人教B版高中数学选修4-4创新设计练习1.5柱坐标系和球坐标系(含答案详析)
2019版高中数学人教B版选修4-4：第一章 坐标系 检测 含解析
17π6)-7π6)2,-11π6)2,13π6):B2将曲线F(x,y)=0上的点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标缩短为原来的1,得到的曲线方程为( )3若ρ1=ρ2≠0,θ1+θ2=π,则点M1(ρ1,θ1)与点M2(ρ2,θ2)的位置关系是( ) A.关于极轴所在的直线对称关于极点对称关于过极点垂直于极轴的直线对称重合:C以(-2,π4)为圆心,半径为2的圆的极坐标方程为( )4A.ρ=-(sin θ+cos θ)sin θ+cos θ5A.圆6在极坐标系中有如下三个结论:①点P 在曲线C 上,则点P 的极坐标满足曲线C 的极坐标方程tan θ=1(ρ≥0)与θ≥0)表示同一条曲线;③ρ=3与ρ=-3表示同一条曲线.其中正确的是( )=π4(ρ①③②③:在直角坐标系内,曲线上每一点的坐标一定适合它的方程,但在极坐标系内,曲线上一点的所有极坐标不一定都适合方程,故①错误;tan θ=1不仅表示θ,还表示θ,故②错误;ρ==π4这条射线=5π4这条射线ρ=-3差别仅在于方向不同,但都表示圆心为极点,半径为3的圆,故③正确.7(8极坐标方程ρ=cos θ与ρcos θ=12的图形是( ):把ρcos θ,得x=12化为直角坐标方程=12,又圆ρ=cos θ的圆心B 正确.为(12,0),半径为12,故选项9(Q(1,π2)的最短距离等于( ) 10极坐标系内曲线ρ=2cos θ上的动点P与定点A.‒1‒1:将ρ=2cos θ化成直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,点Q的直角坐标为(0,1),则点P到点Q的最短距离为点Q与圆心(1,0)的距离减去半径,即2‒1.:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)1112解析13解析所以圆心到直线的距离1.1+3所以上的点到直的距离的最小:114已知曲线C 1,C 2的极坐标方程分别为ρcos θ=3,ρ=4cosθ(ρ≥0,0≤θ<π2),则曲线C 1与C 2交点的极坐标为 .:∵{ρcosθ=3,ρ=4cosθ,①②∴4cos 2 θ=3,∴2(1+cos 2θ)=3.∴cos 2θ=12.15故S △AOB=12×3-32×1=3-34.:3-34三、解答题(本大题共3小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换{X =2x ,Y =2y 后,曲线C 变为曲线(X ‒5)2+(Y +6)2=1,求曲线C 的方程,并判断其形状.(X-5)2+(Y+6)2=1,将{X =2x ,Y =2y 代入得(2x-5)2+(2y+6)2=1,(5)117设点B'的柱坐标为(ρ2,θ2,z 2),则ρ2=|OB|∠BOA =|OA |2+|AB |2=32+32=32,θ2==π4,z 2=3,所以点B'的柱坐标为(32,π4,3);如图,取OB 的中点E ,连接PE ,=|OE|=12|OB|=322,θ3==π,z 3=3,18(1)写出不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为(2,1),所求直线斜率为k =12,于是所求直线方程为y-1=12 (x-12),化为极坐标方程,并整理得2ρcos θ-4ρsin θ=-3,即ρ=34sinθ-2cosθ.。
2016-2017学年高中数学人教B版选修4-4学业分层测评 第
学业分层测评(四)一、选择题(每小题5分，共20分)1.空间直角坐标系Oxyz中，下列柱坐标对应的点在平面yOz内的是()A.(1，π2，2) B.(2，π3，0)C.(3，π4，π6) D.(3，π6，π2)【解析】由P(ρ，θ，z)，当θ＝π2时，点P在平面yOz内.【答案】 A2.设点M的直角坐标为(2,0,2)，则点M的柱坐标为()A.(2,0,2)B.(2，π，2)C.(2，0,2)D.(2，π，2)【解析】设点M的柱坐标为(ρ，θ，z)，∴ρ＝x2＋y2＝2，tan θ＝yx＝0，∴θ＝0，z＝2.∴点M的柱坐标为(2,0,2).【答案】 A3.在空间球坐标系中，方程r＝2(0≤θ＜2π，0≤φ≤π2)表示()A.圆B.半圆C.球面D.半球面【解析】设动点M的球坐标为(r，θ，φ)，由于r＝2,0≤θ＜2π，0≤φ≤π2.动点M的轨迹是球心在点O，半径为2的上半球面.【答案】 D4.已知点M的直角坐标为(0,0,1)，则点M的球坐标可以是()A.(1,0,0)B.(0,1,0)C.(0,0,1)D.(1，π，0)【解析】设M的球坐标为(r，θ，φ)，则r＝x2＋y2＋z2＝1，θ＝0，又cos φ＝z r ＝1，∴φ＝0.故点M 的球坐标为(1,0,0).【答案】 A二、填空题(每小题5分，共10分)5.已知点M 的球坐标为(4，3π4，π4)，则点M 到Oz 轴的距离为________.【解析】 设M 的直角坐标为(x ，y ，z )，则由(r ，θ，φ)＝(4，3π4，π4)，知x ＝4sin π4cos 34π＝－2，y ＝4sin π4sin 34π＝2，z ＝r cos φ＝4cos π4＝2 2.∴点M 的直角坐标为(－2,2,22).故点M 到Oz 轴的距离为(－2)2＋22＝2 2.【答案】 2 26.若点M 的柱坐标为(2，2π3，－2)，则点M 的直角坐标为________.【解析】 设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，∵(ρ，θ，z )＝(2，23π，－2)，∴x ＝ρcos θ＝－1，y ＝ρsin θ＝3，z ＝－2.故点M 的直角坐标为(－1，3，－2).【答案】 (－1，3，－2)三、解答题(每小题10分，共30分)7.已知球坐标系Oxyz 中，M (6，π3，π3)，N (6，π3，2π3)，求|MN |.【解】 ∵|OM |＝|ON |＝6，∠MON ＝π3.∴△MON 为等边三角形.∴|MN |＝6.8.在柱坐标系中，求满足⎩⎨⎧ ρ＝10≤θ<2π0≤z ≤2的动点M (ρ，θ，z )围成的几何体的体积. 【导学号：62790007】【解】 根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝1,0≤θ<2π，0≤z ≤2的动点M (ρ，θ，z )的轨迹如图所示，是以直线Oz 为轴，轴截面为正方形的圆柱.圆柱的底面半径r ＝1，h ＝2，∴V ＝Sh ＝πr 2h ＝2π.9.经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测，并通过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻的位置，离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，此时经度为80°，纬度为75°.试建立适当的坐标系，确定出此时航天器点P 的坐标.【解】 在赤道平面上，选取地球球心为极点，以O 为原点且与零度子午线相交的射线Ox 为极轴，建立球坐标系.由已知航天器位于经度为80°，可知θ＝80°.由航天器位于纬度75°，可知，φ＝90°－75°＝15°，由航天器离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，可知r ＝2 384＋6 371＝8 755千米.所以点P 的球坐标为(8 755,80°，15°).。
高中数学第一章坐标系1.5柱坐标系和球坐标系练习(含解析)新人教B版选修4_4
1.5 柱坐标系和球坐标系课时过关·能力提升1点P的柱坐标为(16,π3,5),则其直角坐标为()A.(5,8,8√3)B.(8,8√3,5)C.(8√3,8,5)D.(4,8√3,5)ρ=16,θ=π3,z=5,∴x=ρcosθ=8,y=ρsinθ=8√3,z=5,∴点P的直角坐标是(8,8√3,5).2点M的直角坐标为(√3,1,−2),则它的柱坐标为()A.(2,π6,2)B.(2,π3,2)C.(2,π6,-2)D.(2,-π6,-2)=√(√3)2+12=2,tan z=3=√33,z=π6,故点M的柱坐标为(2,π6,-2).3已知点M的球坐标为(4,3π4,π4),则点z到zz轴的距离为()A.2√2B.√2C.2D.4M的直角坐标为(x,y,z),∵(r,θ,φ)=(4,3π4,π4),∴{z =z sin z cos z =4sin π4cos3π4=-2,z =z sin z sin z =4sin π4sin 3π4=2,z =z cos z =4cos π4=2√2, ∴点M 的直角坐标为(-2,2,2√2),点M 到Oz 轴的距离为√22+22=2√2.故选A .4在柱坐标系中,点M 的柱坐标为(2,π3,√5),则|zz |= .(ρ,θ,z )=(2,π3,√5),设点M 的直角坐标为(x ,y ,z ),则x 2+y 2=ρ2=4,z =√5,∴|OM|=√z 2+z 2+z 2=√4+(√5)2=3. 5设点M 的柱坐标为(4,7π6,1),则它的直角坐标是 .ρ=4,θ=7π6,z =1,∴x=ρcos θ=4co s7π6=−2√3,y=ρsin θ=4si n7π6=−2.∴点M 的直角坐标是(-2√3,−2,1). -2√3,−2,1)6如图,请写出点M 的球坐标.,|OM|=r ,OM 与z 轴正向所夹的角为φ,点M 在xOy 平面上的射影为点Q ,Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点M 的位置就可以用有序数组(r ,θ,φ)来表示,即M (r ,θ,φ).7已知点P 的柱坐标为(√2,π4,5),点z 的球坐标为(√6,π6,π3),分别求这两个点的直角坐标.P 的直角坐标为(x ,y ,z ),则x=√2cosπ4=√2×√22=1,y=√2sinπ4=1,z=5.设点B的直角坐标为(x1,y1,z1),则x1=√6sinπ3cosπ6=√6×√32×√32=3√64,y1=√6sinπ3sinπ6=√6×√32×12=3√24,z1=√6cosπ3=√6×12=√62.所以点P的直角坐标为(1,1,5),点B的直角坐标为(3√64,3√24,√62).★8在球坐标系中,求两点z(3,π4,π6),z(3,3π4,π6)间的距离.P,Q两点的球坐标转化为直角坐标.设点P的直角坐标为(x,y,z),x=3si nπ6cosπ4=3√24,z=3sinπ6sinπ4=3√24,z=3co sπ6=3√32.则点P的直角坐标为(3√24,3√24,3√32).设点Q的直角坐标为(x1,y1,z1).x1=3si nπ6cos3π4=−3√24,z1=3sinπ6sin3π4=3√24,z1=3co sπ6=3√32.∴点Q的直角坐标为(-3√24,3√24,3√32).∴|PQ|=√(3√24+3√24)2+(3√24-3√24)2+(3√32-3√32)2=3√22,即P,Q两点间的距离为3√22.。
最新北师大版高中数学高中数学选修4-4第一章《坐标系》测试卷(包含答案解析)(2)
一、选择题1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换22x xy y ''=⎧⎨=⎩后，曲线C 变为曲线()()22561x y -++=，则曲线C 的对称中心是（ ）A ．()5,6-B ．5,32⎛⎫-⎪⎝⎭C ．()10,12-D ．5,62⎛⎫- ⎪⎝⎭2．点P 对应的复数为33i -+，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标为（ ）A ．34π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．54π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．53,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．33,4π⎛⎫- ⎪⎝⎭3．在极坐标系中，点P 在圆1ρ=上，则点P 到直线()cos 2sin 5ρθθ+=的距离的最小值为（ ）A B C 1D 14．将点的直角坐标(2,-化为极径ρ是正值，极角在0到2π之间的极坐标是（ ）A ．24,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．54,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．6π⎛⎫⎪⎝⎭D ．3π⎛⎫⎪⎝⎭5．若22,3P π⎛⎫⎪⎝⎭是极坐标系中的一点，则8552,,2,,2,,2,3333Q R M N ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭四个点中与点P 重合的点有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．在极坐标系中，曲线1:2cos C ρθ=，曲线2:4C πθ=，若曲线1C 与2C 交于,A B 两点，则线段AB 的长度为（ ）A ．2BC ．D ．17．以π4⎛⎫⎪⎝⎭） A ．ρ=-(sin θ+cosθ) B ．ρ=sin θ+cosθ C ．ρ=-2(sin θ+cosθ)D ．ρ=2(sin θ+cosθ)8．在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标是 A ．(1,)2πB ．(1,)2π-C ．(1,0)D ．(1，π)9．在极坐标系中，过点2,3π⎛⎫⎪⎝⎭且与极轴平行的直线的方程是（ ） A．cos ρθ=B．sin ρθ=C．ρθ=D．ρθ10．将正弦曲线sin y x =的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的13，所得曲线的方程为 A ．3sin y x = B ．sin 3y x = C ．1sin3y x = D ．1sin 3y x =11．若曲线2 1x ty t =-⎧⎨=-+⎩（t为参数）与曲线ρ=B ， C 两点，则BC 的值为（ ） A．2BCD12．化极坐标方程2cos 20ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） A ．2202x y y +==或 B ．2x =C ．2202x y x +==或D ．2y =二、填空题13．已知椭圆C 的参数方程是5cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数，02θπ≤≤)，则其右焦点坐标是__________．14．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴建立极坐标系，若曲线C 的极坐标方程为3sin ρθ=，则曲线C 的直角坐标方程为___. 15．在极坐标系下，点(2,)6π到直线2cos()13πρθ-=的距离为________. 16．在同一平面直角坐标系中，将曲线22368120x y x --+=变成曲线22''4'30x y x --+=，则满足上述图形变换的伸缩变换是________.17．在极坐标系中，如果直线cos =a ρθ与圆2sin ρθ=相切，那么a =____． 18．在以O 为极点的极坐标系中，曲线2cos ρθ=和直线cos =a ρθ相交于,A B 两点.若AOB ∆是等边三角形，则a 的值为__________．19．在直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l的参数方程为242x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩,直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，则a 的值为________.20．已知直线的极坐标方程为πρcos θ23⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则点πA 2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线的距离为________ ．三、解答题21．在极坐标系中，已知直线l 过点1,0A ，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为3π，求：（1）直线的极坐标方程； （2）极点到该直线的距离.22．已知曲线C 的极坐标方程是4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 过点(1,0)M ，倾斜角为34π. （1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程； （2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求||||MA MB +的值. 23．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（其中α为参数），曲线()222:11C x y -+=，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的极坐标方程； (2)若射线(0)6πθρ=>与曲线1C ，2C 分别交于,A B 两点，求AB .24．C ．（极坐标与参数方程）在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为42525x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为()cos 04a πρθ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭.（1）求直线l 和圆C 的直角坐标方程；（2）若圆C 任意一条直径的两个端点到直线la 的值.25．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），曲线2C 的直角坐标方程为22(4)16x y +-=.（1）求1C 与2C 的极坐标方程；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求AB .26．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2221243sin cos ρθθ=+，直线l 与曲线C 交于,A B 两点． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求AB ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据题意，点(,)x y ''在曲线()()22561x y -++=上，由伸缩变换公式22x xy y''=⎧⎨=⎩，将其代入()()22561x y -++=中化简，将其变形为标准方程即可求解. 【详解】解：由题意，点(,)x y ''在曲线()()22561x y -++=上，()()22561x y ''∴-++=，又22x x y y '==⎩'⎧⎨，()()()22225125261324x y x y ⎛⎫∴-++=⇒-++= ⎪⎝⎭，所以曲线C 的对称中心是5,32⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题考查伸缩变换公式的应用， 关键是将变换后的量代入方程进行化简，考查理解辨析能力及运算求解能力，属于基础题.2．A解析：A 【解析】分析：先求出点P 的直角坐标，P 到原点的距离r ，根据点P 的位置和极角的定义求出极角，从而得到点P 的极坐标． 详解：点P 对应的复数为33i -+，则点P 的直角坐标为()3,3-，点P 到原点的距离r =，且点P 第二象限的平分线上，故极角等于34π，故点P 的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故选A ．点睛：本题考查把直角坐标化为极坐标的方法，复数与复平面内对应点间的关系，求点P 的极角是解题的难点．3．D解析：D 【分析】将极坐标方程转化为普通方程，将圆上点到直线距离问题转化为圆心到直线的距离再减半径，即可求出其最小值． 【详解】由1ρ=得221x y +=，∴圆心（0，0），r = 由()cos 2sin 5ρθθ+=，得25x y +=，又圆心（0，0）到直线的距离为d r ==>，∴直线和圆相离，所以点P 到直线250x y +-=1r =， 故选：D. 【点睛】本题考查了极坐标方程和普通方程的转化，考查直线和圆的关系，考查了转化思想，属于中档题．4．A解析：A 【分析】由P 点的直角坐标(2,-，可得tan yxρθ==，再利用P 点在第二象限且极角在0到2π之间即可求. 【详解】解：∵点P 的直角坐标(2,-，∴4ρ===，tan 2y x θ===-， 又点P 在第二象限，极角θ在0到2π之间，∴23πθ=．∴满足条件的点P 的极坐标为24,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭． 故选：A ． 【点睛】考查直角坐标和极坐标的互化. 极坐标概念：点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的∠xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标，记为(,)M ρθ.5．C解析：C 【解析】 【分析】分别将各点化为直角坐标即可判断 【详解】P （2，23π）化直角坐标为222cos1,2sin 33x y ππ==-==(- 同理8552,,2,,2,,2,3333Q R M N ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭化直角坐标分别为((((;;;Q R M N ---则与点P 重合的点有3个． 故选：C ． 【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标互化公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．B解析：B 【解析】 【分析】分别将曲线1C ，2C 的极坐标方程化为普通方程，根据直线与圆相交，利用点到直线的距离公式结合垂径定理，可得结果 【详解】 根据题意， 曲线()222221:22cos 211C cos x y xx y ρθρρθ==+=-+=曲线2:4C y x πθ==，则直线与圆相交，圆的半径为1，圆心到直线y x =的距离为d ==设AB 长为m ，则有22212m d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即211142m +=解得m =（舍负）故线段AB 故选B 【点睛】本题主要考查的是极坐标与直角坐标方程的互化，圆的方程以及直线与圆的位置关系，是一道基础题7．C解析：C 【解析】分析：先求出圆心的直角坐标，再写出圆的直角坐标方程，最后把直角坐标方程化为极坐标方程得解.详解：由题得cos 1,sin1,44x y ππ==-==-所以点的直角坐标为（-1，-1），所以圆的方程为22(1)(1)2x y +++=，所以222220,2cos 2sin 0x y x y ρρθρθ+++=∴++=， 所以2cos 2sin ρθθ=--，故答案为C.点睛：（1）本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查极坐标方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析转化能力.(2)求极坐标方程，一般先求出直角坐标方程，再化成极坐标方程.8．B解析：B 【详解】由题圆2sin ρθ=-，则可化为直角坐标系下的方程,22sin ρρθ=-，222x y y +=-，2220x y y =++，圆心坐标为（0，-1）， 则极坐标为1,2π⎛⎫-⎪⎝⎭，故选B. 考点：直角坐标与极坐标的互化.9．B解析：B 【解析】分析：将2,3π⎛⎫⎪⎝⎭化为直角坐标为(，过点(与x 平行的直线方程为y =为极坐标方程即可. 详解：将2,3π⎛⎫⎪⎝⎭化为直角坐标为(，过点(与x平行的直线方程为y =将y =sin ρθ=， 所以过点2,3π⎛⎫⎪⎝⎭且与极轴平行的直线的方程是sin ρθ= B. 点睛：利用关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，222tan x y y xρθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．10．B解析：B 【解析】伸缩变换为1'3'x xy y⎧=⎪⎨⎪=⎩，变形得3''x x y y =⎧⎨=⎩，代入sin y x =，得'sin3'y x =，即所求曲线方程为sin3y x =．故选B ．11．C解析：C 【分析】分析：把参数方程化为普通方程，把极坐标方程化为直角坐标方程，利用直线与圆相交的弦长处理方法计算． 详解：曲线21x ty t=-⎧⎨=-+⎩的普通方程为10x y +-=，曲线ρ=228x y +=，圆心O到直线的距离为d ==r =∴BC＝=C ． 点睛：直线与圆相交的弦长有两种方法：一是代数方法，一是几何方法，代数法就是由直线与圆方程联立方程组解得交点坐标，再由两点间距离公式求得弦长，常用的是几何方法：用垂径定理，即求出圆心到直线的距离d，则弦长l =12．C解析：C 【解析】由题意得，式子可变形为(cos 2)0ρρθ-=，即0ρ=或cos 20ρθ-=，所以x 2+y 2=0或x=2，选C.【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化． 二、填空题13．【分析】根据题意将椭圆的参数方程变形为普通方程可得其标准方程为：据此分析可得椭圆的焦点位置以及的值即可得答案【详解】解：根据题意椭圆的参数方程为(为参数)则其标准方程为：则椭圆的焦点在轴上且则的右焦 解析：()4,0【分析】根据题意，将椭圆的参数方程变形为普通方程，可得其标准方程为：221259x y +=，据此分析可得椭圆的焦点位置以及c 的值，即可得答案． 【详解】解：根据题意，椭圆C 的参数方程为5cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数，02θπ≤≤)， 则其标准方程为：221259x y +=，则椭圆C 的焦点在x轴上，且4=c ， 则C 的右焦点坐标为()4,0； 故答案为：()4,0 【点睛】本题考查椭圆的参数方程以及椭圆的标准方程，关键是求出椭圆的普通方程．14．【分析】转化为由于即可得解【详解】又由于即故答案为：【点睛】本题考查了极坐标和直角坐标的互化考查了学生概念理解转化划归的能力属于基础题解析：223924x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭【分析】转化3sin ρθ=为23sin ρρθ=，由于cos ,sin x y ρθρθ==，即可得解. 【详解】23sin 3sin ρθρρθ=∴=又由于cos ,sin x y ρθρθ==223x y y ∴+=即223924x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ 故答案为：223924x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查了极坐标和直角坐标的互化，考查了学生概念理解，转化划归的能力，属于基础题.15．1【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程利用点到直线的距离公式即可得出【详解】直线化为：即点化为点到直线的距离故答案为：1【点睛】本题考查极坐标与直角坐标方程的互化点到直线的距离公式考查推理能力与计算解析：1 【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式即可得出． 【详解】 直线2cos()13πρθ-=化为：12cos ()sin sin 123πρθρθ⨯-+=，即20x +=． 点(2,)6P π化为P ，∴点P到直线的距离1d ==．故答案为：1． 【点睛】本题考查极坐标与直角坐标方程的互化、点到直线的距离公式，考查推理能力与计算能力，属于中档题．16．【解析】【分析】分别将曲线化为曲线化为得到整理即可求解【详解】由题意曲线可化为①曲线可化为②比较①②可得整理得即图象的伸缩变换为故答案为：【点睛】本题主要考查了图形的伸缩变换的应用其中解答中正确理解解析：'2'3x x y y⎧=⎪⎨⎪=⎩ 【解析】 【分析】分别将曲线22368120x y x --+=化为224912x y -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，曲线22''4'30x y x --+=化为()22'2'1x y --=，得到4'22'3x x y y-⎧-=⎪⎨⎪=⎩，整理即可求解．【详解】由题意，曲线22368120x y x --+=可化为224912x y -⎛⎫-= ⎪⎝⎭.①曲线22''4'30x y x --+=可化为()22'2'1x y --=.②比较①②，可得4'22'3x x y y -⎧-=⎪⎨⎪=⎩，整理得'2'3x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即图象的伸缩变换为'2'3x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩．故答案为：'2'3x x y y⎧=⎪⎨⎪=⎩．【点睛】本题主要考查了图形的伸缩变换的应用，其中解答中正确理解图形的伸缩变换，合理根据两曲线方程的性质，得出变换的关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．17．【分析】分别化直线与圆的极坐标方程为直角坐标方程再由圆心到直线的距离等于半径即可求得a 值【详解】由直线ρcosθ=a 得直角坐标方程为x=a 由圆ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ即x2+y2﹣2y=0 解析：±1【分析】分别化直线与圆的极坐标方程为直角坐标方程，再由圆心到直线的距离等于半径即可求得a 值． 【详解】由直线ρcosθ=a ，得直角坐标方程为x=a ，由圆ρ=2sinθ，得ρ2=2ρsinθ，即x 2+y 2﹣2y=0，化为标准方程：x 2+（y ﹣1）2=1． 则圆心坐标（0，1），半径为1．由直线x=a 与圆x 2+（y ﹣1）2=1相切，可得a=±1． 故答案为±1 【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标方程的互化,考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.18．【解析】分析：求出曲线的直角坐标方程为直线的直角坐标方程为：作出图形利用勾股定理即可求出的值详解：曲线和直线曲线的直角坐标方程为直线的直角坐标方程为：曲线和直线相交于两点是等边三角形如图设则解得则解解析：32【解析】分析：求出曲线的直角坐标方程为2220x y x +-=，直线的直角坐标方程为：x a =，作出图形，利用勾股定理即可求出a 的值详解：曲线2cos ρθ=和直线cos a ρθ=∴曲线的直角坐标方程为2220x y x +-=，直线的直角坐标方程为：x a =曲线2cos ρθ=和直线cos a ρθ=相交于A B ，两点，AOB ∆是等边三角形∴如图，设OC a =，BC b =3b a =，解得3b =3B a ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，则223203a a a ⎛⎫+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，解得32a = 点睛：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程的运算，由题意可得其数量关系，运用极坐标进行计算。
新北师大版高中数学高中数学选修4-4第一章《坐标系》检测卷(含答案解析)(1)
一、选择题1．已知点P 的极坐标是1,2π⎛⎫⎪⎝⎭，则过点P 且垂直极轴的直线方程是（ ） A ．12ρ=B ．1cos 2ρθ=C ．12cos ρθ=-D ．2cos ρθ=-2．在极坐标系中，点P 在圆1ρ=上，则点P 到直线()cos 2sin 5ρθθ+=的距离的最小值为（ ） A ．5B ．3C ．31-D ．51-3．已知三个不同的点,,E F G 在圆22(1)9x y -+=上运动，且GE GF ⊥，若点Q 的坐标为()4,4，则QE QF QG ++的取值范围是（ ） A ．[23,32]B ．[]1,6C ．[]2,9D ．[]12,184．在极坐标中，为极点，曲线：上两点对应的极角分别为，则的面积为 A ．B ．C ．D ．5．点(,)ρθ满足223cos 2sin 6cos ρθρθθ+=，则2ρ的最大值为（ ） A ．72B ．4C ．92D ．56．在极坐标系中，设圆8:sin C ρθ=与直线 ():4l R πθρ=∈交于A B ，两点，则以线段AB 为直径的圆的极坐标方程为（ ） A ．424πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．424πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．224πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．224πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭7．若22,3P π⎛⎫⎪⎝⎭是极坐标系中的一点，则8552,,2,,2,,2,3333Q R M N ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭四个点中与点P 重合的点有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．在极坐标系中，点2,6π⎛⎫⎪⎝⎭到直线sin 16πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的距离是( ) A 5B ．3 C ．1D ．29．以π4⎛⎫⎪⎝⎭） A ．ρ=-(sin θ+cosθ) B ．ρ=sin θ+cosθ C ．ρ=-2(sin θ+cosθ)D ．ρ=2(sin θ+cosθ)10．极坐标方程2cos 3cos 30ρθρθρ-+-=表示的曲线是（ ） A ．一个圆B ．两个圆C ．两条直线D ．一个圆和一条直线11．在极坐标系中有如下三个结论：①点P 在曲线C 上，则点P 的极坐标满足曲线C 的极坐标方程；②tan 1θ=与4πθ=表示同一条曲线；③3ρ=与3ρ=-表示同一条曲线．在这三个结论中正确的是（ ） A ．①③B ．③C ．②③D ．①12．化极坐标方程2cos 20ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） A ．2202x y y +==或 B ．2x =C ．2202x y x +==或D ．2y =二、填空题13．在极坐标系中，直线sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4ρ=截得的弦长为______. 14．在极坐标系中，直线cos 1ρθ=与圆4cos ρθ=相交于,A B 两点，则AB =___． 15．已知圆M的极坐标方程为2cos()604πρθ--+=，则ρ的最大值为______.16．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为:cos 4l πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C的参数方程12x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（θ为参数）.则曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值为________.17．极坐标2,3π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为______. 18．过点4π)且与极轴平行的直线的极坐标方程是_______． 19．以平面直角坐标系xOy 的坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆2cos ρθ=的圆心的平面直角坐标为______________．20．（坐标系与参数方程选做题）已知圆C 的圆心为(6,)2π，半径为5，直线(,)2r πθαθπρ=≤<∈被圆截得的弦长为8，则α=_____．三、解答题21．在平面直角坐标系xoy ，曲线1:40C x y +-=，曲线2cos :1sin x C y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），以坐标原点O 为 极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）射线:0,02l a a πθρ⎛⎫=≥<<⎪⎝⎭分别交1C ，2C 于M ，N 两点，求ON OM的最大值.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1{x tcos y tsin αα=+=（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，若点P 的直角坐标为()1,0，试求当4πα=时，PA PB +的值. 23．在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩(其中α为参数），曲线2C 的方程为2213x y +=，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的极坐标方程； （2）若射线()06πθρ=>与曲线12,C C 分别交于,A B 两点，求AB .24．在极坐标系下，已知圆C ：cos sin ρθθ=+和直线l ：20x y -+=. （1）求圆C 的直角坐标方程（2）求圆C 上的点到直线l 的最短距离．25．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线1C 的极坐标方程为sin 4ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为22cos 4sin 10ρρθρθ--+=，曲线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈.（1）求1C 与2C 的直角坐标方程；（2）若2C 与1C 的交于P 点，2C 与3C 交于A 、B 两点，求PAB ∆的面积.26．在直角坐标系xOy 中，圆C的直角坐标方程为22((1)4x y +-=，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）写出圆C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐标方程为3πθ=(ρ∈R )与圆C 交于,M N 两点，求CMN ∆的面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】把极坐标化为直角坐标，求出直线的直角坐标方程，再化为极坐标方程． 【详解】1,2P π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴过P 且与极轴垂直的直线的直角坐标方程为12x =-，其极坐标方程为1cos 2ρθ=-，即12cos ρθ=-．故选：C ． 【点睛】本题考查求直线的极坐标方程，解题时利用极坐标与直角坐标的互化求解．2．D解析：D 【分析】将极坐标方程转化为普通方程，将圆上点到直线距离问题转化为圆心到直线的距离再减半径，即可求出其最小值． 【详解】由1ρ=得221x y +=，∴圆心（0，0），r = 由()cos 2sin 5ρθθ+=，得25x y +=，又圆心（0，0）到直线的距离为d r ==>，∴直线和圆相离，所以点P 到直线250x y +-=1r =， 故选：D. 【点睛】本题考查了极坐标方程和普通方程的转化，考查直线和圆的关系，考查了转化思想，属于中档题．3．D解析：D 【分析】利用数形结合，采用建系的方法，根据向量的坐标表示以及运算，结合辅助角公式，可得结果. 【详解】 如图：由GE GF ⊥，可知EF 为直径 可设()()13cos ,3sin ,13cos ,3sin E F ϕϕϕϕ+--， ()13cos ,3sin G θθ+所以()33cos ,3sin 4QE ϕϕ=-+-，()33cos ,3sin 4QF ϕϕ=---- ()3cos 3,3sin 4QG θθ=--则()3cos 9,3sin 12QE QF QG θθ++=-- 所以()()223cos 93sin 12QE QF QG θθ++=-+-化简可得()23454cos 72sin QE QF QG θθ++=-+即()323490sin ,tan 4QE QF QG θϕϕ++=-+=所以当()sin 1θϕ+=时，min12QE QF QG++= 当()sin 1θϕ+=-时，max18QE QF QG++=所以||QE QF QG ++的取值范围为[]12,18 故选：D 【点睛】本题主要考查向量的坐标表示，对这种几何问题，常会采用建系，将几何问题代数化，化繁为简，属中档题.4．A解析：A 【解析】 【分析】将、两点的极角代入曲线的极坐标方程，求出、，将、的极角作差取绝对值得出，最后利用三角形的面积公式可求出的面积。
高中数学第一章坐标系1.5柱坐标系和球坐标系练习(含解析)新人教B版选修44
高中数学第一章坐标系1.5柱坐标系和球坐标系练习（含解析）新人教B版选修44课时过关·能力提升1点P的柱坐标A.(5,8,B.(8,C.(D.(4,解析:∵ρ=16,θ∴x=ρcosθ=8,y=ρsinθ=∴点P的直角坐标是(8,答案:B2点M的直角坐标为ABCD解析:ρ故点M的柱坐标答案:C3已知点M的球坐标A.C.2D.4解析:设点M的直角坐标为(x,y,z),∵(r,θ,φ)∴点M的直角坐标为(-2,2,点M到Oz轴的距离A.答案:A4在柱坐标系中,点M的柱坐标解析:∵(ρ,θ,z)M的直角坐标为(x,y,z), 则x2+y2=ρ2=4,z∴|OM|答案:35设点M的柱坐标解析:∵ρ=4,θ∴x=ρcosθ=4coy=ρsinθ=4si∴点M的直角坐标是(-答案:(-6如图,请写出点M的球坐标.解:由球坐标的定义和题图知,|OM|=r,OM与z轴正向所夹的角为φ,点M在xOy平面上的射影为点Q,Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点M的位置就可以用有序数组(r,θ,φ)来表示,即M(r,θ,φ).7已知点P的柱坐标解:设点P的直角坐标为(x,y,z),则xy设点B的直角坐标为(x1,y1,z1),则x1y1z1所以点P的直角坐标为(1,1,5),点B的直角坐标★8在球坐标系中,求两点解:将P,Q两点的球坐标转化为直角坐标.设点P的直角坐标为(x,y,z),x=3siz=3co则点P的直角坐标设点Q的直角坐标为(x1,y1,z1).x1=3siz1=3co∴点Q的直角坐标∴|PQ|=即P,Q两点间的距离。
2017-2018学年高中数学人教B版选修4-4：第一章 1.5 1.5.2 球坐标系
À 在 Rt△OO1B 中，∠O1BO＝ ，OB＝R， 4 2 ∴O1B＝O1A＝ R. 2 À ∵∠AO1B＝ ，∴AB＝R. 2 À 在△AOB 中，AB＝OB＝OA＝R，∴∠AOB＝ . 3 À 故飞机沿经过 A， B 两地的大圆飞行，航线最短，其路程为 R. 3
我们根据 A， B 两地的球坐标找到纬度和经度，当飞机沿着 过 A，B 两地的大圆飞行时，飞行最快．求所飞行的路程实际上 是要求我们求出过 A，B 两地的球面距离．
解析：设点 M 的直角坐标为 (x， y， z)，则点 M 关于 (0,0,0) 的对称点 M′的直角坐标为 (－ x，－ y，－ z)，设 M′的球 cos ¸ ， x＝ rsin Æ sin ¸ ， 坐标为 (r′， Æ ′， ¸ ′ )，因为 y＝ rsin Æ z＝ rcos Æ ，
4À 5À 题需要先搞清球坐标 5， 3 ， 6 中各个坐标的意义，然后代入相
应的公式求解即可．
[精解详析] ∵M
4À 5À 的球坐标为5， 3 ， 6 ，
5À 4À ∴r＝5，Æ ＝ ，¸ ＝ . 6 3 5À 4À 5 x＝5sin cos ＝－ ， 6 3 4 5À 4À 5 3 y ＝ 5sin sin ＝－ ， 得 6 3 4 5À 5 3 z＝5cos ＝－ . 6 2
一、选择题 1．已知一个点 P
3À À 的球坐标为2， 4 ，4 ，点
P 在 xOy 平面上
* * * * 的投影点为 P0，则与 OP0
的夹角为
À À 3À ＝ . 解析：∵Æ ＝ ，∴OP 与 OP0 之间的夹角为2－Æ 4 4
答案：A
2．点M 的球坐标为 (r， Æ ， ¸ )(Æ ， ¸ ∈(0， À))，则其关于点 (0,0,0) 的对称点的坐标为 A．(－r，－Æ ，－¸ ) C．(r，À＋Æ ，¸ ) ( B．(r，À－Æ ，À－¸ ) D．(r，À－Æ ，À＋¸ ) )
高中数学选修4-4《球坐标系与柱坐标系》
那么怎样确定它们在空间的位置呢?
建构数学 z
在空间任取一点O作为
极点，从O引两条相互
垂直的射线Ox和Oz作
O
为极轴，再规定一个长
度单位和射线Ox绕Oz
x
轴转动所成的角的正方
向，这样就建立了一个
球坐标系。 (或空间极坐标系)
建构数学
设P是空间一点，用r表 示OP的长度，表示以 Oz为始边，OP为终边 的角，表示半平面xOz 到半平面POz的角.
之间的变换关系:
x2 y2 z2 r2
z
P (r, , )
r
z
x r sin cos
y
r
sin
sin
z r cos
O
x
y
x
z
r≥ 0,
0≤ ≤, 0≤ ＜2
1、设点P的球坐标为 (2, 3 , 3 ) ，求
它的直角坐标.
44
点在直角坐标系中的坐标为(1,1, 2)
建构数学
z P(r ,, z)
设P是空间一点，P在 过O且垂直于Oz轴的平 面上的射影为Q，取
OQ=r，∠xOQ=，
PQ=z
z
O
x
r
Q
那么P的柱坐标为有序数组(r ,, z)
当 r 0, 0 2 , z R 时，空间的
(除点直线Oz上的点)与有序数组(rቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ,, z)建立
1 z
解得
r
点在柱坐标系中的坐标为 (
2,
4
2, ,1)
.
4
注：求θ 时要注意角的终边与点的射影所在位置一致.
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1.5 柱坐标系和球坐标系
基础达标
1．已知点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5，点B 的球坐标为⎝ ⎛
⎭
⎪⎫6，π3，π6，则这两
个点在空间直角坐标系中的点的坐标为 ( )
A ．P 点(5,1,1)，
B 点⎝ ⎛⎭⎪⎫
364，324，
62 B ．P 点(1,1,5)，B 点⎝ ⎛⎭⎪⎫
364，324，62
C ．P 点⎝ ⎛⎭⎪⎫
364，324，
62，B 点(1,1,5) D ．P 点(1,1,5)，B 点⎝ ⎛⎭⎪⎫
62，
364，324 答案：B
解析：设P 点的直角坐标为(x ，y ，z )，
x ＝2·cos π4＝2·22＝1，y ＝2·sin π
4＝1，z ＝5. 设B 点的直角坐标为(x ，y ，z )， x ＝6sin π3cos π6＝6×32×32＝364， y ＝6sin π3sin π6＝6×32×12＝32
4， z ＝6cos π3＝6×12＝6
2
.
所以，点P 的直角坐标为(1,1,5)，点B 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
364，324，
62. 2．已知点M 的球坐标为⎝ ⎛
⎭
⎪⎫8，π3，56π，则它的直角坐标为
( ) A ．(－6,23，4) B ．(6,23，4) C ．(－6，－23，4) D ．(－6,23，－4)
答案：A
解析：由x ＝8sin π3cos 5π6＝－6，y ＝8sin π3sin 5π6＝23，z ＝8cos π
3＝4，得点M 的直角坐标为(－6,23，4)．
3．设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标是
( )
A.⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，π3，3 B.⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，2π3，3 C.⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，4π3，3 D.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2，5π3，3 答案：C 解析：∵ρ＝
(－1)2＋(－3)2＝2，θ＝4
3π，z ＝3.
∴M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2，43π，3.
4．已知点M 的柱坐标为⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2，π6，7，则它的直角坐标为______．
答案：(3，1,7)
5．在球坐标系中，方程r ＝1表示________________________，方程φ＝π
4
表示空间的________________________．
答案：球心在原点，半径为1的球面 顶点在原点，轴截面顶角为π
2的圆锥面
6．如图所示，在长方体OABC —
D ′A ′B ′C ′中，|OA |＝3，|OC |＝5，|OD ′|＝3，A ′C ′与B ′D ′相交于点P ，分别写出点C 、B ′、P 的柱坐标．
解：C 点的ρ、θ分别为|OC |及∠COA .
B ′点的ρ为|OB |＝|OA |2＋|AB |2＝32＋52＝34； θ＝∠BOA ，而tan ∠BOA ＝|AB ||OA |＝53，
所以∠BOA ＝arctan 5
3.P 点的ρ、θ分别为OE 、∠AOE ， |OE |＝12|OB |＝34
2，∠AOE ＝∠AOB .
∴各点的柱坐标为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π2，0，B ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫
34，arctan 53，3，P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫342，arctan 5
3，3. 综合提高
7．已知点M 的球坐标为⎝ ⎛
⎭
⎪⎫4，π2，53π，则M 的直角坐标为
( )
A ．(2，－23，0)
B ．(－2,23，0)
C ．(2,0,23)
D ．(－2,0,23)
答案：A
解析：x ＝r sin φcos θ＝4×sin π2×cos 5
3π＝2， y ＝r sin φsin θ＝4×sin π2×sin 5
3π＝－23， z ＝r cos φ＝4×cos π
2＝0，∴M (2，－23，0)． 8．设点M 的直角坐标为(－1，－1，2)，则它的球坐标为
( )
A.⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，π4，π4 B.⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，π4，5π4 C.⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，5π4，π4 D.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2，3π4，π4 答案：B
解析：由变换公式r ＝x 2＋y 2＋z 2＝2，cos φ＝z r ＝22，
∴φ＝π4.
∵tan θ＝y x ＝1，∴θ＝54π.∴M 的球坐标为⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2，π4，54π.
9．已知点M 的球坐标为⎝ ⎛
⎭
⎪⎫4，π4，3π4，则它的直角坐标为____________，它
的柱坐标是____________．
答案：(－2,2,22) ⎝ ⎛⎭
⎪⎫22，34π，22 10．如图所示，在柱坐标系中，长方体的两个顶点坐标为A 1(4,0,5)，
C 1⎝ ⎛
⎭
⎪⎫6，π2，5，则此长方体外接球的体积为______．
答案：
7777
6π
解析：由长方体的两个顶点坐标为A 1(4,0,5)，C 1⎝ ⎛
⎭⎪⎫6，π2，5，可知OA ＝4，
OC ＝6，OD 1＝5， 则对角线长为
42＋52＋62＝77，那么球的体积为43·π·⎝
⎛⎭
⎪⎫7723＝7777
6π. 11．求球坐标系中P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，π4，Q ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫3，π6，34π间的距离．
解：将P ，Q 两点球坐标转化为直角坐标：
P ：x ＝3sin π6cos π4＝324，y ＝3sin π6sin π4＝324，z ＝3cos π6＝33
2，
∴P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
324，324，332，
Q ：x ＝3sin π6cos 3π4＝－324，y ＝3sin π6sin 3π4＝324，z ＝3cos π6＝33
2，
∴Q 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
－
324，324，332. ∴|PQ |＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫324
＋3242＋⎝ ⎛⎭⎪⎫324－3242＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332－3322
＝322， 即P 、Q 两点间的距离为32
2.
12．(创新拓展)在柱坐标系中，求满足⎩⎨⎧
ρ＝1，
0≤θ<2π，
0≤z ≤2
的动点M (ρ，θ，z )围
成的几何体的体积．
解：根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可
知，满足ρ＝1,0≤θ<2π，0≤z≤2的动点M(ρ，θ，z)的轨迹是以直线Oz为轴，轴截面为正方形的圆柱，如图所示，圆柱的底面半径r＝1，h＝2，
∴V＝Sh＝πr2h＝2π(体积单位)．。