【最新】人教版九年级数学上册22.3.2实际问题与二次函数(2)导学案
人教版九年级数学上册导学案：22.3.2实际问题与二次函数
22.3.2实际问题与二次函数
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核心素养
1、能熟练地列二元一次方程解决简单的实际问题；
2、利用二次函数的图像性质求出最值，从而解决问题.
重点
利用二次函数解决实际问题
难点
根据图像和性质求出最值
学习过程及内容
备注
1、新知预习
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
2、自学自测
某商场将进价为30元的书包以40元售出,平均每月能售出600个,调查表明:这种书包的售价每上涨1元,其销售量就减少10个.
(1)请写出每月售出书包的利润y元与每个书包涨价x元之间的函数关系式;
(2)设某个月的利润为10000元,10000元的利润是否为该月最大利润?如果是,请说明理由;如果不是,请求出最大利润,并指出此时书包的售价应定为多少元.
三、合作交流
某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售,一天可销售约100件,该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润,经过市场调查,发现这种商品单价每降低0.1元,其销售量每天可增加约10件.将这种商品的售价降低多少时,能使每天的销售利润最大?
四、拓展延伸
例1某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元时，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4 800元．设公司每日租出x辆车，日收益为y元，(日收益＝日租金收入－平均每日各项支出)．
(1)公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为______________________元(用含x的代数式表示)；
人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数(教案)
一、教学内容
人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数：
1.抛物线与生活实际问题的联系，如物体运动轨迹、收入与成本关系等；
2.利用二次函数解决最大（小）值问题，如最大利润、最小成本等；
3.依据实际问题建立二次函数模型，并求解；
4.结合实际情境，分析二次函数的性质，如开口方向、顶点坐标等；
在接下来的教学中，我将继续优化教学策略，注重个体差异，力求让每个学生都能在二次函数的学习中找到自己的兴趣和优势。同时，我也会更多地关注学生的反馈，不断调整教学方法和节奏，以提高教学效果。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数的基本概念。二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，它是描述抛物线运动的数学模型，可以帮助我们解决生活中的最值问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何通过二次函数解决一个实际的生产成本问题，以及它如何帮助我们找到最优解。
然而，我也注意到，在讲解二次函数性质的部分，仍有部分学生表现出迷茫。这让我反思，可能需要寻找更多形象、生动的教学手段，如动画、实物模型等，来帮助学生直观地理解这些抽象的性质。
此外，课堂上的小组讨论环节，虽然整体效果不错，但我也发现有些学生在讨论中参与度不高。针对这一问题，我打算在今后的教学中，更多地关注这些学生，鼓励他们积极参与，培养他们的团队协作能力和自信心。
(2)通过企业生产成本与销售收入的关系，强调二次函数模型在实际问题中的构建方法，以及如何求解最值。
2.教学难点
-抽象问题具体化：将实际问题转化为二次函数模型，是学生容易感到困惑的地方。
-二次函数解析式的求解：对于顶点公式、最值计算等，学生可能难以理解。
人教版九年级数学上册导学案：22.3实际问题和二次函数(2)
九年级数学导学案课题实际问题与二次函数（2）课型新授任课教师周次第 6 周年级九年级班级章节22.3 课时第 2 课时时间9月 29 日学习目标知识与技能1、能根据实际问题的意义建立简单的二次函数模型；会利用二次函数性质解决实际生活中的利润最大等问题；2、通过对实际问题利润最大等的探究，学习分析问题、解决问题与建模。
3、在合作交流中感受数学的用价值，体会建模思想，提高学生应用数学的意识过程与方法情感态度与价值观学习重点利用二次函数的有关知识解决实际生活中利润最大问题学习难点将实际问题转化成二次函数问题学法指导自主探究，合作交流课前导案自学一、自主探究（课前导学）1、求下列二次函数的最大值或最小值：（1）322-+-=xxy（2）xxy42+=2、某种新型礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是120252++-=tth，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为，升空的最大高度为3、知识回顾：（1）总价=单价×（2）利润= —进价（3）总利润=单个商品×4、认真研读课本50页“探究2”，类比涨价情况，解决在降价情况下，最大利润是多少？课中班级展示1、从课本50页“探究2”的解答中可以看出，商品销售中要想获得最大利润，可以采取什么手段？2、某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表，若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数。
（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式？（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？3、某旅社有客房120间，当每间房的日租金为50元时，每天都客满，旅社装修后，要提高租金，经市场调查，如果一间客房日租金增加5元，则客房每天出租数会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房日租金提高到多少元时，客房的总收入最大？比装修前客房日租金总收入增加多少元？质疑探究提出自己的疑问，运用集体智慧，共同解决测评反馈主观题1、将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价（）A、5元B、10元C、15元D、20元2、厂家以每件21元的价格购回一批商品，该商品可以自行定价，若每件商店售价为a元，则可卖出()a10-350件。
九年级数学上册22.3实际问题与二次函数教案2(新版)新人教版
根据所学内容解答习题
2、总结归纳
谈谈本节课的收获？
3、作业：课堂
必做：教材第52页3、题
选做：教材第52页8题
家庭
同步轻松练习
板书设计
教后记
聆听、思考、回答
四、总结提高
1、出示精选习题
⑴向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y=ax2bx+c（a≠0）．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）
A．第8秒B．第10秒C．第12秒D．第15秒
⑵平面直角坐标系中，若平移二次函数y=(x－2009)(x－2010)+4的图象，使其与x轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为
(2)在自变量取值范围内，运用公式或配方法求出二次函数的最大值和最小值。
回忆
2、出示学习目标
会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等函数最值问题。
明确目标
出示自学提纲
⑴阅读教材51页探究3
⑵以抛物线顶点为原点建立坐标系
⑶根据已知条件如何求出这条抛物线表示的二次函数的解析式呢？
⑷水面下降1m，水面的纵坐标为多少？此时水面宽度为多少m？与原来的4m比增加了多少m?
实际问题与二次函数
教学目标
知识与技能
使学生掌握二次函数模型的建立，并能运用二次函数的知识解决实际问题。
过程与方法
会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等函数最值问题。
情感态度与价值观
发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。
重点
利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思
九年级数学上册-实际问题与二次函数第2课时导学案新版新人教版
22.3实际问题与二次函数第2课时实际问题与二次函数（2）一、导学1.导入课题:某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件；每降价1元,每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大？2.学习目标:（1）能用二次函数表示实际问题中的数量关系（包括写出解析式、自变量的取值范围、画图象草图）.（2）会用二次函数求销售问题中的最大利润.3.学习重、难点:重点:建立销售问题中的二次函数模型.难点:建立二次函数模型.4.自学指导:（1）自学内容:教材第50页的“探究2”.（2）自学时间:10分钟.（3）自学方法:完成下面的探究提纲.（4）探究提纲:①调价包括涨价和降价两种情况.②若涨价,如果设商品的单价涨了x元,总利润为y元,则此时的售价为（60+x）元,每一件的利润为（20+x）元,实际卖出（300-10x)件,总利润y=(20+x)(300-10x).化简后为:y=-10x2+100x+6000；自变量的取值范围0≤x≤30.顶点坐标为(5,6250),所以商品的单价上涨5元时,利润最大为6250元.即定价65元时,利润最大,最大利润为6250元.③若降价,设商品的单价下降x元,总利润为y元,此时的售价为60-x元,每一件的利润为20-x元,实际卖出300+20x件,总利润y=（20-x）(300+20x).化简后为:y=-20x2+100x+6000；自变量的取值范围0≤x≤20.顶点坐标为（2.5,6125）,所以商品的单价下降2.5元时,利润最大为6125元.即定价57.5元时,利润最大,最大利润为6125元.④由②、③的讨论可知,当商品定价65元时,利润最大为6250元.二、自学学生可参考自学指导进行自学.三、助学1.师助生:(1)明了学情:看学生能否顺利完成探究提纲的第②题和第③题.(2)差异指导:根据学情进行指导.2.生助生:生生互动,交流研讨,修正错误.四、强化利用二次函数解决利润问题的一般步骤:（1）审清题意,理解问题；（2）分析问题中的变量和常量以及数量之间的关系；（3）列出函数关系式；（4）求解数学问题；（5）求解实际问题.五、评价1. 学生的自我评价（围绕三维目标）:在这节课学习中你有何收获？还存在哪些问题？2.教师对学生的评价:（1）表现性评价:点评学生学习的态度,小组交流协作情况、学习效果和存在的问题等.（2）纸笔评价:课堂评价检测；3. 教师的自我评价（教学反思）:本课时探究二次函数在商品销售利润问题中的应用,教学时,让学生自行分析,找出问题中的数量关系并列函数关系式,教师适时予以引导,需要注意的是,自变量的取值要满足问题的实际意义.(时间:12分钟满分:100分)一、基础巩固（60分）1.（40分）下列抛物线有最高点或最低点吗？如果有,写出这些点的坐标（用公式）.（1）y=－4x2+3x; (2)y=3x2+x+6.解:（）b a -=-=⨯-332248, 解:b a -=-=-⨯112236, （）ac b ,a --==⨯-2243944416，ac b a -⨯⨯-==⨯22443617144312 ∴最高点为，⎛⎫⎪⎝⎭39816. 最低点为，⎛⎫- ⎪⎝⎭171612. 2.(20分）某种商品每件的进价为30元,在某段时间内若以每件x 元出售,可卖出（200-x ）件,应如何定价才能使利润最大？解:设所得利润为y 元,由题意,得y=x (200-x )-30(200-x )=-x 2+230x -6000=-(x -115)2+7225（0<x <200）.当x =115时,y 有最大值.即当这件商品定价为115元时,利润最大.二、综合应用（20分）3.(20分)某种文化衫,平均每天销售40件,每件盈利20元,若每件降价1元,则每天可多售10件,如果每天要盈利最多,每件应降价多少元？解:设每件应降价x 元,每天的利润为y 元,由题意得:y ＝（20-x ）（40+10x ）＝-10x 2+160x +800＝-10（x -8）2+1440（0≤x ＜20）. 当x ＝8时,y 有最大值1440.即当每件降价8元时,每天的盈利最多.三、拓展延伸（20分）4.求函数y=-x 2+6x +5的最大值和最小值.（1)0≤x ≤6；（2) -2≤x ≤2.解:y=-x 2+6x +5=-（x -3）2+14（1）当0≤x ≤6时,当x =3时,y 有最大值14,当x =0或6时,y 有最小值5.（2）当-2≤x ≤2时,当x =2时,y 有最大值13,当x =-2时,y 有最小值-11.。
九年级数学上册 22.3.2 实际问题与二次函数导学案 (新版)新人教版
22.3.2 实际问题与二次函数预习案一、预习目标及范围：1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.二、预习要点1.利润与价格之间的关系式：2.二次函数最值公式：三、预习检测1.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20 ≤x≤30)出售，可卖出（300－20x）件，使利润最大，则每件售价应定为元.2.进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为 .每月利润w（元）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为 .(以上关系式只列式不化简）.探究案一、合作探究活动内容1：活动1：小组合作问题1：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是元，销售利润元.数量关系：（1）销售额=（2）利润=（3）单件利润=问题2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？①每件降价x 元，则每星期售出商品的利润y 元，填空建立函数关系式： 即：②自变量x 的取值范围如何确定？③涨价多少元时，利润最大，是多少？由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗?活动2：探究归纳求解最大利润问题的一般步骤活动内容2：典例精析某种商品每天的销售利润y （元）与销售单价x (元）之间满足关系：y=ax 2+bx -75.其图象如图.（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？ 解：二、随堂检测1、某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出（100-x ）件，应如何定价才能使利润最大？2、一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克.调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克.（1）要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得实惠，那么每千克应涨价多少元？ （2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多，是多少？参考答案预习检测： 1.252. y =2000-5(x -100) ，w =[2000-5(x -100)](x -80) 随堂检测1. 解：设最大利润为y 元，根据题意得 y=（x-30）×（100-x ）= 2(65)1225x --+∴当x=65时，二次函数有最大值1225， ∴定价是65元时，利润最大．2. 解：（1）设市场某天销售这种水果盈利了6000元，同时顾客又得到了实惠时，每千克这种水果涨了x 元，由题意得（10+x ）（500﹣20x ）=6000，整理，得215500x x -+=解得 125,10x x ==因为顾客得到了实惠，应取x=5.。
人教版九年级上册数学22.3实际问题与二次函数(教案)
1.教学重点
-二次函数在实际问题中的应用：本节课的核心是让学生掌握如何将实际问题转化为二次函数模型，从而利用数学工具解决具体问题。例如，通过分析物体的抛物线运动，建立速度与时间的关系，进而求解物体的最大高度或最远距离。
-二次函数的性质及其图像：重点讲解二次函数的开口方向、顶点、对称轴等性质，并通过图像加深理解，使学生能够熟练运用这些性质解决实际问题。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数的基本概念。二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，它能够描述许多抛物线形状的现象。它在物理学、经济学等领域有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设一个物体以抛物线轨迹运动，我们要计算它的最大高度和飞行距离。这个案例将展示二次函数在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
五、教学反思
在今天的课堂上，我们探讨了实际问题与二次函数的关联，尝试将抽象的数学概念应用到具体的生活实例中。我注意到，在理论介绍环节，学生对二次函数的基本概念掌握得还算扎实，但在案例分析时，一些学生在构建数学模型上遇到了困难。这让我意识到，将实际问题转化为数学语言，对他们来说是一个不小的挑战。
在实践活动和小组讨论中，学生们的参与度很高，大家积极讨论、动手实践，课堂氛围相当活跃。我特别高兴看到他们在讨论中互相启发，共同解决问题。然而，我也发现有些小组在分析问题时，还是局限于表面的理解，未能深入挖掘问题背后的数学原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
人教版-数学-九年级上册-22.3 实际问题与二次函数(2) 教案
22.3 实际问题与二次函数（2）一、教学目标（一）学习目标1. 能根据具体几何问题中的数量关系，列出二次函数关系式2.会利用二次函数求几何图形中的周长、面积等的最值3.体会利用二次函数求面积其中所蕴含的数学思想和方法（二）学习重点应用二次函数解决几何图形中有关的最值问题（三）学习难点函数特征与几何特征的相互转化以及讨论最值在何处取得二、教学设计（一）课前设计预习任务1.22(3)2y x =--+；对称轴3x =、顶点坐标()3,2、当3x =时，y 取最大值为2 2.21322y x x =--；对称轴1x =、顶点坐标()1,2-、当1x =时，y 取最小值为-23.(1)(3)y x x =-+对称轴1x =-、顶点坐标()1,4--、当1x =-时，y 取最小值为4- 预习自测 1. 已知二次函数的解析式为22813y x x =++ (1)当33x -≤≤，该函数的最大和最小值分别是_________和_____________；(2)当03x ≤≤，该函数的最大和最小值分别是_________和_____________.【知识点】求二次函数的区间最值【数学思想】数形结合【思路点拨】先化成顶点式或是利用顶点坐标公式求出顶点，再看对称轴和区间的位置关系，进而求解．【解题过程】解：把原式化为顶点式为2228132(2)5y x x x =++=++，可知此函数的顶点坐标是(2,5)-，对称轴为2x =-当33x -≤≤时可知，max 355x y ==时，2x =-时min 5y =；(2)当03x ≤≤，对称轴2x =-时在所给的区间左侧，此时y 随x 的增大而增大，因此可知max 355x y ==时，min 013x y ==时【答案】（1）55,5；（2）55,13.【设计意图】通过做练习复习区间最值的求解以及应该注意的问题，实际问题中有时会涉及到区间最值，学生很容易出问题．设计此题就是为了提醒学生注意求解函数问题不能离开定义域这个条件才有意义，因为任何实际问题的定义域都受现实条件的制约，为学习新课做好知识铺垫．2.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5000cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么满足的方程是（）.A．x2+130x-1400=0 B．x2-130x-1400=0C．x2+65x-250=0 D．x2-65x-250=0【知识点】矩形性质，矩形面积【数学思想】数形结合【思路点拨】挂图长为（80+2x）cm，宽为（50+2x）cm，根据整个挂图的面积是5000cm2，即长×宽=5000，列方程进行化简即可．【解题过程】解：挂图长为（80+2x）cm，宽为（50+2x）cm；所以（80+2x）（50+2x）=5000，即4x2+160x+4000+100x=5000，所以4x2+260x-1000=0．即x2+65x-250=0．故选C.【答案】C．【设计意图】根据矩形的面积公式本题易得解.3．用长16 m的绳子围成如图所示的矩形框，使矩形框的面积最大，那么这个矩形框的最大面积是_______ 2m．【知识点】矩形性质，矩形周长，求二次函数最值【数学思想】数形结合【思路点拨】设竖边为x，用x表示横边，再表示面积，再求最值【解题过程】设竖边为x,则横边为1623x21622(4)32333x xs x--==-+当4x=时，y取最大值为323【答案】323【设计意图】把其中的一个主要变量设为x，另一个设为y，其它变量用含x的代数式表示，找等量关系，建立函数模型，画图象观察最值点，这样一步步突破难点，从而让学生在不断探究中悟出利用函数知识解决问题的一套思路和方法，而不是为了做题而做题，为以后的学习奠定思想方法基础．4．如图，点C是线段AB上的一个动点，AB＝1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是( )A．当C是AB的中点时，S最小 B．当C是AB的中点时，S最大C．当C为AB的三等分点时，S最小 D．当C是AB的三等分点时，S最大【知识点】正方形性质，求面积最大问题【数学思想】数形结合【思路点拨】把其中的一个主要变量设为x，其它变量用含x的代数式表示，找等量关系，建立函数模型【解题过程】设AC=x则BC= 1x-22211(1)2()22s x x x=-+=-+当12x=时，取最小值为12∴当C是AB的中点时，S最小【答案】A【设计意图】把其中的一个主要变量设为x，另一个设为y，其它变量用含x的代数式表示，找等量关系，建立函数模型，实际问题还要考虑定义域，画图象观察最值点，这样一步步突破难点，从而让学生在不断探究中悟出利用函数知识解决问题的一套思路和方法，而不是为了做题而做题，为以后的学习奠定思想方法基础．（二）课堂设计1.知识回顾（1）对于任意一个二次函数的一般式2(0)y ax bx c a =++≠，可以利用配方把它化为顶点式2()y a x h k =-+，进而写出顶点坐标（h,k ）和对称轴x=h （2）求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的交点，即令y=0即可；其与x 轴交点即为12(,0)(,0)x x ；求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与y 轴的交点，即令x=0即可；其与y 轴交点即为(0,)c（3）将二次函数的一般式2(0)y ax bx c a =++≠转化成顶点式2()y a x h k =-+来求二次函数最值，当x h =时，y 取最值为k2.问题探究探究一 最大面积（★）●活动1 创设情境，发现问题：请你画一个周长为24厘米的矩形，算算它的面积是多少？再和同学比比，发现了什么？谁的面积最大？做一做中，让每一个同学动手画周长固定的矩形，然后比较谁的矩形面积最大．学生通过画周长一定的矩形，会发现矩形长、宽、面积不确定，从而回想起常量与变量的概念，最值又与二次函数有关，进而自己联想到用二次函数知识去解决．【设计意图】做一做中，让每一个同学动手画周长固定的矩形，然后比较谁的矩形面积最大，目的一是为激发学生的学习兴趣，二是为了引出想一想．周长固定、要画一个面积最大的矩形，这个问题本身对学生来说具有很大的趣味性和挑战性，学生既感到好奇，又乐于探究它的结论，从而很自然地从复习旧知识过渡到新知识的学习．●活动2 师生共研，探索解法例1. 李老师计划用长为24米的篱笆，围成长方形花圃，他想请同学们帮他思考一下如何围才能使围成的花圃面积最大，最大值是多少？让学生讨论，得出解法．点拨：先用未知数表示面积问题中的各个量，再利用矩形面积公式列出表达式，然后根据表达式，利用二次函数求最值．生答：设矩形宽为x 厘米，则长为2422x-=（12-x ）厘米． 12S x x =-（），当x=6时，S 取最大值为36.【设计意图】把前面矩形的周长24厘米改为24米，变成一个实际问题，目的在于让学生体会其应用价值——数学来源于生活也服务于生活．学生在前面探究问题时，已经发现了面积不唯一，并急于找出最大的，而且要有理论依据，这样首先要建立函数模型，在选取变量时学生可能会有困难，这时教师要引导学生关注哪两个变量，就把其中的一个主要变量设为x，另一个设为y，其它变量用含x的代数式表示，找等量关系，建立函数模型，实际问题还要考虑定义域，画图象观察最值点，这样一步步突破难点，从而让学生在不断探究中悟出利用函数知识解决问题的一套思路和方法，而不是为了做题而做题，为以后的学习奠定思想方法基础．解决完想一想之后及时让学生总结方法，为后面阶段打下思想方法基础．练习1.用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长的变化而变化．当为多少米时，场地的面积S最大？【知识点】矩形性质，矩形周长，求二次函数最值【数学思想】数形结合【思路点拨】能用未知数表示清楚面积问题中的各个量，列出面积的关系式是本题关键．【解题过程】设矩形一边长，则长为602302ll-=-（）厘米．()30S l l=-，当15l=时，S取最大值为225【答案】当15l=时，S取最大值为225【设计意图】一个实际问题，目的在于让学生体会其应用价值——数学来源于生活也服务于生活．学生在前面探究问题时，已经发现了面积不唯一，并急于找出最大的，而且要有理论依据，这样首先要建立函数模型，在选取变量时学生可能会有困难，这时教师要引导学生关注哪两个变量，就把其中的一个主要变量设为，其它变量用含的代数式表示，找等量关系，建立函数模型●活动3 变式应用例2.（例1变式）后来李老师惊喜的发现有一面长度为8米的墙可以靠，则他怎样围可以使花圃的面积最大？最大面积是多少？学生根据例1的解法，独立求解【知识点】矩形性质，矩形面积，求二次函数最值【数学思想】数形结合【思路点拨】能用未知数表示清楚面积问题中的各个量，列出面积的关系式是本题关键．考虑实际问题中靠墙所造成的易错点．最值不是由顶点处取到，学会区间求最值．【解题过程】生答：（1）设矩形长为x厘米，则宽为242x-厘米．（8x≤）241(24)22xS x x x-=⋅=-=()2112722x--+；∵a=12-＜0，开口向下，∵8x≤，当8x=时，S取最大值为64【答案】面积S取最大值为64【设计意图】此时有了上一问的方法和技巧，很多学生能够类比的方法建立模型，设出未知数，列出函数关系式．但问题是此时自变量x有取值范围的限制，不能“任性”的取值．从而让学生在不断的探究和合作中感悟，对于实际问题一定需要考虑其自变量x的取值范围才可以求最值．练习2.如图，用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？【知识点】矩形性质，矩形面积，求二次函数最值【数学思想】数形结合【思路点拨】能用未知数表示清楚面积问题中的各个量，列出面积的关系式时考虑实际问题中靠墙所造成的易错点（这道题靠墙依然可以在顶点处取到最值）．【解题过程】与墙垂直的一边为x米，则(602)S x x=-∵0≤60-2x≤32. ∴ 14≤x≤30当15x=时，S取最大值为450【答案】当15x=时，S取最大值为450【设计意图】这一阶段，我让学生分组讨论，每一小组指定一名发言人说明小组的思路和解题的过程．这一过程既加强了学生之间合作和探究的能力，形成你追我赶的良好氛围，同时也锻炼学生口头表达能力和板书的能力．小组中每个孩子的数学思维和数学能力都得到了锻炼，使不同层次的学生都能体会到成功的喜悦．小结：在实际问题中求解二次函数的最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围来确定．通过问题2与问题3的对比，希望学生能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值．探究二利用二次函数求几何最值的训练●活动①基础性例题例1. 为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长 25 m）的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为 40 m 的栅栏围住（如下图）．设绿化带的 BC 边长为 x m，绿化带的面积为2 my．(1)求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围.(2)当 x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？【知识点】一侧靠墙的矩形，周长确定求其面积最大【数学思想】数形结合【思路点拨】利用题目给出的已知条件列出满足题意的式子，进而转化为二次函数求最值．【解题过程】解：（1）24012022xy x x x-==-+，自变量x的取值范围是0＜x≤25；（2）()22112020+200 22y x x x=-+=--∵20＜25，∴当x=20时，y有最大值200，即当x=20时，满足条件的绿化带面积最大【答案】（1）21202y x x=-+，其中025x≤≤；（2）当x=20时，满足条件的绿化带面积最大【设计意图】这一阶段，我让学生分组讨论，每一小组指定一名发言人说明小组的思路和解题的过程．这一过程既加强了学生之间合作和探究的能力，形成你追我赶的良好氛围，同时也锻炼学生口头表达能力和板书的能力．小组中每个孩子的数学思维和数学能力都得到了锻炼，使不同层次的学生都能体会到成功的喜悦．练习.某窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长为15 m(图中所有线条长度之和)，当x 等于多少时，窗户通过的光线最多？此时，窗户的面积是多少？(结果精确到0.01 m)【知识点】周长确定的矩形面积最大问题 【数学思想】数形结合【思路点拨】中间线段用x 的代数式来表示，要充分利用几何关系；要注意顶点的横坐标是否在自变量x 的取值范围内．【解题过程】由题意可知1426152y x x π+⨯+=，化简得1564x x y π--=，设窗户的面积为S m2，则2211561523242x x S x x x x ππ--=+=-+， ∵30a =-<，∴S 有最大值．∴当x ＝1.25 m 时，S 最大值≈4.69(m2)，即当x ＝1.25 m 时，窗户通过的光线最多．此时，窗户的面积是4.69 m2.【答案】当x ＝1.25 m 时，窗户通过的光线最多．此时，窗户的面积是4.69 m2.【设计意图】这一阶段，让学生自己通过自己的思考，动手来进行操作解决问题．每一小组指定一名发言人说明小组的思路和解题的过程．这一过程既 加强了学生之间合作和探究的能力，形成你追我赶的良好氛围，同时也锻炼学生口头表达能力和板书的能力．小组中每个孩子的数学思维和数学能力都得到了锻炼，使不同层次的学生都能体会到成功的喜悦．●活动② 提升型例题分组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．例2.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2 cm ，BC ＝4 cm ，P 是BC 上的一动点，动点Q 仅在PC 或其延长线上，且BP ＝PQ ，以PQ 为一边作正方形PQRS ，点P 从B 点开始沿射线BC 方向运动，设BP ＝x cm ，正方形PQRS 与矩形ABCD 重叠部分面积为y 2cm ，试分别写出02x ≤≤和24x ≤≤时，y 与x 之间的函数关系式．【知识点】正方形性质，矩形性质，求二次函数最值【数学思想】数形结合，分类讨论【思路点拨】根据题目题意画出相关的图形，充分利用几何关系来求解同时写出自变量x的取值范围内．【解题过程】如图，阴影部分的重叠部分的面积为y当02x≤≤时，如下面的左边的图形所示，PQ BP x==，此时22y PQ x==，其中02x≤≤；当24x≤≤时，如下面的右边的图形所示，PQ BP x==，此时4PC BC BP x=-=-，其中24x≤≤；2(4)28y PC CD PC AB x x=⨯=⨯=-=-+，其中24x≤≤综上所述：2,0228,24x xyx x⎧≤≤=⎨-+≤≤⎩【答案】2,0228,24x xyx x⎧≤≤=⎨-+≤≤⎩【设计意图】让学生自己通过自己的思考，结合题意画出符合题意的图形，根据图形来求解，让学生感受分类讨论的数学思想．练习.如图，从一张矩形纸片较短的边上找一点E，过E点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE，要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E应选在何处？为什么？【知识点】矩形性质，矩形面积，求二次函数最值【数学思想】数形结合【思路点拨】根据图形之间的关系，表示出两个正方形的边长，进而表示出两个正方形的面积之和，转化为二次函数求最值．【解题过程】令,,DE x AD a AE a x===-，所以面积之和222222()222()22a aS x a x x ax a x=+-=-+=-+，所以当2ax=时，面积最小，即E应选在AD的中点.【答案】E应选在AD的中点.【设计意图】新课程下的数学活动必须建立在学生已有的认知发展水平及知识经验基础之上，充分让学生参与教学，在合作交流的过程中，获得良好的情感体验．例3．如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，设甬道的宽为x米．（1）用含x的式子表示横向甬道的面积；（2）当三条甬道的总面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？【知识点】梯形面积，正比例函数，解一元二次方程，二次函数求最值【数学思想】数形结合【思路点拨】想象把所有的阴影部分拼在一起就是一个小梯形．解答抛物线形实际问题的一般思路：1.把实际问题中的已知条件转化为数学问题；2.建立适当的平面直角坐标系，把已知条件转化为坐标系中点的坐标；3.求抛物线的解析式.【解题过程】（1）横向甬道的面积为：21(120180)150()2x x cm⨯+=（2）依题意：2112801502(120180)8028x x x⨯+-=⨯+⨯⨯整理得：21557500x x-+=解得125,150(x x==舍去）故甬道的宽为5米；（3）设建设花坛的总费用为y万元．则210.02(120180)80(2310) 5.72y x x x⎡⎤=⨯⨯+⨯--++⎢⎥⎣⎦20.040.5240x x=-+当6.252bxa=-=时，y的值最小．∵根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，∴当x=6米时，总费用最少．即最少费用为 238.44万元．【答案】（1）横向甬道的面积为：21(120180)150()2x x cm⨯+=（2）故甬道的宽为5米；（3）当x=6米时，总费用最少．即最少费用为 238.44万元．【设计意图】新课程下的数学活动必须建立在学生已有的认知发展水平及知识经验基础之上，充分让学生参与教学，在合作交流的过程中，获得良好的情感体验练习．如图，某水渠的横断面是等腰梯形，底角为120°，两腰与下底的和为4 m，当水渠深x为_______时，横断面面积最大，最大面积是__________．【知识点】梯形面积，二次函数求最值【数学思想】数形结合【思路点拨】根据题目中给定的角度，求出两腰和下底之间的关系式，进而列式转化为二次函数求解．【解题过程】底角为120°,则高和腰之间的夹角为30°,水渠深度为x ,则得到：33AE x=,腰长33AB CD x==两腰与下底的和为4得到：下底为434BC x=所以上底为234AD x=-设横断面的面积为S,则21()342S AD BC BE x x=+=-+∵2330x-<=，对称轴为∴当233x=时，横断面面积最大为433【答案】当233x=时，横断面面积最大为433【设计意图】加强学生运用新知的意识，培养学生解决实际问题的能力和学习数学的兴趣●活动③探究型例题例4. 在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动．如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：(1)运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米？(2)设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为S平方厘米，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；(3) t为何值时S最小？求出S的最小值.【知识点】矩形性质，三角形、五边形面积，求二次函数最值【数学思想】数形结合【思路点拨】能用未知数表示清楚面积问题中的各个边长，列出面积的关系式，再依次解决三个问题．【解题过程】（1）设x秒后△PBQ的面积等于8，则AP=x，QB=2x∴PB=6﹣x．∴12×（6﹣x）2x=8，解得1x=2，2x=4，所以2秒或4秒后△PBQ的面积等于8；（2）第t秒钟时，AP=t cm，故PB=()6t-cm，BQ=2t cm，故212(6)=62PBQS t t t∆=⋅--+∵61272ABCDS=⨯=矩形∴()27267206.PBQS S t t t∆=-=-+＜＜（3）∵()22672=363S t t t=-+-+，∴当3t=秒时，S取最小值为63.【答案】（1）2秒或4秒后△PBQ的面积等于8；（2）()27267206.PBQS S t t t∆=-=-+＜＜（3）当3t=时，S取最小值为63【设计意图】此题设计了一个动点最值问题，有前面的方法和思路加上前面基础题作铺垫，大部分学生可以完成．练习. 曾经有这样一道题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？（该题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05m²）我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m，利用图3，解答下列问题：（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积？（2）与该例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．【知识点】矩形性质，二次函数求最值【数学思想】数形结合【思路点拨】由题意列出式子，转化为二次函数求最值【解题过程】（1）由已知可以得到：161115224AD----==此时窗户的透光面积55144S=⨯=；（2）设AB=x ，则734AD x=- ∵7304x -> ∴1207x <<设窗户的面积为S,由已知可以得到2277769(3)3()44477S AB AD x x x x x ==-=-+=--+当67x =时，max 91.057S =>与前面的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值变大【答案】（1）窗户的透光面积55144S =⨯=（2）与前面的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值变大 【设计意图】学生在探索这个问题的过程中，将自然地体会到数学来源于生活，同时也服务于生活体验到数学与现实生活的紧密联系，同时加强学生自己的过手能力和计算能力，以课本上的例题为引子，在原来的基础上进行拓展，让学生吃透课本.课堂总结 知识梳理二次函数的三种形式：一般式2(0)y ax bx c a =++≠；顶点式2()(0)y a x h k a =-+≠以及交点式12()()(0)y a x x x x a =--≠.二次函数的三种形式之间的相互转化：一般式2(0)y ax bx c a =++≠可以利用配方化为顶点式2224()(0)24b ac b y ax bx c a x a a a -=++=++≠，进而可以得到顶点坐标公式24(,)24b ac b a a --，对称轴2b x a =-．交点式可以先化为一般式再配方转化为顶点式，有时也可以利用交点式快速的求对称轴122x x x +=.利用二次函数求矩形周长一定的情况下，矩形面积的最大值，在求解的过程中需要标注自变量x 的取值范围，求解的过程中注意是顶点最值还是区间最值，这里往往难度较大.重难点归纳利用二次函数的一般式求最值，有两种思路，第一可以先通过配方2224()(0)24b ac b y ax bx c a x a a a -=++=++≠把一般式化为顶点式，再利用顶点式求函数的最值；第二可以直接利用顶点坐标公式24(,)24b ac b a a --来求解.利用交点式求二次函数的最值，一般是快速的利用对称轴的方程122x x x +=来求对称轴，进而求解.2.实际问题中已知矩形的周长来求解面积最大，此时需要结合题意求解相关的边长，列出方程或是等式转化为二次函数的形式，但需要注意实际问题中往往需要注明自变量x 的取值范围.3. 强化利用二次函数求面积时，应该用一个变量来表示另一个变量，进而表示出面积，写出自变量的取值范围，再结合二次函数求最值的方法来求解，在求解的过程中应该注意是顶点最值还是区间最值，最后还需检验解的合理性．4.数形结合思想特别重要，在思考的过程中需要结合题意画出满足条件的图形，尤其是动态问题中画出图形是解题的关键.。
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新人教版九年级数学上册22.3.2实际问题与二次函数(2)导学案
【教学目标】1、能运用二次函数的解析式解决简单的实际
问题．2、经历探究合作学习，体会建立数学建模的思想；
通过对“拱桥问题、投篮问题”的学习与探究．培养学生选择
并建立适当的坐标系，解决实际问题．
【教学重点】能运用二次函数的解析式解决简单的实际
问题．
【教学难点】经历探究合作学习，体会建立数学建模的思想；
1、以坐标原点为顶点，以y 轴为对称轴的抛物线的关系式为________．
2、如图所示，桥拱形状为抛物线，其函数关系式为y=－4
1x 2, 当水位线在AB 位置时，水面的宽度为12m ，这时水面离桥拱顶
的高度h 是（ ）
A ．3m
B ．26m
C ．43m
D ．9m
目标,能运用二次函数的解析式解决简单的实际
问题．经历探究合作学习，体会建立数学建模的思想；
问题：如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m 时，
水面宽4m.,水面下降1 m 时，水面宽度增加多少?
分析：二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标
系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．
从而求出水面下降1 m 时，水面宽度增加多少.
为解题简便，以抛物线的顶点为坐标原点，以抛 物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系.
B A h
答：水面下降l m 时，水面宽度增加 米． 归纳：(1)用二次函数知识解决拱桥类的实际问题一定要
建立适当的直角坐标系．
例1、 如图是抛物线拱桥，已知水位在AB 位置时，水面宽 46米，水位上升3米就达到警戒线CD ，这时水面宽
43米，若洪水到来时，水位以每小时0.25米速度上升， 求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?
课堂检测
1、河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，建立
如图所示的坐标系，其函数的表达式为y= －251x 2
，
当水位线在AB 位置时，水面宽 AB = 30米，
这时水面离桥顶的高度h 是（ ）
A ．5米
B ．6米
C ．8米
D ．9米
2、某幢建筑物，从10m 高的窗口用水管向外喷水，喷出的水流 呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直，如图所示），如果抛物线的 最高点M 离墙1m ，离地面3
40m ，则水流下落点B 离墙的距离
是（ ）
A ． 2m
B ． 3m
C ． 4m
D ． 5m
3、有一座抛物线拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20米，
拱顶距离水面4米．
(1)如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式：
(2)设正常水位时桥下的水深为2米，为保证过往船
只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18米．求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行．。