机械控制工程基础-第4章-系统的瞬态响应与误差分析

2 n
s2
2n s
2 n
特征方程 特征根
s2
2
s n
2 n
0
s1,2 n n 2 1
特征根有三种情况： ①欠阻尼，0 1，特征根有一对共轭复根
s1,2 n jn 1 2 n jd d n 1 2 阻尼自然频率
c(s)
n2
, (4 33)
(s n jd )(s n jd )
c(t) L1[C(s)] L1[1 1 ] 1 exp( t )
s s 1/T
T
（3）响应曲线
3、一阶系统的脉冲响应
（1）输入：单位脉冲函数
f (t) (t) Laplace R(s) L[ (t)] 1
（2）输出：
C(s) R(s)G(s) 1
1
1
1
Ts 1 T s 1/ T
若实极点远离共轭复数极点，位于它们的左侧较远处， 则实数极点对系统动态影响较小，响应特性主要决定 于复数极点。
总之，三阶系统的响应特性
主要决定于距虚轴较近的闭
环极点，这类极点叫做系统
的闭环主导极点
2、高阶系统
（1） 主导极点：系统的所有闭环极点中，距虚轴最近，且 周围无闭环零点的极点。
主导极点对系统响应起主导作用，其它极点在近似分 析中可以忽略不计。
③过阻尼， 1 ，系统有两个不等的负实 根， s1,2 n n 2 1
c(s)
n2
R(s) (s n n 2 1)(s n n 2 1)
c(s)
2 n
•1
(s n n 2 1)(s n n 2 1) s
c(t) 1
n
e s1t (
es2t ), t 0.
可得
tr d
（4——43）
（2）峰值时间
将（4-28）式对时间求导，并令其为零，即
dc(t) dt
tt p
(sin dt p )
n 1
2
exp(nt p )
0
n tp d ,
n 0,1,2
由定义，取n 1, 故峰值时间为
tp
d
（3）超调量Mp：
已知 可得
tp d
(4 44)
设允许误差为δ%，则调整时间满足 C(ts)-1=δ/100 用包络线近似代替C(t),可得
ts
ln100 ln n
例题4-1，4-2，4-3 p87-89
(4 46)
例1 已知图中Tm=0.2，K=5，求系统单位阶跃响应指标。
R(s)
K
C(s)
(-) s(Tm s 1)
解：系统闭环传递函数为 (s) G(s)
④超调时对稳态值的偏差与稳态值之比。
M C(t p ) C() 100%, C()表示稳态值。 C()
⑤调整时间ts:单位阶跃响应c(t) 与稳态值之差进 入允许的误差范围所需要的时间。通常取5%或2%。
相对性指标——Mp； 灵敏性指标——td， tr， ts。
引言 ：动态系统的研究方法
• 动态系统的研究方法有两种：
• 1、时域分析法：根据系统的微分方程或传递函数，求
出系统的输出量随时间的变化规律，从而确定系统的性能
• 2、频域分析法：以拉氏变换为工具将时域转换为频域，
研究系统对正弦输入的稳态响应，分析系统与过程在不同 频率的输入信号作用下的响应特性。
• 本章采用第1种方法。
②零初始条件。
（2）瞬态响应的性能指标 ①延迟时间td：单位阶跃响应c(t) 达到其稳态值的
50%时所需要的时间。
②上升时间tr：单位阶跃响应c(t),丛稳态值的10%—
—90%（对于过阻尼），或从0——100%（对于欠阻尼）所 需要的时间。
③峰值时间tp：单位阶跃响应c(t) 超过其稳态值而 到达第一个峰值时所需要的时间。
T s
T2 Ts 1
1 T T2 c(t) L[C(s)] L[ ]
s 2 s Ts 1 t T T exp( t )
T
（3）响应曲线
图4-11
表 一 一阶系统对典型输入信号的响应
输入信号
输入信号
输出响应
传递函数
单位脉冲 (t)
R(s)=1
单位阶跃 1(t) 单位斜坡 t
R(s) 1 S
s
2 n
)(s
)
a1 y a0 y b0 x （2）对应方程 a2 y a1 y a0 y b0 x
a3y a2 y a1 y a0 y b0 x
(4 39)
（3）单位阶跃响应
C(s) G(s)R(s)
2 n
1,
(s 2
2n s
2 n
)(s
)
s
令 ，作拉氏逆变换，得 n
C(t)
n 1
2
exp(nt) sin(d t).
(4 34)
(2) 临界阻尼 1
响应函数 C(s) G(s)R(s)
2 n
(s n )2
拉氏逆变换 c(t) n2t exp(nt)
(4 35) (4 36)
（3） 过阻尼 1
C(s)
2 n
(s n n 2 1)(s n n 2 1)
4-3 二阶系统的时间响应
1、二阶系统的数学模型
（1）定义：由二阶微分方程描述的系统。
（2）典型例题：弹簧—质量—阻尼系统
（3） 微分方程
x my By ky
拉氏变换
X (s) (ms 2 Bs k)Y (s)
传递函数 特征根
Y
1
G(s)
X ms 2 Bs k
s1,2 B
一般的，闭环主导极点总以共轭复数极点的形式出现。
（2）高阶系统的闭环传递函数
m
W (s)
c(s)
M (s)
K
(s z j )
j 1
,
R(s) D(s)
n
(s pi )
i
(4 41)
4-5 瞬态响应的性能指标
二阶系统的单位脉冲响应性能要求：
稳定性、准确性、灵敏性 1、瞬态响应的性能指标 （1）前提条件：①系统受单位阶跃信号作用；
代入超调量的定义式。
M
p
C(t p ) C() C()
100%
C(t p ) 1
exp( ) 1 2
可见，超调量仅与阻尼比有关。
（4）调整时间ts
对欠阻尼二阶系统，瞬态响应为
C
(t
)
1
exp(n2t 1 2
)
sin(d
t
arctan
1 2
), t 0.
(4 28)
其包络线方程为 f (t) 1 exp(nt) / 1 2
c(t) L1[C(s)] L1[ 1 1 ] 1 exp( t )
T s 1/T T
T
（3）响应曲线
4、一阶系统的单位斜坡响应
（1）输入: f (t) t, (t 0) Laplace R(s) L[t] 1
s2
（2）
输出：C(s)
R(s)G(s)
1 s2
1 Ts 1
1 s2
C(t) 1 exp(nt) 1 2 ( 2)
2 ( 2) cos(
1 2nt)
[ 2 ( 2) 1] sin( 1 2
1 2nt)
.
2
1 (
2)
1
e t
(4 40)
（4）闭环主导极点 若实极点位于共轭复数极点的右侧，且距原点很近， 则响应表现出明显的惯性环节特性，共轭极点只增加 曲线初始段 的波动。
s1,2 n jn 1 2 n jd d n 1 2 阻尼自然频率
此时，
C(s)
2 n
R(s) (s n jd )(s n jd )
c(s)
2 n
•1
(s n j∞ d )(s n jd ) s
C
(t
)
1
exp(n2t 1 2
)
sin(d
t
arctan
1 2
K
率、阻尼比的计算；特征方程及临界阻尼系数的含义；
• 5、三阶和高阶系统的时间响应：主导极点的概念及其与 相应的关系。
• 6、瞬态响应：性能指标的定义；二阶系统瞬态响应指标 的计算以及二级系统的阻尼比、无阻尼自然频率与各性能 指标的关系。
• 7、系统误差分析：误差和稳态误差的概念及计算；系统 类型的定义；系统稳态误差与系统类型、开环增益及输入 信号之间的关系；静态误差系数与稳态误差。
), t 0.
(4 28)
此为衰减振荡函数,t ∞ , c(t ) 1
② 临界阻尼， 1，特征根为一负实根。
s1,2 n d n 1 2 0 阻尼自然频率
c(s)
n2
R(s) (s n )(s n )
c(s)
2 n
•1
(s n )2 s
此为衰减振荡的极限。
c(t) 1 ent (1 nt)
4-2 一阶系统的时间响应
• 1、一阶系统的数学模型
• （1）一阶系统：能用一阶微分方程描述的系统。 • （2）RC电路
ui
(t)
RC
du0 (t) dt
u0
(t)
U i (s) (RCs 1)U 0 (s);
G(s) U0 (s) 1 . U i (s) RCs 1
• 一阶系统传函的一般形式
2、二阶系统的单位阶跃响应 （1） 输入 r(t) 1(t) R(s) 1
s
（2）传递函数（简化形式）
G(s)
Xo(s) Xi(s)
S2
n2 2n s
n2
f(t) 1
t 0