7．某住宅小区有1500名户，各户每月的用电量近似服从正态分布N （200，100），则月用电量在220度以上的户数估计约为（ ）（参考数据：若随机变量X 服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ-σ＜X ≤μ+σ）=0.6826，P （μ-2σ＜X ≤μ+2σ）=0.9544，P （μ-3σ＜X ≤μ+3σ）=0.9974） A.17 B.23 C.34 D.46 8．在下列各数中，最大的数是（ ）A ． (9)85B ．(6)210C ．(4)1000D ．(2)111119．已知多项式5432()42 3.5 2.6 1.70.8f x x x x x x =++-+-，用秦九韶算法算(5)f 时,V 1的值为（ ）A ．22B ．564.9C ．20D ．14130.210．如图，在半径为R 的圆内随机撒一粒黄豆，它落在阴影部分内接正三角形上的概率是（ ） A ．B ．C ．D ．11．如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ） A ．288种 B ．264种 C ．240种 D ．168种12.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 的直线交y 轴正半轴于点P ，交抛物线于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若FA AP λ=u u u r u u u r ，BF FA μ=u u ur u u u r ，11,42λμ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则μ的取值范围是( )A. 41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.[2，3] D.[3，4]二、填空题：本大题共4小题，共20分13. 在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，若已知11A B u u u u r=a ，11D A =b ，A A 1=c .则向量M B 1 = 。
【数学】湖北省宜昌市第一中学2016-2017学年高二下学期期末考试(文)
湖北省宜昌市第一中学2016-2017学年高二下学期期末考试（文）全卷满分150分 考试用时120分钟一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}{}21,0,1,2,3,230A B x x x =-=--<，则 AB =（ ）A ．{}1,0,1,2-B ． {}0,1,2C ．{}0,1,2,3D ． {}1,0,1,2,3- 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足z zi i -=，则z 的共轭复数z =（ ） A ．1122i + B ．1i -- C ．1122i -- D ． 1i + 3．函数)(x f 定义在),(+∞-∞上.则“曲线)(x f y =过原点”是“)(x f 为奇函数”的（ ）条件.A ．充分而不必要B ．必要而不充分C ．充要D ． 既不充分又不必要 4．命题,e 10x x x ∀∈--≥R 的否定是（ ） A ．,e 10x x x ∀∈--≤RB ．000,e 10xx x ∀∈--≥R C ．000,e 10xx x ∃∈--≤RD ．000,e 10xx x ∃∈--<R5．函数[]2()2155f x x x x =+-∈-，，，在定义域内任取一点0x ，使0()0f x ≤的概率是（ ）. A ．320B ．23C ．310D ．456．宜昌一中为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持与不支持）的关系，运用22⨯列联表进行独立性检验，经计算27.069K =，则有多大的把握认为“学生性别与支持该活动”有关系（ ） A ．0.1%B ．1%C ．99%D ．99.9%附：20()P K k ≥0．100 0.050 0.025 0.010 0.001 0k2.7063.8415.0246.63510.8287．设函数3()12f x x x b =-+，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 在(,1)-∞上单调递增 B ．函数()f x 在(,1)-∞上单调递 C ．函数()f x 在(2,2)-上单调递增D ．函数()f x 在(2,2)-上单调递减8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为22y x =±，则该双曲线的离心率为（ ） A ．322 B ．223C ． 3D ．5 9．执行如图所示的程序，若输出的S=20172018，则输入的正整数n=（ ） A ．2 018 B ．2 017 C ．2 016 D ． 2 015 10．已知抛物线22(0)y px p =>，过点(4,0)C -作抛物线的两条 切线,CA CB ，,A B 为切点，若直线AB 经过抛物线22y px =的焦 点，CAB ∆的面积为24，则以直线AB 为准线的抛物线标准方程是（ ） A ．24y x =B ．24y x =-C ．28y x =D ．28y x =-11．在2016宜昌马拉松10公里健康跑比赛中，张老师用手表记录了各公里的完成时间、平均心率及步数：在这10公里的比赛过程，请依据上述数据，判断正确的一组序号是（ ）（1）由每公里的平均心率得知张老师最高心率为188；（2）张老师此次路跑，每步距离的平均小于1米；（3）每公里完成时间和每公里平均心率的相关系数为正；（4）每公里步数和每公里平均心率的相关系数为正；（5）每公里完成时间和每公里步数的相关系数为负． A ．（1）（2）（4） B ．（2）（3）（4） C ．（1）（2）（5） D ． （2）（4）（5） 12． 若函数x xae e x x f ++=231)(在),(+∞-∞单调递增,则a 的取值范围是（ ） A ． ),362[+∞-B ． ),362[+∞C ． ]362,362[- D ．)362,362(- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
湖北省宜昌市第一中学高二数学下学期期末考试试题文(2021年整理)
湖北省宜昌市第一中学2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（湖北省宜昌市第一中学2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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宜昌市第一中学2018年春季学期高二年级期末考试文科数学考试时间：120分钟满分：150分一、选择题(本小题共12题，每小题5分，共60分），在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1．集合，，则A．B．C．D．2．下列推理是归纳推理的是A．由，求出,猜出数列的前项和的表达式B．由于满足对都成立，推断为偶函数C．由圆的面积，推断椭圆的面积D．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质3．函数的零点所在区间为A． B． C． D．4．设,，,则A． B． C． D．5．下列命题中错误．．的是A．若命题为真命题，命题为假命题，则命题“”为真命题B．命题“若,则或”为真命题C．命题“若，则或”的否命题为“若，则且”D．命题p：，则p为6．已知函数，下列结论中错误．．的是A．B．函数的图像是中心对称图形C．若是的极小值点，则在区间上单调递减D．若是的极值点,则7．若点的坐标满足,则点的轨迹图象大致是8．设函数是定义在上的奇函数，且对任意都有，当时,,则的值为A． B． C． D．9．设是椭圆：的左，右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为A． B． C． D．10.已知函数满足，则A。
B. C. D。
湖北省宜昌市第一中学高二上学期期末考试数学(理)Word版含答案
宜昌市第一中学高二年级期末考试理科数学试题考试时间：120分钟 考试满分：150分 命题人：李海峰 审题人：孙红波★祝考试顺利★一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确的答案填涂在答题卡上. 1.若1(2)(,)x i i y x y R i+=-∈，则x y +=A.1-B.1C.3-D.3 2.执行如图所示的程序框图，若输入1,3m n ==，输出的 1.75x =，则空白判断框内应填的条件为A.1m n -<B.0.5m n -<C.0.2m n -<D.0.1m n -<3.某种商品的广告费支出（单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如下对应数据：根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为ˆ 6.517.5yx =+，则表中m 的值为A.45B.50C.55D.60 4.已知、αβ是两个平面，直线,.l l αβ⊄⊄若以①l α⊥，②//l β，③αβ⊥中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确命题的个数是A.0个B.1个C.2个D.3个 5.“12m ≤-”是“x R ∀∈，使得13222x m x +->是真命题”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6.已知P 为抛物线24y x =上一个动点，P 到其准线的距离为d ，Q 为圆22(4)1x y +-=上一个动点，d PQ + 的最小值是A.1B.2 1 27.已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所 示，则该截面的面积为 A.92B.4C.3 8.下面给出的命题中： （1）已知函数0()cos af a xdx =⎰，则()12f π=； （2）“2m =-”是“直线(2)10m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=互相垂直”的必要不充分条件；（3）已知随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ，且(20)0.4P ξ-≤≤=，则(2)0.2P ξ>=；（4）已知圆221:20C x y x ++=，圆222:10C x y +-=，则这两个圆恰有两条公切线.其中真命题的个数为A.1B.2C.3D.49.已知命题:p 函数20181()20181x xf x -=+是奇函数，命题:q 函数32()g x x x =-在区间(0,)+∞上单调递增，则下列命题中为真命题的是A.p q ∨B.p q ∧C.p q ⌝∧D.p q ⌝∨10.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A.()1,2 B ．()1,2- C ．()2,+∞ D ．[]2,+∞ 11.已知函数3()23f x x ax bx c =+++的两个极值点分别在()1,0-与()0,1-内，则2a b -的取值范围是 A.33(,)22-B ．3(,1)2- C ．13(,)22- D ．3(1,)2 12.已知函数()f x 在R 上可导，其导函数为'()f x ，若()f x 满足：'(1)()()0x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦，22(2)()x f x f x e--=，则下列判断一定正确的是 A ．(1)(0)f f < B ．(2)(0)f ef < C ．3(3)(0)f e f < D ．4(4)(0)f e f <二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
湖北省宜昌市第一中学1617学年度高二上学期期末考试—
设 ， 则 ， ，于是，，，则，所以．………………6分
（Ⅱ）若，则，，
设平面的法向量为，
由 ，得： ，令，则，
于是，而
设 与平面 所成角为 ，所以 ，
所以与平面所成角为．……12分
21（1）由题意知，
所以，,所以椭圆的标准方程为,
又圆心,所以圆的标准方程为.……4分
即y≤z，满足条件的（y，z）有，，…，，共有8组，∴．
即肥胖学生中女生少于男生的概率为．……12分
（2）①设直线 的方程为 ,与直线的方程联立,解得 ,即点 联立 ,消去并整理得,
解得点
所以
,当且仅当时,取“=”，
所以的最大值为.……8分
②存在,设圆心 ，点 是圆 上的任意一点，其中点 满足 ，则 ，
又 ，由得，
代入 得 ，，对圆上任意一点恒成立，所以 ，解得 ，经检验满足，所以存在圆 满足题设条件.……12分
∵双曲线左焦点在抛物线的准线x＝－1上，∴c＝1，即a2＋b2＝1，
又点( ， )在双曲线上，∴ － y2＝1.……10分
18.解 对p：∵直线与圆相交，∴d＝ ＜1.∴－ ＋1＜m＜ ＋1.
对q：方程mx2－x＋m－4＝0有一正根和一负根，∴令f(x)＝mx2－x＋m－4，
22解：（Ⅰ）由题意可知，，∴x=150（人）；……4分
（Ⅱ）由题意可知，肥胖学生人数为y+z=400（人）．设应在肥胖学生中抽取m人，
则，∴m=20（人）即应在肥胖学生中抽20名．……8分
（Ⅲ）由题意可知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是y+z=400，且y≥193，z≥193，
满足条件的（y，z）有，，…，，共有15组．设事件A：“肥胖学生中男生不少于女生”，
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宜昌市第一中学2017年秋季学期高二年级期末考试理科数学试题考试时间：120分钟 考试满分：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确的答案填涂在答题卡上.1.若，则A. B. C. D.2.执行如图所示的程序框图，若输入，输出的，则空白判断框内应填的条件为 A.B.C.D.3.根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则表中的值为A. B. C. D.4.已知是两个平面，直线若以①，②，③中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确命题的个数是A.0个B.1个C.2个D.3个5.“”是“，使得是真命题”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知为抛物线上一个动点，到其准线的距离为，为圆上一个动点，的最小值是A. B.1(2)(,)x i i y x y R i +=-∈x y +=1-13-31,3m n == 1.75x =1m n -<0.5m n -<0.2m n -<0.1m n -<x yx ˆ 6.517.5y x =+m 45505560、αβ,.l l αβ⊄⊄l α⊥//l βαβ⊥12m ≤-x R ∀∈13222x mx +->P 24y x =P d Q 22(4)1x y +-=d PQ +12127.已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所 示，则该截面的面积为A. B.C. D.8.下面给出的命题中：（1）已知函数，则；（2）“”是“直线与直线互相垂直”的必要不充分条件；（3）已知随机变量服从正态分布，且，则； （4）已知圆，圆，则这两个圆恰有两条公切线.其中真命题的个数为A.1B.2C.3D.49.已知命题函数是奇函数，命题函数在区间上单调递增，则下列命题中为真命题的是A. B. C. D.10.已知双曲线的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A. B ． C ． D ．11.已知函数的两个极值点分别在与内，则的取值范围是A. B ． C ． D ．12.已知函数在上可导，其导函数为，若满足：，，则下列判断一定正确的是A ．B ．C ．D ．92430()cos af a xdx =⎰()12f π=2m =-(2)10m x my +++=(2)(2)30m x m y -++-=ξ2(0,)N σ(20)0.4P ξ-≤≤=(2)0.2P ξ>=221:20C x y x ++=222:10C x y +-=:p 20181()20181x x f x -=+:q 32()g x x x =-(0,)+∞p q ∨p q ∧p q ⌝∧p q ⌝∨22221(0,0)x y a b a b -=>>()1,2()1,2-()2,+∞[]2,+∞3()23f x x ax bx c =+++()1,0-()0,1-2a b -33(,)22-3(,1)2-13(,)22-3(1,)2()f x R '()f x ()f x '(1)()()0x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦22(2)()x f x f x e --=(1)(0)f f <(2)(0)f ef <3(3)(0)f e f <4(4)(0)f e f <二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。
13.的二项展开式中的常数项的值为______． 14.甲、乙两人各进行一次射击，假设两人击中目标的概率分别是0.6和0.7，且射击结果相互独立，则甲、乙至多一人击中目标的概率为______ ．15.关于曲线C ：，给出下列说法： ①关于坐标轴对称； ②关于点对称；③关于直线对称； ④是封闭图形，面积大于．则其中正确说法的序号是______注：把你认为正确的序号都填上16.已知当取得最小值时，直线与曲线的交点个数为______.三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）已知：不等式对于恒成立，:关于的不等式有解，若为真，为假，求的取值范围．18．(本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量单位：克，重量分组区间为,,,，由此得到样本的重量频率分布直方图如图．（1）求的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值； （2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量内的小球个数为，求的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）919⎫⎪⎭421x y +=()0,0y x=π121(0,0)m n m n +=>>mn 2y =+1x x y y mn+=p 1m -≤a ⎡∈-⎣q x 20x mx m ++<p q ∨p q ∧m []5,15(]15,25(]25,35(]35,45a []5,15XX19.（本小题满分12分）将两块三角板按图甲方式拼好，其中，，，，现将三角板沿折起，使在平面上的射影恰好在上，如图乙． A B C D A B C D O 图乙 图甲（1）求证：；（2）求证：为线段中点；（3）求二面角的大小的正弦值．20．（本小题满分12分）宜昌市拟在2020年点军奥体中心落成后申办2022年湖北省省运会，据了解，目前武汉，襄阳，黄石等申办城市因市民担心赛事费用超支而准备相继退出，某机构（2）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为不同年龄与支持申办省运会无关？（3）已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性，其中2位是女教师，现从这5名女性中随机抽取3人，求至多有1位教师的概率．90B D ∠=∠=︒30ACD ∠=︒45ACB ∠=︒2AC =ACD AC D ABC O AB BC AD ⊥O AB D AC B --5%附：21.（本小题满分12分）已知椭圆的左焦点为，左顶点为． （1）是椭圆上的任意一点，求的取值范围；（2）已知直线与椭圆相交于不同的两点（均不是长轴的端点），，垂足为且，求证：直线恒过定点．22.（本题满分12分）已知函数.（1）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围；（2）在（1）的条件下，若，，，求的极小值；（3）设，.若函数存在两个零点，且满足，问：函数在处的切线能否平行于轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由.宜昌市第一中学2017年秋季学期高二年级期末考试理科数学试题参考答案一、ABDCB,CABAD,AC二、 14.0.58 15. 16.2三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）已知：不等式对于恒成立，:关于的不等式有解，若为真，为假，求的取值范围．17解：，对于，不等式恒成立，可得，22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++22143x y +=F A P PF PA ⋅:l y kx m =+,M N AH M N ⊥H 2AH MH HN =⋅l 2()ln f x x x =+()()g x f x ax =-a 1a >3()3xxhx e ae =-[]0,ln 2x ∈()h x 2()2()3F x f x x kx =--k R ∈()F x ,(0)m n m n <<02xm n=+()F x 00(,())x F x x p1m -≤a ⎡∈-⎣q x 20x mx m ++<p q ∨p q∧m：， …………3分又命题q ：有解，，解得或，…………6分为真，且为假，与q 必有一真一假当p 真q 假时，有，即，当p 假q 真时，有，即或，综上，实数m 的取值范围是．…………10分18．(本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量单位：克，重量分组区间为,,,，由此得到样本的重量频率分布直方图如图．（1）求的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值； （2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量内的小球个数为，求的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）18由题意得，，解得；又由最高矩形中点的横坐标为20， 可估计盒子中小球重量的众数约为20， 而50个样本小球重量的平均值为：克故估计盒子中小球重量的平均值约为克……………………………….4分利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在内的；则，………………………………………6分 ；；[]5,15(]15,25(]25,35(]35,45a []5,15XX； ； ，123即．………………………12分19.（本小题满分12分）将两块三角板按图甲方式拼好，其中，，，，现将三角板沿折起，使在平面上的射影恰好在上，如图乙．（1）求证：； A B C D A B C D O 图乙 图甲（2）求证：为线段中点；（3）求二面角的大小的正弦值．19解:(I)证明：由已知D 在平面ABC 上的射影O 恰好在AB 上, ∴DO ⊥平面ABC ， ∴AO 是AD 在平面ABC 上的射影．又∵BC ⊥AB ，∴BC ⊥AD ． ………………4分90B D ∠=∠=︒30ACD ∠=︒45ACB ∠=︒2AC =ACD AC D ABC O AB BC AD ⊥O AB D AC B --(II)解：由(1)得AD ⊥BC ，又AD ⊥DC 又BC ∩DC=C ，∴AD ⊥平面BDC 又∵BD ⊂平面ADB ，∴AD ⊥BD ，在R T ⊿ABD 中，由已知AC = 2，得，AD = 1，∴BD = 1, ∴BD = AD, ∴O 是AB 的中点. ………………8分 (III)解：过D 作DE ⊥AC 于E ，连结OE ，∵DO ⊥平面ABC ，∴O E 是DE 在平面ABC 上的射影．∴OE ⊥AC∴∠DEO 是二面角D －AC －B 的平面角，且即二面角D －AC －B 的正弦值为． ………………12分20．（本小题满分12分）宜昌市拟在2020年点军奥体中心落成后申办2022年湖北省省运会，据了解，目前武汉，襄阳，黄石等申办城市因市民担心赛事费用超支而准备相继退出，某机构（2）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为不同年龄与支持申办省运会无关？（3）已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性，其中2位是女教师，现从这5名女性中随机抽取3人，求至多有1位教师的概率．附： (3)分，2=AB 22=DO sin AD DC DO DE DEO AC DE ==∴∠== 5%22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为不同年龄与支持申办省运会无关； (7)分记5人为abcde ，其中ab 表示教师，从5人任意抽3人的所有等可能事件是：共10个，其中至多1位教师有7个基本事件：，所以所求概率是．…………12分21.（本小题满分12分）已知椭圆的左焦点为，左顶点为． （1）是椭圆上的任意一点，求的取值范围；（2）已知直线与椭圆相交于不同的两点（均不是长轴的端点），，垂足为且，求证：直线恒过定点．21解：设，又所以，因为P 点在椭圆上，所以，即，且，所以，函数在单调递增，当时，取最小值为0； 当时，取最大值为12．所以的取值范围是．……………………….5分由题意：联立得，由得分设，则，所以即，……10分22143x y +=F A P PF PA ⋅:l y kx m =+,M N AH M N ⊥H 2AH MH HN =⋅l所以或均适合．当时，直线l 过点A ，舍去， 当时，直线过定点． (12)22.（本题满分12分）已知函数.（1）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围；（2）在（1）的条件下，若，，，求的极小值；（3）设，.若函数存在两个零点，且满足，问：函数在处的切线能否平行于轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由.22.解：（Ⅰ） 由题意，知恒成立，即…… 2分又时等号成立. 故，所以……3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令，则，则……5分由，得或，，①若，则单调递减；在也单调递减；，则单调递增. 在也单调递增；故的极小值为……7分（Ⅲ）设在的切线平行于轴，其中① ② ③④2()ln f x x x =+()()g x f x ax =-a 1a >3()3xx h x e ae =-[]0,ln 2x ∈()h x 2()2()3F x f x x kx =--k R ∈()F x ,(0)m n m n <<02x m n=+()F x 00(,())x F x x 21()()ln ,()2.g x f x ax x x ax g x x a x '=-=+-=+-()0,(0,)g x x '≥∈+∞min1(2)a x x ≤+10,2x x x >+≥2x =min 1(2)x x +=a ≤1a <≤x e t =[1,2]t ∈3()()3.h x H t t at ==-2()333(H t t a t t '=-=()0H t '=t =t =34[1,2]a ∈ 1t <()0,()H t H t '<()h x 2t <≤()0,()H t H t '>()h x 2]()h x 2h =-()F x 00(,())x F x x 2()2ln .F x x x kx =--结合题意，有 ……9分① —②得，所以由④得 所以⑤ ……10分设，⑤式变为设，所以函数在上单调递增，因此，，即也就是，，此式与⑤矛盾.所以在处的切线不能平行于轴. …………12分220002ln 0,2ln 0,2,220,m m km n n kn m n x x k x ⎧--=⎪--=⎪⎪+=⎨⎪⎪--=⎪⎩2ln ()()().m m n m n k m n n -+-=-02ln2.m n k x m n =--0022.k x x =-2(1)2()ln .1mmm n n m n m n n --==++(0,1)m u n =∈2(1)ln 0((0,1)).1u u u u --=∈+2(1)ln ((0,1))1u y u u u -=-∈+2222212(1)2(1)(1)4(1)0,(1)(1)(1)u u u u u y u u u u u u +--+--'=-==>+++2(1)ln 1u y u u -=-+(0,1)1|0u y y =<=2(1)ln 0.1u u u --<+2(1)ln 1m mnm n n -<+()F x 00(,())x F x x。