中考几何专题复习-路径最值系列-AP+nBP类加权线段和最值综述

中考专题复习初中几何五大最值模型(双线段最值,含参数最值,代数最值,单线段最值)

中考最值问题中考最值问题是中考当中的热门，同时也是难点，其有种考察方式，下面我来一一叙述。

一．最简单的双线段相加减最值（将军饮马）（1）在直线l上找一点p使得PA+PB最小异侧解：连接AB即可，两点之间线段最短（2）在直线l上找一点p使得PA+PB最小同侧解：过点B作关于l的对称点B’,连接AB'即可。

利用l垂直平分BB’，PB=PB’，故两点之间线段最短即可求解（3）在直线l上找一点p使得|PA-PB|最大同侧解：连接AB并延长即可，利用三角形三边关系，任意两边之差小于第三边(4)在直线l上找一点p使得|PA-PB|最大异侧解：同理，过点B作关于直线l的对称点B’，连接AB'并延长即可。

（5）在直线l上找一点p使得|PA-PB|最小解：作AB的垂直平分线交直线l于p点，由于PA=PB，所以最小值为0（6）在OA，OB上求作点M，N，使△PMN周长最小．解：作两次对称，两点之间，线段最短．（7）在OA，OB上求作点M，N，使四边形PQMN周长最小．解：P，Q分别作对称，两点之间，线段最短．（8）在OA，OB上求作点M，N，(1)使PM＋MN最小．(2)使PN＋MN最小．解：先连哪个点，就先做关于那个点所在射线的对称点．垂线段最短．题目：二：比较难的单线段最值问题1.垂线段最短2.三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三遍3.圆外一点到圆上距离的最值问题设圆外一点到圆心的距离为d，圆的半径为r最小值为：d-r最大值为：d+r4.圆中，弦是最大的直径题目：1.如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ.过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF,(1)求证：四边形BFEP为菱形；（2）当E在AD边上移动时，折痕的端点P，Q也随着移动.①当点Q与点C重合时，（如图2），求菱形BFEP的边长；②如限定P，Q分别在BA，BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离.解：当点Q与点C重合时，如图2，点E离A点最近，由①知，此时AE=1cm.当点P与点A重合时，如图3.点E离A点最远，此时，四边形ABQE是正方形.AE=AB=3cm∴点E在边AD上移动的最大距离为2cm.此题用到了极限的思想。

中考数学总复习——线段最值

线段最值线段最值问题是指在一定的条件下，求线段长度的最大值或最小值.求线段最值问题的基本方法有：1.轴对称模型，本讲主要涉及轴对称在四边形中的应用；2.线段运动问题.1、轴对称模型【练习1】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E是AB边的中点，P是AC边上一动点，PB＋PE的最小值是3，求AB的值．【练习2】如图，在锐角三角形ABC中，BC=,∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC 上的动点，则CM+MN 的最小值是___.【练习3】如图，线段AB 的长为2，C 为AB 上一动点，分别以AC 、BC 为斜边在AB 的同侧作两个等腰直角△ACD 和△BCE,则DE 的最小值为________.M NA BCD【练习4】如图，当四边形PABN的周长最小时，a=_______.【练习5】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD=AD=1，∠B=60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PC+PD的最小值为_________.2、线段运动问题【练习1】如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =2，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点的最大距离是（）A ．222B ．52C ．62D ．6【练习2】已知平行四边形ABCD 中，AC=10，BD=8，则AD 的取值范围是__________.【练习3】如图，将两张长为8cm,宽为2cm的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时菱形的周长有最小值8cm,那么菱形周长的最大值是___________cm.【练习4】如图，∠MON=90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1,运动过程中，点D到点O的最大距离为( )AD.152MNOACD【练习5】如图，C为线段上BD一动点，分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD，连接AC、EC, 已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.(1)用含x的代数式表示AC+CE的长；(2)请问点C满足什么条件时, AC+CE的值最小？(3)根据(2)的最小值.。

2024年中考数学专题复习定值与最值问题

定值与最值问题1、平面几何最值问题：在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。

线段最值问题的解决通常方法：应用几何性质．①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④定圆中的所有弦中，直径最长．基本类型有：将军饮马、选址造桥、线段之差的最大值，隐圆最值，瓜豆原理，胡不归最值，阿氏圆等。

2、立体几何最值问题：展开平面图形，根据平面几何最值问题方法去做！3、代数最值问题：无非就是根据完全平方公式或者二次函数的知识去求解！例1．如图，A、B两个机离线l的距离分别是3米，5米，CD＝6米，若由l上一点分别向A，B连线，最短为()A．11米B．10米C．9米D．8米1．如图Rt△ABC中，AB＝BC＝4，D为BC的中点，在AC边上存在一点E，连接ED、EB，则△BDE周长的最小值为()A．2 5 B．2 3 C．25＋2 D．23＋22．如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB 的中点，P是直径AB上的一动点．若MN＝1，则△PMN周长的最小值为__ ．3．直线l1、l2交于点O，A、B是两直线间的两点，从点A出发，先到l1上一点P，再从点P到l2上一点Q，再回到点B，求作P、Q两点，使四边形APQB周长最小．4．A、B是位于河流两旁的两个村庄，要在这条宽度为d的河上建一条垂直的桥，使得从A村到B村的距离之和最短．试着画出桥应该建在何处？例2．如图，AC⊥BC于C，连接AB，点D是AB上的动点，AC＝6，BC＝8，AB＝10，则点C到点D的最短距离是（）A．6 B．8 C．403D．2451．如图，点A 的坐标为（1，0），点B 在直线y x =上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为（）A ．（0，0）B ．（21-，21-）C ．（22，22-）D ．（22-，22-） 2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 经过点A （﹣4，0）、B （0，4），⊙O 的半径为1，点P 在直线AB 上，过点P 作⊙O 的一条切线PQ ，Q 为切点，则切线长PQ 的最小值为_________．例3．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝4，∠A ＝135°，点P 、M 、N 分别为对角线BD 及边BC ，CD 上的动点，则PM ＋PN 的最小值为__ ．1．如图，∠ABC ＝45°，BC ＝42，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，M 、N 分别是BD 和BC 上的动点(M 与B ，D 两点不重合，N 与B ，C 两点不重合)，则CM ＋MN 的最小值为__ ．2．如图，∠AOB ＝45°，P 是∠AOB 内一定点，PO ＝10，Q 、R 分别是OA ，OB 上的动点，则△PQR 周长的最小值为__ ．例4．如图，两点A 、B 在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离AC =8，B 到MN 的距离BD =5，CD =4，P 在直线MN 上运动，则PB PA -的最大值等于．1．如图所示，已知11(,)2A y ，2(2,)B y 为反比例函数1y x =图象上的两点，动点(,0)P x 在x 正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是（）A ．1(,0)2B ．(1,0)C ．3(,0)2D ．5(,0)22．点A 、Ｂ均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P 是x 轴上使得PA PB -的值最大的点，Q 是y 轴上使得QA +QB 的值最小的点，则OP *OQ = ．例5．在坐标系中，点A 的坐标为(3，0)，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC =2．设tan ∠BOC =m ，则m 的取值范围是_________．1．如图, △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，O 为AC 的中点，过O 作OE ⊥OF ，OE 、OF 分别交射线AB 、BC 于E 、F ，则EF 的最小值为．2．如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =3，BC =4，点D 是AB 的中点，E 、F 分别是直线AC 、BC 上的动点，∠EDF =90°，则EF 的最小值是_____________．例6．如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为4的正方形，动点P 从A 点出发，沿看圆柱的侧面移动到BC 的中点S 的最短距离是( )A ．212π+B ．2412π+C ．214π+D ．242π+1．如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（）A ．13cmB ．12cmC ．10cmD ．8cm2．如图，圆柱底面半径为2cm ，高为9cm π，点A 、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A 、B 在同一母线上，用一棉线从A 顺着圆柱侧面绕3圈到B ，求棉线最短为 cm ．第1题第2题例7．求二次三项式2x 2x +3的最小值．1．求代数式﹣2x 2+3x +5的最大值．例9．如果P 是边长为2的正方形ABCD 的边CD 上任意一点且PE ⊥DB ，PF ⊥CA ，垂足分别为E ，F ，则PE ＋PF ＝__ __．1．如图、已知矩形ABCD ，R ，P 户分别是DC 、BC 上的点，E ，F 分别是AP 、RP 的中点，当P 在BC 上从B 向C 移动而R 不动时，那么下列结论成立的是( )A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐减小C ．线段EF 的长不改变D ．线段EF 的长不能确定2．如图，在平面直角坐标系x O y 中，矩形AOCD 的顶点A 的坐标是（0,4），现有两动点P 、Q ，点P 从点O 出发沿线段OC （不包括端点O ，C ）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C 运动，点Q 从点C 出发沿线段CD （不包括端点C ，D ）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D 运动．点P ，Q 同时出发，同时停止，设运动时间为t 秒，当t =2秒时PQ =52．（1）求点D 的坐标，并直接写出t 的取值范围；（2）连接AQ 并延长交x 轴于点E ,把AE 沿AD 翻折交CD 延长线于点F ,连接EF ，则△A EF 的面积S 是否随t 的变化而变化？若变化，求出S 与t 的函数关系式；若不变化，求出S 的值．1．如图，在正方形ABCD 中，G 是正方形内一点，AD =4，P 是BC 的中点，且BG =BP ，则DG +12GC 的最小值是__________．（提示：考虑用相似转化，系数需要化成相同）。

初中数学几何最值专题

初中数学几何最值专题初中数学中，几何最值问题是一个常见的专题。

以下是一些常见的几何最值问题的类型和解决方法：一、两点之间线段最短原理：两点之间线段最短。

应用：在解决几何最值问题时，常常需要利用这个原理来找到两个点之间的最短路径。

例如，在一个矩形中，从一个顶点到另一个顶点的最短路径是通过矩形的对角线。

二、三角形三边关系原理：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

应用：在解决几何最值问题时，可以利用这个原理来判断三角形的形状和大小。

例如，在一个三角形中，已知两边长分别为a和b，第三边长为c，则c的取值范围是|a-b|<c<a+b。

当c取最小值时，三角形为直角三角形；当c取最大值时，三角形为等腰三角形。

三、利用对称性求最值原理：利用对称性可以简化问题，找到最值。

应用：在解决几何最值问题时，可以利用对称性来找到最值。

例如，在一个圆内，从一个点到一个定直线的距离的最值可以通过作该点关于定直线的对称点来找到。

同样地，在一个矩形内，从一个点到一个定点的距离的最值也可以通过作该点关于矩形中心的对称点来找到。

四、利用旋转和平移求最值原理：利用旋转和平移可以改变图形的位置和方向，从而找到最值。

应用：在解决几何最值问题时，可以利用旋转和平移来找到最值。

例如，在一个三角形中，已知两边长分别为a和b，夹角为θ，则可以通过旋转和平移将三角形转化为直角三角形，从而找到第三边长的最值。

五、利用相似性和全等性求最值原理：利用相似性和全等性可以将复杂问题转化为简单问题，从而找到最值。

应用：在解决几何最值问题时，可以利用相似性和全等性来找到最值。

例如，在两个相似的三角形中，已知其中一个三角形的三边长分别为a、b、c，则可以通过相似性找到另一个三角形的三边长的最值。

同样地，在两个全等的图形中，可以通过全等性找到它们之间的最短距离或最大面积等。

中考考试数学几何最值专题

几何中的最值问题几何中最值问题包括：“面积最值”及“线段（和、差）最值”求面积的最值，需要将面积表达成函数，借助函数性质结合取值范围求解；求线段及线段和、差的最值，需要借助“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及“三角形三边关系”等相关定理转化处理 • 一般处理方法：常用定理：1两点之间，线段最短（已知两个定点时）2、垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时）3、三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定时）4、圆外一点P 与圆心的连线所成的直线与圆的两个交点，离P 最近的点即为P 到圆的最近 FA+PB 最小，需转化，使点在线异侧 |PA-P B| 最大，距离，离P最远的点即为P到圆的最远距离第6题图类型一线段和最小值1. 如图，圆柱形玻璃杯，高为 12cm,底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 _______ cm.第1题图第2题图 2. 如图，点P 是/ AOB^ —定点，点MN 分别在边OAOB 上运动，若/ AOB 45°, 0P 3伍, 则厶PMN 周长的最小值为 ___ . ___3. 如图，正方形 ABCD 勺边长是4，/ DAC 勺平分线交DC 于点E ,若点P, Q 分别是AD 和AE 上的动点，贝U DQPQ 的最小值为 .5.如图，当四边形 PABN 勺周长最小时，a = __________ . 6. 在平面直角坐标系中，矩形 OACB 勺顶点0在坐标原点，顶点 A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA=3, O 酔4, D 为边OB 的中点.若E 、F 为边OA 上的两个动点，且 EF =2, 当四边形CDEF 勺周长最小时，则点 F 的坐标为 —.4. 第4题图如图，在菱形 ABCDK AB=2, 意一点，贝U PK +QK 的最小值为/ A =120°,点P 、Q K 分别为线段 BC CD BD 上的任第3题图第5题图变式加深：1、如图，正方形ABCD边长为2,当点A在x轴上运动时，点D随之在y轴上运动,在运动过程中，点B到原点0的最大距离为（）A.门」B.二JC. J .D. j2、如图，/ MON=90，矩形ABCD勺顶点A、B分别在边OM ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD勺形状保持不变，其中AB=2, BC=1,运动过程中，点D 到点O 的最大距离为______________3、如图，E、F是正方形ABCD勺边AD上的两个动点，满足AE=DF连接CF交BD于点G,连接BE交AG与点H。

中考数学线段最值问题专题

中考数学线段最值问题专题
线段最值是几何考察的难点，对于几何技巧的运用简直是太完美了。

所以在中考命题中，最值问题可以说是屡见不鲜的。

一、线段的最值同题
常考问题：由动点、折叠、旋等产生的単线段最大值、最小值问题（线段和差的量値问题：“将军饮马问题”“胡不归一阿氏圆问题”）
常用方法：
•1.两点之间线段最短
•2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
•3.垂线段最短
•4.函数的增战性与最值
二、将军饮马
路径最短、线段最小、线段差最大、周长最小等一系列最值同题。

三、胡不归、阿氏圆
已知定点A,B,要求找一点P,使aPA+PB的住最小a为大于0且不为1的系数）点P在直线（或射线、线段）上时，一般为胡不归问题；点P在圆（或圆弧）上时，一般为阿氏圆问题。

线段最值问题专题方法

线段最值问题专题方法
线段最值问题？嘿，这可不是个小难题呢！那咱就来说说这线段最值问题的专题方法。

先讲讲步骤吧！你想想，就像在走迷宫一样，得有个方向。

第一步，确定动点轨迹，这可重要啦！要是不知道动点在哪瞎找，那可就像无头苍蝇一样，能找到最值才怪呢！第二步，根据不同的轨迹类型选择合适的方法。

如果是直线型轨迹，那就利用“垂线段最短”这个法宝；要是圆弧轨迹呢，那就得想到圆心和半径啦！
注意事项也不少呢！你可千万别小瞧了这些细节。

首先，一定要仔细分析题目条件，别漏看了任何一个关键信息。

其次，在计算的时候要认真仔细，一个小错误可能就会让你的结果谬以千里。

那这过程中的安全性和稳定性咋样呢？这么说吧，只要你按照正确的步骤来，就像走在平坦的大路上一样安全稳定。

可要是你乱来，那可就危险啦，说不定就会掉进陷阱里。

再说说应用场景和优势。

这线段最值问题在生活中的应用可多啦！比如在建筑设计中，要确定最短的布线路径；在物流运输中，要找到最短的运输路线。

优势嘛，那就是能帮你节省时间、成本，提高效率。

来个实际案例吧！比如说要在河边建一个水泵站，向两个村庄供水，问水泵站建在哪里才能使铺设的管道最短。

这不就是典型的线段最值问题嘛！通过分析，找到两个村庄关于河边的对称点，连接对称点和另一个村庄，与河边的交点就是水泵站的最佳位置。

这样一来，就可以大大节省铺设管道的成本。

咱这线段最值问题的专题方法就是这么厉害！只要你掌握了，就能在各种问题中如鱼得水。

赶紧去试试吧！。

中考几何专题复习-路径最值系列-AP+nBP类加权线段和最值综述

中考专题复习 初中几何五大最值模型(双线段最值,含参数最值,代数最值,单线段最值)

最新九年级数学中考复习 初中几何多结论问题及PA kPB型最值探究