2.5 平面向量应用举例学案【人教版】高中数学必修
2.5平面向量应用举例教案
2.5.1 平面向量应用举例一．【教材分析】前面已学习了向量的概念及向量的线性运算以及向量的数量积，本节课应用向量的知识来解决一些几何问题，例如利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题！二．【教学目标】1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法，可以用向量知识研究几何结论和生活中的实际问题；2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神.三．【教学重难点】重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何问题.难点：选择适当的方法，将几何问题转化为向量问题加以解决.四．【教学过程】(一).(二).【新课引入】平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题.通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等．本节课，我们就通过几个具体实例，来研讨建议说明向量方法在平面几何中的运用（三）【典例精讲】例1. 证明：平行四边形两条对角线的平方和等于相邻两条边的平方和．已知：平行四边形ABCD．求证：22222()AC BD AB BC+=+证明：不妨设AB=a，AD=b，则AC=a+b，DB=a-b，2||AB=|a|2，2||AD=|b|2．得2||AC AC AC=⋅=( a+b)·( a+b)= a·a+ a·b+b·a+b·b=|a|2+2a·b+|b|2．①同理,2||DB=|a|2-2a·b+|b|2．②①+②得2||AC+2||DB=2(|a|2+|b|2)=2(2||AB+2||AD)．所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．对比其他方法：建系设坐标法和做辅助线勾股定理等方法体验向量法的优越性.跟踪练习应用上述结论解题引导学生归纳，用向量方法解决平面几何问题“三步曲”：⑴建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；⑵通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；⑶把运算结果“翻译”成几何关系．简述为：几何问题向量化向量运算关系化向量关系几何化例2、如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点，BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点，你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗？解：设AB =a ，AD =b ，则AC =a +b ． 因为AR 与AC 共线，因此，存在实数m ，使得AR =m (a +b )．又因为BR 与BE 共线，因此存在实数n ，使得BR =n BE = n (12b - a )． 由AR AB BR =+=AB + n BE ，得m (a +b )= a + n (12b - a )． 整理得(1)m n +-a ＋1()2m n -b ＝0．由于向量a 、b 不共线，所以有 10,10,2m n m n +-=⎧⎪⎨-=⎪⎩解得1,32.3m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以13AR AC =．同理 13TC AC =．于是 13RT AC =． 所以 AR ＝RT ＝TC ．引导学生小组讨论合作探究出其它方法一一展示、对比、点拨、点评练习 1.矩形ABCD 中，AB=2，AD=1，E,F 分别为BC,CD 的中点，则BD AF AE ⋅+)(=_____练习2.在三角形ABC 中，∠BAC=120°AB=AC=3，点D 在线段BC 上，DC=2BD,求： （1）AD 的长； （2）∠DAC 的大小.如有时间，爬黑板展示(四) 【课堂小结】1.向量法：基底法和坐标法2.利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲” （1） 建立平面几何与向量的联系，（2） 通过向量运算，研究几何元素之间的关系， （3） 把运算结果“翻译”成几何关系.数学思想与方法：转化，数形结合，几何问题代数化（五） 【板书设计】§ 2.5.1 平面向量的应用举例例1 例2 练习 小结。
高中数学 第2章 平面向量 2.5 平面向量应用举例导学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数
2．5 平面向量应用举例[教材研读]预习课本P109～112，思考以下问题1．利用向量可以解决哪些常见的几何问题？2．如何用向量方法解决物理问题？[要点梳理]1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．2．向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等．(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中．(3)动量m v是向量的数乘运算．(4)功是力F与位移s的数量积．[自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．若△ABC 是直角三角形，则有AB →·BC →＝0.( ) 2．力是既有大小，又有方向的量，所以也是向量．( )3．速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算．( ) [答案] 1.× 2.√ 3.√题型一 向量在平面几何中的应用如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE . [思路导引] 可以选取AB →，AD →为基底表示出AF →，DE →，将二者进行数量积运算；也可以设出正方形边长，以两条邻边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，求出AF →，DE →的坐标，进行数量积的坐标运算．[证明] 证法一：设AD →＝a ，AB →＝b ，则|a |＝|b |，a ·b ＝0，又DE →＝DA →＋AE →＝－a ＋b2，AF→＝AB →＋BF →＝b ＋a 2，所以AF →·DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a 2·⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋b 2＝－12a 2－34a ·b ＋b 22＝－12|a |2＋12|b |2＝0.故AF →⊥DE →，即AF ⊥DE .证法二：建立平面直角坐标系如图，设正方形的边长为2，则A (0,0)，D (0,2)，E (1,0)，F (2,1)，AF →＝(2,1)，DE →＝(1，－2)．因为AF →·DE →＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以AF →⊥DE →，即AF ⊥DE .已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设AC ＝m ，BC ＝n . (1)若D 为斜边AB 的中点，求证：CD ＝12AB .(2)若E 为CD 的中点，连接AE 并延长交BC 于F ，求AF 的长度(用m ，n 表示)． [思路导引] 解决此题时应建立适当的坐标系，(1)中依据A ，B 两点坐标，写出D 点坐标转化为向量的模求解．(2)中由A ，E ，F 三点共线，得AF →＝λAE →求得F 点坐标即可表示AF 的长度．[解] (1)证明：以C 为坐标原点，以边CB ，CA 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，A (0，m )，B (n,0)．∵D 为AB 的中点，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2，m2， ∴|CD →|＝12n 2＋m 2，|AB →|＝m 2＋n 2，∴|CD →|＝12|AB →|，即CD ＝12AB .(2)∵E 为CD 的中点，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4，m4，设F (x,0)，则AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4，－34m ，AF →＝(x ，－m )．∵A ，E ，F 三点共线，∴AF →＝λAE →. 即(x ，－m )＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n4，－34m .则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝n4λ，－m ＝－34mλ，故λ＝43，即x ＝n3，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3，0，∴|AF →|＝13n 2＋9m 2，即AF ＝13n 2＋9m 2.用向量方法解决平面几何问题的步骤【温馨提示】 用向量法解决平面几何问题的两种思想(1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算．(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．[跟踪训练]已知正方形ABCD 中，E 、F 分别是CD 、AD 的中点，BE 、CF 交于点P .求证：(1)BE ⊥CF ；(2)AP ＝AB .[证明] 建立如图所示的平面直角坐标系，设AB ＝2，则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，E (1,2)，F (0,1)．(1)BE →＝(－1,2)，CF →＝(－2，－1)．∴BE →·CF →＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0， ∴BE →⊥CF →，即BE ⊥CF . (2)设点P 坐标为(x ，y )，则FP →＝(x ，y －1)，FC →＝(2,1)，∵FP →∥FC →， ∴x ＝2(y －1)，即x ＝2y －2， 同理，由BP →∥BE →，得y ＝－2x ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y －2，y ＝－2x ＋4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝65，y ＝85，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫65，85. ∴|AP →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＝2＝|AB →|， 即AP ＝AB .题型二 向量在物理中的应用思考1：向量与力有什么相同点和不同点？提示：向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的．用向量知识解决力的问题，往往是把向量起点平移到同一作用点上．思考2：向量的运算与速度、加速度与位移有什么联系？提示：速度、加速度与位移的合成与分解，实质上是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成．如图所示，一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|＝2 N，方向为北偏东30°；|F2|＝4 N，方向为北偏东60°；|F3|＝6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功．[思路导引] 建立适当直角坐标系，依据x的大小及方向转化成向量坐标即可求得合力F及位移s，由w＝F·s求解．[解] 以O为原点，正东方向为x轴的正方向建立如图直角坐标系，则F1＝(1，3)，F2＝(23，2)，F3＝(－3，33)，所以F＝F1＋F2＋F3＝(23－2,2＋43)．又位移s＝(42，42)，故合力F所做的功为W＝F·s＝(23－2)×42＋(2＋43)×42＝246(J)，即合力F所做的功为246J.一条宽为 3 km的河，水流速度为2 km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB ＝ 3 km，船在水中最大航速为4 km/h，问怎样安排航行速度可使该船从A码头最快到达彼岸B码头？用时多少？[解] 如图所示，设AC →为水流速度，AD →为航行速度，以AC 和AD 为邻边作▱ACED ，当AE 与AB 重合时能最快到达彼岸．根据题意知AC ⊥AE ， 在Rt △ADE 和▱ACED 中，|DE →|＝|AC →|＝2，|AD →|＝4，∠AED ＝90°， ∴|AE →|＝|AD →|2－|DE →|2＝23，3÷23＝0.5(h)，sin ∠EAD ＝12，∴∠EAD ＝30°.∴船实际航行速度大小为4 km/h ，与水流成120°角时能最快到达B 码头，用时0.5小时．用向量解决物理中相关问题的步骤(1)转化：把物理问题转化成数学问题． (2)建模：建立以向量为主体的数学模型． (3)求解：求出数学模型的相关解．(4)回归：回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象．[跟踪训练]在风速为75(6－2)km/h 的西风中，飞机以150 km/h 的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．[解] 设ω＝风速，v a ＝有风时飞机的航行速度，v b ＝无风时飞机的航行速度，v b ＝v a－ω.如图所示．设|AB →|＝|v a |，|CB →|＝|ω|，|AC →|＝|v b |，作AD ∥BC ，CD ⊥AD 于D ，BE ⊥AD 于E ，则∠BAD ＝45°. 设|AB →|＝150，则|CB →|＝75(6－2)．∴|CD →|＝|BE →|＝|EA →|＝752，|DA →|＝75 6.从而|AC →|＝1502，∠CAD ＝30°.∴|v b |＝1502，即没有风时飞机的航速为150 2 km/h ， 方向为北偏西60°.课堂归纳小结1．本节课的重点是向量在平面几何中的应用，难点是向量在物理中的应用． 2．要掌握平面向量的应用(1)向量在平面几何中的应用，见典例1、2； (2)向量在物理中的应用，见典例3、4.3．选用合适的基底或建立合适的坐标系会使问题解决起来更简单，更不易出错.1．在四边形ABCD 中，若AD →＋CB →＝0，AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 为( ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．等腰梯形D ．菱形[解析] ∵AD →＋CB →＝0，∴AD →＝BC →.∴四边形ABCD 为平行四边形． ∵AC →·BD →＝0，∴AC →⊥BD →， 即四边形的对角线互相垂直 故四边形ABCD 为菱形 [答案] D2．设△ABC 中，AB ＝3，AC 边上的中线BD ＝5，AC →·AB →＝5，则AC 的长为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[解析] ∵BD →＝AD →－AB →＝12AC →－AB → ∴|BD →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC →－AB →2＝14AC →2－AB →·AC →＋AB →2 即5＝14AC →2－5＋9 ∴14AC →2＝1 ∴|AC →|＝2.[答案] B3．已知四边形ABCD 各顶点坐标是A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－73，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，－2，则四边形ABCD 是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．矩形D ．菱形[解析] ∵AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83，DC →＝(3,4) ∴AB →＝23DC →，∴AB →∥DC →即AB ∥DC 又∵|AB →|＝4＋649＝103，|DC →|＝9＋16＝5 ∴|AB →|≠|DC →|∴四边形ABCD 为梯形．[答案] A4．用力F 推动一物体G ，使其沿水平方向运动s ，F 与G 的垂直方向的夹角为θ，则F 对物体G 所做的功为( )A．F·s cosθB．F·s sinθC．|F||s|cosθD．|F||s|sinθ[解析] 如图所示，由做功公式可得：W＝|F|·|s|sinθ，故选D.[答案] D5．河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )A．10 m/s B．226 m/sC．4 6 m/s D．12 m/s[解析] 由题意知|v水|＝2 m/s，|v船|＝10 m/s，作出示意图如右图．∴小船在静水中的速度大小|v|＝102＋22＝104＝226(m/s)．[答案] B。
人教A版高中数学必修四-2.5《平面向量应用举例》教案复习过程
人教A版高中数学必修四-2.5《平面向量应用举例》教案2.5平面向量应用举例一、教材分析向量概念有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等，几何背景是有向线段，可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些物理和几何问题，例如利用向量计算力沿某方向所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。
二、教学目标1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”和生活中的实际问题2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。
三、教学重点难点重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题.难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决.四、学情分析在平面几何中，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，而在物理中，受力分析则是其中最基本的基础知识，那么在本节的学习中，借助这些对于学生来说，非常熟悉的内容来讲解向量在几何与物理问题中的应用。
五、教学方法1.例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。
2.学案导学：见后面的学案3.新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备1.学生的学习准备：预习本节课本上的基本内容，初步理解向量在平面几何和物理中的应用2.教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
七、课时安排：1课时八、教学过程(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
(二）情景导入、展示目标教师首先提问：（1）若O 为ABC ∆重心,则OA u u u r +OB u u u r +OC u u u r =0r（2）水渠横断面是四边形ABCD ,DC u u u r =12AB u u u v ,且|AD u u u v |=|BC u u u v |,则这个四边形 为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?(3) 两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。
2014人教A版高中数学必修四 2.5《平面向量应用举例》教案
2.5平面向量应用举例一、教材分析向量概念有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等，几何背景是有向线段，可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些物理和几何问题，例如利用向量计算力沿某方向所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。
二、教学目标1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐 标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节” 和生活中的实际问题2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的 积极主动的探究意识，培养创新精神。
三、教学重点难点重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题. 难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决.四、学情分析在平面几何中，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，而在物理中，受力分析则是其中最基本的基础知识，那么在本节的学习中，借助这些对于学生来说，非常熟悉的内容来讲解向量在几何与物理问题中的应用。
五、教学方法1.例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。
2.学案导学：见后面的学案3.新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备1.学生的学习准备：预习本节课本上的基本内容，初步理解向量在平面几何和物理中的 应用2.教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
七、课时安排：1课时八、教学过程(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
(二）情景导入、展示目标教师首先提问：（1）若O 为ABC ∆重心,则OA +OB +OC =0（2）水渠横断面是四边形ABCD ,DC =12AB ,且|AD |=|BC |,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?(3) 两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。
人教A版高中数学必修4第二章平面向量2.5平面向量应用举例导学案(1)
a 与 b 不共线， a⊥ c，
| a| ＝ | c| ，则 | b· c| 的值一定等于 ( )
A．以 a， b 为邻边的平行四边形的面积
B．以 b， c 为两边的三角形的面积
C．以 a， b 为两边的三角形的面积
D．以 b， c 为邻边的平行四边形的面积
答案： A
3．两个大小相等的共点力 F1， F2，当它们夹角为 90°时，合力大小为 20 N，则当它们的
A．等边三角形
B ．锐角三角形
C．直角三角形
D ．钝角三角形
答案： C
uuur uuur uuur 5．△ ABC中， D， E，F 分别为 BC， CA， AB的中点，则 AD ＋ BE ＋ CF ＝ ( )
A．0
uuur C． AB
B ．0
uuur D ． AC
.
精品文档
答案： B
二、填空题
y
∴∠ CAD＝∠ ACB＝30°，∠ BAD＝120°．
即船的航行速度为 8 3 km/h ，方向与水流方向的夹角为 [ 类题通法 ] 利用向量法解决物理问题的步骤 (1) 抽象出物理问题的向量，转化为数学问题； (2) 建立以向量为主体的数学模型；
120°．
(3) 利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型； (4) 用数学模型中的数据解释或分析物理问题． [ 活学活用 ] 已知力 F( 斜向上 ) 与水平方向的夹角为 30°，大小为 50 N，一个质量为 8 kg 的木块受力 F 的作用在动摩擦因数 μ＝ 0.02 的水平面上运动了 20 m．求力 F 和摩擦力 f 所做的功分别为 多少． ( g 取 10 m/s 2)
夹角为 120°时，合力大小为 (
)
高中数学第二章平面向量2.5平面向量应用举例学案新人教A版必修4(2021年整理)
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2。
5 错误!预习课本P109～112，思考并完成以下问题。
(1)利用向量可以解决哪些常见的几何问题?(2)如何用向量方法解决物理问题？（3)如何判断多边形的形状？错误!1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”（1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 2．向量在物理中的应用(1）物理问题中常见的向量有力、速度、位移等．（2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中． （3)动量mv 是向量的数乘运算． (4）功是力F 与位移s 的数量积．错误!1．若向量1OF ＝（2，2），2OF ＝（－2，3)分别表示两个力F 1，F 2,则|F 1＋F 2｜为（ ） A ．（0，5) B ．(4,－1) C ．2错误! D ．5答案：D2．在四边形ABCD 中，AB ·BC ＝0，BC ＝AD ,则四边形ABCD 是（ ）A．直角梯形 B．菱形C．矩形 D．正方形答案:C3．力F＝(－1,－2)作用于质点P，使P产生的位移为s＝(3，4），则力F对质点P做的功是________．答案：－11向量在几何中的应用题点一：平面几何中的垂直问题1.如图所示，在正方形ABCD中，E,F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE。
高中数学 2.5平面向量的应用举例学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案
2.5 向量的应用一、 学习内容、要求及建议知识、方法要求建议向量是一种处理几何、物理等问题的工具 了解 结合实际背景解决问题二、 预习指导 1. 预习目标(1)了解向量的加法与物理中力的合成、速度的合成之间的联系，经历用向量方法解决物理中有关问题的过程；(2)体会向量是一种数学工具，掌握用向量方法解决某些简单的几何问题，发展运算能力和解决实际问题的能力． 2. 预习提纲(1)物理中，如果力F 与物体位移s 的夹角为θ，那么F 所做的功W =θs F cos ⋅⋅． (2)证明直线平行或三点共线常用向量共线定理；证明垂直常证两个向量的数量积为0；求向量的夹角常用公式cos θ=||||b a b a ⋅⋅=222221212121yx y x y y x x +⋅++．(3)思考：向量可以解决哪些常见的几何问题和物理问题？解决这些问题的基本步骤是什么？ 3. 典型例题(1) 利用向量解决物理中有关的力、速度问题向量是既有大小，又有方向的量，物理中的很多量都是向量，如力、速度、加速度等.用向量解决物理问题的方法：把物理问题转化为数学问题，抽象成数学模型，对这个数学模型进行研究，进而解释相关物理现象. 4. 自我检测(1)一质点受到平面上的三个力123,,F F F (单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知1F ，2F 成060角，且1F ，2F 的大小分别为2和4，则3F 的大小为 ．(2)已知(3,2)a =-，(1,0)b =-，向量a b λ+与2a b -垂直，则实数λ的值为 ．(3)在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC ，已知点A (－2，0)，B (6，8)，C (8,6),则D 点的坐标为___________.(4)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3, 1)，B (-1, 3)， 若点C 满足=+OC aOA bOB ，其中α，β∈R 且α+β=1，则点C 的轨迹方程为_______.(5)一艘船距对岸34km 处，以2km /h 的速度向垂直于岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速. 三、 课后巩固练习Ａ组1．已知向量a 与b 的夹角为120o ，3,13,a a b =+=则b 等于 ．2．已知a =(3，λ)，b =(4，-3)，若a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围为_______． 3．若A (0，2)，B (3，1)，C (-2，k )三点共线，则向量a ＝AC +AB 的模为 ． 4．设点O 是正2n 边形122n A A A ⋅⋅⋅的中心，则在下列各结论中： ①122n OA OA OA ==⋅⋅⋅=；②122||||||n OA OA OA ==⋅⋅⋅= ③1OA +2OA +…+2n OA =0；④i OA ⋅n i OA +=0(i =1，2，…，n )． 正确的共有 个．5．已知向量a =(2，3)，b =(x ，6)，若│a ⋅b │=|a |⋅|b |，则x ＝ ．6．已知{|(1,0)(0,1),},{|(1,1)(1,1),}P a a m m R Q b b n n R ==+∈==+-∈是两个向量集合，则PQ = ．7．在四边形ABCD 中，有AB ⋅BC ＝AB ⋅AD ＝AD ⋅DC =0，则该四边形是 ． 8．设向量a =(1,－3), b =(－2,4),若表示向量4a 、3b －2a 、c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 为 ．9．已知,0||2||≠=b a 且关于x 的方程0||2=⋅++b a x a x 有实根, 则a 与b 的夹角的取值范围是 ．Ｂ组10．平面上三个力F 1 、F 2、F 3作用于同一点O ，而处于平衡状态，11F N =，21262,,F N F F +=成45ο，求(1)F 3的大小 ；(2)F 3与F 1的夹角． 11．边形ABCD 中，已知AB +CD =0，AC ⋅BD =0，试证明四边形ABCD 是菱形． 12．在四边形ABCD 中，AB 2+CD 2=AD 2+BC 2成立，求证：AC ⊥BD ．13．已知()23,2c ma nb =+=-，a 与c 垂直，b 与c 的夹角为0120，且b 4-=⋅c ，22a =，求实数n m ,的值及a 与b 的夹角．知识点题号注意点向量是一种处理几何、物理等问题的工具注意实际问题的限制四、 学习心得五、拓展视野例1 如图，一条河的两岸平行，河的宽度500d =m ，一艘船从A 处出发到河对岸．已知船的速度|1v |=10km /h ，水流的速度|2v |=2km /h ，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0.1min )？分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于对岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短．考虑到水的流速，要使船的行驶航程最短，那么船的速度与水流速度的合速度v 必须垂直于对岸．解：||v 2212||||96v v -=km /h )，所以，0.560 3.1||96d t v ==≈(min )． 答：行驶航程最短时，所用的时间是3.1 min ．A FE CDBH点评：上述问题中涉及速度等物理量，可根据平面向量的基本定理和物理问题的需要，把0v 分解为水平方向和竖直方向两个不共线的向量，再利用运动学知识建立数学模型，最后利用向量的知识求解.(2) 利用向量解决平面几何中有关的问题向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，因而向量方法是几何研究的一个有力的工具.在运用向量方法解决平面几何问题时，将几何问题转化为向量问题是关键.对具体问题是选用向量几何法还是选用向量坐标法是难点，利用向量坐标法会给解决问题带来方便.例2 求证△ABC 的三条高相交于一点.证明：设△ABC 的AB 、AC 边的高分别为CF ，BE ，它们交于点H ，连接AH (如图)，设AB c =，AC b =,AH h =则,CH h b BH h c =-=- ∵CH ⊥AB ，BE ⊥AC∴()0,()0c h b b h c ⋅-=⋅-= 即0,0c h c b b h b c ⋅-⋅=⋅-⋅=两式相减得0c h b h ⋅-⋅=，即()0c b h -⋅= ∵CB c b =-∴BC ⊥AH ，即三角形三条高相交于一点.例3 如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点，BE 、BF 分别与AC 交与R 、T 两点，证明：AR =RT =TC .解：设,,,AB a AD b AR r AT t ====， 则AC a b =+.由于AR 与AC 共线，所以设()AR n a b =+. 又因为12EB AB AE a b =-=-，ER 与EB 共线，设ER =1()2mEB m a b =-因为AR =AE +ER ，所以11()22r b m a b =+-. 因此11()()22n a b b m a b +=+-，即1()()02m n m a n b --++=. 由于向量,a b 不共线，要使上式为0，则有0102n m m n -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得13m n ==. 所以AR =13AC .同理TC =13AC . 所以AR =RT =TC . 点评：本题中由于R 、T 是对角线AC 上两点，要证AR =RT =TC ，只需证明AR 、RT 、TC 都等于13AC 即可. 向量与三角形的四“心”三角形四“心”即三角形的外心、重心、垂心、内心．外心即三角形的外接圆的圆心；重心即三角形三条中线的交点；垂心即三角形三条高的交点；内心即三角形内角平分线的交点．它们在各类考试中屡见不鲜．现举例如下．例1 已知O 是ABC ∆所在平面上一点，若222()()()OA OB OC ==，证明O 是ABC ∆的外心．证明：222()()()OA OB OC ==222OA OB OC ∴==，所以O 是ABC ∆的外心．例2 已知O 是△ABC 内一点，若0OA OB OC ++=，则O 是△ABC 的重心． 证明：如图所示，延长OD 到G ，使DG ＝OD ，连接AG ，BG ，因为D 是AB 和OG 的中点， 所以四边形OAGB 为平行四边形， 由向量加法性质得OA OB OG +=又由0OA OB OC ++=得OA OB OC +=-OG OC ∴=-，∴C 、O 、D 、G 四点共线 ∴O 在中线CD 上同理得O 在中线AE 和BF 上，∴O 是△ABC 的重心． 点评：本题同时证明了CO=2OD=23CD ，即重心O 分中线CD 为2:1两部分． 例3 O 为平面中一定点，动点P 在A 、B 、C 三点确定的平面内且满足(OA OP -)·(AC AB -)=0，则点P 的轨迹一定过△ABC 的（选用重心 、外心 、垂心、 内心 填空 ）.解：由题0AP BC ⋅=，所以AP BC ⊥，故P 的轨迹一定过△ABC 的垂心． 例4 O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上的共线三点，动点P 满足OP ＝OA ＋λ||AB ||AC ，λ∈[)+∞,0，则P 的轨迹一定通过△ABC 的 （选用重心 、外心 、垂心、内心 填空 ）. 解：||AB AB ||AC AC 特征着手．||AB AB，||AC AC||AB AB，||AC AC||AB AB ||AC ACλ||AB AB ||AC AC 与角平分线向量共线，由三角形法则，点P 在∠A 平分线上，点P 轨迹过△ABC 内心．例5 如图：ABC ∆外接圆的圆心为Ｏ，三条高的交点为H ，连结BO 并延长交外接圆于D ，求证：(1)DC OC OB =+；(2)OH OA OB OC =++.分析：运用向量的加减法解决几何问题时，需要构造三角形或平行四边形，证明：(1),OB OD =-DC OC OD OC OB ∴=-=+．(2)因为ＢＤ为直径，BACDEF OH90//,//BAD BCD AE CD AD CHο∴∠=∠=∴所以四边形AHCD 为平行四边形．,AH DC OH OA AH OA DC OA OB OC∴=∴=+=+=++点评：利用平面向量的知识解决平面几何问题，关键是充分挖掘题目中的条件，本题中O 为外心，H 为垂心，在本题中作用很大；另外，平面几何中的一些性质在解题中也有很大的用处．。
【新导学案】高中数学人教版必修四：25《平面向量应用举例》.doc
2.5《平面向量应用举例》导学案【学习目标】1.运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决平面几何和解析儿何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题.2.运用向量的有关知识解决简单的物理问题.【学法指导】预习《平面向量应用举例》，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具•，建立实际问题与向量的联系。
【知识链接】阅读课本内容，整理例题，结合向量的运算，解决实际的儿何问题、物理问题。
另外，在思考一下儿个问题：例1如果不用向量的方法，还有其他证明方法吗？利用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是什么？例3中，⑴&为何值时，最小，最小值是多少？⑵尺|能等于|G|吗？为什么？提出疑惑疑惑点疑惑内容【学习过程】探究•一：（ 1 ）向量运算与几何中的结论”若a = b，贝叽方冃引，且方Z所在直线平行或重合”相类比，你有什么体会？（2 ）举岀几个具有线性运算的几何实例.例1.证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和. 己知：平行四边形ABCD.求证：AC2 + BD2 = AB2 + BC2 + CD2 + DA2.试用儿何方法解决这个问题利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”？（1）建立平面儿何与向量的联系，（2）通过向量运算，研究儿何元素Z间的关系，（3）把运算结•果“翻译”成儿何关系。
变式训练：\ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，BF与CD交于点0,设AB = a, AC = b.（1）证明A、0、E三点共线；(2) ffl a.b.表示向量AO。
例2,如图，平行四边形ABCD'I',点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、：T两点，你能发现AR、RT、7T之间的关系吗?探究二：两个人提一个旅行包，夹和越大越费力•在单杠上做引体向上运动，两臂夹和越小•越省力. 这些力的问题是怎么回事？例3.在日常生活中，你是否冇这样的经验：两个人共提-个旅行包，夹角越大/ :解释这种现象吗?'鸞巴软吁作引体向上运动’两臂的夹角越小越省力•你能从数学的角度F请同学们结合刚才这个问题，思考下面的问题:(1)0为何值吋，丨只丨最小，最小值是多少？⑵1尺|能等于|G|吗？为什么?例4如图，一•条河的两岸平行，河的宽度d二500/7/, 一艘船从A 处出发到河对岸.己知船的速度|p,|=10km/h,水流的速度|v2|=2km/h,问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0.1 min)?变式训练：两个粒子A、B从同一源发射岀来，在某一时刻，它们的位移分别为» =(4,3),» =(2,10) ,(1)写出此时粒子B相对粒子A的位移s; (2)计算s在》方向上的投影。
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2.5 平面向量应用举例
课型：新授课 课时数：1 时间：.1.8 高一（ ）班 学号： 姓名：
一、学习目标：1.会用向量表示几何元素，将平面几何问题转化为向量问题,并通过向量运算研究如距离、
夹角等几何问题；2.会用向量方法解决简单的物理问题, 体验向量的工具作用。
二、学前准备
1、向量的运算有哪几种？ 、 、 和 。
2、阅读课本P110，了解几何问题与向量的联系：
几何问题
对应向量问题 相关运算或公式 点M （x,y ）
向量OM 线段AB 的长度 模|AB |（或某投
影）
夹角θ
向量夹角θ 三点共线
向量共线且有公共点 直线平行
向量共线没有公共点 直线垂直 向量垂直 3、阅读课本P111，了解物理问题与向量的联系：
（1）力、速度、加速度、位移都是 ；力、速度、加速度、位移的合成与分解运用的分别是向量的 和 。
（2）动量mv 就是数学上的 。
（3）功就是力F 与所产生的位移s 的 。
三、典型例题 例1：在ABCD 中，AD=1，AB=2，对角线BD=2，求对角线
AC 的长。
例2：已知ABCD 是边长为6的正方形，E 为AB 的中点， F 在边BC 上，且BF ：FC=2：1，AF 与EC 相交于点P ，求四边形APCD 的面积。
B C D E F P A A B C D
x y
例3：用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如右图，已知灯具的重量为10N ，问每根绳子的拉力是多少？
四、达标练习
1、在菱形ABCD 中，下列关系式不正确的是（ ）
A 、A
B →//CD → B 、()()AB B
C BC C
D +⊥+
C 、()()0AB A
D BA BC --= D 、AB AD BC CD =
2、在ABCD 中，AB =a ，AD =b ，则当2()a b +=2()a b -时，该四边形是（ ）
A 、菱形
B 、矩形
C 、正方形
D 、以上都不正确
3、在
ABC 中，若||AB =4，||AC =5，||BC ，则A ∠=______。
4、已知F =（2，3）作用于一物体，使物体从A （2，0）移动到B （-2，3），
求力F 对物体所做的功。
五、推荐作业
1、如果正方形OABC 的边长为1，点D 、E 分别是AB 、BC 的中点，试求COS DOE ∠的值。
2、两个粒子A 、B 从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为(4,3)A s =，(2,10)B s =。
（1）写出此时粒子B 相对粒子A 的位移s 。
（2）计算s 在A s 方向上的投影。
（选做）
3、 一条河宽为m 400，一船从A 出发航行垂直到达河正对岸B 处，船速为h km /20，水流速度为h km /12，则船到达B 处所需时间为 min 。
4、河水的流速为s m /2，一艘小船想以垂直于河岸方向h m /10的速度驶向对岸，则小船的静
水速度大小为。
六、课后反思：用向量方法解决平面几何问题通常有哪几个步骤？_______________________________。